целые числа, такие что 2x + 3y = z2. Тогда x 0 и y 0. Д

Лемма 1 Пусть x, y и z — целые числа, такие что 2x + 3y = z 2 . Тогда
x 0 и y 0.
Доказательство. Так как z ∈ Z, то 2x + 3y ∈ N. Если x 0 и y < 0,
то 2x ∈ N, 3y ∈ Z и 2x + 3y ∈ N. Аналогично при x < 0 и y 0 имеем
2x ∈ Z, 3y ∈ N и 2x + 3y ∈ N. Если же x < 0 и y < 0, то для a = −x и
b = −y справедливо a, b > 0 и
2x + 3y =
1
1
2a + 3b
+
=
∈ N,
2a 3b
2a · 3b
так как знаменатель последней дроби делится на 2, а числитель — нет. Пусть теперь тройка (x, y, z) является решением уравнения 2x + 3y =
z 2 . По лемме 1 x 0 и y 0. Рассмотрим 2 случая.
Случай 1. Число y — чётное. Имеем y = 2a для некоторого целого
a 0. Далее,
2x = z 2 − 32a = (|z| − 3a )(|z| + 3a ).
Отсюда получаем |z| > 3a и |z| − 3a = 2l , |z| + 3a = 2m для некоторых
целых l, m 0, таких что l < m. Вычитая первое равенство из второго,
получаем
2 · 3a = 2m − 2l = 2l (2m−l − 1).
Из этого следует, что l = 1 и 2m−l = 3a + 1. Так как 3a при делении на 8
даёт остаток либо 3, либо 1, то 2m−l не делится на 8 и m − l < 3. Значит,
1 = l < m < 4 и либо m = 2, либо m = 3. При m = 2 имеем 3a = 1, a = 0,
y = 0, 2|z| = 2l + 2m = 6, z 2 = 9, 2x = 9 − 1 = 8 и x = 3. Если же m = 3,
то 3a = 3, a = 1, y = 2, 2|z| = 2l + 2m = 10, z 2 = 25, 2x = 25 − 9 = 16 и
x = 4.
Случай 2. Число y — нечётное. Имеем y = 2a + 1 для некоторого
целого a 0. Но тогда z 2 = 2x + 3 · 32a и
2x + 2 · 32a = z 2 − 32a = (|z| − 3a )(|z| + 3a ).
Так как числа |z| − 3a и |z| + 3a имеют одинаковую чётность, то число
2x + 2 · 32a либо нечётное, либо делится на 4. В первом случае имеем
x=0и
3y = z 2 − 1 = (|z| − 1)(|z| + 1).
1
Поскольку оба числа |z| − 1, |z| + 1 не могут быть положительными
степенями тройки, то |z| − 1 = 1, z 2 = 4 и y = 1. Осталось рассмотреть
случай, когда 2x + 2 · 32a делится на 4. В этом случае 2x делится на 2,
x > 0, 2x−1 + 32a делится на 2 и x = 1. Но тогда z 2 − 2 = 3y делится на 3,
чего не может быть, так как двойка не является квадратичным вычетом
по модулю 3. Таким образом, 2x + 2 · 32a на 4 делится не может.
Таким образом, из разбора этих двух случаев можно сделать вывод,
что целочисленными решениями уравнения 2x + 3y = z 2 являются следующие шесть троек:
(3, 0, 3)
(3, 0, −3)
(4, 2, 5)
(4, 2, −5)
(0, 1, 2)
(0, 1, −2),
а других решений нет.
2