О деформациях алгебры Ли типа $G_2$ характер

Реклама
2000
ˆ‡‚…‘’ˆŸ ‚›‘˜ˆ• “—…›• ‡€‚…„…ˆ‰
Œ€’…Œ€’ˆŠ€
ò 3 (454)
“„Š 512.554.31
‘.€. Šˆˆ‹‹Ž‚, Œ.ˆ. Š“‡…–Ž‚, .ƒ. —…Ž—ŠŽ
Ž „…”ŽŒ€–ˆŸ• €‹ƒ…› ‹ˆ ’ˆ€ G2 •€€Š’…ˆ‘’ˆŠˆ ’ˆ
‚ á¢ï§¨ á ¯à®¡«¥¬®© ª« áá¨ä¨ª 樨 ¯à®áâëå «£¥¡à ‹¨ ­ ¤ ¯®«ï¬¨ ¬ «®© å à ªâ¥à¨á⨪¨ p
¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¨­â¥à¥á ®¯¨á ­¨¥ ¤¥ä®à¬ 権 ª« áá¨ç¥áª¨å «£¥¡à ‹¨. ƒ«®¡ «ì­®© ¤¥ä®à¬ 樥©
«£¥¡àë ‹¨ L ­ §ë¢ ¥âáï ᥬ¥©á⢮ «£¥¡à ‹¨, ¯ à ¬¥âਧ®¢ ­­ëå â®çª ¬¨ á¢ï§­®£® £« ¤ª®£®
¬­®£®®¡à §¨ï, ®¤­®© ¨§ â®ç¥ª ª®â®à®£® ᮮ⢥âáâ¢ã¥â «£¥¡à ‹¨ L. ãáâì L | ¬­®£®®¡à §¨¥
áâàãªâãà «£¥¡à ‹¨ ­ ¢¥ªâ®à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ V . €«£¥¡à ‹¨ ­ §ë¢ ¥âáï ¦¥á⪮©, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ®ªà¥áâ­®áâì L (¢ ⮯®«®£¨¨ ‡ à¨á᪮£® ­ L), ¢á¥ â®çª¨ ª®â®à®© ïîâáï «£¥¡à ¬¨
‹¨, ¨§®¬®àä­ë¬¨ L.
ˆ§¢¥áâ­® [1], çâ® ­ ¤ ¯®«¥¬ å à ªâ¥à¨á⨪¨ p > 3 ¢á¥ ª« áá¨ç¥áª¨¥ «£¥¡àë ‹¨ ïîâáï
¦¥á⪨¬¨.  ¤ ¯®«¥¬ å à ªâ¥à¨á⨪¨ 3 á¨âã æ¨ï ¨­ ï. ë«® ®¡­ à㦥­® [2], çâ® ª®à­¥¢ãî
á¨á⥬ã ⨯ C2 ¬®£ãâ ¨¬¥âì ­¥¨§®¬®àä­ë¥ «£¥¡àë ‹¨. ƒ«®¡ «ì­ë¥ ¤¥ä®à¬ 樨 «£¥¡àë ‹¨
C2 ¯®áâ஥­ë ¢ [3]. ®§¤­¥¥ ¡ë«® ¯®ª § ­® [4], çâ® «£¥¡à ‹¨ C2 | ¥¤¨­á⢥­­ ï á।¨ «£¥¡à
‹¨ á¥à¨© An , Bn , Cn , Dn , ¤®¯ã᪠îé ï ­¥âਢ¨ «ì­ë¥ ¤¥ä®à¬ 樨 ¯à¨ p = 3. ®«­®¥ ®¯¨á ­¨¥
£«®¡ «ì­ëå ¤¥ä®à¬ 権 «£¥¡àë ‹¨ C2 ¯®«ã祭® ¢ [5].
‚ ¤ ­­®© áâ âì¥ ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¦¥á⪮áâì ¨áª«îç¨â¥«ì­®© ª« áá¨ç¥áª®© «£¥¡àë ‹¨ ⨯ G2 ­ ¤ «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ª­ãâë¬ ¯®«¥¬ K å à ªâ¥à¨á⨪¨ p = 3.
Žà¡¨âë ¥áâ¥á⢥­­®£® ¤¥©áâ¢¨ï £à㯯ë G = GL(V ) ­ L ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ª« áá ¬ ¨§®¬®à䨧¬ «£¥¡à ‹¨. ãáâì TL (L) | ª á ⥫쭮¥ ¯à®áâà ­á⢮ ª ¬­®£®®¡à §¨î L ¢ â®çª¥ L 2 L,
TL (G(L)) | ª á ⥫쭮¥ ¯à®áâà ­á⢮ ª G-®à¡¨â¥ â®çª¨ L. ‘®£« á­® [5] ¯à®áâà ­á⢮ «®ª «ì­ëå ¤¥ä®à¬ 権 Hloc(L) = TL(L)=TL (G(L)) ï¥âáï ä ªâ®à®¬ £àã¯¯ë ª®£®¬®«®£¨© H 2 (L; L).
’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ãá«®¢¨¥ H 2 (L; L) = 0 ï¥âáï ¤®áâ â®ç­ë¬ ãá«®¢¨¥¬ ¦¥á⪮á⨠«£¥¡àë ‹¨ L.
‚ à ¡®â¥ ¤®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® H 2 (L; L) = 0 ¤«ï «£¥¡àë ‹¨ ⨯ G2 ­ ¤ ¯®«¥¬ å à ªâ¥à¨á⨪¨ 3.
