МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Физический факультет Кафедра теоретической физики
реклама
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Физический факультет
Кафедра теоретической физики
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
(Программа курса)
Новосибирск
2010
Учебный курс «Квантовая механика» является частью профессионального цикла подготовки бакалавра физики. Дисциплина «Квантовая механика» изучается студентами третьего курса физического факультета. Программа курса подготовлена в соответствии с требованиями образовательного стандарта третьего поколения.
Цели курса – дать представление об основных понятиях, идеях и методах квантовой
механики, выработать «квантовое восприятие» физической реальности, научить решать широкий спектр квантовомеханических задач, подготовить студентов к изучению прикладных
разделов квантовой физики и квантовой теории поля, и наконец, сформировать общекультурные и профессиональные навыки физика-исследователя. Двухсеместровый курс «Квантовая механика» состоит из лекционных и практических занятий, сопровождаемых регулярной
индивидуальной работой преподавателя со студентами в процессе сдачи семестровых домашних заданий, а также самостоятельной работой. Кроме того, по темам лекций и семинаров предусмотрены занятия в терминальном классе.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц, 252 академических
часа (из них 174 аудиторных). Программой дисциплины предусмотрены 68 часов лекционных и 86 часов практических занятий, 20 часов занятий в терминальном классе, а также 78
часов самостоятельной работы.
Автор
докт. физ.-мат. наук, проф. В. Л. Черняк,
Программа учебного курса подготовлена в рамках реализации Программы развития
НИУ-НГУ на 2009–2018 г. г.
Новосибирский государственный
университет, 2010
2
Приложение № 2.
Примерная программа учебного курса (учебной дисциплины)
Программа курса «Квантовая механика» составлена в соответствии с требованиями к обязательному минимуму содержания и уровню подготовки дипломированного специалиста бакалавра по профессиональному циклу дисциплин (Б.3) по направлению «011200 Физика», а также
задачами, стоящими перед Новосибирским государственным университетом по реализации Программы развития НГУ.
Автор (авторы) Черняк Виктор Львович, д.ф.-м.н., профессор
Факультет: физический
Кафедра: теоретической физики
1. Цели освоения дисциплины (курса)
Дисциплина (курс) «Квантовая механика» имеет своей главной целью: дать набор необходимых сведений в области (нерелятивистской) квантовой механики и научить применению этой
дисциплины в качестве основы для понимания и умения делать необходимые оценки и расчеты в
широчайшей области физических явлений, в которых существенны квантомеханические свойства:
атомная и молекулярная физика, ядерная физика, квантовая теория твердых тел, квантовая теория
поля и т.д.
2. Место дисциплины в структуре образовательной программы
Курс относится к циклу общефизических дисциплин. В результате прохождения курса у
студентов 3-го курса физического факультета должно сформироваться то, что принято называть
квантомеханическим мышлением ,умение пользоваться математическим аппаратом квантовой механики для получения оценок и расчетов различных физических величин и явлений, представляющих интерес. Необходимыми предпосылками для успешного освоения курса являются следующие. В цикле математических дисциплин: знание основ линейной алгебры, математического анализа, функционального анализа, методов математической физики. Умение применять эти знания
при решении задач. Необходимость владения указанными математическими дисциплинами обусловлена тем обстоятельством, что именно они составляют основу аппарата нерелятивистской
квантовой механики. Все развитие физики новых материалов, микропроцессоров и вообще нанотехнологий в последние десятилетия делают абсолютно необходимым изучение студентами физического факультета основ квантовой механики. В цикле общефизических дисциплин необходимыми предпосылками являются знание и умение применять основные принципы классической
механики, электродинамики и термодинамики. Эти общефизические дисциплины входят составной частью в описание поведения во внешних полях как отдельных микрочастиц, так и макроскопически большого их количества. Лежащая в основе современной твердотельной электроники
классификация кристаллических твердых тел по отношению к свойствам электропроводности и
сверхпроводимости основывается именно на статистической физике квантовых ансамблей микрочастиц. Курс «Квантовой механики» является необходимой основой для дальнейшего изучения
большого количества различных специальных курсов «Квантовая теория поля», «Физика высоких
энергий», «Физика твердого тела», «Физические основы микроэлектроники», «Физические основы информатики» и т.д.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
«Квантовая механика»
общекультурные компетенции: ОК-1, ОК-5, ОК-17, ОК-18, ОК-20, ОК-21;
профессиональные компетенции: ПК-1 –ПК-4 , ПК-5, ПК-10.
3
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать основные принципы нерелятивистской квантовой механики в качестве необходимой общей основы для изучения дальнейших специальных курсов по атомной и молекулярной физике, ядерной физике, физике твердого тела, физике элементарных частиц и
т.д. Знать основную литературу прочие источники информации для более детального и
глубокого ознакомления с материалом.
Уметь применять эти принципы для понимания свойств и умения делать необходимые
оценки и расчеты во всех тех областях физики и химии, где существенны квантовомеханические явления, а также ориентироваться в современной научной литературе.
Владеть основными методами нерелятивистской квантовой теории: операторным методом,
методом теории возмущений, а также другими приближенными методами; владеть формализмом сложения моментов.
