Энергия электромагнитного mg~

Энергия электромагнитного
взаимодействия
неподвижных зарядов
§ 62.
Потенциал электростатического поля
Аналогия движения частиц в электр остатическом и гравитационном
полях. Физические величины, введённые в механике (перемещение, сила,
работа силы, потенциальная энергия), используются при описании любого
фундаментального взаимодействия, включ ая электромагнитное.
Работа, совершаемая силой тяжести в однородном
онном _поле Земли (рис.
вдоль
g,
184,
(g = const) гравитаци­
а) при перемещении частицы на расстояние
h
равна
(136)
Ag = mgh.
При перемещении положительного .заряда
нии
напряжённости
(рис .
184,
однородного
(Е
+q
= const)
на расстояние
h
вдоль ли ­
электростатического
поля
б) (созданного, например, заряженной плоскостью) совершается
работа
(1 37)
q
+
184
Е
g
Апалог ия движепия
частиц:
а) в гравитационном
поле ;
б) в
однородноJ\t
эле к трос тати чес ком
поле
mg~
+
1~
Эпергия элек;тром.агпитпого взаи.м.одействия зарядов
239
В зависимости от рассматриваемого вида взаимо­
действия в выражении работы фигурирует либо
гравитационная сила тg, либо кулоновекая qE.
Движение заряженной частицы массой т в одно­
родном
электростатическом
поле
в
отсутствие
гравитации аналогично её движению в однород­
ном гравитационном поле, если
(138)
qE = тg.
При напряжённости электростатического поля
Е = тgjq ускорения частицы, движущейся в гра­
витационном
и
электростатическом
полях,
совпа­
дают.
Силы гравитационного и электростатического
взаимодействия одинаково зависят от расстояния
между телами (-1 j r2) и направлены по прямой,
соединяющей тела.
Тело массой т притягивается к Земле гравита­
ционной силой
185
Апалог ия электриче­
ского притяжепия
m.l\1@
F g= G-;:г,
а отрицательный заряд
жительному заряду
-q
притягивается к поло­
разн.оим.ёппых заря­
дов и гравитацион. ­
пого притяжепия
Q силой Кулона (рис. 185)
F
-q
- _1_ Qq
4ле
0 г2 •
Поэтому, так же как и в случае гравитационного поля, работа
сил
электростатического поля при перем.ещен.ии заряжен.н.ой части­
цы из одн.ой точк;и в другую пе зависит от формы траек;тории, а
зависит лишь от н.ачалъпого и к;опечн.ого положен.ия частицы. Это
означает, что электростатическое поле потенциально.
Потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов. Потен­
циальную энергию взаимодействия точечных зарядов можно найти, ис­
пользуя аналогию между электромагнитным и гравитационным взаимо ­
действиями.
Потенциальная энергия гравитационного притяжения зависит от рас­
стояния между телом и Землей по закону (см. формулу (67))
EP = W=-Gm~·
В этом разделе мы будем обозначать потенциальную энергию буквой
(чтобы не путать с обозначением напряжённости поля Е) .
W
Электродинамика
240
Заменив GтМ е на
энергию заряда
Qq
4 ЛЕо
в этом выражении, получим потенциальную
-q в поле заряда +Q:
w - q = - 4nE
- 1-
(139)
Qq
r ·
0
Знак <<минус>> в выражении для потенциальной энергии означает, что
между зарядами действует сила притяжения.
Потенциальная энергия положительного заряда
расстоянии
r от
неподвижного заряда
w +q =
+q,
находящегося на
+Q, равна
_1_~
(140)
41te0 r ·
Знак ~ плюс » в выражении для потенциальной энергии означает, что
между зарядами действует сила отталкивания.
Нуль отсчёта потенциальной энергии в
(139), (140)
выбран на бесконеч­
но большом расстоянии , где заряды практически не взаимодействуют друг
с другом.
Потенциал- энергетическая характеристика поля. Подобно напря­
жённости, характеризующей силу, действующую на единичный положи­
тельный
заряд,
вводится
величина,
характе ризующая
энергию единичного положительного заряда,
-
потенциальную
потенциал .
q 0 , находящегося в электроста­
пропорциональна произведению значений этих
Потенциальная энергия пробного заряда
тическом поле заряда
Q,
зарядов . Очевидно, что энергетическая характеристика поля, созданного
зарядом
Q,
не должна зависеть от значения пробного заряда, внесённого в
это поле . Из формул
(139), (140)
видно, что от значения пробного заряда не
зависит отношение потенциальной энергии к заряду
q0 •
Потенциал электростатического поля в данной точке- скалярная фи­
зическая величина, равная отношению потенциальной энергии~ ко­
торой обладает пробвый положительный заряд, помещённый в дан­
ную точку поля, к величине этого заряда:
wqo
<р =
-
qo
.
