Элементы физической кинетики - Научно
реклама
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» С.И. Кузнецов В.В. Каплин С.Р. Углов Элементы физической кинетики Курс физики с примерами решения задач Рекомендовано в качестве учебного пособия Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета Издательство Томского политехнического университета 2011 1 УДК 53(075.8) ББК 22.3я73 К891 Кузнецов С.И. К891 Элементы физической кинетики. Курс физики с примерами решения задач: учебное пособие / С.И. Кузнецов; В.В. Каплин; С.Р. Углов; Национальный исследовательский Томский политехнический университет.– Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2011. – 77 с. В учебном пособии рассмотрены основные вопросы молекулярнокинетической теории вещества, связанные с физической кинетикой. Даны разъяснения основных законов, явлений и понятий явлений переноса в газах. Цель пособия – помочь студентам освоить материал программы, научить активно применять теоретические основы физики как рабочий аппарат, позволяющий решать конкретные задачи, связанные с повышением ресурсоэффективности. Подготовлено в ФТИ ТПУ, по программе курса физики высших технических учебных заведений. Соответствует инновационной политике ТПУ и направлено на активизацию научного мышления и познавательной деятельности студентов. Предназначено для межвузовского использования студентами технических специальностей очной и дистанционной формы обучения. УДК 53(075.8) ББК 22.3я73 Рецензенты Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической физики ТГУ А.В. Шаповалов Доктор физико-математических наук, профессор заведующий кафедрой общей информатики ТГПУ А.Г. Парфенов ГОУ ВПО «Национальный исследовательский Томский политехнический университет», 2011 Кузнецов С.И., Каплин В.В., Углов С.Р., 2011 © Оформление. Издательство Томского политехнического университета, 2011 2 ОГЛАВЛЕНИЕ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Введение .................................................................................... 4 Методические указания к решению задач ............................ 6 Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул в газах ....................................................... 7 Явление переноса в газах........................................................ 9 Диффузия газов. Вывод закона Фика .................................. 11 Вывод закона Ньютона для силы вязкого трения .............. 12 Теплопроводность газов. Вывод закона Фурье ................. 14 Коэффициенты переноса ..................................................... 16 Зависимость коэффициентов переноса от давления......... 16 Молекулярное течение. Эффузия газов ............................. 17 Понятие о вакууме ................................................................ 18 Контрольные вопросы. Упражнения .................................. 20 Методика решения задач ...................................................... 21 Задачи с решениями для индивидуальной работы .......... 29 Задачи для самостоятельного решения ............................... 66 Основные законы и формулы.............................................. 68 Список литературы................................................................ 69 Приложения ........................................................................... 71 3 Не полагайся без сомнений ты на любые ярлыки: они от истинных суждений порою очень далеки. Ч.Х. Спурджон ВВЕДЕНИЕ Молекулярная физика – раздел физики, изучающий свойства тел в зависимости от характера движения и взаимодействия частиц, образующих тело. Термодинамика анализирует условия и количественные соотношения превращения энергии. Эти разделы физики взаимно дополняют друг друга и, как можно понять из определений, отличаются различным подходом к изучаемым явлениям. Молекулярная физика, исходит из представления об атомномолекулярном строении вещества и рассматривает теплоту как беспорядочное движение атомов и молекул. Гениальную догадку об атомном строении вещества высказал еще греческий философ Демокрит (460 – 370 до н. э.). Молекулярная физика, или молекулярно-кинетическая теория строения вещества, как наука начала развиваться в XIX веке. Фундаментом для этой науки послужили работы Р. Клаузиуса и Дж. Максвелла Эта наука базируется на законах классической механики. Однако, число молекул в любом теле невероятно велико: в газах ~1025 м–3, в жидкостях и твердых телах ~1028 м–3. Понятно, что невозможно написать столько уравнений движения этих молекул. Поэтому приходится прибегать к помощи статистического метода, основанного на законах вероятности и математической статистики. Дело в том, что в совокупном движении огромного числа частиц, координаты и скорости которых в любой момент случайны, появляются определенные (статистические) закономерности. Таким образом, молекулярная физика рассматривает поведение частиц в совокупности (статистически). Термодинамика возникла в XVIII веке как теоретическая основа начавшей развиваться теплотехники. Еѐ первоначальная задача – изучение закономерностей превращения тепла в работу (в тепловых машинах). Важнейшее значение для термодинамики и всего естествознания имело открытие немецкими учеными Ю.Р. 4 Майером, Г. Гельмгольцем и английским физиком Дж. Джоулем закона сохранения энергии, связывавшего воедино все явления живой и неживой природы. В середине XIX века, опытным путем была доказана эквивалентность количества теплоты и работы и установлено, что теплота представляет особую форму энергии. Закон сохранения энергии стал основным законом теории тепловых явлений и получил название первого начала термодинамики. Очень большой вклад в термодинамику внес знаменитый французский физик Сади Карно, который стремился построить наилучшую и наиболее экономичную тепловую машину. С. Карно открыл соотношение общего типа – второе начало термодинамики. Основным содержанием современной физической термодинамики является изучение закономерностей тепловой формы движения материи и связанных с ней физических явлений. Тепловая форма движения материи – это хаотическое движение атомов и молекул в макроскопических телах. О тепловом движении можно говорить только в тех случаях, когда рассматриваемая система является макроскопической, то есть состоит из огромного числа атомов и молекул. Не имеет смысла говорить о тепловом движении, когда система состоит из одного или нескольких атомов. Особое положение термодинамики связано с тем, что любая форма энергии при ее превращениях в конце концов переходит в тепловую форму: электрическая, механическая, химическая энергии становятся в конце концов тепловыми энергиями. Отсюда становится ясно видна практическая важность фундаментальных физических исследований и особенно исследований в области современной молекулярной физики и термодинамики. Достижение нового экспериментального и теоретического понимания физических процессов и явлений послужит основой создания новейших технических решений, технологий, приборов и устройств. Для настоящего курса физики реализовано его мультимедийное сопровождение и создан электронный учебник, размещенный на сайте преподавателя http://portal.tpu.ru/SHARED/s/SMIT, в корпоративной сети Web course tools ТПУ http://e-le.lcg.tpu.ru, в среде дистанционного обучения "MOODLE" http://mdl.lcg.tpu.ru и в электронном читальном зале НТБ ТПУ http://www.lib.tpu.ru. Авторы с благодарностью примут все замечания и пожелания читателей, способствующие улучшению курса по адресу [email protected]. 5 «Черная королева покачала головой: – «Вы, конечно, можете назвать это чушью, но я-то встречала чушь такую, что в сравнении с ней эта кажется толковым словарем»». Льюис Кэрролл «Алиса в зазеркалье» Методические указания к решению задач 1. Внимательно прочитайте условия задачи. Сделайте сокращенную запись данных и искомых физических величин, предварительно представив их в интернациональной системе единиц (СИ). СИ состоит из основных, дополнительных и производных единиц. Основными единицами являются: единица длины – метр (м); массы – килограммы (кг); времени – секунда (с); силы электрического тока – ампер (А); термодинамической температуры – кельвин (К); количества вещества – моль (моль); силы света – кандела (кд). Дополнительные единицы: единица плоского угла – радиан (рад); единица телесного угла – стерадиан (ср). Производные единицы устанавливаются через другие единицы данной системы на основании физических законов, выражающих взаимосвязь между соответствующими величинами. В условиях и при решении задач часто используются множители и приставки СИ для образования десятичных и дольных единиц. 2. Вникните в смысл задачи. Представьте физическое явление, о котором идет речь; введите упрощающие предположения, которые можно сделать при решении. Для этого необходимо использовать такие абстракции, как материальная точка, абсолютно твердое тело, луч света. 3. Если позволяет условие задачи, выполните схематический чертеж. 4. С помощью физических законов установите количественные связи между заданными и искомыми величинами, то есть составьте замкнутую систему уравнений, в которой число уравнений равнялось бы числу неизвестных. 5. Найдите решение полученной системы уравнений в виде алгоритма, отвечающего на вопрос задачи. 6. Проверьте правильность полученного решения, используя правило размерностей. 7. Подставьте в полученную формулу численные значения физических величин и проведете вычисления. Обратите внимание на точность численного ответа, которая не может быть больше точности исходных величин. 6 1. Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул в газах Известно, что молекулы в газе движутся со скоростью звука, примерно с такой же скоростью движется пуля. Однако, находясь в противоположном конце комнаты, запах разлитой пахучей жидкости мы почувствуем через сравнительно большой промежуток времени. Это происходит потому, что молекулы движутся хаотически, сталкиваются друг с другом, траектория движения у них ломаная. Пусть λ i – длина свободного пробега молекулы (рис 1). Расстояние, проходимое молекулой в среднем без столкновений, называется средней длиной свободного пробега <λ>. Рис. 1. К нахождению средней длины свободного пробега молекул в газе Рис. 2. Эффективное сечение молекулы Средняя длина свободного пробега молекулы λ υ τ , где <υ> – средняя скорость теплового движения, <τ> – среднее время между двумя столкновениями. Пусть σ – эффективное сечение молекулы, т.е. полное поперечное сечение рассеяния, характеризующее столкновение между двумя молекулами (рис. 2). σ πd 2 – площадь, в которую не может проникнуть центр любой другой молекулы. Здесь d 2r – диаметр молекулы. За одну секунду молекула проходит путь, равный средней арифметической скорости υ . За ту же секунду молекула претерпевает <ν> столкновений. Следовательно, υ λ . (1) ν Подсчитаем среднее число столкновений <ν>. Вероятность столкновения трех и более молекул бесконечно мала. 7 Предположим, что все молекулы застыли, кроме одной. Еѐ траектория будет представлять собой ломаную линию. Столкновения будут только с теми молекулами, центры которых лежат внутри цилиндра радиусом d (рис. 3). Рис. 3. К определению среднего числа столкновений <v> Путь, который пройдет молекула за одну секунду, равен длине цилиндра υ' . Умножим объѐм цилиндра υ' σ на число молекул в единице объѐма n, получим среднее число столкновений в одну секунду: ν πd 2 υ' n. На самом деле, все молекулы движутся (и в стороны, и навстречу друг другу), поэтому число соударений определяется средней скоростью движения молекул относительно друг друга. По закону сложения случайных величин υ' υ2 υ2 2 υ2 υ 2. Из формулы для определения средней длины <λ> (3.2.1) получим: 1 1 λ . (2) 2 2nπd 2nσ Уравнение состояния идеального газа P nkT позволяет нам выразить n через давление P и термодинамическую температуру Т. Тогда kT (3) λ . 