4. Структура и содержание дисциплины курса «Квантовая механика»
2
Цели и задачи
курса. Соотношение между копускулярной и
волновой точками зрения. Волны
де Бройля, волновой пакет. Обзор экспериментов, показавших
несостоятельность классической механики и
послуживших
основой для создания квантовой
механики.
Оценки простейших квантомеханических
эффектов по соотношению неопределенностей.
5й
1я
2 часа 4 часа
лексеминаций
ров
2,5 часа
В
начале
каждого очередного занятия
проверка
задач,
заданных на
дом
5й
2я
2 часа 4 часа
лексеминаций
ров
2,5 часа
Проверка
домашних
заданий
4
Семинары и занятия в терминальном классе
Лекции
1
Неделя семестра
№
п/п
Самостоятельное решение задач
(семестровые
домашние задания)
Семестр
Раздел
дисциплины
Формы текущего
контроля успеваемости.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц, 252 часа.
Форма
промежуточной
аттестации
3
4
5
6
7
Волновая функция. Уравнение
Шредингера.
Оператор Гамильтона. Стационарные состояния. Одномерное
движение. Общие
свойства решений уравнения
Шредингера в
одноменных задачах.
Задачи на связанные состояния.
Состояния с малой энергией связи, -ямы.
Стационарные
состояния в непрерывном спектре. Коэффициенты прохождения и отражения.
Гармонический
осциллятор.
Спектр и волновые функции в
операторном методе.
Периодическое
поле. Теорема
Блоха. Зонная
структура уровней. Цепочка ям. Приближение
сильной связи.
Качественное обсуждение свойств
электропроводности кристаллических твердых
тел.
Вариационный
метод. Квазиклассическое
приближение.
Форма квазиклассической
волновой функ-
5й
3я
и
4я
4 часа 2 часа
лексеминаций
ров
2,5 часа
Проверка
домашних
заданий
5й
5я
2 часа 6 часов
лексеминаций
ров, 4
часа занятий в
терминальном
классе
2,5 часа
Проверка
домашних
заданий
5й
6я
2,5 часа
Проверка
домашних
заданий
5й
7я
2 часа 4 часа
лексеминаций
ров, 4
часа занятий в
терминальном
классе
2 часа 2 часа
лексеминаций
ров, 4
часа занятий в
терминальном
классе
2,5 часа
Проверка
домашних
заданий
5й
8я
и
9я
4 часа 4 часа
лексеминаций
ров
3,5 часа
Контрольная работа по
пройденному ма-
5
8
9
10
11
ции. Правила
квантования БораЗоммерфельда.
Коэффициент
подбарьерного
туннелирования.
Квазистационарные состояния.
Общий формализм квантовой
механики. Операторы физических
величин. Собственные функции и собственные значения.
Коммутаторы и
одновременная
измеримость.
Эрмитовские
операторы. Пространство состояний и Дираковский формализм.
Матричный формализм.
Представления
Шредингера и
Гайзенберга.
Уравнения движения для операторов. Оператор
эволюции по
времени. Теорема
Эренфеста. Теорема вириала.
Алгебра операторов орбитального
момента. Спектр
собственных значений момента и
его проекции.
Операторы и собственные функции орбитального
момента в сферических координатах.
Спин. Волновые
функции частиц
со спином 1/2.
териалу
5й
10 4 часа
-я леки ций
11
-я
2 часа
семинаров, 4
часа занятий в
терминальном
классе
2,5 часа
Разбор
контрольной
работы
5й
12 2 часа 2 часа
-я лексеминаций
ров, 4
часа занятий в
терминальном
классе
2,5 часа
Проверка
домашних
заданий
5й
13 2 часа 2 часа
-я лексеминаций
ров
2,5 часа
Проверка
домашних
заданий
5й
14 2 часа 4 часа
-я лексеминаций
ров
2,5 часа
Проверка
до-
6
Операторы поворотов.
12
13
14
15
16
машних
заданий
Проверка
домашних
заданий
Сложение моментов. Коэффициенты КлебшаГордона. Преобразования волновых функций и
операторов при
поворотах. Теорема ВигнераЭккарта. Правила
отбора для тензорных операторов.
Разделение переменных в центральном поле.
Общие свойства
решений. Четность. Спектр и
волновые функции связанных
состояний в атоме водорода.
Теория стационарных возмущений в случаях невырожденных и
вырожденных
уровней.
5й
15 4 часа 4 часа
-я лексеминаи ций
ров
16
-я
4,5 часа
5й
17 2 часа 4 часа
-я лексеминаций
ров
2,5 часа
Проверка
домашних
заданий
6й
1я
2 часа 6 часов
лексеминаций
ров
2,5 часа
Уравнение Шредингера для заряженной частицы во внешнем
электромагнитном поле. Калибровочная инвариантность. Движение заряженной
частицы в однородном магнитном поле. Уровни
Ландау.
Частица со спином ½ в магнитном поле. Уравнение Паули. Резонансный переворот спина.
6й
2я
2 часов
лекций
2 часа
семинаров
2,5 часа
Проверка
домашних
заданий
Проверка
домашних
заданий
6й
3я
2 часа 2 часа
лексеминаций
ров
2,5 часа
7
Проверка
домашних
зада-
Экзамен
Тождественность
частиц в квантовой механике.
