свойства псевдорезольвент и условия существования

В. Е. ФЁДОРОВ
СВОЙСТВА ПСЕВДОРЕЗОЛЬВЕНТ И УСЛОВИЯ
СУЩЕСТВОВАНИЯ ВЫРОЖДЕННЫХ
ПОЛУГРУПП ОПЕРАТОРОВ1
Доказаны некоторые свойства псевдорезольвент, которые использованы для
упрощения формулировки условий существования вырожденных сильно непрерывных полугрупп, а также групп операторов.
Kлючевые слова: псевдорезольвента, полугруппа операторов, уравнение соболевского
типа.
Введение
При исследовании уравнений соболевского типа, имеющих вид
Lu̇(t) = M u(t),
(1)
ранее были получены необходимые и достаточные условия существования их разрешающих сильно непрерывных полугрупп и групп операторов, вырождающихся
не только на ядре оператора L, но и на его M -присоединенных векторах [1—4].
Эти так называемые условия типа Хилле — Иосиды используют оценки на операторные нормы (L, p)-резольвент оператора M вида
p
!n Y
K
(µk L − M )−1 L ≤ p
.
(2)
Q
n
k=0
(µk − a)
k=0
При доказательстве существования разрешающих полугрупп важным является
выполнение таких неравенств при произвольных наборах чисел {µ0 , µ1 , . . . , µp }
[2—4]. Данная работа посвящена доказательству эквивалентности условий вида
(2) более простым условиям вида
n(p+1) K
.
(µL − M )−1 L
≤
(µ − a)n(p+1)
Это позволит впредь упростить формулировку условий типа Хилле — Иосиды
для случая вырожденных сильно непрерывных полугрупп и групп операторов.
1. Свойства псевдорезольвент
Пусть G — область в R или в C, V является банаховой алгеброй над R или
C соответственно с умножением ◦ : V × V → V, вообще говоря, не имеющей единицы. Отображение R : G → V называется псевдорезольвентой (см., например,
[5]), если
R(λ) − R(µ) = −(λ − µ)(R(λ) ◦ R(µ)) ∀λ, µ ∈ G.
(3)
1
Работа поддержана грантом РФФИ (код проекта 07-01-96030-р_урал_а).
Свойства псевдорезольвент и условия существования вырожденных . . .
13
Далее знак ◦ будем, как правило, опускать.
Лемма 1. Пусть псевдорезольвента R : G → V является непрерывным отображением. Тогда
lim R(µ)k = R(λ)k ∀k ∈ N ∀λ ∈ G,
(4)
µ→λ
и R является бесконечно дифференцируемым отображением в G, при этом
dk
R(λ) = (−1)k k!R(λ)k+1
dλk
∀k ∈ N ∀λ ∈ G.
(5)
Замечание 1. Здесь степень псевдорезольвенты понимается в смысле умножения ◦.
Доказательство. Докажем оба утверждения по индукции. Утверждение (4) при
k = 1 тривиально в силу непрерывности R. Если оно выполняется для некоторого
k ∈ N, то
lim kR(µ)k+1 − R(λ)k+1 kV ≤
µ→λ
≤ lim kR(µ)
k+1
µ→λ
− R(µ)R(λ)k kV + lim kR(µ)R(λ)k − R(λ)k+1 kV ≤
µ→λ
k
k
≤ lim kR(µ)kV · kR(µ) − R(λ) kV + lim kR(µ) − R(λ)kV · kR(λ)k kV = 0
µ→λ
µ→λ
в силу ограниченности множества {R(µ) : |µ − λ| < ε} в V.
d
Из тождества (3) следует, что dλ
R(λ) = −R(λ)2 . Пусть при некотором k ∈ N
k
d
существует в G производная dλ
k R и выполняется тождество
dk
R(λ) = (−1)k k!R(λ)k+1 .
dλk
Тогда с учетом коммутируемости значений R в алгебре V, следующей из тождества (3),
R(µ)k+1 − R(λ)k+1
dk+1
k
=
R(λ)
=
(−1)
k!
lim
µ→λ
dλk+1
µ−λ
= (−1)k k! lim
(R(µ) − R(λ))
k
P
R(µ)k−n R(λ)n
n=0
= (−1)k k!(−R(λ)2 )(k + 1)R(λ)k =
µ−λ
µ→λ
= (−1)k+1 (k + 1)!R(λ)k+2 .
