МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АНТЕННЫХ РЕШЕТОК

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АНТЕННЫХ
РЕШЕТОК
В настоящее время большинство систем связанных с передачей,
извлечением и обработкой информации являются беспроводными. А
именно в этом случае информация передается с помощью
электромагнитных волн. Так при передаче исходная информация
преобразуется в электромагнитную волну, а затем при приеме
происходит обратное преобразование. А именно
из
электромагнитной волны извлекается цифровой (двоичный) код,
который уже воспринимается любым программным обеспечением.
На рис.1.1 схематично показаны основные этапы обработки при
получении информации с помощью электромагнитных волн.
y(t)
u(t)
Аналоговая
обработка
y(n)
АЦП
Вычислительная
система
Антенна
Электромагнитная
волна
Рис.1.1.
Сделаем пояснения по данному рисунку. Так антенна – это
элемент, который осуществляет преобразование электромагнитной
(или акустической волны) в электрическое напряжение. Если же мы
говорим не о приеме, а о передаче информации, то преобразование
осуществляется наоборот из электрического напряжения в
электромагнитную волну.
В результате при приеме на выходе антенны мы получили
сигнал u(t), который представляет принятую информацию как
функцию непрерывного времени t. Такие сигналы называются
аналоговыми, а соответственно системы обрабатывающие подобные
сигнала называются аналоговыми. Подобные системы характерны
тем, что их характеристики, а также входные и выходные сигналы
являются функцией от непрерывного времени t.
Рассмотрим теперь следующий элемент на рис.1.1 - АЦП
(аналого-цифровой
преобразователь).
Фактически
это
преобразователь из непрерывной функции в двоичный код.
Квантование
во времени
y(t)
Квантование
по уровню
y(n)
y(n)
Рис.1.2.
Здесь квантователь во времени осуществляет просто выборку из
непрерывной функции ее значений через интервал (шаг) времени Tд
(рис.1.3).
y(t)
Рис.1.3.
0
n Tд
(n+1) Tд
t
При таком выполненном преобразовании (выборке отсчетов из
непрерывной функции) сами значения имеют неограниченную
точность. В компьютере разрядность данных фиксирована, поэтому
необходимо выполнить привязку реальных значений к имеющейся
разрядной сетке (рис.1.4).
y(n)
Рис.1.4.
y(n)
Фактически после АЦП мы получили целые числа, которые
имеют формат данных используемый в вычислительной системе.
Вернемся теперь к антеннам и поясним основную
характеристику антенн – диаграмму направленности (ДН).
Важнейшее свойство антенны – это избирательность усиления
принимаемого сигнала в зависимости от направления прихода
электромагнитной волны, которая данный сигнал создает. И
диаграмма направленности – это характеристика антенны, которая
эту
избирательность
количественно
определяет.
Можно
сформулировать
следующее
определение.
Диаграмма
направленности – это зависимость усиление принимаемого сигнала
в зависимости от направления его прихода. В общем случае
диаграмма направленности – это функция двух угловых
направлений:
F (Ө,φ ) , где Ө - азимут, φ – угол места.
Часто избирательность приема рассматривается только по
одной координате (азимут). Это связано с тем, что по другой
координате антенна является всенаправленной. Мы в дальнейшем
будем в основном рассматривать именно этот случай, а именно
F(Ө ) будет функцией только одной угловой координаты. На рис.1.5
показана типичная диаграмма направленности.
F (Ө )
Ө
Рис.1.5.
Видно, что в случае показанном на рис.1.5 в направлении
нулевого азимута усиление принимаемого сигнала максимально, а