‚ëç¨á«¥­¨¥ H 2 (L; L) ¯à®¢®¤¨âáï ¢ ­¥áª®«ìª® íâ ¯®¢. ‘â ­¤ àâ­ë© ª®¬¯«¥ªá C (L; L) à ᪫ ¤ë¢ ¥âáï ¢ ¯àï¬ãî á㬬㠢¥á®¢ëå ¯®¤ª®¬¯«¥ªá®¢ ®â­®á¨â¥«ì­® ¬ ªá¨¬ «ì­®£® â®à ¢ £à㯯¥
˜¥¢ ««¥ G2 (K ).
‚ëç¨á«¥­¨¥ H2 (L; L) ¤«ï áâ à襣® ¢¥á ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à®¢¥¤¥­® ­¥¯®á।á⢥­­®. Ž¤­ ª®
çâ®¡ë ¨§¡¥¦ âì ¢ëç¨á«¥­¨©, ¤«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠âਢ¨ «ì­®á⨠H2 (L; L) ¯à¨¬¥­ï¥¬ ᯥªâà «ì­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ‘¥àà {•®åè¨«ì¤ .  ¨¡®«ìèãî âà㤭®áâì ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¢ëç¨á«¥­¨¥
H02(L; L). ˆá¯®«ì§ãï ⥮à¨î ¬®¤ã«ïà­ëå ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨© £àã¯¯ë ‚¥©«ï W = W (G2), ¤®ª ¦¥¬,
çâ® H02 (L; L) ¨§®¬®àä­ ¢â®à®© £à㯯¥ ª®£®¬®«®£¨© ¢¥á ­ã«ì ¯®¤ª®¬¯«¥ªá W -¨­¢ ਠ­â®¢,
ª®â®à ï ¬®¦¥â ¡ëâì íä䥪⨢­® ¢ëç¨á«¥­ .
‚ à ¡®â¥ ¨á¯®«ì§ã¥âáï â¥à¬¨­®«®£¨ï, ¯à¨­ïâ ï ¢ [10].
1. Ž¡é¨¥ ᢥ¤¥­¨ï ®¡ «£¥¡à å ‹¨ ⨯ G2
€«£¥¡à ‹¨ L ⨯ G2 ­ ¤ ¯®«¥¬ K å à ªâ¥à¨á⨪¨ 3 ¯®«ãç ¥âáï ।ãªæ¨¥© ¯® ¬®¤ã«î 3
¨§ Z-ä®à¬ë, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¡ §¨á㠘¥¢ ««¥ ª®¬¯«¥ªá­®© ¯à®á⮩ «£¥¡àë ‹¨ LC ⨯ G2 .
ãáâì R = f; ; ( + ); (2 + ); (3 + ); (3 + 2 )g | á¨á⥬ ª®à­¥© ⨯ G2,
Q = hRiZ. Ž¡®§­ 稬 ç¥à¥§ R1 ¬­®¦¥á⢮ ª®à®âª¨å ª®à­¥© R1 = f; ( + ); (2 + )g, ç¥à¥§
R2 | ¬­®¦¥á⢮ ¤«¨­­ëå ª®à­¥© R2 = f; (3 + ); (3 + 2 )g.
“¬­®¦¥­¨¥ ¢ LC ¢ ¡ §¨á¥ ˜¥¢ ««¥ fH ; H ; X ; 2 Rg ¨¬¥¥â ¢¨¤ ([6], c. 10)
 ¡®â ¢ë¯®«­¥­ ¯à¨ 䨭 ­á®¢®© ¯®¤¤¥à¦ª¥ ®áᨩ᪮£® ä®­¤ äã­¤ ¬¥­â «ì­ëå ¨áá«¥¤®¢ ­¨©
(£à ­â 96-01-01756).
33
(a) [H ; H ] = 0;
(b) [X ; X; ] = H , £¤¥ H+ = H + 3H , H2+ = 2H + 3H , H3+ = H + H , H3+2 =
H + 2H ,
(c) [H ; X ] = h; iX , £¤¥ h; i = 2, h; i = ;3, h; i = ;1, h; i = 2.
(d) e᫨ ; ; + 2 R, â® [X ; X ] = N; X + , £¤¥ N; = (r +1), r | â ª®¥ ¯®«®¦¨â¥«ì­®¥
楫®¥ ç¨á«®, çâ® ; r 2 R, ; (r + 1) 2= R;
(e) [X ; X ] = 0, ¥á«¨ + 2= R.
‡ ¬¥â¨¬, çâ® N; = 3, ⮫쪮 ¥á«¨ + 2 R2 , ; 2 R1 .
®¤¯à®áâà ­á⢮ I , ¯®à®¦¤¥­­®¥ ¬­®¦¥á⢮¬ fH ; X ; 2 R1 g, ï¥âáï ¥¤¨­á⢥­­ë¬
ᮡá⢥­­ë¬ ¨¤¥ «®¬ L. H = hH ; H i | ¯®¤ «£¥¡à Š àâ ­ ¢ L. ‘®£« á­® [7] £à㯯 Aut L
¨§®¬®àä­ £à㯯¥ Aut I ¨ ï¥âáï £à㯯®© ˜¥¢ ««¥ ⨯ G2 . ƒà㯯 ‚¥©«ï W «£¥¡àë L ï¥âáï ¤¨í¤à «ì­®© £à㯯®© ¯®à浪 12, ¯®à®¦¤¥­­®© ®âà ¦¥­¨ï¬¨ w , w . «¥¬¥­â w = w w
­ ¯«®áª®á⨠ï¥âáï ¯®¢®à®â®¬ ­ 㣮« 3 ¨ ¨¬¥¥â ¯®à冷ª 6. ‘®£« á­® ([8], c. 603) £à㯯®¢ ï «£¥¡à A = K [W ] ¨¬¥¥â ¤¢ ¡«®ª B1 , B2 , ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ®à⮣®­ «ì­ë¬ ¨¤¥¬¯®â¥­â ¬ e1 = w3 ; 1, e2 = ;(w3 + 1). ’ਢ¨ «ì­ë© ¬®¤ã«ì ¯à¨­ ¤«¥¦¨â ¡«®ªã B2 . Š ¦¤ë© ¡«®ª
à ᪫ ¤ë¢ ¥âáï ¢ ¯àï¬ãî á㬬㠤¢ãå £« ¢­ëå ­¥à §«®¦¨¬ëå «¥¢ëå ¬®¤ã«¥© à §¬¥à­®á⨠3.