Волновые функции систем тождественных бозонов и фермионов.
Принцип Паули.
Таблица Менделеева.
Самосогласованное поле. Модель
Томаса-Ферми.
6й
4я
2 часа 2 часа
лексеминаций
ров
2,5 часа
6й
5я
2 часа 4 часа
лексеминаций
ров
2,5 часа
19
Атомные термы.
LS-связь. Тонкая
структура уровней. Понятие о jjсвязи.
6й
6я
2 часа 2 часа
лексеминаций
ров
2,5 часа
20
Сверхтонкая
структура уровней. Изотопический сдвиг.
6й
7я
2 часа 4 часа
лексеминаций
ров
2,5 часа
21
Поляризуемость
атома водорода.
Силы Ван-дерВаальса.
6й
8я
2 часа 2 часов
лексеминаций
ров
2,5 часа
22
Атом в постоянном внешнем поле. Эффекты Зеемана и Штарка.
Эффект Штарка в
водороде. Диамагнетизм и парамагнетизм атомов.
Нестационарные
возмущения: внезапные, адиабатические и пери-
6й
9- 4 часа 4 часа
я
лексеминаи ций
ров
10
-я
4,5 часа
6й
11 4 часа 4 часа
-я лексеминаи ций
ров
12
4,5 часа
17
18
23
8
ний
Проверка
домашних
заданий
Проверка
домашних
заданий
Проверка
домашних
заданий
Проверка
домашних
заданий
Проверка
домашних
заданий
Проверка
домашних
заданий
Проверка
домаш-
одические. Фотоэффект.
24
25
26
Итого
(часов)
-я
Полуклассическая теория излучения света атомами. Электрическое дипольное,
магнитнодипольное и электрическое квадрупольное излучения.
Правила отбора.
Оценки вероятностей однофотонных переходов. Ширина линии.
Борновское приближение в рассеянии. Резерфордовское рассеяние. Атомный
форм-фактор.
6й
Борновское приближение для
рассеяния тождественных и
нетождественных
частиц со спином.
6й
13 4 часа 4 часа
-я лексеминаи ций
ров
14
-я
4,5 часа
15 4 часа 4 часа
-я лексеминаи ций
ров
16
-я
4,5 часа
17 2 часа 2 часа
-я лексеминаций
ров
4,5 часа
68
часов
106
часов
них
заданий
Проверка
домашних
заданий
Проверка
домашних
заданий
Проверка
домашних
заданий
Экзамен
78
часов
,
Примерный план семинарских занятий (5-й семестр).
1. Соотношения де Бройля. Применение законов сохранения энергии-импульса в процессах с
участием фотонов. Волновые пакеты. Оценки по соотношению неопределенностей.
2. ОдномерноеУравнение Шредингера. Яма с бесконечными стенками. Координатное и импульсное распределения. Переход к классическому пределу. Конечная яма. Особенности
соотношения неопределенностей для мелкой -ямы.
3. Уровни энергии и волновые функции для нескольких ям.
4. Гармонический осциллятор. Явный вид операторов координаты и импульса в энергетическом представлении. Когерентные состояния.
5. Одномерные задачи в непрерывном спектре. Коэффициенты отражения и прохождения для
барьера (ямы) и комбинации барьеров (ям).
6. Задачи в периодическом поле. Нахождение примесного уровня и его волновой функции.
7. Квазиклассический метод нахождения уровней для конкретных потенциалов. Решение задачи о двойной яме путем сшивания квазиклассических волновых функций.ъ
8. Квазистационарные состояния, ширина и время жизни для модельных потенциалов.
9
9. Орбитальный момент количества движения. Явный вид волновых функций для низших
моментов.
10. Сферический осциллятор. Уровни энергии и волновые функции. Решение в прямоугольных координатах и анализ решения в терминах собственных функций момента импульса
для низколежащих состояний.
11. Атом водорода. Явный вид координатных волновых функций. Построение состояний, соответствующих классическим круговым орбитам.
Примерный план семинарских занятий (6-й семестр).
1. Теория возмущений. Ангармонические поправки к уровням энергии одномерного осциллятора.
2. Трехмерный осциллятор. Кратность вырождения. Вычисление по теории возмущений поправок на ангармоничность для вырожденных уровней.
3. Вычисление поправок к энергии от возмущений для вырожденных уровней атома водорода.
4. Спин ½. Вид различных специальных спиновых волновых функций. Явный вид операторов
поворотов. Задачи с фильтрами.
5. Прецессия спина ½ в постоянном магнитном поле. Задачи с фильтрами и магнитным полем.
6. Резонансный переворот спина в переменном магнитном поле, ядерный магнитный резонанс.
7. Оценки разных величин в модели Томаса-Ферми.
8. Термы. Принцип Паули. Периодическая система элементов. Правила Хунда.
9. Спин-орбитальное взаимодействие и тонкая структура уровней.
10. Взаимодействие с ядром и сверхтонкая структура уровней.
11. Расщепление уровней в постоянном магнитном поле (эффекты Зеемана и Пашена-Бака).
12. Расщепление уровней в постоянном электрическом поле (эффект Штарка). Специфика эффекта Штарка в водороде.
