Population Modeler

ОФИМ им. С. Л. Соболева СО РАН
Лаборатория теоретико-вероятностных методов
Б. Ю. Пичугин
Population Modeler
программа для индивидуум-ориентированного
моделирования сообществ взаимодействующих особей
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект
№09-01-00098-A) и СО РАН (интеграционный проект №26)
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
План доклада
1 Базовые предположения
1.1 Переходы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Взаимодействия . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4
5
2 Особенности реализации
7
3 Примеры использования
3.1 Ветвящийся процесс . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Модель распространения туберкулеза . . . . . . .
3.3 Модель травления сообщества . . . . . . . . . .
3.3.1 Случай 𝑐(𝑡) ≡ 0: токсичного вещества нет
3.3.2 Добавим токсичное вещество . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
9
10
14
16
17
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
1.
Базовые предположения
Программа Population Modeler предназначена для проведения
численных экспериментов с моделями сообществ особей, удовлетворяющих следующим предположениям:
∙ все сообщество поделено на несколько популяций;
∙ каждая особь сообщества может быть охарактеризована набором
параметров;
∙ изменение состояния сообщества происходит скачкообразно;
∙ скачки состояния сообщества могут быть вызваны переходами
или взаимодействиями.
Примеры параметров: пол, масса, стадия развития, ...
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
1.1.
Переходы
∙ переход — это «запланированное» изменение состояния сообщества;
∙ переходы могут быть нескольких типов;
∙ моменты возникновения переходов описываются ветвящимся процессом типа Беллмана–Харриса с несколькими типами частиц, в
котором тип частицы интерпретируется как тип перехода;
∙ цепь переходов может быть инициирована в момент рождения
особи или в момент взаимодействия особей;
∙ распределение времени между переходами и результат перехода
может зависеть от параметров особей, участвующих в переходах.
Примеры: вступление в половозрелую стадию, значимое изменение
массы или линейных размеров, производство потомства, гибель в результате старения, . . .
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
1.2.
Взаимодействия
∙ взаимодействие — это «незапланированное» изменение состояния сообщества;
∙ взаимодействия могут быть нескольких типов;
∙ моменты возникновения взаимодействий описываются пуассоновским потоком, интенсивность которого может зависеть от времени и состояния сообщества;
∙ каждой особи может быть сопоставлен набор весов, которые характеризуют интенсивность с которой особь принимает участие
во взаимодействиях;
∙ в результате взаимодействия каждый участник может изменить
свои параметры, или произвести потомство, или погибнуть;
∙ в результате взаимодействия может быть инициирована цепь переходов.
Примеры: конкуренция, хищничество, воздействие среды, . . .
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
В частности, при помощи данной программы можно рассчитывать
реализации широкого класса ветвящихся случайных процессов с взаимодействием частиц и марковских случайных процессов как с дискретным так и с непрерывным временем.
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
2.
Особенности реализации
Первая версия программы
∙
http://iitam.omsk.net.ru/~pichugin/files/publication/pm.zip
∙ 2000–2006 год;
∙ С++;
∙ модель описывается на специально разработанном языке;
∙ алгоритм накопления ошибки для представления моментов времени;
∙ эффективное нахождение момента ближайшего перехода;
∙ возможность расчета сообществ в несколько сотен тысяч особей;
∙ использование мультипликативного датчика псевдослучайных чисел mod 240, с возможностью задавать начальный прыжок;
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
Вторая версия программы
∙ 2009+ год;
∙ Java ⇒ кросплатформенность;
∙ новый алгоритм поиска ближайшего момента перехода, построенный на базе алгоритма сортировки кучей;
∙ новый алгоритм выбора особи для взаимодействия, построенный
на базе почти полного бинарного дерева;
∙ использование мультипликативного датчика случайных чисел
mod 2128, с возможностью задавать начальный прыжок;
∙ эффективное использование памяти позволяет рассчитывать сообщества в несколько миллионов особей;
∙ программа реализована в виде библиотеки java-классов (интерфейса пользователя пока нет).
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
3.
Примеры использования
3.1.
Ветвящийся процесс
Каждая особь 𝑥 популяции
∙ живет время ℓ𝑥 ∈ U(0; 1);
∙ в возрасте 𝑎𝑥1, 𝑎𝑥2 ∈ U( 31 ; 1) производит по одному потомку,
если 𝑎𝑥𝑖 < ℓ𝑥;
Известноa, что E𝑍(𝑡) ∼ 𝑒𝛼+𝛽 𝑡, 𝛼 = 0.1164, 𝛽 = −0.7181.