Замечание 2. В банаховой алгебре с единицей бесконечная дифференцируемость псевдорезольвенты сразу следует из тождества (3), как это показано, например, в [5].
Лемма 2. Пусть R : G → V — псевдорезольвента, выпуклая оболочка множества {µ0 , µ1 , . . . , µp } ⊂ G лежит в G. Тогда для любого p ∈ N
p
Y
k=0
R(µk ) = (−1)p
Z1
0
dt1
Zt1
0
!
tp−1
Z
p
X
dt2 . . .
R(p) µp +
tk (µp−k − µp+1−k ) dtp .
0
k=1
(6)
14
В. Е. Фёдоров
Доказательство. Имеем
−
Z1
R(1) (µ1 + t1 (µ0 − µ1 ))dt1 =
0
R(µ0 ) − R(µ1 )
= R(µ0 )R(µ1 ).
µ1 − µ0
Предположим, что тождество (6) верно при некотором значении параметра p−1 ∈
N, тогда
(−1)p
Z1
Zt1
dt1
0
(−1)p−1
=
µ1 − µ0
Z1
0
0
!
tp−1
Z
p
X
tk (µp−k − µp+1−k ) dtp =
dt2 . . .
R(p) µp +
tp−2
Z
dt1 . . .
R(p−1)
(−1)p−1
−
µ1 − µ0
µp +
dt1
0
Zt1
0
tp−2
Z
dt2 . . .
R(p−1)
R(µ0 )
=
p−2
X
k=1
0
Z1
k=1
0
!
tk (µp−k − µp+1−k ) + tp−1 (µ0 − µ2 ) dtp−1 −
µp +
k=1
0
p
Q
k=2
R(µk ) − R(µ1 )
µ1 − µ0
p−1
X
p
Q
!
tk (µp−k − µp+1−k ) dtp−1 =
R(µk )
k=2
=
p
Y
R(µk ).
k=0
2. Условия существования вырожденных полугрупп
Пусть U и F — локально выпуклые пространства, оператор L ∈ L(U; F),
т. е. линеен и непрерывен, оператор M ∈ Cl(U; F), т. е. линеен, замкнут и плотно
определен в U, действует в F. Обозначим ρL (M ) = {µ ∈ C : (µL−M )−1 ∈ L(F; U)},
L
RM
(µ) = (µL − M )−1 L, LLM (µ) = L(µL − M )−1 .
Пусть p ∈ N0 = {0} ∪ N,
∃a ∈ R (a, +∞) ⊂ ρL (M ).
(7)
Рассмотрим следующие условия на пару операторов (L, M ):
∃K ∈R
k ∈ (a, +∞), k = 0, p,
+ p ∀n ∈ N ∀µ
n
Q
L
≤ Qp K
RM
(µk ) ,
(µ −a)n
k=0
∃K ∈ R+
∀n ∈ N ∀µ ∈ (a, +∞)
L(U)
k
k=0
L
(RM (µ))n(p+1) ≤
L(U)
K
,
(µ − a)n(p+1)
∃K ∈R+ ∀n ∈ N ∀µ
k ∈ (a, +∞), k = 0, p,
n
p
Q
,
LLM (µk ) ≤ Qp K
(µ −a)n
k=0
L(F)
(8)
k
k=0
(9)
(10)
Свойства псевдорезольвент и условия существования вырожденных . . .
∃K ∈ R+
∀n ∈ N ∀µ ∈ (a, +∞)
p ∃K ∈ R+ ∀λ, µk ∈ (a, +∞), k = 0, p,
Q L
K
R (µk )(λL − M )−1 ≤
p
M
Q
(µ
(λ−a)
k=0
∃K ∈ R+
L
(LM (µ))n(p+1) ≤
L(F)
L(F;U)
k=0
K
,
(µ − a)n(p+1)
,
(12)
K
.
