Лекция 04 Глава 4. Механика твердого тела § 31. Мгновенная

Лекция 04
en
tia
§ 31. Мгновенная ось вращения
§ 32. Движение центра инерции (масс) твердого тела
§ 33. Вращение тела вокруг неподвижной оси
§ 34. Момент инерции
§ 35. Кинетическая энергия твердого тела
§ 36. Работа внешних сил при вращении твердого тела
§ 37. Кинетическая энергия тела при плоском движении
§ 38. Гироскопы
l
Глава 4. Механика твердого тела
§ 31. Мгновенная ось вращения
C
on
fid
При вращательном движении все точки твердого тела движутся по окружностям, центры
которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Для описания
вращательного движения нужно задать положение в пространстве оси вращения и
угловую скорость тела в каждый момент времени. Любое движение твердого тела может
быть представлено как наложение двух указанных выше основных видов движения.
Примером плоского движения может служить качение цилиндра по плоскости. В этом
случае все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях
C
om
pa
ny
Элементарное перемещение какой-либо точки тела ds можно разложить на два
перемещения — «поступательное» dsn и «вращательное» dsв:
ds = dsn + dsв,
причем dsn для всех точек тела одно и то же. Такое разложение перемещения ds можно
осуществить различными способами, причем в каждом случае вращательное перемещение
dsв осуществляется поворотом тела на один и тот же угол dj (но относительно
различных осей), в то время как dsn и dsв оказываются различными.
Разделив ds на соответствующий промежуток времени dt, получим скорость точки v:
где vo — одинаковая для всех точек тела скорость поступательного движения и v' —
различная для разных точек тела скорость, обусловленная вращением.
Таким образом, плоское движение твердого тела можно представить как сумму двух
движений — поступательного со скоростью vo и вращательного с угловом скоростью ω
(вектор ω направлен перпендикулярно к плоскости чертежа, за чертеж).
Подобное представление сложного движения можно осуществить множеством способов,
отличающихся значениями vo и v', но соответствующих одной и той же угловой скорости
Движение цилиндра, без скольжения по плоскости, можно представить как
поступательное движение со скоростью vo и одновременное вращение с угловой
скоростью ω вокруг оси О, либо как поступательное движение со скоростью v" = 2 vo и
вращение с той же угловой скоростью вокруг оси О", либо, наконец, как одно только
вращение опять-таки с той же угловой скоростью ω вокруг оси О'.
l
Движение тела можно представить как вращение с угловой скоростью ω в системе
отсчета, которая движется относительно неподвижной системы поступательно со
скоростью vo. Следовательно, скорость этой точки при сложном движении тела может
быть представлена в виде
en
tia
Существуют такие точки (они могут лежать в пределах тела, или вне его), которые,
участвуя в обоих движениях— поступательном и вращательном, будут неподвижными.
on
fid
Если имеется хотя бы один вектор r, который при векторном перемножении с ω дает
вектор, равный -vo, то существует еще ряд векторов r, которые при векторном
перемножении с ω дают такой же результат.
ny
C
Точки, определяемые этими радиусами- векторами r, будут в рассматриваемый момент
времени неподвижными. Эти точки лежат на одной прямой и образуют так называемую
мгновенную ось вращения. Положение мгновенной оси вращения относительно
неподвижной системы отсчета и относительно самого тела может меняться со временем.
В случае катящегося цилиндра мгновенная ось О' совпадает с линией касания цилиндра с
плоскостью. При качении цилиндра мгновенная ось перемещается как по плоскости (т. е.
относительно неподвижной системы отсчета), так и по поверхности цилиндра.
C
om
pa
Плоское движение твердого тела можно рассматривать как ряд последовательных
элементарных вращений вокруг мгновенных осей.
§ 32. Движение центра инерции (масс) твердого тела
Разбив тело на элементарные массы, можно представить его как систему материальных
точек, взаимное расположение которых остается неизменным. Любая из этих
элементарных масс может находиться под воздействием как внутренних сил,
обусловленных ее взаимодействием с другими элементарными' массами
рассматриваемого тела, так и внешних сил.
Напишем для каждой элементарной массы уравнение второго закона Ньютона
где fi — результирующая всех внутренних сил, a Fi - результирующая всех внешних сил,
приложенных к данной элементарной массе. Складывая уравнения для всех элементарных
масс, получим:
Учли, что сумма всех внутренних сил, действующих в системе, равна нулю. Сумму,
стоящую в левой части уравнения, можно заменить произведением массы тела на
ускорение его центра инерции
Тогда
l
Центр инерции твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с
массой, равной массе тела, под действием всех приложенных к телу сил.
en
tia
В случае поступательного, но не вращательно, движения это уравнение будет определять
ускорение не только центра инерции, но и любой другой точки тела.
