методичка аппроксимация - Камышинский технологический

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
КАФЕДРА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
Аппроксимация
функций
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
РПК «Политехник»
Волгоград
2004
1
УДК 512.5
А 77
АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ. Методические указания / Сост. Т. В. Старова; Волгоград. гос. техн. ун-т, Волгоград, 2004. − 27 с.
Настоящая работа адресована студентам, изучающим курс «Вычислительная
математика», специальности 552800 «Информатика и вычислительная техника».
Библиогр.: 2 назв.
Рецензент В. Ф. Казак
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета.
Cоставитель Татьяна Владимировна Старова
АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
Методические указания
В редакции автора
Темплан 2004 г., поз. № 208. Подписано в печать 10. 09. 2004г.
Формат стандартный 60×84 1/8. Бумага потребительская.
Усл. печ. л. 3,38. Усл. авт. л. 3,13. Тираж 25 экз. Заказ
Волгоградский государственный технический университет.
400131 Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28.
РПК «Политехник»
Волгоградского государственного технического университета
400131 Волгоград, ул. Советская, 35.
Отпечатано в типографии «Новый ветер», ПБОЮЛ Выдолоб Л. Ф.
403875, Волгоградская обл., г. Камышин, ул. Ленина, 8/1.
© Волгоградский
государственный
технический
университет, 2004
2
СОДЕРЖАНИЕ
Задача о приближении функций ………………………………………………. 4
Интерполяция с помощью многочленов Лагранжа …………………………... 6
Интерполяция с помощью многочленов Ньютона ………………………….. 11
Интерполирование функции сплайнами …………………………………….. 13
Равномерные многочленные приближения ………………………………….. 14
Среднеквадратические приближения ………………………………………... 16
Контрольные вопросы ………………………………………………………… 19
Задания для самостоятельного решения …………………………………….. 20
Задание и методические указания к лабораторной работе № 2
Аппроксимация и интерполяция функций….…………………………..……. 22
10.Приложение 1 »Аппроксимируемые функции» …………………………….. 24
11.Приложение 2 «Алгоритмы решения основных типов задач» ……………... 24
12.Приложение 3 «Основные формулы по теме «Аппроксимация функций» .. 25
13.Литература …………………………………………………………………….. 27
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
3
1. ЗАДАЧА О ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ
Цель задачи о приближении функций – найти аналитическое выражение
(формулу) для описания некоторой функции y  f (x) .
Рассмотрим два случая, в которых необходимо получение зависимости вида
y  f (x) , исходя из известных данных:
1) функция y  f (x) задана таблично, то есть в виде множества пар чисел
( xi ; yi ), i  0,1,...,n , полученных в результате эксперимента, но не известна аналитически, т. е.:
…
x0
x1
x2
xn
x
y
…
y0
y2
yn
y1
2) аналитическая зависимость y  f (x) известна, но имеет очень сложный
или громоздкий вид. Требуется найти более простое описание данной функции,
достаточно близкой к исходной.
Аппроксимацией (приближением) функций – называется замена исходной
функции f(x) приближённой функцией  (x ) таким образом, чтобы отклонение
 (x ) от f(x) было наименьшим в заданной области. При этом функцию  (x )
называют аппроксимирующей, а функцию f(x) – аппроксимируемой функцией. При решении задачи аппроксимации необходимо:
1) правильно выбрать узлы аппроксимации:
а) равноотстоящие узлы. Для этого выбирается постоянный шаг h, задается
начальный узел x 0 и последующие узлы вычисляются по формуле х = хi-1 + h,
i = 1, 2, …, n. Например, если x 0  1, h  2 , тогда х = 1, 3, 5, 7, …, если х0 = -0.3,
h = 0.5, то х = (- 0,3; 0,2; 0,7;…);
б) специальное расположение узлов, например сгущающихся к центру. С целью уменьшения ошибки аппроксимации, иногда узлы вычисляются по специальным формулам, которые будут рассмотрены позже.
2) правильно выбрать класс аппроксимирующей функции  (x ) :
а) полином:
 ( x)  a0  a1 x  a 2 x 2    a n x n .
(1)
В этом случае аппроксимация называется многочленным приближением.
Коэффициенты многочлена a 0 , a1 ,  , a n и его степень n выбираются таким образом, чтобы обеспечить наименьшее отклонение аппроксимирующей функции
от исходной;
б) тригонометрический многочлен:
n
a
(2)
 ( x)  0   (a k cos(kx)  bk sin( kx)).
2 k 1
Для того чтобы найти функцию  (x ) необходимо разложить функцию f(x) в ряд
Фурье;
4
3) правильно выбрать критерий близости функции x) к f(x): функции f(x)
и x) совпадают на заданном дискретном множестве точек xi i  0, 1, , n
на котором задана исходная функция f(x), т. е. f ( xi )   ( xi ), i  0, 1, , n. Такой
тип аппроксимации называют интерполированием (рис. 1), при этом точки x i
называются узлами интерполяции, а функция x) называется интерполяционным многочленом.
Недостатки интерполяции:
1) при большом количестве узлов интерполяции, степень многочлена становится большой, что усложняет вычисления;
а) экспериментальные данные часто содержат в себе ошибки.
б) функции f (x) и  (x)
мало отличаются в некоторой окрестности заданных
точек. Такой тип аппроксимации называется среднеквадратическим приближением (рис. 2). При среднеквадратическом приблиРис. 1. Интерполяция
жении функция x) выбирается таким образом, чтобы величина
n
S   ( f ( xi )   ( xi )) 2
i 0
(3)
имела наименьшее значение. Величина S представляет собой сумму квадратов
отклонений аппроксимирующей функции x) от исходной f(x) на заданном
множестве точек ж0, х1, …, хn. В случае многочленного приближения, когда x)
ищется в виде (1), коэффициенты
многочлена а0, а1, …, аm подбираются исходя из условия, что величина S является минимальной. Такой подход к аппроксимации называется методом наименьших
квадратов. В этом случае не требуется, чтобы аппроксимирующая
функция проходила через узлы, а
близость функции x) к f(x) понимается лишь «в среднем».
Рис. 2. Среднеквадратическое приближение
Недостаток среднеквадратического приближения: функции
x) и f(x) в отдельных точках могут отличаться значительно.
в) отклонение f (x) от  (x ) во всех точках меньше некоторой малой заданной
величины. Такой тип аппроксимации называется равномерным приближением (рис. 3). При равномерном приближении функция  (x ) выбирается в ви5
де многочлена таким образом, что отклонение заданной функции f(x) было по
абсолютной величине меньше, чем заданная малая величина
  0 : |  ( x)  f ( x) |  , x [a; b].
В этом случае говорят, что  (x) равномерно аппроксимирует функцию f(x)
на отрезке [a; b]. Задаваемое малое число   0 называется точностью аппроксимации.
Рис. 3. Равномерное приближение
При заданной точности аппроксимации  можно подобрать многочлен  (x)
степени m, который равномерно приближает заданную функцию f(x).
При этом величина
  max |  ( x)  f ( x) |
(4)
a  x b
должна достигать на [a; b]. своего минимального значения:
 min  min .
 ( x)
(5)
Решение задач такого типа (минимаксных задач) дают многочлены Чебышева, которые на отрезке [a; b] дают наименьшую абсолютную ошибку.
Недостаток равномерного приближения: сложность решения задачи.
2. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ С ПОМОЩЬЮ МНОГОЧЛЕНОВ ЛАГРАНЖА
Пусть функция f(x) задана таблично, т. е. на дискретном множестве точек множеству значений ее аргумента {x0 , x1 ,..., xn } соответствует множество значений
функции { y0 , y1,..., yn } , причем yi  f ( xi ) , i  0, 1, ..., n. Требуется подобрать
n
функцию  (x ) вида  ( x)  a 0  a1 x    a n x , такую, что  ( xi )  y i для
i  0, 1, ..., n. т. е. аппроксимируемая и аппроксимирующая функции совпадают на
заданном множестве точек. Для нахождения  (x ) необходимо вычислить коэффициенты многочлена а0, а1, …, аn.
Интерполяция называется глобальной, если многочлен  (x ) используется
на всем интервале изменения х, при этом степень многочлена совпадает с количеством точек в таблице и коэффициенты а0, а1, …, аn определяются из решения
системы линейных уравнений:
6
 ( x0 )  a0  a1 x0  a2 x02    an x0n  y 0

