1. B 1 № 337415. Найдите значение выражения Решение
advertisement
Вариант № 786504 1. B 1 № 337415. Найдите значение выраж ения Решение. Умнож им числитель и знаменатель на 100: Ответ: 37,5. 2. A 1 № 314156. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу Какая это точка? 1) точка M 2) точка N 3) точка P 4) точка Q Решение. Возведём в квадрат числа 6, 7, 8: Число 39 лежит между числами 36 и 49 и находится ближе к числу 36, поэтому соответс твует точке M. Правильный ответ указ ан под номером 1. 3. A 2 № 338113. Предс тавьте выраж ение в виде степени с основанием 1) 2) 3) 4) Решение. Использ уя формулы Правильный ответ указ ан под номером 4. и , получаем: 4. B 2 № 338526. Решите уравнение Решение. Квадраты чисел равны, если числа равны или противоположны: Ответ: −2,5. Прив едем другое решение. Раскроем скобки в обеих час тях уравнения: Прив едем другое решение. Воспольз уемс я формулой разнос ти квадратов: 5. B 3 № 316368. Установите соответс твие между функциями и их графиками. ФУНКЦИИ А) Б) В) ГРАФИКИ Запишите в ответ цифры, располож ив их в порядке, соответс твующем буквам: А Б В Решение. Напомним, что если парабола задана уравнением , то: при то ветви параболы направлены вверх, а при — вниз; абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле парабола перес екает ось Oy в точке с. Уравнение задает параболу, ветви которой направлены вверх, абсцисса вершины равна , она перес екает ось ординат в точке 0. Ее график изображ ен на рис унке 4). Уравнение задает параболу, ветви которой направлены вверх, абсцисса вершины равна , она перес екает ось ординат в точке 0. Ее график изображ ен на рис унке 4). Уравнение задает параболу, ветви которой направлены вниз, абсцисса вершины равна , она перес екает ось ординат в точке 0. Ее график изображ ен на рис унке 3). Тем самым, искомое соответс твие: А—4, Б—1, В—3. Ответ: 413. 6. B 4 № 137296. Какое из указанных чисел не является членом последовательности 1) 2) 3) 4) Решение. Расс мотрим нес колько первых членов пос ледовательнос ти, начиная с Тем самым, не являетс я членом этой пос ледовательнос ти. Ответ: 4. 7. B 5 № 338274. Найдите Решение. Преобраз уем выраж ение: Подс тавим значения Ответ: 31. значение выражения при 8. A 3 № 338781. На каком из рис унков изображ ено решение неравенс тва 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 Решение. Решим неравенс тво: Правильный ответ указ ан под номером: 1. 9. B 6 № 339420. Точка O — центр окружности, на которой лежат точки S, T и V таким образом, что OSTV — ромб. Найдите угол STV. Ответ дайте в градус ах. Решение. Проведём диагональ TO Рассмотрим треугольник OTV, TO и OV равны как радиусы окружности. Все стороны ромба равны, поэтому TV = OV, получаем, что OV = TV = TO, следовательно, треугольник OTV — равносторонний, поэтому все его углы, в том числе и угол OTV, равны 60°. Аналогично, треугольник STO — равносторонний и угол STO равен 60°. Таким образом, угол STV равный сумме углов STO и OTV равен 120°. Ответ: 120. 10. B 7 № 316320. В треу гольнике ABC угол C равен 90°, AC = 12 , tgA = 1,5. Найдите BC. Решение. Тангенс угла равен отношению противолежащего углу катета к прилеж ащему: Ответ: 18. 11. B 8 № 169901. В ромбе сторона равна 10, одна из диагоналей — , а угол, леж ащий напротив этой диагонали, равен 45°. Найдите площадь ромба, деленную на Решение. Площадь ромба равна прои зведению сторон на синус угла между ними: Ответ:50. ---------В открытом банке иррациональный ответ. 12. B 9 № 314837. Найдите изображённой на рис унке. площадь трапеции, Решение. Площадь трапеции — прои зведение полус уммы оснований на выс оту: Ответ: 40. 13. B 10 № 169923. Какие из следующих утверж дений верны? 