УМК бак_ЧМ

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук и информационных технологий
Кафедра программного обеспечения
ГАВРИЛОВА Н.М.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов очной формы обучения,
направления 010100.62 «Математика», профили подготовки:
«Вычислительная математика и информатика»,
«Вещественный, комплексный и функциональный анализ»,
«Алгебра, теория чисел, математическая логика»,
«Дифференциальные уравнения, динамические системы,
оптимальное управление»
Тюменский государственный университет
2011
Гаврилова Н.М. Численные методы. Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов очной формы обучения, направления
010100.62
«Математика»,
профили
подготовки:
«Вычислительная
математика
и
информатика»,
«Вещественный,
комплексный
и
функциональный анализ», «Алгебра, теория чисел, математическая логика»,
«Дифференциальные уравнения, динамические системы, оптимальное
управление». Тюмень. 2011, 20 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС
ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю
подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ:
Численные
методы
[электронный
ресурс]
/
Режим
доступа:
http://www.umk3.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой программного обеспечения.
Утверждено проректором по учебной работе Тюменского государственного
университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Захарова И.Г., д.п.н., профессор.
© Тюменский государственный университет, 2011.
© Гаврилова Н.М., 2011.
2
1. Пояснительная записка:
1.1.Цели и задачи дисциплины.
Целью преподавания дисциплины «Численные методы» является изучение
теоретических основ численных методов, основных приемов и методик разработки и
применение на практике методов решения на ЭВМ задач вычислительной математики с
использованием современных языков программирования.
Лабораторные занятия должны включать рассмотрение конкретных приемов по
построению численных методов и сопровождаться практикумом на ЭВМ (где студенты
обязаны решить определенное количество задач на ЭВМ, используя известные методы).
В результате выпускник должен уметь решать на ЭВМ определенный набор задач с
использованием изученных методов и понимать, какие численные методы лежат в основе
программ широко используемых пакетов (например, MATLAB, MATHCAD, MAPLE и
т.пр.)
Задачи дисциплины:
 обучить студентов основным методам решения задач вычислительной
математики;
 привить студентам устойчивые навыки математического моделирования с
использованием ЭВМ;
 дать опыт проведения вычислительных экспериментов.
1.2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата.
Дисциплина Численные методы входит в базовую часть цикла естественно-научных
дисциплин Федерального государственного образовательного стандарта высшего
профессионального образования (ФГОС ВПО) по направлению «Математическое
обеспечение и администрирование информационных систем». Для изучения и освоения
дисциплины нужны первоначальные знания из курсов математического анализа, линейной
алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений математической
физики. Знания и умения, практические навыки, приобретенные студентами в результате
изучения дисциплины, будут использоваться при изучении курсов математического
моделирования, вычислительного практикума, при выполнении курсовых и дипломных
работ, связанных с математическим моделированием и обработкой наборов данных,
решением конкретных задач из механики, физики и т.п.
1.3. Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в результате
освоения данной ООП ВПО.
В результате изучения дисциплины “Численные методы” цикла естественнонаучных дисциплин базовой части по направлению подготовки 010100.62 “Математика” с
3
квалификацией (степенью) “бакалавр” в соответствии с целями основной образовательной
программы и задачами профессиональной деятельности, указанными в ФГОС ВПО,
выпускник должен обладать следующими компетенциями:












Общекультурными компетенциями:
Демонстрировать исследовательские навыки (ОК-6);
Демонстрировать фундаментальную подготовку по основам профессиональных
знаний (ОК-10);
Владение основными методами, способами и средствами получения, хранения,
переработки информации, имеет навыки работы с компьютером как средством
управления информацией (ОК 12);
Демонстрировать базовые знания в различных областях (ОК 13).