на некоторых направлениях прихода (где F(Ө) близко к нулю)
наблюдается полное подавление принимаемого сигнала. Заметим,
что кроме основного максимума в ДН имеются также боковые
лепестки (что является нежелательным, но это характерно для
любой ДН).
До этого мы использовали понятие сигнал. Теперь можно его
более точно сформулировать. Сигнал - это информация
представленная в виде изменения во времени напряжения
(напряженности электромагнитного поля или другого физического
параметра).
В настоящее время антенны используемые в системах связи
представляют так называемые антенные решетки. Это совокупность
нескольких слабонаправленных антенн, которые за счет
объединения обеспечивают возможность эффективного изменения
диаграммы направленности. На рис.1.6 антенная решетка
схематично показана.
N-й эл. АР
i-й эл. АР
2-й эл. АР
1-й эл. АР
Обработка
сигнала
Рис.1.6
Здесь антенная система состоит N элементов. Каждый элемент
– это ненаправленная антенна, и фактически ДН каждого элемента:
F (Ө ) = 1. Т.е. со всех направлений усиление сигнала одинаковое.
Само значение ДН (здесь нами принята 1) роли не играет. Можно
записать другое значение – главное здесь в том, что нет
избирательности усиления в различных направлениях. Такая
математическая модель соответствует реальной ситуации и очень
популярна. Далее принятые сигналы подвергаются обработке. В
большинстве случаев эта обработка заключается в изменении фазы и
амплитуды (гармонического) сигнала в каждом канале. Именно эту
ситуацию мы и будем в основном рассматривать. Далее (рис.1.6)
выходы всех антенных элементов суммируются и фактически
получается одна антенна, состоящая из нескольких антенных
элементов. Заметим, что в настоящее время обработка сигналов
(рис.1.6) и последующее объединение каналов реализуется в
вычислительной системе.
Математическая модель сигнала.
Большинство сигналов с помощью которых передается
информация являеются узкополосными. Мы также будем считать,
что сигнал поступающий на АР является узкополосным. Теперь
поясним этот термин. Общее функция для произвольного сигнала с
информацией описывается соотношением (1.1). При этом для
большинства сигналов функции U(t) и φ(t) являются существенно
медленно изменяющимися во времени по сравнению с cos(ωt). В
этом случае сигналы и называются узкополосными и для их
описания можно пользоваться комплексной огибающей (1.2)
сигнала.
u(t )  U (t ) cos( 0 t   (t ))
(1.1)
.
U (t )  U (t )e j (t )
(1.2)
В этом случае вся информация присутствующая в сигнале
заключена в комплексной огибающей. В тоже время переход от
комплексной огибающей реальному сигналу выполняется
достаточно просто:
.
u (t )  Re{U (t )e j0t }
Теперь предполагая, что можно использовать модель
комплексной огибающей (1.2), запишем основные соотношения для
двухэлементной антенной решетки .
d sin(Ө)
Направление
прихода волны
(сигнала)
Ө
2
1
d
Рис.1.7.
На рис.1.7 показаны два ненаправленных антенных элемента,
которые расположены на расстоянии d друг от друга. В этом случае
усиление сигнала в антенном элементе одинаково для любого
направления. Точечный источник электромагнитной волны
расположен под углом Ө относительно нормали к АР. Будем считать
источник достаточно удаленным от АР, и поэтому фронт
электромагнитной волны можно считать плоским. Из рис.1.7 видно,
что фронт волны плоский, и следовательно к левому элементу ( 2му) электромагнитная волна приходит с запаздыванием
относительно правого элемента
  (d sin  ) / v
(1.3)
Здесь v - скорость волны.
Если мы рассматриваем точечный гармонический источник
