С.Н. Боранбаев, *Д.А. Саранча, Р. Таберхан, Р.В. Тращеев

С.Н. Боранбаев, *Д.А. Саранча, Р. Таберхан, Р.В. Тращеев
Применение комбинированного метода для создания математических
моделей биогеоценозов различных регионов казахстана (исследование
математической модели трехуровневого биоценоза)
(Евразийский национальный университет имени Л.Н.Гумилева, г.Астана)
(*Вычислительный Центр Российской Академии Наук, г.Москва)
При моделировании тундровых популяций и сообществ была рассмотрена модельная
трехуровневая система «растительность - фитофаги – хищники». Такая модель может
быть адаптирована к описанию широкого круга биоценотических сообществ.
Исследование математической модели трехуровневого биоценоза
В продолжение работ по моделированию тундровых популяций и
сообществ была рассмотрена модельная
трехуровневая
система
«растительность - фитофаги – хищники» [1].
Такая модель может быть адаптирована к описанию широкого круга
биоценотических сообществ. В частности ее, видимому, можно адаптировать
к проблеме взаимодействия волков и сайгаков.
Анализ структуры пастбищной (наземной) части ряда биоценозов
показал, что в некоторых случаях в качестве математической модели можно
рассматривать модель биоценоза, состоящего из трех трофических уровней
[2,3], что удовлетворяет принципам минимальности и системности.
В рамках выделенного сообщества, структура модели выбиралась в
соответствии с гипотезой Вольтерра - Костицына: о возможности
представления в модели взаимодействия популяций с помощью систем
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Структура
модели была выбрана в виде системы из трех обыкновенных
дифференциальных уравнений, описывающих динамику хищников (F),
фитофагов (L) и их корма (V):
dV / dt  fV (V , L , T ); dL / dt  f L (V , L, F , T ); dF / dt  f F ( L , F , T ).
Здесь dA / dt - производная по времени для каждой переменной (A),
f A  R A  M A  D A , R A - прирост, D A - отчуждение, M A - естественное
отмирание, T - время года.
Каждая из компонент уравнений декомпозировалась на ряд
сомножителей, констант и безразмерных функций, которые оценивались в
результате диалога со специалистами из соответствующей области. При этом
была возможность использовать многообразие предположений о ведущих
механизмах, определяющих колебания численности животных, что
позволило широко варьировать постулатами, положенными в основу
моделей. Модификации моделей состояли в изменении констант, функций
или в выборе нового набора функциональных зависимостей.
Дадим содержательное описание компонент модели. Выделено два
сезона: зима и лето. Зимой биомассы растительности, фитофагов и хищников
уменьшаются; летом растительность, фитофаги и хищники увеличивают
свою биомассу. Прирост биомассы растительности рассчитывается
следующим образом: летом - по формуле близкой к логистической кривой
(рисунок 1), зимой происходит экспоненциальное отмирание. Кроме того, во
все сезоны происходило отчуждение растительности, пропорциональное
биомассе фитофагов.
Зависимость удельного прироста биомассы растительности от ее
биомассы
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Рисунок 1
Прирост биомассы фитофагов зависит от двух величин: количества
отчужденной растительности (рисунок 2) и функции, которая характеризует
зависимость прироста биомассы от обеспеченности кормами (рисунок 3). Эта
функция формализует представления о снижении ценности кормов при их
дефиците. Прирост биомассы леммингов равен произведению двух
указанных величин на коэффициенты, которые характеризуют сезонные
изменения перехода биомассы растительности в биомассу леммингов.
Естественная смертность фитофагов зависит от сезона и наличия кормов
(рисунок 4). Отчуждение фитофагов хищниками пропорционально биомассе
последних и функции, зависящей от биомассы фитофагов (рисунок 5).
Прирост их биомассы принят пропорциональным количеству отчужденных
фитофагов. Естественная смертность и гибель от охоты считаются
пропорциональными биомассе хищников.
Зависимость удельной скорости отчуждения растительности от ее
биомассы
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Рисунок 2
Зависимость удельного прироста биомассы фитофагов от обеспеченности
кормами
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.15
0.25
0.45
0.55
Рисунок 3
Осуществим теперь формальную запись модели. Для описания сезонов
для переменной A используется функция f(A, t). Она принимает следующие
значения:
f(A, t)= A1- летом и f(A, t)= А2-зимой.