Профессиональными компетенциями:
Демонстрировать определение общих форм, закономерностей, инструментальных
средств для данной дисциплины (ПК 1);
Самостоятельное построение алгоритма и его анализ (ПК-11);
Знание математических основ информатики как науки (ПК-19);
Знание содержания, основных этапов и тенденции развития программирования,
математического обеспечения и информационных технологий (ПК-21);
Знание принципов обеспечения условий безопасности жизнедеятельности при
эксплуатации аппаратуры и систем различного назначения (ПК 22);
Знание проблемы и направления развития технологий программирования (ПК 23);
Знание направления развития компьютеров с традиционной (нетрадиционной)
архитектурой; тенденции развития архитектур проблемно-ориентированных
программных систем и комплексов (ПК 25);
Знание проблем и тенденций развития рынка программного обеспечения (ПК 26).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

Знать: основные численные методы и алгоритмы решения математических задач из
разделов: элементы теории погрешностей, приближение функций и их производных,
численное дифференцирование и интегрирование функций, численные методы
решения систем линейных алгебраических уравнений, вычисление собственных
значений и собственных векторов матриц, методы решения нелинейных уравнений и
систем нелинейных уравнений, численные методы решения задачи Коши для
обыкновенных дифференциальных уравнений, методы решения краевых задач для
обыкновенных дифференциальных уравнений, методы решения краевых задач для уравнений
в частных производных

Уметь: разрабатывать численные методы и алгоритмы, реализовывать эти алгоритмы
на языке программирования высокого уровня; Уметь: использовать основные понятия
и методы вычислительной математики, практически решать типичные задачи
вычислительной математики, требующие выполнения небольшого объема
вычислений; решать достаточно сложные в вычислительном отношении задачи,
требующих программирования их и численной реализации на ЭВМ.
4

Владеть: методами и технологиями разработки численных методов для задач из
указанных разделов.
2.
Структура и трудоемкость дисциплины.
Таблица 1.
Вид учебной работы
Всего
часов
144
72
72
108
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа (всего)
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)
Общая трудоемкость 252 час., 7 зач. ед.
3.
Семестры
7
72
72
36
36
36
36
54
54
зачет
экзамен
6
Тематический план.
Таблица 2.
Тематический план
Модуль 1
1. Погрешность результата
численного решения задачи
2. Задачи линейной алгебры.
Прямые и итерационные
методы решения систем
линейных алгебраических
уравнений.
Всего
Модуль 2
1. Проблема собственных
значений. Вычисление
Итого
количе
ство
баллов
8
9
Самостоятельн
ая работа*
2
Из них
в
интера
ктивно
й
форме
Лабораторные
занятия*
1
Итого
часов по
теме
Лекции*
Тема
Виды учебной
работы и
самостоятельная
работа, в час.
недели семестра
№
3
4
5
6
7
1
2
2
6
8
2-5
8
8
10
26
10
0-20
10
10
16
34
10
0-30
6
6
8
14
5
0-10
6-7
5
0-10
2.
1.
2.
3.
1.
2.
1.
2.
1.
2.
3.
собственных значений и
собственных векторов матрицы
Методы решения нелинейных
уравнений и систем
нелинейных уравнений
Всего
Модуль 3
Приближение функций и их
производных.
Численное дифференцирование
Численное интегрирование
Всего
Итого (часов, баллов) за
семестр:
Из них в интерактивной форме
Модуль 4
Численные методы решения
задачи Коши для
обыкновенных
дифференциальных уравнений
Численные методы решения
краевых задач для
обыкновенных
дифференциальных уравнений
Всего
Модуль 5
Элементы теории разностных
схем.
Спектральный признак
устойчивости разностных схем
Всего
Модуль 6
Разностные схемы для
уравнений параболического
типа
Разностные схемы для
уравнений эллиптического типа
Разностные схемы для решения
уравнений гиперболического
типа
Всего
Итого (часов, баллов) за
8-10
6
6
10
22
8
0-20
12
12
18
36
13
0-30
11-13
8
8
8
18
6
0-20
14-15
16-18
2
4
14
36
2
4
14
36
6
6
20
54
8
12
38
126
3
4
13
0-10
0-10
0-40
0–
100
36
1-3
6
6
6
24
6
15
4-6
4
4
4
16
4
15
10
10
10
40
10
30
7-8
6
6
6
12
15
9-10
4
4
4
12
15
10
10
10
40
30
11-13
5
5
12
10
5
15
14-15
5
5
10
10
5
10
16-18
6
6
12
12
6
15
16
36
16
36
34
54
64
126
16
40
0–
6
семестр:
Итого в интерактивной форме
Итого часов
100
72
72
108
252
26
62
Таблица 3.
