Кристаллическая структура Кристаллическая решетка R = n a +

Кристаллическая структура
Элементарная ячейка, примитивная ячейка
Кристаллическая решетка R = n1a1 + n2a2 + n3a3
a1 , a2 , a3 - векторы элементарных трансляций
R
a2
a1
1
Трансляции
T
Векторы трансляций T= n1a1 + n2a2 + n3a3
Совокупность всех векторов трансляций образует
группу трансляций данной решетки
a2
a1
Группа: G
определена бинарная операция (умножение)
ассоциативность
существование единичного элемента
существование обратного элемента
Т3
Т3=Т1*Т2
Т1
Т2
Группа трансляций абелева
(коммутативная)
2
Точечные группы симметрии
операции оставляют хотя бы одну точку пространства на месте:
вращение (элементы симметрии – оси вращения)
отражение (плоскости отражения)
инверсия (центр инверсии)
Пример – плоская квадратная решетка
ось вращения С4
плоскость отражения
Разрешенные вращения
A’B’=pa1=
p=-1,0,1,2,3
=p/6, p/4, p/3, p/2, p
3
Сингонии
В зависимости от соотношения между длинами элементарных трансляций и
углами между ними выделяют шесть различных сингоний,
которые собраны в три группы в зависимости от числа равных длин
трансляций.
a2
a1


a3

•Низшая категория (все длины трансляций не равны друг другу)
a1  a2  a3
•Триклинная:
      90
•Моноклинная: a1  a2  a3
    90 ,   90
•Ромбическая: a  a  a
      90
1
2
3
•Средняя категория (две длины трансляций из трёх равны между собой)
•Тетрагональная: a1  a2  a3
      90
•Гексагональная: a1  a2  a3
    90 ,  120
•Высшая категория (все длины трансляций равны между собой)
•Кубическая: a1  a2  a3
      90
4
Классификация кристаллов
7 кристаллических систем – классификация по набору элементов точечной
симметрии, описывающих кристалл (по макроскопическим свойствам кристалла и
по внешнему виду). 7 точечных групп симметрии.
Низшая категория (нет осей высшего порядка)
•Триклинная: нет симметрии или только центр инверсии
•Моноклинная: одна ось 2-го порядка и/или плоскость симметрии m
•Ромбическая: три взаимно-перпендикулярных оси 2-го порядка и/или
плоскости симметрии m
Средняя категория (одна ось высшего порядка)
•Тетрагональная: одна ось 4-го порядка
•Тригональная (ромбоэдрическая): одна ось 3-го порядка
•Гексагональная: одна ось 6-го порядка
Высшая категория (несколько осей высшего порядка)
•Кубическая: четыре оси 3-го порядка
5
Решетки Браве
1. Симметрия элементарной ячейки должна соответствовать симметрии кристалла.
2. Элементарная ячейка должна иметь максимальное число равных ребер и равных
углов.
3. При условии выполнения двух первых правил элементарная ячейка должна иметь
минимальный объем.
Примитивная (P) – 1 узел на элементарную ячейку
Центрированные: базоцентрированная (C), гранецентрированная (F),
объемноцентрированная (I)
Решетки Браве распределяются по 7 кристаллическим системам
Триклинная
только примитивная
Моноклинная
примитивная и
базоцентрированная
6
Ромбическая
примитивная
объемноцентрированная
базоцентрированная
гранецентрированная
Тетрагональная
примитивная
объемноцентрированная
Гексагональная
примитивная
7
Ромбоэдр
Кубическая
примитивная
объемноцентрированная Гранецентрированная
(оцк)
(гцк)
Всего 14 решеток Браве
Пространственные группы для решеток Браве образуются умножением элементов
точечной симметрии и трансляций.
Решеткам Браве соответствют 7 точечных групп и 14 пространственных групп.
8
Ячейка Вигнера-Зейца
Ячейка Вигнера — Зейтца — область
пространства, с центром в некоторой точке
решётки Браве, которая лежит ближе к этой
точке решётки, чем к какой-либо другой
точке решётки.
а – оцк
б - гцк
Ячейка Вингера — Зейтца это
примитивная ячейка, обладающая
полной симметрией решётки
Браве.
Решетки с базисом
Добавляются винтовые оси (повороты вокруг оси
с одновременным переносом на некоторый
вектор в направлении этой оси) и плоскости
скользящего отражения (отражение относительно
плоскости с одновременным сдвигом на
некоторый вектор, параллельный этой
плоскости).
Решеткам с базисом соответствует 32 группы точечной симметрии (32 класса симметрии
9
кристаллов) и 230 пространственных групп.
Обозначения классов точечной симметрии
Задаются элементы симметрии
Международные обозначения (по Герману-Могену)
Обозначения по Шенфлису
класс моноклинной симметрии
L2PC
2/m
C2h
класс ромбической симметрии
L22P
mm2 или сокращенно mm
C2v
Обозначения классов пространственной симметрии
По номерам (от 1 до 230)
Международные обозначения (по Герману-Могену): символ решетки Браве + точечная
симметрия с дополнениями о винтовых осях и плоскостях скольжения
По Шенфлису
Пример (межд.обозн): точечной группе 2/m соответствуют 5 пространственных групп
P2/m, P21/m, C2/m, P2/c, P21/c, C2/c
10
Структура цинковой обманки (сфалерита)
(σφαλερός — обманчивый)
fcc-face centered cubic
гцк
F43m
Базис состоит из двух атомов на расстоянии
в ¼ диагонали куба
цинк
Плотная кубическая упаковка
-ZnS, CuCl, ZnO, CdS, InAs, InSb
11
Структура вюрцита
гексагональная
4 атома (2+2) на ячейку
2 вставленные
гексагональные решетки
ZnS, BeO, ZnO,
CdS, GaN
сера
Гексагональная плотная упаковка
Структура хлорида натрия NaCl
гцк (fcc)
2 атома (Na и Cl) составляют базис:
(0,0,0) и (1/2,1/2,1/2)
LiH, KBr, RbI, MnO
медь, золото, серебро
12
Структура перовскита
простая кубическая решетка
BaTiO3 – титанат бария
СaTiO3 -перовскит
обнаружен в 1839
назван в честь Л.А.Перовского
– министра внутренних дел
13
Решетка алмаза
Кремний, германий, алмаз
Гранецентрированная кубическая с
базисом (0;0;0) и (1/4;1/4;1/4)
как решетка сфалерита, но из
атомов одного сорта
8 атомов в элементарной ячейке
2 атома в примитивной ячейке
14
Квазикристаллы
Квазикристалл — твёрдое тело, характеризующееся симметрией, запрещённой в
классической кристаллографии, и наличием дальнего порядка.
Как правило, сплавы металлических элементов.
Сплав Al6Mn – первый, экспериментально доказанный (Шехтман, 1984, Нобелевская 2011)
"икосаэдрическая"
симметрия (пятого
порядка)
Симметрия (икосаэдрическая или декагональная)
по одному или более направлениям.
15
Влияние анизотропии на физические свойства кристаллов
E
Воздействие и реакция
Вид
P  E
Pi  ij E j
P
ij
P  0  E
определяется симметрией кристалла
Многие другие физические свойства выражаются тензорами различных рангов:
-пироэлектрический эффект
-электропроводность
-пьезоэффект
-упругость
Подробно для упругих свойств кристаллов
 ij
 ij
 ij   ji
 ij  cijkl kl
ij   ji
1  ui u j