§ 33. Вращение тела вокруг неподвижной оси
on
fid
Силы взаимодействия между частицами действуют в противоположные стороны вдоль
одной прямой.
C
Их моменты относительно произвольной точки равны и противоположны. Поэтому сумма
моментов внутренних сил равна нулю и учитывая выражения
L = å Li =å ri ´ pi
i
i
и
M i = ri × Fi
и
dp N
= å Fi
dt i =1
ny
сумма моментов внешних сил равна
C
om
pa
d
L = å M внешн
dt
i
Момент импульса замкнутой (в отсутствии внешних сил) системы частиц остается
постоянным. Это закон сохранения момента импульса.
Абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему частиц с неизменным
расстоянием между ними. Для нее справедливо уравнение
d
L = å M внешн
dt
i
Это основной закон вращательного движения.
Рассмотрим систему материальных точек, каждая из которых может перемещаться,
оставаясь в одной из плоскостей, проходящих через общую ось Z. Все плоскости могут
вращаться вокруг этой оси с одинаковой угловой скоростью
ω.
l
en
tia
Тангенциальная составляющая скорости i-й точки может быть представлена в виде:
vt i = ω ´ R i
где Ri — перпендикулярная к оси Z coставляющая радиуса-вектора ri (ее модуль Ri дает
расстояние точки от оси Z).
2
zi
i
i
i
i
i
fid
L = m (R ´ (ω ´ R )) = m R ω
C
где
on
(векторы Ri- ω и взаимно перпендикулярны). Просуммировав это выражение по всем
точкам найдем для момента импульса системы относительно оси Z следующее
выражение:
- момент инерции системы
ny
материальных точек относительно оси Z. Тогда
Подставив это выражение в основной закон динамики вращательного движения
C
om
pa
d
L = å M внешн
dt
i
придем к уравнению:
которое является основным уравнением динамики вращательного движения. По
форме оно сходно с уравнением второго закона Ньютона.
Абсолютно твердое тело это система материальных
точек с неизменными расстояниями между ними. Для него момент инерции Iz
относительно фиксированной оси Z есть величина постоянная.
Следовательно, полученное уравнение переходит для абсолютно твердого тела в
уравнение:
где угловое ускорение тела
,
&.
β=ω
en
tia
l
Видно, что при вращательном движении роль силы играет момент силы, роль массы —
момент инерции и т. д.
fid
Момент инерции тела может изменяться вследствие изменения взаимного расположения
отдельных частей тела и при нулевом моменте сил М = 0 изменение момента инерции
влечет за coбой соответствующее изменение угловой скорости. Этим объясняется
демонстрируемое явление, заключающееся в том, что человек, стоящий на вертящейся
скамье, разводя руки в стороны, начинает вращаться медленнее, а прижимая руки к
туловищу, начинает вращаться быстрее.
on
§ 34. Момент инерции
C
Из определения следует, что момент инерции есть величина аддитивная. Это означает, что
момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей. Распределение массы в
пределах тела можно охарактеризовать с помощью
где m — масса тела, а V — его объем.
mi = ri DVi
ny
В результате
I = å ri Ri 2 DVi = r å Ri 2 DVi = ò r R 2 dV
om
pa
C
момент инерции можно представить в виде
Интеграл берется по всему объему тела. Подинтегральные величины являются функциями
точки.
Вычисления дают, например, момент инерции
однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей
через его центр.
Нахождение момента инерции в примере значительно упрощалось вследствие того, что
тело было однородным и симметричным, в момент инерции мы искали относительно оси
симметрии О-О). Если бы мы захотели найти момент инерции диска относительно,
например, оси О'О', перпендикулярной к диску и проходящей через его край, вычисления,
оказались бы гораздо более сложными.
en
tia
l
В подобных случаях нахождение момента инерции значительно облегчается, если
воспользоваться теоремой Штейнера, которая формулируется следующим образом:
момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции Iо
относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и
произведения массы тела m на квадрат расстояния «а» между осями:
В соответствии с теоремой Штейнера момент инерции диска относительно оси О'О' равен
fid
В заключение приведем значения моментов инерции
для некоторых однородных тел.
