Количество решений системы уравнений

1
Количество решений системы уравнений
Графический динамический метод
Для нахождения количества решений системы уравнений, содержащих параметр,
полезен следующий приём. Строим графики каждого из уравнений при некотором
фиксированном значении параметра и находим число общих точек построенных графиков.
Каждая общая точка – это одно из решений системы. Далее мысленно меняем параметр
и представляем, как трансформируется график уравнения с параметром, как появляются и
исчезают общие точки графиков. Такое исследование требует развитого воображения. Для
тренировки воображения рассмотрим ряд типичных задач. Назовём особыми значениями
параметра те значения, при которых изменяется число решений. Эти значения соответствуют
ситуациям, когда графики решений касаются друг друга или угловая точка одного из
графиков попадает на другой график. Как правило, при переходе через особую точку число
решений изменяется на два, а в самой такой точке оно на единицу отличается от числа
решений при небольшом изменении параметра.
Рассмотрим задачи, в которых требуется найти число решений системы уравнений,
одно из которых зависит от параметра а, а другое не зависит. Переменные в системах x и y.
Числа xi, yi, r считаем заданными константами. В ходе каждого решения, строим графики
обоих уравнений. Исследуем, как изменяется график уравнения с параметром при изменении
значения параметра. Затем делаем вывод о числе решений (общих точек построенных
графиков). На интерактивном рисунке график уравнения без параметра показан синим
цветом, а динамичный график уравнения с параметром показан красным цвета.
Для изучения темы (задания 1 – 7) используйте файл InMA 11, 2.5.2 Число решений
системы с параметром.
Для исследований (задание 8) используйте файл GInMA Число решений системы с
параметром.
 ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = r 2 ;
1. Найдите число решений системы 
2
2
2
 ( x − x1 ) + y = a .
 ( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = r 2 ;
2. Найдите число решений системы 
y = kx + a.

 ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = r 2 ;
3. Найдите число решений системы 
y = ax + y1.

 (| x | − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = r 2 ;
4. Найдите число решений системы 
( x − x1 ) 2 + y 2 = a 2 .

 ( x − x0 ) 2 + | y − y0 |= r ;
5. Найдите число решений системы 
2
2
2
 ( x − x0 ) + ( y − y0 ) = a .
 ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = r 2 ;
6. Найдите число решений системы 
y = | x − a | + y1.

 | x − x0 | + | y − y0 |= r;
7. Найдите число решений системы 
2
2
2
 ( x − x0 ) + ( y − y0 ) = a .
 f ( x, y ) |= 0;
 g ( x, y, a ) = 0.
8. Найдите число решений системы 
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
2
1. Графики уравнений – гладкие кривые
 ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = r 2 ;
1. Задание. Найдите число решений системы 
2
2
2
 ( x − x1 ) + y = a .
Решение: График первого уравнения – это окружность радиуса r с центром в точке
О(х0; у0). График второго уравнения – это окружность радиуса |a| с центром на оси абсцисс в
точке А(х1; 0). Центр окружности неподвижен, радиус определяет параметр. При увеличении
модуля параметра окружность «раздувается».
Особые значения параметра – те значения, при которых изменяется число корней, то
есть значения параметра, при которых окружность второго графика касается окружности
первого.
Условие касания окружностей – модуль суммы или разности радиусов окружностей
равен межцентровому расстоянию:
||а| ± r| = АО ⇔ а = ± |АО ± r|.
Исследование: Изменяя значение переменных и параметра, найдите число решений
системы. Начать исследование желательно с простейших случаев у0 = 0, когда общая ось
окружностей горизонтальна, и х0 = х1, когда общая ось окружностей вертикальна. В общем
случае пользуйтесь треугольниками Пифагора. Например, |х0 – х1| = 3, у0 = ±4.
Типично, что как при малых по модулю, так и при больших по модулю значениях
параметра решений нет. Поскольку две несовпадающие окружности могут иметь не более
двух общих точек, число решений в общем случае не более двух. В точках касания число
решений равно единице, при промежуточных значениях параметра – двум.
Творческое задание. Найдите то значение параметра, при котором три различные точки
 ( x − 1) 2 + ( y − y0 ) 2 = 9;
являются решениями системы уравнений 
.
2
2
2
 ( x − x1 ) + y = a .
 ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = r 2 ;
2. Задание. Найдите число решений системы 
y = kx + a.