 §«®¦¥­¨¥ ¡«®ª B2 ¨¬¥¥â ¢¨¤: B2 = A1 A2 , £¤¥ A1 = (1+ w3 )A(1+ w ), A2 = (1+ w3 )A(1 ; w ).
’ ª ¦¥, ª ª ¢ [6], ®¡®§­ 稬 ç¥à¥§ N ¯®¤£à㯯㠢 £à㯯¥ ˜¥¢ ««¥ G2(K ), ¯®à®¦¤¥­­ãî
í«¥¬¥­â ¬¨ w (t), ç¥à¥§ T | ¯®¤£à㯯ã, ¯®à®¦¤¥­­ãî h (t). T ï¥âáï ¬ ªá¨¬ «ì­ë¬ â®à®¬
¢ G2(K ). ‘®£« á­® ([6], c. 30) w (t)(X ) = ct;h; iXw () , h (t)(X ) = th; iX , £¤¥ c = c(; ) = 1,
c(; ) = c(; ;). ƒà㯯 ‚¥©«ï W ¨§®¬®àä­ N=T . Ž¡®§­ 稬 w (1) ç¥à¥§ w .
‚ ¤ «ì­¥©è¥¬ ¯®­ ¤®¡ïâáï ᢥ¤¥­¨ï ® ­¥ª®â®àëå £à㯯 å ª®£®¬®«®£¨©.
à¥¤«®¦¥­¨¥.
1) H 0 (I; I ) = 0, H 0 (I; L) = 0, H 0 (I; L=I ) = L=I .
2) H 1 (I; I ) = L=I .
3) H 1 (I; L=I ) = 0, H 1 (I; L) = 0.
4) H 1 (L; L) = 0.
0
„®ª § ⥫ìá⢮. 1) ’ ª ª ª I ¤¥©áâ¢ã¥â ­ã«¥¢ë¬ ®¡à §®¬ ­ L=I , â® H (I; L=I ) = L=I .
Oáâ «ì­ë¥ ã⢥ত¥­¨ï ®ç¥¢¨¤­ë.
2) H 1 (I; I ) ï¥âáï «£¥¡à®© ¢­¥è­¨å ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨© «£¥¡àë I . ãáâì L = Der(I ).
Žç¥¢¨¤­®, I = ad I , ¯®í⮬㠡㤥¬ ®â®¦¤¥á⢫ïâì I á ad I ¨ áç¨â âì, çâ® I L. Ž¯¥à â®à
ad H ï¥âáï ¯®«ã¯à®áâë¬ ®¯¥à â®à®¬ ­ I , á«¥¤®¢ ⥫쭮, ad(ad H) ï¥âáï ¯®«ã¯à®áâë¬
®¯¥à â®à®¬ ­ gl(I ). ’ ª ª ª L gl(I ), â® ãç¨âë¢ ï ­ è¥ ®â®¦¤¥á⢫¥­¨¥ I c ad I , ¯®«ãç ¥¬ ad H | ¯®«ã¯à®á⮩ ®¯¥à â®à ­ L.  §«®¦¨¬ L ­ ª®à­¥¢ë¥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢠®â­®á¨â¥«ì­® ad H , L = L;1 L0 L1 , £¤¥ L;1 = hX ; X+ ; X;(2+) i, L1 = hX; ; X;(+) ; X2+ i,
L0 = hD 2 L j [D; H ] = 0i. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, L = I + L0 . ’ ª ª ª [L0 ; L1 ] L1 , â® ®¯¥à â®à ad jL1 : L0 ! gl(L1 ) ï¥âáï ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥¬ «£¥¡àë L0 . ®ª ¦¥¬, çâ® íâ® ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥
ï¥âáï â®ç­ë¬. ®áª®«ìªã L1 I ¨ [L1 ; L;1 ] L0 \ I = hH i, â® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ [u; v], u 2 L1,
v 2 L;1 , ®¯à¥¤¥«ï¥â ­¥¢ë஦¤¥­­®¥ L0 -¨­¢ ਠ­â­®¥ ᯠਢ ­¨¥ hu; vi, [u; v] = hu; viH . ’ ª
ª ª [D; H ] = 0 ¤«ï «î¡®£® D ¨§ L0 , â® D 2 L0 ®¤­®§­ ç­® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᢮¨¬ ¤¥©á⢨¥¬ ­ L1,
â. ¥. ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ad jL1 ¯®¤ «£¥¡àë L0 ï¥âáï â®ç­ë¬.  áᬠâਢ ï ¤¥©á⢨¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨ï D ­ í«¥¬¥­â [[X; ; X;(+) ]; X2+ ] = H, ã¡¥¦¤ ¥¬áï, çâ® ad DjL1 2 sl(L1 ). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, dim L0 dim sl(L1 ) = 8. ’ ª ª ª L Der(I ) = L, â® dim L=I dim L=I = 7. ‘ ¤à㣮©
áâ®à®­ë, L=I = L0 =hH i ,! psl(L1 ) ¨, á«¥¤®¢ ⥫쭮, dim L=I 7. ‚ १ã«ìâ ⥠dim L=I = 7 ¨
H 1(I; I ) = L=I = L=I .