13. Решения различных задач с возмущениями, зависящими от времени. Мгновенные возмущения (\beta-распад ядра).
14. Фотоэффект Ионизация атома пролетающим ионом.
15. Спонтанное излучение. Правила отбора для различных мультиполей. Оценки вероятностей
различных 1-фотонных переходов.
16. Борновское приближение в рассеянии. Атомный форм-фактор.
17. Учет тождественности частиц в рассеянии. Рассеяние частиц со спином.
5. Образовательные технологии
Все семинарские занятия проводятся в интерактивной форме. Во время семинарских занятий поощряется система соревнования. Первый, решивший задачу, излагает ее для всей группы.
Существенным элементом образовательных технологий является не только умение студента найти
решение поставленной задачи, но и донести его до всей аудитории. Умение сходу отвечать на вопросы сокурсников и преподавателя развивает профессиональные навыки, которые будут незаменимы в дальнейшей профессиональной деятельности.
Важнейшим элементом образовательной технологии является личный прием преподавателем семестровых домашних заданий. Задание сдается в форме беседы с преподавателем в специально отведенное время (прием заданий). Не допускается только письменная сдача Задания: решение каждой задачи студент рассказывает преподавателю. Допускается задавать студенту 1-2 простых дополнительных вопроса по тематике задачи. Неспособность студента быстро ответить на
технические вопросы по представленному решению считаются попыткой сдать списанную задачу.
В этом случае задача считается не сданной, и студент получает для решения другую задачу эквивалентной сложности.
Формой контроля успеваемости и усвоения материала является экзамен. Для допуска к экзамену (и возможности получить оценку "3") необходимо сдать все задачи из Задания. Для успеш10
ного и своевременного усвоения материала важно соблюдение указанных сроков для сдачи соответствующего задания. Приём заданий прекращается в начале зачетной недели.
Существенным элементом образовательного процесса являются занятия в терминальном
классе. Некоторые из задач нерелятивистской квантовой механики, решаемые там численными
методами, качественно разбираются на семинарских занятиях в форме моделей, допускающих
точное аналитическое решение.
Примерный план занятий в терминальном классе
по квантовой механике
Преподавателям и студентам желательно иметь учебное пособие “Компьютерный практикум по квантовой механике” (Г.Л.Коткин, В.А.Ткаченко, О.А.Ткаченко – НГУ,1996). Перед первым занятием в терминальном классе преподаватель сообщает, как вводятся безразмерные переменные в уравнение Шредингера, как компьютер решает задачу о нахождении уровней. Возможно
предварительное занятие – с программой, изображающей колебания цепочки грузиков (в классической механике). Указанные здесь наборы параметров –минимум. Инициативный студент сумеет
поставить и решить с помощью программ Quants.exe ещё много вопросов. Хорошее освоение материала – это способность отвечать на возникающие сходные вопросы уже без обращения к компьютеру.
Одна или две потенциальные ямы – уровни энергии, волновые функции, распределение по импульсам.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Одна яма Ua = -20, a=3. Просмотреть уровни, волновые функции, распределения по импульсам.
Мелкая яма Ua=-20, a=0.1. При каком a возникает второй уровень? Как найти силу, действующую на стенку ямы?
Яма с Ua= -20, a=1. Какими окажутся уровни связанных состояний и их волновые функции в
паре таких ям при расстоянии b=0.5 между ними.
Две узкие ямы Ua= -20, a=0.1, Ub=0, b=3. Зависимость En от b при изменении b от 0 до 3. Обсуждение ковалентной связи в молекуле H2.
Две ямы U1= -22, U2= -20, a=0.1, Ub=0, b=3. Локализация состояний в разных ямах, аналогия
с колебаниями связанных маятников.
Две ямы (U1= -1, U2= -20, a=1, Ub=0, b=0.5) постепенно изменяют свою глубину, так что в
конце
концов окажется U1= -20, U2= -1. Как изменяются при этом уровни энергии и волновые функции?
Несколько потенциальных ям – зависимость уровней энергии от расстояния между ямами и от
глубины отдельных ям. Локализация частицы вблизи примеси.
7.
8.
9.
В яме Ua = -20, a=1 всего два уровня. Рассмотреть случай семи таких ям с расстоянием b=0.5
между ними. В этом случае имеется 13 связанных состояний. При b=0.3 один верхний уровень
выталкивается, а при b=0.75 появляется 14-й уровень. Интересно попробовать предсказать вид
нескольких характерных волновых функций, сопоставляя с нормальными колебаниями цепочки из семи грузиков.
Три узкие ямы Ua =-20, a=0.1, b=4, Ub =0. При поиске уровней энергии надо уменьшить шаг
по энергии ( H E =0.01).
Для двух ям Ua =-20, a=0.1 с расстоянием b=3 между ними и Ub =0 рассмотреть зависимость
квадрата модуля волновой функции от времени, если в начальный момент волновая функция
11
2
равна: а) 1 2 (перетекание частицы из одной ямы в другую) для рисунка | (x,t) | | удобно выбрать масштаб по времени tmax = 1000; б) 2 3 (биения внутри каждой ямы).