2
n
 ( x1 )  a0  a1 x1  a2 x1    an x1  y1

2
n
 ( x2 )  a0  a1 x2  a2 x2    an x2  y 2
...............................................................

 ( xn )  a0  a1 xn  a2 xn2    an xnn  y n

(6)
Решая систему n+1 уравнений с n+1 неизвестными относительно а0, а1, …,
аn, получим формулу для интерполяционного многочлена  (x ) . Решение так поставленной задачи имеет недостаток: при большом количестве точек, приходится решать систему очень большой размерности. Поэтому при решении задачи глобальной интерполяции используют ряд более простых вспомогательных задач. Интерполяция называется локальной, если интерполяционные многочлены строятся отдельно для разных частей рассматриваемого интервала изменения х. При этом степень многочлена меньше количества рассматриваемых
точек. В связи с этим различают разные подходы к построению интерполяционных многочленов. Для решения задачи глобальной интерполяции рассмотрим ряд вспомогательных задач.
Вспомогательная задача 1: пусть в узлах интерполяции функция f ( xi )  yi  0
во всех точках кроме одной i  k , а в этой точке принимают значение равное 1
1, i  k ;
(рис. 4), т. е. y( xk )  
 0, i  k.
2
1
f ( x)
y ( t)
0
1
2
0
2
4
6
8
10
x t
Рис.4. Вспомогательная
функция
Необходимо построить многочлен y k (x ) такой, что y k ( xi )  f ( xi ) .Если
многочлен y k (x ) обращается в нуль в точке x k , то в нём присутствует множитель ( x  x k ) . Таким образом:
y k  x   ck ( x  x0 ) x  x1  x  x2  x  xk 1  x  xk 1  x  xn  ,
где c k – некоторые постоянные коэффициенты.
Найдем значение многочлена в т. x k , учитывая, что 1  y k  x K  , получим:
1  y k  x k   c k ( x k  x0 ) x k  x1  x k  x 2  ( x k  x k 1 )( x k  x k 1 )... x k  x n 
ck 
1
.
( x k  x0 ) x k  x1  x k  x 2   x k  x n 
7
Подставим найденное выражение c k в формулу для y k (x ) :




n
 x xj
( x  x0 )x  x1  x  x2  x  xk 1 x  xk 1  x  xn 
j  0, j  k
.
y k x  

n
( xk  x0 ) xk  x1  xk  x2  xk  xk 1  xk  xk 1  xk  xn 
 xk  x j
j  0, j  k
Вспомогательная задача 2: Пусть теперь в точке x k многочлен принимает
значение y k , а в остальных узлах интерполяции он по-прежнему равен 0. Необходимо построить многочлен yˆ k ( x ) такой, что yˆ k ( xi )  f ( xi )
Исходя из решения предыдущей задачи, получим:
yk
,
( xk  x0 ) x k  x1   x k  x k 1  xk  xk 1   x k  xn 
n






x

x

k
 j  0, j  k

.
тогда: yˆ k  x   y k y k ( x)  yk 
n


x j  xk 



 j  0, j  k

Для решения общей задачи интерполяции необходимо найти многочлен
Ln  xi   yi т. е. решить n+1 вспомогательных задач 2, полагая, что y k  0 кроме
к = 0, 1, …, n, тогда
n
Ln  x   y 0  x  y 0  y 1  x  y 1  y 2  x  y 2    y n  x  y n   y n  x  y к .
к 0
Подставляя найденные значения y k (x) в формулу для Ln (x) , имеем:
ck 




n
x xj

n
j 0, j  k
(7)
Ln  x    yk
n
k 0
 xk  x j
j 0, j  k
Для данной функции f (x) построенный таким образом многочлен является
единственным. Многочлен, представленный формулой (7) называется интерполяционным многочленом Лагранжа. В частности, при n = 1 получаем линейную интерполяцию