(µ − a)p+2
(13)
∀u ∈domM ∃C(u) ∈ R+ ∀λ, µk ∈ (a, +∞), k = 0, p,
p
Q
C(u)
RL (µk )(λL − M )−1 M u ≤
,
p
M
Q
(µ −a)
(λ−a)
k=0
(11)
k −a)
L
(RM (µ))p+1 (µL − M )−1 ≤
L(F;U)
∀µ ∈ (a, +∞)
15
(14)
k
U
k=0
∀u ∈ domM ∃C(u) ∈ R+ ∀µ ∈ (a, +∞)
(RL (µ))p+1 (µL − M )−1 M u ≤ C(u)p+2 ,
M
(µ−a)
U
(15)
◦
∀f ∈F ∃C(f ) ∈ R+ ∀λ, µk ∈ (a, +∞), k = 0, p,
p
C(f )
M (λL − M )−1 Q LL (µk )f ≤
,
p
M
Q
(λ−a)
(µ −a)
k=0
(16)
k
F
k=0
◦
) ∈ R+ ∀µ∈ (a, +∞)
∀f ∈F ∃C(f
)
−1
M (µL − M ) (LL (µ))p+1 f ≤ C(fp+2
,
M
(µ−a)
F
◦
(17)
где F — некоторый плотный линеал в пространстве F.
Теорема 1. Пусть выполняется условие (7). Тогда условие (8) эквивалентно
условию (9), условие (10) эквивалентно условию (11), условие (12) эквивалентно
условию (13), условие (14) эквивалентно условию (15), условие (16) эквивалентно
условию (17).
Доказательство. Очевидно, что из справедливости условия (k) следует выполнение условия (k + 1) при k = 8, 10, 12, 14, 16. Докажем обратные утверждения.
L
Оператор-функция RM
: (a, +∞) → L(U) является псевдорезольвентой с
обычным умножением операторов в банаховой алгебре L(U). Обозначим
λ(t1 , . . . , tn(p+1)−1 ) = µp +
p
X
k=1
(µp−k − µp+1−k )
n−1
X
s=0
tk+s(p+1) + (µp − µ0 )
n−1
X
ts(p+1) ,
s=1
тогда в силу леммы 2 имеем
p
!n Y
L
RM
(µk ) k=0
≤
Z1
0
dt1
Zt1
0
dt2 . . .
tn(p+1)−2
Z
0
L(U)
≤
dn(p+1)−1 L
dµn(p+1)−1 RM λ(t1 , . . . , tn(p+1)−1 ) L(U)
dtn(p+1)−1 =
16
В. Е. Фёдоров
= (n(p + 1) − 1)!
tn(p+1)−2
Z1
dt1 . . .
dt1
Zt1
Z
Z1
L(U)
0
0
n(p+1)−1
= K(−1)
Z1
dtn(p+1)−1 ≤
tn(p+1)−2
Z
dt2 . . .
0
0
0
n(p+1) L
RM λ(t1 , . . . , tn(p+1)−1 )
dt1
Zt1
tn(p+1)−2
dt2 . . .
Z
0
0
0
K(n(p + 1) − 1)!dtn(p+1)−1
n(p+1) =
λ(t1 , . . . , tn(p+1)−1 ) − a
=K
p
Y
R(n(p+1)−1) λ(t1 , . . . , tn(p+1)−1 ) dtn(p+1)−1
R(µk )n =
k=0
K
p
Q
k=0
(µk −
.
a)n
Здесь использовано также утверждение лемм 1 и 2 для числовой псевдорезольвенты R(µ) = (µ − a)−1 .
Эквивалентность условий (10) и (11) доказывается аналогично. Для доказательства эквивалентности условий (12) и (13) заметим, что отображение
µ → (µL − M )−1 из (a, +∞) является псевдорезольвентой, действующей в банахову алгебру L(F; U) с умножением, задаваемым по правилу A ◦ B ≡ ALB для
A, B ∈ L(F; U). Определим в банаховой алгебре норму kAk1 = kLkL(U;F) kAkL(F;U) ,
эквивалентную исходной норме в банаховом пространстве L(F; U). Тогда выполняется мультипликативное неравенство
kA ◦ Bk1 = kLkL(U;F) kA ◦ BkL(F;U) = kLkL(U;F) kALBkL(F;U) ≤ kAk1 kBk1 .
Формулы (5), (6) для рассматриваемой псевдорезольвенты в терминах обычного умножения операторов выглядят следующим образом:
dp+1
L
(µ))p+1 (µL − M )−1
(µL − M )−1 = (−1)p+1 (p + 1)!(RM
p+1
dµ
p
Y
k=0
= (p + 1)!
Z1
0
×
Отсюда
dt1
Zt1
dt2 . . .