2σP Таким образом, при заданной температуре средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению Р: λ ~ 1 Р . Например, при d = 3 Å = 31010 м, Р = 1 атм, Т = 300 К, средняя длина свободного пробега λ 107 м, а т. к. среднее число столкновений ν 103 107 1010 . 8 υ 103 м/с , то 2. Явления переноса в газах Особые необратимые процессы, возникающие в термодинамически неравновесных системах, называются явлениями переноса. К ним относятся диффузия (перенос массы); теплопроводность (перенос энергии) и вязкость, или внутреннее трение (перенос импульса). Диффузия от латинского diffusio – распространение, растекание взаимное проникновение соприкасающихся веществ друг в друга вследствие теплового движения частиц вещества. Диффузия происходит в направлении уменьшения концентрации вещества и ведет к его равномерному распределению по занимаемому объему. Диффузия имеет место в газах, жидкостях и твердых телах. Наиболее быстро диффузия происходит в газах, медленнее – в жидкостях, еще медленнее – в твердых телах, что обусловлено характером движения частиц в этих средах. Для газа диффузия – это распределение молекул примеси от источника (или взаимная диффузия газа). Диффузионный поток пропорционален градиенту концентрации и подчиняется закону Фика: dn или J D grad n . J D dx Знак минус в уравнении Фика показывает, что диффузионный поток направлен в сторону уменьшения концентрации. При этом коэффициент диффузии D численно равен диффузионному потоку через единицу площади в единицу времени при grad n 1 . Согласно кинетической теории газов коэффициент диффузии D равен 1 D λ υ . 3 kT 8RT Так как λ , а υ , получаем, что коэффициент πμ 2σP диффузии D ~ T 3 2 P μ . Таким образом, с увеличением температуры диффузия в газах ускоряется, с ростом давления – замедляется. Диффузия в газах с тяжелыми молекулами протекает медленнее. Измеряется коэффициент диффузии в м2/с. Внутреннее трение (вязкость) возникает между слоями газа или жидкости, перемещающимися параллельно друг другу с разными по модулю скоростями. Если какое-либо тело движется в газе, то оно 9 сталкивается с молекулами газа и сообщает им импульс. С другой стороны, тело тоже будет испытывать соударения со стороны молекул и получать собственный импульс, но направленный в противоположную сторону. Газ ускоряется, тело тормозится, т. е. на тело действуют силы трения. Такая же сила трения будет действовать и между двумя соседними слоями газа, движущимися с разными скоростями. Таким образом, причиной внутреннего трения в газах является перенос импульса из одного слоя в другой. Сила трения пропорциональна градиенту скорости и подчиняется закону 30 Ньютона для вязкого трения: dυ или f η grad υ. f η dx Здесь η – коэффициент динамической вязкости, зависящей от плотности газа ρ: 1 η λ υ nm Dρ . 3 Коэффициент вязкости η численно равен импульсу, переносимому в единицу времени через единицу площади при градиенте скорости равном единице. Коэффициент вязкости газов растет с повышением температуры пропорционально Т . Измеряется коэффициент вязкости в Па∙с. Теплопроводностью называется явление переноса внутренней энергии из одного слоя газа в другой. Если в соседних слоях газа создана и поддерживается разность температур, то между ними будет происходить обмен тепла. Благодаря хаотическому движению молекулы в соседних слоях будут перемешиваться и их средние энергии будут выравниваться. Происходит перенос энергии от более нагретых слоев к более холодным телам. Тепловой поток q пропорционален градиенту температуры и подчиняется закону Фурье: dT или q χ grad T . q χ dx Кинетическая теория газов дает для коэффициента теплопроводности χ следующее выражение: 1 i 1 χ λ υ n k или χ λ υ ρCVуд , 3 2 3 где CVуд – удельная теплоемкость при постоянном объеме. Анализ данного выражения, показывает, что с увеличением температуры теплопроводность газа возрастает и не зависит от давления. Измеряется коэффициент теплопроводности в Дж/м∙с∙К 10 3. Диффузия газов. Вывод закона Фика И так, диффузия взаимное проникновение соприкасающихся веществ друг в друга. Для газа – это распределение молекул примеси от источника в направлении уменьшения концентрации вещества. Решаем одномерную задачу. Пусть в газе присутствует примесь с концентрацией n в точке с координатой х. Концентрация примеси зависит от координаты х (рис. 4). Рис. 4. К выводу закона Фика для диффузии газов. Диффузионный поток направлен в сторону уменьшения концентрации Градиент концентрации в общем случае равен: dn dn dn grad n i j k dx dy dz dn Так как у нас одномерная задача, то grad n . dx При наличии grad n, хаотическое движение будет более направленным и возникнет поток молекул примеси, направленный от мест с большей концентрацией к местам с меньшей концентрацией. Найдѐм этот поток. Пусть в плоскости с координатой х находится единичная площадка dS, перпендикулярная оси х. Подсчитаем число молекул, проходящих через площадку в направлении слева направо dN и справа налево dN , за время dt (рис. 4): 1 dN n1 υ dSdt 6 1 dN n2 υ dSdt , 6 где n1 концентрация молекул слева от площади, а n2 концентрация молекул справа от площадки dS. Тогда dN dN dN . 11 Результирующий диффузионный поток через единицу площади в единицу времени: dN 1 J n1 n2 υ , dSdt 6 1 n n J λ υ 2 1 , 3 2λ но n2 n 1 dn; 2 λ dx, из этого следует, что n2 n 1 dn . dx 2λ 1 Обозначим: D λ υ – коэффициент диффузии. Тогда 3 диффузионный поток будет равен: dn или J D grad n . J D dx Это выражение называется законом Фика и показывает, что диффузионный поток направлен в сторону уменьшения концентрации. Следует отметить, что закон Фика справедлив не только для процесса взаимного проникновения одного газа в другой, но так же хорошо описывает диффузию частиц в жидкостях и твердых телах. 12 4. Вывод закона Ньютона для силы вязкого трения Рассмотрим ещѐ одну систему координат: υ от х (рис. 5). Пусть в покоящемся газе вверх, перпендикулярно оси х, движется пластинка со скоростью υ0, причѐм υ 0 υ (υ – скорость теплового движения молекул). Пластинка увлекает за собой прилегающий слой газа, тот слой – соседний и так далее. Весь газ делится как бы на тончайшие слои, скользящие вверх тем медленнее, чем дальше они от пластинки. Раз слои газа движутся с разными скоростями, возникает трение. Выясним причину трения в газе. Рис. 5. К выводу уравнения вязкости Ньютона Каждая молекула газа в слое принимает участие в двух движениях: тепловом и направленном. Так как направление теплового движения хаотически меняется, то в среднем вектор тепловой скорости равен нулю υ 0 . При направленном движении вся совокупность молекул будет дрейфовать с постоянной скоростью υ. Таким образом, средний импульс отдельной молекулы массой m в слое определяется только дрейфовой скоростью υ: p0 mυ. Но так как молекулы участвуют в тепловом движении, они будут переходить из слоя в слой. При этом они будут переносить с собой добавочный импульс, который будет определяться молекулами того слоя, куда перешла молекула. Перемешивание молекул разных слоѐв приводит к выравниванию дрейфовых скоростей разных слоѐв, что и проявляется макроскопически как действие сил трения между слоями. Вернемся к рис. 5 и рассмотрим элементарную площадку dS перпендикулярно оси х. Через эту площадку за время dt влево и вправо переходят потоки молекул: 13 1 dN dN n υ dSdt. 6 Но эти потоки переносят разный импульс: m0 υ1dN и mυ 2dN . При переносе импульса от слоя к слою происходит изменение импульса этих слоѐв. Это значит, что на каждый из этих слоѐв действует сила, равная изменению импульса. Сила эта есть не что иное, как сила трения между слоями газа, движущимися с различными скоростями. Отсюда и название – внутреннее трение (вязкость газов). Закон вязкости был открыт И. Ньютоном в 1687 г. Переносимый за время dt импульс d(mυ) равен: 1 d(mυ) Fdt или Fdt n υ m( υ1 υ 2 )dS . 6 Отсюда получим силу, действующую на единицу площади поверхности, разделяющей два соседних слоя газа: F 1 1 υ υ1 υ υ2 f λ υ nm 1 . λ υ nm 2 dS 3 3 2λ 2 λ Так как υ2 – υ1 = dυ, а 2<λ> = dx, то сила трения будет равна: dυ f η , или в общем виде f η grad υ. dx Это выражение называется законом Ньютона для силы вязкого трения. Здесь η – коэффициент вязкости, равный: 1 η λ υ nm Dρ . 3 (3.4.3) Физический смысл η в том, что он численно равен импульсу, переносимому в единицу времени через единицу площади при градиенте скорости равном единице. 14 5. Теплопроводность газов. Вывод закона Фурье Учение о теплопроводности начало развиваться в XVIII в. и получило свое завершение в работах французского ученого Ж. Фурье, опубликовавшего в 1822 г. книгу «Аналитическая теория теплоты». Рис. 6. К выводу закона Фурье для теплопроводности газов. Тепловой поток направлен в сторону, противоположную градиенту температуры Рассмотрим газ, заключѐнный между двумя параллельными стенками, имеющими разную температуру Та и Тб (рис. 6). Итак, у нас dT имеется градиент температуры 0 , тогда через газ в направлении dx оси х будет идти поток тепла. Хаотично двигаясь, молекулы будут переходить из одного слоя газа в другой, перенося с собой энергию. Это движение молекул приводит к перемешиванию молекул, имеющих m υ 2 i kT , здесь i – число различную кинетическую энергию Ек 2 2 степеней свободы молекулы. При подсчѐте потока тепла введѐм следующие упрощения: среднеарифметическая скорость теплового движения молекул υ const ; концентрация молекул в соседних слоях одинакова (хотя на самом деле она различается, что даѐт ошибку 10 %). Снова вернѐмся к рис. 6. Через площадку dS за время dt слева 1 проходит dN υ ndSdt молекул. Средняя энергия этих молекул К 6 соответствует значению энергии в том месте, где они испытывают последний раз столкновение. Для одной молекулы газа: i Ек1 kT1 . 2 15 1 Соответственно, справа проходит dN n υ dSdt молекул. 6 Каждая из этих молекул перенесѐт энергию i Ек2 kT2 . 2 Результирующий поток энергии через dS равен разности потоков dQ и dQ , то есть 1 i dQ n υ dSdt k (T1 T2 ) . 6 2 Применяя те же рассуждения, получим: результирующий тепловой поток через единичную площадку в единицу времени равен q и направлен он в сторону противоположную направлению градиента: dQ 1 i dT , q λ υT n k dSdt 3 2 dx dT или в общем виде q χ grad T q χ dx – закон Ж.Фурье для теплопроводности. Здесь χ – коэффициент теплопроводности, равный: 1 i 1 χ λ υ n k или χ λ υ ρCVуд , 3 2 3 где CVуд – удельная теплоемкость при постоянном объеме. 6. Коэффициенты переноса Сопоставим уравнения переноса. dn J Dgrad n или J D закон Фика для диффузии. dx 1 Коэффициент диффузии D λ υ . 3 dυ f тр η grad υ или f тр η закон Ньютона для трения. dx 1 Коэффициент вязкости η λ υ nm Dρ. 3 dT q χ gradT или q χ закон Фурье для теплопроводности. dx 1 Коэффициент теплопроводности χ λ υ ρC уд DρC уд . 3 16 Все законы кинетической теории газов были установлены опытно задолго до их обоснования молекулярно-кинетической теорией. Эта теория позволила установить, что внешнее сходство уравнений обусловлено общностью лежащего в их основе механизма перемешивания молекул в процессе их теплового хаотического движения. Однако к концу XIX века, несмотря на блестящие успехи молекулярно-кинетической теории, ей недоставало твердой опоры – прямых экспериментов, доказывающих существование атомов и молекул. Это дало возможность некоторым философам, проповедовавшим субъективный идеализм, заявлять, что схожесть формул – это произвол ученых, упрощенное математическое описание явлений. Все вышеуказанные коэффициенты переноса связаны между собой и все выводы молекулярно-кинетической теории подтверждены опытно. 