электромагнитной волны с частотой f 0, то время задержки сводится
(1.3) сводится к фазовому сдвигу волны. Этот фазовый сдвиг
2
d sin 
0
Здесь λ0 – длина волны, а также учтено соотношение v=f λ0 .
Таким образом, если в первый (правый) элемент поступает
сигнал
u1 (t )  A cos( 2f 0 t )
(1.4)
то во втором элементе принимаемый сигнал будет принимать
следующий вид
d sin 
(1.5)
u 2 (t )  A cos( 2f 0 t  2
)
0
В этом случае комплексные амплитуды сигналов (1.4) и (1.5)
записываются следующим образом
U1  A
U 2  Ae
j 2
d sin
0
(1.5 а)
Так как, зависимости от времени в соотношениях (1.5 а) нет,
вместо понятия комплексная огибающая используем – комплексная
амплитуда.
Диаграмма направленности решетки может быть определена
соотношением
.
G ( )  A(1  e
j 2
d sin
0
(1.6)
)
Это соотношение – комплексная амплитуда сигнала на выходе
АР в зависимости от углового положения точечного источника
сигнала ( параметр θ).
В этом соотношении амплитудный множитель ( A )роли не
играет, а интерес представляет зависимость от направления прихода.
Если вычислить модуль комплексной функции (1.6), то он
определяет амплитуду сигнала (гармонического) на выходе АР. А
аргумент (1.6) представляет фазу этого сигнала на выходе АР.
Первая характеристика представляет значительно больший интерес,
т.к. определяет усиление или ослабление сигнала на выходе АР в
зависимости от направления прихода электромагнитной волны.
Поэтому, запишем
следующим образом
модуль
G ( ) 
2
e
диаграммы
j 2
направленности
d sin ( i 1)
0
(1.7)
i 1
В следующем фрагменте для двухэлементной антенной
решетки приводится файл для системы MATHLAB, где
производится вычисление диаграммы направленности по формуле
(1.7). Заметим, что в этом файле в качестве расстояния между
элементами берется половина длины волны.
Задание для группы ПМ-06
Программу на листинге 1 написать на С++.
Обеспечить вывод информации на график
Листинг 1.
i=sqrt(-1);
% мнимая единица
m = 1:1:100;
%вектор используемый для формирования вектора
% значений ДН в следующей строке – интервал от 90
% градусов до -90
gr=-90+1.8*m;
for m2=1:100 %Цикл по количеству значений ДН
tetta = -pi/2+ pi/100*m2;
% формирование угла прихода эталонного
% сигнала
% вектор элементов АР
n=1:1:2;
f=cos(pi*sin(tetta)*(n-1));
g=sin(pi*sin(tetta)*(n-1));
% h - вектор комплесных отсчетов эталонного
% сигнала в элементах АР
h=f+i*g;
% вычисление модуля ДН
symma=0;
for lm=1:2
symma = symma+h(lm);
end
symma1=abs(symma);
diagr(m2)=symma1;
end
% нахождение максимального значения ДН
max1=max(diagr);
diagr=diagr/max1;
% При выводе значений в децибеллах убрать
%следующий % комментарий
%diagr=20*log10(diagr);
plot (gr,diagr)
Выполнение программы приводит к диаграмме направленности
показанной на рис.1.8.
Рис.1.8.
Задание 2 для группы ПМ-06
Рассчитать по
соотношению (1.7) ДН двухэлементной АР
при изменении по углу θ от -90 градусов до 90 градусов.
При этом использовать различные отношения
d
=1.5
0
d
=5
0
Вывести
на
параметра
d
0
d
0
:
d
=0.1
0
одном
графике
ДН
АР
при
3
значения
:
0.1 , 0.5
, 1.5 .
Поясним теперь некоторые результаты - образование нулей с
определенных направлений связано с тем, что фронт падающей
волны проходит между элементами расстояние равное половине
длины волны. Это соответствует сдвигу фазы на 180 градусов, что
фактически означает вычитание сигналов и приводит полному
подавлению сигнала на выходе.
Важным является то, что при сближении элементов ДН
становится практически ненаправленной. А при увеличении
отношения расстояния между элементами к длине волны
