Математический аппарат квантовой механики

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
В квантовой механике каждой динамической переменной (координате,
импульсу,
энергии
и
т.д.)
ставится
в
соответствие
линейный
самосопряженный оператор. Оператором Â наз. правило или закон, согласно
которому функции
f , из некоторого класса функций, ставится в
соответствие другая функция φ.
Операторы обозначаются символом ^ , например, Â , B̂ , Ĉ и т.д. Говорят,
что оператор
 действует на функцию f
или оператор
 переводит
функцию
f в φ:

  A f
Например, Â =
(1)
d
; f ( x)  sin x .
dx
Действуя оператором на функцию, получим:
d
sin x  cos x ,  ( x)  cos x .
dx
Оператор определен на некотором классе функций. Оператор считается
заданным, если указано не только правило, с помощью которого он
преобразует одну функцию в другую, но и то множество функций, на
которые действует этот оператор. Например, оператор дифференцирования
определен на классе дифференцируемых функций.
Сумма или разность операторов означает
Aˆ  Bˆ  f ( x)  Aˆ f ( x)  Bˆ f ( x)
Aˆ Bˆ f ( x)  Aˆ Bˆ f  x 
Bˆ Aˆ f ( x)  Bˆ Aˆ f  x 
ˆ Bˆ  Bˆ Aˆ , но если последовательность действия
В общем случае A
ˆ Bˆ  Bˆ Aˆ , то говорят, что эти операторы
операторов не имеет значения, т.е. A
коммутируют или эти
операторы
коммутативны. Если
Aˆ Bˆ  Bˆ Aˆ
операторы не коммутативны. Кроме коммутативных и некоммутативных
ˆ Bˆ  Bˆ Aˆ .
операторов существуют антикоммутативные операторы: A
Произведение 2-х одинаковых операторов:
Aˆ  Aˆ  Aˆ 2 , n
раз :
ˆ ...Aˆ
ˆn .
Aˆ 
A

A

В
квантовой
механике
большую
роль
играют
линейные
самосопряженные (эрмитовы) операторы. Свойство линейности означает, что
Lˆ c1 f1  c2 f 2   c1Lˆ f1  c2 Lˆ f 2
Здесь c1 и c2 – постоянные
f1 и f 2 функции, на которых определен оператор L̂ .
Условие линейности операторов можно записать так:
Lˆ  ck f k   ck Lˆ f k
k
k
Операторы могут иметь векторный характер. В квантовой механике
часто встречается оператор набла:
̂      
i
 j k
x
y
z
  
i , j , k - орт-векторы (единичные).
Произведение 2-х векторных операторов строится как скалярное
произведение векторов:
 
ˆ ˆ
2 2 2
2
ˆ


 2 2
 =
2
x
y
z
Оператор L̂ , для которого выполняется
следующее равенство, наз.
самосопряженным или эрмитовым:
 f x Lˆ f x dx   f x Lˆ f x dx
*
1
*
2
2
*
1
От функций f1 и f 2 требуется, чтобы оператор L̂ был определен на них
и интегралы, входящие в это выражение, существовали.
Знак

означает комплексное сопряжение. Например, для выражения
a  ib *  a  ib ,
i   1 , i 2  1.
Для получения комплексной сопряженности числа, содержащего
  e
мнимую единицу, нужно заменить i на - i : e
 *
ik r

 ik r
. Вещественный
оператор при комплексном сопряжении остается неизменным.
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
ОПЕРАТОРОВ
Когда в результате действия оператора на функцию, она не меняется или
изменяется лишь на некоторый множитель, например,
d ax
e  ae ax , то
dx
говорят, что a – это собственное значение оператора Lˆ 
d
, а функция
dx
d
f  e ax - собственная функция оператора Lˆ  .
dx
Условие, при котором оператор L̂ оставляет функцию f неизменной, с
точностью до постоянного множителя, можно записать в виде: Lˆ f  Lf (1).
Здесь L – постоянная, зависящая от вида оператора и функции.
Очевидно, что не всякая функция f будет удовлетворять условию (1) и не
при всяких значениях L . Значения L , при которых уравнение (1) имеет
отличные от нуля решения, называются собственными значениями оператора
L̂ . Набор собственных значений называется спектром собственных значений
оператора L̂ . Спектр может быть непрерывным и дискретным. Он является
непрерывным, если уравнение (1) имеет решение при всех значениях L в
некотором
промежутке.
Спектр
собственных
значений
может
быть
смешанным, т.е. состоять из непрерывных и дискретных значений. Каждому
собственному значению оператора Ln соответствует собственная функция
f n . В этом случае, говорят, что собственная функция f n принадлежит
собственному значению Ln . Если каждому собственному значению оператора
принадлежит несколько различных функций f1 , f 2 ,... f n , то говорят, что этот
спектр
n -кратно вырожден. Рассмотрим несколько важных свойств
собственных значений и собственных функций.
Теорема 1: Если оператор L̂ самосопряженный, то его собственные
значения вещественны.
Теорема 2:
Собственные функции f n и
f m самосопряженного
оператора L̂ , принадлежащие разным собственным значениям Ln и Lm ,
ортогональны между собой:
 f n  x  f m  x dx  0 .
*
(2)
В случае дискретного спектра интеграл имеет конечное значение.