7. Зависимость коэффициентов переноса от давления Р Так как скорость теплового движения молекул υ ~ T и не зависит от давления Р, а коэффициент диффузии D ~ <λ>, то и зависимость D от Р должна быть подобна зависимости <λ> ~ 1/Р. При обычных давлениях и в разряженных газах D ~ 1/P; в высоком вакууме D = const. С ростом давления <λ> уменьшается и затрудняется диффузия. В вакууме и при обычных давлениях плотность газа ρ ~ P , отсюда η ~ P и χ ~ P. С увеличением Р и ρ, повышается число молекул, переносящих импульс из слоя в слой, но зато уменьшается длина свободного пробега <λ>. Поэтому вязкость η и теплопроводность χ, при высоких давлениях, не зависят от Р (η и χ – const). Все эти результаты подтверждены экспериментально. На рис. 7 показаны качественные зависимости коэффициентов переноса и длины свободного пробега <λ> от давления Р. Эти зависимости широко используют в технике (например, при измерении вакуума). По численным значениям коэффициентов переноса можно приблизительно оценить среднюю длину свободного пробега молекул газа при различных условиях. 17 Рис. 7. Зависимость коэффициентов переноса и длины свободного пробега от давления 8. Молекулярное течение. Эффузия газов Молекулярное течение – течение газов в условиях вакуума, то есть когда молекулы не сталкиваются друг с другом. В вакууме происходит передача импульса непосредственно стенкам сосуда, то есть происходит трение газа о стенки сосуда. Трение перестаѐт быть внутренним, и понятие вязкости теряет свой прежний смысл (как трение одного слоя газа о другой). Течение газа в условиях вакуума через отверстие (под действием разности давлений) называется эффузией газа. Как при молекулярном течении, так и при эффузии, количество протекающего в единицу времени газа обратно пропорционально корню квадратному из молярной массы: n ~1 μ. Эту зависимость тоже широко используют в технике, например для разделения изотопов газа U235 (отделяют от U238, используя газ UF6). 9. Понятие о вакууме Газ называется разреженным, если его плотность столь мала, что средняя длина свободного пробега молекул λ может быть сравнима с линейными размерами l сосуда, в котором находится газ. Такое состояние газа называется вакуумом. Различают следующие степени вакуума: сверхвысокий ( λ l ), высокий ( λ l ), средний ( λ l ) и низкий вакуум. Свойства разреженных газов отличаются от свойств неразреженных газов. Это видно из таблицы 1, где приведены некоторые характеристики различных степеней вакуума. Таблица 1 18 Характеристика Давление в мм рт.ст Число молекул в ед. объема (в м–3) Зависимость от давления коэффициентов χиη низкий Вакуум средний высокий λ<l λ≈l λ>l сверхвысоки й λ >> l 760 – 1 1 – 10–3 10–3 – 10–7 10–8 и менее 1025 – 1022 – 1019 1019 – 1013 1022 Не Определяют Прямо зависят ся пропорци от параметром ональны давления давлению λ l 1013 и менее Теплопрово дность и вязкость практически отсутствуют Если из сосуда откачивать газ, то по мере понижения давления число столкновений молекул друг с другом уменьшается, что приводит к увеличению их длины свободного пробега. При достаточно большом разрежении столкновения между молекулами относительно редки, поэтому основную роль играют столкновения молекул со стенками сосуда. В состоянии высокого вакуума уменьшение плотности разреженного газа приводит к соответствующей убыли частиц без изменения λ . Следовательно, уменьшается число носителей импульса или внутренней энергии в явлениях вязкости и теплопроводности. Коэффициенты переноса в этих явлениях прямо пропорциональны плотности газа. В сильно разреженных газах внутреннее трение, по существу, отсутствует. Удельный тепловой поток в сильно разреженных газах пропорционален разности температур и плотности газа. Стационарное состояние разреженного газа, находящегося в двух сосудах, соединенных узкой трубкой, возможно при условии равенства встречных потоков частиц, перемещающихся из одного сосуда в другой: n1 υ1 n2 υ2 , где n1 и n2 – число молекул в 1 см3 в обоих сосудах; υ1 и υ2 – их средние арифметические скорости. Если Т1 и Т2 – температуры газа в сосудах, то предыдущее условие стационарности можно переписать в виде уравнения, выражающего эффект Кнудсена32: P1 P2 T1 T2 , 19 где P1 и P2 – давления разреженного газа в обоих сосудах. Вопросы создания вакуума имеют большое значение в технике, так как, например, во многих современных электронных приборах используются электронные пучки, формирование которых возможно лишь в условиях высокого вакуума. Для получения различных степеней разрежения применяются вакуумные насосы (рис. 8), позволяющие получить предварительное разрежение (форвакуум) до ≈ 0,13 Па, а также высоковакуумные насосы и лабораторные приспособления, позволяющие получить давление до 13,3 мкПа – 1,33 пПа (10–7 – 10–14 мм рт.ст.). Рис. 8. Современные вакуумные насосы. Слева – форвакуумный, справа – магниторазрядный высоковакуумный насос типа «НОРД» Контрольные вопросы. Упражнения 1. Перечислите явления переноса происходящие в газах. 2. В чем сущность явлений переноса? Каковы они и при каких условиях возникают? 3. Дайте определение средней длины свободного пробега. 4. Кокой физический смысл эффективного сечения молекул? 5. Зависит ли средняя длина свободного пробега молекул от температуры газа? Почему? 6. Как изменится средняя длина свободного пробега молекул с увеличением давления? 7. Объясните физическую сущность законов Фурье, Фика, Ньютона. 8. Каков физический смысл коэффициентов переноса? 9. Представьте графическую зависимость коэффициентов переноса от давления. 20 10. Что такое молекулярное течение, эффузия газов? 11. Дайте понятие о вакууме. 12. Дайте определение эффекта Кнудсена. 13. Найти среднюю длину свободного пробега l молекул водорода при давлении Р = 0,1 Па и температуре Т = 100 К. 14. При каком давлении Р средняя длина свободного пробега l молекул азота равна 1 м, если температура Т газа равна 300 К. 15. Баллон вместимостью V = 10 л содержит водород массой т = 1 г. Определить среднюю длину свободного пробега l молекул. 16. Средняя длина свободного пробега l атомов гелия при нормальных условиях равна 200 нм. Определить коэффициент диффузии D гелия. 17. Коэффициент диффузии D кислорода при температуре Т = 0° С равен 0,19 см2/с. Определить среднюю длину свободного пробега l молекул кислорода. 21 Методика решения задач Задача 1. Найти коэффициент диффузии и вязкость воздуха при давлении Р = 101,3 кПа и температуре t = 10 С. Эффективный диаметр молекул воздуха d = 0,38103 м. Решение: Проведем решение для приближения идеального газа. 1 D υсрl. 3 Среднеарифметическая скорость молекул идеального газа: 8RT . υср πμ Среднюю длину свободного пробега l рассчитаем из уравнения kT l , 2 σ Р где эффективное сечение рассеяния молекул = d2 равно площади круга с радиусом, равным эффективному диаметру молекулы. Получим: 1 8RT kT D 1,45 105 м2/с. 2 3 μπ 2πd Р Коэффициент вязкости можно рассчитать, выражая значения параметров через термодинамические величины, заданные в условии. Или можно воспользоваться соотношением связи между коэффициентами в законах переноса: D . Плотность газа найдем из уравнения Менделеева – Клапейрона: Рμ m РV m R ρ . , по определению T μ RT V И, наконец, Рμ 101,3 103 28 103 кг 1,45 1,75 . = D = D RT 8,31 283 см Задача 2. Углекислый газ и азот находятся при одинаковых давлениях и температурах. Найдите для этих газов отношения: а) коэффициентов диффузии; б) вязкостей; в) теплопроводностей. Диаметры молекул газов считать одинаковыми. 22 Дано: μ1 = 44∙10–3 кг/моль μ2 = 28∙10–3 кг/моль i1 = 6 i2 = 5 D1/D2 – ? η1/η2 – ? χ1/χ2 – ? Решение. Коэффициент диффузии: 1 1 8RT kT . D υ λ 2 3 3 πμ 2πσ P Так как диаметры молекул σ1 = σ2, то D1 μ1 0,8 . D2 μ2 Коэффициент динамической вязкости η 1 3 υ λ ρ , где ρ = Рμ/(RT). Тогда η1 μ 2 μ1 μ1 Pμ , 1,25 . RT η 2 μ1 μ 2 μ2 Коэффициент теплопроводности: χ 1 3 υ λ ρСV ηCV , i R удельная теплоемкость газа; i – число степеней свободы где CV 2μ молекул. Из этого следует: μ1 i1 μ 2 i1 μ 2 χ ηс υ 0,96 . μ 2 i2 μ 1 i2 μ 1 Ответ: D1/D2 = 0,8; η1/η2 = 1,25; χ1/χ2 = 0,96. Задача 3. При температуре 0º с и некотором давлении средняя длина свободного пробега молекул кислорода равна 9,5·10–8 м. Чему равно среднее число столкновений в 1 секунду молекул кислорода, если сосуд откачать до 0,01 первоначального давления? Температура останется неизменной. Решение. Среднее число столкновений в Дано: Т = 273 К секунду молекул кислорода находится по формуле –8 <λ1> = 9,5·10 м υ z , (1) Р2 = 0,01Р1 λ 8RT <z> – ? где υ ; πμ 1 λ . (2) 2πσ 2 n Запишем среднюю длину свободного пробега <λ> для двух состояний. Для этого из формулы Р = пkT найдем среднее число молекул в единице объема п и подставим в уравнение (2): ηD 23 kT1 , 2πσ 2 P1 kT1 , λ 2 2πσ 2 P2 Разделив уравнение (3) на уравнение (4), получим P λ1 λ 2 1 . P2 Тогда по формуле (1) найдем 8RT πμ υ , z λ 2 λ1 P1 P2 λ1 z Дж К моль К 12 кг моль м 1 2 (3) (4) Дж кг 1 1 с , м с 8 8,3 273 3,14 32 10 3 z 4,5 10 7 с 1. 8 9,5 10 100 Ответ: z 4,5 107 с 1. Задача 4. Самолет летит со скоростью v = 360 км/ч. Считая, что слой воздуха у крыла самолета, увлекаемый вследствие вязкости, d0 = 4 см, найти касательную силу FS, действующую на единицу поверхности крыла. Эффективный диаметр молекул воздуха d = 0,3 нм. Температура воздуха t = 0 С. Дано: v = 100 м/с d0 = 0,04 м d = 31010 м T = 273 К Решение: Воздух можно считать идеальным газом. По закону Ньютона для внутреннего трения (вязкости) F dv S , dx где F – касательная сила, возникающая между ламинарными слоями; коэффициент вязкости; dv/dх FS ? – «градиент» скорости молекул газа в направлении, перпендикулярном движению; S – площадь поверхности соприкасающихся слоев. На единицу площади будет приходиться сила F dv FS . (1) S dx Найдем величину FS. Для этого градиент скорости dv/dх заменим средней величиной 24 d v v v 0 v , (2) dx x d0 d0 где v – скорость молекул воздуха, соприкасающихся с крылом (прилипших к крылу); d0 – толщина увлекаемого слоя воздуха. На границе этого слоя скорость молекул воздуха равна нулю. Коэффициент вязкости равен 1 v l . 3 (3) Выразим входящие в (3) величины через термодинамические параметры, заданные в задаче. Плотность газа = m/V найдем из уравнения Менделеева – Клапейрона: m m pM , (4) pV RT M V RT где M молярная масса газа. Средняя скорость молекул газа v однозначно связана с температурой (см. раздел «Распределение Максвелла – Больцмана»): 8RT v . (5) M Средняя длина свободного пробега молекул газа kT l , (6) 2 d 2 p где d эффективный диаметр молекулы воздуха. Решая систему уравнений (3) (6) относительно , получим 1 pM 8RT kT 2 MT k 2. (7) 3 RT M 2 d 2 p 3 R d Подставляя выражения (2) и (7) в (1), найдем 2 MT k v 2 29 103 273 1,38 1023 100 FS 2 0,045 Н/м2 . 