Решение: График первого уравнения – это окружность радиуса r с центром в точке
О(х0; у0). График второго уравнения – это семейство параллельных прямых, проходящих
через точки А(0; а) и имеющих постоянный наклон. Тангенс угла наклона прямых равен k.
При увеличении параметра прямые перемещаются вверх.
Особые значения параметра – те значения, при которых изменяется число корней, то
есть значения параметра, при которых прямые касаются окружности.
Условие касания находим, приравнивая тангенсы угла наклона окружности и прямой.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
3
Решая полученное уравнение, находим координаты двух точек касания:
kr

x = x0 ±
;

2
x0 − x

2
2
2
2
1
+
k
= k ⇒ k ( y − y0 ) + ( y − y0 ) = r ⇒ 
r
y − y0
 y = y0 
.
2

1+ k
Подставив полученные выражения в уравнение прямой, найдём значение параметра в
особых точках:
a = y 0 − kx0 ± r 1 + k 2 .
Исследование: Изменяя значение переменных и параметра, найдите число решений
системы. Начать исследование желательно с простейшего случая k = 0, когда прямые
параллельны оси абсцисс. Затем рассмотрите случаи, когда корень извлекается (например,
k = 3 ), уделите внимание популярному случаю k = 1.
При малых и при больших значениях параметра решений нет. Поскольку прямая и
окружность могут иметь не более двух общих точек, число решений не более двух. При
значениях параметра, соответствующих касанию, число решений равно единице, при
промежуточных значениях параметра – двум.
Творческое задание. Известно, что данная система уравнений имеет не более одного
решения. Найдите то значение параметра, при котором система уравнений имеет решение:
 ( x − 2) 2 + ( y − 3) 2 = r 2 ;

y = x + a.

 ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = r 2 ;
3. Найдите число решений системы 
y = ax + y1.

Решение: График первого уравнения – это окружность радиуса r с центром в точке
О(х0; у0). График второго уравнения – это семейство прямых, проходящих через точку
А(0; у1). Тангенс угла наклона прямых (а) определяет значение параметра. При увеличении
параметра возрастает угол между графиком и положительным направлением оси абсцисс.
Особые значения параметра – те значения, при которых изменяется число корней, то
есть значения параметра, при которых прямые касаются окружности. Если точка А(0; у1)
находится внутри окружности, то любая возможная прямая пересекает окружность в двух
точках.
Условие касания находим, приравнивая тангенсы угла наклона окружности и прямой.
Решая полученное уравнение, находим координаты двух точек касания:
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
4
ar

x = x0 ±
;

2
x0 − x

2
2
2
2
1
+
a
= a ⇒ a ( y − y0 ) + ( y − y0 ) = r ⇒ 
r
y − y0
 y = y0 
.

1+ a2
Подставив полученные выражения в уравнение прямой, найдём значение параметра в
( y1 − y 0 ) 2 − r 2
особых точках. Если x0 = 0, то особые значения параметра a = ±
.
r2
Если y0 = y1, |x0| ≠ r, то особые значения параметра a = ±
( y1 − y 0 ) 2 − r 2
.
r 2 − x02
Если х0 = ± r, то окружность касается вертикальной прямой, проходящей через точку
r 2 − ( y1 − y 0 ) 2
А(0; у1) и значение параметра a =
. В остальных случаях
2 x0 ( y1 − y 0 )
a=
x0 ( y 0 − y1 ) ±
r 2 ( x02 + ( y 0 − y1 ) 2 − r 2 )
.
r 2 − x02
Исследование: Изменяя значение переменных и параметра, найдите число решений
системы. Начать исследование желательно с простейшего случая y0 = y1, |x0| < r, когда точка
А(0; у1) внутри окружности и число решений всегда равно двум. Рассмотрите случай х0 = r,
когда число решений легко найти (х0 = r = 2, y0 = 3, y1 = 2). Затем рассмотрите случаи, когда
корень хорошо извлекается (например, х0 = 3, y0 = 4, r = 2, y1 = 2).
Поскольку прямая и окружность могут иметь не более двух общих точек, число
решений не более двух. При значениях параметра, соответствующих касанию, число
решений равно единице, при остальных значениях параметра – нулю или двум.
 ( x + 3) 2 + ( y − 5) 2 = r 2 ;
при всех
y = ax + 1.

Творческое задание. Известно, что система уравнений 
значениях параметра, кроме одного, имеет два решения. Найдите то значение параметра, при
котором система уравнений имеет единственное решение.
 (| x | − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = r 2 ;
4. Задание. Найдите число решений системы 
( x − x1 ) 2 + y 2 = a 2 .