Т1
Т2
Всего
0-2
0-60-8
0-6
0-6
Т1
Т2
Всего
0-4
0-4
0-8
0-3
0-3
0-6
Т1
Т2
Т3
Всего
Итого за 6
семестр
0-6
0-4
0-4
0-14
0-30
0-4
0-2
0-2
0-8
20
Т1
Т2
Всего
0-5
0-50-10
0-4
0-4
0-8
Т1
Т2
Всего
0-5
0-5
0-10
0-4
0-4
0-8
Модуль 1
0-4
0-40-8
Модуль 2
0-4
0-4
0-8
Модуль 3
0-6
0-2
0-2
0-12
28
Модуль 4
0-3
0-30-6
Модуль 5
0-3
0-3
0-6
Модуль 6
7
Информационные
системы и
технологии
электронные
практикум
Технические
формы контроля
программы
компьютерного
тестирования
контрольная
работа
Письменные работы
лабораторная
работа
№ темы
Итого количество баллов
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
0-4
0-4
0-8
0-10
0-20
0-30
0-4
0-4
0-8
0-15
0-15
0-30
0-4
0-2
0-2
0-6
22
0-20
0-10
0-10
40
0 – 100
0-3
0-3
0-6
0-15
0-15
0-30
0-3
0-3
0-6
0-15
0-15
0-30
Т1
Т2
Т3
Всего
Итого за 7
семестр
0-5
0-3
0-5
0-13
0-33
0-4
0-3
0-4
0-11
27
0-3
0-2
0-3
0-8
20
0-3
0-2
0-3
0-8
20
0-15
0-10
0-15
40
0 – 100
Таблица 4.
Планирование самостоятельной работы студентов
№
Модули и
темы
Модуль 1
1.1 Т1.
Погрешнос
ть
результата
численного
решения
задачи
1.2 Т2.Задачи
линейной
алгебры.
Виды СРС
обязательные
Конспектирование материала на
лекционных занятиях
Выполнение заданий лабораторных
работ. Выполнение тестовых и
контрольных работ
Конспектирование материала на
лекционных занятиях
Выполнение заданий лабораторных
работ
Выполнение тестовых и
контрольных работ
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1 Т1. Проблема
Конспектирование материала
собственных
на лекционных занятиях
значений.
Выполнение заданий
лабораторных работ
Выполнение тестовых и
контрольных работ
2.2
Т2. Методы
решения
нелинейных
уравнений и
систем
Конспектирование материала
на лекционных занятиях
Выполнение заданий
лабораторных работ
Выполнение тестовых и
8
дополнител
ьные
Неде
ля
семес
тра
Объ
ем
часо
в
Кол
-во
бал
лов
1
6
0-10
2-5
10
0-20
Работа с
учебной
литературой
Написание
программы
16
0-30
6-7
8
0-10
8-10
10
0-20
Работа с
учебной
литературой
Работа с
учебной
литературой
нелинейных
контрольных работ
уравнений
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1 Т1.
Конспектирование материала
Приближение
на лекционных занятиях
функций и их
Выполнение заданий
производных.
лабораторных работ
Выполнение тестовых и
контрольных работ
3.2
3.3
Т2. Численное
дифференциро
вание
Конспектирование материала
на лекционных занятиях
Выполнение заданий
лабораторных работ
Выполнение тестовых и
контрольных работ
Т3. Численное
интегрировани
е
Конспектирование материала
на лекционных занятиях
Выполнение заданий
лабораторных работ
Выполнение тестовых и
контрольных работ
18
11-13
8
0-20
14-15
6
0-10
16-18
6
0-10
20
54
0-40
0100
1-3
6
15
4-6
4
15
Работа с
учебной
литературой
Работа с
учебной
литературой
Работа с
учебной
литературой
Всего по модулю 3:
ИТОГО за 6 семестр:
Модуль 4
4.1 Т1.
Численные
методы
решения
задачи
Коши для
обыкновен
ных
дифференц
иальных
уравнений
4.2 Т2.