(относительно 0.5) формируются дополнительные максимумы в ДН.
Мы рассмотрели соотношения для двух элементов. Рассмотрим
теперь случай когда количество элементов N и они расположены на
одной линии на одинаковом расстоянии друг от друга. Такая
антенная решетка называется линейной эквидистантной.
Аналогично (1.6) можно записать диаграмму направленности
для N-элементной АР
N
.
G ( )  A e
j 2
d sin ( i 1)
(1.8)
0
i 1
Задание 3 для группы ПМ-06
Вычислить и вывести на график модуль ДН по формуле (1.7)
при изменении по углу θ от -90 градусов до 90 градусов.
При этом использовать
d
=0.5
0
Рассмотреть случаи различных значений N (7, 20). Уменьшить
расстояние между элементами в 4 раза и вывести на одном
графике две ДН (с различным расстоянием между элементами АР).
Результат данной модели при N=7 показан на рис. 1.9.
Рис.1.9.
Рассмотрим теперь ситуацию когда в каждом элементе АР
присутствует фазовращатель (элемент который изменяет фазу
гармонического колебания на определенную величину).
i
Поворот
на ψ(i-1)
2
Поворот
на ψ
Рис.1.10.
1
В этом случае в линейной антенной решетке суммирование
сигналов
с выходов элементов осуществляется с фазовыми
сдвигами (это эквивалентно временной задержке):
Ψ – во втором элементе,
2ψ – в третьем элементе,
(1.9 а)
…
(i-1)ψ – в i-м элементе,
Введение таких фазовых сдвигов приводит к перемещению главного
лепестка на угол
 0  arcsin(
1 0
)
2 d
(1.9 б)
С учетом фазовых сдвигов (1.9 а) в каждом элементе формула
для диаграммы направленности будет иметь следующий вид
.
N
G ( )  A e
j ( i 1)
j 2
e
d sin ( i 1)
0
(1.10)
i 1
Задание 4 для группы ПМ-06
Вычислить и вывести на график модуль ДН с учетом
введенных фазовых сдвигов по формуле (1.10) в интервале углов θ
от -90 градусов до 90 градусов.
Выбрать ψ=30 градусов, затем изменить на ψ=-60 градусов.
МОДЕЛЬ ПОМЕХ ПРИ ПРИЕМЕ СИГНАЛОВ В АР
Основная проблема связана с тем, что вместе с информативным
сигналом в системе действует и помеха. Будем считать, что помеха
представляет совокупность M точечных источников расположенных
в пространстве.
В этом случае в i-м элементе АР мешающее воздействие от mго источника помехи можно записать
d (i  1) sin  m
u m,i (t )  U m (t ) cos(0 t   m (t )  2
)
0
(1.11)
Здесь Um(t) и φm(t) – временные процессы, определяющие
изменение во времени амплитуды и фазы сигнала от m-го
источника. Так как априорной информации о помехе как правило
нет, то эти правильнее всего считать случайными. Модель помехи в
виде случайного процесса связана с тем, что, как правило, мы о ней
априорно ничего не знаем.
Сделаем пояснение по поводу случайного процесса. Так мы
знаем, что случайная величина может принимать любые значения из
определенного диапазона. А случайный процесс – это функция
времени, значение которой в любой момент времени – это случайная
величина. Фактически случайный процесс – это совокупность
(бесконечная) случайных величин. А именно если зафиксировать
момент времени t=t1 , то в этот момент Um(t1) и φm(t1) – случайные
величины. Известно, что характеристикой случайных величин
является плотность вероятности.
f(x)
x
a
Рис.1.11.
b
На рис.1.11 показана плотность вероятность некоторой
случайной величины X. И если нас интересует вероятность того, что
эта случайная величина X примет значение в интервале от a до b, то
ее можно найти следующим образом
b
Вероятность(a  X  b)   f ( x)dx
a
Кроме плотности вероятности существуют более простые, но
значительно чаще используемые на практике – математическое
ожидание и дисперсия. Соотношения, определяющие эти
характеристики указаны далее:

M {X } 
 x f ( x)dx


D{ X }   ( x  M { X }) 2 f ( x)dx

Также будем считать, что эти функции существенно более
медленно изменяющиеся по сравнению cos(ω0t). В этом случае
помехи (как и полезный сигнал) определяются комплексными
огибающими:
.
U i , m(t )  U m (t )e
j 2
d sin m ( i 1)

e
j m ( t )
(1.12)
Здесь данное соотношение представляет комплексную
огибающую помехи от m-го источника в i-м элементе антенной
решетки. При этом Um(t) ejφm(t) – комплексная огибающая помехи от
m-го источника в первом (i=1) антенном элементе. А комплексные
огибающие в других элементах АР отличаются множителями:
.
e
j 2
d sin m ( i 1)

Для любого момента времени значение случайного процесса –
это случайная величина. Поэтому если зафиксировать произвольный
момент времени, то зависимость от времени можно исключить. В
этом случае соотношение (1.12) можно записать следующим
образом:
.
U i , m  U me
j 2
d sin  m ( i 1)

e j m
(1.13)
А именно в этом случае вместо случайных процессов в формуле
присутствуют случайные величины.
Далее в соответствии с формулой Эйлера:
U me jm  (U re,m  jUim,m )
Здесь Ure,m и Uim,m -случайные гауссовские величины с нулевым
математическим ожиданием и дисперсией Dm. Это дисперсия (или
мощность помехи) от m-го источника. В дальнейшем для получения
случайных величин Ure,m и Uim,m достаточно воспользоваться
датчиком случайных гауссовских чисел.
ОПТИМАЛЬНЫЙ ВЕКТОР КОЭФФИЦИЕНТОВ АР
Как мы уже говорили обработка в АР заключается в изменении
амплитуды принимаемого сигнала в каждом элементе АР, а также
изменении фазы этого сигнала. Математически это можно
представить в комплексного коэффициента
.
.
W i  Wi e
.
j arg Wi
для i-го антенного элемента. Всю информацию комплексных
коэффициентах АР можно записать в виде N-вектора


.
W  W1 W2




.
.

.
Wi WN 



.
T
(1.14)
Математически это сводится к вычислению комплексных
весовых коэффициентов в каждом канале. При этом критерий в
общем заключается в максимальном извлечении полезной
информации и подавлении мешающих сигналов.
Один из основных критериев при подборе коэффициентов – это
максимизация отношения сигнал/помеха на выходе АР (после
объединения элементов):
N
2
.
.
.
W S
q
i 1
N.
i
(1.15)
i
2
.
.
M {  Wi U i }
i 1
Здесь Ui – значение комплексной огибающей помехи (от всех М
мешающих источников) в i –м элементе с учетом собственного шума
элемента АР.
Ui 
.
Mпом
U
m 1
.
i ,m
(1.15)
.
 U i ,шум
Кроме того, в соотношении (1.14) М – обозначение
математического ожидания. Также в этом соотношении
используются значения комплексных амплитуд полезного сигнала в
элементах АР:
.
Si  e
j 2
d sin0 ( i 1)
(1.16)

Здесь θ0 – направление прихода ожидаемого полезного сигнала.
.
Задача заключается в том, чтобы подобрать W n таким образом,
чтобы отношение сигнал/помеха на выходе АР было максимально.
Решение этой задачи известно и оно сводится к оптимальному
вектору в соответствии с уравнением Винера-Хопфа:
.
.  . *
W опт   H S
(1.17)
Здесь μ – это постоянный коэффициент (как правило он
принимается равным 1), а звездочка обозначает комплексное
сопряжение.
Вектор сигнала аналогичен (АР можно записать в виде Nвектора


.
S   S1 S 2



.

.

.
Si S N 



T
.
(1.14)
Теперь не рассмотренной осталась корреляционная матрица
.
H размерностью
NxN.
Эта
матрица
определяет
взаимную
зависимость помехи в соседних элементах АР. Так элемент этой
матрицы расположенной на пересечении i1-й строки и i2-столбца
элементах АР определяется
.
H
i1, i 2
.
 M {U i1 U i 2 }   i1,i 2 Dшум 
*
Mпом

m 1
Dm e
 j 2 ( i1i 2 ) sin m

(1.15)
Здесь Dшум – дисперсия шума в элементе АР, Dm – дисперсия
помехи от m-го источника, δi1,i2 – символ Кронекера:
δi1,i2 = 1 , при i1=i2,
δi1,i2 = 0 в других случаях.
Таким образом, соотношение (1.17) позволяет найти
оптимальный (наилучший с точки зрения выделения сигнала и
подавления помехи) вектор комплексных коэффициентов АР. Этот
оптимальный вектор позволяет обеспечить максимальное
отношение сигнал/помеха:
.
. . 1  . *
q SH
(1.16)
S
Таким образом, мы вычисляем оптимальный вектор
комплексных коэффициентов в элементах АР по соотношению
(1.17). После этого можно по ранее встречавшейся формуле найти
диаграмму направленности АР соответствующую этому вектору
N
.
G( )   Wn e
j 2
d ( i 1) sin 