1) Через любые три точки прох одит не более одной окружнос ти. 2) Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружнос ти не имеют общих точек. 3) Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружнос ти перес екаютс я. 4) Если дуга окружности составляет 80°, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу окружнос ти, равен 40°. Если утверждений нес колько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания. Решение. Проверим каждое из утверж дений. 1) «Через любые три точки проходит не более одной окружности.» — верно, Через любые три точки прох одит окружность и при том только одна. 2) «Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек.» — верно, если расстояние от центра до прямой меньше радиуса, то окружности имеют две общие точки, если окружности касаются то окружности имеют одну общую точку, если расстояние больше радиуса, то окружности не имеют общих точек. 3) «Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние между их центрами равно 1, то эти окружности пересекаются» — неверно, окружность, радиус которой равен 3, лежит внутри окружнос ти с радиу с ом 5. 4) «Если дуга окружности составляет 80°, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу окружности, равен 40°.» — верно, вписанный угол измеряется половиной дуги,на которую он опираетс я. Ответ: 1; 2; 4. 14. A 4 № 314202. Студентка Фиалкова выезжает из Наро-Фоминска в Москву на занятия в университет. Занятия начинаются в 8:30. В таблице приведено расписание утренних электропоездов от станции Нара до Киевс кого вокз ала в Москве. Приб ытие на Отп равл ение от Кие вский ст. Нара вокзал 6:17 7:13 6:29 7:40 6:35 7:59 7:05 8:23 Путь от вокзала до университета занимает 40 минут. Укажите время отправления от станции Нара самого позднего из электропоездов, которые подх одят студентке. 1) 6:17 2) 6:29 3) 6:35 4) 7:05 Решение. Поскольку путь от вокзала до места университетазанимает 40 минут, поезд должен прибыть на вокзал не позднее 07:50. Этому условию удовлетворяют поезда, отправляющиеся в 6:17 и 6:29. Из них самый поздний отправляетс я в 6:29. Правильный ответ указ ан под номером 2. 15. B 11 № 311852. На рисунке показано, как изменялась температура воздуха на протяжении одних суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Найдите наименьшее значение температуры. Ответ дайте в градус ах Цельс ия. Решение. Из графика видно, что наименьшая температура сос тавила 7°С. Ответ: 7. 16. B 12 № 311961. На складе есть коробки с ручками двух цветов: чёрные и синие. Коробок с чёрными ручками 4, с синими — 11. Сколько всего ручек на складе, если чёрных ручек 640, коробки одинаковые и в каждой коробке нах одятс я ручки только одного цвета? Решение. Поскольку коробки одинаковые, в каждую помещается одинаковое количество ручек. Всего на складе 640 чёрных ручек или 4 коробки, следовательно, в одну коробку помещается 640 : 4 = 160 ручек. Тогда синих ручек на складе 11 · 160 = 1760, а всего ручек на складе 1760 + 640 = 2400. Ответ: 2400. 17. B 13 № 132756. Колесо имеет 18 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образ уют две сос едние спицы. Решение. Колесо представляет собой круг, 18 спиц которого делят на 18 круговых секторов. Так как развёрнутый угол равен 360° для каждого из секторов имеем: Ответ: 20. 18. B 14 № 315199. На диаграмме представлены некоторые из крупнейших по численности нас еления стран мира. Численность населения какого государства примерно в 6 раз меньше численности нас еления Индии? В ответе напишите численность нас еления этой страны в млн чел. Решение. Из диаграммы видно, что численность населения Индии составляет 1010 млн чел. Разделим 1010 на 6: Страна с наиболее близкой численностью населения — Бразилия. Численность населения Браз илии 170 млн чел. 19. B 15 № 315195. На каждые 1000 электрических лампочек приходится 5 бракованных. Какова вероятность купить исправную лампочку? В ответе укажите результат, округленный до тыс ячных. Решение. На каждые 1000 лампочек приходится 5 бракованных, всего их 1005. Вероятность купить исправную лампочку будет равна доле исправных лампочек на каждые 1005 лампочек, то есть Ответ: 0,995. 