3) ‚ëç¨á«¨¬ H 1 (I; L=I ). ’ ª ª ª I ¤¥©áâ¢ã¥â âਢ¨ «ì­® ­ L=I , â® ¤®áâ â®ç­® ¢ëç¨á«¨âì
1
H (I; K ). ® H 1 (I; K ) = I=[I; I ]) = 0. ‡­ ç¨â, H 1 (I; L=I ) = 0. “⢥ত¥­¨¥ ® âਢ¨ «ì­®áâ¨
H 1(I; L) á«¥¤ã¥â ¨§ â®ç­®© ª®£®¬®«®£¨ç¥áª®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠ª®íää¨æ¨¥­â®¢ 0 ;! I ;! L ;! L=I ;! 0, ¨ ¨§ ¢ëç¨á«¥­­ëå ¢ëè¥ £à㯯.
4) ãáâì D 2 Der(L). T ª ª ª [I; I ] = I; â® D(I ) I . ‘®£« á­® 2) DjI = ad X ¤«ï ­¥ª®â®à®£®
X 2 L. Ž¡®§­ 稬 D ; ad X ç¥à¥§ D. ’ ª ª ª DjI = 0, â® ¤«ï «î¡ëå Y 2 L, Z 2 I , 0 = D[Y; Z ] =
34
[D(Y ); Z ] ¨, á«¥¤®¢ ⥫쭮, ad D(Y )jI = 0. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, D(Y ) 2 H 0 (I; L) = 0, ®âáî¤ D = 0 ¨
D = ad X . ‡­ ç¨â, H 1(L; L) = 0.
2. ‚ëç¨á«¥­¨¥ H
2
(L; L)
ãáâì C (L; L) | áâ ­¤ àâ­ë© ª®¬¯«¥ªá «£¥¡àë ‹¨ L. ƒà㯯 Aut(L) = G2(K ) ¤¥©áâ¢ã¥â
¥áâ¥á⢥­­ë¬ ®¡à §®¬ ­ C (L; L).  §«®¦¨¬ C (L; L) ¢ ¯àï¬ãî á㬬㠯®¤ª®¬¯«¥ªá®¢, ïîé¨åáï ¢¥á®¢ë¬¨ ¯®¤¯à®áâà ­á⢠¬¨ ¬ ªá¨¬ «ì­®£® â®à T ¨§ £à㯯ë Aut(L),
C (L; L) = C (L; L):
M
2Q
’ ª ª ª ¬ ªá¨¬ «ì­ë© â®à T ¤¥©áâ¢ã¥â âਢ¨ «ì­® ­ C0(L; L), â® C0 (L; L) ¨¬¥¥â ¥áâ¥á⢥­­ãî áâàãªâãàã W -¬®¤ã«ï, £¤¥ W = N=T | £à㯯 ‚¥©«ï «£¥¡àë L. ˆá¯®«ì§ãï ¢­ãâ७­îî
£à ¤ã¨à®¢ªã ([9], c. 29) ®â­®á¨â¥«ì­® í«¥¬¥­â®¢ H , H ¨ ­¥¢ë஦¤¥­­®áâì ¬ âà¨æë Š àâ ­ «£¥¡àë ‹¨ ⨯ G2 , ¯®«ãç ¥¬
H (L; L) =
H (L; L);
M
2Q3
£¤¥ Q3 = fk1 + k2 ; k1 0(3); k2 0(3)g, ¢ ç áâ­®áâ¨,
H 2(L; L) = H02 (L; L) H2 3 (L; L) H2 (3+3) (L; L) H2 (6+3)(L; L):
(1)
…᫨ ®â®¦¤¥á⢨âì C k (L; L) á ¯à®áâà ­á⢮¬ L ^ ^ L L, â® ä®à¬ã« ¤¨ää¥à¥­æ¨ « d : C2 (L; L) ! C3(L; L) á ãç¥â®¬ 0(3) ¢ë£«ï¤¨â á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬
d(X1 ^ X2 X3 ) =
;
X
1 +2 =1
XN
2R
;3 X1
^ X2 ^ X X
N1;2 X1 ^ X2 ^ X2 X3 +
X
3
+
;
1 +2 =2
N1 ;2 X1 ^ X2 ^ X1 X3 +
+ X1 ^ X2 ^ X; 3 [X;3 ; X3 ]: (2)
1) H 2 (L; L) = H02 (L; L).
2) H (L; L) | âਢ¨ «ì­ë© W -¬®¤ã«ì.