L1 ( x)  y0

x  x1   y x  x0 
.
x0  x1  1 x1  x0 
(8)
Линейная интерполяция − кусочно-линейная функция (ломаная), соединяющая последовательно каждые две соседние точки.
8
При n = 2 получаем квадратичную интерполяцию. В этом случае интерполирующей функцией является парабола.
Решение:
L2 ( x )  y 0
x  x1 x  x0 
x  x0 x  x 2 
x  x1 x  x 2 
 y1
 y2
x0  x1 x0  x 2 
x1  x0 x1  x 2 
x 2  x1 x 2  x0  .
(9)
С помощью интерполяционного многочлена можно вычислить значение неизвестной функции f (x) любых точках не являющихся узлами интерполирования.
Многочлен Лагранжа удобен тем, что узлы интерполяции могут быть расположены произвольным образом.
Пример: Пусть функция y  f (x) задана таблицей:
X
0.5
0.6
0.7
0.8
Y
1.6
1.8
2.1
2.7
Задание:
1) построить линейный многочлен Лагранжа на отрезке [0.5; 0.6];
2) построить квадратичный многочлен Лагранжа на отрезке [0.6; 0.8];
3) построить многочлен Лагранжа третьей степени на отрезке [0.5; 0,8];
4) с помощью линейной интерполяции найти y (0.53) ;
5) с помощью квадратичной интерполяции найти y (0.75) ;
6) все результаты представить графически.
Решение:
1. Для построения линейного интерполяционного многочлена Лагранжа на
отрезке [0.5; 0.6] определим: х0 = 0.5, х1 = 0.6 – узлы интерполяции; у0 = 1.6,
у1 = 1.8 – значение функции в этих узлах; h = х1 – х0 = 0.6 = 0.5 = 0.1 – шаг и
подставим указанные значения в формулу (8): L1 ( x)  1.6
x  0.6
x  0.5
,а
 1.8
0.5  0.6
0.6  0.5
затем упростим полученное выражение:
1.6( x  0.6) 1.8( x  0.5)
1
L1( x) 


(1.6( x  0.6)  1.8( x  0.5)) 
 0.1
0.1
0.1
1

(1.6 x  0.96  1.8 x  0.9)  10  (0.2 x  0.06)  2 x  0.6 − линейный интерпо0.1
ляционный многочлен Лагранжа на отрезке [0.5; 0.6].
2. Для построения квадратичного интерполяционного многочлена Лагранжа
на отрезке [0.6; 0.8] определим: х0 = 0.6, х1 = 0.7, х2 = 0.8 − узлы интерполяции;
у0 = 1.8, у1 = 2.1, у2 = 2.7 − значение функции в узлах интерполяции; h = х2 – х1 =
= х1 − х0 = 0.1 − шаг и подставим указанные значения в формулу (9):
( x  0.7)( x  0.8)
( x  0.6)( x  0.8)
( x  0.6)( x  0.7)
 2.1
 2.7

(0.6  0.7)(0.6  0.8)
(0.7  0.6)(0.7  0.8)
(0.8  0.6)(0.8  0.7)
x 2  0.7 x  0.8 x  0.56
x 2  0.6 x  0.8 x  0.48
x 2  0.6 x  0.7 x  0.42
 1.8
 2.1
 2.7

0.02
 0.01
0.02
1 1.8 2
2.7 2

( ( x  1.5 x  0.56)  2.1( x 2  1.4 x  0.48) 
( x  1.8 x  0.42)) 
0.01 2
2
L2 ( x)  1.8
9
 15 x 2  16.5x  6.3 − квадратичный интерполяционный многочлен Лагранжа на отрезке [0.5; 0.7].
3. Для построения L3 ( x) потребуются все точки из таблицы. При этом, если
n = 3, то формула (7) примет вид:
( x  x1 )( x  x2 )( x  x3 )
( x  x0 )( x  x2 )( x  x3 )
L3 ( x)  y0
 y1

( x0  x1 )( x0  x2 )( x0  x3 )
( x1  x0 )( x1  x2 )( x1  x3 )
( x  x0 )( x  x1 )( x  x3 )
( x  x0 )( x  x1 )( x  x2 )
 y3
( x2  x0 )( x2  x1 )( x2  x3 )
( x3  x0 )( x3  x1 )( x3  x2 )
Подставляя табличные значения в формулу для L3 ( x) , имеем:
 y2
( x  0.6)( x  0.7)( x  0.8)
( x  0.5)( x  0.7)( x  0.8)
 1 .8

(0.5  0.6)(0.5  0.7)(0.5  0.8)
(0.6  0.5)(0.6  0.7)(0.6  0.8)
( x  0.5)( x  0.6)( x  0.8)
( x  0.5)( x  0.6)( x  0.7)
 2.1
 2.7

(0.7  0.5)(0.7  0.6)(0.7  0.8)
(0.8  0.5)(0.8  0.6)(0.8  0.7)
L3 ( x)  1.6
 1.6
x 3  2.1x 2  1.46 x  0.336
x 3  2 x 2  1.31x  0.28
 1.8

 0.1(0.2)( 0.3)
0.1(0.1)( 0.2)
x 3  1.9 x 2  1.18 x  0.24
x 3  1.8 x 2  1.03 x  0.21
 2.7

0.2  0.1(0.1)
0.3  0.2  0.1
1
1. 6 3

(
( x  2.1x 2  1.46 x  0.336 )  1.8( x 3 2 x 2  1.31x  0.28) 
0.1  0.2  0.1
3
2.7 3
 2.1( x 3  1.9 x 2  1.18 x  0.24) 
( x  1.8 x 2  1.03 x  0.21) 
3
 2.1
33.5x 3  5.55 x 2  792.8x  5 − многочлен Лагранжа третьей степени.
4. Так как точка x  0.53 [0.5;0.6] , для вычисления y(0.53) рассмотрим линейный интерполяционный многочлен Лагранжа y  2 x  0.6 , вместо x подставим значение 0.53: y(0.53)  2  0.53  0.6  1.06  0.6  1.66.
5. Так как точка x  0.75 [0.6;0.8] , для вычисления y(0.75) выберем квадратичный интерполяционный многочлен, вместо x подставим значение 0.75:
y (0.75)  15  (0.75)2  16.5  0.75  6.3  8.44  12.38  6.3  2.36
Рис. 5 Интерполяционные многочлены
10
Из графика (рис.5) видно, что:
1) многочлен L1( x) проходит через две данные точки x  0.5, x  0.6;
2) многочлен L2 ( x) проходит через три данные точки х = 0.6, х = 0.7, х = 0.8;
3) многочлен L3 ( x ) проходит через все, заданные в таблице точки.
3. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МНОГОЧЛЕН НЬЮТОНА
Рассмотрим теперь равностоящие узлы, т. е. xi+1 - xi = h, i = 0, 1, …, n-1. Многочлен Лагранжа представим в виде:
Ln  x   L0 x   L1 x   L0 x   L 2 x   L1 x   [ Ln ( x)  Ln 1 ( x)].
Введем обозначения:
y0  y1  y0 ;

y1  y2  y1;

