МОДУЛЬ СДВИГА ε–ФАЗЫ ЖЕЛЕЗА В ШИРОКОМ ДИАПАЗОНЕ

МОДУЛЬ СДВИГА ε–ФАЗЫ ЖЕЛЕЗА В ШИРОКОМ ДИАПАЗОНЕ ДАВЛЕНИЙ
И ТЕМПЕРАТУР
Г.А. ЗАДОРОЖНЫЙ
Снежинский физико−технический институт, Снежинск, Россия
Введение
Для математического описания процессов высокоскоростной деформации материалов используются, в зависимости от необходимости, различные модели. В случае гидродинамического описания, достаточно иметь уравнение состояния вещества. В твердых телах, при воздействии интенсивного импульсного нагружения, такого описания недостаточно. Одна из причин состоит в том, что
напряжения, действующие вдоль движения ударной волны, отличаются от напряжений, действующих в поперечных направлениях. Или, пользуясь терминами упругопластической теории, можно
сказать, что при ударно–волновых процессах в твердых телах тензора напряжений и деформаций
обладают сдвиговыми компонентами. Для описания самих сдвиговых компонент необходимо
построить модель упругопластического поведения материала.
Важной составляющей этой модели является задание зависимости упругих констант, а в случае
изотропных материалов, какими в большинстве случаев являются реальные поликристаллические
материалы,  модуля сдвига G, модуля объемного сжатия К от термодинамического параметров состояния  давления, температуры. Модуль сдвига и модуль объемного сжатия непосредственно
входят в уравнения Гука, которые определяют связь между тензорами напряжения и деформации
или их приращениями. Кроме того, в большинстве современных моделей упруго–вязко–пластического поведения материалов модуль сдвига определяет зависимость предела текучести материала от
термодинамических параметров состояния вещества (см., например, [1, 2]).
(
)
(
Y P, T , ε p, ε p = YR ε p , ε p
)
G ( P, T )
G0
.
(1)
Здесь Y  предел текучести Мизеса, YR  функция, определяющая скоростное и деформационное
упрочнение материала, G0  значение модуля сдвига при нормальных условиях Р = 0, Т = Т0 = 300 К.
Широко известна модель Стейнберга [1, 3], в которой зависимость модуля сдвига от давления и
температуры принимается в следующем виде:
(
)
G ( P, T ) = G0 1 + A P δ1/ 3 − B (T − T0 ) ,
(2)
где δ = ρ/ρ0, А, В  некоторые константы, которые зависят от свойств данного вещества. Эта модель
применяется многими исследователями для моделирования упругопластических течений в твердых
телах. Константы А и В подобраны авторами для большого количества материалов [3, 4]. Базой для
этого послужили результаты анализа экспериментальной информации представленные в [5].
Исследования, представленные в данной работе, связаны с построением упругопластической
модели железа. Железо проявляет свойства полиморфизма, у него точно известно существование
низкотемпературных α– и ε–фаз и высокотемпературных γ– и δ–фаз [6]. В литературе широко обсуждаются также существование α′– и β–фаз, имеющих объемно–центрированную и двойную плотноупакованную решетки (см. [7,8] и ссылки в них).
Для описания свойств железа необходимо построение упругопластической модели каждой фазы
. В настоящей работе получена зависимость модуля сдвига от температуры и давления для ε–фазы.
Модуль сдвига ε–фазы железа в широком диапазоне давлений и температур
В докладе использовались данные по скоростям звука ударного сжатого железа в области ε–фазы [911], данные статических исследований изотермической сжимаемости [12] , а также данные
расчетов по многофазному уравнению состояния железа [13], построенному в нашем институте.