(141)
241
Эн.ергия электромагн.итн.ого взаимодействия зарядов
Пробвый заряд должен быть достаточно малым, чтобы не перераспреде­
лять заряды , создающие поле.
Единицей потенциала является вольт (В):
1 В = 1 Дж/Кл.
Вольт равен. потенциалу точки поля, в которой заряд
З ная потенциал,
энергию заряда
1 Дж.
с помощью формулы (150) легко
1 Кл
об­
ладает потен.циальн.ой эн.ергией
найти потенциальную
q:
Wq = qc:p.
Выражение для потенциала электростатического поля, созданного точеч­
ным зарядом
+Q
(см .
(137), (138)),
с:р
имеет вид
Q
(142)
= 4ne0 r ·
(Потенциал электростатического поля вне заряженной сферы определяется
такой же формулой.)
Эквипотенциальные поверхности. На одинаковом расстоянии r от за­
ряда
Q,
т. е. на поверхности сферы радиусом
Эквипотенциальная поверхность
-
r,
потенциал одинаков .
поверхность, во всех точках ко­
торой потенциал имеет одно и то же значение.
Для точечного заряда эквипотенциальными поверхностями являются сфе­
ры, в центре которых расположен заряд (рис.
186).
При удален.ии от положительн.ого заряда
+Q
потенциал умень­
шается, а при удалении от отрицательн.ого заряда
-Q
по тен.циал
возрастает.
а)
~ 186
Эн:випотен.циальн.ые
поверхн.ости и ли­
н.ии н.апряжён.н.ости
для положительн.ого
и отрицательн.ого
точ_ечн.ых зарядов
242
Электродипа.мика
а)
б)
Е =
100 Вjм
+250В ~т 11 i Т
+200В ~ --­
+150В \\~~
+50В
- - _,\.__!
+ОВ
-' "-..__
Е
.& 187
Эквипотепциальпые поверх~юсти:
а) липии папряжёппости и эtевипоте~tциальпые поверхпасти паралл ель­
пых пластип;
6)
эtевипотепциальные пов ерхности и линии напряжённости вotepyz
человеtеа, стоящего на Земле
Линии напряжёппости элек тростатического тюля перпепдику­
лярны
эквипотенциальным.
поверхностям
и
направлены
от
по­
верхности с 66льши.м потенциалом. к поверхности с .меньшим..
На рисунке
187 показавы
эквипотенциальные поверхности и линии на­
пряжённости параллельных, разноимённо заряженных пластин и электри­
ческого поля вокруг человека, стоящего на Земле.
ВОПРОСЫ
1.
Почему движение заряда в однородном электростатическом поле аналогично дви­
жению тела в гравитационном поле?
2.
Зависит ли работа сил электростатического поля от формы траектории заряженной
частицы?
З. Почему электростатическое поле потенциально?
4.
5.
Сформулируйте определение потенциала . В каких единицах он измеряется ?
Какая поверх ностность называется экви потенциальной?
б. Как линии напряжённости н аправле ны относительно эквипотенциальных поверхно ­
стей?
ЗАДАЧИ
1.
Найди те потенциальн ую энергию электрона, вращающегося в атоме водорода во­
круг протона по круговой орбите радиусом
5,3 • 1о- 11 м.
2. На каком расстоянии от себя заряд 1 мкКл создаёт потенциал 900 В . За нуль отсчёта
потенциала примитепотенциал точки , бесконечно удалённой от заряда.
З. При какой напряжённости однородного электрического поля электрон движется с
ускорением
g = 9,8 м/с 2?
243
Энергия электромагнитного взаимодействия зарядов
§ 63.
Разность потенциалов
Работа сил электростатического поля. Электростатическое поле потен­
циал ьно, поэтому работа сил электростатического поля при перемещении
заряженной частицы из одной точки в другую не зависит от формы тра­
ектории, а зависит лишь от начального и конечного положения частицы.
Работа электростатической силы (как и любой потенциальной силы) равна
разности потенциальной энергии заряженной частицы в её начальном и
конечном положениях (см. формулу
(65)):
A = W1- W
2•
Подставляя в формулу работы выражение для потенциальной энергии,
получаем
(143)
где <р 1 , <р2 -
потенциал в точках
1
и
2.
Разность потенциалов. Работа силы электростатического поля
равна произведению модуля перемещаемого заряда и разности по­
те нциалов И =
<р 1 - <р 2 в начальной и конечной точках.