Зависимость смертности фитофагов от обеспеченности кормами
0.12
0.180
0.11
0.120
0.1
0.060
0.20
0.30
0.40
0.50
Рисунок 4
Зависимость удельного скорости отчуждения фитофагов от их биомассы
0.05
0.040
0.04
0.030
0.03
0.020
0.02
0.010
0.01
0.2
0.4
0.6
0.8
Рисунок 5
Для описания нелинейных зависимостей использовали функция
Вейбулла, которая характеризуется тремя константами W1, W2, W3. Для
величины А, как функции В будем использовать обозначения W(A, B, W1,
W2, W3).
Функция W(..) имеет вид
W(A, B, W1, W2, W3) = exp(- (B-W3)/W2)**W1) = A.
Определим используемые при расчете функции, с помощью введенных
выше обозначений.
Прирост биомассы растительности, как баланс между приростом и
отмиранием определяется по формуле
H(t) = I(t) *E(t)*f(H,t).
Здесь E(t) – биомасса растительности,
I(t) = 1, если Е<1, и равно W(I, E, 3, 0.2, 1), если E>1.
Отчуждение растительности фитофагами определяется по формуле
L(t) = F(t)*W(L, E, 2, 0, 0.7)*f(L,t).
Здесь F(t) – биомасса фитофагов.
Прирост биомассы фитофагов вычисляется по формуле
M(t) = L(t)*(1-W(M, J, 3, 0, 0.5))*f(M,t),
где J(t) = L(t)/F(t) – обеспеченность фитофагов кормами.
Естественная смертность фитофагов определяется по формуле
N(t) = F(t)*(CN1+W(N, J, 3, 0, 0.1)*f(N, t).
Отчуждение фитофагов хищниками определяется из уравнения
O(t) = G(t)*(1-W(O, F, 2, 0, 0.2))*f(O,t),
где G(t) – биомасса хищников.
В свою очередь прирост биомассы хищников задается уравнением
P(t) = CP*O(t).
Естественная смертность хищников и их гибель от охоты описываются
уравнением
Q(t) = CQ*G(t).
При расчетах использовались следующие константы:
CN1=0.2; CP=2.3; CQ=0.08.
Константы, описывающие сезонные изменения, имеют следующие
значения:
H1=1; H2=0;
L1=L2=0.6455;
M1=0.5; M2=0.2;
N1=0.004; N2=0.1;
O1=0.025; O2=0.05.
Константы для функций Вейбулла - W1, W2, W3 для различных функций
имеют следующие значения.
Для W(I, E, ): W1=3, W2=0.2, W3=1.
Для W(L, E, ): W1=2, W2=0, W3=0.7.
Для W(M, J, ): W1=3, W2=0, W3=0.5.
Для W(N, J, ): W1=3, W2=0, W3=0.1.
Для W(O, F, ): W1=2, W2=0, W3=0.2.
Математические модели экосистем, состоящих из трех трофических
уровней, успешно использовались для анализа различных экологобиологических процессов [2,3]. В частности, они применялись для анализа
колебаний численности тундровых животных [2]. для которых характерны
колебания с достаточно коротким периодом. Возник вопрос – возможно ли
использование трехуровневой модели – растительность, фитофаги и их
хищники - для анализа колебаний численности с большим периодом?
Например, для популяции лосей ряд исследователей отмечают колебания с
периодичностью в 20 и около 100 лет. В данной работе приведен пример
модели, которая воспроизводит изменения численности с чередованием
максимума численности с периодичностью порядка ста лет (70 лет) на фоне
которого иногда возникают колебания фитофагов с периодичностью около
20 лет.
На рис.6 представлены результаты одного из вычислительных
экспериментов с моделью "растительность – фитофаги - хищники " .
Все эти классы моделей – трофических взаимодействий, моделей с
возрастной структурой, индивидуально ориентированные модели требуют
для своей реализации, для описания сообществ и популяций животных
Казахстана большого объема достоверной информации.