Решение: В ходе решения строим графики каждого из уравнений и исследуем число
общих точек построенных графиков. График первого уравнения – это пара окружностей
одинакового радиуса r. Центры окружностей O и Q имеют одинаковую ординату y0 и
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
5
одинаковые по модулю, но разные по знаку абсциссы ±x0. Графики показаны синим и
фиолетовым цветом. График второго уравнения – это окружность радиуса |a| с центром на
оси абсцисс в точке А(х1; 0).
Особые значения параметра – те значения, при которых изменяется число корней, то
есть значения параметра, при которых окружность второго графика касается окружностей
первого.
Условия касания – сумма или разность радиусов окружностей равна межцентровому
расстоянию: |а| ± r = АО, |а| ± r = АQ.
Исследование: Изменяя значение переменных и параметра, найдите число решений
системы. Пользуйтесь целыми значениями для одного межцентрового расстояния (например,
х0 = 6, y0 = 3, r = 3, х1 = 2). Типично, что при малых по модулю и больших значениях
параметра решений нет. В точках касания число корней нечётное, в остальных точках число
корней чётное.
 (| x | − 6) 2 + ( y − y 0 ) 2 = r 2 ;
Творческое задание. Известно, что система уравнений 
при
2
2
2
 ( x − x1 ) + y = a .
некотором значении параметра имеет ровно два решения. При этом значении параметра,
графики касаются. Найдите это значение параметра.
 ( x − x0 ) 2 + | y − y0 |= r;
5. Найдите число решений системы 
2
2
2
 ( x − x0 ) + ( y − y0 ) = a .
Решение: График первого уравнения состоит из пары парабол, которые стыкуются при
y = y0. Уравнения парабол
y = y0 ± (r – (x – x0)2). Они имеют горизонтальную ось
симметрии y = y0, вертикальную ось симметрии х = х0. Центр симметрии точка (x0, у0).
Второй график – это окружность радиусом |а|, центр которой расположен в центре
симметрии парабол.
Число корней изменяется при таком значении параметра, при котором происходит
касание окружности второго графика с вершинами парабол. В точке касания:
х = х0, y = y0 ± r = y = y0 ± а , значит, а = ± r .
Число корней изменяется при таком значении параметра, при котором происходит
внутреннее касание окружности второго графика с параболами. Чтобы найти это значение,
переходим от системы уравнений к уравнению с одной переменной:
( y − y 0 ) 2 = a 2 − ( x − x0 ) 2 = (r − ( x − x0 ) 2 ) 2 .
Это квадратное уравнение для ( x − x 0 ) 2 . Оно имеет один корень, если дискриминант равен
нулю:
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
6
D = (r – 0,5)2 – (r2 – a2) = 0, a = ± r −
1
.
4
Число корней изменяется при таком значении параметра, при котором происходит
пересечение окружности и параболы в точках излома первого графика, то есть при y = y0.
Исследование: Изменяя значение переменных и параметра, найдите число решений
системы. Пользуйтесь значениями r = 1, 4 и 9. Обратите внимание на то, что параметры х0 и
y0 не влияют на ответ задачи. При малых по модулю и больших значениях параметра
решений нет.
 | x − x0 | + | y − y0 |= r;
6. Найдите число решений системы 
2
2
2
 ( x − x0 ) + ( y − y0 ) = a .
Решение: График первого уравнения – это квадрат, наклоненный под углом 45° к осям
координат, длина половины диагонали которого равна r. Второй график – это окружность
радиусом |а|, центр которой расположен в центре симметрии квадрата.
Число корней изменяется при том значении параметра, при котором окружность
проходит через вершины квадрата. При этом y = у0 , а = ±r.
Число корней изменяется при том значении параметра, при котором происходит
внутреннее касание окружности со сторонами квадрата. Чтобы найти это значение,
переходим от системы уравнений к уравнению с одной переменной:
( y − y 0 ) 2 = a 2 − ( x − x0 ) 2 = (r − | x − x0 |) 2
Это квадратное уравнение для | x − x 0 | . Оно имеет один корень, если дискриминант
равен нулю. При этом a = ±
r
2
. Радиус окружности в этом случае относится к радиусу в
предыдущем случае, как sin 45° : 1 .
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
7
 ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = r 2 ;
7. Найдите число решений системы 
y = | x − a | + y1.

График первого уравнения – это окружность с центром O(x0; y0). График второго
уравнения состоит из двух лучей с общим началом – это «птичка, крылья вверх», вершина
графика расположена в точке А(а; у1).
Число корней изменяется при том значении параметра, при которых «крыло» второго
графика касается окружности или вершина графика лежит на этой окружности.
Тангенс угла наклона «правого крыла» к оси абсцисс равен 1, значит прямая,
r

x
=
x
±
,
k
0

2
содержащая это крыло, касается окружности в точках (хk; уk), таких, что 
r
 yk = y0 
.