C
on
1. Тонкий длинный стержень с сечением любой формы с b<<l.
ny
Момент инерции относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его
середину, равен
C
om
pa
2. Диск или цилиндр при любом отношении R
к l момент инерции относительно оси, совпадающей с геометрической осью цилиндра,
равен
3. Тонкий диск. Толщина диска b во много раз меньше радиуса диска R(b<<R). Момент
инерции относительно оси, совпадающей с диаметром диска равен
4. Момент инерции шара радиуса R относительно
оси, проходящей через его центр, равен
§ 35. Кинетическая энергия твердого тела
mi
en
tia
l
Вращение тела вокруг неподвижной оси Z. Линейная скорость элементарной массы
может быть представлена в виде
Dm
где Ri — расстояние
i от оси Z.
Следовательно, кинетическая энергия i-й элементарной массы равна
on
fid
Кинетическая энергия тела слагается из кинетических энергий его частей:
C
Сумма в правой части этого соотношения представляет собой момент инерции тела I
относительно оси вращения. Таким образом, кинетическая энергия тела, вращающегося
вокруг неподвижной оси, равна
ny
Полученное выражение аналогично выражению для кинетической энергии тела,
движущегося поступательно. При вращательном движении роль массы играет момент
инерции, а роль линейной скорости угловая скорость.
om
pa
§ 36. Работа внешних сил при вращении твердого тела
C
Найдем работу, которую совершают внешние силы при вращении тела вокруг
неподвижной оси Z.
Внешняя сила, приложенную к элементарной массе через fi,-. За время dt i-я элементарная
масса проходит путь
.
Работа силы fj на этом пути определяется проекцией силы на направление перемещения,
т.е. по касательной. Таким образом
ft i Ri равно модулю момента силы f , относительно оси Z, взятому со знаком « + »,
если ft i положительна, и со знаком «-», если ft i отрицательна.
Но
en
tia
l
i
Если учесть знак угла поворота, то
fid
Работа всех сил, приложенных к телу, равна сумме работ, совершаемых отдельными
силами:
on
или
Это выражение аналогично выражению для работы при поступательном движении:
C
. Из сопоставления следует, что в случае вращения роль силы играет
момент силы, а роль линейного перемещения - угловое перемещение.
ny
Работа за конечный промежуток времени находится путем интегрирования
C
om
pa
Если проекция результирующего момента сил на направление
можно вынести за знак интеграла:
j
ω
остается постоянной, ее
ф
(
- угол, на который поворачивается тело за время t.
Т.о., при вращении тела внутренние силы работы не совершают, а работа внешних сил
определяется этой формулой.
§ 37. Кинетическая энергия тела при плоском движении
Плоское движение тела может быть представлено как наложение двух движений поступательного с некоторой скоростью v0 и вращения вокруг соответствующей оси.
Свяжем с телом систему координат К', ось Z' которой направим вдоль вектора угловой
ω
скорости вращения тела
. Тогда скорость i-й элементарной массы тела в неподвижной
системе координат К может быть представлена в виде
где Vo — скорость начала координат О' системы К', r'i - радиус-вектор, определяющий
положение элементарной массы по отношению к точке О'.
Кинетическая энергия i-й элементарной массы равна
en
tia
l
Осуществим возведение в квадрат, выполним суммирование по всем элементарным
массам и вынесем постоянные множители за знак суммы:
fid
Сумма элементарных масс есть масса тела; выражение
равно
произведению массы тела на радиус-вектор г'с центра инерции тела в системе К';
on
выражение
дает момент инерции Iz тела относительно оси вращения Z'.
Поэтому можно написать, что
ny
C
Если в качестве точки О' взять центр инерции тела С, т. е. поместив начало системы
координат К' в точку С, то
C
om
pa
Таким образом, кинетическая энергия тела при плоском движении слагается из энергии
поступательного движения со скоростью, равной скорости центра инерции, и энергии
вращения вокруг оси, проходящей через центр инерции тела.
§ 38. Гироскопы
Гироскопом (или волчком) называется массивное симметричное тело, вращающееся с
большой скоростью вокруг оси симметрии. Ось симметрии является одной из главных
осей инерции гироскопа, поэтому момент импульса гироскопа совпадает по направлению
с его осью вращения.