Разность потенциалов называют также напряжением и обозначают И. Тогда работа
1
2
Aq = qИ.
Следовательно,
1В -
разность потенциалов
между двумя точками электростатического
поля, при пере.мещении между которыми за­
ряда
1 Кл
поле совершает работу
1 Дж.
Работа
по перемещению единичного положительного заря ­
да между двумя точками численно равна разности
потенциалов между этими точками .
Разность потенциалов (напряжение) между
d
двумя точками численно равна работе сил
электростатического
поля
при
перемеще ­
нии единичного положительного заряда из
начальной точки в конечную.
С помощью последних выражений можно най­
ти разность потенциалов
между двумя точками,
188
Разность потенциа ­
лов в однородном по­
ле (Е
И
=
= const)
<р 2 = Ed
<р 1 -
244
Эле-н:тродин.а~tи-н:а
находящимися на расстоянии
однородном (Е
= const)
d
друг от друга в
электростатическом поле
вдоль линии наnряжённости (рис .
188):
A+l = F +ld,
где
F +l
-
сила, действующая на единичный поло­
жительный заряд, численно равная Е. Следовательно,
(144)
U=Ed .
В
качестве
единицы
следует из формулы
наnряжённости ,
(144),
как
можно использовать
вольт н.а метр (В/м).
Разность потенциалов между точками
1
и
2
189), находящимися на расстоянии r 1 и r 2 от
точечного заряда +Q, равна
(рис.
... 189
Потен.циальн.ость
И = 4 ~EJ~ - r~ ).
электростатиче­
ских сил. Разн.ость
потен.циалов н.е зави­
сит от фор;мы тра­
ектории заряда меж­
ду точками 1 и 2
При получении этой разности потенциалов мы
воспользовались формулой для
зданного точечным зарядом
потенциала, со­
+Q.
Значительная разность потенциалов
(- 103 В)
используется для формирования электронного пучка в электронно-лучевой
трубке (рис .
190, а).
190, б показана параболическая траектория движения
На рисунке
элек­
трона между вертикально отклоняющими пластинами и практически прямоу
Горизоптальн.о
Верmи~Сальн.о
оmк.Jtон.яющие
om1C.It0nяющue
n.Jtacmuн.ы ----~
х
Нить н.a1Ca.Jta
Верmu~Сальн.о
Ус1Соряющий вход
omiC.Jtonяющue
Фо~Сусирующий вход
... 190
n.Jtacmunы
а)
Цвижен.ие электрон.ов в электрон.н.о -лучевой. трубке
о)
245
Эн.ергия эле"тромагн.итн.ого взаи.модействия зарядов
линейная траектория перед попаданием электрона на флуоресцирующий
экран электронно-лучевой трубки. Красный, зелёный и синий люминофо­
ры покрытия экрана обеспечивают цветное изображение.
ВОПРОСЫ
1.
Почему работа сил электростатического поля при перемещении заряженной части­
цы из одной точки в другую не зависит от формы траектории , а зависит лишь от на­
чального и конечного положения частицы?
2.
Как работа , совершаемая силами электростатического поля при перемещении за­
ряда из точки
3.
4.
1 в точку 2,
связана с разностью потенциалов между этими точками?
Сформулируйте определение разности потенциалов.
Как выглядят эквипотенциальные поверхности в однородном электростатическом
поле?
5.
Почему между вертикально отклоняющими пластинами электронно-лучевой трубки
электрон движется по параболической траектории?
ЗАДАЧИ
1.
Найдите напряжённость однородного поля между точками
расстояние между ними
2.
а разность потенциалов
1и 2
- 220 В.
{см . рис.
188),
если
Какую скорость приобретёт изначально неподвижный электрон , пройдя разность
потенциалов
3.
2 см,
1 В?
Электрон движется по направлению линий напряжённости однородного электро­
статического поля напряжённостью
120 В/м .
Какое расстояние он проходит до пол­
ной остановки, если его начальная скорость
1 Мм /с?
Сколько времени электрон
будет двигаться до остановки?
§ 64.
Электроёмкость уединённого проводника
Гидростатическая аналогия. Рассмотрим более детально распределение
зарядов по поверхностям металлических проводников. Для простоты в ка­
честве
проводников
рассмотрим две заряженные металлические
сферы
разных радиусов. При соединении их с проводящей перемычкой электри­
ческий заряд между сферами (рис.
191)
перераспределяется подобно мас­
сам жидкости в сообщающихся сосудах. В этом смысле масса жидкости
в гидростатике- аналог электрического заряда в электростатике.