(1.17)
i 1
На следующем фрагменте приведена программа в которой
вычисляется оптимальный вектор комплексных коэффициентов,
затем по этому вектору строится ДН. Рассматривается направление
прихода сигнала равное 45 градусам, направление прихода помехи
-45 градусов. Количество помех равно 1, дисперсия шума равна 1,
дисперсия помехи равна 10000.
i=sqrt(-1);
tettaPom = -pi/4; % угол прихода помехи
tettaSig = pi/4; % угол прихода сигнала
D1=10000;
% заполнение элементов корреляционной матрицы помехи
for m2=1:7
for m3=1:7
f=D1*cos(pi*sin(tettaPom)*(m3-m2));
g=D1*sin(pi*sin(tettaPom)*(m3-m2));
h=f+i*g;
matr(m2,m3)=h;
if m2==m3
matr(m2,m3)=matr(m2,m3)+1 ;
end
end
end
% вычисление комплексных отсчетов сигнала S
for m2=1:7
f=cos(pi*sin(tettaSig)*(m2-1));
g=sin(pi*sin(tettaSig)*(m2-1));
h=f+i*g;
sig(m2)=h
end
% обращение корреляционной матрицы помехи
obrMatr=inv(matr);
% выполнение комплексного сопряжения и
% преобразование из вектора-строки в вектор-столбец
sig2=sig';
%нахождение оптимального вектора W
Woptim=obrMatr*sig2;
% вычисление ДН
m = 1:1:300 ;
gr=-90+180./300*m;
for m2=1:300
tetta = -pi/2+ pi/300*m2;
n=1:7;
f=cos(pi*sin(tetta)*(n-1));
g=sin(pi*sin(tetta)*(n-1));
h=f+i*g;
symma=0;
for lm=1:7
symma = symma+h(lm)*Woptim(lm);
end
diag(m2)=abs(symma);
end
max1=max(diag)
diag=10*log(diag/max1);
plot (gr,diag)
Результат работы программы показан на рис.1.12.
Рис.1.12.
Видно, что максимальное усиление ДН в направлении 45
градусов, а в направлении расположения помехи ДН имеет
практически нулевое усиление.
АДАПТИВНЫЙ АЛГОРИТМ МИНИМУМА СРЕДНЕЙ
КВАДРАТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ
Уравнение Винера-Хопфа (1.17) позволяет найти наилучший
вектор коэффициентов АР. Однако реально для его использования
необходимо корреляционную матрицу помехи - фактически знать
расположение помех. На практике это не реально – как правило о
возможных помехах мы заранее нечего не знаем. Поэтому интерес
представляют алгоритмы, которые могут без такой априорной
информации подстраивать вектор коэффициентов АР к этому
оптимальному решению.
Идея заключается в пошаговой подстройке вектора
.
.
.
.
.
W i ( L  1)  W i ( L)  f (W ( L), S ( L), U ( L))
где L – номер итерации во времени. И в этом случае исходя из
информации о значении сигнале, помехи и текущего вектора
коэффициентов делается следующее приближение вектора
коэффициентов АР в направлении оптимального решения с
соответствии с уравнением Винера-Хопфа.
Далее рассмотрим алгоритм минимума среднеквадратической
ошибки направленный на решение этой задачи. Пусть на входе
присутствует
известный
полезный
сигнал
.
S i ( L)  (1  sin( 0.05L))e
j 2
d ( i 1) sin 0