λ+
L
RM
(µk )(λL − M )−1 =
Ztp
0
0
p
X
k=0
L
RM
λ+
p
X
k=0
!!p+1
tk+1 (µp−k − µp+1−k )
!
tk+1 (µp−k − µp+1−k ) L − M
p
Y
L
(µk )(λL − M )−1 RM
k=0
∀µ ∈ (a, +∞),
L(F;U)
!−1
≤
dtp+1 .
×
(18)
Свойства псевдорезольвент и условия существования вырожденных . . .
≤
Z1
dt1
dt2 . . .
Z1
dt1
Ztp
0
0
0
= K(−1)p+1
Zt1
Zt1
K(p + 1)!dtp+1
λ+
Ztp
dt2 . . .
p
P
k=0
tk+1 (µp−k − µp+1−k ) − a
R(p+1)
λ+
p
X
k=0
0
0
0
=
(λ − a)
K
p
Q
17
p+2 =
!
tk+1 (µp−k − µp+1−k ) dtp+1 =
.
(µk − a)
k=0
Здесь также использованы свойства псевдорезольвенты R(µ) = (µ − a)−1 .
В силу (18) при фиксированном u ∈ domM из условия (15) следует, что
p
Y
−1
L
RM (µk )(λL − M ) M u ≤
k=0
≤
Z1
dt1
Zt1
dt2 . . .
0
0
0
Ztp
U
C(u)(p + 1)!dtp+1
λ+
p
P
k=0
◦
tk+1 (µp−k − µp+1−k ) − a
p+2 =
а при f ∈F из условия (17) получим
p
Y
LLM (µk )f ≤
M (λL − M )−1
k=0
≤ (p + 1)!
Z1
dt1
Zt1
0
0
Ztp dt2 . . . M
λ+
p
X
k=0
0
C(u)
,
p
Q
(λ − a) (µk − a)
k=0
F
!
tk+1 (µp−k − µp+1−k ) L − M
!−1
!!p+1 X
tk+1 (µp−k − µp+1−k )
λ+
f
dtp+1 ≤
k=0
×
p
× LLM
F
≤
Z1
0
dt1
Zt1
0
dt2 . . .
Ztp
0
C(f )(p + 1)!dtp+1
λ+
p
P
k=0
tk+1 (µp−k − µp+1−k ) − a
При этом использовано равенство
p
Y
k=0
L
RM
(µk )(λL
− M)
−1
= (λL − M )
p+2 =
−1
p
Y
C(f )
p
Q
(λ − a) (µk − a)
k=0
LLM (µk ),
k=0
замкнутость оператора M и сходимость соответствующих интегралов. 2
18
В. Е. Фёдоров
Результатом теоремы (1) является возможность существенно упростить
формулировку условий на операторы в уравнении соболевского типа (1), необходимые и достаточные для существования его разрешающей сильно непрерывной
полугруппы [1; 2; 4], заменив их на эквивалентные, как это сформулировано в
следующем утверждении.
Следствие 1. 1) Оператор M является (L, p)-радиальным тогда и только тогда, когда выполняются условия (7), (9), (11).
2) Оператор M сильно (L, p)-радиален справа тогда и только тогда, когда выполняются условия (7), (9), (11), (15).
3) Оператор M сильно (L, p)-радиален слева тогда и только тогда, когда выполняются условия (7), (9), (11), (17).
4) Оператор M сильно (L, p)-радиален тогда и только тогда, когда выполняются условия (7), (9), (11), (13), (17).