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
533,5
539,0
544,5
550,0
556,5
561,0
566,5
572,0
577,5
583,0
588,5 599,5 605,0
610,5
616,0
621,5
Время
Растительность
Травоядные
627,0
632,5
638,0
643,5
649,0
654,5 599,5 605,0
610,5
616,0
621,5
Время
Растительность
Хищники
627,0
632,5
638,0
643,5
649,0
654,5
726,0 731,5
737,0
742,5
748,0
Время
Травоядные
Растительность
Хищники
753,5
759,0
764,5
770,0
776,5
781,0 803,0 808,5
Травоядные
Хищники
Растительность
Травоядные
2,5
2
1,5
1
0,5
0
544,5
550,0
556,5
561,0
566,5
572,0
577,5
Время
Растительность
825,0
Растительность
Хищники
Рисунок 6
539,0
819,5
Травоядные
Рисунок 6,а
Хищники
830,5
836,0
841,5
847,0
Время
3
533,5
814,0
Время
583,0
588,5
Травоядные
Хищники
852,5
858,0
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
599,5
605,0
610,5
616,0
621,5
627,0
632,5
638,0
643,5
649,0
654,5
715,0
720,5
Время
Растительность
Травоядные
Хищники
Рисунок 6,б
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
665,5
671,0
676,5
682,0
687,5
693,0
698,5
704,0
709,5
Время
Растительность
Травоядные
Рисунок 6,в
Хищники
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
726,0
731,5
737,0
742,5
748,0
753,5
759,0
764,5
770,0
776,5
781,0
852,5
858,0
Время
Растительность
Травоядные
Хищники
Рисунок 6,г
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
803,0
808,5
814,0
819,5
825,0
830,5
836,0
841,5
847,0
Время
Растительность
Травоядные
Рисунок 6,д
Хищники
Комбинированный метод создания информационной системы
Для создания системы по моделированию экологических задач
предлагается использовать разработанную методологию проектирования
информационной системы на основе созданного комбинированного метода.
Среди
различных
методологий
структурного
моделирования
предметной области следует выделить функционально-ориентированные и
объектно-ориентированные методологии. Каждый из представленных
подходов обладает своими преимуществами. Объектный подход позволяет
построить более устойчивую к изменениям систему, лучше соответствует
существующим структурам объекта. Функциональное моделирование
хорошо показывает себя в тех случаях, когда структура объекта находится
в процессе изменения или вообще слабо оформлена. Подход от
выполняемых функций интуитивно лучше понимается исполнителями при
получении от них информации об их текущей работе. Функциональные
методики рассматривают объект как набор функций, преобразующий
поступающий поток информации в выходной поток. Процесс преобразования
информации потребляет определенные ресурсы. Основное отличие от
объектной методики заключается в четком отделении функций (методов
обработки данных) от самих данных. Объектные методики рассматривают
моделируемый объект как набор взаимодействующих объектов –
производственных единиц. Объект определяется как осязаемая реальность –
предмет или явление, имеющее четко определяемое поведение. Целью
применения данной методики является выделение объектов, и распределение
между ними ответственностей за выполняемые действия. Принципиальное
отличие между функциональным и объектным подходом заключается в
способе декомпозиции системы.
Объектно-ориентированный
подход
использует
объектную
декомпозицию, при этом статическая структура описывается в терминах
объектов и связей между ними, а поведение системы описывается в терминах
обмена сообщениями между объектами. Целью методики является
построение модели, позволяющей перейти от модели сценариев
использования к модели, определяющей отдельные объекты, участвующих в
реализации бизнес-функций. Несомненным достоинством функциональных
моделей является реализация структурного подхода к разработке ИС по
принципу "сверху-вниз", когда каждый функциональный блок может быть
декомпозирован на множество подфункций и т.д., выполняя, таким образом,
модульное проектирование ИС. Для функциональных моделей характерны
процедурная строгость декомпозиции ИС и наглядность представления.
Главный недостаток функциональных моделей заключается в том, что
процессы и данные существуют отдельно друг от друга — помимо
функциональной декомпозиции существует структура данных, находящаяся
на втором плане. Кроме того, не ясны условия выполнения процессов
обработки информации, которые динамически могут изменяться.
Перечисленные недостатки функциональных моделей снимаются в
объектно-ориентированных
моделях,
в
которых
главным
структурообразующим компонентом выступает класс объектов с набором
функций, которые могут обращаться к атрибутам этого класса.
Обычно, при выборе методики моделирования предметной области, в
качестве критерия выступает степень ее динамичности. Для более
регламентированных задач больше подходят функциональные модели, для
более адаптивных бизнес-процессов (управления рабочими потоками,
реализации динамических запросов к информационным хранилищам) —
объектно-ориентированные модели. Однако в рамках одной и той же ИС для
различных классов задач могут требоваться различные виды моделей,
описывающих одну и ту же проблемную область. Для таких случаев
предлагается использовать разработанный комбинированный метод.