(1.18)
Здесь, как и ранее, i – номер элемента АР, а L – номер отсчета
сигнала во времени.
Кроме сигнала на входе элементов АР присутствуют помехи с
шумом:
U i ( L)  U i ,øóì ( L)
Mïîì
.
U
m
( L )e
j 2
d sinm ( i 1)

m 1
Здесь U i ,øóì ( L) - случайное гауссовское комплексное число
представляющее значение шума в L-момент времени в i-м элементе
АР. Значения шума в разные моменты времени и в разных
элементах АР (даже для одного момента времени) статистически
независимы и поэтому для моделирования шума мы воспользуемся
просто датчиком гауссовских случайных чисел.
Аналогично помехи от различных источников также
статистически независимы, а их изменение во времени для нас также
.
неизвестно. Поэтому U m ( L) также может быть воспроизведено с
помощью случайных гауссовских чисел.
На рис.1.13 приведена структура алгоритма минимизации средней
квадратической ошибки. В этом
случае при известном
принимаемом сигнал S(L) мы рассчитываем на выходе АР этот
сигнал и увидеть. В этом случае если обозначить Z(L) – значение на
выходе АР в L-й момент времени, то ошибка по сравнению с
полезным известным сигналом будет e(L). И алгоритм минимизации
среднеквадратической
ошибки
заключается
в
изменении
коэффициентов АР таким образом, чтобы эта ошибка стремилась к
0.
Фактически в этом случае (когда ошибка равна 0) действие
помех в этом случае на выходе должно исключено.
1
N
Блок адаптивного
управления весовыми
коэффициентами
Z(L)
S(L)
e(L)
-1
Рис.1.13.
.
.
.
.
e( L)  S ( L)  W ( L)T {S ( L)  U ( L)}
(1.19)
.
.
.
.
.
W ( L  1)  W ( L)  2  e( L) {S ( L)  U (k )}*
Этот алгоритм при достаточном количестве итераций сводится
к решению Винера-Хопфа. Звездочка говорит о комплексном
сопряжении.
Рассмотрим вопрос о выборе коэффициента μ. Этот
коэффициент определяет скорость сходимости (адаптации)
алгоритма и его устойчивость. А при слишком большом значении
этого коэффициента алгоритм будет неустойчивым. А если выбрать
коэффициент слишком маленьким, то алгоритм будет сходиться
слишком медленно.
Существует соотношения для определения μ
1
N
D
i 1
 0
(1.20)
i
Как правило на практике значение коэффициента задается в 10
раз меньше максимально допустимого значения.
В соотношении (1.20) Di – дисперсия входного процесса (с
учетом всех помех, сигнала и шума) в i-м элементе АР.
Теперь вернемся с начатой задаче и далее даются пояснения к
тексту последующей программы. Полезный сигнал (1.18) приходит с
направления -45 градусов. Сама решетка пятиэлементная: N=5.
Также с направления 0 градусов поступает случайная помеха
(источник помехи один). Для получения отсчетов помехи
воспользуемся функцией MATLAB (ранее говорилось, что отсчеты
помехи во времени статистически независимы):
U1 ( L)  D1 randn  j D1 randn
(1.21)
Принято, что дисперсия единственной помехи D1 = 10, а
дисперсия шума в элементах АР равна Dшум=0.01.
Учитывая, что уровень помехи с нулевого направления
значительно выше уровня и сигнала и шума вычислим требование к
коэффициенту μ упрощенно (принимая во внимание только помеху):
1

