ПОСОБИЕ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ И КОНТРОЛЯ

А.И. Исакова, С.В. Матвеева, Т.П. Мирошниченко
ПОСОБИЕ
ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
И КОНТРОЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ
РАБОТЫ СТУДЕНТОВ ПО РАЗДЕЛУ
«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»
Учебное пособие
Омск • 2007
Федеральное агентство по образованию
Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия
(СибАДИ)
А.И. Исакова, С.В. Матвеева, Т.П. Мирошниченко
ПОСОБИЕ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
И КОНТРОЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
СТУДЕНТОВ ПО РАЗДЕЛУ «ТЕОРИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА»
Учебное пособие
Омск
Издательство СибАДИ
2007
156
УДК 519.21
ББК 22.171
И 85
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, доц. В.В. Благонравов
(ОмГУ, кафедра методики преподавания математики);
канд. физ.-мат. наук, доц. И.А. Латыпов
(ОмГУ, кафедра математического анализа)
Работа одобрена редакционно-издательским советом академии в качестве учебного пособия для студентов инженерных и экономических специальностей вузов.
Исакова А.И., Матвеева С.В., Мирошниченко Т.П.
И 85 Пособие для практических занятий и контроля самостоятельной
работы студентов по разделу «Теория вероятностей и математическая
статистика»: Учебное пособие. – Омск: Изд-во СибАДИ, 2007. – 208 с.
ISBN 978-5-93204-300-7
Пособие содержит теоретические положения и пояснения к ним, необходимые для решения задач по разделу «Теория вероятностей и математическая
статистика». Все теоретические положения подробно иллюстрированы примерами решений задач как по теории вероятностей, так и по математической статистике. По каждой теме приведен набор задач для аудиторной работы студентов.
Для контроля правильности решения даны ответы к задачам. Достаточно широкий спектр задач для контроля усвоения материала содержат индивидуальные
задания по каждой теме, которые студент выполняет самостоятельно. Для приобретения навыков обработки экспериментальных данных приведены индивидуальные задания по математической статистике. Параграфы 1, 2, 7, 9 написаны
А.И. Исаковой, параграфы 3, 4, 8  С.В. Матвеевой, параграфы 5, 6  Т.П. Мирошниченко.
Табл. 14. Ил. 19. Библиогр.: 6 назв.
ISBN 978-5-93204-300-7
© А.И. Исакова, С.В. Матвеева,
Т.П. Мирошниченко, 2007
157
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
§1. Элементы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
§2. Алгебра событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
§3. Непосредственный подсчет вероятностей событий . . . . . . . .
24
§4. Теоремы сложения и умножения вероятностей событий. . . .
35
§5. Формула полной вероятности. Формулы Байеса . . . . . . . . . . . 54
§6. Повторение опытов. Формула Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
§7. Случайные величины. Законы распределения . . . . . . . . . . . . . 73
§8. Локальная и интегральная предельные теоремы МуавраЛапласа. Теорема Пуассона. Закон больших чисел . . . . . . . . 99
§9. Элементы математической статистики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
183
Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
158
Введение
Математическое образование современного инженера немыслимо
без овладевания методами теории вероятностей и математической
статистики. Необходимую помощь в освоении этих методов и применении их на практике (учебной и производственной) окажет предлагаемое учебное пособие. Пособие в сжатой форме содержит необходимый теоретический материал. Приведены примеры с подробным
изложением решений задач, а также достаточное количество задач,
снабженных ответами, для аудиторной работы.
После изучения определенной темы студенту рекомендуется выполнить самостоятельно индивидуальное задание по этой теме, что
дает возможность проконтролировать ее усвоение. Для удобства использования пособие содержит необходимый набор таблиц, используемых в теории вероятностей и математической статистике.
§1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Комбинаторикой называют область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, образованных
по тем или иным условиям, можно составить из элементов данного
множества.
Пусть дано множество, состоящее из n различных элементов
a1 , a2 ,..., an . Из элементов этого множества можно составлять различные группы, отличающиеся одна от другой или самими элементами (составом), или их порядком. Такие группы называют соединениями, комбинациями или выборками.
П р и м е р 1 . Имеем множество {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. 123;
321; 4056; 42 – соединения (комбинации, выборки).
159
Сформулируем общие правила комбинаторики.
Правило суммы.
Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а объект
В – k способами (не такими, как А), то объект “либо А, либо В” можно
выбрать m  k  способами.
П р и м е р 2 . На столе лежат 5 книг по математике и 3 книги по
физике. Тогда одну книгу можно выбрать 5  3  8 способами.
П р и м е р 3 . Карандаши разложены по двум ящикам; в первом
ящике m карандашей, во втором – k карандашей. Произвольным образом из какого-нибудь ящика вынимаем один карандаш. Сколькими
способами это можно сделать?
