5. УМНОЖЕНИЕ В КОГОМОЛОГИЯХ.

÷ûü
ôïðïìïçéñ, 2 íïäõìø 2014{2015 õþ.ç.
5. õíîïöåîéå ÷ ëïçïíïìïçéñè.
ðÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞ ÌÉÓÔËÁ ÍÏÖÎÏ (É ÎÕÖÎÏ) ÐÏÌØÚÏ×ÁÔØÓÑ ÔÅÏÒÅÍÏÊ Ï ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÉ ËÌÁÓÓÏ× ËÏÇÏÍÏÌÏÇÉÊ,
Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÈ Ë ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÙÍ ËÌÁÓÓÁÍ ÐÏÄÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÊ. óÒÏË ÓÄÁÞÉ ÌÉÓÔËÁ 16 ÄÅËÁÂÒÑ.
úÁÄÁÞÁ 10 . Á) ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ H k (RP 2 ; Z=2Z) ÐÒÉ ×ÓÅÈ k. Â) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ H 1 (RP 2 ; Z=2Z) ÐÏÒÏÖÄÅÎÏ ÜÌÅÍÅÎÔÏÍ D([`]), Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÐÏ ðÕÁÎËÁÒÅ Ë ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÏÍÕ ËÌÁÓÓÕ (ÐÏ ÍÏÄÕÌÀ 2) ×ÌÏÖÅÎÎÏÊ ÐÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ
ÐÒÑÍÏÊ ` ⊂ RP 2 . ×) ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÕÍÎÏÖÅÎÉÅ × ËÏÌØÃÅ ËÏÇÏÍÏÌÏÇÉÊ H ∗ (RP 2 ; Z=2Z).
úÁÄÁÞÁ 2. Á) ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ËÏÌØÃÏ ËÏÇÏÍÏÌÏÇÉÊ H ∗ (RP n ; Z=2Z). Â) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÎÅ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ f : S n → S n−1 , ÐÅÒÅ×ÏÄÑÝÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁÌØÎÏ ÐÒÏÔÉ×ÏÐÏÌÏÖÎÙÅ ÔÏÞËÉ × ÄÉÁÍÅÔÒÁÌØÎÏ
ÐÒÏÔÉ×ÏÐÏÌÏÖÎÙÅ.
úÁÄÁÞÁ 30 . Á) ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ËÏÌØÃÏ H ∗ (S 1 ). Â) ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ËÏÌØÃÏ H ∗ (S 1 × S 1 ). ×) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁÑ ËÒÉ×ÁÑ 1 × Ë×ÁÄÒÁÔÅ ABCD ÓÏÅÄÉÎÑÅÔ ÐÒÏÔÉ×ÏÐÏÌÏÖÎÙÅ ×ÅÒÛÉÎÙ A É C , Á ËÒÉ×ÁÑ 2 ÓÏÅÄÉÎÑÅÔ B
É D, ÔÏ ËÒÉ×ÙÅ ÉÍÅÀÔ ÏÂÝÕÀ ÔÏÞËÕ.
úÁÄÁÞÁ 4. ðÕÓÔØ Mg | ÓÆÅÒÁ Ó g ÒÕÞËÁÍÉ. Á) ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ËÏÇÏÍÏÌÏÇÉÉ H k (Mg ) (Ó ÃÅÌÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ). Â) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ × H 1 (Mg ) ÉÍÅÅÔÓÑ ÓÉÓÔÅÍÁ ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÈ, ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÁÑ ÉÚ ËÌÁÓÓÏ×, Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÐÏ
ðÕÁÎËÁÒÅ Ë ËÌÁÓÓÁÍ ×ÌÏÖÅÎÎÙÈ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ËÒÉ×ÙÈ. ×) ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ËÏÌØÃÏ H ∗ (Mg ).
úÁÄÁÞÁ 5. Á) ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ H k (CP 2 ) ÄÌÑ ×ÓÅÈ k. Â) äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ H 2 (CP 2 ) ÐÏÒÏÖÄÅÎÁ ËÌÁÓÓÏÍ x = D([`]),
Ä×ÏÊÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÐÏ ðÕÁÎËÁÒÅ Ë ÆÕÎÄÁÍÅÎÔÁÌØÎÏÍÕ ËÌÁÓÓÕ ×ÌÏÖÅÎÎÏÊ ÐÒÏÅËÔÉ×ÎÏÊ ÐÒÑÍÏÊ ` ⊂ CP 2 (ÏÔ ×ÙÂÏÒÁ
ÐÒÑÍÏÊ ËÌÁÓÓ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ). ×) ÷ÙÞÉÓÌÉÔÅ ËÏÌØÃÏ H ∗ (CP 2 ). Ç) ðÕÓÔØ P (x; y; z ) | ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ
ÓÔÅÐÅÎÉ n ÏÔ ÔÒÅÈ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ, Õ ËÏÔÏÒÏÇÏ 0 Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÍ (ÎÅËÒÉÔÉÞÅÓËÉÍ) ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ.
äÏËÁÖÉÔÅ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï {[x : y : z ] ∈ CP 2 | P (x; y; z ) = 0} ÚÁÄÁÅÔ × CP 2 ÇÌÁÄËÏÅ ÐÏÄÍÎÏÇÏÏÂÒÁÚÉÅ XP
(ËÏÍÐÌÅËÓÎÕÀ ËÒÉ×ÕÀ ÓÔÅÐÅÎÉ n), É ÞÔÏ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï [XP ] = n[`] (× ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÑÈ ÐÕÎËÔÁ 5Â).
Ä) ÷Ù×ÅÄÉÔÅ ÉÚ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× ÐÒÅÄÙÄÕÝÉÈ ÐÕÎËÔÏ× (ÕÐÒÏÝÅÎÎÕÀ) ÔÅÏÒÅÍÕ âÅÚÕ: ÐÕÓÔØ P É Q | ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÅ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÏÔ ÔÒÅÈ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ÓÔÅÐÅÎÅÊ m É n ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ, É ÐÕÓÔØ ÄÌÑ ×ÓÑËÏÊ ÔÏÞËÉ
¡
@P @P ¢
(x; y; z ) 6= (0; 0; 0) ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ P (x; y; z ) = Q(x; y; z ) = 0 ×ÅËÔÏÒÙ ∇P (x; y; z ) def
= ( @P
@x ; @y ; @z ) É ∇Q ÌÉÎÅÊÎÏ
ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ. ôÏÇÄÁ ÓÉÓÔÅÍÁ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ P (x; y; z ) = 0; Q(x; y; z ) = 0 ÉÍÅÅÔ ÒÏ×ÎÏ mn ÎÅÎÕÌÅ×ÙÈ ÒÅÛÅÎÉÊ Ó
ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ ÐÒÏÐÏÒÃÉÏÎÁÌØÎÏÓÔÉ.
1