Предлагаемая методология проектирования информационной системы
состоит из следующих фаз: инициализации, обследования, анализа, дизайна.
Каждая фаза состоит из этапов.
Этапы фазы инициализации:
1. Определение характеристик проекта – на данном этапе определяются
следующие
характеристики:
определение
документации
проекта,
определение заказчика и исполнителя проекта.
2. Выбор стандартов жизненного цикла системы – на данном этапе
определяются стандарты жизненного цикла. Стандарты жизненного цикла
системы хранятся в репозитории программного комплекса.
3. Разработка проектной документации – разработка документации на
основе шаблонов предоставляемых системой или документов хранящихся в
репозитории проекта.
Этапы фазы обследования:
1. Описание бизнес-процессов - описание бизнес-процессов с помощью
справочников программного комплекса.
2. Определение методов для моделей деятельности «Как есть» и «Как
должно быть» - определение методов и подходов моделирования на основе
имеющихся данных программного комплекса.
3. Выбор инструментов моделирования моделей деятельности «Как есть»
и «Как должно быть» - выбор CASE-средств для моделирования моделей, на
основе имеющихся данных программного комплекса.
4. Разработка моделей деятельности «Как есть» - разработка моделей
деятельности «Как есть» на основе выбранных ранее методов и инструментов
моделирования.
Этапы фазы анализа:
1. Декомпозиция системы на модули и функции – разбиение системы на
модели и функции, определение функций каждого элемента.
2. Проверка качества моделей деятельности «Как должно быть» проверка качества на основе критериев и методов программного комплекса.
3. Разработка техно-рабочей документации – разработка средствами
программного комплекса документации на основе шаблонов программы.
Этапы фазы дизайна:
1. Выбор архитектуры системы – программным комплексом на выбор
предоставляется
«Локальная»
и
«Распределенная»
архитектуры.
Пользователь выбирает архитектуру разрабатываемой системы.
2. Выбор
инструментов
проектирования
БД
–
инструменты
проектирования выбираются из справочника программного комплекса.
Разработка прототипа системы – разработка прототипа системы
средствами программного комплекса.
В рамках предполагаемого проекта предполагается продолжить
разработку предложенного ранее комплексного метода моделирования
эколого-биологических объектов с активным использованием ЭВМ – от
обоснования выбора объекта, построения и исследования набора
взаимосвязанных математических моделей и на его основе генерирование
гипотез о ведущих механизмах исследуемых экологических процессов.
Наибольший акцент предполагается сделать на проблеме разработки
междисциплинарных компьютерных технологий, позволяющих использовать
широкий спектр информации, в том числе экспертные оценки, на проблеме
взаимодействия имитационных и аналитических подходов. Особое внимание
уделить проблеме совместного использования разнообразных моделей с
акцентами как на математическое, так и на биологическое содержание.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бибик Ю.В., Попов С.П., Саранча Д.А. Неавтономные математические
модели экологических систем. М.: ВЦ РАН,, 2004. 120 с.
2. Саранча Д.А. Количественные методы в экологии. Биофизические
аспекты и математическое моделирование. М.: МФТИ, 1997. 283 с.
3. Глушков В.Н., Недоступов Э.В., Саранча Д.А, Юферева И.В.
Компьютерные методы анализа математических моделей экологических
систем.М.:ВЦРАН.2006. 74 c.
Боранбаев С.Н., Саранча Д.А., Таберхан Р., Тращеев Р.В.
Қазақстанның түрлі аймақтарында биогеоценоз математикалық моделдерін
құру үшін аралас әдісті қолдану (биоценоз үшдеңгейлі математикалық моделді
зерттеу)
Тундралық популяция мен қауымдастығын моделдеу барысында үшдеңгейлі
«өсімділік – фитофаги - жыртқыштық» жүйе моделі қарастырылады. Мұндай модель
биоценотикалық қауымдастықтың кең шеңберін сипаттауға бейімделуі мүмкін.
Boranbayev S.N., Sarancha D.A., Taberkhan R., Trasheev R.V.
Applying of combined methods for initiation of mathematical modeling of
biogeocenosis in the different regions of Kazakhstan (investigation of three leveled models
of biogeocenosis)
Inmodelingtundrapopulationandassociationwillbeconsideredihthethreeleveledsystem
“vegetation – plantfeeder - predator”. Suchmodelswillbeadaptedtothedescriptionofwidecircle of
biocoenotical association.