(11)
.......... .......... ..
yn 1  yn  yn 1.
Величины, определяемые формулами (11) назовем конечными разностями
первого порядка. Аналогично введем:
2 y0  y1  y0 ;

2 y1  y2  y1;

.......... .......... .......
 2
 yn 1  yn  yn 1.
k yi  k 1 yi 1  k 1 yi .
(12)
(13)
Величины, определяемые формулами (12) и (13) назовем соответственно конечными разностями второго и k-го порядков. Конечные разности характеризуют скорость изменения функции на разных интервалах одинаковой длины.
Учитывая формулы (8)–(9) и (11)–(13), получим:
L1 ( x)  L0 ( x) 
x  x0
y x  y 0 x1
x  x1
y0 
y1  y 0  0

x0  x1
x1  x0
h
y1 x  y1 x0 y 0 ( x1  x0 ) y 0 x1  y 0 x  y1 x  y1 x0  y 0 x1  y 0 x0



h
h
h
y ( x  x0 )  y 0 ( x  x0 ) ( y1  y 0 )( x  x0 ) y 0
 1


( x  x0 );
h
h
h

11
L2 ( x)  L1 ( x) 

( x  x1 )( x  x2 )
( x  x0 )( x  x2 )
y0 
y1 
( x0  x1 )( x0  x2 )
( x1  x0 )( x1  x2 )
( x  x0 )( x  x1 )
x  x1
x  x0
y2 
y0 
y1 
( x2  x0 )( x2  x1 )
x0  x1
x1  x0
y0 x 2  y0 xx1  y0 xx2  y0 x1 x2 y1 x 2  y1 xx0  y1 xx2  y1 x0 x2



( h)  (2h)
h  (  h)
y2 x 2  y2 xx0  y2 xx1  y2 x0 x1 y0 x  y0 x1 y1 x  y1 x0



2h  h
h
h
1
 2 ( y0 x 2  y0 xx1  y0 xx2  y0 x1 x2  2 y1 x 2  2 y1 xx0 
2h
 2 y1 xx2  2 y1 x0 x2  y2 x 2  y2 xx0  y2 xx1  y2 x0 x1 

 ( x2  x0 )( y0 x  y0 x1 )  ( x2  x0 )( y1 x  y1 x0 )) 
1
2 y0
2
 2 ( y2  2 y1  y0 )( x  xx0  xx1  x1 x0 ) 
( x  x0 )( x  x1 ).
2h
2! h 2
Аналогично можно доказать, что Ln ( x)  Ln 1( x) 
n y0
n!hn
( x  x0 )( x  x1)...( x  xn 1).
Подставляя найденные выражения в формулу (10) в итоге имеем:
y0
2 y0
Ln ( x)  N n ( x)  y0 
( x  x0 ) 
( x  x0 )( x  x1 ) 
h
2!h 2
(14)
n y0
 ... 
( x  x0 )( x  x1 )...( x  xn ).
n!h n
Многочлен, представленный формулой (14) называется интерполяционным
многочленом Ньютона. Обычно эту формулу записывают в другом виде, вводя
x  x0
новую переменную t 
. Тогда некоторые величины в (14) примут вид:
h
x  x1 x  x0  x0  x1 x  x0 x1  x0