„®ª § ⥫ìá⢮. 1) ˆ§ (1) á«¥¤ã¥â, çâ® £à㯯 ‚¥©«ï ¤¥©áâ¢ã¥â âà ­§¨â¨¢­® ­ ¬­®¦¥á⢥ ­¥­ã«¥¢ëå ¢¥á®¢ G2 (K )-¬®¤ã«ï H 2 (L; L). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤®áâ â®ç­® ¤®ª § âì, çâ®
H(62 +3)(L; L) = 0. „«ï í⮣® ¨á¯®«ì§ã¥¬ ᯥªâà «ì­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ‘¥àà {•®åè¨«ì¤ fErp;q g ¤«ï «£¥¡àë L, ¨¤¥ « I L ¨ ¯à¨á®¥¤¨­¥­­®£® L-¬®¤ã«ï. Bᥠ童­ë ᯥªâà «ì­®©
¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¨­¢ ਠ­â­ë ®â­®á¨â¥«ì­® ¬ ªá¨¬ «ì­®£® â®à T ¨, á«¥¤®¢ ⥫쭮, à áp;q . fE p;q g ï¥âáï ᯥªâà «ì­®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쪫 ¤ë¢ îâáï ­ ¢¥á®¢ë¥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢠Er;
r;
­®áâìî ‘¥àà {•®åè¨«ì¤ ¤«ï ¯®¤ª®¬¯«¥ªá C (L; L), á室ï饩áï ª H (L; L). ‚ ç áâ­®áâ¨, ¤«ï
H62+3 (L; L) ¯®«ãç ¥¬
E22;;60+3 = H62+3 (L=I; H 0 (I; L)) = 0;
E21;;61+3 = H61+3 (L=I; H 1 (I; L)) = 0;
E20;;62+3 = H60+3 (L=I; H 2 (I; L)) = H 2 (I; L)L=I \ H62+3 (I; L):
‡¤¥áì H 2 (I; L)L=I = fc 2 H 2 (I; L) j L=I ¤¥©áâ¢ã¥â âਢ¨ «ì­® ­ cg. ®ª ¦¥¬, çâ® H 2 (I; L)L=I \
H62+3 (I; L) = 0.  §¨á­ë¬¨ í«¥¬¥­â ¬¨ C62+3 (I; L) ïîâáï c1 = X; ^X; 2; X(3+2) , c2 =
X; ; ^ X; 2; X(3+) . à®áâà ­á⢮ C61+3 (I; L) = 0, §­ ç¨â, B62+3 (I; L) = 0. ãáâì c =
a1 c1 +a2 c2 2 Z62+3 (I; L), a1; a2 2 K .  áᬮâਬ ¤¥©á⢨¥ í«¥¬¥­â X;(3+2) ­ c, X;(3+2) c =
b1X; ^ X; 2; (H +2H )+ b2 X; ; ^ X; 2; X; + b3 X; ^ X; ; X3+2 , £¤¥ b1 ; b2 ; b3 2 K .
’ ª ª ª [X; ; X;2; ] = 0, â® á« £ ¥¬®¥ b1 X; ^ X; 2; (H + 2H ) ­¥ ᮤ¥à¦¨âáï ¢ B 2(I; L).
‘«¥¤®¢ ⥫쭮, X;(3+2) c ­¥ ¯à¨­ ¤«¥¦¨â B 2(I; L) ¨ c ­¥ ¯à¨­ ¤«¥¦¨â H 2 (I; L)L=I .
‹¥¬¬ 1.
2
0
35
2) ’ ª ª ª H 2 (L; L) = H02 (L; L), â® ®¡à §ãî騥 í«¥¬¥­âë x (t) £à㯯ë G2(K ) ¤¥©áâ¢ãîâ
âਢ¨ «ì­® ­ H 2 (L; L). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, H02 (L; L) | âਢ¨ «ì­ë© G2 (K )-¬®¤ã«ì. ‚ ç áâ­®áâ¨,
H02(L; L) ï¥âáï âਢ¨ «ì­ë¬ W -¬®¤ã«¥¬.
2
2.1. ‚ëç¨á«¥­¨¥ H0 (L; L). Š®¬¯«¥ªá C0 (L; L) à ᪫ ¤ë¢ ¥âáï ¢ ¯àï¬ãî á㬬㠯®¤ª®¬¯«¥ª
ᮢ U1 ¨ U2 , ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¡«®ª ¬ B1 , B2 . ® «¥¬¬¥ 1 H02 (L; L) | âਢ¨ «ì­ë© W -¬®¤ã«ì,
§­ ç¨â, ¯à¨­ ¤«¥¦¨â ¡«®ªã B2 . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, H02 (L; L) = H 2 (U2 ).
2
2
W
W | ¯®¤ª®¬¯«¥ªá W -¨­¢ ਠ­â®¢ ¢ U .
’¥®à¥¬ . H0 (L; L) = H (U2 ), £¤¥ (U2 )
2
„®ª § ⥫ìá⢮ â¥®à¥¬ë ®á­®¢ ­® ­ á«¥¤ãîé¨å «¥¬¬ å.
1
‹¥¬¬ 2. Z (U2 ) = 0.
2
1
‹¥¬¬ 3. Z (U2 ) = d(U2 ) Z | ¯àï¬ ï á㬬 W -¯®¤¬®¤ã«¥©.
2
2
= Z (¨§®¬®à䨧¬ W -¬®¤ã«¥©).
„®ª § ⥫ìá⢮. ˆ§ «¥¬¬ë 3 ¯®«ãç ¥¬ H0 (L; L) = H (U2 ) ‘®£« á­® «¥¬¬¥ 1 Z | âਢ¨ «ì­ë© W -¬®¤ã«ì, â. ¥. Z Z 2(U2W ). ˆ§ «¥¬¬ë 3 á«¥¤ã¥â, çâ®
Z 2 (U2W ) = Z (d(U21 ))W . ˆ§ «¥¬¬ë 2 ¯®«ãç ¥¬ (d(U21 ))W = d((U21 )W ) = B 2(U2W ). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,
Z 2 (U2W ) = Z B 2(U2W ). ‡­ ç¨â, H02 (L; L) =Z
= H 2 (U2W ).
1
1
„®ª § ⥫ìá⢮ «¥¬¬ë 2. ‘®£« á­® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 1 ¨¬¥¥¬ 0 = H0 (L; L) = H (U1 ) 1
1
1
0
0
0
0
H (U2 ). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, Z (U2 ) = B (U2 ) = d(U2 ), £¤¥ U2 U1 = C0 (L; L) = H. Žç¥¢¨¤­®,
w3 (H ) = ;H ¤«ï «î¡®£® H 2 H, â. ¥. e2 H = 0 ¨ U20 = 0, çâ® ¤®ª §ë¢ ¥â «¥¬¬ã 2.
1
1
1
„®ª § ⥫ìá⢮ «¥¬¬ë 3. Bëïá­¨¬ áâàãªâãàã W -¬®¤ã«ï U2 = e2 C0 (L; L), U2 = V1 V2 V3 V4 , £¤¥ V1 = hX X + X; X; ; | ª®à®âª¨© ª®à¥­ìi, V2 = hX X + X; X; ; | ¤«¨­­ë© ª®à¥­ìi, V3 = hH H ; H H; H H ;H H i, V4 = hH H +H H i.