Закон сохранения заряда аналогичен закону сохранения массы.
При соединении двух сообщающихся сосудов, площадь поперечного се­
чения которых
sl и s2(рис. 192), жидкость перетекает из сосуда 2
(с боль-
246
Электродинамика
шей высотой столба) в сосуд
Равновесие уста­
1.
новится, когда уровни жидкости в сосудах станут
одинаковыми (при этом давление жидкости явля­
ется аналогом потенциала).
Масса жидкости в
каждом сосуде различна и пропорциональна пло­
щади поперечного сечения сосуда или его объёму
r
(ёмкости). Ёмкость сосуда не зависит от массы
жидкости, налитой в него. Суммарная масса жид­
кости в сообщающихся сосудах сохраняется (по ­
191
Заряд па сферах
перераспределяется
пропорциопалъпо
добно суммарному заряду на сферах, соединяе­
мых металлической перемычкой).
Электроёмкость.
Определим
электроёмкость
произвольнаго уединённого проводника, на элек­
радиусу сфер
тростатическое
поле
которого
не
влияют другие
заряженные тела.
Электрическая
ка
-
ёмкость
(электроёмкость)
уединёиного
проводни­
физическая величина, равная отношению заряда проводника
к потенциалу этого проводника :
с= q .
(145)
ql
Единицей электроёмкости является фарад (Ф):
1 Ф = 1 Кл/В.
Найдем электроёмкость уединённой сферы радиусом
поверхности (см .
(142))
<р
192 ....
Q
= 47te0 R'
а)
6)
Гидростатическая
ан.алогия распределе­
пия электрических
зарядов н.а соедипён.­
пых .металлических
сферах. М асса жид­
кости в сообщающих­
ся сосудах пропорцио­
н.алън.а их ё.мкости
-
R.
Потенциал на её
247
Эперzия эл.ек:тро.маzпитпоzо взаи.м.одействия зарядов
поэтому
Следовательно, электроёмкость сферы зависит от её радиуса и не зави­
сит от заряда на её поверхности.
Электроёмкость уединённого проводника в вакууме является чисто гео­
метрической характеристикой, та:к же :ка:к ёмкость сосуда.
Эле:ктроём:кость
1Ф
очень большая. Такой эле:ктроём:костью обладает,
например, сфера радиусом
1
R = - -
47tE0
Этот радиус в
13 раз
= 9 ·109 м
= 9 ·106 км.
превышает радиус Солнца.
На практи:ке используют дольные единицы фарада.
Электроёмкость земного шара достаточно велика и составляет О, 7 мФ.
Поэтому при соединении заряженных тел проводником с Землёй, т. е. при
заземлении, практически весь заряд тела переходит на Землю. Чем больше
электроёмкость проводника, тем больший максимальный заряд может на­
ходиться на проводни:ке.
ВОПРОСЫ
1.
Какая гидростатическая аналогия соответствует nерерасnределению зарядов на
двух сферах, соединённых nеремычкой?
2.
Сформулируйте
оnределение
электрической
ёмкости
уединённого
nроводника.
Заnишите единицу электроёмкости.
3.
4.
5.
Почему на nрактике исnользуют дольные единицы электроёмкости?
§
65.
Почему электроёмкость сферы не зави с ит от заряда на её nоверхности?
Почему nри заземлении заряженное тело разряжается?
Электроёмкостъ конденсатора
Способ увеличения электроёмкости проводника. Эле:ктроём:кость уеди­
нённого проводника определяется его геометрическими размерами. Одна­
ко существуют способы, позволяющие увеличить максимальный заряд, :ко­
торый может находиться на проводнике определённого размера, и тем са­
мым увеличить его эле:ктроём:кость.
Присоединим
положительно
заряженную пластину :к
электроскопу.
При Э'l'ОМ положительный заряд распределится между ними приблизитель­
но поровну (рис.
193,
а).
Придвинем теперь :к заряженной пластине нейтральную заземлённую
пластину (рис .
193, 6).
На ближайшей к положительной пластине стороне
248
Электродин.а.мика
193
Ilерераспределен.ие
заряда в проводн.иках.
Система двух плас­
тин. обладает боль·
шей электроё.м.ко­
стью, че.м. одн.а п.лас ­
т и н.а
в результате действия сил электростатического притяжения начинают скап­
ливаться отрицательные заряды. В то же время с отдалённой стороны
пластины положительные заряды стекают на Землю, имеющую значитель­
ную электрическую ёмкость.
