Министерство образования и науки Челябинской области государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования (среднее специальное учебное заведение) «Южно-Уральский многопрофильный колледж» КОМПЛЕКС ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ Исследование систем автоматического управления и регулирования на устойчивость 15.02.07 Автоматизация технологических процессов и производств (по отраслям) ПМ 01 Контроль и метрологическое обеспечение средств и систем автоматизации МДК01.03 Теоретические основы контроля и анализа функционирования систем автоматического управления Автор: преподаватель специальных дисциплин Ефимова Ирина Викторовна Челябинск, 2015 ОДОБРЕНА Цикловой методической комиссией ТЭО и АП специальностей ТЭО и АП УТВЕРЖДАЮ Зам. директора _____И.Н.Тихонова «___»_____20_ г. Протокол № ___ «___»____________ 20__ г. Председатель ЦМК ____________ Н.А.Зайцева Согласовано: ________________ Заместитель директора И.Н. Тихонова ________________Начальник цеха КИП и Автоматики ОАО «Челябинский металлургический комбинат» С.И.Хаустов Разработчик: Ефимова И.В., преподаватель специальных дисциплин ГБОУ СПО (ССУЗ) «Южно-Уральский многопрофильный колледж» АННОТАЦИЯ Методическое пособие составлено для закрепления и углубления знаний в процессе выполнения комплекса практических работ по теме «Устойчивость автоматических Теоретические систем основы регулирования контроля и и управления» анализа по МДК01.03 функционирования систем автоматического управления. В пособие приведена таблица индивидуальных вариантов практической работы. После изучения теоретического материала предлагается определить устойчивость системы автоматического регулирования и управления, используя критерии устойчивости - алгебраические критерии Гурвица и Рауса, и графический критерий Михайлова. Также с помощью программ на ПК необходимо убедиться в правильности определения устойчивости системы автоматического регулирования и управления. После изучения материала, выполнения практического задания и составления отчета студентам предлагается ответить на контрольные вопросы. Критерии оценки: Оценка «5»: - порядок проведения практической работы соответствует заданию; - определена устойчивость системы по критериям устойчивости – алгебраическим критериям Гурвица и Рауса, и графическому критерию Михайлова; - на ПК проверена правильность определения устойчивости системы; - дано полное объяснение и сделаны выводы; - даны правильные ответы на контрольные вопросы. Оценка «4»: - порядок проведения практической работы соответствует заданию; - определена устойчивость системы по критериям устойчивости – алгебраическим критериям Гурвица и Рауса и графическому критерию Михайлова; - на ПК проверена правильность определения устойчивости системы; - допущено 2 и более ошибок при ответах на контрольные вопросы. Оценка «3»: - порядок проведения практической работы соответствует заданию; - допущены существенные ошибки при определении устойчивости системы по критериям устойчивости; - на ПК проверена правильность определения устойчивости системы; - допущено 2 и более ошибок при ответах на контрольные вопросы. Оценка «2»: - практическая работа не выполнена. ВВЕДЕНИЕ Основным назначением АСР является поддержание постоянного значения параметра или изменение его по определенному закону. При отклонении этого параметра в результате появления возмущающих воздействий в системе или при изменении заданного значения регулируемой величины, регулятор воздействует на систему таким образом, чтобы ликвидировать это отклонение. В системе возникает переходный процесс, зависящий от динамических свойств АСР. Если после окончания переходного процесса система снова приходит в первоначальное состояние или другое равновесное состояние, то такую систему называют устойчивой. Устойчивость характеризуется степенью (запасом) устойчивости. Чем больше степень устойчивости, тем меньше время переходного процесса. С уменьшением степени устойчивости увеличиваются колебания. На практике определяют устойчивость по коэффициентам характеристического уравнения без вычисления его корней. Эти оценки называются критериями устойчивости. Министерство образования и науки Челябинской области государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования (среднее специальное учебное заведение) «Южно-Уральский многопрофильный колледж» АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГУРВИЦА Челябинск, 2015 1 ЦЕЛЬ РАБОТЫ Используя критерий Гурвица, по характеристическому уравнению определить устойчивость системы. 