Для того чтобы изменить направление в пространстве оси гироскопа, необходимо в
соответствии с
подействовать на него моментом внешних сил. При этом наблюдается «гироскопический
эффект»: под действием сил, которые, казалось бы, должны были вызвать поворот оси
гироскопа 00 вокруг прямой О'О' ось гироскопа поворачивается вокруг прямой О"О"
l
en
tia
(ось 00 и прямая О'О' предполагаются лежащими в плоскости чертежа, а прямая О"О" и
силы f1 и f2 — перпендикулярными к этой плоскости).
fid
«Противоестественное» поведение гироскопа полностью соответствует законам динамики
вращательного движения, т. е. в конечном счете, законам Ньютона. В самом деле, момент
сил f1 и f2 направлен вдоль прямой О'О'. За время
момент импульса гироскопа L
, которое имеет такое же направление, как и М.
on
получит приращение
Момент импульса гироскопа спустя время
будет равен результирующей
ny
C
, лежащей в плоскости чертежа. Направление вектора L' совпадает
с новым направлением оси вращения гироскопа. Таким образом, ось вращения гироскопа
повернется вокруг прямой О"О", причем так, что угол между векторами М и L
уменьшается. Если действовать на гироскоп длительное время постоянным по
направлению моментом внешних сил М, то ось гироскопа устанавливается в конце концов
так, что ось и направление собственного вращения совпадают с осью и направлением
вращения под действием внешних сил (вектор L совпадает по направлению с вектором
М).
C
om
pa
Описанное поведение гироскопа положено в основу прибора, называемого
гироскопическим компасом (гирокомпасом). Этот прибор представляет собой
гироскоп, ось которого может свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости.
Вследствие суточного вращения Земли гироскопический компас оказывается под
действием сил, которые стремятся вовлечь его во вращение вокруг земной оси. В
результате ось гироскопа поворачивается так, чтобы угол между вектором момента
импульса гироскопа L и вектором угловой скорости Земли
ωз
уменьшался. Это
продолжается до тех пор, пока угол между L и ω з не станет минимальным, т. е. пока ось
гироскопа не установится в меридиональной плоскости (в отличие от рассмотренного
выше общего случая поворот оси гироскопического компаса ограничен так, что эта ось
может располагаться только в горизонтальной плоскости).
l
en
tia
C
om
pa
ny
C
on
fid
Гироскопический компас выгодно отличается от компаса с магнитной стрелкой тем, что в
его показания нет необходимости вносить поправки на магнитное склонение и не
приходится принимать мер для компенсации воздействия на стрелку ферромагнитных
предметов (стального корпуса корабля и т. п.). По этой причине в навигации применяются
гирокомпасы.
Гироскопические силы. При попытках вызвать поворот оси гироскопа заданным
образом вследствие гироскопического эффекта возникают гироскопические силы,
действующие на опоры, в которых вращается ось гироскопа. Чтобы предотвратить это
вращение, к оси гироскопа должны быть приложены действующие со стороны
подшипников силы. По третьему закону Ньютона ось будет действовать на подшипники с
силами f1 и f2, которые и являются гироскопическими силами.
С наличием гироскопических сил приходится считаться, например, при конструировании
подшипников паровых турбин на кораблях. Ротор турбины представляет собой гироскоп.
При килевой (продольной) качке судна происходит принудительный поворот оси турбины
вокруг прямой О'О'. Это приводит к возникновению гироскопических сил f1 и f2,
обусловливающих дополнительное давление оси на подшипники.
Прецессия гироскопа. Особый вид движения гироскопа имеет место в том случае, если
момент действующих на гироскоп внешних сил, оставаясь постоянным по величине,
поворачивается одновременно с осью гироскопа, образуя с ней все время прямой угол. В
таких условиях находится, например, гироскоп с осью, вращающейся на шарнире,
находящийся в поле сил тяжести.
l
en
tia
fid
Момент внешних сил, приложенных к гироскопу, равен по величине: М = mgl sin α, где m
— масса гироскопа, I — расстояние от шарнира до центра инерции гироскопа, α - угол,
образованный осью гироскопа с вертикалью. Момент М Направлен перпендикулярно к
вертикальной плоскости, проходящей через ось гироскопа (плоскость заштрихована).
on
Под действием момента сил М момент импульса L гироскопа получает за время dt
C
приращение
совпадающее по направлению с вектором М, т. е.
перпендикулярное к вектору L.
Изменение, которое претерпевает вектор L, получив приращение dL, соответствует
такому повороту оси гироскопа вокруг вертикальной прямой 00', при котором угол α не
изменяется.
C
om
pa
ny
В итоге ось гироскопа будет непрерывно поворачиваться вокруг вертикали, проходящей
через шарнир О, описывая конус с углом раствора, равным 2α . Вектор L при этом будет
изменяться только по направлению, по величине он будет постоянным, так как
элементарные приращения dL все время будут перпендикулярны к вектору L.
Описанное движение гироскопа называется прецессией и представляет собой движение
оси гироскопа под действием внешних сил, происходящее таким образом, что ось
описывает конус (в частности, при α = π/2 конус вырождается в плоскость).