Отрицательные заряды на заземлённой пластине nритягив ают доnолни ­
тельные положительные заряды к положительной пластине от электроско­
па. Таким образом,
введение доnолнительного проводника (заземлённ ой
пластины) существенно нейтрализует положительный заряд и ум еньшает
nотенциал заряженной пластины, т. е. увеличивает её электроёмкость.
Конденсатор - система двух проводников, при сообщении которым
равных по величине зарядов
противоположного знака электричес­
кое поле оказывается локализованным вблизи этих проводников
в пространстве между ними.
В конденсаторе накапливается электрический заряд и , соответстве нно ,
энергия электростатического поля. Способность конденсатора к накопле­
нию заряда характеризуется его электрической ё.мкос тью .
Электрическая ёмкостъ конденсатора
-
физическая величина, рав­
ная отношению заряда положительно заряженного проводника к раз­
ности потеJЩиалов между ним и отрицательно заряженным провод­
ником:
С = ~·
(146)
Электроёмкость nлоского конденсатора. Найдём электроёмкость пло­
ского конденсатора (система двух плоскопараллельных пластин площадью
S,
находящихся на расстоянии
d
друг от друга).
249
Э пергия элек тромагпитпого взаимодействия зарядов
и)
-+
q
Е
1
'
''
г
о
-о
.Е
'
/
q
/
2
194
Линии н.апряжёппости бесконечной заряже нпой плос кости:
а) припцип суп ерпоз иции;
6)
положител ьно заряженпая плоскос ть;
в) отрицательпо заряж е ппая плоскос ть
Будем считать, что пространство между пластинами заполнено возду­
хом, для которого Е <=
1.
Вычисление электроёмкости сводится к расчёту разности потенциалов
И между пластинами.
Определим направление напряжённости электростатического поля в не­
посредственной близости от заряженной плоскости, т. е. на расстоянии
значительно меньшем, чем линейный размер плоскости
расстоянии в точке Р (рис.
194,
l (r << l).
r,
На этом
а) плоскость можно считать бесконечной .
Так, бесконечным кажется невысокий дом , если смотреть на него с очень
близкого расстояния .
Предполож им, что положительный заряд
плоскости площадью
S.
Q
равномерно распределён п о
Характеристикой его распределения по плоскости
является поверхпос тпая плотность заряда.
Поверхностная плотность заряда
-
физическая величина, равная
отношению заряда, равномерно распределённого по поверхности
площадью
S,
к величине площади :
cr =
~.
Единица поверхностной плотности заряда
(14 7)
-
кулоп па
квадратпый
метр (Клjм 2 ).
Поверхностная плотность заряда численно равна заряду, находящемуел
на
1 м2
поверхности.
250
Электродипам.ика
Разобьём мысленно nоложительно заряженную nлоскость на nары оди­
наковых зарядов
q,
симметричных относительно точки О. В произвольной
точке Р каждый заряд создаёт наnряжённость Е 1 и Ё 2 (см. рис. 194, а).
Результирующая наnряжённость nоля в точкеРот этой nары зарядов на­
правлена nерnендикулярно плоскости от неё. Аналогичным будет наnрав­
ление наnряжённости nоля, созданного другими симметричными nарами
зарядов в точке Р.
Так как плоскость бесконечна, то можно утверждать, что наnряжённость
поля в любой точке направлена аналогично.
Липии
папряжённости
положительно
заряженпой
бескопеч.ной
плоскости направлены от пеё перпендикулярно её поверхности
(рис.
194, б).
Линии папряжённости отрицательно заряжепной бескопеч.пой
плоскости 1-tаправлены к ней перпендикулярно её поверхности
194, в), так как единичный положительный заряд nритягивается к
(рис.
плоскости .
Линии наnряжённости электростатического nоля параллельны лишь в слу­
чае однородного nоля. Это означает, что наnряжённость поля, созданного бес­
конечной заряженной плоскостью, постоянна (одинакова на любом расстоя­
нии от плоскости) и зависит лишь от nоверхност-
ной nлотности заряда
d
Е=.!!__
2Е •
0
!r
~
[_Е_
!r
~.
~--.::
f+.Е+
cr:
(148)
Приведённое выражение справедливо лишь на
i
ft-
малых (по сравнению с размерами плоскости) рас­
стояниях от плоскости.
Напряжённость однородного поля внутри кон­
денсатора (рис.
195)
складывается (по принципу
суnерпозиции) из напряжённостей поля,
создан­
ных nоложительной Е+ и отрицательной Е_ плac-
_+..Q_ _ _u
____-_Q_,
тинами. Согласно формуле
А 195
(148)
(J
Е+= Е_= 2Ео.