‹¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® V1 = V2 = A1 , V3 = A2 (¨§®¬®à䨧¬ W -¬®¤ã«¥©), £¤¥ A1 , A2 | £« ¢­ë¥ ­¥à §«®¦¨¬ë¥ W -¯®¤¬®¤ã«¨ ¡«®ª B2 . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, V1 , V2 , V3 ïîâáï ¯à®¥ªâ¨¢­ë¬¨
(¨­ê¥ªâ¨¢­ë¬¨) W -¬®¤ã«ï¬¨. ’ ª ª ª ¯® «¥¬¬¥ 2 d : U21 ! U22 | ¨­ê¥ªâ¨¢­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥, â® dV1 , dV2 , dV3 ®â饯«ïîâáï ¢ Z 2 (U2 ), â. ¥. Z 2 (U2 ) = Z dV1 dV2 dV3 . Žç¥¢¨¤­®,
dU21 = (Z \ dU21) dV1 dV2 dV3 ¨ Z \ dU21 = dV4 (¨§®¬®à䨧¬ W -¬®¤ã«¥©), dV4 | âਢ¨ «ì­ë©
1 2
W -¬®¤ã«ì. ’ ª ª ª Z =Z \ dU2 = H (U2 ) = H02 (L; L) | âਢ¨ «ì­ë© W -¬®¤ã«ì, â® ¤«ï ®â饯¨¬®á⨠dU21 ¤®áâ â®ç­® ¤®ª § âì á«¥¤ãî饥 ã⢥ত¥­¨¥: e᫨ M N | W -¬®¤ã«¨, M , N=M
| âਢ¨ «ì­ë¥ W -¬®¤ã«¨, â® N | âਢ¨ «ì­ë© W -¬®¤ã«ì.
„¥©á⢨⥫쭮, w n = n + m, £¤¥ m 2 M , wk n = n + km. ’ ª ª ª K | ¯®«¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨
3, â® w3 n = n. €­ «®£¨ç­® ¤«ï w . ® w2 n = w2 n = n, á«¥¤®¢ ⥫쭮, w n = w n = n. ’ ª ª ª
w , w ¯®à®¦¤ îâ W , â® W ¤¥©áâ¢ã¥â ⮦¤¥á⢥­­® ­ N .
‘«¥¤®¢ ⥫쭮, Z \dU21 ®â饯«ï¥âáï ¢ Z , Z 2 (U2 ) = Z (Z \dU21 )dV1 dV2 dV3 = Z dU21.
‚ëç¨á«¥­¨¥ H 2 (U2W ). ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® í«¥¬¥­â X1 ^ ^ Xk Xn+1 ¨¬¥¥â ⨯
( H ), £¤¥ ­ k-¬ ¬¥á⥠á⮨â +, ¥á«¨ k | ª®à®âª¨©, á⮨â ;, ¥á«¨ k | ¤«¨­­ë©
ª®à¥­ì, ¨ H , ¥á«¨ k = 0. Ž¡®§­ 稬 ç¥à¥§ V; ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ ¢ C0k (L; L), ­ âï­ã⮥ ­ ¡ §¨á­ë¥ ¢¥ªâ®àë, ¨¬¥î騥 § ¤ ­­ë© ⨯. ’®£¤ C01(L; L) = V+;+ V;;; hH H; H H ; H H; H H i;
(3)
C02 (L; L) = V++;+ V++;; V+;;+ V;;;; V++;H V;;;H V+H;+ V;H;; VHH;H :
2 W
‹¥¬¬ 4. 1) dim(U2 )
= 8.
1 W
2) dim(U2 ) = 3:
„®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì W1 = hw i | ¯®¤£à㯯 ¢ W . W1 ¤¥©áâ¢ã¥â âà ­§¨â¨¢­® ­ ¬­®¦¥á⢥ ª®à®âª¨å ª®à­¥© ¨ ­ ¬­®¦¥á⢥ ¤«¨­­ëå ª®à­¥©. Žç¥¢¨¤­®, (U2k )W = (C0k (L; L))W . Š ¦¤®¥
¨§ ¯®¤¯à®áâà ­á⢠V; ¨­¢ ਠ­â­® ®â­®á¨â¥«ì­® W , ¯®í⮬ã (U2k )W ï¥âáï ¯àאַ© á㬬®© ¯à®áâà ­á⢠(V; )W .
1) à®áâà ­á⢮ (VHH;H )W = 0.
bb
e
b
ee
e
b
b
b
b
e
e
e
b e
36
b
®í⮬㠤®áâ â®ç­® ¤®ª § âì, çâ® ª ¦¤®¥ ¨§ ®áâ ¢è¨åáï á« £ ¥¬ëå ¢ (3) ¨¬¥¥â ®¤­®¬¥à­®¥
¯à®áâà ­á⢮ W -¨­¢ ਠ­â®¢.
ˆ§ ¤¨ £à ¬¬ë ª®à­¥© ¢¨¤­®, çâ® dim V++;+ = dim V++;; = dim V;;;; = 6, dim V+;;+ = 12.