Численные
методы
решения
Конспектирование материала на
лекционных занятиях
Выполнение заданий лабораторных
работ. Выполнение тестовых и
контрольных работ
Работа с
учебной
литератур
ой
Конспектирование материала на
лекционных занятиях
Выполнение заданий лабораторных
работ
Написани
е
программ
ы
9
0-30
краевых
Выполнение тестовых и контрольных
задач для
работ
обыкновен
ных
дифференц
иальных
уравнений
Всего по модулю 4:
10
30
Модуль 5
5.1
5.2
Т1. Элементы
теории
разностных
схем
Конспектирование материала на
лекционных занятиях
Выполнение заданий
лабораторных работ
Выполнение тестовых и
контрольных работ
Т2.
Спектральный
признак
устойчивости
разностных
схем
Конспектирование материала на
лекционных занятиях
Выполнение заданий
лабораторных работ
Выполнение тестовых и
контрольных работ
Всего по модулю 5:
Модуль 6
6.1 Т1. Разностные
Конспектирование материала на
схемы для
лекционных занятиях
уравнений
Выполнение заданий
параболическог
лабораторных работ
о типа
Выполнение тестовых и
контрольных работ
6.2
6.3
Т2. Разностные
схемы для
уравнений
эллиптического
типа
Т3. Разностные
схемы для
решения
уравнений
гиперболическ
ого типа
6
15
9-10
4
15
Работа с
учебной
литератур
ой
Работа с
учебной
литератур
ой
10
30
11-13
12
10
14-15
10
10
16-18
12
20
Работа с
учебной
литератур
ой
Конспектирование материала на
лекционных занятиях
Выполнение заданий
лабораторных работ
Выполнение тестовых и
контрольных работ
Работа с
учебной
литератур
ой
Конспектирование материала на
лекционных занятиях
Выполнение заданий
лабораторных работ
Выполнение тестовых и
Работа с
учебной
литератур
ой
10
7-8
контрольных работ
Всего по модулю 6:
ИТОГО за 7 семестр:
ИТОГО:
34
54
108
40
100
4.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих)
дисциплин
№
Наименование
п/
обеспечиваемых 1.1 1.2 2.1 2.2 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 5.1 5.2 6.1 6.2 6.3
п
(последующих)
дисциплин
Планирование
1.
+
+
+
+
+
+
+
+
2.
3
эксперимента и
обработка
экспериментальны
х данных
Компьютерная
графика
Алгоритмы и
технологии
параллельного
программировани
я
+
+
4
Имитационное
моделирование
+
+
+
5
Методы
оптимизации
+
+
+
5.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Содержание дисциплины.
Модуль 1.
Тема 1.1. Погрешность результата численного решения задачи.
Источники и классификация погрешностей. Абсолютная и относительная погрешности.
Формы записи данных. Вычислительная погрешность. Погрешность функции.
Тема 1.2. Задачи линейной алгебры.
11
Методы последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса - схема
единственного деления). Метод оптимального исключения. Понятие числа
обусловленности матриц. Применения метода Гаусса для расчета определителя и
обратной матрицы. Метод пpостой итеpации. Достаточные условия сходимости процесса
итераций. Оценка погрешности приближений процесса итераций. Метод Зейделя. Случай
нормальной системы. Необходимое и достаточное условие сходимости процесса Зейделя.
Модуль 2.
Тема 2.1. Проблема собственных значений.
Вычисление собственных значений и собственных векторов по методу Крылова.
Нахождение наибольшего по модулю собственного значения матрицы и собственного
вектора.
Тема 2.2. Методы решения нелинейных уравнений и систем нелинейных
уравнений.
Метод бисекций. Метод хорд (метод секущих). Метод Ньютона (касательных).
Квадратичная сходимость метода Ньютона. Метод итераций. Сходимость и оценка
погрешности метода итераций. Метод Ньютона для системы двух уравнений.
Модифицированный метод Ньютона. Метод итераций для систем уравнений. Понятие о
сжимающем отображении. Достаточное условие сходимости процесса итераций
Модуль 3.
Тема 3.1. Приближение функций и их производных.
Постановка задачи интерполирования функций. Интерполяционная формула Лагранжа.
