3.2. Методы решения рациональных неравенств 3.2.1

3.2. Методы решения рациональных неравенств
3.2.1. Числовые неравенства
Сначала определим, что мы понимаем под утверждением a > b.
Определение 3.2.1. Число a больше числа b, если разность между ними положительна.
Свойства числовых неравенств хорошо известны, но одно стоит напомнить, так как оно
часто используется при решении неравенств: если a > b и c > 0, то ac > bc; если a > b и
c < 0, то ac < bc.
Пример 3.2.1 Докажите, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел больше либо равно среднему геометрическому:
a+b √
> ab.
2
√
√
( a)2 + ( b)2
Решение. Запишем выражение в левой части неравенства как
и вычтем
2
√
из него ab. Тогда получаем очевидное неравенство для разности величин:
√
√
√
√
√
( a)2 + ( b)2 − 2 ab
( a − b)2
=
> 0.
2
2
В соответствии с определением, приведенным выше, неравенство верно.
Рассмотрим числовые неравенства с точки зрения сравнения двух величин.
Пример 3.2.2.[6] Сравните выражения: (a − 1)(a + 2) и (a + 4)(a − 3).
Решение. Снова в соответствии с определением 3.2.1 рассмотрим разность этих чисел:
(a − 1)(a + 2) − (a + 4)(a − 3) = (a2 + a − 2) − (a2 + a − 6).
Очевидно, что эта разность больше 0, и поэтому первое число больше второго.
При решении широкого круга сложных задач (особенно задач с параметрами) приходится пользоваться различными оценками величин, так как довольно часто решить задачу
”в лоб” просто невозможно. Следующие несколько примеров служат подготовкой к такого
рода исследованиям.
Пример 3.2.3.[6] Докажите неравенство: a2 − ab + b2 > 0.
Решение. 1. Воспользуемся методом выделения полного квадрата:
µ
µ
¶
¶2
b
3b2
b b2
b2
2
2
2
2
+
> 0.
a − ab + b = a − 2 · a · +
− +b = a−
2
4
4
2
4
Неравенство верно, так как сумма двух неотрицательных чисел не может быть меньше
нуля.
2. Теперь решим эту задачу иначе. Перенесем произведение ab в правую часть неравенства. Если ab < 0, то справедливость неравенства очевидна. Если ab > 0, то используя
1
соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим, перепишем неравенство в виде
a2 + b2 = |a|2 + |b|2 >
p
|a|2 + |b|2 p 2
> |a| · |b|2 = (|a| · |b|)2 = |a| · |b| = ab.
2
что и требовалось доказать.
Пример 3.2.4. [6] Известно, что 1 < a < 2. Найдите область изменения выражения a2 + 1
1
и
.
3a + 4
Решение.
1 < a < 2 ⇐⇒ 1 < a2 < 4 ⇐⇒ 2 < a2 + 1 < 5;
1
1
1
<
< .
1 < a < 2 ⇐⇒ 3 < 3a < 6 ⇐⇒ 7 < 3a + 4 < 10 ⇐⇒
10
3a + 4
7
Подчеркнем, что получать, как показано выше, неравенство для обратных величин (”переворачивать” дроби) допустимо только для положительных значений выражений в неравенствах. В рассмотренной задаче они не принимают отрицательных и нулевых значений.
Пример 3.2.5. Докажите, что сумма двух взаимно обратных величин обладает следую1
щим свойством, которое часто используется при решении задач: x + > 2 при x > 0 и
x
1
x + 6 −2 при x < 0.
x
Доказательство. Докажем это утверждение сначала для x > 0. Рассмотрим разность
1
x + − 2 и покажем, что она неотрицательна:
x
x+
1
x2 − 2x + 1
(x − 1)2
−2=
=
> 0.
x
x
2
Для доказательства соотношения при x < 0, сведем задачу к предыдущей. Действительно,
предположим, что соотношение верно. Умножим обе его части на -1:
x+
1
1
6 −2 ⇐⇒ −x +
>2
x
−x
Если обозначить y = −x, то приходим к уже доказанному неравенству для положительных значений переменной. Проводя преобразования в обратном порядке, получаем,
что соотношение для отрицательных x верно. (Равенство возможно только при x = ±1.)