2 3 R d d 0 3 3,14 8,31 3,14 3 1010 0,04 Ответ: FS = 0,045 Н/м2. Задача 5. Пространство между двумя параллельными пластинами площадью S = 150 см2 каждая, находящимися на расстоянии х = 5 мм друг от друга, заполнено кислородом. Одна пластина поддерживается при температуре t1 = 17 С, другая – при температуре t2 = 27 С. Определите количество теплоты, прошедшей за t = 5 мин посредством теплопроводности от одной пластины к другой. Кислород находится при нормальном давлении во все время опыта. Эффективный диаметр 25 молекул кислорода считать равным d = 0,36 нм. Температуру газа считать равной среднему арифметическому температур пластин t = 22 С. Решение: Кислород при данном давлении и Дано: 2 2 S = 1,510 м температуре можно считать идеальным газом. По закону теплопроводности Фурье х = 5103 м T T1 = 290 К (1) Q St . T2 = 300 К x Площадь пластин S и время эксперимента t заданы. T = 295 К Функцию распределения температуры в газе будем t = 300 с 10 d = 3,610 м считать линейной вдоль х, тогда T T |Q| ? , где T = T2 – T1. x x Коэффициент теплопроводности газа 1 (2) CV v l , 3 i R где CV – теплоемкость газа при постоянном объеме; i – число 2M степеней свободы молекулы газа (для двухатомного газа О2 i = 5); M молярная масса газа (для О2 M = 32103 кг/моль). Плотность газа = m/V найдем из уравнения Менделеева – Клапейрона: m m pM . (3) pV RT M V RT Длина свободного пробега молекул kT l . (4) 2 d 2 p Средняя скорость молекул газа v однозначно связана с температурой (см. раздел «Распределение Максвелла – Больцмана»): 8RT v . (5) M Решая систему уравнений (2) (5) относительно , имеем i k RT . (6) 3 d 2 M Подставляя (6) в (1), получим 26 Q i k 3 d 2 RT (T2 T1 ) St 79,5 Дж . M x Задача 6. Во сколько раз уменьшится среднее число столкновений z в единицу времени молекул двухатомного газа, если объем газа адиабатически увеличить в 2 раза. Решение: Проведем решение для идеального газа. Дано: V2/V1 = 2 Среднее число z столкновений в единицу времени i=5 определяется отношением средней скорости v молекул к z1/z2 ? средней длине свободного пробега l: v z . (1) l Средняя скорость молекул газа v однозначно связана с температурой (см. раздел «Распределение Максвелла – Больцмана»): 8RT v . (2) M Среднюю длину свободного пробега запишем через температуру T и давление p: kT l , (3) 2 d 2 p где d эффективный диаметр молекул газа. Подставляя (2) и (3) в (1), получим 8RT 2d 2 p z . M kT Запишем выражения для z1 и z2 и найдя их отношение, получим z1 p1 T2 . (4) z2 p2 T1 Воспользуемся уравнениями для адиабатического процесса 1 p1 V2 T2 V1 ; , p2 V1 T1 V2 где = (i +2)/i = 1,4 показатель адиабаты. С учетом (5) запишем уравнение (4) в виде z1 V2 z2 V1 V1 V2 1 V V 2 2 V1 V1 27 (1 ) 2 V 2 V1 (5) 1 2 21,2 2,3 . Ответ: z1/z2 = 2,3. Задача 7. В сосуде объемом V = 0,5 л находится кислород при нормальных условиях (p = 1105 Па, T = 273 К). Найдите общее число столкновений Z0 между молекулами кислорода в этом объеме за единицу времени. Эффективный диаметр кислорода d = 0,38 нм. Дано: V = 5104 м3 p = 1105 Па T = 273 К d = 3,61010 м M = 32103 кг/моль Z0 ? Решение: Среднее время соседними соударениями 1 1 , z 2 n v между двумя где = d 2 эффективное сечение рассеяния молекул; n – концентрация молекул. Тогда среднее число столкновений одной молекулы в единицу времени в единице объема равно z 2d 2 n v . Общее число столкновений всех молекул в единице объема z n . Z 2 Делитель 2 необходим, т. к. сталкиваются две молекулы. Число столкновений молекул в объеме V 2d 2 n 2 v Z0 Z V V . (1) 2 Концентрацию молекул n находим из основного уравнения газового состояния: p . (2) p nkT n kT Средняя скорость молекул газа v однозначно связана с температурой (см. раздел «Распределение Максвелла – Больцмана»): 8RT v . (3) M Подставляя (2) и (3) в (1) после преобразований, получим 2 pd RT Z 0 2V 4,3 1031 c 1 . M kT Ответ: Z0 = 4,31031 с1. 28 Задача 8. Найдите коэффициент диффузии D и динамческую вязкость воздуха при давлении р = 101,3 кПа и температуре t = 10 С. Эффективный диаметр молекул воздуха d = 3,81010 м. Решение: Проведем решение в приближении идеального газа. Для расчета коэффициента диффузии D воспользуемся формулой 1 (1) D v l , 3 D? Средняя скорость молекул газа v однозначно связана с температурой (см. раздел ? «Распределение Максвелла – Больцмана»): 8RT v . (2) M Средняя длина свободного пробега молекул kT l . (3) 2 d 2 p Подставляя (2) и (3) в (1), получим 2 RT kT D 9,1 106 м2 /с . 2 3 M d p Коэффициент вязкости можно рассчитать воспользоваться соотношением, которым связаны между собой коэффициенты D и в законах переноса: D , откуда D . (4) Плотность газа = m/V найдем из уравнения Менделеева – Клапейрона: m m pM , (5) pV RT M V RT Подставляя (5) в (4), получим pM 1,013 105 29 103 D 9,1 106 1,61 кг/(м с) . RT 8,31 283 Ответ: D = 9,1106 м2/с; = 1,61 кг/(мс). Дано: p = 1,013105 Па T = 283 К d = 3,81010 м M = 29103 кг/моль в Задача 9. Какое предельное число молекул газа должно находиться единице объема сферического сосуда, чтобы молекулы не 29 сталкивались друг с другом? Эффективный диаметр молекул газа d = 0,3 нм, диаметр сосуда D = 15 см. Решение: Проведем решение для идеального газа. Молекулы газа не будут сталкиваться друг с другом, если длина свободного пробега больше или равна диаметру сосуда, т.е. l D. 1 Средняя длина свободного пробега молекул газа l , где 2 n = d 2 эффективное рассеяние равно площади круга, радиус которого равен эффективному диаметру молекулы d ; n – концентрация молекул газа. Следовательно, 1 D l . 2 d 2 n Отсюда найдем 1 1 n 1,67 1019 м3 . 2 2 2 d D 2 3 1010 0,15 Дано: d = 31010 м D = 0,15 м n? Ответ: n = 1,671019 м3. 30 Типовые задачи с решениями для индивидуальной работы 1. Число молекул водорода в единице объема при некоторых условиях равно n = 1,81025 м3, коэффициент диффузии при этих условиях D = 1,42104 м2/с. Найдите, чему равен для такого газа коэффициент вязкости . Решение: Дано: 25 3 По определению диффузии: n 1,8 10 м D 1,42 104 м 2 /с η? 1 υ λ , где ( υ -средняя тепловая скорость 3 молекул газа, λ - длина свободного пробега) D Вязкость есть: 1 υ λ Dρ , где ( ρ = плотность газа) 3 ρ m n , (где m- масса молекулы водорода, n- количество молекул). m m p 1,68 1027 кг (ввиду того, что m p me ) η В результате: η Dmp n 1,42 104 1,68 1027 1,8 1025 4,29 106 Па с 4,29 мкПа с Ответ: η Dnμ 8,5мкПа с NA 2. Определите коэффициент теплопроводности χ азота, если коэффициент динамической вязкости для него при тех же условиях равен 10 мкПас. Дано: Решение: N2 Пусть, λ - средняя длина свободного пробега η 10 мкПа с молекул, υ - средняя арифметическая скорость 10 5 Па с молекул, ρ -плотность газа. χ ? Динамическая вязкость η определяется так: 1 η ρ υ l . 3 Молекула азота двухатомная и имеет i 5 степеней свободы. Удельная теплоѐмкость газа при постоянном объѐме равна: СV Дж i R -молярная газовая постоянная, , где R 8,31 моль К 2 μ μ 29 г моль 28 103 кг моль - молярная масса азота. 31 Теплопроводность χ газа равна: 1 i R 5 8,31 Вт χ СVρ υ λ СV η η 10 5 7,42 10 3 3 3 2μ 2 28 10 мК 7,42 10 2 Вт/(м К). Ответ: χ i Rη 7,42 102 Вт (м К) . 2 μ 3. При помощи ионизационного манометра, установленного на искусственном спутнике Земли, было обнаружено, что на высоте h = 300 м от поверхности Земли концентрация частиц газа в атмосфере n = 1015 м3. Найдите среднюю длину свободного пробега λ частиц газа на этой высоте. Эффективный диаметр частиц газа d = 0,2109 м. Решение: Дано: h 300км 3 105 м n 1015 м 3 d 0,2нм 2 1010 м λ ? Средняя длина свободного пробега частиц газа может быть определена по формуле: λ 1 , 2πd 2 n где d - диаметр частицы, n- концентрация молекул. Находим численное значение λ : λ 1 1 5,6 103 м 5,6 м. 2 2πd n 2 π (2 1010 ) 2 1015 1 Ответ: λ 5,6 103 м. 2 2πd n 4. Найдите коэффициент диффузии D водорода при нормальных условиях, если средняя длина свободного пробега λ = 0,16 мкм. Дано: Решение: H2 Коэффициент диффузии D газа может быть вычислен по формуле: н.у λ 0,16 мкм 1,6 10-7 м D-? υ λ , 3 где υ - средняя арифметическая скорость D молекул, λ - средняя длина свободного пробега молекул. Средняя арифметическая скорость молекул может быть вычислена по формуле: 32 υ Дж 8RT , где T- температура газа, R 8,31 - молярная моль К πμ газовая постоянная, μ 2 г моль 2 103 кг моль - молярная масса водорода. При нормальных условиях: T 0 C 273 К . Находим коэффициент диффузии: D υ λ λ 3 3 2 8RT 1,6 107 8 8,31 273 5 м . 9 , 06 10 πμ 3 π 2 103 с Ответ: D 1 8RT0 λ 9,06 105 м 2 /c 3 μπ 5. Определите среднюю длину свободного пробега λ молекул кислорода, находящихся при температуре 0 С, если среднее число ν столкновений испытываемых молекул в 1 с равно 3,7109 с1. Решение: Дано: O2 Средняя арифметическая скорость υ T 0 C 273 К молекул газа определяется по формуле: ν 3,7 109 λ ? υ 8RT , πμ Дж - молярная газовая постоянная, моль К μ 32 г моль 32 103 кг моль - молярная масса кислорода. где R 8,31 Средняя длина свободного пробега λ молекул кислорода связана со средней арифметической скоростью υ : λ υ 1 8RT 1 8 8,31 273 1,15 107 м. 9 3 ν ν πμ 3,7 10 π 32 10 Ответ : λ 1 ν 8RT 1,15 10 7 м. πμ 6. Средняя длина свободного пробега λ 1 молекул водорода при нормальных условиях составляет 0,1 мкм. Определите среднюю длину их свободного пробега при давлении 0,1 Па, если температура газа остается постоянной. Дано: λ 1 0,1мкм 10-7 м P2 0,1Па T1 T2 273 К 33 Решение: Давление P газа связано с концентрацией n молекул: P1 105 Па λ 2 ? Дж - постоянная Больцмана. К P Таким образом: n . kT P nkT , где k 1,38 1023 Средняя длина свободного пробега молекул определяется по формуле: λ 1 kT . 2 2 πd n 2 πd 2 P Для первого и второго случаев имеем: λ1 kT1 kT2 ; λ . 2 2 πd P1 2 πd 2 P2 λ Таким образом: λ 2 1 T2 P1 P1 105 106. T1 P2 P2 0,1 Отсюда: λ 2 10 λ 1 106 107 0,1м . 6 Ответ: λ 2 λ 1 P1 P2 0,1 м. 7. Ниже какого давления можно говорить о вакууме между стенками сосуда Дюара, если расстояние между стенками сосуда l0 = 8 мм, а температура t = 17 С? Эффективный диаметр молекул воздуха d принять равным 0,37 нм. Дано: l0 8 мм 8 10-3 м T 17 C 290 К . d 0,37 нм 3,7 10-10 м P -? Решение: Консентрация n молекул связана с давлением P газа: n P Дж где k 1,38 1023 - постоянная kT К Больцмана. Средняя длина свободного пробега молекул определяется по формуле: λ 1 kT 2 2 πd n 2 πd 2 n где d- эффективный диамерт молекулы. 34 О вакууме можно говорить тогда, когда средняя длина свободного пробега больше расстояния l между стенками: kT l0 2 πd 2 P λ В предельном случае имеем: kT l0 2 πd 2 P Находим давление газа P: P kT 1,38 1023 280 0,82 Па 2 πd 2l0 2 π (3,7 1010 ) 2 8 103 Ответ: P . kT 0,82 Па . 2πd 2l0 8. Чему равна масса азота, заполняющего объем V = 100 см3, если длина свободного пробега его молекул равна λ = 23,2 нм? Эффективный диаметр молекул d = 0,28 нм. Дано: 4 V 100 см 110 м 3 3 λ 23,2 нм 23,2 109 м d 0,28 нм 0,28 109 м m-? Решение: Длина свободного пробега молекул азота: λ 1 (1) 2πd 2 n где n концентрация частиц газа n m N A - число молекул газа. μ m NA Таким образом n (2) μ V N VN A Подставляем (2) в (1), получаем λ μV , выразим массу азота m λ 2πd 2 mNA μV , 2 πd 2 N A кг - для азота моль 28 103 1 104 m 0,5 103 кг . 9 9 2 23 23,2 10 2 3,14 (0,28 10 ) 6,02 10 μ 28 10-3 35 N V Ответ: m Vμ 0,5г. N A λ 2πd 2 9. Чему равна длина свободного пробега молекул водорода при давлении P = 0,54 Па и температуре 67 С. Диаметр молекул водорода d = 0,28 нм. Дано: Решение: N2 Средняя длина свободного пробега молекул P 0,54 Па газа может быть определена по формуле: T 67 C 340 K l-? 1 , 2 πd 2 n где d 0,28 нм 2,8 10-10 м - эффективный диаметр λ молекулы водорода, n- концентрация молекул. Концентрация молекул n связана с давлением p и температурой T: n P , kT где k 1,38 1023 Дж - Постоянная Больцмана. К Выражаем длину свободного пробега: λ 1 kT 1,38 1023 340 0,025 м 2,5 см . 2πd 2 n 2πd 2 P 2 π (2,8 1010 ) 2 0,54 kT 2,5см. Ответ: λ 2πd 2 P 10. При какой температуре средняя длина свободного пробега молекул водорода λ равна 2,5 см, если давление газа равно P = 0,54 Па. Диаметр молекулы водорода d = 0,28 нм. Дано: Решение: Средняя длина свободного пробега λ 2,5 см 0,025 м молекул P 0,54 Па d 0,28 нм 2,8 10-10 м T-? λ 1 2πd 2 n Выразим отсюда концентрацию молекул водорода n 1 (1) λ 2 πd 2 Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры: 36 P (2) nk P nkT , отсюда T Подставив (1) в (2), получим T pλ 2 πd 2 , где k- постоянная Больцмана ( k 1,38 1023 k 0,54 0,025 2 3,14 (2,8 1010 ) 2 т.о. T 340 К 67 С . 23 1,38 10 Ответ: T pλ Дж ) К 2πd 2 k 67 ° C. 11. Определите эффективный диаметр молекул кислорода при нормальных условиях. Коэффициент диффузии равен 2,9102 м2/с. Дано: Решение: O2 Коэффициент диффузии определяется 2 выражением: 5 м D 2,9 10 Н.У. d-? с 1 υ λ , 3 где υ - средняя скорость движения молекул газа D λ - средняя длина свободного пробега молекул газа. Средняя скорость движения определяется из функции распределения Максвелла: υ 8RT ,где T 293 К - температура газа при нормальных πμ условиях; μ 32 103 кг моль - молярная масса O2 . Средняя длина свободного пробега: λ 1 . 2πd 2 n Концентрация молекул газа при нормальных условиях: 1 N - число Авогадро. n A , где N A 6 10 23 моль VM 1 VM 22,4 - объѐм занимаемый 1 молекулой газа при моль нормальных условиях. Тогда: D 1 8RT 3 πμ VM , 2πd 2 N A Отсюда эффективный диаметр молекулы: 37 d 1 8RT V 2 M 3 d N A 2 1 8 8,31 293 22,4 10 3 d 0,27 10 9 м . 3 5 23 3 2 32 10 3,14 4,14 2,9 10 6 10 VM 1 8RT 0,27 нм. 3 πμ π D N A 2 Ответ: d 12. Определите, какая масса азота находится в сосуде объемом 3 100 см , если средняя длина свободного пробега молекул газа λ = 23,2 нм. Эффективный диаметр молекул азота d = 0,28 нм. Решение: Дано: V 100 см 3 100 103 м3 λ 8 λ 23,2 нм 2,32 10 м d 0,28 нм 2,8 10-10 м m-? 