ND1
(1.22)
Выберем в дальнейшем программе μ =1/1000.
Задание 5 для группы ПМ-06
Реализовать программу представленную на листинге 2 на С++
Листинг 2
i=sqrt(-1);
tettaPom = 0;
tettaSig = -pi/4;
disp = 10;
% формирование пространственного вектора определяющего
% принимаемый сигнал
n=1:5;
f=cos(pi*sin(tettaSig)*(n-1));
g=sin(pi*sin(tettaSig)*(n-1));
sig = f+i*g;
% формирование начального вектора коэффициентов АР
% вектор коэффициентов на начальной (нулевой)
%итерации
f=cos(pi*sin(0)*(n-1));
g=sin(pi*sin(0)*(n-1));
w = f+i*g;
% цикл по итерациям во времени
for L=1:300
n=1:5;
% вычислениние комплексных случайных значений помехи
pom_1=sqrt(disp)*randn;
pom_2=sqrt(disp)*randn;
% вычисление вектора значений помехи в элементах АР
f=pom_1*cos(pi*sin(tettaPom)*(n-1));
g=pom_2*sin(pi*sin(tettaPom)*(n-1));
pom = f+i*g;
% добавление к вектору помехи вектора сигнала
pom = pom + (1+sin(0.1*L))*sig;
%добавление к предыдущему вектору шума
for il=1:5
pom(il)=pom(il)+0.01*randn + 0.01*i*rand ;
end
% вычесление значения на выходе АР ( после умножения
% коэффициенты w
symma =0+i*0;
for il=1:5
symma=symma+w(il)*pom(il);
end
% комплексное сопряжение вектора на входе элементов АР
pom2=pom';
% вычисление вектора w для следующей итерации
for il=1:5
w(il)= w(il) + 2*0.001*((1+sin(0.1*L))-symma)*pom2(il);
end
vih2(L)=real(symma);
end
ii=1:1:300;
plot(ii,vih2);
Результат выполнения показан на следующем рисунке.
Рис.1.14.
Задание 6 для группы ПМ-06
Теперь поменяйте коэффициент μ сначала в направлении
увеличения ( в 2-5 раз, а затем уменьшения во столько же раз от
начального значения).
Задание 7 для группы ПМ-06
Измените программу, с целью вывода ДН. Построить ДН в
начале адаптации (при начальном векторе коэффициентов), а затем
после завершения процесса (она должна выглядеть так как показано
на рис.1.15).
Рис.1.15.
Задание.
В рассмотренной программе сделать следующие изменения.
Так вместо одной помехи с нулевого направления создать две –одну
с направления 10 градусов, а другую с направления 12 градусов.
Смоделировать АР из 7 ненаправленных антенных элементов.
Расстояние между элементами равняется λ /2.
Источник полезного сигнала расположен на угловой
координате θ0 = 30 градусов по отношению к нормали. Также
расположены 3 помехи на угловых координатах: -30 градусов, 0
градусов и 60 градусов.
Вычислить оптимальный вектор по уравнению Винера-Хопфа.
Построить диаграмму направленности.
ПРАКТИЧЕСКАЯ
АДАПТАЦИИ
РЕАЛИЗАЦИЯ
АЛГОРИТМА
В алгоритме минимума среднеквадратической ошибки для
получения сигнала ошибки необходимо в адаптивном процессоре
иметь ожидаемый сигнал. Понятно, что на практике такая
информация отсутствует, иначе бы не требовался адаптивный
процессор.
В реальных системах, для которых реализуется алгоритм
минимума среднеквадратической ошибки в качестве ожидаемого
полезного сигнала искусственно вводится полностью известный
пилот-сигнал. Пилот-сигнал должен иметь близкие характеристики к
ожидаемому полезному сигналу. В этом случае адаптивная антенная
решетка формирует диаграмму направленности в направлении
задаваемом параметрами пилот-сигнала.
И существует два алгоритма адаптации – однорежимный и
двухрежимный.
Двухрежимный алгоритм схематично показан на рис.1.16. В
этом случае используется блок формирующий контрольный сигнал.
При этом адаптация коэффициентов происходит попеременно – то
по реальному принимаемому входному процессу с элементов АР, то
по контрольному сигналу. В режиме адаптации по реальному
входному процессу опорный сигнал отсутствует – и система
старается подавить все сходящие и сигналы и помехи.
В режиме контрольного сигнала формируется основной
лепесток ДН.
Структурная схема однорежимного алгоритма адаптации
показана на рис. 1.17. В этом случае адаптивный процессор является
вспомогательным – используется только для пошагового поиска
коэффициентов АР. А для формирования выходного сигнала АР
используется основной процессор. Он характерен тем, что в
исходной информации для него не замешан контрольный сигнал. И
вектор коэффициентов для основного процессора является копией
вектора коэффициентов из адаптивного алгоритма.
N
1
Формирование
контрольного
сигнала
WN
W1
Адаптивный
процессор
S(L)
-1
Рис.1.16.
показана на рис. 1.17.
N
1
Формирование
контрольного
сигнала
WN
W1
Адаптивный
процессор
Основной
процессор
S(L)
-1
Рис.1.16.