3.2.2. Решение неравенств. Метод интервалов
Метод интервалов удобно применять для решения рациональных неравенств в случае,
когда левая часть представляет собой дробь, числитель и знаменатель которой разложены
на множители, а правая часть равна нулю. Для простоты изложения рассмотрим конкретный пример.
Пример 3.2.6. Решите неравенство
x2 (x − 1)6 (x + 5)(x − 5)3
6 0.
(x + 3)4 (x + 2)(x − 4)7
2
Решение. Отметим на числовой прямой нули числителя и знаменателя, причем нули
числителя будем изображать в виде черных точек, а нули знаменателя в виде белых точек
(”дырок”) на оси абсцисс. Последнее обозначение связано с тем, что знаменатель не может
обращаться в нуль, эти точки не могут быть решениями неравенства, и, следовательно, в
них мы ”прокалываем” числовую прямую.
+ s
−
−5
c
−3
−
c
−2
+
+
s
0
s
1
+
c
4
−
s
5
+ x
Выберем какое-нибудь число, лежащее правее всех корней на числовой прямой, в нашем
случае, например, число 10. При подстановке его в левую часть, каждый из множителей
принимает положительное значение. Поскольку левая часть может менять знак только в
точках, отмеченных на прямой, то на промежутке x ∈ (5, +∞) левая часть строго больше
нуля.
В точке x = 5 она обращается в нуль (поскольку неравенство нестрогое, это означает,
что x = 5 является его решением), а на промежутке x ∈ (4, 5) строго отрицательна, так как
при прохождении через эту точку знак множителя (x−5)3 меняется на противоположный,
а знаки остальных множителей остаются неизменными. Отсюда вытекает, что x ∈ (4, 5]
является решением исходного неравенства.
В точке x = 4 также происходит смена знака, но x = 4 не является решением неравенства,
так как знаменатель не может обращаться в нуль.
В точке x = 1 смена знака не происходит, так как множитель (x − 1)6 не меняет знака
при прохождении точки x = 1, однако сама точка x = 1 является решением неравенства,
поскольку левая часть обращается в нуль, и неравенство оказывается выполненным.
В остальных точках ситуация аналогична уже рассмотренным случаям. Выбирая промежутки, где правая часть неположительна и отдельные точки, где она обращается в нуль,
получаем ответ:
x ∈ [−5, −3) ∪ (−3, −2) ∪ {0} ∪ {1} ∪ (4, 5]
или в таком виде:
−5 6 x < −3, −3 < x < −2, x = 0, x = 1, 4 < x 6 5.
При выписывании ответа очень важно не забыть точки x = 0 и x = 1. ¥
x+2
< 3.
Пример 3.2.7. Решите неравенство
x−1
Решение. Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю:
5 − 2x
< 0.
x−1
3
Далее применим метод интервалов. Отметим на числовой оси области знакопостоянства
выражения.
− c
1
+
c
2, 5
− -
Отсюда получаем ответ: x < 1, x > 2, 5. ¥
В общем случае рационального неравенства следует все слагаемые перенести
в левую часть, привести к общему знаменателю, а затем разложить числитель
и знаменатель получившейся дроби на множители.
Пример 3.2.8. [11] Решите неравенство
4x2 + 5x
9
5x + 1
x+ 2
>
+
.
x −x−6
5x − 15 5x + 10
Решение. Перенесем все слагаемые в левую часть и преобразуем знаменатели
x+
4x2 + 5x
9
5x + 1
−
−
>0
(x − 3)(x + 2) 5(x − 3) 5(x + 2)
⇐⇒
x3 + 2x2 − 3
> 0.
(x − 3)(x + 2)
Далее разложим числитель на множители. Согласно теореме 3.1.1. целые корни числителя
следует искать среди чисел ±1, ±3. Нетрудно видеть, что x = 1 является корнем числителя.
