ИЕРАРХИЯ ВРЕМЕН ИЕРАРХИЯ ВРЕМЕН В БИОЛОГИЧЕСКИХ

Г.Ю.Ризниченко
ИЕРАРХИЯ ВРЕМЕН
В БИОЛОГИЧЕСКИХ
СИСТЕМАХ
Иерархия времен в
биологических системах
• Метод квазистационарных
концентраций.
• Теорема Тихонова.
• Уравнение Михаэлиса Ментен.
• Конкуренция двух одинаковых видов
видов,
потребляющих один субстрат
Иерархия
фотосинтетических
процессов
Средние, быстрые и медленные
времена
dx
= P ( x, y, z ),
dt
dy
= Q ( x, y, z ),
)
dt
d
dz
= F ( x, y, z ).
dt
Tx << T y << Tz
.
Æ
dx
*
= P ( x, y, z ),
dt
dyy
*
= Q ( x, y, z ).
)
dt
Медленная переменная z - параметр
Редукция системы с разными
характерными временами
P(x, y, z*) =0
дифференциальное
д
фф р ц
уравнение для
быстрой переменной
можно заменить
алгебраическим
Уравнение для
«средней переменной»
Выражение
р
для быстрой
д
р
переменной:
x = x ( y , z∗)
ddy
= Q ( x ( y, z∗), y, z∗).
dt
ТЕОРЕМА ТИХОНОВА
(два уравнения)
Рассмотрим два дифференциальных уравнения с сильно
отличающимися характерными временами
dy
dx
= ϕ ( x, y ),
)
= G ( x, y )
dt
dt
Пусть y - медленная, а x - быстрая переменная.
Δy
<< 1
Δx
Уравнение для быстрой
переменной
Δy
<< 1
Δx
Скорость изменения x значительно
превосходит скорость изменения y,
поэтому правую часть первого уравнения
можно записать в виде:
ϕ(x,y)=AF(x,y),
(x y)=AF(x y) где A>>1.
A>>1
dx
= AF ( x, y )).
d
dt
Введем
обозначение:
ε=1/A,
Полная система с малым
параметром
dx
ε
= F ( x, y ),
dt
dy
= G( x, y ),
dt
εε<<11 - малый параметр
Функции F,G – величины
одного порядка
Если характер решения не изменится при устремлении малого
параметра
ара е ра ε к нулю
ю (условия
( с о
э о о обстоятельства
этого
обс о е с а и составляют
сос а ю
содержание теоремы Тихонова), можно устремить ε к нулю и
получить для «быстрой» переменной x вместо дифференциального
уравнения — алгебраическое.
Вырожденная система
F ( x, y ) = 0,
G(x,y)=0
Область
быстрых
движений
й
dy
= G ( x, y ).
)
dt
Фазовые траектории в любой точке
фазовой плоскости за исключением
ε−окрестности кривой F(x,y)=0 имеют
наклон, определяемый уравнением:
dy
G( x , y )
=ε
≈ ε << 1,
dx
F ( x, y )
Метод квазистационарных
концентраций (КСК)
(Семенова – Боденштейна)
В процессах с участием активных
промежуточных частиц разность скоростей
образования
б
vо и расхода vр этих частиц мала
по сравнению
р
с этими скоростями.
р
Режим называется квазистационарным, а
отвечающие ему концентрации активных
промежуточных
р
у
веществ −
квазистационарными концентрациями.
Дифференциальные
Д
фф
уравнения для
промежуточных
р
у
соединений
dR
dt
i
= v 0i − v ip ,
i = 1 , 2 ....... l
можно заменить алгебраическими:
ν =ν ,
i
0
i
p
i = 1, 2,..., l.
Такое рассмотрение не правомерно для начальных стадий процесса, когда Ri
меняются от нуля до своих квазистационарных значений.
й Этот
Э
период носит
название ПЕРИОДА ИНДУКЦИИ
Квазистационарные значения
быстрых переменных
являются фу
функциями не окончательных
стационарных значений медленных
переменных а лишь их мгновенных
переменных,
значений.
Быстрая переменная
«подчинена» медленной.
ТЕОРЕМА ТИХОНОВА
Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений,
содержащие малые параметры при производных. Мат. сб. т.32,
№3, 1952
Устанавливает условия редукции системы дифференциальных
уравнений с малым параметром (условия замены дифференциальных
уравнений для быстрых переменных - алгебраическими )
Пусть систему N уравнений
П
й можно разбить
б
на две подсистемы – для «быстрых»
б
и
«медленных» переменных
Присоединенная
ε
cистема
p=1 ÷ r
Вырожденная
Система
q=r ÷ N
d p
dx
dt
dxq
dt
= Fp ( x1 , x2 ,..., xr , xr +1 ,..., xN )
(1)
= Fq ( x1 , x2 ,..., xr , xr +1 ,..., xN ) (2)
Формулировка теоремы
Тихонова
Решение полной системы (1-2) стремится к решению вырожденной системы
(6.5) при ε→0, если выполняются следующие условия:
a)
решение полной и присоединенной системы
единственно, а правые части непрерывны;
б) решение x1 = ϕ 1( x1 , x2 ,..., x N ),..., xr = ϕ r ( x1 , x2 ,..., x N )
представляет собой изолированный корень алгебраической
системы
F p ( x1 , x 2 ,..., x r , x r +1 ,..., x N ) = 0, p = 1,...,r
(в окрестности этого корня нет других корней);
Условия Теоремы Тихонова
в) решение x1, x2,,…, xr — устойчивая изолированная особая
точка присоединенной
р
д
системы ((1)) при
р всех значениях
x r +1 , x r + 2 , ..., x N
г) начальные условия
0
0
x1 , x2 , ..., xr
0
попадают в область влияния устойчивой особой точки
присоединенной
й системы (1).