10. Будут ли состояния частиц в поле, образованном парой ям, делокализованы, если ямы разные,
но некоторые уровни в этих ямах, рассматриваемых поодиночке, совпадают?
11. Шесть ям Ua =-20, a=1, b=0.7, Ub =0; сделав третью яму чуть глубже U3 = -21 или мельче U3
=-19, обнаружить локализацию одного из состояний на этой примеси.
12. Сравнить уровни и волновые функции в 10-12 узких ям на небольших расстояниях и в одной
“усреднённой” яме.
Появление зон в случае многих потенциальных ям.
Интересно сопоставить решение задачи о колебаниях цепочки грузиков с решением задачи
об определении уровней энергии в поле многих ям вариационным методом (в условиях, соответствующих приближению сильной связи).
13. Семь ям Ua =-20, a=1, b=0.7 барьеры между ними возрастают от Ub =-20 до Ub =0. Возникает
узкая нижняя зона, а в более широкой верхней зоне часть уровней выталкивается.
14. Попробуйте предсказать поведение уровней для семи ям Ua = -20, a=1, Ub=0, если ширины
барьеров между ямами увеличиваются от значения b=0 до b=0.6.
15. Шесть ям Ua = -20, a=1, b=0.7, Ub =0; сделав третью яму чуть глубже U3 = -21 или мельче
U3 = -19, обнаружить локализацию одного из состояний на этой примеси.
Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер, зависимость коэффициента прохождения и
| E (x) |2 от энергии, резонансы.
16. Найти коэффициент прохождения T(E) над ямой Ua =-20, a=3, первый пик функции T(E) уже,
а остальные более широкие. Предсказать поведение T(E) для a= 5 и a=15. Предполагается, что
эта задача решалась на семинаре аналитически. Для случая Ua =-20, a=3 просмотреть зависи2
мость | E (x) | от энергии E в интервале от E=0 до E=30, обратить внимание на то, что при
T(E)=1 амплитуды волновой функции вне и внутри ямы сравниваются, что резко противоречит классической картине.
17. Для случая барьера Ua =10, a=0.5 просмотреть зависимость T(E) в интервале от E=0 до E=30.
18. Два барьера Ua =10, a=0.5 с расстоянием между ними b=1, Ub=0. В зависимости T(E) первый
пик связан с основным квазиуровнем, второй --- с надбарьерным квазиуровнем. Такая система
аналогична эталону Фабри-Перро или нейтронному интерференционному фильтру (чередование слоев: никель, насыщенный азотом, --- сплав Ti/Zr, см. Ядерная физика 1999 г., т.62, No5,
2
стр.775 ). Просмотреть зависимость | E (x) | от энергии E в интервале от E=0 до E=30 с шагом HE=0.01, обратить внимание на то, что при T(E)=1 амплитуда волновой функции между
барьерами велика. Сопоставить положение резонансов и уровней в яме с Ua =-10, a=0.5 .
19. Три барьера Ua =10, a=0.5 с расстоянием между ними b=1, Ub=0 и шагом H E =0.02. В зависимости T(E) происходит расщепление пиков, обнаруженных в предыдущем случае двух ба2
рьеров. Просмотреть зависимость | E (x) | от энергии E с шагом H E =0.01 в интервале значений E вблизи резонанса и в минимуме T(E) между пиками.
20. Рассмотреть случай многих (N=8, 12) барьеров предыдущего вида. В этом случае ясно проявляются зоны пропускания и запрещенные зоны почти полного отражения.
Периодическое поле, спектр, волновые функции.
21. В одной яме Ua =-20, a=1 имеется всего два уровня. В периодическом поле, построенном из
таких ям с расстоянием b=0.5, Ub =0, появляются две зоны в области E<0. Для просмотра
12
22.
23.
24.
25.
26.
удобно выбрать масштаб U в интервале от –22 до +22 и такой же интервал для энергии E.
Просмотрите вид Re ψ(x) и Im ψ(x) для значений энергии, соответствующих дну нижней зоны,
чуть выше и чуть ниже.
Просмотрите то же самое в трехмерном изображении, где на осях отложены x, Re ψ(x) и Im
ψ(x). Просмотрите то же самое в трехмерном изображении, где на осях отложены x,
Re E (x) и Im E (x) при непрерывном изменении энергии в интервале, включающем и запрещенную зону.
Зависимость энергии от квазиимпульса E(q). В случае слабого периодического поля Ua =-0.5,
a=1, b=1, Ub=+0.5 кривая E(q) представляет собой куски параболы с малыми разрывами. Интересен вид квадрата модуля волновой функции вблизи разрывов - на границах разрешенных
зон.
Локализация состояний в периодическом поле, составленном из двух разных по глубине ям
U1=-10, U2 = 0, U3= -15, U4= 0 при расстояниях d1=1, d2=0.3, d3=1, d4=0.3.
Просмотреть, как изменяется зависимость E(q) при формальном удвоении периода. Затем сделать ямы в периоде не одинаковыми.
Познакомиться также с пайерлсовской неустойчивостью.
Движение в центральном поле.
27. Уровни энергии в прямоугольной потенциальной яме.
28. Частица в “слое” (U1=0, U2 =-20, U3= -15, d1=1, d2=0.3). Аналогия с вращательными
уровнями молекулы.