Разделим числитель уголком на x − 1:
¯
¯
x + 2x + 0 · x − 3 ¯ x − 1
¯
−
¯ 2
3
2
x −x
¯ x + 3x + 3
3
−
2
3x2 + 0 · x
3x2 − 3x
−
3x − 3
3x − 3
0
Отсюда вытекает
(x − 1)(x2 + 3x + 3)
> 0.
(x − 3)(x + 2)
Поскольку квадратный трехчлен x2 + 3x + 3 не имеет действительных корней, и поэтому
выполнено x2 + 3x + 3 > 0, обе части неравенства можно разделить на x2 + 3x + 3, не меняя
при этом знака неравенства. Тогда получаем
x−1
> 0.
(x − 3)(x + 2)
Далее применим метод интервалов
− c
+
−2
c
1
4
−
c
3
+ x
Отсюда получаем ответ: x ∈ (−2, 1) ∪ (3, +∞). ¥
µ 2
¶2
x −2
Пример 3.2.8. [6] Решите неравенство
> 0.
x+1
Решение. Эта задача с небольшим подвохом. Про знаменатель, как правило не забывают
и пишут, что x 6= −1. Однако кажется, что больше никаких условий нет, так как квадрат
числа не может быть отрицательным. Но он может равняться нулю! А точки, в которых
числитель равен нулю, не являются решением неравенства, так как знак в условии задачи
√
строго больше нуля. В итоге получаем что x — любое число, не равное −1 или ± 2.
√
√
√
√
Ответ:x ∈ (−∞, − 2) ∪ (− 2, −1) ∪ (−1, 2) ∪ ( 2 + ∞).
При решении неравенств возможно применение многих приемов, описанных выше в
разделе, посвященном решению уравнений. Это и группировка, и замена переменной и
ряд других.
Метод замены переменной рассмотрим на следующем примере.
Пример 3.2.9. [16] Решите неравенство (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) < 12.
Решение. Здесь замена очевидна: t = x2 + x + 1. Тогда неравенство преобразуется к
t(t + 1) < 12 ⇐⇒ (t − 3)(t + 4) < 0 ⇐⇒ −4 < t < 3.
Возвращаясь к переменной x, получаем для нее систему неравенств:

 x2 + x + 1 > −4,
 x2 + x + 1 < 3.
Решая эти два простейших квадратных неравенства, получаем ответ.
Ответ: −2 < x < 1.
Пример 3.2.10. [29] Разложите на множители многочлен x4 − 10x2 − x + 20.
Решение. Преобразуем данный многочлен:
¡
¢
x4 − 10x2 − x + 20 = x4 − 5 · 2x2 − x + 25 − 5 = 25 − 5 1 + 2x2 + x4 − x.
¢
¡
Рассмотрим теперь многочлен a2 − a 1 + 2x2 + x4 − x, который при a = 5 совпадает с
данным. Полученный многочлен является квадратным относительно a, его корни легко
найти по теореме Виета:
¡
¢
¡
¢
¡
¢
a2 − a 1 + 2x2 + x4 − x = a2 − a 1 + 2x2 + x x3 − 1 =
¢
¡
¢
¡
= a2 − a 1 + 2x2 + x(x − 1) x2 + x + 1 .
Следовательно, a1 = x(x − 1), a2 = x2 + x + 1. Значит, исходный многочлен разлагается на
множители
¡
¢
¡
¡
¢¢ ¡
¡
¢¢
a2 − a 1 + 2x2 + x4 − x = a − x2 − x
a − x2 + x + 1 .
5
Вернемся к многочлену, данному в условии задачи, подставив a = 5. Получим:
¡
¢¡
¢ ¡
¢¡
¢
x4 − 10x2 + x + 20 = 5 − x2 + x 5 − x2 − x − 1 = x2 − x − 5 x2 + x − 4 =
Ã
√ !Ã
√ !Ã
√ !
√ !Ã
1 + 21
1 − 21
−1 + 17
1 + 17
x−
x−
x−
x+
.
2
2
2
2
Ã
√ ! Ã
√ ! Ã
√ ! Ã
√ !
1 + 21
1 − 21
−1 − 17
−1 + 17
Ответ: x −
· x−
· x−
· x−
.
2
2
2
2
6