ãáâì v = X ^ X X + . à¥¤¯®«®¦¨¬ v 2 V++;+ , ⮣¤ v; wv; w2 v; : : : ; w5 v «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ë. ˆ§ ¤¥©á⢨ï W ­ X ¢ G2 ([6], x 10) ¤«ï = , = + ¯®«ãç ¥¬ w v = v. ’ ª
ª ª dim V++;+ = 6, â® á â®ç­®áâìî ¤® ¯à®¯®à樮­ «ì­®á⨠¥¤¨­á⢥­­ë¬ ¨­¢ ਠ­â®¬ ¢ V++;+
ï¥âáï v++;+ = v + wv + + w5v =
gv.
g2W1
€­ «®£¨ç­®, ¥á«¨ v 2 V++;; ¨«¨ v 2 V;;;; , â® í«¥¬¥­â
gv ï¥âáï ¥¤¨­á⢥­­ë¬ á â®çg2W1
­®áâìî ¤® ¯à®¯®à樮­ «ì­®á⨠¨­¢ ਠ­â®¬ ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¯à®áâà ­á⢠. â¨ ¨­¢ ਠ­âë
¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì ç¥à¥§ v++;; , v;;;; ᮮ⢥âá⢥­­®.
…᫨ v 2 V+;;+, â® w v 2= hwk vi ¤«ï «î¡®£® k ¨ ¢á¥ í«¥¬¥­âë gv, g 2 W , «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ë.
’ ª ª ª dim V+;;+ = 12 = jW j, â® V+W;;+ = hv+;;+ i, £¤¥ v+;;+ =
gv.
g 2W
 ©¤¥¬ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ ¨­¢ ਠ­â®¢ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ V+H;+ .  áᬮâਬ í«¥¬¥­âë v1 =
X2+ ^ H X2+ ¨ v2 = X2+ ^ H X2+ . ’ ª ª ª w (2 + ) = 2 + , w H = H ,
w H = ;H â® ¤«ï v1 ¨ v2 ¢ë¯®«­ïîâáï ᮮ⭮襭¨ï w (v1 ) = v1 ¨ w (v2 ) = ;v2. Ž¡®§­ 稬
ç¥à¥§ V1 , V2 W -¬®¤ã«¨, ¯®à®¦¤¥­­ë¥ v1 , v2 ᮮ⢥âá⢥­­®. ®áª®«ìªã W1 ¤¥©áâ¢ã¥â âà ­§¨â¨¢­® ­ ¬­®¦¥á⢥ R1 ¨ wH = ;H ; H , wH = ;H, â® V+H;+ = V1 V2 | ¯àï¬ ï á㬬 W -¯®¤¬®¤ã«¥©. Œ®¤ã«¨ V1 ¨ V2 ¨­¤ãæ¨à®¢ ­ë á ®¤­®¬¥à­ëå ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨© ¯®¤£à㯯ë f1; w g,
á«¥¤®¢ ⥫쭮, dim V1W = 1, dim V2W = 0. ’ ª ª ª v+H;+ =
gv1 ï¥âáï ¨­¢ ਠ­â®¬, â®
g2W1
V+WH;+ = hv+H;+ i.
à®áâà ­á⢠¨­¢ ਠ­â®¢ ¢ V;H;; , V++;H , V;;;H ®¤­®¬¥à­ë ¨ ­ 室ïâáï ­ «®£¨ç­®. ‘®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ¡ §¨á­ë¥ ¨­¢ ਠ­âë ¨¬¥îâ ¢¨¤ v;H;; =
g(X3+2 ^ H X3+2 ), v++;H =
g2W1
g(X ^ X; H), v;;;H =
g(X ^ X; H ).
g2W1
g2W1
2) ˆ­¢ ਠ­â®¬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ hH H ; H H ; H H; H H i ï¥âáï H H +
H H . ˆ­¢ ਠ­âë ¢ ¯à®áâà ­á⢠å V+;+ ¨ V;;; ­ 室ïâáï â ª ¦¥, ª ª ¢ V++;+.
’ ª ª ª ¯® «¥¬¬¥ 2 d : U21 ! U22 | ¨­ê¥ªâ¨¢­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥, â® dim B 2 (U2W )= dim(U21 )W =3.
2
W
‹¥¬¬ 5. dim Z (U2 ) = 3.
3
W
„®ª § ⥫ìá⢮. „®áâ â®ç­® ¯®ª § âì, çâ® dim B (U2 ) 5. „®ª ¦¥¬, çâ® í«¥¬¥­âë c1 =
dv;;;H , c2 = dv;;;;, c3 = dv;H;; , c4 = dv+H;+ , c5 = dv++;; «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ë. à¥¤¯®«®¦¨¬,
çâ® c = a1 c1 + a2 c2 + a3 c3 + a4 c4 + a5 c5 = 0, £¤¥ ai 2 k. ˆ§ ä®à¬ã«ë ¤¨ää¥à¥­æ¨ « (2) «¥£ª®
¢¨¤¥âì, çâ®
c1 = dv;;;H 2 V;;;;H V;;+;H V;;+;+ V;;;;;,
c2 = dv;;;; 2 V;;;;; V;;+;+ V;;;;H ,
c3 = dv;H;; 2 V;;H;H V+;H;+ V;;H;; V;;;;;,
c4 = dv+H;+ 2 V++H;H V+;H;+ V++H;+ V+++;+ V;;+;+,
c5 = dv++;; 2 V+++;+ V++;;; V++;;H .
ãáâì v = v++;; =
g(X ^ X X + ), £¤¥ , | â ª¨¥ ª®à­¨ ¨§ R1 , çâ® + 2 R2 .
g2W1
à®¥ªæ¨ï ¢¥ªâ®à®¢ c1 , c2 , c3 , c4 ­ ¯à®áâà ­á⢮ V++;;H âਢ¨ «ì­ , §­ ç¨â,
0 = c(X ; X ; X; ; ) = a5 dv(X ; X ; X; ; ) = a5 [X; ; ; v(X ; X )] =
= a5 [X; ; ; X + ] = ;a5 H + :
‘«¥¤®¢ ⥫쭮, a5 = 0.
g(X0 ^ H X0 ), £¤¥ 0 = 2 + . à®¥ªæ¨ï ¢¥ªâ®à®¢
 áᬮâਬ ¢¥ªâ®à v = v+H;+ =
g2W1
c1 , c2 , c3 ­ ¯à®áâà ­á⢮ V+++;+ âਢ¨ «ì­ , §­ ç¨â,
0 = c(X0 ; X ; X; ) = a4 dv(X0 ; X ; X; ) = a4 (;v([X ; X; ]; X0 )) = ;a4 v(H ; X0 ) = a4 X0 :
P
P
P
P
P
P
P
P
P
37
P
‘«¥¤®¢ ⥫쭮, a4 = 0.