f n* x  f n x dx   f n ( x) dx  A 2
2
Если вместо функции
f n выберем функцию  n 
  n ( x) dx  1 . Замена функции f n на  n
2
нормированием функции
fn
, то имеем
A
таким способом называется
f n , а коэффициент
1
A
- коэффициентом
нормировки.
Функция
 n называется нормированной. Собственные функции
дискретного спектра всегда можно считать нормированными.
Условие ортогональности и нормировки вместе можно записать
следующим образом:
1, если n  m

(
x
)

(
x
)
dx




nm
 n m
0, если n  m
 nm - символ Кронекера.
(4)
Возможны случаи, когда разные собственные функции принадлежат
одинаковым собственным значениям, т.е. имеет место вырождение.
Вырожденные функции вообще говорят не ортогональны.
Теорема 3: Если несколько собственных функций
принадлежат
одинаковым собственным значениям, то любая линейная комбинация из этих
функций является решением того же операторного уравнения и с тем же
собственным значением.
Теорема 4: Если 2 оператора L̂ и M̂
имеют общую полную систему
собственных функций, они коммутируют.
Теорема 5: Если 2 оператора L̂ и M̂
коммутируют, то они имеют
общие собственные функции.
Теорема 6: Система собственных функций операторного уравнения
полна. Это значит, что любую функцию F (x) , определенную в той же
области переменных и подчиненную тем же граничным условиям, что и
собственные функции дискретного спектра f n (x ) оператора L̂ , можно
представить в виде ряда из этих собственных функций:
F ( x)  c1 f1 ( x)  c2 f 2 ( x)  ...  cn f n ( x)
F ( x)   c n f n ( x)
n
ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
I В квантовой механике для описания состояния системы введена так
называемая волновая функция. Эта функция рассматривается как функция

координат, а также времени   x, y, z, t  или  r , t  .
Волновая функция может быть комплексной функцией, поэтому
физический смысл имеет не сама функция, а квадрат ее модуля, он
определяет вероятность нахождения частицы в элементе объема dV .
Волновая функция обладает следующими свойствами:
1. волновая функция нормирована:

* 




r
,
t

r
, t dV  1

(1)
r – совокупность координат частицы, интегрирование проводится по
всем координатам;
2. Волновая функция является однозначной функцией координат.
Например если волновая функция зависит от сферического угла

0    2  , то должно выполняться условие:
       2  ;
3. Частица
не
может
находиться
в
бесконечности,
поэтому
удовлетворяется условие:

 r , t   0
4. Волновая функция является непрерывной функцией координат. Если
система состоит из невзаимодействующих частиц, то волновая
функция этой системы представляется в виде произведения:
 q1 , q2 ,..., qn , t    1 q1 , t   2 q2 , t ... n qn , t 
5. В квантовой механике удовлетворяется принцип суперпозиции.
Допустим различные состояния системы описываются волновыми
функциями
 1 , 2 ,..., n
принимает значения
и в этих состояниях величина L
L1 , L2 ,... Ln , тогда линейная комбинация
функций  i также будет описывать состояние системы:
n
   ci i .
i 1
II. Всякой физической величине L ставится в соответствие линейный
самосопряженный оператор L  Lˆ .
Например, координате x ставится в соответствие оператор, который
тождественно равен самой координате, функции - сама функция:
x  xˆ  x
f  fˆ  f .
Составляющие импульса и оператора импульса:
 x  ˆ x  i

x
 z  ˆ z  i

z
 y  ˆ y  i

y
.
В квантовой механике оператор импульса имеет вид:

̂  i
Оператор кинетической энергии:


p2
1
T

p x2  p y2  p z2 ;
2m 2m
1
Tˆ 
pˆ x2  pˆ y2  pˆ z2
2m
2
2
2
2 
2
2 
 x  
 y  
x 2
y 2