1 - длина свободного 2πd 2 n пробега. n- концентрация молекул: n N V Число молекул в сосуде равно: N m N A , следовательно: μ Длина свободного пробега равна: λ V μV , следовательно: 2 2πd N 2πd 2 mN A Масса газа равна: m μV 2πd 2 λ N A μ 0,028 кг моль - молярная масса азота N A 6,02 1023 моль 1 - постоянная Авогадро. m 0,028 100 103 0,576 кг . 2 3,14 (2,8 1010 ) 2 2,32 108 6,02 1023 Ответ : m 1 μ V 0,5 г. 2 2πd λ N A 13. Определите среднюю продолжительность свободного пробега молекул водорода при температуре 27 С и давлении 0,5 кПа. Диаметр молекул водорода принять равным 0,28 нм. Дано: T 27 C 300 К 38 P 0,5 кПа 500 Па d 0,28 нм 2.8 10 м -10 τ ? Решение: Средняя арифметическая скорость молекул газа связана с температурой T: υ 8RT , πμ Дж - молярная газовая постоянная, моль К μ 2 г моль 2 103 кг моль - молярная масса водорода. где R 8,31 Давление газа P связано с концентрацией n молекул: P nkT , где k 1,38 1023 Дж - постоянная Больцмана. К Средняя длина свободного пробега молекул: λ 1 kT , 2 2πd n 2πd 2 P где d- эффективный диаметр молекулы. Среднее время свободного пробега: τ l kT πμ kT 2 2 υ 2 πd p 8RT 4d P μ πRT 1,38 10 23 300 2 10 3 1,33 10 8 c 13,3 нс. 10 4 (2,8 10 ) 500 π 8,31 300 Ответ: τ kT μ 13,3 нс. 2 4 Pd πRT 14. Определите объем сосуда, в котором находится кислород при нормальных условиях, если общее число столкновений Z между молекулами кислорода в этом объеме за единицу времени Z = 1032 с1. Решение: Дано: 32 1 Среднее число соударений, испытываемых Z 10 c одной молекулой газа в единицу времени: V-? Z 2πd 2 n υ , где d-эффективный диаметр молекул, для кислорода d 0,35 109 м . n- концентрация молекул, - средняя арифметическая скорость молекул. Общее число столкновений будет Z 2πd 2 n υ N , где N- число молекул, N nV , где n-концентрация, V- искомый объѐм. 39 Средняя арифметическая скорость определяется по формуле: υ 8RT , πμ H для кислорода O2 - H 32 103 кг . моль концентрацию n выразим из закона: P nkT, n 8RT , πμ Z Таким образом: Z 2πd 2 n n V V P . kT P 2 πd kT 2 2 8RT πμ Для нормальных условий: T 293 K , P 105 Па Подставляем числовые значения: 1032 V 2 105 8 8,31 290 2 3,14 (0,37 10 ) 23 3,14 0,032 1,38 10 290 6,0 10 4 м 3 0,6 м 3 . 9 2 Проверим размерность V c 1 Н 2 м м2 Н м К К 2 Дж К мольК кг моль с 1 м 2 м 6 м2 с2 Ответ: V с 1 с м3. 3 м Z P 2πd 2 kT 2 0,6 м 3 . 8RT πμ 15. Найдите давление, при котором находится воздух при температуре t =10С, если коэффициент диффузии D = 1,45105 м2/с, а вязкость = 1,75 кг/(см). Решение: Дано: Коэффициент диффузии и вязкость связаны T 10 C 283 К 5 2 D 1,45 10 м с между собой выражением: η 1,75 кг (с м) P-? D 1 , где ρ -массовая плотность газа. η ρ Запишем уравнение состояния газа: 40 Дж m - молярная kT , где m- масса газа, V- объѐм газа, k 8,31 моль μ газовая постоянная, μ 29 г моль 2,9 102 кг моль - молярная масса PV воздуха, P- давление газа, T- температура газа. Поэтому: P m μ ρ η ηRT 1,75 8,31 283 , следовательно P 9,8 109 Па. V RT D μD 2,9 102 1,45 105 Ответ: P ηRT 9,8 10 9 Па μD 16. В сосуде объемом V = 2 л находится N = 41022 молекул двухатомного газа. Теплопроводность газа χ = 14 мВт/(мК). Найдите коэффициент диффузии D газа. Решение: Дано: 3 3 Пусть, молярная масса газа равна μ . V 2 л 2 10 м 22 Значит, удельная теплоѐмкость при N 4 10 постоянном объѐме такова: двухатомный χ 14 мВт Вт 1,4 102 мК мК CV Дж 5 k - молярная , где R 8,31 моль К 2 μ газовая постоянная. N Количество вещества: ν , где N A 6,02 1023 моль 1 NA постоянная Авогадро. Масса газа в сосуде: D-? mμ μN m μN . Значит, плотность газа равна: ρ . NA V VN A Теплопроводность χ газа связана с коэффициентом диффузии D: χ DpСV . Отсюда: χ D μN 5 R 5RND 5kND R Дж , где k 1,38 10 23 N A 2 m 2VN A 2V NA K постоянная Больцмана. Получаем: D 2Vλ 2 2 103 1,4 102 2 10 5 м 2 с 23 22 5kN 5 1,38 10 4 10 Ответ: D 2Vλ 2,02 10 5 м 2 с . 5kN 17. При какой температуре азот, находящийся в некотором объеме, имеет коэффициент вязкости 0,4 мкПас? Эффективный диаметр молекул азота d = 0,38 нм. 41 Дано: 7 η 0,4 мкПа с 4 10 Па с d 0,38 нм 3,8 1010 м Решение: Вязкость газа определяется по формуле: 1 η ρ υ λ (1) 3 T-? где υ - средняя арифметическая скорость молекул: υ 8RT (2) πμ λ - средняя длина свободного пробега молекул. λ p 1 kT ; n , т.о. λ (3) 2 kT 2πd 2 P 2πd n Плотность газа ρ выразим из уравнения Менделеева – Клапейрона: m RT , т.к. масса m ρV , то μ Pμ ρV (4) PV RT , отсюда ρ RT μ PV Подставляя (2),(3) и (4) в (1) получим: 1 pμ 8RT kT 3 RT πμ 2πd 2 P Отсюда выразим температуру газа: T 9η2 Rπ 3d 4 9 (4 107 ) 2 8,31 3,143 (3,8 1010 ) 2 280 К . 4μk 2 4 0,028 (1,38 1023 ) 2 η 2 9 Rπ 3 d 4 280 К. . Ответ: T 4μk 2 18. Сколько молекул находится в сосуде объемом V = 2 л. Теплопроводность газа χ = 14 мВт/(мК), а коэффициент диффузии D = 2,02105 м2/с. Газ двухатомный. Решение: Дано: 5 D 2,02 10 м с 2 Двухатомный газ V 2 л 2 103 м3 χ 14 103 Вт (м К) N-? 1 Теплопроводность газа: χ ρ υ λ CV , 3 1 Коэффициент диффузии: D υ λ , 3 Поэтому: χ ρCV . D Удельная теплоѐмкость при постоянном объѐме: 42 iR ( i 5 для двухатомного газа). 2μ m mN Плотность газа: ρ 0 . V V χ m0 N iR χ μN iR 2VN A χ Поэтому: N D V 2 D VN A 2μ iRD CV 2 2 103 6,02 1023 14 103 4 1022 . 5 8,31 2,02 105 Ответ: N 2VN A χ 4 1022. iRD 19. Найдите теплопроводность водорода, вязкость которого = 8,6 мкПас. Решение: Дано: η 8,6 мкПа с Динамическая вязкость газа определяется по -6 формуле: 8,6 10 Па с χ ? η υ λρ , где υ - средняя арифметическая 3 скорость молекул, λ - средняя длина свободного пробега молекул, ρ - плотность газа определяется по формуле: K υ λ ρCV , где CV 3 удельная теплоѐмкость газа при постоянном объѐме. Удельная теплоѐмкость газа при постоянном объѐме i R 2 μ определяется так: CV , где i - число степеней свободы молекулы, μ - молярная масса газа. Для водорода ( H 2 ) : i 5 , μ 2 103 кг моль . Находим теплопроводность χ : χ ηCV i Rη 5 8,31 8,6 106 Вт мВт . 8,9 102 89 3 2 μ 2 2 10 мК мК iR Ответ: χ η 89,33мВт/(м К). 2μ 20. Коэффициент диффузии и вязкость кислорода при некоторых условиях равны D = 1,22105 м2/с и = 19,5 мкПас. Найдите среднюю длину свободного пробега кислорода. Эффективный диаметр молекул кислорода d = 0,36 нм. Дано: O2 D 1,22 105 м 2 с 43 η 19,5 мкПа с 5 1,95 10 Па с d 0,36 нм Решение: Пусть, давление газа равна P, а температура равна T.Концентрация молекул: n λ -? k 1,38 1023 P , где kT Дж - постоянная Больцмана. Средняя К длина свободного пробега определяется формулой: λ 1 kT , где d 0,36 нм 3,6 1010 м - диаметр молекулы 2 2 2πd n 2πd P кислорода. Плотность газа определяется так: Pμ , где 3,2 102 кг моль - молярная масса кислорода, RT Дж R 8,31 - молярная газовая постоянная. моль К ρ Динамическая вязкость газа: υ λρ kT Pμ kμ 3 2πd 2 Rη = υ υ υ 3 kμ 3 2πd 2ρ RT 3 2πd 2 R η 3 2 π (3,6 1010 ) 2 8,31 1,95 105 634 м с . 1,38 1023 3,2 102 Находим длину свободного пробега λ : λ 3D 3 1,22 105 5,8 108 м 58 нм . υ 634 Ответ : λ 3Dkμ 83,5 нм . 3 2πd 2 Rη 21. Найдите вязкость азота, теплопроводность которого равна χ = 29,44 мВт/(мК). Решение: Дано: χ 29,44 мВт (м К) Теплопроводность газа определяется по 2 формуле: 2,944 10 Вт (м К) η? 1 χ υ λ CV , а вязкость η газа: 3 1 3 ρ υ λ , где ρ - плотность газа, υ - средняя арифметическая скорость молекул, λ - средняя длина свободного пробега молекул, CV - удельная теплоѐмкость газа при постоянном объѐме. Азот является двухатомным газом, поэтому: 44 Дж iR 5R , где R 8,31 - молярная газовая постоянная, i 5 моль К 2μ 2μ число степеней свободы молекулы , μ 28 10 - 3 кг моль - молярная CV масса. Поэтому: η χ 2χμ 2 2,944 102 28 10 3 3,97 105 Па с 39,7 мкПа с . CV 5R 5 8,31 2χμ Ответ: η 39.7мкПа с. 5R 22. Коэффициент диффузии и вязкость кислорода при некоторых условиях равны D = 1,22105 м2/с и = 19,5 мкПас. Найдите плотность , среднюю длину свободного пробега λ и среднюю арифметическую скорость молекул vср при этих условиях. Решение: Дано: O2 Пусть, давление газа равно P, а температура D 1,22 105 м 2 с η 19,5 мкПа с 1,95 10 5 Па с λ ? ρ? υ ? равна T. Концентрация молекул: n k 1,38 1023 P , где kT Дж - постоянная Больцмана. Средняя К длина свободного пробега определяется формулой: λ 1 kT , где 2 2πd n 2πd 2 P d 0,3 нм 3 1010 м - диаметр молекулы кислорода. Плотность газа Pμ определяется так: ρ , где μ 3,2 102 кг моль - молярная масса RT Дж кислорода, R 8,31 - молярная газовая постоянная. Среднюю моль К арифметическую скорость молекул газа можно найти так: υ 8RT . πμ Динамическая вязкость газа: η υ λρ kT P 8RT kμ 3 2 πd 2 Rη υ υ 3 πμ Rμ 3 2 πd 2 P RT 3 2 πd 2 R 3 2 π (3 10-10 ) 2 8,31 1,95 10 5 440 м с . 1,38 10 23 3,2 10 2 υ λ η Коэффициент диффузии: D 3 ρ 45 η 1,95 105 1,6 кг м3 . 5 D 1,22 10 Находим длину свободного пробега λ : Находим плотность ρ : ρ λ Ответ: = 3D 3 1,22 105 8,3 108 м 83 нм . υ 440 η 8RT 3D = 1,6 кг/м3; λ = = 83,5 нм; υ = = 440 м/с. υ D πμ 23. Коэффициент диффузии и вязкость водорода при некоторых условиях равны D = 1,42104 м2/с и = 8,5 мкПас. Найдите число молекул водорода в единице объема. Дано: Решение: 4 2 Динамическая вязкость газа η равна D 1,42 10 м с η 8,5 мкПа с произведению его плотности ρ и коэффициента -6 8,5 10 Па с диффузии D: η ρD ρ η D . Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона: n-? m RT , где P- давление газа, V- занимаемый μ кг им объѐм, m- масса газа, μ 2 г моль 2 103 - молярная масса моль Дж водорода, R 8,31 - молярная газовая постоянная, Tмль К PV температура газа. Плотность газа: ρ m Pμ P ρR Rη . V RT T μ μD Концентрация n молекул газа связана с давлением p и температурой T: n P Дж , где k 1,38 1023 - постоянная Больцмана. kT К Таким образом: n R Rη ηN A , где N A 6,02 1023 моль 1 - число Авогадро. k kμD μD Численно получаем: n ηN A 8,5 10 6 6,02 1023 1,8 1025 м 3 . 3 4 μD 2 10 1,42 10 Ответ: n ηN A 1,8 10 25 м 3 . μD 24. Пространство между двумя параллельными пластинами площадью 150 см2 каждая, находящимися на расстоянии 5 мм друг от 46 друга, заполнено кислородом. Одна пластинка поддерживается при температуре 17 С, другая – при температуре 27 С. Определите коэффициент теплопроводности χ , если количество теплоты, прошедшее за 5 мин посредством теплопроводности от одной пластины к другой, равно 76,4 Дж. Дано: Решение: 2 Запишем закон теплопроводности: S 150 см T St , где q - коэффициент l теплопроводности, T T2 T1 - разность 1,5 10 2 м 2 l 5 мм χq 5 10-3 м температур, l- расстояние между пластинами, Sих площадь, t - время. T1 17 C 290 К T2 27 C 300 К t 5 мин 300 с χ 76,4 Дж q ? χl , или численно: TS t 76,4 5 103 Вт . q 8,5 103 2 (300 290) 1,5 10 300 мК χ l Ответ: q 8,5 102 Вт/(м К). TS t Отсюда: q 25. Найдите число степеней свободы идеального газа, для которого вязкость = 8,6 мкПас, а теплопроводность χ = 89,33 мВт/(мК). Решение: Дано: η 8,6 мкПа с Теплопроводность газа определяется по 8,6 10-6 Па с χ 89,33 мВт (м К) Вт 8,933 10 2 мК i-? 1 3 формуле: χ ρ υ λ CV , а вязкость газа: 1 η ρ υ λ , где ρ - плотность газа, υ - средняя 3 арифметическая скорость молекул, CV - удельная теплоѐмкость газа при постоянном объѐме. iR , где i- число степеней 2μ Дж свободы молекулы, μ - молярная масса газа, R 8,31 моль К Удельная теплоѐмкость: CV молярная газовая постоянная. Поэтому: CV iR χ 2μχ . i 2μ η ηR i 2μχ 2 2 103 8,933 102 5. ηR 8,6 106 8,31 47 Ответ: i 2μχ 5 ηR 26. При каком давлении P отношение вязкости некоторого газа к коэффициенту его диффузии /D = 0,3 кг/м3, а средняя квадратичная скорость его молекул vср = 632 м/с. Дано: Решение: 3 Коэффициент диффузии D может быть d η D 0,3 кг м вычислен по формуле: vср 632 м с P-? D υ λ , где υ - средняя арифметическая 3 скорость молекул, λ - средняя длинна свободного пробега молекул. Динамическая вязкость η определяется так: υ λρ , где ρ - плотность газа. 3 η Таким образом, отношение d равно плотности газа ρ : D υ λ ρ 3 d η D ρ. 3 υ λ η Запишем уравнение состояния Менделеева – Клапейрона: m RT , где P- давление газа, V- занимаемый им объѐм, m- масса μ Дж газа, μ - молярная масса водорода, R 8,31 - молярная газовая мль К PV постоянная, T- температура газа. Плотность газа: ρ m pμ RT P . V RT μ ρ Средняя квадратичная скорость: vср 3RT 3P . μ ρ 2 ρv ср 0,3 6322 39,9 кПа. Находим давление P: P 3 3 Ответ: P 2 ρv ср 3 39,9 кПа . 