(149)
Плоский конденса ­
тор. Кон.ден.сатор
сосредоточивает
электростатиче­
ское поле в про­
Вне nластин nоле отсутствует, так как напря­
жённости Е+ и Е_ nолей комnенсируют друг друга.
Таким
образом,
реально
электростатич.еское
страпстве .между
поле конденсатора сосредоточ.ено м.ежду его
пластипа~tи
пластипам.и.
251
Энергия электромагнитного взаимодействия зарядов
Зная результирующую напряжённость поля в конденсаторе
Е=Е + + Е - = Ео'
~
(150)
найдём разность потенциалов между пластинами (см. формулу
cr
U=Ed = -d
ео
(144)):
(151)
'
где cr = Q/ S.
Подставляя И в формулу (146), находим электроё.м.кость плоского
воздушного конденсатора:
(152)
Электроём.кость
плоского
воздушного
конденсатора
зависит
только от его геометрических характеристик: площади пластин
и расстояния между ними.
Зависимость электроёмкости конденсатора от расстояния между его
пластинами используется в схемах кодирования клавиатуры переопально­
го компьютера. Под каждой клавишей находится конденсатор, электроём­
кость которого изменяется при нажатии на клавишу (рис.
196).
Микросхема, подключённая к каждой клавише, при изменении электро­
ёмкости выдаёт кодированный сигнал, соответствующий данной букве.
Напряжённость поля в заряженном конденсаторе, отключённом от источ­
ника тока, и разность потенциалов между пластинами уменьшаются в е раз
по сравнению с их значениями в вакууме. Если между пластинами конден­
сатора поместить диэлектрик с диэлектрической проницаемостью е, то элек­
троёмкость конденсатора с диэлектриком возрастает в е раз по сравнению
с электроёмкостью воздушного конденсатора:
ee0 S
С = (Г·
(153)
196
Припцип работы кла ­
виатуры компьютера.
При нажатии па кла­
вишу изменяется элек­
mроёмкосmь под клави ­
шей и создаётся опреде­
лёппый электрический
сигпал
252
.
Эле к тродинам.ика
----------------------------------------
6)
197
Распределение зарядов в систе.ме электроскоп
-
пластины:
а) до введения диэлектрика;
б) после введения диэлектрика
В результате введения диэлектрика в пространство между пластинами
конденсатора связанные заряды диэлектрика уменьшают разность потен­
циалов на обкладках конденсатора и таким образом увеличивают его элек­
троёмкость (рис.
197).
Электроёмкость конденсатора зависит от площади пластин, расстояния
между ними, а также от относительной диэлектрической проницаемости
вещества, заполняющего пространство между пластинами, и не зависит от
заряда на пластинах и разности потенциалов, приложенной к ним.
Электроёмкость конденсатора не зависит от внешнего электростатиче­
ского поля, не nроникающего внутрь конденсатора .
Обычный конденсатор устроен так: две длинные ленты металлической
фольги, разделённые изолирующими лентами из тонкой nластмассы, скру­
чены в тугую спираль и герметично запаяны.
ВОПРОСЫ
1.
Какая система проводников называется конденсатором? Сформулируй те определе­
ние электроёмкости конденсатора .
2.
Как зависит электроёмкость плоского конденсатора от его геометрических разме­
ров?
З . П очему введение диэлектрика увеличивает электроёмкость ко нденсатора?
4.
Во сколько раз увеличивается электроёмкость конденсатора при в ведении диэлект­
рика?
5.
Почему электроёмкость конденсатора не зависит от внешних электростатических
полей?
253
Эн.ергия электромагн.итн.ого взаи.~~tодействия зарядов
------------------
ЗАДАЧИ
1.
Заряд
Q
= +6 • 1о-
4
Кл на пластинах плоского конденсатора создаёт разность потен­
циалов между пластинами и=
2.
200
В . Определите электроёмкость конденсатора.
Найдите толщину слоя диэлектрика (Е = 4), занимающего весь объём между
пластинами плоского конденсатора ёмкостью С= 1 пФ. Площадь каждой пластины
S
= 1 см
2
.
З . Какую площадь должны иметь пластины плоского воздушного конденсатора, для того
чтобы
d = 0,5
его
электроёмкость
была
равна
1 пФ?
Расстояние
между
пластинами
мм. Как изменится результат, если пространство между пластинами заполнить
слюдой с относительной диэлектрической проницаемостью Е
§ 66. Энергия
= 7?