2
Условие касания
уk = хk – а + у1 ⇔ а = хk – уkа + у1= x0 – y0 + у1 ± r 2 .
Поскольку «крыло» – это луч, идущий вверх, добавляется условие, что ордината
вершины должна быть не больше, чем ордината точки касания, то есть
у1 ≤ уk
⇔
y0 ≥ у1 ±
r
2
.
Аналогично записываем условия касания с «левым крылом».
Если вершина графика лежит на окружности, то её координаты удовлетворяют
уравнению окружности: (а – x0)2 + (у1 – у0)2 = r2.
Изменяя значение параметра, исследуйте число решений системы, то есть количество
общих точек графиков. В особых точках число корней нечётное, в остальных точках число
корней чётное.
 (| x | − 2) 2 + ( y − y 0 ) 2 = r 2 ,
Творческое задание. Известно, что система уравнений 
при
y = | x − a | + y1 ,

некотором значении параметра имеет три решения. Найдите это значение параметра, если
известно, что при этом ординаты двух решений совпадают.
 f ( x, y ) |= 0;
 g ( x, y, a ) = 0.
8. Найдите число решений системы 
Задайте функции самостоятельно по образцу и исследуйте количество решений.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
8
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
9
Задания С5 (Семёнов–Ященко)
Вариант 1
∣
Найдите все значения а, при каждом из которых множеством решений неравенства
4 x −12 x+ 3 a
−3 ≤2 является отрезок [0;2].
3 a−4 x
∣
2
Размышляем. Выполним преобразования
∣
2
∣
2
2 x −b
≤1 ,
4 x−b
−1≤
2 x −b
≤1 ,
4 x−b
4 x 2−12 x+3 a
2 x 2−b
−3=2⋅
, b=3 a.
3 a−4 x
4 x−b
{
x (2−x )
≥0,
4 x−b
(x +1)2−b−1
≥0.
4 x−b
Граничные линии плоскости x – 3a это:
x = 0, x = 2,
x=
3a
, x=±√ 3 a +1−1 ⇔3 a=( x+ 1)2−1 .
4
Если 0 ≤ х ≤ 2, то b < 4x, b ≤ (x +1)2 – 1. Так как 4x > (x +1)2 – 1, то b ≤ (x +1)2 – 1.
Если 0 > х то b > 4x, (x +1)2 – 1 ≤ b. Решение есть при – 1 ≤ b. Например, x = – 1.
Если x > 2, то b > 4x, (x +1)2 – 1 ≤ b. Так как 4x < (x +1)2 – 1, то (x +1)2 – 1≤ b.
Значит, решения таковы.
Если 3а > 8, то
х ∈[−√ 3 a+ 1−1,0]∪[2, √ 3 a +1−1].
Если 3а = 8, то
х ∈[−4,0].
х ∈[−√ 3 a +1−1,0]∪[ √ 3 a+1−1, 2].
Если 0< 3а < 8, то
Если 3а = 0, то
х ∈[−2,0 )∪( 0,2 ] .
Если – 1< 3а < 0, то
∣
х ∈[−√3 a +1−1, √ 3 a+1−1]∪[ 0, 2].
Если – 1 = 3а, то
х ∈{−1 }∪[0, 2].
Если – 1 > 3а, то
х ∈[0, 2] .
Решение. Пусть – 1 ≤ 3а. Тогда x = – 1 удовлетворяет неравенству,
4 x −12 x+ 3 a
16+3 a
2−3 a
−3 =
−3 = 2⋅
≤2, противоречие, это число вне отрезка.
3 a−4 x
3 a+ 4
3 a +4
∣∣
2
∣ ∣
Пусть – 1 > 3а. Тогда
∣
2
∣
2 x −b
≤1 ,
4 x−b
4 x 2−12 x+3 a
2 x 2−b
−3=2⋅
, b=3 a <−1.
3 a−4 x
4 x−b
2
−1≤
∣
2 x −b
≤1 ,
4 x−b
{
x (2−x )
≥0,
4 x−b
(x +1)2−b−1
≥0.
4 x−b
Числа из промежутка 0 ≤ х ≤ 2 удовлетворяют обоим неравенствам.
Если x > 2, то первое неравенство не выполнено.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
10
Если 0 > х, то b ≤ (x +1)2 – 1, второе неравенство не выполнено.
Ответ: – 1 > 3а.
Вариант 3
Найдите все значения а, при каждом из которых имеет хотя бы один корень уравнение
a 2 +7 | x+ 1|+5 √ x 2 +2 x +5=2 a+ 3| x−4 a +1| .
Размышляем. Пусть f (a , x )=a2 +7| x +1 |+5 √ x 2+2 x +5−2 a−3 | x−4 a+1 | . Особая
точка функции х + 1 = 0. Если х = – 1, то уравнение имеет вид a 2 +10−2 a−12 | a |=0.
Легко найти его четыре решения. Нужно доказать, что исходная функция всегда больше этой.
2
2
Решение. Пусть f (a , x )=a + 7| x +1 |+5 √ x + 2 x +5−2 a−3 | x−4 a+1 | . Уравнение
f (a , x )=0. Тогда f (a ,−1)=a 2 +10−2 a−12 | a |=0.
Разность
f (a , x )− f ( a ,−1)=7 | x +1 |+5(√ x 2 +2 x +5−2)+ 3| 4 a |−3 | x−4 a+1 |≥