27. Расчитать зависимости коэффициента диффузии D водорода от температуры T в интервале температур 100 600 К. Дано: H 2 100 К T 600 К T 100 К 48 P 10 кПа 104 Па D-? D Решение: Коэффициент диффузии D газа может быть вычислен по формуле: υ λ , где υ - средняя арифметическая скорость молекул, λ 3 средняя длинна свободного пробега молекул. Средняя арифметическая скорость молекул вычисляется по формуле: Дж 8RT , где T- температура газа, R 8,31 - молярная моль К πμ кг газовая постоянная, μ 2 г моль 2 103 - молярная масса моль υ водорода. Средняя длина свободного пробега молекул может быть вычислена по формуле: λ 1 , где d 0,23 нм 2,3 1010 м - диаметр молекулы водорода, 2 2πd n n- концентрация молекул. Концентрация молекул n связана с P Дж , где k 1,38 1023 kT К kT постоянная Больцмана. Получаем: λ . Находим 2πd 2 P давлением p и температурой T: n коэффициент диффузии: υ λ 8RT 1 kT 2k R 2 1,38 10 23 32 D T 3 πμ 3 2 πd 2 P 3d 2 π πμ 3 (2,3 10 10 ) 2 10 4 π 8,31 T 3 2 2 10 2 T 3 2 м 2 с . 3 π 2 10 Ответ: D 2k R T 3 / 2 2 10 2 T 3 / 2 м 2 /с . 2 3d pπ πμ 28. Найдите среднее число столкновений Z в единицу времени молекул некоторого газа, если средняя длина свободного пробега λ = 5 мкм, а средняя квадратичная скорость его молекул vкв = 500 м/с. Дано: Решение: 6 Средняя квадратичная скорость молекул λ 5 мкм 5 10 м газа определяется по формуле: v 500 м с кв Z-? v кв Дж 3RT , где R 8,31 - молярная моль К μ газовая постоянная , T- температура газа, μ - молярная масса газа. 49 Средняя арифметическая скорость молекул определяется по формуле: υ Получаем: υ 8RT . πμ 8 RT 8 3RT 8 v кв . π μ 3π μ 3π Среднее число столкновений каждой молекулы с остальными в единицу времени Z определяется по формуле: Z Численно получаем: Z υ 8 v кв . λ 3π λ 8 v кв 8 500 9,2 107 c 1. 3π λ 3π 5 106 Ответ: Z 8 v кв 9,2 107 c 1 3π λ 29. Какое предельное число n молекул газа должно находиться в единице объема сферического сосуда, чтобы молекулы не сталкивались друг с другом? Диаметр молекул газа d = 0,3 нм. Диаметр сосуда D = 15 см. Решение: Дано: 10 Чтобы молекулы газа не сталкивались d 0,3 нм 3 10 м между собой, средняя длина свободного D 15 см 0,15 м пробега молекул должна быть больше n-? диаметра сосуда: λ D. А в остальном случае: λ D . Средняя длина свободного пробега молекул может быть определена по формуле: λ 1 , где d- эффективный диаметр молекулы газа, n- число 2πd 2 n молекул газа в единице объѐма (концентрация). Находим предельное число молекул n в единице объѐма: n 1 1 . 2 2πd λ 2πd 2 D Численно получаем: n 1 1,7 1019 м 3 . 10 2 2 π (3 10 ) 0,15 Ответ: n 50 1 1,7 1019 м 3 . 2 2 πd D 30. В сосуде объемом V = 100 см3 находится масса m = 0,5 г азота. Найдите среднюю длину свободного пробега λ молекул азота. Эффективный диаметр молекул d = 0,28 нм. Решение: Дано: N 2 3 4 3 Запишем уравнение Менделеева – V 100 см 10 м 4 Клапейрона: m 0,5 г 5 10 кг d 0,28 нм 2,8 1010 м PV λ -? m RT , где P- давление газа, Vμ занимаемый газом, m- масса газа в сосуде, μ 28 г моль 2,8 10 кг моль - молярная масса водорода, -2 Дж - молярная газовая постоянная, T- температура газа. мль К m Pμ P mk Плотность газа: ρ . V kT T μV R 8,31 Концентрация молекул n связана с давлением P и температурой T: P Дж , где k 1,38 1023 - постоянная Больцмана. kT К R Таким образом: N A 6,02 1023 моль 1 число Авогадро. k n Средняя длина свободного пробега молекул может быть определена по формуле: λ 1 , где d 0,28 нм 2,8 1010 м 2 2πd n диаметр молекулы азота. Получаем: λ 1 μV 2,8 10 10 10 4 2,67 10 8 м 2 2 -10 2 4 23 2πd n 2πd mN A 2 π (2,8 10 ) 5 10 6,02 10 26,7 нм. Ответ : λ μV 23,2 нм. 2 πd 2 mNA 31. Определите массу азота, прошедшего вследствие диффузии через площадку 50 см2 за 20 с, если «градиент» плотности в направлении, перпендикулярном площадке, равен 1 кг/м4. Температура азота 290 К, а средняя длина свободного пробега его молекул равна 1 мкм. Дано: N 2 S 50 см 2 5 103 м 2 51 t 20 с dρ 1кг м 4 dx T 290 К Решение: Средняя арифметическая скорость молекул газа связана с температурой T: 6 λ 1мкм 10 м υ 8RT , πμ Дж - молярная газовая моль К постоянная, μ 28 г моль 28 103 кг моль - молярная масса азота. m-? где R 8,31 Коэффициент диффузии D связан со средней длиной свободного пробега: D 1 l 8RT υ λ . 3 3 πμ Масса азота, перенесѐнная через площадку, равна: mD dρ 8RT λ dp 8 8,31 290 St St 15,6 мг. dx πμ 3 dx π 28 103 Ответ: m 8RT λ dp St 15,6 мг. πμ 3 dx 32. Чему равен объем сосуда, заполненного азотом массой m = 0,490 г, если средняя длина свободного пробега его молекул λ = 23,2 нм? Эффективный диаметр молекул d = 0,28 нм. Решение: Дано: N 2 Средняя длина свободного пробега m 0,49 г 4,9 104 кг λ 23,2 нм 23,2 109 м молекулы газа: d 0,28 нм 2,8 1010 м V-? λ 1 , где n- концентрация молекул 2πd 2 n газа. 1 (1) n λ 2 πd 2 По определению, концентрация частиц газа есть отношение числа частиц к вместимости сосуда, занимаемого газом: n N . V Число молекул газа найдѐм из соотношения: m N A , где μ 28 10-3 кг моль - молярная масса азота, μ N A 6,02 1023 моль 1 - постоянная Авогадро. m NA Значит концентрация n (2) μ V N VN A Приравнивая (1) и (2), получим: 52 1 m NA , отсюда объѐм сосуда 2 μ V 2 λ πd m 0,49 10 3 2 V N A 2 λ πd 6,02 10 23 2 23,2 10 9 3,14 (2,8 10 10 ) 3 μ 28 10 85,1 10 6 м 3 85,1 см 3 . Ответ :V m N A 2 λ πd 2 99,5 см 3 . μ 33. Найдите толщину слоя воздуха, увлекаемого крылом самолета, если самолет летит со скоростью υ = 480 км/ч, касательная сила, действующая на единицу поверхности крыла, FS = 0,045 Н/м2, диаметр молекул воздуха d = 0,3 нм, а температура воздуха равна t = 0 С. Дано: Решение: Согласно закону Ньютона для вязкого υ 480 км ч течения: 133,3м ч dυ FS 0,045 Н м 2 F η S , где F- касательная сила, возникающая dx d 0,3 нм dυ 3 10 10 м между слоями. η - коэффициент вязкости, dx T 0 C 273 К градиент скорости молекул газа в направлении, h-? перпендикулярном движению; S- площадь поверхности соприкасающихся слоѐв. На единицу площади будет приходиться сила: F dυ (1) FS η S dx dυ Градиент скорости заменим средней величиной: dx dυ v υ , здесь v- скорость молекул воздуха, dx x h сопротивляющихся с крылом; h- толщина увлекаемого слоя. Коэффициент вязкости: 1 3 8RT - средняя скорость движения молекул πμ m при данной температуре; ρ - плотность газа; λ - средняя длина V свободного пробега, μ 29 103 кг моль - молярная масса воздуха. (2) η ρ υ λ , где υ Из уравнения состояния идеального газа: 53 m m P μ . RT ρ μ V RT PV Длина свободного пробега: λ 1 , где n- концентрация молекул, d- диаметр молекул 2πd 2 n воздуха. Из уравнения: P nkR n P kT , тогда λ kT 2πd 2 P Подставляя всѐ в (2), получим: 1 P μ 8RT kT 2 μT k . 2 3 RT πμ 2πd P 3 πR πd 2 2 3 2 Отсюда толщина слоя воздуха: h 3 Подставляя это в (1), получим: FS h μT k V . πR πd 2 h μT k V . πR πd 2 FS 2 29 103 273 1,38 1023 133,3 53 103 м 5,3 см . 10 2 3 3,14 8,31 3,14 (3 10 ) 0,045 Ответ: h 2 μT k v 2 5,3 см . 3 πR πd Fs 34. Во сколько раз увеличился объем газа в адиабатическом процессе, если длина свободного пробега его молекул увеличилась в 2,34 раза? Решение: Дано: Q0 Средняя длина свободного пробега молекул газа для начального и конечного состояний: λ 2 λ 2,34 1 V2 ? V1 1 и λ 2 πd 2 n1 λ1 2 1 - поделим первое 2 πd 2 n2 уравнение на второе, получим: λ λ 1 2 n2 (1) n1 Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры для начального и конечного состояний: P1 n1kT P2 n2 kT - отсюда P1 n1 (2) P2 n2 Из (1) и (2), получим λ P1 P2 λ 2 (3) 1 54 Связь между начальным и конечным состоянием при γ P V адиабатном процессе: 2 1 (4) P1 V2 Где – показатель адиабаты i2 , i- число степеней свободы. i Принимая газ двухатомным ( i 5 ) 5 2 γ 1,4 5 γ Подставляя (3) в (4), получим: γ λ V1 λ V2 1 , отсюда V2 / V1 γ λ 2 λ 1 1.4 2.34 2 . 2 Ответ: V2 / V1 γ λ 2 λ 1 2. 35. В некотором сосуде находится кислород при нормальных условиях. Число столкновений Z между молекулами газа в этом сосуде в единицу времени равно Z = 1032 1/с. Эффективный диаметр молекул кислорода равен 0,38 нм. Найдите объем этого сосуда. Дано: Решение: 1 Среднее время между двумя соседними Z 0 1032 с 1 τ (1). соударениями: 10 d 0,38 нм 3,8 10 м 2nσ λ V-? Тогда среднее число столкновений одной молекулы в единицу времени в единице объѐма Z ср 1 , с учѐтом (1) Z 2nσ λ (2) τ Общее число столкновений молекул в единице объѐма Z Z ср n 2 (3) Делитель 2 необходим, т.к. каждый раз сталкиваются две молекулы. Число столкновений молекул во всѐм объѐме: 2σn 2 υ V (4). Z 0 Z V - подставим (2) и (3), получим: Z 0 2 Эффективное сечение рассеяния молекулы: σ πd 2 Концентрацию молекул n находим из основного уравнения газового состояния: P nkT , отсюда n P (6) kT Средняя скорость молекулы определяется температурой: 55 8RT (7) πμ υ p 2 8RT 2πd 2 2 V πμ kT . Подставим (5), (6), (7) в (4) Z 0 2 2Z 0 Выразим объѐм сосуда: V . 2 p 8 RT 2πd 2 2 2 πμ k T Где P- давление при нормальных условиях; T- температура при нормальных условиях. 2 V 2 1032 (105 ) 2 2 3,14 (3,8 10 10 ) 2 (1,38 10 23 ) 2 2932 8 8,31 3,14 0,032 Ответ: V 0,5 10 3 м 3 0,5 л . 2Zk 2T 2 2πd 2 P 2 πμ 0,5 л. 8RT 36. Концентрация молекул газа в некотором сосуде n = 1,71019 м3. Эффективный диаметр молекул газа d = 0,3 нм. Определите предельный диаметр сосуда, начиная с которого вакуум в сосуде можно считать высоким. (Сосуд сферический). Дано: 3 n 1,7 10 м d 0,3 нм 3 1010 м 19 Сферический сосуд D-? D Решение: Вакуум в сосуде можно считать высоким, когда λ D ; λ - длина свободного пробега: 1 вакуум можно считать высоким, 2πd 2 n 1 когда: D . 2πd 2 n λ 1 0,15 м 15 см . 2 3,14 (3 1010 ) 2 1,7 1019 Ответ : D 1 15 см. 2πd 2 n 37. Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами заполнено водородом при атмосферном давлении и температуре t = 17 С. Радиусы цилиндров соответственно равны r1 = 10 см и r2 = 10,5 см. Внешний цилиндр приводят во вращение со скоростью 15 об/с. Какой момент сил нужно приложить к внутреннему цилиндру, чтобы он 56 оставался неподвижным? Длина цилиндров l = 30 см. Эффективный диаметр молекул водорода d = 2,3108 см. Решение: Дано: H 2 Угловая скорость вращения t 17 C 290 К внешнего цилиндра: ω 2ππ2 . Скорость r1 10 см 0,1м вращения точек внешнего цилиндра r2 10,5 см 0,105 м υ ωr2 2ππ2 r2 . υ2 15 об с Градиент скорости течения газа в l1 l2 30 см 0,3 м d 2,3 108 см 2,3 1010 м направлении, перпендикулярном к поверхности цилиндров: M-? υ υ 2πυ 2 r2 . x r2 - r1 r2 r1 Полная площадь поверхности внутреннего цилиндра определяется так: S 2πr1l . На внутренний цилиндр действует касательная сила F υ υ rr l сопротивления газа. F η S (2π)2 2 1 2 η. x r2 r1 Чтобы внутренний цилиндр оставался неподвижным к нему нужно υ rr l приложить момент сил: M F r1 (2π)2 2 1 2 η (1). r2 r1 1 Найдѐм динамическую вязкость водорода: η ρ υ λ (2). 3 1 kT где λ - средняя длина свободного пробега. λ (3). 2πd 2n 2πd 2 P υ 8RT (4) – средняя скорость молекул газа. πμ μ 2 103 кг моль - молярная масса водорода. Уравнение Менделеева – Клапейрона для водорода: PV m ρV - масса газа. Т.о. PV μp ρV (5) RT , отсюда V RT μ Подставим (3), (4), (5) в (2), получим: η 2 μT k - подставим в (1) 3 πR πd 2 ν 2lr12 r2 2 μT k . M (2 π) r2 r1 3 πR πd 2 2 57 m RT . μ Дж - молярная газовая постоянная; моль К Дж k 1,38 1023 - постоянная Больцмана. К где R 8,31 M (2 3,14) 2 15 0,3 0,12 0,105 2 2 103 290 1,38 1023 0,3 103 нм . 10 2 0,105 0,1 3 3,14 8,31 3,14 (2,3 10 ) Ответ: M (2π)2 ν 2lr12r2 2 μT k 0,3 103 Н м. 2 r2 r1 3 πR πd 38. Найдите длину свободного пробега молекул водорода при нормальных условиях, если коэффициент диффузии D = 0,9104 м2/с. Дано: Решение: 4 2 Коэффициент диффузии газа пропорционален D 0,9 10 м с средней арифметической скорости молекул υ и λ -? средней длине свободного пробега λ : 1 D υ λ ρ. 3 Средняя арифметическая скорость молекул определяется формулой: υ 8RT , где T 293 К при нормальных условиях, πμ μ - молярная масса, для водорода μ ( H 2 ) 2 103 кг моль Выражаем из этих формул λ : λ 3D πμ 3D υ 8RT Подставляем числовые значения: 3,14 2 103 λ 0,9 10 3 1,53 107 м 0,153 мкм . 