электростатического поля
Потенциальная энергия конденсатора. Работа, совершаемая при разделе­
нии положительных и отрицательных зарядов, сообщаемых пластинам
конденсатора, равна энергии, приобретаемой конденсатором. (Аналогично
работа по растяжению упругой пруживы переходит в накопленную ею по­
тенциальную энергию силы уnругости . ) Лампочка карманного фонаря,
подключённая к пластинам заряженного конденсатора, вспыхивает. Этим
подтверждается наличие энергии конденсатора.
Положительная и отрицательная пластины площадью
между которыми
d,
потенциальной энергией (рис.
198).
Рассчитаем энергию электростатического по­
ля, накопленную конденсатором, если заряды на
его пластинах
+Q
и
S,
расстояние
притягиваются одна к другой, обладая определённой
- Q,
..
d/2
а разность потенциалов
-·..
d/ 2
.. 1
между ними И.
Энергия электростатического поля, запасённая
конденсатором,
подобна
энергии,
накопленной
сжатой пружиной.
Силы кулонавекого притяжения
F + и F _, дей-
ствующие на каждую пластину, определяются на­
пряжённостью поля, созданной противоположной
пластиной: Е+ = Е =~Е=~~. Следовательно,
(154)
+Q
...
и
198
Потен.циальн.ая
Под действием сил кулонавекого притяжения
пластины, предоставленные самим себе, схлоп-
эпергия пластин.
к.он.депсатора
-Q
254
Электродин.амика
нутся. Считая их конечную энергию равной
d
1
1
/
'/
е
1
#'
ну­
лю, получаем, что работа сил электростатическо­
го поля равна начальной потенциальной энергии
пластин :
s
/
W/
1 :мЗ
J
/v - sd
\L_
4Q
и
s
A = W.
Найдём работу по перемещению каждой плас­
i
тины на расстояние
А+
d/2 в
d
= F + • 2,
центр конденсатора:
А_
d
= F_• 2.
Полная работа и потенциальная энергия сил
электростатического поля равна
199
QU
06-ъёмн.ая пл.оmн.осmь
А=А + + А_ =т = W.
эн.ерzии эл.екmросmа·
muчecкozo пол.я
Зная электроёмкость (см. формулу
(146)),
лучаем энергию электростатического поля,
по­
запа­
сённую в конденсаторе :
CU2
Q2
W= -2- = 2с·
(155)
Потенциальная энергия электростатического поля плоского конденса­
тора с учётом выражения
(162) имеет
W =
вид
ee 0 SU 2
(156)
2d
Концентрация
энергии электростатического поля в пространстве характеризуется оtJ-ъём­
н.ой плотностью энер г ии поля.
Объёмиая плотиость энергии электростатического поля
-
физиче­
ская величина, равная отношению энергии электростатического по­
ля, сосредоточенного в объёме, к этому объёму:
w =
w
(157)
v·
Единица объёмной плотности - джоуль н.а кубический метр (Джjм 3 ) .
Джоуль н.а кубич еский метр равен. обоёмн.ой плотности энер­
гии одн.ородн.ого электростатического поля, в
жится э нергия
1 Дж .
1
м 3 которого содер­
255
Эпергия элех:тро.м.агнитного взаи.llfодействия зарядов
а)
~ 200
Электрическая лампа­
вспышка:
Копденсатор
Источиик тока
а) общий вид;
~ принципиальная
электрическая схема
Используя выражения для объёма конденсатора
альной энергии
W (156),
V
(рис.
199) и потенци­
находим объёмную плотность энергии:
ЕЕ 0 Е 2
w = -2-,
где Е =
и
d -
напряжённостъ поля в конденсаторе.
Объёмная плотность энергии электростатического поля пропорциональ­
на квадрату напряжённости поля.
Энергия электростатического поля, запасённая заряженным конденса­
тором, вызывает электрический разряд в лампе-всnышке, сопровождаю­
щийся мощным излучением (рис.
200).
При значительной плотности энергии электростатического поля возни­
кает атмосферный разряд (рис.
201).
ВОПРОСЫ
1.
2.
Почему схлопываются пластины плос кого конденсатора , предоставленные сами себе?
От каких величин зависит энергия электростатического поля, запасённая конденса­
тором?
201 ~
Атмосферные разря­
ды, возникающие при
объёмной плотн.ости
энергии электроста­
тического поля
40-50 Дж/мз
256
Электродинамика
З . Сформулируйте определение обьёмной плотности энергии электростатического
поля.
4.
5.
Как обьёмная плотность энергии зависит от напряжённости электростатического поля?
Приведите примеры использования энергии электростатического поля.
ЗАДАЧИ
1.
Рассчитайте энергию электростатического поля конденсатора ёмкостью
заряженного до разности потенциалов
2.
