Вычисление индекса псевдодифференциальных операторов

Вычисление индекса псевдодифференциальных операторов
над некомпактными многообразиями
Арутюнов Андроник Арамович
3 января 2015 г.
Задача вычисления индекса эллиптических псевдодифференциальных операторов была впервые поставлена И.М. Гельфандом в 1960 году. В 1962 году была опубликована формула АтьиЗингера, позволяющая вычислять индекс эллиптического псевдодифференциального оператора
на компактном многообразии через гомотопические инварианты.
Бесконечно-дифференцируемая функция h(t, v) ∈ C ∞ (Rn × Rn ) лежит в пространстве M (R2n )
если для нее выполняются следующие условия
h(t + e, v) = h(t, v),
h(t, v + e) = e−2πite h(t, v),
(1)
для всякого целочисленного вектора e ∈ Zn . Здесь и далее запись te обозначает скалярное произведение векторов t и e.
Преобразование Λ определим следующим образом
X
Λ : f (x) →
e2πiut f (u + v).
(2)
u∈Zn
Преобразование Λ устанавливает изоморфизм между пространствами S(Rn ) и M (R2n ).
Определим класс символов псевдодифференциальных операторов, действующих в пространстве Шварца. S(Rn ).
Определение 1. Будем говорить, что бесконечно-дифференцируемая функция σ̂(a, b, c, d) ∈ C ∞ (R4n )
m1 ,m2
лежит в классе функций SM
, если она периодична по первым двум переменным
σ̂(a + e1 , b + e2 , c, d) = σ̂(a, b, c, d),
∀e1,2 ∈ Zn ,
(3)
и кроме того для всяких n-мерных мультииндексов α, β существует такая неотрицательная
константа Cα,β , что выполняется неравенство
α β
m −|α|
m −|β|
(1 + |d|) 2
.
(4)
∂c ∂d σ̂(a, b, c, d) ≤ Cα,β (1 + |c|) 1
Пару (m1 , m2 ) мы будем называть обобщенным порядком роста символам σ̂.
Если функция σ̂ не зависит от переменных a и b то мы получим определение биградуированного
псевдодифференциального оператора, близкое к стандартному классу символов.
Редукция, определенная формулой (2), порождает редукцию пространства псевдодифференциальных операторов, действующих в пространстве Шварца S(Rn ) к псевдодифференциальынм
операторам, действующим в пространстве M (R2n ), но не исчерпывает всех действующих в пространстве M (R2n ) псевдодифференциальных операторов. Это позволяет расширить класс изученных в работах [1] и [2] псевдодифференциальных операторов, дополнив их нелокальными псевдодифференциальными операторами (псевдодифференциальными операторами со сдвигами).
m1 ,m2
. Тогда в силу периоПусть функция σ̂ обладает обобщенным порядком (m1 , m2 ), σ̂ ∈ SM
дичности по первым двум группам переменных она разложима в ряд Фурье
X
σ̂(t, v, c, d) =
e2πilt e2πikv σ̂l,k (c, d),
(5)
l,k∈Zn
1
где функции σ̂l,k (c, d) определяются по формуле
ZZ
σ̂l,k (c, d) =
σ̂(a, b, c, d)e2πila e2πikb da db.
(6)
I2n
Формально определим оператор Ã, действующий, вообще говоря, в пространстве обобщенных
m1 ,m2
функций, по символу σ̂ ∈ SM
следующим образом
ξ1
−1
Ãh(t, v) = Fξ−1
+
v,
ξ
Fvy →ξ2 Fty →ξ1 h(ty , vy ).
(7)
F
σ̂
t,
v,
2
ξ1 →t
2 →v
2π
Будем говорить, что Ã обладает обобщенным порядком (m1 , m2 ).
Теорема 1. Оператор Ã, определенный фомулой (7) действует в пространстве M (R2n )
à : M (R2n ) → M (R2n )
и является псевдодифференциальным.