2 ПЛАН РАБОТЫ 1) по виду характеристическому уравнению своего варианта (таблица 1) определить его порядок; 2) по характеристическому уравнению системы составить главный определитель Гурвица; 3) на основании главного определителя Гурвица подсчитать все остальные определители; 4) определить устойчивость системы; 5) с помощью программ на ЭВМ убедиться в правильности определения устойчивости системы; 6) сделать выводы; 7) ответить на контрольные вопросы. Таблица 1 - Варианты практической работы Вариант 1 2 3 4 Характеристическое уравнение 4 6р +3р3+р2+р+1=0 Р3+5р2+3р+1=0 7р4+3р3+р2+4р+1=0 7р3+12р2+5р+1=0 Вариант 17 18 19 20 Характеристическое уравнение 3 9р +11р2+5р+1=0 7р3+4р2+11р+1=0 Р4+5р3+6р2+р+1=0 19р3+9р2+9р+1=0 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3р3+4р2+9р+1=0 21 2р4+5р3+4р2+р+1=0 Р4+5р3+6р2+р+1=0 22 4р3+7р2+12р+1=0 12р3+15р2+12р+1=0 23 6р3+10р2+9р+1=0 2р4+р3+4р2+7р+1=0 24 11р3+4р2+11р+1=0 3р3+4р2+12р+1=0 25 7р4+6р3+9р2+4р+1=0 7р3+4р2+р+1=0 26 4р4+3р3+9р2+2р+1=0 12р4+р3+р2+5р+1=0 27 9р3+р2+6р+1=0 Р3+р2+р+1=0 28 5р3+4р2+3р+16р+1=0 р4+5р3+7р2+6р+1=0 29 7р4+р3+3р2+р+1=0 9р3+12р2+10р+1=0 30 6р3+4р2+4р+1=0 10р4+7р3+2р2+14р+1=0 31 3р3+р2+9р+1=0 11р3+7р2+3р+1=0 32 8р3+2р2+4р+1=0 Примечание: номер варианта соответствует порядковому номеру студента в журнале. 3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Критерий Гурвица относится к разряду алгебраических критериев. Он выражает условия устойчивости в форме определителей, составленных из коэффициентов характеристического уравнения. Критерий Гурвица читается: Для того чтобы система была устойчивой, необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и все определители Гурвица были положительными. Анализ устойчивости ведется в следующем порядке: 1) составляется характеристическое уравнение системы: a 0 p n a1 p n 1 ... a n 1 p a n 0. 2) составляется главный определитель Гурвица: - по главной диагонали выписываются все коэффициенты уравнения, начиная с a1 до последнего a n в порядке возрастания индексов; - столбцы дополняются вверх от диагонали, путем вписывая коэффициентов с последовательно возрастающим индексом; - вниз от диагонали столбцы дополняются коэффициентов с последовательно убывающим индексом; вписыванием - на место коэффициентов, имеющих индексы больше и меньше нуля, подставляются нули. a1 a0 n 0 a3 a2 a1 a5 a4 a3 0 0 0 . 0 an 3) на основании главного определителя подсчитываются все остальные определители Гурвица. a 2 1 a0 1 a1 ; a3 ; a2 a1 a3 a5 3 a0 0 a2 a1 a4 a3 и т.д. Примеры: 1) Для системы первого порядка с уравнением a0 p a1 0 , условие устойчивости - a0 0, a1 0 . 2) Система второго порядка a0 p 2 a1 p a 2 0 , условие устойчивости a0 0, a1 0, a2 0 . 3) Система третьего порядка с уравнением a0 p 3 a1 p 2 a 2 p a3 0 , условия устойчивости: - a0 0, a1 0, a2 0, a3 0; - 2 a1 a0 a3 a1a2 a0 a3 0 . a2 4) Система четвертого порядка a0 p 4 a1 p 3 a 2 p 2 a3 p a 4 0 , условия устойчивости: - a0 0, a1 0, a2 0, a3 0, a4 0; - 2 - a1 a0 a3 a1a2 a0 a3 0; a2 a1 a3 0 3 a0 0 a2 a1 a 4 а1 а 2 а3 а0 а3 а3 а1 а 4 а1 0. a3 4 ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ С помощью программы на ПК необходимо убедиться в правильности определения устойчивости системы автоматического регулирования и управления. Для этого необходимо ввести порядок характеристического уравнения, а так же все коэффициенты характеристического уравнения, начиная с a1 до последнего a n . Машина проведет анализ устойчивости: составит главный определить Гурвица, на основании главного определителя подсчитает все остальные определители Гурвица, сделает вывод об устойчивости системы автоматического регулирования и управления. 