Гильбертово пространство. Определение. Простейшие свойства

В.В. Жук, А.М. Камачкин
7
Гильбертово пространство. Определение. Простейшие свойства скалярного произведения.
Основная теорема. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве.
7.1
Определение гильбертова пространства. Свойства
скалярного произведения.
Комплексное векторное пространство (линейное пространство) H называется пространством со скалярным произведением, если для каждой пары
элементов x, y ∈ H определено скалярное произведение (x, y) - комплексное
число, удовлетворяющее следующим условиям (аксиомам):
1. (y, x) = (x, y);
2. (λx1 + µx2 , y) = λ(x1 , y) + µ(x2 , y);
3. (x, x) > 0; (x, x) = 0 равносильно x = θ (θ — нулевой элемент H).
Из определения пространства со скалярным произведением вытекает:
a) (x, λy1 , +µy2 ) = λ̄(x, y1 ) + µ̄(x2 , y) (аксиомы 1 и 2);
b) (x, θ) = (θ, y) = 0. Действительно, (x, y · 0) = 0(x, y) = 0.
c) |(x, y)|2 6 (x, x)(y, y) (неравенство Коши-Буняковского).
Доказательство. Для доказательства этого предложения рассмотрим выражение
(x + λy, x + λy) = (x, x) + λ̄(x, y) + λ(y, x) + |λ|2 (y, y) .
По аксиоме 3) это выражение неотрицательно, каково бы ни было число
λ. Предполагая, что (y, y) > 0 (в противном случае y = θ и доказываемое
неравенство очевидно), положим
λ=−
(x, y)
.
(y, y)
На основании сказанного
(x, x) −
|(x, y)|2
|(x, y)|2
|(x, y)|2
−
+
> 0,
(y, y)
(y, y)
(y, y)
т.е.
1
(x, x)(y, y) − |(x, y)|2 > 0 ,
что и требовалось доказать.
Если в пространстве H со скалярным произведением положить
||x|| =
p
(x, x)
(x ∈ H) ,
(1)
то H становится нормированным пространством. Действительно, из аксиом
нормированного простанства только неравенство треугольника не вытекает
непосредственно из определения H. Докажем его. Пусть x, y ∈ H. Используя неравенство Коши-Буняковского, имеем
||x + y||2 = (x + y, x + y) = (x, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y) 6
6 ||x2 || + 2||x||||y|| + ||y 2 || = (||x|| + ||y||)2
Нормированное пространство называется унитарным, если в нем можно
ввести скалярное произведение, связанное с нормой соотношением (1).
Отметим еще несколько простых предложений, относящихся к пространствам со скалярным произведением.
d) непрерывность скалярного произведения.
Если xn → x и yn → y, то (xn , yn ) → (x, y).
Доказательство. Действительно, с помощью неравенства Коши-Буняковского
получаем
|(x, y)−(xn , yn )| = |(x, y−yn )+(x−xn , yn )| 6 ||x||||y−yn ||+||x−xn ||||yn || .
Так как сходящаяся последовательность {yn } ограничена, то правая
часть в написанном неравенстве стремится к нулю. Следовательно,
(xn , yn ) → (x, y).
e) Каковы бы ни были элементы x, y ∈ H справедливо неравенство
||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x2 || + ||y 2 ||) .
2
(2)
Доказательство. В самом деле, по определению нормы имеем
||x + y||2 + ||x − y||2 = (x + y, x + y) + (x − y, x − y) =
= (x, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y) + (x, x) − (x, y) − (y, x) + (y, y) =
= 2(||x2 || + ||y 2 ||) .
Последовательность {xn } нормированного пространства X называется
фундаментальной, если ||xn −xm ||n,m→∞ → 0, (т.е. если для ε > 0 существует такой номер nε , что при n, m > nε будет ||xn − xm || < ε). Пространство
X называется полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность сходится.
Определение 1. Полное унитарное пространство называется гильбертовым.
Пусть X — нормированное пространство. Замкнутое векторное пространство A ⊂ X называется подпространством X. Пусть E ⊂ X. Наименьшее
линейное пространство L(E), содержашее E, называется линейной оболочкой множества E. Замыкание L(E) линейной оболочки множества E называется линейным замыканием E. Система элементов {xα } называется
полной в пространстве X, если L({xα }) = X.
7.2
Основная теорема гильбертова пространства.
При изучении, гильбертовых пространств весьма важным оказывается понятие ортогональности элементов.