8 8,31 293 4 Ответ : λ 3D πμ 0,16 мкм . 8RT 39. Масса азота, прошедшего вследствие диффузии через площадку 50 см2 за 20 с, равна 15,6 мг. Температура азота 290 К, а средняя длина свободного пробега его молекул равна 1 мкм. Определите градиент плотности в направлении, перпендикулярном площадке. Дано: S 50 см 2 5 103 м3 58 t 20 с Решение: Масса m газа, перенесѐнная в результате диффузии через площадку S за время t выражается формулой: 5 m 1,56 10 кг T 290 К λ 106 м dn m D Stm0 (1), где D- коэффициент dx dn диффузии, - градиент концентрации, m0 dx dρ ? dx масса одной молекулы. Выразим градиент плотности через градиент концентрации: Концентрация равна отношению числа молекул в некотором объѐме к этому объѐму: n Отсюда n N m0 N 1 ρ N m mN . Объѐм V 0 . V ρ ρ ρ . m0 Подставляя n в (1) получим в формуле градиент плотности: m D dρ St (2) dx Коэффициент диффузии газа D пропорционален средней арифметической скорости молекул υ и средней длине свободного 1 пробега λ : D υ λ ρ. 3 Средняя арифметическая скорость молекул выражается 8RT формулой: υ , πμ где μ 2,8 102 кг моль - молярная масса для азота. Подставляем υ в формулу для D, далее в (2): m 1 8RT dρ λ St , 3 πμ dx dρ 3m πμ . dx λ St 8RT Сделаем анализ размерностей: Откуда градиент плотности: кг dρ dx м м 2 с кг моль кг кг кг с кг 3 2 4. 2 2 Дж м с м м К м с кг м с моль К Подставляем числовые значения: 59 dρ 3 1,56 105 3,14 2,8 102 кг 6 1 4 . 3 dx 10 5 10 20 8 8,31 290 м Ответ : dρ 3m πμ кг 1 4 dx λ St 8RT м 40. Оценить эффективный диаметр молекул воздуха, если при температуре t = 10 С и давлении 101,3 кПа коэффициент диффузии D = 1,45105 м2/с. Дано: воздух Решение: Коэффициент диффузии: T 10 C 283 К P 101,3 кПа 1 υ λ , где υ - средняя скорость молекул. 3 1 λ - средняя длина свободного пробега, σn σ πd 2 - эффективное сечение молекул, nD 101,3 103 Па D 1,45 105 м 2 с d-? концентрация молекул. Из распределения Максвелла, средняя скорость молекул газа при температуре T: 8RT , где μ 29 103 кг моль - молярная масса воздуха. πμ υ Из уравнения состояния идеального газа: PV νRT , количество вещества ν PV . RT Тогда концентрация газа: n ν N A PV N A PN A 1 , где N A 6 1023 - число Авогадро. V RT ν RT моль Тогда: 1 8RT 1 RT 1 2 RT D 2 3 πμ πd PN A 3 π 32 1 μ. P NA d 2 Отсюда эффективный диаметр молекул: d 1 2 RT 3 π 3/ 2 1 . PN A μ D 2 8,31 283 d 3,14 32 1 3 3 101,3 10 6 10 29 10 1,45 10 3 23 5 0,36 10 9 м 0,3 нм. 1 2 RT Ответ: d 3 π 60 3/ 2 1 0,3 нм. PN A μ D 41. Найдите объем сосуда, в котором находится N = 41022 молекул двухатомного газа, если теплопроводность газа χ = 14 0мВт/(мК), а коэффициент диффузии D = 2,02105 м2/с. Решение: Дано: 22 Концентрация частиц газа это N 4 10 молекул отношение числа частиц к вместимости мВт Вт χ 14 14 103 сосуда, занимаемого газом: мК мК D 2,02 105 м 2 с V-? n N N , отсюда V (1) V n Зависимость давления газа от концентрации P nkT , отсюда n P (2) kT Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для идеального газа: m RT , где m ρ V - масса газа μ ρV ρRT т.о. PV (3) RT , отсюда давление газа P μ μ PV Подставляя (3) в (2), получим: n Nμk ρRT ρR - подставим в (1): V (*) μkT μk Rρ Найдѐм плотность газа. Коэффициент диффузии D 1 υ λ , отсюда υ λ 3D (4) 3 1 3 С учѐтом (4) запишем (5) χ CV ρD (6) i R где CV - теплопроводность газа; CV , 2μ Теплопроводность газа χ CV ρ υ λ (5) где i – число степеней свободы молекул газа; для двухатомного газа i 5 , т.е. CV Подставляя (7) в (6), получим χ ρ 5R (7) 2μ 5R ρD , отсюда плотность газа: 2μ Nμk 5 RD 5 NkD 2 μ χ - подставим в (*), получим V , 5 RD R 2 χμ 2χ где k – постоянная Больцмана; k 1,38 1023 61 Дж . К 5 4 1022 1,38 1023 2,02 105 V 2 103 м3 2 л . 3 2 14 10 5 NkD 2л. 2λ 42. Найдите эффективный диаметр гелия, если при нормальных условиях коэффициент диффузии гелия равен D = 8,25105 м2/с. Дано: He Решение: 5 2 Нормальные условия: D 8,25 10 м с 5 норм. условия T 273 К , P 10 Па . d-? Коэффициент диффузии определяется по формуле: 1 D υ λ . Средняя арифметическая скорость молекул: 3 8RT Дж , где R 8,31 - молярная газовая постоянная, υ моль К πμ μ 4 г моль 4 10 3кг моль - молярная масса гелия. Средняя длина свободного пробега в газе: kT Дж , где k 1,38 1023 - постоянная Больцмана, dλ 2 К 2πd ρ эффективный диаметр молекулы. Поэтому: Ответ: V 1 8RT kT 2kT D d2 2 3 πμ 3πDρ 2πd ρ d RT . πμ 2kT RT 2 1,38 1023 273 8,31 273 2 1010 мнм 0,2 нм . 5 5 3 3πDP πμ 3π 8,25 10 10 π 4 10 Ответ: d He 2kT RT 0,2 нм . 3πDp πμ Доказать, что отношение динамических вязкостей двух 1 d 22 1 газов при нормальных условиях равно 2 . Здесь молярные 2 2 d1 43. массы; d – эффективные диаметры молекул. Дано: 1 d 22 1 2 2 2 d1 62 Решение: Средняя длина свободного пробега доказательство 1 kT ; если P nkT , то λ , 2σn 2σP λ где σ - эффективное сечение рассеяния молекул σ πd 2 , т.о. λ kT (1) 2πd 2 P Средняя скорость молекул газа υ 8RT (2) πμ 1 Динамическая вязкость газа η ρ υ λ (3) 3 Подставляя (1) и (2) в (3), получим η 1 ρμ 3 RT 8RT πμ kT 1 kμ 2 2πd P 3 R 2πd 2 8RT πμ Запишем полученное выражение для двух газов 1 kμ1 η1 3 R 2 πd12 η2 1 kμ 2 3 R 2 πd 22 Ответ: 8RT πμ1 8RT πμ 2 μ 2 d12 2 μ1 d 2 μ1 d 22 η1 1 kμ 8RT т.к. . η η2 3 R 2πd 2 πμ μ 2 d12 44. Определите давление, при котором средняя продолжительность свободного пробега молекул водорода = 13,3 нс, если температура газа t = 27 С, а эффективный диаметр молекул водорода d = 0,28 нм. Решение: Дано: H 2 -9 Продолжительность свободного τ 13,3 нс 13,3 10 с пробега молекул: t 27 C 300 К d 0,28 нм 2,8 1010 м P-? λ τ λ (1) υ где λ - длина свободного пробега молекул. 1 (2) ; σ - эффективное сечение рассеяния молекул. 2σn σ πd 2 (3) n – концентрация молекул. Если P nkT , отсюда n P (4) kT 63 Подставляя (3) и (4) в (2), получим: λ kT (5) 2πd 2 P Средняя арифметическая скорость молекул: υ 8RT (6) πμ Где μ 2 10-3 кг моль - молярная масса водорода Подставим (5) и (6) в (1) kT πμ , выразим давление 2 2πd P 8RT τ P k Tμ 1,38 1023 300 2 103 0,5 103 Па 0,5 кПа . 9 τd 16 RT 13,3 10 2,8 16 8,31 3,14 Ответ: p k Tμ 0,5 кПа . τd 16 Rπ 45. Коэффициент диффузии и вязкость кислорода при некоторых условиях равны D = 1,22105 м2/с и = 19,5 мкПас. Найдите среднюю арифметическую скорость молекул кислорода. Решение: Дано: O2 5 2 Пусть, давление газа равно P, а температура D 1,22 10 м с η 19,5 мкПа с 1,95 10 5 Па с υ -? равна T. Концентрация молекул: n k 1,38 1023 P , где kT Дж - постоянная Больцмана. Средняя К длина свободного пробега определяется формулой: λ 1 kT , где d 0,3 нм 3 1010 м - диаметр молекул 2 2 2πd n 2πd P кислорода. Плотность газа определяется так: Pμ , где μ 3,2 102 кг моль - молярная масса кислорода, RT Дж R 8,31 - молярная газовая постоянная. моль К ρ Динамическая вязкость газа: η υ λρ kT Pμ kT 3 2 πd 2 Rη υ υ υ 3 kμ 3 2 πd 2 P RT 3 2 πd 2 R 3 2 (3 10 10 ) 2 8,31 1,95 10 5 440 м с . 1,38 10 23 3,2 10 2 Ответ: υ 64 3 2πd 2 Rη 440 м/с . RT 46. Смесь газов азота и кислорода находится при нормальных условиях. Концентрация кислорода n = 1,71020 м3. Определите длину свободного пробега молекул азота. Эффективные диаметры молекул d O2 d 0,36 нм; N2 0,28 нм. Дано: Смесь: N 2 ; O2 Нормальные условия Решение: Длина свободного пробега молекулы азота: NO2 1,7 1020 м 3 1 λ N2 dO2 0,36 нм 3,6 1010 м 2 πd N2 2 nN2 1 d N2 0,28 нм 2,8 1010 м mN 2 mO2 nO2 πd122 1 d122 (d O2 d N2 ) 2 4 λ N2 ? Отношение масс молекул компонент смеси равно отношению молярных масс компонент: mN 2 mO2 μ N2 μ O2 При нормальных условиях p 1105 Па , T 293 К . Концентрация молекул смеси: n nO nN P nkT (nO nN )kT P nO2 . Концентрация молекул азота: nN 2 kT μ N 0,028 кг моль - молярная масса азота μ O 0,032 кг моль - молярная масса кислорода 2 2 2 2 2 2 k 1,38 1028 Дж - постоянная Больцмана К Длина свободного пробега молекулы азота: λ N2 λ N2 1 μN π P 2 2d N2 2 nO2 1 2 nO2 d O2 d N2 μ O2 4 kT 5 2 1 10 ( 2 3,14 2,8 10 10 1,7 10 20 23 1,38 10 293 1 0,028 3,14 1,7 10 20 (3,6 10 8 2,8 10 8 ) 2 ) 1 0,11 106 м 0,11 мкм. 0,032 4 Ответ: λ N 2 μN π P 2πd N2 2 nO2 1 2 nO2 d O2 d N2 μ O2 4 RT 2 1 0,11мкм. 47. Смесь газов азота и кислорода находится при парциальных давлениях, соответственно PN 2 = 85105 Па и PO 2 = 15105 Па. 65 Определите длину свободного пробега молекул кислорода, если температура смеси 20 С, а эффективные диаметры молекул кислорода d O 2 0,36 нм и азота Дано: d N2 PN A 85 10 Па 5 PO2 15,103 105 Па 0,28 нм. Решение: Согласно уравнению состояния идеального газа для азота: PN2V ν1 RT 1 T 20 C 293 К d O2 0,36 нм PN2 V RT Для кислорода: PO2V 2 RT 2 3,6 10 10 м d N2 0,28 нм PO2 V . RT N Где 1 1 - количество вещества азота в смеси 2,8 10 10 м NA λ O2 ? 2 N2 - количество вещества кислорода в смеси NA Тогда концентрация газов: N1 1 N A PN2 N A V V RT PO N A N N n2 2 2 A 2 V V RT n1 Определим относительные эффективные сечения молекул: d N dO σ11 πd ; σ12 σ 21 π 2 2 2 2 2 2 N2 σ12 πdO22 Тогда длина свободного пробега молекул O2 : 1 λ O2 2σ 22n2 1 μ2 n1σ 21 μ1 где μ 2 32 г моль - молярная масса O2 μ1 28 г моль - молярная масса N 2 Тогда 1 λ O2 2 πd O22 PO2 N A RT 2 μ 2 PN2 N A (d N2 d O2 ) 1 π μ1 RT 4 RT 2 μ 2 (d N2 d O2 ) π N A ( 2d PO2 1 PN2 ). μ1 4 2 O2 66 λ O2 8,31 293 3,14 6 10 ( 2 (3,6 10 10 ) 2 15,103 105 23 32 (3,6 10 10 2,8 10 10 ) 2 1 85 105 28 4 Ответ: λ O 2 8,33 10 10 м. RT μ d O d N2 π N A 2 d O2 2 pO2 1 2 2 μ1 4 67 2 pN2 0,83 нм . ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Найти зависимость средней длины свободного пробега <l> молекул идеального газа от давления Р при следующих процессах: 1) изохорном; 2) изотермическом. Изобразить эти зависимости на графиках. Ответ: 1) не зависит; 2) <l> ~ 1/P. 2. Найти зависимость средней длины свободного пробега <l> молекул идеального газа от температуры Т при следующих процессах: 1) изохорном; 2) изобарном. Изобразить эти зависимости на графиках. Ответ: 1) не зависит; 2) <l> ~ Т. 3. Определить зависимость коэффициента диффузии D от температуры T при следующих процессах: 1) изохорном; 2) изобарном. Ответ: 1) D ~ T 3 ; 2) D ~ T . 4. Определить зависимость динамической вязкости η от температуры Т при следующих процессах 1) изохорном; 2) изобарном. Изобразить эти зависимости на графиках. Ответ: 1) η ~ T ; 2) η ~ T . 5. Найти зависимость теплопроводности λ от температуры Т при следующих процессах 1) изохорном; 2) изобарном. Изобразить эти зависимости на графиках. Ответ: 1) λ ~ T ; 2) λ ~ T . 6. Найти зависимость теплопроводности λ от давления Р при следующих процессах 1) изотермическом; 2) изохорном. Изобразить эти зависимости на графиках. Ответ: 1) не зависит; 2) λ ~ P . 7. Самолет летит со скоростью v = 360 км/ч. Считая, что слой воздуха у крыла самолета, увлекаемый вследствие вязкости, d0 = 4 см, найти касательную силу FS, действующую на единицу поверхности крыла. Диаметр молекул воздуха d = 0,3 нм. Температура воздуха t = 0 С. F 2 μT k υ Ответ: FS 2 0,045 Н/м2. S 3 Rπ πd d 0 8. Пространство между двумя параллельными пластинами площадью 150 см2 каждая, находящимися на расстоянии 5 мм друг от друга, заполнено кислородом. Одна пластина поддерживается при температуре 17 С, другая – при 68 температуре 27 С. Определите количество теплоты, прошедшей за 5 мин посредством теплопроводности от одной пластины к другой. Кислород находится при нормальном давлении во все время опыта. Эффективный диаметр молекул кислорода считать равным 0,36 нм. Температуру газа считать равной среднему арифметическому температур пластин t = 22 С. i k RT (t2 t1 ) Ответ: Q St 76,4 Дж. 3 πd 2 πμ Δx 9. В сосуде объемом V = 100 см3 находится масса m = 0,5 г азота. Найдите среднюю длину свободного пробега l азота. Эффективный диаметр молекулы азота равен 0,38 нм. kμV Ответ: l 1,5 нм. 2πd 2 mR 10.Определите, во сколько раз отличаются коэффициенты динамической вязкости углекислого газа и азота, если оба газа находятся при одинаковой температуре и одном и том же давлении. Эффективные диаметры этих молекул равны. Ответ: η1 η2 μ1 μ 2 1,25 . 