Анализ данных, подбор параметров модели
Известно, что связь между продольной скоростью звука (Cl) и модулем сдвига дается следующей формулой:
12
 4 G
(3)
Cl = CB 1 + ⋅  ,
 3 K
где CB  объемная скорость звука, К  модуль объемного сжатия , причем K = ρCB2 . Таким образом, знание данных по скоростям звука позволяет оценить значения модуля сдвига. Получаемые значения относятся к конкретным термодинамическим состояниям вещества. Чтобы затем построить
зависимости, которые будут адекватно описывать упругие свойства в широком диапазоне изменения
состояний, желательно использовать данные с максимально отличными условиями.
В области ε–фазы железа имеется богатая экспериментальная информация. Большое количество
измерений продольной скорости звука ударно–сжатого железа осуществлено в [911]. Эти данные
получены для состояний на ударной адиабате железа в диапазоне изменения давлений Р = 40250 ГПа
и температур Т = 6003500 К. Верхние из указанных значений относятся к состояниям вблизи
линии плавления железа. Следует отметить, что только несколько экспериментальных точек [14]
имеется для объемной скорости звука для отмеченных условий ударного нагружения.
Кроме того, в [12] представлены данные по измерению упругих модулей (объемного и сдвигового) в алмазных наковальнях при нормальной температуре и давлениях от 17 до 211 ГПа.
Мы построили зависимости, интерполирующие указанные данные. Для оценки температур
и плотностей ударного сжатия, а также зависимости модуля объемного сжатия K ( P, T [ P]) (или
объемной скорости СB (Р, Т [P])) использовались результаты расчетов по многофазному уравнению
состояния железа [13], разработанного в нашем институте. Это уравнение состояния построено
с привлечением широкого спектра экспериментальной и теоретической информации. В частности
оно хорошо описывает данные для модуля объемного сжатия из [12] (рис.1).
1200
1000
G, K (GPa)
800
K
600
400
200
0
G
0
50
100
150
200
250
P (GPa)
Рис. 1. Зависимость упругих модулей ε–фазы от давления.
‫ ٱ‬ экспериментальные данные [12], О  их аппроксимация [12]. Линии  расчет по уравнению состояния [13] (К) и по
построенной зависимости модуля сдвига от давления (G)
Г.А. Задорожный
На первом этапе построения зависимости модуля сдвига от термодинамических параметров были определены значения параметров G0 и A в (2), определяющие зависимость модуля сдвига от давления. Данные изотермической сжимаемости (плотность, модуль объемного сжатия) получены с использованием уравнения состояния [13]. Результаты расчетов с использованием построенной зависимости G(P) приведены на рис. 1.
На втором этапе была определена зависимость модуля сдвига от давления и температуры. Определялось значение параметра В так, чтобы расчетные данные для продольной скорости звука (3)
наилучшим образом соответствовали результатам измерений [9–11]. В результате были получены
следующие оптимальные значения параметров:
G0 = 68,1ГПа, A = 0,255ГПа–1, B = 6,51·10–4К–1.
На рис. 2 показано сравнение расчетных и экспериментальных данных, характеризующее достигнутое качество описания использованной информации.
11
10
3
1
Cl, CB (km/s)
9
8
2
7
6
5
50
100
150
200
P (GPa)
250
300
350
Рис.2. Зависимость продольной и объемной скоростей звука от давления.
Эксперимент:
– [9], ∇ – [10], о – [11], * – [14]. Сплошные линии  расчетные данные для: (1)  продольной,
(2)  объемной скоростей звука ε–фазы железа, (3)  объемной скорости звука жидкой фазы железа
Заключение
В результате проведенных исследований построена зависимость модуля сдвига ε–фазы железа
от термодинамических параметров состояния, которая интерполирует имеющуюся экспериментальную и теоретическую информацию в диапазоне давлений Р = 40–200 ГПа, заведомо относящимся
к области стабильности этой фазы. Результаты измерений скоростей звука при Р = 200–250 ГПа
в работах [10] и [11] существенно отличаются. Данные [10], возможно, соответствуют другой фазе.
3
Модуль сдвига ε–фазы железа в широком диапазоне давлений и температур
Построенная зависимость будет являться составной частью модели, которую предполагается
использовать при описании упругопластического поведения железа в области полиморфных превращений [15].