5 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1) Какую систему называют устойчивой? 2) Как читается критерий Гурвица? 3) В каком порядке ведется анализ устойчивости Гурвица? 4) Как составляется главный определитель Гурвица? Министерство образования и науки Челябинской области государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования (среднее специальное учебное заведение) «Южно-Уральский многопрофильный колледж» АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАУСА Челябинск, 2015 1 ЦЕЛЬ РАБОТЫ Используя критерий Рауса, по характеристическому уравнению определить устойчивость системы. 2 ПЛАН РАБОТЫ 1) по характеристическому уравнению своего варианта (таблица 1) заполнить таблицу Рауса; 2) определить устойчивость системы; 3) с помощью программ на ПК убедиться в правильности определения устойчивости системы; 4) сделать выводы; 5) Ответить на контрольные вопросы. Таблица 1 – Варианты практической работы Вариант 1 2 3 4 Характеристическое уравнение 4 6р +3р3+р2+р+1=0 Р3+5р2+3р+1=0 7р4+3р3+р2+4р+1=0 7р3+12р2+5р+1=0 Вариант 17 18 19 20 Характеристическое уравнение 3 9р +11р2+5р+1=0 7р3+4р2+11р+1=0 Р4+5р3+6р2+р+1=0 19р3+9р2+9р+1=0 3р3+4р2+9р+1=0 Р4+5р3+6р2+р+1=0 12р3+15р2+12р+1=0 2р4+р3+4р2+7р+1=0 3р3+4р2+12р+1=0 7р3+4р2+р+1=0 12р4+р3+р2+5р+1=0 Р3+р2+р+1=0 р4+5р3+7р2+6р+1=0 9р3+12р2+10р+1=0 10р4+7р3+2р2+14р+1=0 11р3+7р2+3р+1=0 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2р4+5р3+4р2+р+1=0 4р3+7р2+12р+1=0 6р3+10р2+9р+1=0 11р3+4р2+11р+1=0 7р4+6р3+9р2+4р+1=0 4р4+3р3+9р2+2р+1=0 9р3+р2+6р+1=0 5р3+4р2+3р+16р+1=0 7р4+р3+3р2+р+1=0 6р3+4р2+4р+1=0 3р3+р2+9р+1=0 8р3+2р2+4р+1=0 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 Примечание: номер варианта соответствует порядковому номеру студента в журнале. 3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ Устойчивость систем определяется путем заполнения таблицы Рауса, которая является упрощенной схемой определителей Гурвица. Таблица 2 – Таблица Рауса Номер строки Значение Номер столбца 1 2 3 1 - с11 а0 с21 а2 с31 а4 2 - с12 а1 с 22 а3 с32 а5 3 3 а0 а1 с13 а2 3 а3 с23 а4 3 а5 с33 а6 3 а7 4 4 а1 с13 с14 а3 4 с23 с24 а5 4 с33 с34 а7 4 с43 5 5 с13 с14 с15 с23 5 с24 с25 с33 5 с34 с35 с34 5 с44 Таблица Рауса заполняется в следующем порядке: 1) первая строка заполняется вписыванием коэффициентов с четными индексами; 2) вторая строка заполняется вписыванием коэффициентов с нечетными индексами; 3) подсчитываются вспомогательные величины ; 4) подсчитываются коэффициенты всех остальных строк и столбцов. Любой коэффициент таблицы Рауса определяется по формуле: C К ,i C K 1,i 2 i C K 1,i 1 , где к номер столбца; i номер строки. Формулировка критерия Рауса: Для того чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и все величины первого столбца таблицы Рауса были положительными. 4 ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ С помощью программы на ПК необходимо убедиться в правильности определения устойчивости системы автоматического регулирования и управления. Для этого необходимо ввести порядок характеристического уравнения, а так же все коэффициенты характеристического уравнения, начиная с a1 до последнего a n . Машина проведет анализ устойчивости: заполнит таблицу Рауса, выполнит все условия устойчивости и сделает вывод об устойчивости системы автоматического регулирования и управления. 5 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1) Какую систему называют устойчивой? 2) Как читается критерий Рауса? 3) Как заполняется таблица Рауса? Министерство образования и науки Челябинской области государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования (среднее специальное учебное заведение) «Южно-Уральский многопрофильный колледж» АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА Челябинск, 2015 1 ЦЕЛЬ РАБОТЫ Используя графический критерий Михайлова, по характеристическому уравнению определить устойчивость системы. 