29. Гармонический осциллятор. Четность и кратности вырождения уровней.
30. Модель кулоновского поля.
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по
итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов
Домашние задания по курсу «Квантовая механика» (5-й семестр).
ЗАДАНИЕ № 1 (срок сдачи 15 октября)
1.
2.
3.
4.
5.
С помощью соотношения неопределенностей оценить минимальный размер пятна на Луне
при освещении ее источником с Земли.
Используя спектр уровней в яме с бесконечными стенками, найти приближенно спектр
уровней в яме U(x)=A|x|^b, A>0 при b>0, A<0 при b<0 .
Пучок электронов с импульсом p_z проходит между двумя плоскостями кристалла конечной длины. Найти угловое распределение электронов на выходе, если их взаимодействие с
кристаллическими плоскостями описывается потенциалом U(x)={0 при |x|<a/2 ; при
|x|> a/2 } (связать угловое распределение с распределением электронов по p x в указанном
потенциале.
Найти энергии и волновые функции стационарных состояний частицы в поле
U(x) = -G [δ(x-a) + 2δ (x) + δ (x+a)]. При каких значениях a число уровней уменьша2
ется до двух, до одного в таком поле? В предельном случае mGa/ >>1 получить явные
выражения для уровней энергии.
В начальный момент времени свободная частица массы m находится в состоянии, описываемом волновой функцией:
13
При t>0 найти средние значения координаты и импульса, неопределённости Δx(t) и Δp(t)
, а также распределения по координате dW(x,t)/dx , импульсу dW(p,t)/dp и энергии
dW(E,t)/dE .
ЗАДАНИЕ № 2 (срок сдачи 25 ноября)
6. При t=0 состояние линейного осциллятора с частотой ω задано волновой функцией
Определить распределение по координате, импульсу и энергии и средние значения координаты
и импульса при t>0 .
7. Частица находится в поле одномерного осциллятора в состоянии, являющемся собственной
функцией понижающего оператора а . Найти распределение вероятностей по энергиям в
этом состоянии и соотношение неопределенностей для координаты и импульса.
8. Найти в квазиклассическом приближении энергии и ширины квазистационарных
x
0
x
0
x
a.Условие применимости квазиклассики ?
0
состояний в поле U
2
/x xa
9. Показать, что :
Вычислить для атома водорода :
10. Найти закон преобразования собственных функций оператора момента Y11 , Y10 , Y11 при
повороте системы координат на угол вокруг оси y . Указание: представить сферические
функции в виде
3x
iy
3z
3 x
iy
Y
, Y
, Y
.
11
10
1
1
8
r
4 r
8
r
Найти также среднее значение проекции момента на повёрнутую ось z ' для каждого из
указанных состояний.
Исследовать качественно угловое распределение плотности вероятности для состояний,
описываемых сферическими функциями Yll (, ) и Yl 0 (,) , считая l >> 1
ЗАДАНИЕ №3
(сдать до 15 декабря)
11. Построить волновые функции, возникающие при сложении моментов
j 1=1 и j2=3/2 . Ис
пользуя полученные волновые функции, найти средние значения операторов ˆj и ˆj в состоя1
2
нии с полным моментом j=3/2 и проекцией jz= 1/2. Сравнить с расчетом по векторной модели.
12. Гамильтониан взаимодействия двух частиц со спинами ½ имеет вид :
14
Начальная волновая функция |+ , - > . Вычислить вероятность в момент времени t найти
частицу в состоянии |- , + > и
13. Оценить в квазиклассическом приближении число связанных состояний в потенциале
2
(
r
)
g
e
x
p
(
r
/)
ar
/.
Юкавы U
14. Определить уровни энергии электрона с моментом L, заключенного внутри непроницаемой сферы радиуса R, используя квантование величины
15. Для описания относительного движения ядер в двухатомной молекуле можно использовать модельный гамильтониан вида
2
ˆ
p
1
a
~
2
ˆ
H
Z
e
2
2
m
r
2
r
Я
,
где m Я - приведённая масса ядер, а - равновесное межатомное расстояние
~ 2
2 , (m — масса электрона), а Ze / 2a - энергия диссоциации
me
молекулы. Найти энергии связанных состояний E nr l и при не слишком больших
радиальных и орбитальных квантовых числах, т.е. при nr и l ,
mЯ /me , получить колебательный и вращательный спектр двухатомной
молекулы.
порядка
2
Набор задач (расширенный список) для использования на контрольных работах по курсу
«Квантовая механика, (5-й семестр)
1. Оценить энергию основного состояния частицы в поле с потенциальной
энергией
2
2
ma U 0
a
U
(x
)
U
<<1 (мелкая яма). (4 балла).
0 2
2 при условии
a
x
2
2. Найти среднее значение коммутатора операторов кинетической K̂ и потенциальной энергии
ˆ,U
ˆ n . (3 балла).
Û в n-ном состоянии гармонического осциллятора n K
a исчезнет дискретный уровень энергии частицы в поле
3. При
каком
,x
0
,
U
(
x
)
? (4 балла).
