Московский физико-технический институт Факультет инноваций и высоких технологий Математическая логика и теория алгоритмов, осень 2010 Задачи про выразимость предикатов 1. Рассмотрим интерпретацию hP; M, S, P i, где P — множество всех жителей Москвы, M (x) истинно, когда x является мужчиной, S(x, y) истинно, когда x и y являются супругами, P (x, y) истинно, когда x является родителем y. Выразите в этой интерпретации следующие предикаты (о значении терминов можно проконсультироваться на странице http://ru.wikipedia.org/wiki/Родство): a) b) c) d) e) f) g) h) i) x x x x x x x x x — отец y; — бабушка y; — племянник y; — свекровь y; — деверь y; и y — свояки; и y — двоюродные сёстры; — единоутробный брат y; — сводная сестра y. 2. Пусть A — некоторое множество, M = 2A — множество всех его подмножеств. Выразить через предикат x ⊂ y (x есть подмножество y) на M следующие предикаты: a) b) c) d) e) f) g) h) i) x = A; x = ∅; x есть одноэлементное множество; x и y не пересекаются; x есть пересечение y и z; x есть объединение y и z; x есть дополнение y. Множества x, y и z пересекаются попарно, но общее пересечение пусто; Любые три множества из x1 , . . . , xn имеют пустое общее пересечение. Придумайте формулу, длина которой линейна по n. 3. В интерпретации hR2 , Ci, где C(x, y, z) выполнено, если расстояние от x до y равно расстоянию от x до z, выразите следующие предикаты: a) b) c) d) e) f) g) x = y; x, y и z лежат на одной прямой; x 6= y, z 6= t и прямые xy и zt параллельны; xyzt — параллелограмм; |xy| = |zt|; |xy| 6 |xz|; x, y и z лежат на одной прямой, причём y лежит между x и z; 1 h) i) j) k) z 6= t, а x и y лежат по одну сторону от прямой zt; 4xyz прямоугольный; 4xyz остроугольный; ∠xyz = 30◦ . 4. В интерпретации Z выразите через предикат y = x+1 предикат y = x+N , где N — большое фиксированное число (например, 21000 ). Формула должна быть существенно короче N . 5. Используя предикаты 6 и =, запишите (в виде замкнутых формул) следующие свойства отношения порядка: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) Рефлексивность; Антисимметричность; Транзитивность; Линейность; Плотность; Существование минимального элемента; Существование максимального элемента; Существование наименьшего элемента; Существование наибольшего элемента; Существование верхней грани для любых двух элементов (верхняя грань двух элементов — элемент, больший либо равный каждого из них); k) Существование точной верхней грани для любых двух элементов (точная верхняя грань — наименьшая из всех верхних граней); l) Существование нижней грани для любых двух элементов; m) Существование точной нижней грани для любых двух элементов. 6. В интерпретации hN, =, +, ×i запишите утверждения: a) b) c) d) e) f) g) h) Коммутативность сложения; Ассоциативность умножения; Дистрибутивность; Существование единицы; Бесконечность множества простых чисел; Бесконечность множества простых чисел-близнецов; Существование сколь угодно длинных интервалов без простых чисел; Существование НОК и НОД для чисел, отличных от нуля. 2