Элементы x и y гильбертова пространства H называются ортогональными, если (x, y) = 0. При этом пишут x ⊥ y. Если фиксированный элемент
x ∈ H ортогонален каждому элементу некоторого множества E ⊂ H, то
говорят, что x ортогонален E и пишут x ⊥ E.
Наконец, если элементы двух множеств E1 и E2 попарно ортогональны,
эти множества называются ортогональными (E1 ⊥ E2 ).
Укажем несколько простых фактов, касающихся введенных понятий.
a) Если x ⊥ y1 и x ⊥ y2 , то x ⊥ λy1 + µy2 .
b) Если x ⊥ yn (n = 1, 2, ...) и yn → y, то x ⊥ y.
Это следует непосредственно из непрерывности скалярного произведения.
c) Если x ⊥ E, то x ⊥ L(E).
Для доказательства надо воспользоваться пунктами a) и b).
3
d) Если x ⊥ E, где E полное в H множество, т.е. если L(E) = H, то
x = θ.
Доказательство. Действительно, тогда x ⊥ H, а следовательно, x
ортогонален самому себе, т.е. (x, x) = 0, что равносильно x = θ.
e) Совокупность всех элементов ортогональных данному множеству E
является подпространством H, т.е. замкнутым линейным пространством.
Это пространство называется ортогональным дополнением множества
E.
Теорема 1. (основная теорема гильбертова пространства)
Пусть H1 - подпространство H и H2 - его ортогональное дополнение.
Тогда каждый x ∈ H единственным образом представим в виде
x = x0 + x00
(x0 ∈ H1 , x00 ∈ H2 ) .
(3)
0
При этом x реализует расстояние от x до H1 , т.е.
||x − x0 || = ρ(x, H1 ) .
Доказательство. Положим d = ρ(x, H1 ), dn = d +
найдем xn ∈ H1 такой, что
(4)
1
n
и для каждого n ∈ N
||x − xn || < dn .
(5)
||2x − (xn + xm )||2 + ||xm − xn ||2 = 2(||x − xn ||2 + ||xm − x||2 ) .
(6)
В силу (2)
m
m
Так как xn +x
∈ H1 , то ||x − xn +x
|| > d или ||2x − (xn + xm )||2 > 4d2 .
2
2
Тогда из (6) с помощью (5) находим
||xm − xn ||2 6 2(d2n + d2m ) − 4d2 .
Но dn , dm → d и потому ||xm − xn ||n,m→∞ → 0, т.е. последовательность
{xn } фундаментальная. Вследствие полноты H существует x0 = lim xn , а
так как множество H1 замкнуто (по определению подпространства), то x0 ∈
H1 . При этом ||x − x0 || = lim ||x − xn || и из (5) следует, что ||x − x0 || 6 d. Но
так как знак "меньше"невозможен, то
||x − x0 || = d .
(7)
Теперь положим x00 = x − x0 и покажем, что x00 ∈ H2 , т.е. x00 ⊥ H1 .
Возьмем y ∈ H1 \ {θ}. При любом λ имеем x0 + λy ∈ H1 , так что
4
||x00 − λy||2 = ||x − (x0 + λy)||2 > d2 ,
что можно переписать, используя (7), в форме
−λ̄(x00 , y) − λ(y, x00 ) + |λ|2 (y, y) > 0 .
В частности, при λ =
−
(x00 ,y)
(y,y)
получаем отсюда
|(x00 , y)|2
|(x00 , y)|2
|(x00 , y)|2
−
+
> 0,
(y, y)
(y, y)
(y, y)
т.е. |(x00 , y)|2 6 0, что может быть лишь в случае (x00 , y) = 0. Итак, возможность представления x в форме (3) и соотношение (4) установлены.
Докажем единственность представления (3). В самом деле, если x =
x01 + x001 (x01 ∈ H1 , x001 ∈ H2 ), то сопоставив это с (3) получим x0 − x01 = x001 − x00 .
Поскольку x0 − x01 ∈ H1 , x001 − x00 ∈ H2 , то x0 − x01 ⊥ x001 − x00 , откуда получаем
x0 − x01 = x001 − x00 = θ.
Элементы x0 и x00 , однозначно определяемые элементом x, называются
проекциями элемента x на пространство H1 и H2 соответственно.
Следствие 1. Для того, чтобы система элементов {xα }, (α ∈ ∆) была полной в пространстве H, необходимо и достаточно, чтобы не существовало отличного от θ элемента ортогонального каждому элементу
системы.