11.При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул водорода l равна 2,5 см, если температура газа равна 67 С. Диаметр молекулы водорода d = 0,28 нм. kT Ответ: p 0,54 Па. 2πd 2l 12.Определите среднюю продолжительность свободного пробега молекул водорода при температуре 27 С и давлении 0,5 кПа. Диаметр молекул водорода принять равным 0,28 нм. kT Ответ: τ 13,3нс. 8RT 2 2πd p μπ 69 Основные законы и формулы Эффективное сечение молекулы σ πd 2 . Среднее число столкновения молекулы за 1 с v 2πd 2 n υ . Средняя длина свободного пробега молекул υ kT kT . λ 2 v 2πd P 2σP 1 Коэффициент диффузии D λ υ . 3 dn Уравнение Фика для диффузии J D или J Dgradn dx 1 Динамическая вязкость η λ υ nm или η Dρ . 3 Уравнение Ньютона для внутреннего трения (вязкости) dυ или f тр ηgradυ . f тр η dx 2 mυ i Средняя энергия молекулы K kT . 2 2 dT Уравнение Фурье для теплопроводности q χ χgradT . dx Коэффициент теплопроводности 1 i 1 χ λ υT n k λ υT ρCV уд DρC уд . 3 2 3 Коэффициенты в явлениях переноса связаны между собой D ; CV . Коллектив большой. Народ квалифицированный. Работа проделана большая. Так не пойдет. Огурцов. Из к/ф «Карнавальная ночь» 70 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Основная 1. Тюрин Ю.И. Ч.1. Механика. Молекулярная физика. Термодинамика: учебное пособие для технических университетов / Ю.И. Тюрин, И.П. Чернов, Ю.Ю. Крючков – Томск: Изд-во Томского ун-та, 2002. – 502 с. 2. Бондарев Б.В. Курс общей физики. В 3 кн. Кн. 3. Термодинамика. Статистическая физика. Строение вещества: Учеб пособие/ Б.В. Бондарев, Н.П. Калашников, Г.Г. Спирин – 2-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2005 – 366 с. 3. Матвеев А.Н. Молекулярная физика: Учебное пособие для студентов вузов. – 3-е изд. – М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и образование», 2006. – 360 с. 4. Калашников Н.П. Основы физики. В 2 т.: учебник для вузов/ Н.П. Калашников, М.А. Смондырев. – 3-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2007. 5. Савельев И.В. Курс общей физики. В 5 кн. Кн. 1: учебное пособие для втузов/ И.В. Савельев – М.: АСТ Астрель, 2006. – 336 с. 6. Сивухин Д.В. Общий курс физики: учебное пособие для вузов. В 5 т. Т. II Термодинамика и молекулярная физика – 3-е изд., стер./ Д.В. Сивухин – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 576 с. 7. Макаренко Г.М. Физика. Механика. Основы молекулярной физики и термодинамики. Том 1. – Мн.: Дизайн ПРО, 1997. – 176 с. 8. Трофимова Т.И. Курс физики: учеб. пособие для вузов – Изд. 14-е, перераб. и доп./ Т.И. Трофимова – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 560 с. 9. Иванов Б.М. Законы физики. – М.: Наука, 1989. – 591 с. 10.Грибов Л.А., Прокофьева Н.И. Основы физики: учебник. – 3-е изд. – М.: Гардарина, 1998. – 564 с. 11.Ремезов А.Н., Потапенко А.Я. Курс физики: учебник для вузов. – М.: Дрофа, 2002. – 720 с. 12.Детлаф А.А. Курс физики: учебное пособие для втузов. – 4-е изд., испр./ А.А. Детлаф, Б.М. Яворский – М.: Высш. шк., 2002. – 718 с. 13.Чернов И.П. Физика: Сборник задач. Часть 1. Механика. Молекулярная физика. Термодинамика: учебное пособие/ И.П. Чернов, В.В. Ларионов, Ю.И. Тюрин – Томск: Изд-во Томского унта, 2004. – 390 с. 71 14.Чертов В.Г. Задачник по физике – 8 изд. перераб. и доп./ В.Г. Чертов, А.А. Воробьев. М.: Издательство Физико-математической литературы, 2007 – 640 с. 15.Иродов И.Е. Задачи по общей физике. 12 изд., стер./ И.Е. Иродов – СПб.: «Лань», 2007. – 416 с. Дополнительная 1. Воронов. Подоплелов. Соврменная физика: Учебное пособие.– М.: КомКнига, 2005.– 512 с.Грин Б. Элегантная Вселенная/ Б. Грин – М.: Изд-во «Едиториал УРСС», 2004. – 288 с. 2. Джанколли Д. Физика. Т. 1./ Д. Джанколли – М.: Мир, 1989. 3. Чернов И.П., Ларионов В.В., Веретельник В.И. Физический практикум. Часть 1. Механика. Молекулярная физика. Термодинамика: учебное пособие для технических университетов/ И.П. Чернов, В.В. Ларионов, В.И. Веретельник – Томск: Изд-во ТПУ, 2004. – 182 с. 4. Трофимова Т.И. Курс физики. Задачи и решения. Учеб. пособие для втузов/Т.И. Трофимова, А.В. Фирсов – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 592 с. 5. Фейнман Ричард Ф. Феймановские лекции по физике. Вып. 4. Кинетика. Теплота. Звук. Пер. с англ./ под ред. Я.А. Смородинского. Изд. 3-е, испр./ Ф. Ричард Фейнман, Б.Роберт Лейтон, Метью Сэндс – М.: Едиториал УРСС, 2004. – 264 с. 6. Ландау Л.Д. Курс теоретической физики: В 10 т. Т. 2./ Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц – М.: Физматлит, 2002. – 224 с. 7. Рогачев Н.М. Курс физики: учебное пособие. – СПб.: Издательство «Лань», 2008. – 448 с.: 8. Кузнецов С.И. Молекулярная физика. Термодинамика: учебное пособие. – Томск: Изд-во ТПУ, 2007. – 113 с. 72 ПРИЛОЖЕНИЯ Значения фундаментальных констант Гравитационная постоянная Скорость света в вакууме Постоянная Планка Масса покоя электрона Масса покоя протона Масса покоя нейтрона Отношение массы протона к массе электрона Элементарный заряд G = 6,67201011 Нм2/кг2 с = 2,99792458108 м/с h = 6,6261761034 Джс mе = 9,1095341031 кг mр = 1,67264851027 кг mn = 1,67495431027 кг Отношение заряда электрона к его массе Атомная единица массы Постоянная Авогадро Постоянная Фарадея Молярная газовая постоянная Молярный объем идеального газа при нормальных условиях Постоянная Больцмана e /тe = 1,75880471011 Кл/кг тр/тe = 1836,15152 e = 1,60218921019 Кл 1 а.е.м. = 1,66056551027 кг NA = 6,0220451023 моль1 F = 96,48456103 Кл/моль R = 8,31441 Дж/(мольК) V0 = 22,41383103 м3/моль k = 1,3806621023 Дж/К P0 = 1.013 · 105 Н/м2 273,15° К Нормальное атмосферное давление Точка плавления льда Удельная теплота парообразования при температуре кипения и нормальном давлении, Дж/г Азот жидкий Ацетон Бензин авиационный Бензол Вода Водород жидкий Гелий жидкий 199 524 230-315 394 2255 453 25 Керосин Кислород жидкий Ртуть Сероуглерод Спирт этиловый Толуол Эфир этиловый 73 210-230 212 285 356 921 364 351 Производные единицы СИ, имеющие собственные наименования Величина Частота Сила Давление Энергия, работа, кол-во теплоты Мощность, поток энергии Выражение Единица производной единицы Через Через другие основные Наименование Обозначение единицы единицы СИ СИ герц Гц с-1 ньютон Н м·кг·с-1 паскаль Па Н/м2 м-1·кг·с-2 джоуль Дж Н/м м2.кг·с-2 ватт Вт Дж/с м2 . кг·с-3 Множители и приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц и их наименований Множитель 1 000 000 000 000=1012 1 000 000 000=109 1 000 000=106 1 000=103 100=102 10=101 0,1=10-1 0,01=10-2 0,001=10-3 0,000001=10-6 0,000000001=10-9 0,000000000001=10-12 0,000000000000001=10-15 0,000000000000000001=10-18 74 Приставка тера гига мага кило гекто дека деци санти милли микро нано пико фемто атто Обозначение Т Г М к г да д с м мк н п ф а Внесистемные единицы измерений и их перевод в единицы СИ Единица Обозначение Перевод в еденицы СИ микрон мкм 1 · 10-6 м ангстрем Å 1 · 10-10 м световой год св.год 9,46 · 1015 м парсек пк 3,09 · 1016 м литр л 1 · 10-3 м³ атомная единица массы а.е.м. 1,66 · 10-27 кг тонна т 1000 кг минута мин 60 с час ч 3600 с сутки сут 86400 с секунда " 4,85 · 10-6 рад минута ' 2,9 · 10-4 рад градус ° 0,017 рад оборот об 6,28 рад полный телесный угол 12,57 ср оборот в секунду об/с 1 с-1 оборот в минуту об/мин 0,0167 с-1 километр в час км/ч 0,278 м/с оборот в секунду об/с 6,28 рад/с оборот в минуту об/мин 0,105 рад/с миллиметр ртутного мм. рт. ст. 133 Па столба бар бар 1 · 105 Па киловатт-час кВт · ч 3,6 · 106 Дж электрон-вольт эВ 1,6 · 10-19 Дж ампер-час. А·ч 3,6 · 10-3 Кл калория кал 4,19 · 106 Дж Удельная теплота парообразования воды при разных температурах t, С r, МДж/кг 0 2,49 50 2,38 75 100 2,26 200 1,94 Скорость звука в различных средах Среда Воздух Азот Аммиак Водород Гелий Кислород Углек. газ Ацетон Вода пресная Вода морская t,ºС υ , м/с 0 331 0 334 0 415 0 1284 0 965 0 316 0 259 20 1192 25 1497 17 1510-1550 Среда Ртуть Спирт метиловый Алюминий Медь Железо Стекло кварцевое Дерево ель Дерево пробковое Каучук t,ºС 20 20 20 20 20 20 0 - υ , м/с 1451 1123 5080 3710 5170 5370 4800 430-530 50 Коэффициент теплопроводности некоторых веществ, кДж/(м·ч·К) Металлы Алюминий Железо Золото Латунь 755 268 1126 308 Медь 1401 Ртуть 105 Серебро 1506 Сталь 163 Чугун 226 Термоизоляторы Асбестовая 0,482бумага, сухая 0,637 Войлок 0,188асбестовый 0,33 Войлок 0,167 шерстяной Пенобетон, 0,423сухой 1,15 Пенопласт, 0,155сухой 0,21 Материалы Бакелитовый лак Бумага сухая Гранит Глина (20% влаги) Дуб (поперек волокна, влажность 6-7%) Железобетон Кирпичная кладка (сухая) Пробковые плиты Штукатурка (влажность 6-8%) Жидкости 1,05 0,504 7,93 3,35 1,25-1,55 5,57 2,42-2,93 0,151-0,193 2,84 Ацетон при температуре 0 °С 0,63 Ацетон при температуре 50 °С 0,59 Ацетон при температуре 100 °С 0,55 Вода при температуре 0 °С 1,98 Вода при температуре 50 °С 2,33 76 Названия, символы и атомные массы химических элементов 1. Водород 1,0079 32. Германий Н 2. Гелий 4,00260 33. Мышьяк Не 3. Литий 6,941 34. Селен Li 4. Бериллий 9,01218 35. Бром Be 5. Бор 10,81 36. Криптон В 6. Углерод 12,011 37. Рубиний С 7. Азот 14,0067 38. Стронций N 8. Кислород 15,9994 39. Иттрий О 9. Фтор F 18,998403 40. Цирконий 10. Неон 20,179 41. Ниобий Ne 11. Натрий Na 22,98977 42. Молибден 12. Магний 24,305 43. Технеций Mg 13. Алюминий А1 26,98154 44. Рутений 14. Кремний 28,0855 45. Родний Si 15. Фосфор 30,97376 46. Палладий Р 16. Сера 32,06 47. Серебро S 17. Хлор 35,453 48. Кадмий Cl 18. Аргон 39,948 49. Индий Ar 19. Калий 39,0983 50. Олово K 20. Кальций 40,08 51. Сурьма Ca 21. Скандий 44,9559 52. Теллур Se 22. Титан 47,90 53. Иод Ti 23. Ванадий 50,9415 54. Ксенон V 24. Хром 51,996 55. Цезий Cr 25. Марганец Mn 54,9380 56. Барий 26. Железо 55,847 57. Лантан Fe 27. Кобальт 58,9332 58. Церий Co 28. Никель 58,71 59. Празеодим Ni 29. Медь 63,546 60. Неодим Cu 30. Цинк 65,38 61. Прометий Zn 31. Галлий 69,735 62. Самарий Ga 77 Ge As Se Br Кг Rb Sr Y Zr Nb Vo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Те I Xe Cs Ba La Ce Pr Nd Pm Sm 72,59 74,9216 78,96 79,904 83,80 85,467 87,62 88,9059 91,22 92,9064 95,94 98,9062 101,07 102,9055 106,4 107,868 112,41 114,82 118,69 121,75 127,60 126,9045 131,30 132,9054 137,33 138,9055 140,12 140,9077 144,24 [145] 150,4 Свойства некоторых твердых тел Температурный Удельная Удельная коэффициент Температура теплота теплоемкость линейного Вещество плавления, плавления, расширения, °С Дж/(кгК) кДж/кг 105 К1 Алюминий 659 896 322 2,3 Железо 1530 500 272 1,2 Латунь 900 386 — 1,9 Лед 0 2100 335 — Медь 1100 395 176 1,6 Олово 232 230 58,6 2,7 Платина 1770 117 113 0,89 Пробка — 2050 — — Свинец 327 126 22,6 2,9 Серебро 960 234 88 1,9 Сталь 1300 460 — 1,06 Цинк 420 391 117 2,9 Эффективный диаметр молекул, динамическая вязкость и теплопроводность газов при нормальных условиях Вещество Азот Аргон Водород Воздух Гелий Кислород Пары воды Хлор Эффективный Динамическая диаметр d, нм вязкость η, мкПа с 0,38 16,6 0,35 21,5 0,28 8,66 – 17,2 0,22 – 0,36 19,8 – 8,32 0,45 – 78 Теплопроводнос ть χ, мВт м К 24,3 16,2 16,8 24,1 – 24,4 15,8 – Учебное издание КУЗНЕЦОВ Сергей Иванович КАПЛИН Валерий Викторович УГЛОВ Сергей Романович Элементы физической кинетики Курс физики с примерами решения задач Учебное пособие Научный редактор доктор педагогических наук, профессор В.В. Ларионов Редактор Н.Т. Синельникова Верстка Л.А. Егорова Отпечатано в Издательстве ТПУ в полном соответствии с качеством предоставленного оригинал-макета Подписано к печати 19.05.11. Формат 60×84/16. Бумага «Снегурочка». Печать Xerox. Усл. печ. л. 8,46. Уч.-изд. л. 7,47. Тираж 500 экз. Национальный исследовательский Томский политехнический университет Система менеджмента качества Томского политехнического университета сертифицирована NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту ISO 9001:2000 . 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30. Тел./факс: 8(3822)56-35-35, www.tpu.ru 79