G
(
x
a
),
x
0
4. Когерентное
состояние
осциллятора
определено
вектором
состояния
n
a
2
a
exp(
|a
|
/
2
)
n
, где a - комплексное число, n - вектор стационарного со!
n
0n
стояния осциллятора. Найти вероятность wn того, что в состоянии a содержится n квантов
возбуждения (2 балла). Вычислить среднее значение числа квантов n (2 балла) и его дис2
персию n (3 балла) в когерентном состоянии.
15
,x
0
,
1
U
(
x
)
22
m
Частица находится в поле с потенциальной энергией
x,x
0в состоянии с
2
(
x
,
t
)
1
n
(
x
,t
)
волновой функцией
, где n ( x, t ) - волновые функции стационарных
e
n
!
n
0
состояний в этом поле. Вычислить среднее значение энергии частицы. (4 балла).
ˆa n i
ˆ
i
p
p
a
x
ˆexp(
x )
x
)
Вычислить выражение exp(
(5 баллов).
Оценить длину волны излучения, необходимого для ионизации основного состояния атома
водорода. Ответ выразить в единицах боровского радиуса a B . (3 балла).
Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимальную энергию частицы с га4
22
p
m
x . (2 балла).
мильтонианом H
4
2
Найти по теории возмущений поправку первого порядка (2 балла) второго порядка (4 балла)
2
ˆ
за счёт возмущения Vxx к n-му уровню энергии невозмущённого осциллятора с
5.
6.
7.
8.
9.
2
22
ˆ
p
x
ˆ
m
x . Найти точные уровни энергии (3 балла). Сравнить
гамильтонианом H
0
2
m
2
их с результатом теории возмущений (3 балла).
ˆ J(s
s1, 2 10. Система их двух частиц со спином ½ описывается гамильтонианом H
1s2), где
операторы спина. Найти спиновые волновые функции этой системы (4 балла) и уровни энергии (3 балла). Пусть при t 0 вектор состояния системы имел вид . Найти вероятность
того, что при t 0 система окажется в состоянии (3 балла).
11. Можно ли определить траекторию электрона в основном состоянии атома водорода с помощью фотонов? (3 балла)
Примерная контрольная работа по курсу «Квантовая механика» (5-й семестр).
1.
2.
Вариант 1.
,
x
0
(
x
)
Потенциал имеет вид: U
Найти коэффициент отра
2
G
(
x
a
)
G
(
x
3
a
),
x
0
жения и проверить, что он имеет полюса при значениях энергии равных энергиям одного
связанного состояния и квазистационарных состояний в этом поле. (8 баллов)
U
(x)
G
(x).
Потенциал
имеет
вид
Начальная
волновая
функция:
2
2
x
(
x
,
t
0
)
C
exp
ipx
0
, m 1, G Найти вероятность обнаружить ча
2
стицу в связанном состоянии при t 0 (в ведущем порядке по малому ).(4 балла)
(
x
)
G
(
x
a
)
G
(
x
)
G
(
x
a
)
Потенциал имеет вид: U
. Найти при какой величине
параметра a, уменьшающегося с больших значений, пропадают связанные состояния.
(4 балла)
Оператор орбитального момента имеет вид li ijkxj pk . Вычислить коммутаторы: li , l j ,
3.
4.
xi
2
2
2
x
x
r , l j , где r x
1
2
3 .(4 балла)
16
5. Вычислить среднее значение
1
r2
по стационарным состояниям атома водорода nlm (r ) .
(3 балла)
Вариант 2.
2
(x
)
C
exp
x
Потенциал имеет вид U(x)F| x|. Пробная функция имеет вид:
.
Найти энергию основного состояния вариационным методом. Сравнить с квазиклассическим расчетом. (4 балла)
Оператор орбитального момента имеет вид li ijkxj pk . Вычислить коммутаторы: li , p j ,
1
2
2
2
x
x
1
2
3 .(4 балла)
pi pj , r , где r x
Найти уровни энергии E n и нормированные волновые функции стационарных состояний
,z
0
,
(z
)
частицы в одномерном поле с потенциальной энергией U
в квазиклассичеmgz
,z
0
ском приближении. (4 балла)
Вычислить вероятность wn того, что в когерентном состоянии
n
|
| /2
e
nнахо2
n
0
n
!
дится n квантов возбуждения гармонического осциллятора. (4 балла)
̂
ˆ 2
l
l
Вычислить средние значения
и
в состоянии с волновой функцией
1
[
Y
(
,
)
2
Y(
,
)]
.(3 балла)
3
,
2
5
2
,
2
Домашние задания по курсу «Квантовая механика» (6-й семестр).
ЗАДАНИЕ № 1 (срок сдачи 25 марта)
Найти поправки первого и второго порядка к трем нижним уровням энергии двумерного осциллятора со слабой нелинейностью:
Найти поправки первого порядка по (a/R) << 1 (a – боровский радиус) для уровней атома во-
дорода с n=2 от возмущения
Гамильтониан атома гелия без релятивистских поправок имеет вид :
Проверить, что полный орбитальный момент и полный спин системы двух электронов коммутируют с Ĥ и, тем самым, являются интегралами движения. Рассматривая взаимодействие
между электронами как возмущение, в первом порядке по возмущению убедиться в том, что
17
3
для электронной конфигурации 1s2s энергия триплетного терма S1 ниже энергии
1
синглетного S 0 .