Оценка остаточного члена интерполяционного многочлена Лагранжа. Интерполяционная
схема Эйткена. Конечные разности различных порядков. Таблица разностей. Первая
интерполяционная схема Ньютона. Вторая интерполяционная схема Ньютона. Сплайнинтерполяция. Интерполирование на основе кубического сплайна. Построение полинома
наилучшего приближения к функции. Метод наименьших квадратов. Полиномы
Чебышева, ортогональные на равномерной сетке. Оптимальный выбор узлов расчетной
сетки.
Тема 3.2. Численное дифференцирование.
Численное дифференцирование на основе интерполяционного многочлена Лагранжа
(многочлена Ньютона). Метод неопределенных коэффициентов. Правило Рунге
практической оценки погрешности.
Тема 3.3. Численное интегрирование.
Простейшие
квадратурные
формулы
(формулы
левых,
правых,
средних
прямоугольников). Квадратурные формулы Ньютона-Котеса (формулы прямоугольников,
формула трапеций, формула Симпсона). Оценка погрешности квадратуры.
Модуль 4.
12
Тема
Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений
Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Разностная схема
задачи. Порядок аппроксимации разностной схемы. Метод Эйлера. Модификации метода Эйлера.
Метод Эйлера на полуцелой сетке. Метод Рунге-Кутта. Методы решения дифференциальных
уравнений высших порядков. О проблемах численной устойчивости.
4.1.
Тема 4.2. Численные методы решения краевых задач для обыкновенных
дифференциальных уравнений
Разностная схема линейной краевой задачи. Метод прогонки. Исследование устойчивости
прогонки. Метод стрельбы для решения краевой задачи. Приближенное решение краевых задач
для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Модуль 5.
Тема 5.1. Элементы теории разностных схем
Понятие аппроксимации, сходимости разностной схемы, определение устойчивости разностной
схемы. Теорема Лакса о сходимости решения разностной задачи. Каноническая запись разностной
схемы. Дифференциальное приближение разностной схемы
Тема 5.2. Спектральный признак устойчивости разностных схем.
Устойчивость как ограниченность норм степеней оператора перехода. Необходимый
спектральный признак устойчивости. Примеры применения спектрального признака для
исследования устойчивости разностных схем.
Модуль 6.
Тема 6.1. Разностные схемы для уравнений параболического типа
Постановка дифференциальной задачи. Переход к разностной схеме. Реализация разностных схем.
Разностные схемы для уравнений с постоянными коэффициентами: явная схема, неявная схема,
метод Кpанка-Николсона, схема Ричардсона, схема Дюфорта-Франкела, схема с весами.
Тема 6.2. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа
Постановка дифференциальной задачи. Переход к разностной схеме. Реализация разностных схем.
Пятиточечная схема. Девятиточечная схема. Метод последовательной веpхней pелаксации.
Тема 6.3. Разностные схемы для решения уравнений гиперболического типа
Постановка дифференциальной задачи. Переход к разностной схеме. Реализация разностных схем.
Разностные схемы для уравнения второго порядка: явная схема, неявная схема. Разностные схемы
для уравнения переноса: явные методы Эйлеpа, разности против потока, схема Лакса. Неявный
метод Эйлера. Метод с пеpешагиваним. Метод Лакса-Вендpоффа (одношаговый, двухшаговый).
Метод Мак-Коpмака. Центpиpованная по времени неявная схема.
6.
Планы семинарских занятий.
Не планируется.
7.
Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
13
Задания лабораторного практикума могут выполняться с использованием систем
программирования (например, MATLAB, MATHCAD, MAPLE и т.пр.).
Тема 1.1. Погрешность результата численного решения задачи. Решение прямой и обратной
задач теории погрешностей. Вычисление погрешности функций при заданной погрешности
аргументов. Определение допустимой погрешности аргументов при допустимой погрешности
функций
Тема 1.2. Задачи линейной алгебры Решение системы линейных уравнений методом Гаусса
(схема единственного деления). Расчет определителя матрицы и обратной матрицы при помощи
метода Гаусса. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса с выбором главного
элемента. Оценка числа обусловленности матриц. Решение системы линейных уравнений методом
простых итераций, Решение системы линейных уравнений методом Зейделя
Тема 2.1. Проблема собственных значений. Вычисление собственных значений и
собственных векторов степенным методом, методом скалярных произведений.