Доказательство. Необходимость вытекает из предложения d). Если H1 =
L({xα }) 6= H, т.е. система элементов {xα } не полна в H, то взяв x ∈ H|H1
и разложив его на сумму проекций x = x0 + x00 (x0 ∈ H1 , x00 ⊥ H1 ) будем
иметь x00 6= θ и x00 ⊥ xα (α ∈ ∆).
7.3
Ряды Фурье.
Система элементов {xα } ⊂ H называется ортогональной, если (xα0 , xα00 ) = 0
при α0 6= α00 , ортонормированной, если, кроме того, ||xα || = 1 для каждого
α. От ортогональной системы, несодержащей θ, нетрудно перейти к ортонормированной, поделив каждый элемент на его норму.
В этом пункте α будет обозначать целое неотрицательное число или +∞.
Пусть в H дана ортонормированная система {xk }α
k=0 . Пусть далее x ∈ H.
Числа ak (x) = ak = (x, xk ) называются координатами
Фурье элемента x
Pα
по данной ортонормированной системе, а ряд
a
x
k
k - рядом Фурье
k=0
элемента x.
5
Теорема 2. Пусть {xk }α
k=0 — ортонормированная система в H. Каков бы
ни был x ∈ H, его ряд Фурье сходится. При этом сумма ряда Фурье
α
X
s=
ak xk
(8)
k=0
есть проекция элемента x на подпространство
Hα = L({xk }α
k=0 )
и имеет место равенство
||x − s||2 = ||x||2 −
α
X
|ak |2 .
(9)
k=0
Доказательство. Пусть сначала α = n ∈ Z+ . Покажем, что x − s ⊥ Hα .
Для этого достаточно показать, что x − s ⊥ xk при k = 0, n. Имеем
(x − s, xk ) = (x, xk ) −
n
X
av (xv , xk ) = ak −
v=0
n
X
av δv,k = 0
v=0
(δv,k — символ Кронекера). Следовательно, s есть проекция на Hα . Далее
||x − s||2 = (x, x − s) − (s, x − s) = ||x2 || − (x, s) = ||x2 || −
α
X
|ak |2 .
(10)
k=0
Тем самым для α ∈ Z+ теорема установлена.
Пусть теперь α = +∞. В силу (10) при каждом натуральном n будет
n
X
|ak |2 6 ||x||2 .
(11)
k=0
Устремляя n к +∞, получаем
∞
X
|ak |2 6 ||x||2 .
(12)
k=0
P∞
Таким образом, для любого x ряд k=0 |ak |2 сходится. Обозначая частные суммы ряда (8) через Sn , будем иметь
||Sn+p − Sn ||2 =
n+p
X
k=n+1
|ak |2 −−−−→ 0 .
n→∞
Отсюда и из полноты H вытекает сходимость ряда Фурье (8). Ясно, что
s ∈ Hα и x − Sn ⊥ xk при k 6 n. Пользуясь свойствами b) и c), получаем
отсюда x − s ⊥ Hα , т.е. s - проекция x на Hα . В силу (10)
6
2
2
||x − Sn || = ||x|| −
n
X
|ak |2 .
k=0
Осталось устремить n к ∞ и воспользоваться непрерывностью нормы.
Замечание 2 Пусть {xk }α
k=0 — ортонормированная система в H, x ∈ H.
Тогда (см. (11), (12)) справедливо неравенство Ф. Бесселя.
α
X
|ak (x)|2 6 ||x||2 .
(13)
k=0
Если для некоторого x ∈ H в (13) реализуется знак равенства, то говорят, что для x выполнено уравнение замкнутости. Система {xk }α
k=0 называется замкнутой, если уравнение замкнутости выполняется для любого
x ∈ H. Из (9) следует, что P
уравнение замкнутости для x выполняется тогда
α
и только тогда, когда x = k=0 ak (x)xk .
Следствие 2. В гильбертовом пространстве H свойство полноты и замкнутости ортонормированной системы T = {xk }α
k=0 эквивалентны.
Доказательство. Если система T полна, то Hα = L(T ) = H и проекция
любого элемента x ∈ H на Hα совпадает с ним самим, и потому, в силу (9),
система T замкнута. Обратно,Pесли T замкнута, то опять-таки в силу (9),
α
для всякого x ∈ H имеем x = k=0 ak (x)xk ∈ L(T ), т.е. L(T ) = H.
7