≥3(| x+1 |+| 4 a |−| 4 a− x−1|)≥0.
Значит, уравнение
f (a , x )=0 имеет корни только в случае, если
f (a ,−1)≤0.
Уравнение f (a ,−1)=0 имеет четыре корня
a 1=−5−√ 15≈−8.87 , a 2=−5+ √ 15≈−1.12 , a 3=7−√ 39≈0.755 , a 4 =7+ √ 39≈13.2.
Функция
f (a ,−1)≤0 (не положительная) при a ∈[a 1 , a 2 ]∪[a3 , a 4 ].
Например, если а = 10, то есть корень
При остальных значениях а
x=
13−2 √19
.
3
f (a , x )≥ f ( a ,−1)>0. Корней нет.
Ответ: [−5− √ 15 ,−5+ √ 15]∪[7−√ 39 , 7+ √ 39].
Вариант 5
Найдите все значения а, при каждом из которых имеет хотя бы один корень уравнение
a 2 +11 | x+ 2 |+3 √ x 2+ 4 x +13=5 a+ 2| x−2 a +2 | .
Используем функцию
2
f (a ,−2)=a +9−5 a−4 | a |=0 и неравенство
f (a , x )− f (a ,−2)≥2(| x+ 2 |+| 2 a |−| x−2 a+ 2 |)≥0.
Ответ: [
9−3 √ 5 9+ 3 √ 5
,
].
2
2
Вариант 9
Найдите число корней уравнения |x2 + 4x – 5| – 3a = |x + a| – 1.
Размышляем. Считаем известным следующее (очевидное) утверждение. Пусть
функции f(x) и g(x) заданы на некотором промежутке. Пусть производная одной больше на
промежутке, чем другой. Пусть разность значений функций на левом конце имеет один знак,
на правом – другой. Тогда уравнение f(x) = g(x) имеет на промежутке ровно один корень.
Решение. Обозначим f(x, a) = 3а + |x + a|, g(x) = |x2 + 4x – 5| + 1. Уравнение f(x, a) = g(x).
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
11
Особые точки функции g(x) это минимумы при x = 1 и x = – 5 и максимум при x = – 2.
Значения g(1) = g(– 5) = 1, g(– 2) = 10. Функция имеет ось симметрии x = – 3. При больших
по модулю значениях икса квадратичная функция g(x) больше линейной f(x, a).
Наклон функции вне отрезка [–5,1] определяем производной (x2 + 4x – 5)' = 2x + 4 ≥ 6
при x > 1. Функция g(x) при x > 1 монотонно возрастает с коэффициентом больше, чем 6. В
силу симметрии, функция g(x) монотонно убывает с коэффициентом больше, чем 6 при x<– 5.
Наклон g(x) равен 1 только на промежутке (–5, 1). При этом производная
(–x2 – 4x + 5)' = –2x – 4 = 1. Значит, в точке x = – 2.5 наклон равен 1.
Функция f(x, a) = 3а + |x + a| монотонно убывает с коэффициентом 1 при x + а < 0 и
монотонно возрастает с коэффициентом 1 при x + а > 0. Значения в ряде точек f(– а, a) = 3а,
f(– 5, a) = 3а +|5 – a|, f(– 2, a) = 3а +|2 – a|, f(1, a) = 3а +|1+ a|.
Графики f(x, a) и g(x) касаются, если равны их наклоны. Касание возможно при x = – 2.5.
При этом g(x) = 39/4. f(x, a) = 4а + x = 39/4, 4a = 49/4, a = 49/16.
Анализируем корни уравнения f(x, a) = g(x).
Если a < – 2, f(– 5, a) = 2а +5 < 1, f(1, a) = 2а – 1 < – 5. f(x, a) < g(x), так как в
промежутке – 5 < x < 1 f(x, a) < 1 < g(x).
Если x > 1, g(x) возрастает быстрее, чем f(x, a), то есть всюду f(x, a) < g(x).
Если x < – 5, g(x) убывает быстрее, чем f(x, a), то есть всюду f(x, a) < g(x).
Других корней нет.
Если a = – 2, f(– 5, a) = 1, f(1, a) = – 5. f(– 5, – 2) = g(– 5). Один корень х = – 5. Во всех
других точках f(x, a) < g(x), как и в предыдущем случае.
Если –2 < a < 0, f(– 5, a) = 2а +5 > 1, f(1, a) = 4а + 1 < 1.f(–2, a) = 2а + 2 < 10.
При x > –2 f(x, a) < g(x), корней нет.
При x < –2 f(1,a) > 1. При x < –5 быстро убывающая g(x) пересекает медленно
убывающую левую ветвь f(x,а), один корень.
При –5 < x < – 2 возрастающая g(x) пересекает убывающую f(x,а), один корень, всего
корней два, один при x < –5, второй при –5 < x < – 2.
Если a = 0, f(– 5, a) = 5, f(1, a) = 1. f(1, a) = g(1), один корень х = 1. Как и раньше, один