 t  1;
h
h
h
h
x  x2
x  xn 1
 t  2,...,
 t  n  1.
h
h
Используя введенные обозначения, формула (14) примет вид:
t (t  1) 2
t (t  1)(t  n  1) n
Nn ( x0  th)  y0  ty0 
 y0  ... 
 y0 .
2!
n!
Используя формулу (14) в частном случае, можно получить формулы для
линейной или квадратичной интерполяции в случае равноотстоящих узлов.
При n = 1 получим формулу для линейной интерполяции (линейный многочлен Ньютона):
y y
N1( x)  y0  1 0 ( x  x0 )
(15)
h
12
При n = 1 получим формулу квадратичной интерполяции (квадратичный
многочлен Ньютона):
y0
2 y0
N 2 ( x )  y0 
( x  x0 ) 
( x  x0 )( x  x1) 
h
2!h 2
(16)
y  y0
y  2 y1  y0
 y0  1
( x  x0 )  2
( x  x0 )( x  x1).
2
h
2!h
Пример: Используя условия предыдущего примера (см. п. 2) выполнить следующие задания:
1) построить линейный многочлен Ньютона на отрезке [0.5; 0.6];
2) построить квадратичный многочлен Ньютона на отрезке [0.6; 0.8].
Решение:
1. Для построения линейного интерполяционного многочлена Ньютона на
отрезке [0.5; 0.6] определим: х0 = 0.5, х1 = 0.6 – узлы интерполяции; у0 = 1.6,
у1 = 1.8 – значение функции в этих узлах; h = х1 – х0 = 0.6 = 0.5 = 0.1 – шаг и
подставим указанные значения в формулу (15):
1.8  1.6
N1( x)  1.6 
( x  0.5)  1.6  2( x  0.5)  2 x  0.6 – линейный интерполяционный
0.1
многочлен Ньютона на отрезке [0.5; 0. 6].
2. Для построения квадратичного интерполяционного многочлена Ньютона
на отрезке [0.6; 0.8] определим аналогично предыдущему примеру (см. п.2) узлы и шаг интерполяции, а также значение функции в этих узлах и подставим
эти значения в формулу (16):
2.1  1.8
2.7  2  2.1  1.8
N 2 ( x)  1.8 
( x  0.6) 
( x  0.6)( x  0.7) 
0.1
2  0.01
 1.8  3( x  0.6)  15( x 2  1.3x  0.42) 
 15 x 2  16.5 x  6.3.
Вычисления показывают, что при равноотстоящих узлах интерполяционные
многочлены Лагранжа и Ньютона полностью совпадают. Однако, в данном случае использование многочленов Ньютона предпочтительнее из-за большей простоты в вычислениях.
4. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ СПЛАЙНАМИ
Многочленная глобальная интерполяция имеет ряд недостатков. При большом количестве узлов степень интерполяционного многочлена становится
очень большой, что затрудняет вычисления. Кроме того, интерполяционные
многочлены не всегда хорошо приближают функции, не являющиеся достаточно гладкими. В силу отмеченных недостатков на практике часто используется локальная интерполяция (кусочно-многочленная). На каждом отдельном
отрезке [ xi ; xi 1 ] используется свой интерполяционный многочлен степени m
(m < n), коэффициенты которого определяются из условий совпадения значений
13
этого многочлена в узловых точках со значениями функции f (x) и некоторых
других условий.
Сплайном порядка m S m (x) называют функцию f (x) , которая является полиномом степени m на каждом из отрезков [ xi ; xi 1 ] , i  0,1,..., n  1 :
S m ( x)  Pm ( x)  ai 0  ai1 x  ...  aim x m , x  [ xi ; xi 1 ].
(17)
и во всех внутренних точках удовлетворяет условиям непрерывности функции и
производных до порядка m-1 включительно:
(k )
(k )
(18)
Pm,i ( xi )  Pm,i 1( xi ), k  0,1,...,m  1.
где верхний индекс k означает порядок производной.
Широкое распространение сплайнов вызвано тем, что они являются в определенном смысле наиболее гладкими функциями среди функций, принимающих
заданные значения в узлах интерполяции.
Простейшим случаем сплайн-интерполяции является кусочно-линейная интерполяция, когда соседние узлы соединяются многочленами нулевой степени,
то есть прямыми. А этом случае аппроксимирующей функцией является ломаная. Наиболее распространенным в вычислительной математике случаем является сплайн-интерполяция многочленами третьей степени (кубическими
3
сплайнами). Кубический сплайн S 3 ( x ) имеет вид: S 3 ( x)  ai 0  ai1 x  ai 2 x  ai 3 x ,
где коэффициенты кубического многочлена будут различными для каждого интервала [ xi ; xi 1 ] . Так как на общем интервале [ x0 ; x n ] всего n интервалов
[ xi ; xi 1 ] , то общее количество неизвестных коэффициентов у многочленов
равно 4n. Для определения 4n неизвестных могут быть написаны 2n уравнений,
выражающих условия прохождения функции S 3 ( x ) через заданные точки
S 3 ( xi )  y i , S 3 ( xi 1 )  y i 1 и 2n-2 уравнений вида (18), выражающих условия
непрерывности первых и вторых производных в узлах интерполяции. Два недостающих соотношения обычно задаются на концах интервала при х = х0, х = хn и
выражают условия закрепления концов сплайна. В частности, при свободном
закреплении концов полагают, что S 3// ( x 0 )  0, S 3// ( x n )  0. Получаемая функция
является самой гладкой среди всех интерполяционных функций данного класса.
К недостаткам интерполирования сплайнами можно отнести сложность добавления новых узлов интерполяции, т. к. в этом случае приходится заново пересчитывать всю систему коэффициентов. Кроме того, имея интерполяционный сплайн
принципиально невозможно получить значения f (x) вне отрезка [a; b].
5. РАВНОМЕРНЫЕ МНОГОЧЛЕННЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Очень часто на компьютере приходится вычислять значения разнообразных
функций, например sin x, ln x, e x или других специальных, которые используются в различных областях науки и техники. Задача программиста – составить
14
такие алгоритмы, которые бы за малое количество шагов вычисляли бы значение функции с максимальной точностью.
Рассмотрим некоторые способы вычисления значений некоторых элементарных функций:
1. Использование специальных таблиц, алгоритмов, пакетов прикладных
программ. Вычисление значений функции таким методом имеет ряд недостатков: во-первых, некоторые таблицы содержат вычисленные значения функций с
заданным шагом; во-вторых, поиск нужного значения функции может потребовать выполнения большого количества операций.
2. Использование степенных рядов (Тейлора, Маклорена):
f / (a)
f //
f (n)
2
f ( x)  f ( a ) 
( x  a) 
( x  a)   
( x  a) n  Rn ,
1!
2!
n!
где x = a базовая точка, относительно которой ищется разложение.
Недостатки:
1. Необходимо знать значение функции и всех ее производных в точке а;
2. При достаточно больших х для улучшения сходимости требуется брать
очень много членов ряда.
3. Использование многочленов Чебышева.
Многочлены Чебышева Tn (x) степени n определяются формулой:
Tn ( x) 
n
n
1 


 
2
2
 x  x  1    x  x  1  ,  1  x  1, n  0,1,2
2 


 
3
в частности: T0 ( x)  1; T1 ( x)  x; T2 ( x)  2  x 2  1; T3 ( x)  4  x  3  x;
T4 ( x)  8  x 4  8  x 2  1; T5 ( x)  16  x5  20  x3  5  x.
Свойства многочленов Чебышева:
1) коэффициенты всех многочленов – целые числа;
2) для вычисления многочленов можно пользоваться рекуррентным соотношением: Tn1 ( x)  2  x  Tn ( x)  Tn1 ( x), n  1, 2, 3, ... ;
n 1
3) коэффициент при старшем члене можно определять по формуле: an  2 ;
4) многочлены могут быть выражены через элементарные тригонометрические функции: Tn ( x)  cos( n  arccos x), n  0, 1, 2, ...;
2k  1
, k =
5) нули многочленов Чебышева определяются по формуле x k  cos
2n
= 0, 1, 2, …, n. Они расположены неравномерно на отрезке [-1; 1], сгущаясь к концам;
6) точки экстремума многочленов Чебышева Tn (x ) определяются соотноше k 
ниями: xk  cos , k  1, 2, ..., n  1. , причем | Tn ( x) | 1 x. и в точках мак n 
симума Tn ( x)  1 , а в точках минимума Tn ( x)  1.
С помощью многочленов Чебышева можно получить наилучшие степенные
разложения.
15
2
m
Пусть f ( x)  b0  b1 x  b2 x    bm x  разложение функции f(x) в ряд
Тейлора и f ( x)  c0  c1T1 ( x)  c2T2 ( x)    cmTm ( x)  разложение этой же
функции в ряд по многочленам Чебышева. Необходимо ряд Тейлора с помощью
специальных приемов свернуть в более короткий ряд, используя чебышевские
многочлены.
Пример. Получить разложение функции f ( x)  ln( 1  x). в виде квадратного многочлена. Составим степенной ряд Тейлора для данной функции
x 2 x3 x 4 x5
f ( x)  ln( 1  x)  x 