Определим теперь класс нелокальных псевдодифференциальных операторов (ПДО со сдвигом), действующих над пространством Шварца S(Rn ). Обозначим через Tg паралельный перенос
на вектор g ∈ Zn . То есть
Tg : Rn → Rn
(8)
Tg : x 7→ x − g.
Пусть Alk - псевдодифференциальные операторы обобщенного порядка (m1 , m2 ), для всех l, k ∈
Zn . Рассмотрим линейный непрерывный оператор A, действующий в пространстве Шварца A :
S(Rn ) → S(Rn ).
Определение 2. Если оператор A представим в виде
X
A=
Tl e2πikx Al,k ,
(9)
l,k∈Zn
то будем называть такой оператор нелокальными псевдодифференциальным операторам обобщенного порядка (m1 , m2 ).
Пусть оператор Ã псевдодифференциальный оператор обобщенного порядка (m1 , m2 ), действующий в пространстве M (R2n ). Рассмотрим оператор A = Λ−1 ÃΛ, замыкающий коммутативную
диаграмму
S(Rn ) −−−−→ M (R2n )
Λ




Ay
yÃ
(10)
S(Rn ) −−−−→ M (R2n ).
Λ
Теорема 2. Оператор A является нелокальным ПДО обобщенного порядка (m1 , m2 ) и является
нелокальным псевдодифференциальным оператором
X
A=
Tl e2πikx Aσ̂l,k ,
(11)
l,k
где операторы Aσ̂l,k это псевдодифференциальные операторы с символами σ̂l,k (x, ξ).
Теорема 2 позволяет дать определение символа нелокальных ПДО. А именно, зафиксируем
m1 ,m2
функцию σ̂(a, b, c, d) ∈ SM
. Определим нелокальный псевдодифференциальный оператор A
A=
3
4
2
σ̂(Tl , e2πikx , x,
1
∂
).
∂x
(12)
Теорема 2 дает возможность выяснить при каких условия на операторы Ag формальная запись нелокального ПДО из определения 2 корректно определяет нелокальный псевдодифференциальный оператор, то есть при каких условиях оператор A действует в пространстве Шварца
A : S(Rn ) → S(Rn ).
2
Теорема 3. Оператор A из определения 2 корректно определен тогда и только тогда, когда
абсолютно и равномерно сходится ряд
X
ξ1
e2πilt e2πikx σl,k
σ̂(t, v, ξ1 , ξ2 ) :=
+ v, ξ2 ,
(13)
2π
n
l,k∈Z
где σl,k - символ оператора Al,k .
Следующее предложение, позволяет вычислить индекс нелокального ПДО.
Теорема 4. Пусть операторы A и Ã - операторы из теоремы 2. Тогда, если символ оператора
à эллиптический, то операторы A и à фредгольмовы в соответствующих нормах, то есть для
любых вещественных параметров s1 , s2 ∈ R фредгольмовы операторы
A : H s1 ,s2 → H s1 −m1 ,s2 −m2 ,
(14)
s1 ,s2
s1 −m1 ,s2 −m2
à : HM
→ HM
.
(15)
Имеет место формула для индекса
ξ1
2n
index A = index à = ch σ
+ v, ξ2 , [T ] ,
2π
(16)
где через ch[σ] обозначен характер Черна расслоения, задаваемого символом [σ], приведенным к
базе T2n при помощи изоморфизма Тома.
Формула (16) для индекса эллиптического нелокального оператора, действующего в пространстве Шварца S(Rn ) ранее в литературе повидимому не встречалась.
Автор благодарит своего научного руководителя профессора А.С. Мищенко за научное руководство и постоянное внимание к работе.
Список литературы
[1] Арутюнов А.А., Мищенко А.С. Редукция ПДО исчисления на некомпактном многообразии
к компактному многообразию удвоенной размерности. Доклады РАН. 2013. Т.451, N4. С.
369-373.
[2] Арутюнов А.А., Мищенко А.С. Редукция исчисления псевдодифференциальных операторов на некомпактном многообразии к псевдодифференциальным операторам на компактном многообразии удвоенной размерности. Математические заметки. 2013. Том 94, выпуск
4. С. 488-505.
3