корень при x < –5, один корень при –5 < x < – 2. Всего корней три.
Если 0 < a < 3, корней 4, два на левой ветке f(х, a) при x < – 2, два на правой при x > 2.
Если a = 3, f(– 3, 3) = 8 = g(–3), f(– 2, 3) = 10 = g(–2), корней 4, один два на левой ветке
f(х, a) при x < – 5, один в вершине f(х, 3) при x = – 3, один в вершине g(x) при x = – 2, один
при x > 1.
Если 3 < a < 49/16, корней 4, один на левой ветке f(х, a) при x < – 5, два на правой ветви
g(x) при – 3 < x < – 2, один при x > 1.
Если a = 49/16, то число корней 3, один на левой ветке f(х, a) при x < – 5, один в точке
касания при x = – 2.5, один при x > 1.
Если a > 49/16, то число корней 2, один на левой ветке f(х, a) при x < – 5, один на
правой при x > 1.
Ответ: нет корней при a < – 2; один корень при a = – 2, два корня при –2 < a < 0 или
49/16 < a , три корня при a = 0 или а = 49/16, четыре корня при 0 < a < 49/16.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
12
Вариант 10
Найдите все значения параметра a, для каждом из которых имеет два корня уравнение
4x – |3x – |x + a|| = 9|x – 3|.
Решение. Обозначим f(x, a) = 4x – |3x – |x + a||, g(x) = 9|x – 3|.
Особая точка функции g(x) это x = 3. Функция монотонно убывает с коэффициентом 9
при x < 3 и монотонно возрастает с коэффициентом 9 при x > 3.
Функция f(x, a) является кусочно линейной с коэффициентами 8, 6, 2 или 0. Значит, она
не убывает по иксу, скорость её роста меньше, чем у правой ветви функции 9|x – 3|.
f(3, a) = 12 – |9 – |3 + a||. График этого выражение суть ломаная с вершинами (– 12, 12),
(– 3, 3), (6, 12). Значения функции положительные при а∈(– 24, 18).
Из найденного следует.
Если f(3, a) < 0, уравнение не может иметь корней, так как g(x) > f(x, a).
Если f(3, a) = 0, уравнение имеет ровно один корень x = 3. Для других иксов g(x)> f(x, a).
Если f(3, a) > 0, уравнение имеет ровно два корня, один при x < 3, когда пересекаются
убывающая ветвь g(x) и монотонно не убывающая f(x, a). Другой при x > 3, когда быстро
возрастающая ветвь g(x) пересекает медленно возрастающую ветвь f(x, a).
Ответ: а∈(– 24, 18).
Вариант 11
Найдите все значения параметра a, для каждом из которых при любом значении
параметра b имеет хотя бы одно решение система уравнений
{
(1+ 3 x 2)a +(b 2−4 b+5) y =2,
x 2 y 2 +(b−2) x y+ a 2+ 2 a=3.
Размышляем.
Система
имеет
вид
{
{
(1+ 3 x 2)a +(1+( b−2) 2) y =2, Удобно
x 2 y 2 +(b−2) x y=4−( a+ 1)2 .
2 a
(1+3 x ) =1,
Видно решение x = y = 0 и
2 2
x y =4−(a +1) 2 .
соответствующие значения параметра a = 1 и a = – 3.
проанализировать особую точку b = 2. Тогда
{
(1+ 3 x 2)a +(1+(b−2) 2) y =2,
x 2 y 2 +(b−2) x y=4−( a+ 1)2 .
Решение. Запишем систему в виде
Решение x = y = 0 существует всегда при a = 1 или a = – 3.
Если b = 2, то система имеет вид
{
(1+ 3 x 2)a +1 y =2, или
x 2 y 2=4−(a +1) 2 .
{
(1+3 x 2 )a=1,
x 2 y 2=4−(a +1) 2 .
Если a > 1 или a < – 3 система не имеет решений, так как их не имеет второе уравнение.
Если 1 < a < – 3, из второго уравнения получим, что x2 > 0, из первого найдём a = 0.
Пусть a = 0. Тогда для b = 4 из первого уравнения получим, что у = 0. При этом второе
уравнение не имеет решения.
Ответ: 1 или – 3.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
13
Вариант 14
Найдите все значения параметра, при каждом из которых модуль разности корней
уравнения x2 – 6x + 12 + a2 – 4a = 0 принимает наибольшее значение.