Тема 2.2. Приближенное решение нелинейных уравнений методом деления отрезка пополам.
Приближенное решение нелинейных уравнений методом простых итераций. Приближенное
решение нелинейных уравнений методом хорд. Приближенное решение нелинейных уравнений
методом Ньютона. Приближенное решение систем нелинейных уравнений методом простых
итераций. Приближенное решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона.
Тема 3.1. Интерполяция функций с помощью многочлена Лагранжа. Интерполяция функций
с помощью многочлена Ньютона. Интерполяция функций с помощью кубического сплайна.
Аппроксимация функций методом наименьших квадратов. Построение многочлена наилучшего
приближения на системе ортогональных функций (многочлены Чебышева).
Тема 3.2. Численное дифференцирование на основе интерполяционного многочлена.
Тема 3.3. Приближенное вычисление интеграла по квадратурным формулам НьютонаКотеса (формулы прямоугольников, формула трапеций, формула Симпсона).
Тема 4.1. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных
уравнений. Приближенное решение задачи Коши методом Эйлера, методом Хойна, методом
Эйлера-Коши на полуцелой сетке. Приближенное решение задачи Коши методом Рунге-Кутта 4-го
порядка.
Тема 4.2. Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных
уравнений. Численное решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения
второго порядка методом прогонки. Численное решение краевой задачи для линейного
дифференциального уравнения второго порядка методом стрельбы.
14
Тема 5.1. Элементы теории разностных
Дифференциальное приближение разностной схемы.
схем
Аппроксимация
производных.
Тема 5.2 Спектральный признак устойчивости разностных схем Исследование устойчивости
разностных схем спектральным признаком.
Тема 6.1. Разностные схемы для уравнений параболического типа. Решение начальнокраевой задачи для уравнения параболического типа методом сеток.
Тема 6.2. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа. Решение задачи Дирихле
для уравнения Лапласа методом сеток.
Тема 6.3. Разностные схемы для решения уравнений гиперболического типа. Решение
начально-краевой задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток.
8.
Примерная тематика курсовых работ
Не планируются.
9.
Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).
Контроль качества подготовки осуществляется путем проверки теоретических
знаний и практических навыков с использованием
a) Текущей аттестации:
проверка промежуточных контрольных работ и прием лабораторных работ,
b) Промежуточной аттестации:
тестирование (письменное или компьютерное) по разделам дисциплины.
Зачет в конце 6 семестра, экзамен в конце 7 семестра (к зачету, экзамену
допускаются студенты после сдачи всех лабораторных работ, решения
всех задач контрольных работ и выполнения самостоятельной работы).
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины
осуществляется в рамках рейтинговой (100-бальной) системы оценок.
Пример тестового задания по теме: «Основы теории погрешностей»:
Что такое нормализованная форма записи числа?
1) представление числа с фиксированной точкой (запятой) при условии, что первая цифра в записи
числа не равна нулю
2*) представление числа с плавающей точкой (запятой), при условии, что первая цифра в записи
мантиссы не равна нулю
3) представление числа с фиксированной точкой (запятой)
4) представление числа с плавающей точкой (запятой)
15
Пример лабораторного задания в 6 семестре
Написать
1.
программу
для
решения
системы
A  x  b:
a) методом Гаусса (схема единственного деления);
b) методом Гаусса с выбором главного элемента;
c) применяя LU – разложение матрицы A .
2.
Вычислить
невязки
(для
случаев
а),
линейных
алгебраических
уравнений
вектора
норм
3.
,
.
2

Вычислить определитель по схеме Гаусса det A .
4.
5.
1
Найти A , используя метод Гаусса.
Вычислить число обусловленности   A  A 1
1
1
,
b),
,
6.

,
F
c)),
используя
нормы
для различных матричных
.
  10 6 .
системы A  x  b
Результаты вывести на печать с точностью
7.
Исследовать зависимость решения
от погрешности правой
части. Внести погрешность b (произвольной величины) в правую часть вектора b системы
уравнений. Вычислить вектор относительных погрешностей решения x , принимая за точное
x
решение вектор, полученный в п. а).