 R6
2
3
4
5
Так как это знакопеременный ряд, то погрешность остатка меньше первого
x6 1
 , 0  x  1.
отброшенного члена: | R6 |
6 6
Члены x k заменим с помощью многочленов Чебышева:
1
1
1  T0 ( x); x  T1 ( x); x 2  (T0 ( x)  T2 ( x)); x 3  (3T1 ( x)  T3 ( x));
2
4
1
1
x 4  (3T0 ( x)  4T2 ( x)  T4 ( x)); x 5  (10T1 ( x)  5T3 ( x)  T5 ( x)).
16
8
Подставляя эти формулы в разложение Тейлора, получим:
1
1
1
f ( x)  T1 ( x)  (T0 ( x)  T2 ( x))  (3T1 ( x)  T3 ( x))  (3T0 ( x)  4T2 ( x)  T4 ( x)) 
4
12
32
1
10T1( x)  5T3 ( x)  T5 ( x)   11 T0 ( x)  11 T1( x)  3 T2 ( x)  7 T3 ( x)  321 T4 ( x)  1 T5 ( x) 
80
32
8
8
48
80
1 11
3
  x  x 2 , x  [0;1].
32 8
4
Последнее разложение дает меньшую погрешность, которая будет равномерно распределена.
Таким образом, при более высокой точности степень многочлена оказывается в два раза ниже, поэтому при использовании многочленов Чебышева объем
вычислительной работы значительно уменьшается.
6. СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Пусть дано множество точек ( xi ; yi ), i  0, 1, 2 , , n. Требуется построить
многочлен φ(х), который бы приближал функцию f (x) в среднем, т. е. лежал бы
в некоторой малой окрестности данных точек, не обязательно проходя через
каждую из них. Для этого используют метод наименьших квадратов: наилучшим многочленом среднеквадратического приближения является тот многочлен
n
φ(х), для которого величина S   ( f ( xi )   ( xi )) 2 имеет наименьшее значение,
i 0
где f ( xi )  y i ,  ( x) – искомый многочлен, вид которого определяется гипоте16
тически, исходя из расположения точек ( xi ; yi ), i  0, 1, 2, , n на координатной плоскости.
Задача поиска функции φ(х) сводится к задаче выбора ее вида и нахождению
минимума функции S. Для этого:
1) теоретически или гипотетически определить вид функции φ(х);
2) составить функцию S;
3) найти частные производные функции S, по каждому из неизвестных параметров;
4) приравнять полученные производные к 0 и, решая полученную систему,
относительно неизвестных параметров, найти их оценки;
5) составить функцию φ(х) и построить ее на том же чертеже, что и множество точек. Функция должна находиться в малой окрестности точек. Она является наилучшим среднеквадратическим приближением для заданного таблично
множества точек.
Среднеквадратическим отклонением называется числовое значение величины S, найденное при вычисленных значениях параметров. Чем меньше среднеквадратическое отклонение, тем лучше найденная функция приближает табличную.
Рассмотрим частный случаи построения функции φ(х).
Пусть (x) − прямая, тогда φ(х) = ax + b. То есть по данному множеству точек
требуется найти прямую, которая бы лежала в их малой окрестности. Для этого:
n
1. Составим функцию S: S   ( yi  axi  b) 2 .
i 0
2. Найдем частные производные этой функции по каждому из неизвестных
параметров и приравняем их к нулю:
n
n
S
S
 2  ( yi  axi  b)  0 ;
 2  ( yi  axi  b) xi  0 ;
b
a
i 0
i 0
n
n
Упростим полученные выражения:  ( yi  axi  b) xi  0 ;  ( yi  axi  b)  0 .
i 0
i 0
Раскрывая скобки, составим систему уравнений и решим ее относительно неизвестных параметров a, b:
n 2
n
 n
  yi xi  a  xi  b  xi  0;
i  0
i 0
i 0

n
 n
y

a
xi  bn  0.


i

i 0
i  0
n
n
y
a
 i
 xi
Из второго уравнения выразим b и подставим в первое: b  i  0  i  0 ;
n
n
17
2
n
n
 n 
 yi  xi a  xi 
n
n 2
 i  0   0.
 yi xi  a  xi  i  0 i  0 
n
n
i 0
i 0
n
n
n
 xi  yi  n  yi xi
i

i 0
Выражая параметр a, получим: a  0 i  0
.
2
n
n


  xi   n  xi 2


i 0
 i 0 
Подставляя полученное выражение в формулу для вычисления параметра b, имеем:
 n
n
n  n
n
n
n
n
n

 yi
 xi   xi  yi  n  yi xi   xi  yi xi   yi  xi 2
i 0
i 0 i 0 .
  i 0 i 0
b  i 0  i 0  i 0 i 0