Решение. Запишем уравнение в виде (x – 3)2 = 1 – (a – 2)2.
Его решение = 0 силу периодичности функций синус и косинус, задачу можно решать
2
для отрезка x=3±√ 1−(a−2) . Наибольшая разность корней равна 2 при a = 2.
Ответ: 2.
Вариант 15
Найдите все значения параметра, при каждом из которых уравнение
2−(4−4 k ) sin t
=1 имеет хоть одно решение на отрезке [−3 π ;−2.5 π ] .
cos t−4 sin t
Решение. В силу периодичности функций синус и косинус, задачу можно решать для
отрезка t ∈[ π ; 1.5 π ] , затем из каждого полученного решения вычесть 4π.
Преобразуем уравнение к виду
2+ 4 k sin t−cos t
=0.
cos t−4 sin t
На отрезке t ∈[ π ; 1.5 π ] синус монотонно убывает от нуля до минус единицы,
косинус монотонно нарастает от минус единицы до нуля.
Знаменатель обращается в нуль при 4tgt = 1, то есть при sin t =−
1
4
, cos t =−
.
√ 17
√17
Числитель при t = π равен 1, при t = 1.5π равен 2 – 4k.
Если k ≤ 0, числитель положительный и уравнение не имеет корней.
Если k > 0, оба переменных слагаемых числителя убывают, то есть числитель
изменяется монотонно. Значит, числитель принимает нулевое значение ровно один раз, если
k ≥ 0.5 и положителен при меньших значениях k.
Уравнение имеет корень, если числитель нуль, а знаменатель не нуль, то есть в случае
4k
4
17
0=2+ 4 k sin t−cos t≠2−
+
⇔ k ≠1+ √ .
2
√17 √17
17
Ответ: k ∈[ 0.5 ,+∞ )\{1+ √ } .
2
Вариант 18
Найдите все значения параметра, при каждом из которых имеет единственное решение
система уравнений
{
( x−2 a−5)2 +( y−3 a +5) 2=16,
(x −a−2)2 +( y−2 a+1)2=81.
Размышляем. Каждое уравнение описывает окружность. Решение единственное в
случае касания окружностей.
Решение. Первое уравнение задает окружность с центром в точке (2a + 5, 3a – 5) и
радиусом 4. Второе уравнение – окружность с центром в точке (a + 2, 2a – 1) радиусом 9.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
14
Система имеет единственное решение если окружности касаются. При этом расстояние
между центрами равно 9 + 4 = 13 или 0 – 4 = 5.
Квадрат межцентрового расстояния:
((2a + 5) – (a + 2))2 + ((3a – 5) – (2a – 1))2 = 2a2 – 2a + 25.
Если расстояние 5, то a = 0 или a = 1.
Если расстояние 13, то a = – 8 или a = 9.
Ответ: – 8, 0, 1, 9.
Вариант 21
Найдите все значения параметра при каждом из которых имеет ровно два
неотрицательных решения уравнение | 10⋅0,21− x −a |−| 5 x + 2 a |=0.04−x .
Решение. Выполняем преобразования | 2⋅5 x −a |−| 5 x +2 a |=52 x .
Обозначим t = 5x ≥ 1. В силу монотонности показательной функции 5x, каждый корень
t ≥ 1 порождает ровно один корень x ≥ 0.
Уравнение примет вид | 2 t−a |−| t+ 2 a |−t 2=0 .
Если a ≥ 2t ≥ 2, то t2 + 3t + a = 0 – нет корней, больших, чем 1.
Если 2t > a ≥ –t/2, то t2 – t + 3a = 0. При t > 1 функция монотонно возрастает, корень
только один.
Если –1/2 > –t/2 > a, то t2 – 3t – a = 0. При t > 1 функция t2 – 3t монотонно убывает от –2
при t = 1 до –2.25 при t = 1.5 и далее монотонно возрастает. Значит, при –2.25 > a ≥ –2 корней
два, при меньших а нет корней, при больших а корень ровно один.
Ответ: –2.25 > a ≥ –2.
Вариант 22
Найдите в зависимости от параметра число решений системы
{
x 2−(2 a+1) x+ a 2−3= y ,
y 2−(2 a+1) y + a2 −3= x .
Размышляем. Система имеет вид f(x)= y, f(y)= x, или f(f(х)) = x. Одно из решений f(x)= x.
Второе решение находим, вычитая уравнения.
Решение. Вычтем из первого уравнения второе. Получим (x + y – 2a )(x – y) = 0.