20. B 16 № 316292. Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия (t, °C) в шкалу Фаренгейта (t, °F), пользуются формулой F = 1,8C + 32, где C — градусы Цельсия, F — градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Цельсия соответствует 244° по шкале Фаренгейта? Ответ округлите до дес ятых. Решение. Преобраз уем формулу: Подс тавим в формулу значение переменной : Ответ: 117,8. 21. C 1 № 338512. Решите неравенс тво Решение. Решим неравенство методом интервалов, для этого, сначала, найдём корни уравнения Теперь расставим точки на прямой и определим знаки выражения на каждом получившемся промеж утке(см рис.). Таким образ ом, ответ Ответ: Примечание. Обратите внимание, что при определении знаков выражения используется исходное выраж ение, а именно, 22. C 2 № 340106. На стороне BC прямоугольника ABCD, у которого AB = 12 и AD = 17, отмечена точка E так, что ∠EAB = 45°. Найдите ED. Решение. Треугольник — прямоугольный, угол равен 45°, поскольку сумма углов треугольника равна 180°, угол равен Следовательно, треугольник — равнобедренный, поэтому Найдём отрезок Из прямоу гольного треу гольника найдём Ответ: 13. 23. C 3 № 338893. Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Решение. Пусть км/ч — скорость лодки в неподвижной воде, тогда км/ч — скорость лодки против течения реки, а км/ч — скорость лодки по течению. Лодка затратила на путь по течению реки на 2 часа меньше, чем по течению, сос тавим уравнение: Корень −18 не подходит по условию задачи, следовательно, скорость моторной лодки в стоячей воде равна 18 км/ч. Ответ: 18. 24. C 4 № 311262. Стороны , , треугольника равны , и соотвественно. Точка расположена вне треугольника , причем отрезок пересекает отрезок в точке, отличной от . Известно, что треугольник с вершинами , и подобен исходному. Найдите кос инус угла , если > 90°. Решение. По условию > 90°, тогда треугольник KAC является тупоугольным. Так как треугольник KAC подобен ABC, то ABC является также тупоу гольным. Определим соответствующие углы. Так как напротив большего угла лежит большая сторона, то > 90°, тогда Так как , то и . Треу гольники ABC и CAK подобны. Имеем: таким образ ом, , По теореме кос инус ов в треу гольнике AKC имеем: Подс тавляя получаем, Ответ: 25. C 5 № 338909. Найдите все значения при каждом из которых прямая имеет с графиком функции ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые. Решение. Графики функций и будут иметь ровно одну общую точку, если уравнение будет иметь один корень. Данное квадратное уравнение имеет один корень, если дискриминант этого уравнения равен нулю: Следовательно, при и прямая имеет ровно одну точку пересечения с параболой Пос трои м графики этих функций: Ответ: −5; 5. 26. C 6 № 208. Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади четырёхугольника KPCM к площади треу гольника AMK. Решение. Проведём отрезок MT, параллельный AP. Тогда MT — средняя линия треугольника APC и CT = TP, а KP — средняя линия треугольника BMT и TP = BP. Обозначим площадь треугольника BKP через . Тогда площадь треугольника KPС, имеющего ту же высоту и вдвое больше основание, равна . Значит площадь треу гольника CKB равна и равна площади треугольника СMK, которая в свою очередь равна площади треугольника AMK. Площадь треугольника АВК равна площади треугольника АМК. Итак, Значит, Ответ: 5:3.