3. Условия существования вырожденных групп операторов
В работе [3] при исследовании вырожденных групп операторов используются следующие условия на пару операторов (L, M ):
∃a ∈ R (−∞, −a) ∪ (a, +∞) ⊂ ρL (M ),
∃K ∈ R+ ∀n
∈ (−∞,
−a) ∪ (a, +∞), k = 0, p,
∈p N ∀µk n
Q
L
,
RM
(µk ) ≤ Qp K
(|µ |−a)n
k=0
L(U)
k
L(F)
k
L(F;U)
(22)
k
k=0
∀u ∈ domM
−a) ∪ (a, +∞), k = 0, p,
p ∃C(u) ∈ R+ ∀λ, µk ∈ (−∞,
Q L
C(u)
R (µk )(λL − M )−1 M u ≤
,
p
M
Q
(|λ|−a)
(|µ |−a)
k=0
(21)
k=0
∃K
p∈ R+ ∀λ, µk ∈ (−∞,−a) ∪ (a, +∞), k = 0, p,
Q L
K
R (µk )(λL − M )−1 ,
≤
p
M
Q
(|λ|−a)
(|µ |−a)
k=0
(20)
k=0
∃K ∈ R+ ∀n
∈ (−∞,
−a) ∪ (a, +∞), k = 0, p,
∈p N ∀µk n
Q
,
LLM (µk ) ≤ Qp K
(|µ |−a)n
k=0
(19)
(23)
k
U
k=0
◦
∀f ∈F ∃C(f ) ∈ R+ ∀λ, µk ∈ (−∞,
−a) ∪ (a, +∞), k = 0, p,
p
Q
C(f )
M (λL − M )−1
LLM (µk )f ,
p
Q
≤
k=0
◦
F
(|λ|−a)
k=0
(24)
(|µk |−a)
где F — некоторый плотный линеал в пространстве F. При анализе работы [3]
можно заметить, что для достижения сформулированного результата в ней достаточно было потребовать выполнения более слабых условий на операторы L, M :
Свойства псевдорезольвент и условия существования вырожденных . . .
19
условие (20) заменить на условие
∃K ∈ R+ ∀n ∈ N n
p
Q
L
∀µk ∈ (−∞, −a), k = 0, p, R
(µ
)
≤
k
M
k=0
L(U)
p
n Q L
∀µk ∈ (a, +∞), k = 0, p, RM (µk ) ≤
k=0
L(U)
K
p
Q
k=0
p
Q
(−µk −a)n
K
(µk −a)n
,
(25)
,
k=0
условие (21) — на условие
∃K ∈ R+ ∀n ∈ N n
p
Q
L
LM (µk ) ∀µk ∈ (−∞, −a), k = 0, p, k=0
∀µk ∈ (a, +∞), k = 0, p,
p
n Q L
L
(µ
)
k
M
k=0
L(F)
L(F)
≤
p
Q
K
(−µk −a)n
k=0
≤
p
Q
k=0
K
(µk −a)n
,
(26)
,
условия (22), (23), (24) заменить на условия (12), (14), (16) соответственно.
Очевидным образом доказывается следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть выполняется условие (19). Тогда условие (25) эквивалентно
условию
∃K ∈ R
N ∀µ
∪ (a, +∞)
+ L∀n ∈n(p+1)
∈ (−∞, −a)
(27)
K
(R (µ))
≤ (|µ|−a)n(p+1) ,
M
L(U)
условие (26) эквивалентно условию
∃K ∈ R
N ∀µ
∪ (a, +∞)
+ L ∀n ∈n(p+1)
∈ (−∞, −a)
K
(L (µ))
.
≤
M
(|µ|−a)n(p+1)
L(F)
(28)
Замечание 1. Следуя логике работы [3], в случае выполнения условий (19),
(27), (28) оператор M назовём (L, p)-бирадиальным. Если к тому же выполняется
условие (14) ((16)), то оператор M называется сильно (L, p)-бирадиальным справа
(cлева). В случае выполнения условий (19), (27), (28), (16), (12) оператор M
назовём сильно (L, p)-бирадиальным.
Автор благодарен проф. С. М. Воронину за полезные обсуждения.
Список литературы
1. Фёдоров, В. Е. Линейные уравнения типа Соболева с относительно
p-радиальными операторами / В. Е. Фёдоров // Докл. РАН.— 1996.— Т.351, № 3.—
С.316—318.
2. Фёдоров, В. Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов /
В. Е. Фёдоров // Алгебра и анализ.— 2000.— Т.12, вып.3.— С.173—200.
3. Фёдоров, В. Е. Вырожденные сильно непрерывные группы операторов /
В. Е. Фёдоров // Изв. вузов. Математика.— 2000.— № 3.— С.54—65.
4. Фёдоров, В. Е. Обобщение теоремы Хилле — Иосиды на случай вырожденных
полугрупп в локально выпуклых пространствах / В. Е. Фёдоров // Сиб. мат.
журн.— 2005.— Т.46, № 2.— С.426—448.
5. Хилле, Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс.— М. :
Иностр. лит., 1962.