2  2
2
2
ˆ

T 


2m  x 2 y 2 z 2
2

Tˆ  
2
2m
2
  
z 2
2
z

2 2
  

2
m

Оператор момента импульса:

i


M  r p   x
pz
2


j
k



y z  i  yp z  zp y   j  zp x  xp z   k xp y  yp x 
p y pz
 

Mˆ x  yp z  zpˆ y   i y  z 
y 
 z

 
Mˆ y  zpˆ x  xpˆ z x   i z
x 
z 
 x
 

Mˆ z  xpˆ y  ypˆ x   i x  y 
x 
 y

i
Mˆ  i x

x


j
k
y z
 
y z
Напишем выражения для составляющих оператора момента импульса в
сферических координатах:

 

Mˆ x  i sin 
 ctg cos 


 


 

Mˆ y  i cos 
 ctg sin 








Mˆ z  i

M 2  M x2  M 2y  M 2z
2
Mˆ 2   2
Запишем выражение  в сферических координатах:
2
1  2 
1
 
 
1
2
  2 r

 sin 

  r 2 sin 2   2
r r  r  r 2 sin   
2
2 
1  2  1 2
r
  
r 2 r  r  r 2
 
1  
 
1 2

 sin 

sin   
  sin 2   2
2
Оператор полной энергии частицы или системы.
Полной
энергии
частицы
соответствует
оператор
Ĥ , который
называется оператором Гамильтона.Например, для электрона, движущегося в
центральном поле ядра в атоме водорода, оператор Гамильтона имеет вид:
E  Hˆ
Hˆ  Tˆ  U ( x, y, z ) ,
Tˆ -оператор кинетической энергии,
U ( x, y, z ) -потенциальная энергия электрона.
z
III Постулат: Единственно возможным значением физической величины
является собственное значение соответствующего оператора. Например,
полная энергия частицы E принимает только те значения, которые являются
собственными значениями оператора Гамильтона. Эти значения являются
решениями операторного уравнения:
Hˆ   E ,
(1)
которое является основным уравнением квантовой механики. Оно было
предложено Шредингером в 1926 г. и называется уравнением Шредингера.
Решая
это
уравнение
мы
определяем
волновую
функцию

рассматриваемой системы или частицы и ее полную энергию. В случае, когда
оператор Гамильтона явно зависит от времени, уравнение Шредингера
пишется в следующем виде:
i

 Hˆ 
t
(2)
Уравнение (1) наз. стационарным уравнением Шредингера, т.е. не
зависящим от времени.
IV Постулат. Если произвести многократные измерения какой-либо
динамической переменной L системы, находящейся в состоянии с волновой
функцией
 , то на основании результатов этих измерений можно
определить ее среднюю величину. Эта средняя величина вычисляется с
помощью формулы:
 Lˆ  d

L
  d
*
*
L̂ – оператор, соответствующий этой динамической переменной.. Если
волновая функция 
- нормирована, т.е. удовлетворяется условие:
*

  d =1, то среднее значение L
*
равно: L   Lˆ d .
V. Постулат: Величины L и M могут быть одновременно и точно
измерены, если соответствующие им операторы L̂ и M̂ коммутируют
между собой ,т.е. Lˆ Mˆ  Mˆ Lˆ .
Напр., операторы x и p̂ x не коммутативны. Аналогично, y и p y , z и
pz .
Этот означает, что величины x и p x нельзя одновременно измерять.
x  p x 

2

2

 z  p z 
2
y  p y 
Эти соотношения показывают, что, например, при точном измерении
координаты x , p x – остается неопределенным.
Соотношение неопределенности для энергии и времени имеет вид:
E  t 

2
Напишем соотношения для коммутативных операторов:
xpˆ y  pˆ y x  0 ; xpˆ z  pˆ z x  0;
ypˆ x  pˆ x y  0 ; ypˆ z  pˆ z y  0;
zpˆ x  pˆ x z  0 ; zpˆ y  pˆ y z  0.
Mˆ z Mˆ y  Mˆ y Mˆ z  iMˆ z ;
Mˆ 2 Mˆ x  Mˆ x Mˆ 2  0;
Mˆ y Mˆ z  Mˆ z Mˆ y  iMˆ x ;
Mˆ 2 Mˆ y  Mˆ y Mˆ 2  0;
Mˆ z Mˆ x  Mˆ x Mˆ z  iMˆ y ; Mˆ 2 Mˆ z  Mˆ z Mˆ 2  0.