Пусть x = у. Подставим в первое уравнение, преобразуем. Получим (x – a – 1)2 = 4 + 2а.
Пусть x + у = 2а. Подставим в первое уравнение, преобразуем: (x – a)2 = 3 + 2а.
Если a < – 2, корней нет.
Если a = – 2, то x = y = a + 1, единственное решение.
Если – 1.5 > a > – 2, то есть пара решений
x= y =a+ 1±√ 4+ 2 a .
Если a = – 1.5, то два решения: x = y = a, x = y = a +2.
Если – 1.5 < a то решения
x= y =a+ 1±√ 4+ 2 a ,
x=a±√ 3+ 2 a , y=2 a−x .
Ответ: a < – 2 нет решений, а = – 2 одно,
– 1.5 ≥ a > – 2, два решения, a > – 1.5 четыре решения.
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
15
Вариант 24
Найдите все значения а, при каждом из которых не имеет корней уравнение
27 x 6 +(4 a−2 x)3 +6 x 2 +8 a=4 x .
Размышляем. 8a – 4x = 2(4a – 2x), 27x6 = (3x2)3. Значит, уравнение включает сумму и
сумму кубов одинаковых выражений. Это можно использовать.
Решение. Преобразуем уравнение к виду (3 x 2 )3 +(4 a−2 x )3+ 2(3 x 2 + 4 a−2 x)=0 .
Разложим сумму кубов (3 x 2 +4 a−2 x )⋅((3 x 2)2−3 x 2 (4 a−2 x )+(4 a−2 x)2 +2)=0 .
Второй множитель это неполный квадрат разности увеличенный на 2. Он положительный.
Выделив в первом множителе квадрат, получим
1 2
1
3( x − ) + 4 a− =0.
3
3
1
1
Это уравнение не имеет корней, если 4 a− >0 , a > .
3
12
Ответ: 12а > 1.
Вариант 28
Найдите значения а, при каждом из которых наибольшее значение функции |x – a| – x2
не меньше единицы.
Решение. Если x ≥ a, функция f(x,a) = x – a – x2. Она максимальна при x = 0,5, максимум
равен 0,25 – а. При a < 0,5 наибольшее значение функции 0,25 – а ≥ 1 при – 0.75 ≥ а.
Если x < a, функция f(x,a) = a – x – x2. Она максимальна при x = –0,5, максимум равен
a + 0.25. При a > – 0,5 наибольшее значение функции a + 0,25 ≥ 1 при а ≥ 0,75.
Ответ: а ≥ 0,75 или – 0.75 ≥ а.
Пара функций
Найти диапазон положительных значений а, для каждого из которых найдется такое b,
что система уравнений: y = х4 + а, х = 8y–2 + b имеет чётное число решений.
Решение: Из первого уравнения следует, что у > 0, второе уравнение можно
8
преобразовать к виду: y=
, х∈(b; +∞). Искдючим у:
x−b
√
f ( x) = x 4 −
8
+ a = 0; f `( x ) = 4 x 3 +
x− b
2
( x − b)3
.
Каждый корень полученного уравнения порождает ровно одно решение исходной
системы. При b ≥ 0 функция f(x) монотонно возрастающая и уравнение имеет ровно один
корень. При отрицательных b < 0 функция f(x) монотонно возрастает от минус бесконечности
до f(х1), уменьшается до f(х2) и вновь монотонно возрастает при положительных иксах до
плюс бесконечности. Уравнение может иметь чётное число корней – два – только если корень
совпадает с минимумом или максимумом функции, то есть в точке корня производная равна
нулю, то есть f(х1) = g(х1) = 0. Исключая корень из уравнений, найдём: а = – (4х1 + х14).
Полученная функция имеет максимум при х1 = – 1 (а = 3; b = – 1,5), поэтому для любого
a∈(0; 3) существуют х1, х2 ≠ х1 и b, при которых число корней равно два. Однако при а = 3 х2
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/
16
= х1, оба корня совпадают и уравнение f(х) = 0 имеет только один корень.
Производная f`(x) положительная при х → b и при х → +∞. Она равна нулю при
условии f `( x) = 0 ⇔ g ( x) = x 2( x − b) + 1 = 0 . Последнее уравнение может иметь один или
два корня, причём только при отрицательных иксах. Обозначим их х1 и х2: g(х1) = g(х2) = 0.
Ответ: a∈(0; 3).
© В.В. Шеломовский. Тематические комплекты, 2014. http://www.deoma–cmd.ru/