2
n
n   n 2
n 2 
n 2
 n 
 



x

n
x
x

n
xi




i
i 
i
 

i 0
i 0
 i 0 
  i 0 

18
7. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
ГРУППА А
1. Сформулируйте цель задачи о приближении функций.
2. Что называется аппроксимацией функций? В каких случаях она необходима?
3. Какие типы аппроксимации вам известны? Дайте определение каждому
из них.
4. Что называют интерполяцией? Перечислите ее преимущества и недостатки.
5. Чем глобальная интерполяция отличается от локальной? В каких случаях
предпочтительна каждая из них?
6. Чем отличаются интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона?
7. Как с помощью интерполяционного многочлена вычислить значение
функции в точке, не являющейся узлом интерполирования.
8. В каких случаях интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона
совпадают? Почему?
9. Что такое сплайн? Перечислите преимущества интерполирования сплайнами.
10. Почему сплайн-интерполяция многочленами третьей степени наиболее
распространена?
11. Для чего используются равномерные многочленные приближения?
12. Чем разложение функции в ряд по многочленам Чебышева превосходит
разложение той же функции в ряд Тейлора?
13. В чем заключается критерий близости двух функций при среднеквадратическом приближении?
ГРУППА Б
1. Составьте алгоритм аппроксимации заданной функции f (x) тригонометрическими многочленами.
2. Напишите формулу интерполяционного многочлена L4 ( x) .
3. Напишите формулу интерполяционного многочлена N 4 ( x) .
4. Напишите разложение функции в ряд по многочленам Чебышева: а)
f ( x)  e x ; б) f ( x)  sin( x); в) f ( x)  cos(x).
5. Выведите формулы для нахождения неизвестных параметров среднеквадратического приближения для функций вида:
b
6. а)  ( x)  ax 2  b; б)  ( x)  ax 3  bx; в)  ( x)  a  .
x
Примечание: вопросы группы А имеют средний уровень сложности, вопросы группы Б повышенного уровня сложности.
19
8. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Пусть функция задана таблично:
х
у
0
2
0.3
2.5
0.7
2.9
Требуется:
 построить линейный интерполяционный многочлен Лагранжа на отрезке
[0.3; 0.7];
 построить квадратичный интерполяционный многочлен Лагранжа на отрезке [0; 0.7].
 все результаты изобразить графически.
2. Пусть функция задана таблично:
х
-0.2
0.1
0.5
у
2.1
3.2
4.6
Требуется:
 с помощью линейной интерполяции найти y(0);
 с помощью квадратичной интерполяции найти y(0.2).
3. Пусть функция задана таблично:
х
0
0.3
0.6
у
1
1.5
2.8
Требуется с помощью линейной интерполяции найти y(0.5), предварительно построив интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона. Сравнить результаты.
4. Пусть функция задана таблично:
Х
0
0.2
0.4
у
0
0.3
0.7
Требуется с помощью квадратичной интерполяции найти y(0.1), предварительно построив интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона. Сравнить результаты.
5. Пусть функция задана таблично:
Х
-2
-1
0
1
у
1.1
2.1
3.2
3.9
Требуется построить интерполяционные многочлены L3 ( x), N3 ( x) .
Сравнить результаты.
6. Построить интерполяционный многочлен для функции ƒ(х) = | х | по узлам
–1; 0; 1.
7. Построить многочлен Р 3  x   a 0  a1 x  a 2 x 2  a 3 x 3 , удовлетворяющий
условиям: P3  1  0, P3 1  1, P3 2  2, a 3  1.
8. Построить многочлен P4 ( x )  a 0  a1 x  a 2 x 2  a 3 x 3  a 4 x 4 , удовлетво/
//
ряющий условиям: P4 (1)  P4 (1)  P4 (0)  P4 (0)  0, P4 (0)  1.
9. Найти наилучшее среднеквадратическое приближение для таблично заданной функции:
Х
1
2
3
5
у
2
5
7
9
20
2
Если а)  ( x)  ax  b; б)  ( x)  ax  b используя формулы и опытным путем.
Сравнить результаты и изобразить их графически.
10. Найти среднеквадратическое отклонение для таблично заданной функции
Х
4
6
7
9
у
3
5
8
11
2
Если а)  ( x)  ax  b; б)  ( x)  ax  bx .
21
9. ЗАДАНИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №2
«АППРОКСИМАЦИЯ И ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ»
1. Для функции, заданной приложением 2, рассмотреть 11 узлов интерполяции, построенных на отрезке [-π; π] с постоянным шагом, т. е.
2
xi 1  xi  h, i  0, ,9, x0   , h 
.
10
Выписать полученный массив:
Вычислить значения функции в узлах интерполяции и выписать полученный
массив значений. Например, если y(x) = cos(x), то
2. Построить полученные точки (xi; yi), i = 0, …, 10 на чертеже, соединив их
ломаной линией. Для этого использовать из меню Insert команду Graph. Для получения двумерной графики
в декартовой системе координат используется команда
X-Y Plot. При обычном способе построения графиков
необходимо ввести саму
функцию слева, ее аргумент
внизу и интервалы их изменения. Для построения гра22
фиков ряда функций на одном чертеже перечислить их и в месте ввода шаблона
по оси y разделить запятой.
3. Для полученной табличной
функции найти наилучшее среднеквадратическое приближение
вида: а) y = ax + b; б) y = ax2 + b.
Для этого предварительно вычислить коэффициенты. Построить
функцию из приложения 2 и полученные аппроксимации на одном чертеже.
Вычислить среднеквадратическое отклонение и определить, какая из полученных функций лучше приближает табличную.
4. Для функции, заданной приложением 2, построить интерполяционный
многочлен и изобразить на одном чертеже с графиком функции. Для этого использовать из группы
функций
Interpolation
and Prediction функцию
interp, зависящую от одной переменной, которая указывается четвертой в списке параметров
функции. Первые три
параметра
соответственно
определяют
функцию, определяющую локальную интерполяцию на каждом из отрезков интерполяции, например linterp(x,y(x)), массив узлов интерполяции и значение
интерполируемой функции в этих узлах. Сделать вывод о совпадении графика
функции и построенного интерполяционного многочлена.
5. Выяснить, как меняется график интерполяционного многочлена при изменении количества узлов. Для этого построить интерполяционный многочлен с
исключенными узлами интерполирования (последовательно убрать первый, серединный и последний узлы). Изобразить интерполяционный многочлен и полученные многочлены с исключенными узлами на одном чертеже. Сделать вывод о
совпадении графиков интерполяционных многочленов.
23
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
АППРОКСИМИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
y  cos(2 x)  0.7 x
y  cos(x)  sin( 2 x)  x
16
y  3 sin( 0.5x)  0.2 x
y  sin( x)  cos(x)  2 x
17
y  cos(x)  sin( x)  2 x
y  sin( x)  2 cos(x)  1.7 x
18
y  cos(2 x)  sin( x)  0.4 x
y  cos(3x)  1.5 sin( x)  0.7 x
19
y  cos(x)  sin( 2 x)  2.6 x
y  cos(2 x)  1.7 sin( 2 x)  x
20
y  cos(3x)  sin( x)  0.9 x
y  sin( 2 x)  cos(4 x)  0.6 x
21
y  cos(x)  sin(5x)  4.9 x
y  sin( 4 x)  cos(x)  0.3x
22
y  cos(2 x)  sin(1.5x)  4 x
y  cos(2 x)  sin( 3x)  0.2 x
23
y  cos(x)  sin( 2 x)  x
y  cos(x)  2 sin( 4 x)  0.5 x
24
y  cos(3x)  x
y  cos(2 x)  0.2 x
25
y  sin( x)  cos(4 x)  2 x
y  cos(3x)  2 x
26
y  sin( 2 x)  cos(x)  1.3x
y  sin( 2 x)  cos(0.5x)  0.3x
27
y  sin( x)  cos(2 x)  x
y  cos(x)  sin(12 x)  0.5x
28
y  cos(0.45 x)  x
y  cos(5 x)  sin( 2 x)  0.9 x
29
y  sin( 2 x)  2 x
y  sin( x)  cos(2 x)  2 x
30
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ОСНОВНЫХ ТИПОВ ЗАДАЧ
1. Построение интерполяционного многочлена для функции, заданной таблично:
1) выбрать формулу интерполяционного многочлена:
(8) – для построения линейного интерполяционного многочлена Лагранжа;
(9) – для построения квадратичного интерполяционного многочлена Лагранжа;
(14) – для построения линейного интерполяционного многочлена Ньютона;
(15) – для построения квадратичного интерполяционного многочлена Ньютона;
2) выбрать узлы интерполяции: в случае линейной интерполяции – 2 узла; в
случае квадратичной интерполяции 3 узла; в случае многочлена третьей степени – 3 узла и определить значение функции в этих узлах;
3) определить шаг интерполяции по формуле (?);
4) подставить обозначенные значения в формулу, выбранную в п. 1;
5) упростить полученное выражение;
6) построить полученный многочлен и точки из таблицы значений на одном
чертеже. Интерполяционный многочлен построен верно, если он проходит через все узлы интерполяции.
2. Вычисление значения функции в точке x0 с помощью линейной интерполяции:
1) по заданному значению x0 определить узловые точки xi ; xi + 1 для которых
x0 ` [xi ; xi + 1];
24
2) построить линейный интерполяционный многочлен Лагранжа L1 ( x) по
формуле (8) или Ньютона N1 ( x) по формуле (14);
3) вычислить L1 ( x 0 ) или N1 ( x0 ) .
3. Вычисление значения функции в точке x0 с помощью квадратичной интерполяции:
1) по заданному значению x0 определить узловые точки xi ; xi 1 ; xi 2 для которых x0 ` [xi ; xi + 2];
2) построить квадратичный интерполяционный многочлен Лагранжа L2 ( x)
по формуле (9) в случае произвольных узлов или Ньютона N 2 ( x) по формуле
(15) в случае равноотстоящих узлов;
3) вычислить L2 ( x0 ) или N 2 ( x 0 ).
4. Построение наилучшего среднеквадратического приближения по таблично заданной функции:
1) построить данные точки на координатной плоскости;
2) по расположению точек определить вид аппроксимируемой функции;
3) составить функцию S по формуле;
4) найти частные производные функции S по каждому из неизвестных параметров;
5) приравнять полученные выражения к 0;
6) упростить их и решить полученную систему уравнений;
7) полученные оценки коэффициентов подставить в аппроксимируемую
функцию;
8) построить полученную функцию на одном чертеже с данными точками.
Среднеквадратическое приближение найдено верно, если построенная функция
лежит в некоторой малой окрестности данных точек.
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
1.
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ПО ТЕМЕ: АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
Интерполяционный многочлен Лагранжа степени n:

n
x xj

n
j 0, j  k
Ln  x    yk
n
k 0
 xk  x j
j 0, j  k

2.


Линейный интерполяционный многочлен Лагранжа:
L1 ( x)  y0
x  x1   y x  x0 
x0  x1  1 x1  x0 
Квадратичный интерполяционный многочлен Лагранжа:
x  x1 x  x0 
x  x0 x  x 2 
x  x1 x  x 2 
L2 ( x )  y 0
 y1
 y2
x0  x1 x0  x 2 
x1  x0 x1  x 2 
x 2  x1 x 2  x0 
3.
25
4.
Конечные разности первого порядка:
y0  y1  y0 ;

y1  y2  y1;

.......... .......... ..
yn 1  yn  yn 1.
5.
Конечные разности второго порядка:
2 y0  y1  y0 ;

2 y1  y2  y1;

.......... .......... .......
 2
 yn 1  yn  yn 1.
6.
7.
k 1
k 1
Конечные разности порядка k:  yi   yi 1  
Интерполяционный многочлен Ньютона степени n:
k
yi .
y0
2 y0
n y0
N n ( x)  y0 
( x  x0 ) 
( x  x0 )( x  x1)  ... 
( x  x0 )( x  x1)...(x  xn )
h
2!h 2
n!h n
8.
Линейный интерполяционный многочлен Ньютона:
N1( x)  y0 
9.
y1  y0
( x  x0 )
h
Квадратичный интерполяционный многочлен Ньютона:
N 2 ( x )  y0 
y0
2 y0
( x  x0 ) 
( x  x0 )( x  x1) 
2
h
2!h
y  y0
y  2 y1  y0
 y0  1
( x  x0 )  2
( x  x0 )( x  x1).
h
2!h 2
10. Многочлены Чебышева:

 

n
n
1
Tn ( x)   x  x 2  1  x  x 2  1 ,  1  x  1, n  0, 1, 2
2

n
11. Среднеквадратическое отклонение: S   ( f ( xi )   ( xi )) 2
i 0
12. Вычисление коэффициентов среднеквадратического приближения в
случае линейной аппроксимирующей функции:
n
n
n
n
n
n
n
 xi  y i xi   y i  xi 2
 xi  y i  n  y i xi
i 0 i 0 .
i 0
a  i 0 i 0
. b  i 0 i 0
2
2
n
n
 n 
 n 
  xi   n  xi 2
  xi   n  xi 2




i 0
i 0
i 0 
i 0 
26
ЛИТЕРАТУРА
1. Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э. З. Шувалова. Численные методы анализа. − М.:
Наука. 1987.
2. Б. П. Демидович, И. А. Марон. Основы вычислительной математики. − М.: Наука. 1988 .
27