Энергия электростатического поля плоского конденсатора
пластинами
З. Заряд
0,5 мм.
0,1
мкФ ,
200 В.
2 мДж , расстояние между
Найдите силы притяжения пластин друг к другу.
распределён по пластинам плоского воздушного конденсатора, электро­
+Q
ёмкость которого С . Какая работа совершается внешними силами при увеличении
расстояния между пластинами в
3 раза?
ПUif\fRP PRПH·Itыq ~АТJ
чы
Две проводящие сферы радиусов
расстоянии r
(r
~
{R1 , R 2 })
R 1 и R 2 , находящиеся на значительном
друг от друга, имели заряды Q 1 и Q 2 (рис. 202).
q 1 и q 2 между сферами после соединения
сфер тонким проводником-перемычкой?
Как перераспределятся заряды
Решение .
Равновесие зарядов установится тогда, когда сила, действующая на
заряды в перемычке, будет равна нулю, соответственно будет равна нулю
и
напряжённость
поля
в
ней.
При
этом
разность
потенциалов
меж­
=
<р 2 ,
сфер после
их
ду сферами равна нулю, а потенциалы сфер равны друг другу: <р 1
т. е.
Суммарный
соединения
заряд
по
+ q 2)
(q 1
закону
сохранения
заряда
остаётся тем же, что и до их соединения:
r
' 4
...
202
Заряд н.а сферах
Ql + Q2 = q1
Чтобы найти заряды
из первого уравнения:
q1
и
+ q2 .
q2,
R2
q 2 = q 1R •
1
в закон сохранения заряда:
перераспределяется
пропорцион.альн.о
радиусу сфер
выразим заряд
Ql + Q 2 = ql(l +
~:).
Подставим
q2
q2
257
Эпергия э.лектро.м.агпитпого взаимодействия зарядов
Тогда
Видно,
что
заряд
на
сферах
перераспределяется
пропорционально
радиусу сфер.
ОСНОВНЫЕ
8
ПОЛОЖЕНИЯ
Электростатическое поле потен­
8
циально.
ность
8 Работа сил электростатического
-
ках которой потенциал имеет одно и
то же з н ачение.
ч астицы из одной точки в другую не
Линии напряжённости электроста­
зависит от формы траектории.
тического
Точечный заряд
экв ипотенциальным
r
+q,
находя щийся на
+Q, обладает
q
Потенциал
нию
от
поверхностя м
поверхности
потенциалом
к
с
поверх­
ности с меньшим.
го поля равна произведению моду­
_ l_ Qq
47te0 r ·
ля
перемеща емого
равная отн ош е­
потенциальной
энергии,
кото­
Разность
потенциалов
в
одно­
родном поле между двумя точками,
находящимися
в данную
друг от др_уга
на
расстоянии
вдоль линии
d
н апря ­
жё нн ости Е :
Wчо
U = Ed.
<р= - .
qo
8
-
вольт:
Потенциальная энергия заряда
в точке, имеющей потенциал <р :
Электроёмкость конденсатора
-
физическая в еличина , равная отно­
шению заряда одн ого из проводни ­
1 В= 1 Дж/Кл.
W q = q<p.
раз­
A q= qU.
8
точку поля , к величине этого заряда:
Единица потенциала
и
конеч ной точках :
рой обладает пробный положитель­
ный заряд, помещённый
заряда
ности потенциалов в начальной и
электростатического
величина ,
перпендикулярны
8 Работа силы электростатическо­
поля в данной точке - скалярная фи ­
зическая
поля
направлены
66льши м
потен­
циальной э н ергией
w =
и
от неподвижного то­
чечного заряда
8
поверх-
поверхность, во всех точ­
поля при перемещении заряже нн ой
расстоянии
8
Эквипотенциальная
ков к разности
q
потенциалов между
этим проводником и соседним :
Q
с= и ·
258
-------------------------------------------Электроёмкость плоского конден ­
•
Электродипам.ика
Энергия электростатического по ­
ля , запасённая в конденсаторе ём ­
сатора с диэлектриком :
костьюС,
CU 2
Q2
W = -2- = 2С'
S - площадь пластин конденса­
тора, d расстояние между ними,
е отн осительная диэлектрическая
где
прон ицаемость диэл ектрика.
Едини ца
электроёмкости
рад:
-
гдеИ - разность потенциалов меж ­
ду пластинами ,
Объемная
эле
фа­
Q-
плотность
·ричРского
поля
энергии
пропорцио­
нальна квадрату напряжённости поля :
f.EoE2
1 Ф = 1 Кл/В.
заряд конден­
сатора .
w = -2-
.