(1)
Пример 1
Фермент-субстратная
р
у р
р ц
реакция
МИХАЭЛИСАЭ С
МЕНТЕН
Схема реакций
k2
E + SÅÆES,, ES Æ P + E
k-1
k1
концентрации реагентов :
Substrat ss=[S]
[S]
Enzime e=[E]
Complex c=[ES]
Product p=[P]
ds
= −k1e ⋅ s + k−1c,
dt
de
= −k1e ⋅ s + (k−1 + k2 )c,
dt
dc
= k1e ⋅ s − (k−1 + k2 )c,
dt
d
dp
= k2 c.
dt
Модель описывает процессы:
Субстрат S расходуется, образуя
комплекс ES (бимолекулярная реакция), и
его концентрация увеличивается при
распаде комплекса;
•
Фермент E расходуется на
образование комплекса ES,
ES его
концентрация увеличивается при распаде
комплекса.
•
К
Комплекс
ES образуется
б
из ф
фермента
E и субстрата S (бимолекулярная реакция)
и распадается на субстрат S и фермент E.
•
Продукт P образуется при распаде
комплекса.
•
ds
= − k1es + k −1c,
dt
de
= − k1es + (k −1 + k 2 )c,
dt
dc
= k1es − (k −1 + k 2 )c,
d
dt
dp
= k 2 c.
dt
начальные условия: s0(0)=s0, e(0)=e0, c(0)=0, p(0)=0.
Уравнения для продукта,
субстрата и комплекса
t
Количество продукта
продукта,
произведенное за время t:
p(t ) = k 2 ∫ c(t ' )dt
d '.
0
Общее количество фермента в свободном и связанном
состоянии постоянно:
е(t) + с(t) = e0.
ds
= −k1 e0 s + (k1 s + k −1 )c,
dt
dc
= k1 e0 s − (k1 s + k −1 + k 2 )c
dt
начальные
условия:
s0(0)=s0 , c(0)=0.
Безразмерные уравнения
Безразмерные переменные и параметры:
s(t )
c(t )
τ = k1e0t, x(τ ) =
, y(τ ) =
,
s0
e0
e0
k2
k −1 + k 2
λ=
, K=
, ε= .
k1 s0
k1 s0
s0
(К − λ)>0
dx
dy
= − x + ( x + K − λ) y , ε
= x − ( x + K ) y,
Безразмерные dτ
dτ
уравнения
x(0) = 1, y (0) = 0.
Квазистационарная концентрация
фермент-субстратного
ф
р
у р
комплекса
dy
ε
= x − (x + K ) y
dτ
x∗
y∗ =
x ∗ +K
dx
d
= − x + ( x + K − λ) y,
dτ
Æ
x
, x ( 0) = 1.
y=
x+K
dx
x
,
= −x + (x + K − λ )
dτ
x+K
или
λ x
dx
=−
,
dτ
x+K
Уравнение для медленной
x ( 0 ) = 1.
переменной –
концентрации субстрата
Классическая формула
М
Михаэлиса
- Ментен
М
для скорости
изменения концентрации субстрата
в ферментативной реакции:
μ=
μ s
0
Km + s
Закон
Михаэлиса-Ментен.
Зависимость
скорости
реакции
как функция
начальной
концентрации
субстрата S.
μ0 – максимальная скорость,
Km- константа Михаэлиса.
формула верно отражает изменение концентрации субстрата, но
ничего не может сказать об изменении концентраций свободного
фермента и фермент-субстратного комплекса, которые на малых
временах ведут себя немонотонно
dy
ε
= x − (x + K ) y
dτ
субстрат
комплекс
ε
dy
= x − (x + K ) y
dτ
ddx
= − x + ( x + K − λ) y,
dτ
а – с учетом области
переходных процессов на
малых временах (полная
система)
б – без учета области
переходных процессов
(редуцированная система )
Значения
параметров:
K = 1.01,
1 01 λ = 1,
1
малый параметр
ε = 0.1.
Пример 2
Конкуренция
ур ц д
двух
у
одинаковых
д
видов,
д ,
питающихся одним
субстратом
Конкуренция двух одинаковых видов,
питающихся одним субстратом (субстрат не
ограничен))
dx
dy
= ax − γ x y ;
= ay − γ x y .
dt
dt
Пример: конкуренция двух одинаковых
видов, питающихся одним субстратом
(субстрат ограничен)
dX
S
= a0
X − β X − γ XY ,
dt
KS + S
a0S
a=
kS + S
Зависимость
скорости роста от
концентрации
субстрата
dY
S
= a0
−Y − β Y − γ X Y .
dt
KS + S
dS
S
= −α a0
( X + Y ) +ν ;
d
dt
KS + S
Быстрая
переменная
Система в безразмерных
переменных
γ X
γY
t ′ = β t; x =
; y=
;
β
β
γ S
γν
z=
; ν′ = 2
β
β
a0 z
γ Ks
f (z) =
; Kz =
;
Kz + z
β
f ( z) =
ν
α ( x + y)
=
ν0
x+ y
.
dx
= f ( z ) x − x − xy,
dt
dy
= f ( z ) y − y − xy,
dt
dz
= −α f ( z )( x + y ) +ν .
dt
z– быстрая переменная
Z-быстрая переменная
Фазовый портрет системы,
описывающей
й отбор
б одного из
двух равноправных видов когда
субстрат
б
поступает в систему с
постоянной скоростью.
а (начало
(
координат)) –
неустойчивый узел, b – седло,
c, d –устойчивые
й
узлы.
ν
dx
= x[ 0 − (1 + y )],
dt
x+ y
ν0
dy
− (1 + x)]
= y[
dt
x+ y