Из первого ящика один карандаш можно вынуть m способами, из
второго – k способами; тогда всего  m  k  способов.
Пусть теперь множество из n элементов разбито на две части (два
подмножества), первое подмножество  a1 , a2 ,..., am  состоит из m
элементов, второе подмножество  b1 , b2 ,..., bk  содержит k элементов,
причем m  k  n . Из первого подмножества выбираем один элемент и
независимо от первого выбора один элемент выбираем из второго
подмножества. Число различных пар легко просматриваются на нижеследующей схеме:
a1b3  ;
a2 b3  ;
a1b1
a2b1
a1b2
a2b2



am b1
am b2
an b3
a1 bk ; 
a2 bk ; 
 m строк
;  
 ; am bk . 
k пар в каждой строке.
Общее число различных пар равно m  n . Сформулируем теперь
правило произведения (умножения).
Правило произведения.
Если объект А можно выбрать m способами, а после каждого такого выбора другой объект В – k способами, то пары объектов А и В
можно выбрать m  k способами.
П р и м е р 4 . Из города N в город M ведут 5 дорог, а из города M
в город P – три дороги. Сколько путей, проходящих через M, ведут из
N в P?
Каждый путь задается парой (a; b), тогда число путей равно
160
5  3  15.
П р и м е р 5 . Сколькими способами можно выбрать гласную и
согласную буквы из слова “зеркало”?
В этом слове 4 согласных буквы и 3 гласных, поэтому число способов равно 4  3  12 способам.
П р и м е р 6 . Имеется 6 пар перчаток различных размеров.
Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую
руку и одну перчатку на правую руку так, чтобы эти перчатки были
различных размеров?
Число таких пар по правилу произведения составит 6  5  30 способов.
Можно обобщить правило произведения.
Пусть некоторый выбор может быть сделан в точности r различными способами. Для каждого из этих способов некоторый второй
выбор может быть сделан s различными способами. Для каждой пары
первых двух выборов некоторый третий выбор может быть сделан t
способами и т. д. Тогда число способов последовательности этих выборов получается перемножением соответствующих чисел, т. е. равно
r  s  t  ... .
П р и м е р 7 . Сколько разных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0; 1; 2, если та же самая цифра может повториться
несколько раз?
На первое место в четырехзначном числе выбрать цифру имеются две возможности (это цифры 1 и 2), на второе место – имеются три
возможности (это цифры 0; 1; 2), на третье место – имеются три возможности (это цифры 0; 1; 2), на четвертое место – тоже три возможности (это цифры 0; 1; 2). Следовательно, всего 2  3  3  3  54 способа
получить четырехзначное число из цифр 0; 1; 2.
Рассмотрим задачу о “размещении шариков по лункам”. Имеем r
шаров и n лунок. Скольким числом способов можно разместить шары
по лункам?
Для каждой лунки возможно r способов, поэтому n  n  n  ...  n  n r
способов, то есть первый шар можно разместить n способами, второй
– тоже n способами и т. д., а так как всего r шаров, то и получаем n r
способов.
Эта задача-схема может быть применена к другим, может быть,
сформулированным иначе, задачам, но по своей сути эквивалентным
абстрактной схеме размещения r шаров по n лункам. Например, а)
при стрельбе по n мишеням пули соответствуют шарам, мишени –
161
лункам; б) лифт отправляется с r пассажирами и останавливается на n
этажах; распределение пассажиров по группам соответственно этажу,
на котором они выйдут, соответствует размещению r шаров по n лункам; в) при экспериментах с космическими лучами частицы, попадающие в счетчики Гейгера, играют роль шаров, а счетчики – лунок;
г) распределение дней рождения r человек соответствует размещению
r шаров по n  365 лункам; д) в случае бросания r костей имеем распределение r шаров по n  6 лункам; эта же ситуация имеет место,
когда бросают монеты, только тогда n  2 и т. д.
П р и м е р 8 . Шесть ящиков различных материалов доставляются на пять этажей стройки. 1. Сколькими способами можно распределить материалы по этажам? 2. В скольких вариантах на пятый этаж
будет доставлен какой-либо один материал?
1. Распределение шести ящиков по пяти этажам соответствует
схеме распределения шести шаров по пяти лункам, тогда для r  6 и
n  5 имеем 56 распределения.
2. Какой-либо один материал для доставки на пятый этаж может
быть выбран шестью способами, а на оставшиеся четыре этажа пяти
других ящиков доставка может быть осуществлена согласно схеме
“размещения шаров по лункам” 45 различными способами. Тогда по
правилу произведения число вариантов распределения какого-либо
одного материала на пятый этаж, а оставшихся пяти материалов по
другим четырем этажам составит 6  45 способов.