Поток нейтронов, движущихся равномерно вдоль оси x и поляризованных по импульсу, проходит через фильтр, пропускающий лишь поляризацию в направлении с углами ( , ), и проходит затем область длины L с однородным магнитным полем H 0 , направленным вдоль оси Z.
Найти долю нейтронов, имеющих на выходе поляризацию вдоль Y .
ЗАДАНИЕ №2
(сдать до 25 апреля)
Поток нейтронов, движущийся вдоль оси X и поляризованный по направлению движения, переходит из области X<0 , где нет магнитного поля, в область X>0 с постоянным однородным
магнитным полем Hz . Найти зависимость от X средних значений проекций вектора спина на
оси X, Y, Z при больших X > 0 .
Атом Бора (Z=5) имеет основную конфигурацию 1s22s22p . Оценить зависимость от Z спинорбитального расщепления в этом состоянии. Как зависит от Z эффект Зеемана ?
Определить основные термы элементов C, N, O, Cl, Fe . Парамагнитные или диамагнитные свойства проявляет в слабом магнитном поле атом углерода, находящийся в нормальном состоянии?
На атом водорода, находящийся при t 0 в основном состоянии, падает поток фотонов. Определить минимальную частоту поля, необходимую для ионизации атома и, пользуясь теорией
возмущений, вычислить вероятность ионизации в единицу времени (электрон в конечном состоянии считать свободным).
ЗАДАНИЕ №3
(сдать до 25 мая)
Определить мультипольности и оценить вероятности переходов между уровнями с n=2 и
n=1 атома водорода с учётом их тонкой структуры. Объяснить большую величину времени
1s1/2. Как
жизни ( 1/ 7c ) уровня 2s1 / 2 , определяемую двухфотонным переходом 2s1/2
изменится это время жизни, если атом находится в слабом электрическом поле (с учётом лэмбовского расщепления 2s1/2 и 2p1/2 уровней) ? Найти напряженность поля , меняющую это
время в два раза.
Оценить интенсивность регистрируемого на Земле излучения от сферического межзвездного
облака водорода радиуса r, находящегося на расстоянии R от Земли. Найти (в борновском
приближении) сечение упругого рассеяния электронов в редком газе двухатомных молекул.
Расстояние между атомами в молекуле = а ; потенциал, создаваемый каждым атомом, имеет
вид
Ориентации молекул хаотичны. Рассмотреть случаи больших и малых переданных импульсов.
Потенциал взаимодействия двух частиц со спином 1/2 равен
Найти в борновском приближении сечение рассеяния, если в начальном состоянии угол между
спинами равен α (конечные поляризации не измеряются). Рассмотреть случаи различных и
тождественных частиц.
18
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины «Квантовая механика»
а) основная литература:
Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, т.3 Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Наука.
1989 г.
В.Г. Зелевинский. Лекции по квантовой механике. Сибирское университетское издательство 2002 г.
В.М. Галицкий, Б.М. Карнаков, В.И. Коган, Задачи по квантовой механике. 1992г.
В.Г. Сербо, И.Б. Хриплович. Конспект лекций по квантовой механике. Изд. НГУ 2007 г.
Г. Л. Коткин, В. А Ткаченко, О. А. Ткаченко. Компьютерный практикум по квантовой механике. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1996.
б) дополнительная литература:
Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике.
И.И. Гольдман, В.Д. Кривченков, Сборник задач по квантовой механике.
Л. Шифф, Квантовая механика. 1957г.
А.И. Базь, Я.Б. Зельдович, А.М. Переломов, Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистскойквантовой механике. Наука. 1971г.
5. P.A.M. Dirac, Принципы квантовой механики. Наука. 1979 г.
6. Р. Фейнман, А. Хибс, Квантовая механика и интегралы по траекториям. Мир. 1968г.
1.
2.
3.
4.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
Программа Quants.exe и Quantx.exe для проведения практикума.
Сайт http://www.inp.nsk.su/students/theor/TreeofKnowledge/index.TreeOfKnowledge.html.
Сайт физических симуляций http://phet.colorado.edu/en/simulations/category/physics.
Видео-лекции по квантовой механике в НГУ профессора Дмитриева В.Ф.
http://www.phys.nsu.ru/videoarchive/ (доступ только из НГУ).
5. Стать Википедии по квантовой механике: http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_mechanics.
6. Lectures in quantum mechanics (Stanford, prof. L. Susskind):
http://www.youtube.com/watch?v=2h1E3YJMKfA
1.
2.
3.
4.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Курс предусматривает прохождение 12 занятий в терминальном классе по 2 учебных часа каждое
(на каждую из шести тем, приведенных выше, предусмотрено не менее 2 занятий). Требуемое программное обеспечение: программы Quants.exe и Quantx.exe. Для проведений лекционных демонстраций, основанных на программах Quants.exe и Quantx.exe, необходим мультимедийный проектор с компьютером.
Рецензент (ы) _________________________
Программа одобрена на заседании ____________________________________________
(Наименование уполномоченного органа вуза (УМК, НМС, Ученый совет)
от ___________ года.
19