2  u j ui
 ij  

Внутрення симметрия:
cijkl  c jikl  cijlk  cklij



Матричные
обозначения или
индексы Фойгта
 xx
 yx

 zx
xy
yy
zy
81
21
xz 
yz 
zz 
16
Матрица с в обозначениях Фойгта
 c11 c12



c61 c62
c13
c14
c15

c63

c64

c65
c16 
 
c66 
Матрица 6х6
c  c
Сокращение числа независимых компонент из-за симметрии кристаллов
Поворот на 180 градусов вокруг оси z
c' xzxx   x' x z' z x' x x' x cxzxx  cxzxx
но
c' xzxx  cxzxx
cxzxx  c51  c15  0
Кубический кристалл
 с11 с12

с11







с12
0
0
с12
0
0
с11
0
с44
0
0
с44
0 

0 
0 

0 
0 

с44 
Изотропное твердое тело
1
c44  ( c11  c12 )
2
c11    2
c44  
 ij  llij  2 ij
17
Индексы Миллера
ориентация плоскостей в кристаллах
Нахождение индексов Миллера:
-найти точки пересечения данной плоскости
с осями координат (1a,2b,3c);
-результат записать в единицах постоянных
решетки a, b, c (1,2,3);
-взять обратные значения полученных
чисел (1,1/2,1/3);
-привести их к наименьшему целому,
кратному каждого из чисел (6,3,2).
Индексы Миллера данной плоскости
кристалла: (6,3,2).
Индексы Миллера пропорциональны
направляющим косинусам нормали к
плоскости.
Направления в кристалле:
вектор R = n1a + n2b + n3c
n1 = 5
n2 = 10
n3 = 15
[1,2,3]
18
Обратная решетка
a1, a2, a3 - векторы элементарных трансляций
b1  2p
a2  a3
a1   a2  a3 
b1, b2, b3
b2  2p
a3  a1
a2   a3  a1 
b3  2p
a1  a2
a3   a1  a2 
- векторы элементарных трансляций обратной решетки
a1   a2  a3  - объем v элементарной ячейки прямой решетки
b1  b2  b3 - объем v* элементарной ячейки обратной решетки


ai  bi  2p ...
R – вектор прямой решетки, B – вектор обратной решетки
v*   2p  / v
3
eiBR  1
Размерность векторов B
B=hb1+lb2+mb3 (hlm) – индексы Миллера плоскости, перпендикулярной B
Доказательство:
B  r  2p C определяет плоскость, перпендикулярную B
B  r / 2p  hn1  ln2  mn3  C
плоскость пересекает оси координат в точках
n1a1  Ca1 / h
n2a2  Ca2 / l
n3a3  Cc
19 3 / m
Обратная решетка для кубических решеток Браве
Для примитивной кубической решетки обратная решетка тоже примитивная
кубическая решетка
Для базоцентрированной кубической решетки обратная решетка тоже
базоцентрированная кубическая решетка
Для гранецентрированной кубической решетки обратная решетка объемноцентрированный куб и наоборот.
Обратная решетка для одномерного кристалла
b
2p
a
Обратная решетка для двумерного кристалла
b2
Для квадратной решетки
b1
b1 
2p
a1
b2 
2p
a2
20
Зона Бриллюэна
Первая зона Бриллюэна –
ячейка Вигнера-Зейца в
обратном пространстве
Двумерная решетка
Одномерная решетка
a
b
Трехмерный кристалл
X
R
Γ
Первая зона Бриллюэна
простой кубической
решётки
Особые точки
M
Первая зона Бриллюэна
кубической
гранецентрированной
решётки
21