2 ПЛАН РАБОТЫ 1) по характеристическому уравнению своего варианта (таблица 1) построить годограф в комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до ; 2) по виду годографа определить устойчивость системы; 3) с помощью программ на ЭВМ убедиться в правильности определения устойчивости системы; 4) сделать выводы; 5) ответить на контрольные вопросы. Таблица 1 – Варианты практической работы Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Характеристическое уравнение 4 6р +3р3+р2+р+1=0 Р3+5р2+3р+1=0 7р4+3р3+р2+4р+1=0 7р3+12р2+5р+1=0 3р3+4р2+9р+1=0 Р4+5р3+6р2+р+1=0 12р3+15р2+12р+1=0 2р4+р3+4р2+7р+1=0 3р3+4р2+12р+1=0 7р3+4р2+р+1=0 12р4+р3+р2+5р+1=0 Р3+р2+р+1=0 р4+5р3+7р2+6р+1=0 9р3+12р2+10р+1=0 10р4+7р3+2р2+14р+1=0 11р3+7р2+3р+1=0 Вариант 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 Характеристическое уравнение 3 9р +11р2+5р+1=0 7р3+4р2+11р+1=0 Р4+5р3+6р2+р+1=0 19р3+9р2+9р+1=0 2р4+5р3+4р2+р+1=0 4р3+7р2+12р+1=0 6р3+10р2+9р+1=0 11р3+4р2+11р+1=0 7р4+6р3+9р2+4р+1=0 4р4+3р3+9р2+2р+1=0 9р3+р2+6р+1=0 5р3+4р2+3р+16р+1=0 7р4+р3+3р2+р+1=0 6р3+4р2+4р+1=0 3р3+р2+9р+1=0 8р3+2р2+4р+1=0 Примечание: номер варианта соответствует порядковому номеру студента в журнале. 3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ Критерий Михайлова относится к группе частотных критериев. Анализ устойчивости сводится к построению годографа в комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до . Годограф строится на базе характеристического уравнения замкнутой системы. Анализ устойчивости осуществляется в следующем порядке: 1) находят характеристическое уравнение замкнутой системы: a0 p n a1 p n 1 ... a n 1 p a n 0 M ( j ) ; 2) в характеристическом уравнении производят замену p j : M ( j ) a 0 ( j ) n a1 ( j ) n 1 ... a n 1 j a n . 3) из уравнения M ( j ) выделяют вещественную и мнимую части U ( ) и V ( ) , учитывая, что j 1 , j 2 1 , j 3 j , j 4 1 ; ( j ) 2 2 , ( j ) 3 j 3 , ( j ) 4 4 и т.д., т.е. четные степени ( j ) вещественны, а нечетные степени – мнимы: U ( ) a n a n 2 2 a n 4 4 ... V ( ) a n 1 a n 3 3 a n 5 5 ... 4) задаваясь определенными значениями частоты от 0 до , подсчитывается для каждого значения частоты U ( ) и V ( ) , результаты подсчетов можно свести в таблицу: Таблица 2 – Таблица результатов 0 1 2 3 … U ( ) U ( 0) U (1 ) U ( 2 ) U ( 3 ) … U () V ( ) V ( 0) V (1 ) V ( 2 ) V ( 3 ) … V ( ) 5) по данным таблицы на комплексной плоскости в координатах U ( ) и V ( ) наносят координаты точек в вещественной и мнимой части, через полученные точки проводят плавную кривую, по виду которой судят об устойчивости системы. Критерий устойчивости Михайлова формулируется: Для того чтобы система n го порядка была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы вектор годографа Михайлова при изменении частоты от 0 до , начав свое движение с положительной вещественной полуоси, вращаясь против часовой стрелки и нигде не обращаясь в нуль, обходил последовательно n квадрантов комплексной плоскости, т.е. повернувшись на угол, равный 2 n, где n степень характеристического уравнения. 4 ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ С помощью программы на ПК необходимо убедиться в правильности определения управления. устойчивости системы автоматического регулирования и Для этого необходимо ввести порядок характеристического уравнения, а так же все коэффициенты характеристического уравнения, начиная с a1 до последнего a n . Машина проведет анализ устойчивости: построит годограф Михайлова и сделает вывод об устойчивости системы автоматического регулирования и управления. 5 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 4) Какую систему называют устойчивой? 5) Как читается критерий Михайлова? 6) Порядок анализа устойчивости Михайлова. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Горюнов И.И. Автоматическое регулирование / И.И.Горюнов, К.Ю. Евстафьев, А.А.Рульнов. – М.: Инфра-М, 2011. – 219 с. 2. Дойнико В.В. Справочник инженера по контрольно-измерительным приборам и автоматике/ В.В. Дойников, А.В.Калиниченко, Н.В.Уваров. – М.: Изд-во «Инфра-Инженерия», 2008. – 576 с. 3. Москаленко В.В. Системы автоматизированного управления электропривода: Учебник. М.: ИНФРА – М, 2014. – 208 с. 4. Шандров Б.В. Технические средства автоматизации / Б.В.Шандров – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 368с.