8.
Оценить теоретически относительную погрешность решения по формуле:
x
x
  ( A)
9.
b . Сравнить со значением практической погрешности и объяснить результаты.
b
Исследовать зависимость решения системы
A x  b
от погрешности элементов
матрицы A (аналогично заданию п. 7).
10.
Оценить теоретически относительную погрешность решения по формуле:
x
x
  ( A)
A
A  A
. Сравнить со значением практической погрешности и объяснить
результаты.
Пример контрольной работы в 7 семестре
1.
Составить интерполяционный полином Лагранжа для таблицы значений.
х
-2
-1
y(х)
12
6
Найти с помощью этого многочлена значение y(x) при х=1,3
3
2
2.
Вычислить интеграл по формуле трапеций, разбив интервал на 10 частей. Оценить
погрешность.
16
1

dx
0 1 x
3.
Найти порядок аппроксимации разностной производной и записать остаточный член:
 11u j  18u j 1  9u j  2  2u j 3
du
|j
dy
6y
4. Для уравнения
ut  u x  f ( x, t ) исследовать разностную схему на устойчивость
(с использованием спектрального признака):
uin1  uin

uin1  uin11

 f in
h
Вопросы к экзамену
1. Источники и классификация погрешностей. Абсолютная и относительная
погрешности. Формы записи данных. Вычислительная погрешность. Погрешность
функции.
2. Методы последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).
3. Метод Гаусса с выбором главного элемента.
4. Применения метода Гаусса для расчета определителей и обратных матриц.
5. Матричный метод Гаусса
6. Погрешность приближенного решения систем уравнений и обусловленность
матриц.
7. Метод простой итерации. Достаточные условия сходимости процесса итераций.
Оценка погрешности приближений процесса итераций.
8. Метод Зейделя. Случай нормальной системы.
9. Нахождение наибольшего по модулю собственного значения
матрицы и
собственного вектора. Степенной метод. Метод скалярных произведений.
10. Метод бисекций, метод хорд, метод касательных, метод итераций (достаточное
условие сходимости метода простых итераций).
11. Метод Ньютона. Квадратичная сходимость метода Ньютона. Модифицированный
метод Ньютона.
12. Метод итераций для систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона для систем
нелинейных уравнений.
13. Постановка задачи интерполяции и аппроксимации.
14. Многочлен Лагранжа. Оценка остаточного члена многочлена Лагранжа
15. Конечные разности различных порядков. Таблица разностей. Первая
интерполяционная схема Ньютона
16. Вторая интерполяционная схема Ньютона. Оценка остаточного члена.
17. Интерполирование на основе кубического сплайна.
18. Квадратичное аппроксимирование функций. Метод наименьших квадратов.
17
19. Построение полинома наилучшего приближения на системе ортогональных
функций. Коэффициенты Фурье.
20. Полиномы Чебышева, ортогональные на системе равноотстоящих точек.
Наилучший выбор сетки.
21. Дифференцирование на основе многочленов Лагранжа и Ньютона.
22. Метод неопределенных коэффициентов.
23. Правило Рунге практической оценки погрешности.
24. Простейшие квадратурные формулы.
25. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
26. Оценка погрешности квадратуры.
27. Метод разложения в ряд Тейлора решения задачи Коши для ОДУ.
28. Метод Эйлера и его модификации.
29. Методы Рунге - Кутта.
30. Численное решение линейного уравнения 2-го порядка (метод прогонки, метод
стрельбы)
31. Понятие конечно - разностной сетки. Аппроксимация производных на конечноразностной сетке.
32. Конечно - разностные аппроксимации производных, использующие больше трех
узлов разностной сетки.
33. Понятие сходимости разностной схемы, проверка сходимости разностной схемы.
34. Определение аппроксимации разностной схемы.
35. Определение устойчивости разностной схемы.
36. Сходимость как следствие аппроксимации и устойчивости (теорема Лакса).
37. Дифференциальное приближение разностной схемы.
38. Каноническая запись разностной схемы.
39. Устойчивость как ограниченность норм степеней оператора перехода.