ãáâì v = v;H;; =
g(X ^ H X ), £¤¥ = 3 + 2 . ‘ãé¥áâ¢ã¥â ª®à¥­ì 2 R1 ,
g2W1
¤«ï ª®â®à®£® + 2 R1 ¨, á«¥¤®¢ ⥫쭮, [X ; X ] 6= 0. à®¥ªæ¨ï ¢¥ªâ®à®¢ c1 , c2 ­ V;H +;+
âਢ¨ «ì­ . ®í⮬ã
0 = c(X ; H ; X ) = a3 dv(X ; H ; X ) = a3 [X ; v(X ; H )] = a3 [X ; X ]:
‘«¥¤®¢ ⥫쭮, a3 = 0.
ãáâì v = v;;;; =
g(X ^ X X + ), £¤¥ , | â ª¨¥ ª®à­¨ ¨§ R2 , çâ® + 2 R2 .
g2W1
„«ï + 2 R2 áãé¥áâ¢ã¥â ª®à¥­ì 0 2 R1 , ¤«ï ª®â®à®£® + + 0 2 R1 ¨, á«¥¤®¢ ⥫쭮,
[X + ; X0 ] 6= 0. ’ ª ª ª + 2 R2 , â® 6= ;, á«¥¤®¢ ⥫쭮, c1 (X ; X ; X0 ) = 0 ¨
0 = c(X ; X ; X0 ) = a2 dv(X ; X ; X0 ) = a2 [X0 ; v(X ; X )] = a2 [X0 ; X + ]:
‘«¥¤®¢ ⥫쭮, a2 = 0.
®ª ¦¥¬, çâ® c1 6= 0. ®«®¦¨¬ v = v;;;H =
g(X ^ X; H ). ‘ãé¥áâ¢ã¥â ª®à¥­ì 2 R1
g2W1
â ª®©, çâ® [X ; H ] 6= 0.
c1 (X ; X; ; X ) = [X ; v(X ; X; )] = 2[X ; H ] 6= 0: ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, dim H 2 (U2W ) = dim Z 2(U2W ) ; dim B 2(U2W ) = 0. ‘®£« á­® ⥮६¥ ¯®«ãç ¥¬,
çâ® H02 (L; L) = 0 ¨, §­ ç¨â, H 2 (L; L) = 0.
€¢â®àë ¢ëà ¦ îâ ¡« £®¤ à­®áâì à¥æ¥­§¥­âã § ¯®«¥§­ë¥ § ¬¥ç ­¨ï.
P
P
‹¨â¥à âãà 1. ã¤ ª®¢ €.. „¥ä®à¬ 樨 ¯à®áâëå «£¥¡à ‹¨ // ˆ§¢. € ‘‘‘. ‘¥à. ¬ ⥬. { 1971. { ’. 35.
{ ò 5. { ‘. 1113{1119.
2. Brown G. Lie algebras of characteristic three with non-degenerate Killing form // Trans. Amer.
Math. Soc. { 1969. { V. 137. { P. 259{268.
3. Š®áâਪ¨­ €.ˆ.  à ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ᥬ¥©á⢮ ¯à®áâëå «£¥¡à ‹¨ // ˆ§¢. € ‘‘‘. ‘¥à.
¬ ⥬. { 1970. { ’. 34. { ‘. 744{756.
4. „¦ã¬ ¤¨«ì¤ ¥¢ €.‘. Š ¤¥ä®à¬ æ¨ï¬ ª« áá¨ç¥áª¨å ¯à®áâëå «£¥¡à ‹¨ // “Œ. { 1976. {
’. 31. { ò 3. { C. 211{212.
5. Š®áâਪ¨­ €.ˆ., Šã§­¥æ®¢ Œ.ˆ. Ž ¤¥ä®à¬ æ¨ïå ª« áá¨ç¥áª¨å «£¥¡à ‹¨ å à ªâ¥à¨á⨪¨
âਠ// „®ª«. €. { 1995. { ’. 343. { ò 3. { ‘. 299{301.
6. ‘⥩­¡¥à£ . ‹¥ªæ¨¨ ® £à㯯 å ˜¥¢ ««¥. { Œ.: Œ¨à, 1975. { 262 á.
7. Frohardt D.E., Griess R.L. (jr.). Automorphisms of modular Lie algebras // Nova J. Alg. Geom.
{ 1992. { V. 1. { P. 339{345.
8. Šíàâ¨á —.,  ©­¥à ˆ. ’¥®à¨ï ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨© ª®­¥ç­ëå £à㯯 ¨ áá®æ¨ ⨢­ëå «£¥¡à. { Œ.:
 㪠, 1969. { 668 á.
9. ”ãªá „.. Š®£®¬®«®£¨¨ ¡¥áª®­¥ç­®¬¥à­ëå «£¥¡à ‹¨. { Œ.:  㪠, 1984. { 272 á.
10. ãà¡ ª¨ . «¥¬¥­âë ¬ ⥬ ⨪¨. ƒàã¯¯ë ¨ «£¥¡àë ‹¨. { Œ.: Œ¨à, 1972. { 334 á.
¨¦¥£®à®¤áª¨© £®á㤠àá⢥­­ë©
ã­¨¢¥àá¨â¥â
®áâ㯨« 19.01.1997
38
Скачать