ДЛЯ ИОНОВ В ИСТОЧНИКЕ С ОБЪЕМНОЙ ИОНИЗАЦИЕЙ

УЧЕНЫЕ
т о ом
удк
ЗАПИСКИЦАГИ
Vll
М3
1976
629.7.036.72
РЕШЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА
ДЛЯ ИОНОВ В ИСТОЧНИКЕ С ОБЪЕМНОЙ ИОНИЗАЦИЕЙ
ПРИ УЧЕТЕ ПРОЦЕССА ПЕРЕ ЗАРЯДКИ
В. Б. Железный, Ю. Е. Кузнецов
Процессы в плоском ионном
перезарядки, распределения
том
энергии
ионов
источнике
электронов
по
рассмотрены
с
длине источника
в зависимости от места их рождения
в
учетом
и
с
уче­
источнике.
Введена функция распределения ионов. Решение системы дифферен·
циальных уравнений, описывающих законы рождения, убыли и сохра­
нения частиц, находилось совместно с решением уравнения Больцма­
на для функции распределения ионов.
Рассмотрим процессы, происходящие в камере ионизации. Камеру иониза­
ции, как и в работе [1], будем считать плоской; вдоль координаты х, перпенди­
кулярной стенкам камеры, движутся ионный и нейтральный компоненты. Стенки
камеры
находятся
под
потенциалом,
отрицательным по отношению
к
потенциалу
плазмы.
Через левую стенку камеры натекает рабочее вещество
ности всех нейтральных потоков в камере будут выражаться
валентного тока, т. е. в амперах на квадратный сантиметр.
Истечение ионного и нейтрального компонентов
стенку
-
сетку с прозрачностью
1
= Soo
/SK,
где
SOC) -
(фиг. 1, а). Плот­
в единицах экви­
происходит через правую
площадь
отверстий,
SK-
общая площадь стенки. Прозрачность сетки для ионов инейтралов принята
равной геометрической прозрачности 1.
Как и в работе (1], нейтральный компонент считаем состоящим из трех
потоков (фиг. 1, б):
1) всегда положительного потока .холодных· нейтралов
движущегося от левой стенки направо;
плотностью
jn 1 (х),
2) всегда отрицательного потока .холодных· нейтралов
движущегося от правой стенки налево;
плотностью
jn 2 (х),
3) потока плотностью j~, возникшего в результате перезарядки потока
быстрых нейтралов.
Первые два однонаправленных потока характеризуются некоторой средней
тепловой скоростью V N, определяемой температурой стенок.
Полагаем, что ионы, как это следует из работы [2], движутся от некоторо­
го сечения внутри камеры (соответствующую ему координату х положим равной
нулю) к правой и левой стенкам, причем значения ионного тока на стенках
равны между собой и равны максимальному значению ионного тока (б омов­
скому току).
114
Нейтралы, возникшие в результате перезарядки, движутся в том же направ­
лении,
что
и
ионы.
В отличие от работы [1] будем считать,
-отвечает распределению Больцмана, т. е.
от
места
их
энергия ионов,
электронная
е [СР(Х)-9(0)]}
n е (х) = nе о ехр {"
Соответственно
что
kT
пришедших
в
e
концентрация
•
произвольное сечение х, зависит
рождения.
Полагаем, что длина свободного пробега нейтрала до соударения с нейтра­
лом и с ионом много больше расстояния между стенками источника. Величины,
описывающие ионный компонент. будем искать, решая кинетическое уравнение.
"iп 1
.~
)п2 11 )t"
/Пl
jп
а)
о
Фиг.
Рассматриваем
ту
часть
ХО
б)
камеры,
Х
1
для
которой
х> О,
дЛЯ
х
<О
решение
.аналогично.
Пусть F (х, V) - функция распределения ионов; F (х, V) dxd V - число ионов
на интервале dx вблизи точки х, обладающих скоростями от V до V
dV.
Тогда согласно определению плотность ионов и ионный ток как функции коор­
+
динаты х запишутся
в
виде
Vшах
Vшах
ni (х) =
J
ji (х)
F(x, V)dV;
о
=
е
J
VF(x. V) dV,
о
!Где
Vшах =
V
2e
т [9(Х)-9(0)]
Функцию распределения можно найти, решая уравнение Больцмана
aF
V дх
I+
V
I
[3]:
е d9 aF
т dx aV х-= -nnО"перFV.
(1)
Перейдем в уравнении (1) к переменным х и Е вместо переменных х и
Старая переменная V выражается через новые следующим образом:
V(x, ~) =
где е
-
V
координата места рождения
2e
т [9 (х) - 9(е)] ,
иона,
причем
являются очень удобными для выражения функции
= const -
0<::; < х.
V.
(2)
Координаты х и ~
так как Е =
распределения,
это траектория иона в любом фазовом пространстве.
115
Вычислим необходимое для
дР
дV
дх
Произвqдную
дх
I
I
~
I + дР
дР
дх
=
~ получим из
1 dV
I
дР
дх
значение производной
(1)
•
Имеем:
IV
I
(3)
д V х dx ~.
v
(2):
I _..!...
dV
~
dx
-
'f' (х)
т
V
(4)
'
Выражение (4) представляет собой уравнение траектории иона в фазовом про­
странстве в переменных х и V.
Подставим (4) в (3), а затем (3) в (1). Получим:
~: 1~ =
-
N,.
<:!лер Р.