Благодарности
Автор выражает благодарность В.В. Дремову и Г.В. Коваленко за предоставление результатов
расчетов по многофазному уравнению состояния железа, а также А.В. Петровцеву за постановку задачи и помощь в работе.
Литература
1. Steinberg, D.J., Lund, C.M. A constitutive model for strain rate from 10−4 to 106 s–1. J.Appl.phys.,
1989, vol.65, No.4, pp.15281533.
2. Hammerberg, J.E., Preston, D.L., Wallace, D.C. A New Model of Rate Dependent Elastic–Plastic Flow.
In: Shock Compression Of Condensed Matter–1991, edited by S.C.Schmidt et al., Elsevier Science Publishers B.V., 1992, pp.383386.
3. Steinberg, D.J, Cohran, S.G., Guinan, M.W. A constitutive model for metals at high–strain rate.
J.Appl.Phys., 1980, vol.51(3), pp.14981504.
4. Steinberg, D.J. Equation of state and strength properties of selected materials. LLNL report No. UCRL–
MA–106439, 1996.
5. Guinan, M.W., and Steinberg, D.J. Pressure and temperature derivatives of the isotropic polycrystalline
shear modulus for 65 elements. J.Phys.Chem.Solids, 1974, vol.35, pp.15011512.
6. Young, D.A. Phase Diagrams of the Elements. University of California Press, Berkeley, Los Angeles,
Oxford, 1992.
7. Anderson, O.L. The Phase Diagram of the Iron and the Temperature of the Inner Core.
J.Geomag.Geoelectr., 1993, vol. 45, pp.12351248.
8. Dubrovinsky, L.S., Saxena, S.K., Tutti, F., Rekhi, S., and Lebehan, T. Situ X–Ray Study of Thermal
Expansion and Phase Transition of Iron at Multimegabar Pressure. Phys.Rev.Lett., 2000, vol.84, No 8,
pp.17201723.
9. Barker, L. M., and Hollenbach, R. E. Shock wave study of the α–ε phase transition in iron. J.Appl.
Phys., 1974, vol. 45, pp.48724887.
10. Brown, J.M., and McQueen, R.G. Phase transition, Grunaisen parameter and elasticity for shocked iron
between 77 GPa and 400 GPa. J. Geophys. Res., 1986, vol.91, No.B7, pp.74857494.
11. Nguen, J.N., Holmes, N.C. Iron sound velocities in shock wave experiments up to 400 GPa. In: Shock
Compression of Condensed Matter–1999, edited by M.D.Furnish, L.C.Chhabildas, and R.S.Hixson,
2000, American Institute of Physics, pp.8184.
12. Ho–kwang Mao, Jinfu Shu, Guoyin Shen, Russell J.Hemley, Baosheng Li, Anil K.Singh. Elasticity and
rheology of iron above 220GPa and the nature of the Earth’s inner core. Nature, 1998, vol. 396, pp.
741743.
13. Dremov, V.V., Kutepov, A.L., Petrovtsev, A,V., and Sapozhnikov, A.T. Equation of state and phase
diagram of iron. In: Shock Compression of Condensed Matter–2001, Bulletin of the American Physical
Society, 2001, vol.46, No.4, p.88.
14. Альшулер Л.В., Кормер С.Б., Бражник М.И., Владимиров Л.А., Сперанская М.П., Фунтиков А.И.
Изэнтропическая сжимаемость алюминия, меди, свинца и железа при высоких давлениях.
ЖЭТФ, 1960, т.38, с.1061.
15. Petrovtsev, A,V., Bychenkov, V.A., and Kovalenko, G.V. Numerical simulation of elastic–viscous–
plastic properties, polymorphic transformations and spall fracture in iron. In: Shock Compression of Condensed Matter–2001, Bulletin of the American Physical Society, 2001, vol.46, No.4, p.52.