Осредняя 𝑁 = 106 реализаций процесса 𝑍(𝑡) получили оценку
E𝑍(𝑡), из которой методом МНК получили точечные оценки
𝛼* = 0.1098,
𝛽 * = −0.7185
и интервальные оценки
(0.0984; 0.1213),
a
(−0.7193; −0.7171),
95%.
Jagers P. Branching processes with biological applications. 1975.
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
3.2.
Модель распространения туберкулеза
переходы, обусловленные окончанием случайного времени пребывания в когорте,
гибель индивидуумов в результате старения,
пуассоновские потоки различной интенсивности.
Н. В. Перцев, Б. Ю. Пичугин. Индивидуум-ориентированная стохастическая модель распространения туберкулеза // Сиб. журн. индустр. математики. 2008. Т. 12. № 2(38). С. 97–110.
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
720000
r t
1
710000
4
2
3
700000
690000
680000
670000
660000
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
t
200
Оценка средней численности популяции.
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
5000
g t

4500
4
4000
3500
2
3000
2500
1
2000
1500
3
1000
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
t
200
Оценка средней численности выявленных больных.
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
.012
.010
.008
.006
.006
.004
.004
.002
.002
.000
.000
.012
.010
1350
1490
1630
1770
1910
2050
2190
2330
2470
2610
2750
2890
.008
3
.012
.010
.008
.006
.006
.004
.004
.002
.002
.000
.000
1350
1490
1630
1770
1910
2050
2190
2330
2470
2610
2750
2890
.008
2
1350
1490
1630
1770
1910
2050
2190
2330
2470
2610
2750
2890
.010
1
4
1350
1490
1630
1770
1910
2050
2190
2330
2470
2610
2750
2890
.012
Гистограммы распределений численности выявленных больных в
момент 𝑡 = 200.
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
3.3.
Модель травления сообщества
∙ особи дают потомство с постоянной интенсивностью;
∙ особи погибают вследствие парной конкуренции с другими особями сообщества;
∙ приток особей извне и миграция особей отсутствуют;
∙ в среду обитания особей поступает токсичное вещество (ТВ):
𝑐˙ = 𝑟 − 𝛿 𝑐.
∙ интенсивность взаимодейстивия особи с ТВ пропорциональна
объему ТВ;
∙ при взаимодействии особи с ТВ расходуется случайное количество ТВ и, если это количество болше некоторого порога, то особь
погибает.
Н. В. Перцев, Б. Ю. Пичугин, К. К. Логинов. Статистическое моделирование динамики популяций, развивающихся в условиях воздействия токсичных веществ. 2010.
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
1 x 1
x1
2 x 2
x2
11 x12
22 x 22
12 x1 x 2
21 x 1 x 2
1 x 1 c
2 x 2 c
r t
c
c
𝑐˙ = 𝑟(𝑡) − 𝛿 𝑐(𝑡)
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
Случай 𝑐(𝑡) ≡ 0: токсичного вещества нет
3.3.1.
500
400
300
200
x 1 t
x 2 t 
100
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Если пренебречь дисперсией и ковариацией, то математическое ожидание описывается моделью Лотки-Вольтерра
{︃
𝑥˙ 1 = 𝛽1 𝑥1 − 𝜆11 𝑥21 − 𝜆11 𝑥1 𝑥2,
𝑥˙ 2 = 𝛽2 𝑥2 − 𝜆21 𝑥1 𝑥1 − 𝜆22 𝑥22.
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
3.3.2.
Добавим токсичное вещество
300
r 1−cos 2 t
200
100
r t
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
700
600
x 1 t
500
400
300
x 2 t 
200
100
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
25
20
15
10
5
c t 
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Оценки математических ожиданий
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
700
600
x 1 t
500
400
300
200
x 2 t 
100
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
8
10
12
14
16
800
700
x 1 t
600
500
400
300
200
x 2 t 
100
0
0
2
4
6
Типичные реализации
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
250
sd x 2 t 
200
150
sd x 1 t
100
50
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
1
0.8
0.6
P  x 2 t=0
0.4
0.2
P  x 1 t=0
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Стандартное отклонение и вероятность вырождения
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
700
600
 x 1 t ∣x 1x 20
500
400
 x 2 t ∣x 1x 2 0
300
200
100
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Оценки математических ожиданий при условии невырождения
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit
Спасибо за внимание.
∙First ∙Prev ∙Next ∙Last ∙Go Back ∙Full Screen ∙Close ∙Quit