(5)
Уравнение (5) - это уравнение Больцмана для функции распределения
динатах х и Е, и в отличие от (1) оно легче интегрируется:
-1
F(х, е) р(е, ~) ехр [
=
В новых переменных
nn (t)
в коор­
<:!лер dt] .
(6)
имеем:
n;
Jх Р(х,
(х) =
е
!;)
'f' (Е)
т
V (х, ;)
de;
о
ji (х)
х
J
=
F
(х,
ер' (;) d~.
;) :
о
Вычислим необходимую
на е, получаем:
для
р(е, Е).
(6)
т
"
Р(;, ~)
с другой стороны,
F
1 dji (~)
е ~
-
=
это
Дифференцируя
I
(7)
по х и
(7)
ззменяя х
dji (е)
1
&" 7' (Е) (fГ'
число ионов,
родившихся
на единице
длины
вблизи сечения ~ в результате процессов ионизации и перезарядки. Поэтому
J d ji (;)
"е ~ = n,,(<;) nе(е) <:!Ve
Н, С учетом
F
(х,
+
jt (;)
е
nnЮ<:!uер
(6),
т
е
;) =
n,. (")
~ nе (")
:;
Cfi
+ n,. (")
:; <:!лер ji
- ( (~)
1ч>' ю
ехр
Vе
[
х
-
f
nn (t) <:!лер dt
]
.
Таким образом, мы выразили функцию распределения ионов через другие
неизвестные функции. Это дает возможность lIаписать замкнутую систему урав­
нений и находить функцию распределения одновременно с решением этоii
системы. Положим 'f (О) = О и введем безразмерные переменные:
-
-
etp(X)
<р(х) = - - ;
kTe
та (К) =
Х
-
-
nе(.х) =
-
nn(х)
-
nn(х)
.
=-nnо
(х)
ja
еn n
= хn ,. о <:!пер;
nе(х)
--;
ЛеО
;
oV n
,
CI
= i,
= Еn,. о <:!пер;
а также два безразмерных параметра:
n 1, n 2, n;
t=
tn n о О"лер,'
Параметр k} представляет собой отношение двух величин: k1 = Anep/Aj, r де
Л пер - длина пробега нейтрала до перезарядки, А пер = 1/n nе С!пер, Ai"':" длина про­
<>ега нейтрала до ионизации,
А;
t'n
=
nеО С!;
ношению потока нейтралов в сечении х
Ve
=
.
Параметр
пропорционален от-
k2
О к бомовскому току.
Наконец, опуская черточки над
безразмерными переменными, получаем
<:истему уравнений, описывающих изменение величины потоков ионов и нейтра­
лов и функции распределения ионов по длине камеры:
dji (х) = k 1 n е (х) nn (х) dx;
dj ~ (х)
= nn (х) ji (х) dx;
djnl (х) = -jn 1 (х) [k I n е (х) + jj (х)] dx;
djn2 (х) = jn 2 (х) [k 1 nе (х) + ji (х)] dx;
nn(х) =jnl(X)-jn2(Х);
'1' (х) = -
In nе
I
(х);
'1" (~)
_ dE;
ne(~)
V
(8)
1п n е (х)
Граничными условиями для этой системы являются:
j;(O) = О;
r де jn левую
безразмерная
j~ (О) = О;
величина
.
jn
+
1
J n 1 (О) = - 2 - ;
потока
нейтралов,
)
(9)
входящего
в камеру через
стенку.
В точке ХО'
в
которой
справедливо
соотношение
ji
=
ji
тах,
выполняется
условие
или
(10)
.,
jn =0,6
о,
Jп
75
1J,50
0.2
Фиг.
2
.z
Фиг.
3
117
Система уравнений
типа БЭСМ-3.
(8)
с граничными условиями
(9)
и
(10)
решал ась на ЭВМ
Примеры кривых, полученных в результате счета для jj (х) и j~ (х), пр иве­
дены на фиг. 2 и 3.
Из сравнения полученных данных с результатами работы
[1]
видно следую-
щее: рассмотренная теория дает увеличение отношения j~ шахUj шах в ] ,12 ],07 раз.
В работе [1] координата х обезразмеривалась с помощью величины Лj.
а здесь для обезразмеривания
служила величина Л пер . Поскольку
.
Л пер
k1 = -,-'
то
А!
~ = k! ~. Это дает возможность сравнить полученные значения коЭффиЛi
Л пер
циента использования массы 1jm С результатами работы (1]. Сравнение, прове­
денное в таблице, показывает, что работа [1] дает заниженные значения 1jm для
коротких
камер.
Результаты
Результаты
работы (1]
A=~I
k!~
Лi
0,0]6
0,2
0,2
0,45
1, ]55
0,436
х
данной работы
'tJm
k!
0,270
0,588
0,256
25
5
2
I
I ~I
]
0,4
1
х
Л пер
0,018
0,23]
0,218
I
1jm
0,390
0,700
0,373
J
Изложенная теория может быть использована для нахождения предельного
значения коэффициента использования массы реальных ионных источников.
ЛИТЕРАТУРА
].
К У з н е Ц о в
Ю.
Е., Р У д а к о в
В.
П.
О
влиянии
процесса
перезарядки на эффективность ионного источника с объемной иони­
зацией. ,Ученые записки ЦАГИ", т. 1, М 2, 1970.
2,
Фир с о в О. Б. Ток положительных ионов на электроды ваку­
2.
К о г а н М. Н. динамика разреженного газа. М., ,Наука',
умной дуги. ЖТФ, т.
26,
вып.
2, 1956.
Рукопись поступила
]967.
21/Vl 1974 z.