40. Необходимый спектральный признак устойчивости. Алгоритм применения
признака.
41. Устойчивость по начальным данным, примеры исследования устойчивости по
начальным данным
42. Разностные схемы для уравнений гиперболического типа. Явные методы Эйлеpа.
Разности против потока. Схема Лакса. Неявный метод Эйлера. Метод с
пеpешагиванием. Метод Лакса-Вендpоффа (одношаговый, двухшаговый). Метод
Мак-Коpмака. Центpиpованная по времени неявная схема.
43. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа. Пятиточечная схема.
Девятиточечная схема. Метод последовательной веpхней pелаксации.
44. Разностные схемы для уравнений параболического типа. Разностные схемы для
уравнения теплопроводности. Явная схема. Неявная схема. Метод КpанкаНиколсона. Схема Ричардсона. Схема Дюфорта-Франкела. Схема с весами.
10.
Образовательные технологии.
Сочетание традиционных образовательных технологий в форме лекций,
компьютерных лабораторных работ и проведение контрольных мероприятий
(контрольных работ, промежуточного тестирования, экзамена).
18
аудиторные занятия:
лекционные и компьютерные лабораторные занятия; на лабораторных
занятиях контроль осуществляется при сдаче лабораторного задания в
виде программы (на одном из используемых языков программирования)
и пояснительной записки к задаче. В течение семестров студенты
выполняют задачи, указанные преподавателем к каждому занятию.
активные и интерактивные формы
компьютерное моделирование и анализ результатов при выполнении
лабораторных работ
внеаудиторные занятия:
выполнение дополнительных заданий разного типа и уровня сложности
при выполнении лабораторных работ, подготовка к аудиторным
занятиям, изучение отдельных тем и вопросов учебной дисциплины в
соответствии с учебно-тематическим планом, составлении конспектов.
Подготовка индивидуальных заданий: выполнение самостоятельных и
контрольных работ, подготовка ко всем видам контрольных испытаний:
текущему контролю успеваемости и промежуточной аттестации;
индивидуальные консультации.
11.
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины.
11.1
Основная литература:
1.
Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - Спб.:
Лань, 2009 - 672 с.
2.
Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Спб.: Лань, 2008 - 400с.
3.
Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. Численные методы. М.,
Физматлит, 2003-364 с.
4.
Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные
уравнения): Учебное пособие для вузов. М.: Высшая Школа, 2000 - 153 с.
5.
Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и
обыкновенные дифференциальные уравнения): Учебное пособие для вузов. М.:
Высшая Школа, 2001 - 381 с.
6.
Пирумов У.Г. Численные методы. Учебное пособие для вузов. М.: Дрофа,
2003 - 221 с.
11.2. Дополнительная литература:
1. Костомаров Д. П. Вводные лекции по численным методам. Москва: Логос, 2006 .184 с.
2. Волков Е. А. Численные методы. - Санкт-Петербург: Лань, 2007 .-256 с.
3. Исаков В. Н.Элементы численных методов : -Москва: Академия, 2003 .-192 с
4. Н.С.Бахвалов, А.А.Корнев, Е.В.Чижонков. Численные методы. Решения задач и
упражнения. М., Дрофа, 2009.
5. Охорзин В.А. Прикладная математика в системе Mathcad. Спб.: Лань, 2008 – 352
с.
19
6. Численные методы : сб. задач под ред. У. Г. Пирумов. -Москва: Дрофа, 2007 .144 с.
7. Гаврилова Н.М. Вычислительная математика, часть 1. Тюмень: изд.ТюмГУ, 2008
– 161 с.
11.3. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы:
1. Гаврилова Н.М. Вычислительная математика (2008), режим
http://study.kib.ru/ по паролю.
2. Библиотека численного анализа НИВЦ МГУ http://num-anal.srcc.msu.ru/
доступа:
12.
Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
При освоении дисциплины для проведения лекционных занятий нужны учебные
аудитории, оснащённые мультимедийным оборудованием, для выполнения лабораторных
работ необходимы классы персональных компьютеров с набором базового программного
обеспечения разработчика - системы программирования на языках Borland Delphi, С/С++,
системы MATLAB, MATHCAD, MAPLE.
20