Комбинации из элементов (соединения) составляются по определенным правилам так, чтобы они обладали теми или иными свойствами.
О п р е д е л е н и е 1 . Размещениями из n элементов по m элементов называют такие соединения, каждое из которых содержит ровно m
элементов, взятых из n элементов, и которые отличаются одно от другого или самими элементами, или их порядком.
Возьмем множество, состоящее из трех элементов a; b; c. Из элементов этого множества можно составить размещения
1) по одному элементу: a; b; c;
2) по два элемента: ab; ba; ac; ca; bc; cb;
3) по три элемента: abc; bac; acb; cab; bca; cab.
Для подсчета количества размещений из n элементов по m элементов используют формулу
162
Anm  n  n  1  n  2  n  3  ...  n  m  1 ,
(1.1)
где Anm – число размещений из n элементов по m элементов.
П р и м е р 9 . Текст кодируется цифрами от 0 до 9. Сколько различных сообщений можно передать, если каждое сообщение состоит
из 4 цифр?
Множество, из которого выбираются группы по четыре элемента,
состоит из 10 элементов (10 цифр). Каждая группа (соединение, комбинация) отличается одна от другой либо самими элементами, либо
их порядком, поэтому, по определению, эти соединения являются
размещениями; число таких размещений определяем по формуле (1.1)
4
для n  10 и m  4 ; тогда A10
 10  9  8  7  5040 .
П р и м е р 1 0 . В высшей лиге по футболу 18 команд. Борьба
идет за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами могут быть распределены медали между командами?
Из 18 элементов множества (18 команд) нужно составить группы
(соединения), каждая из которых будет содержать три элемента множества (три команды), причем одна группа будет отличаться от другой либо составом, либо порядком, следовательно, такие соединения
являются размещениями, и число способов, которыми могут быть
3
распределены медали между командами, равно A18
 18  17 
 16  4896 .
О п р е д е л е н и е 2 . Размещения, взятые из n элементов по n элементов, называют перестановками.
Из определения следует, что одна перестановка отличается от
другой только порядком элементов. Пусть множество состоит из трех
элементов a; b; c. Из этих элементов можно составить перестановки:
abc; bac; acb; cab; cba; bca.
Обозначим: Pn – число перестановок из n элементов. Тогда
Pn  Ann  n  n  1  n  2   n  3  ...  n  n  1  n  n  2   n  3  ...  2  1
или
Pn  n!
(1.2)
П р и м е р 1 1 . Сколькими способами можно посадить за круглый стол 5 мужчин и 5 женщин так, чтобы никакие два лица одного
пола не сидели рядом?
163
Число способов посадки пяти женщин равно 5!, а пяти мужчин –
5!, но мужчин и женщин можно поменять местами, то есть на места,
занимаемые женщинами, можно посадить мужчин, тогда, используя
правило произведения, общее число способов будет равно
2  5!5! 25!2 .
П р и м е р 1 2 . На книжной полке размещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить так, чтобы при этом первый и
второй тома не стояли рядом?
Число способов расстановки 30 томов на полке равно числу перестановок из 30 элементов, то есть, согласно формуле (1.2), равно 30!.
Число способов расстановки 30 томов таким образом, чтобы первый и
второй тома стояли рядом, равно 2  29!, тогда число способов расстановки 30 томов так, чтобы первый и второй тома не стояли рядом,
равно 30!2  29! 29!30  2  29!28.
О п р е д е л е н и е 3 . Сочетаниями из n элементов по m элементов
называют соединения, каждое из которых содержит m элементов и
которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.
Из трех элементов a; b; c можно составить сочетания 1) по одному элементу: a; b; c; 2) по два элемента: ab; ac; bc; 3) по три элемента:
abc.
Обозначим: Cnm – число сочетаний из n элементов по m элементов.
Для подсчета числа сочетаний из n элементов по m элементов используют формулы
C nm
Anm
Pn

или Cnm 
.
Pm  Pn  m
Pm
(1.3)
Следует иметь в виду, что 0!  1; 1!  1; Cn0  1; Cnn  1; Cnm  Cnn  m .
П р и м е р 1 3 . В полуфинале первенства России по шахматам
участвуют 20 шахматистов, а в финал попадают трое. Сколькими способами может образоваться финальная тройка?
Надо подсчитать число соединений, которые можно составить из
20 элементов по три элемента, причем каждое соединение отличается
от другого только составом (порядок элементов в каждой тройке не
важен). Поэтому, согласно определению 3, эти соединения являются
сочетаниями, и их число по формуле (1.3) равно
164
3
A20
20  19  18


 1140 .
P3
1 2  3
П р и м е р 1 4 . Собрание из 80 человек избирает председателя,
секретаря и трех членов редакционной комиссии. Сколькими способами это можно сделать?
Из 80 человек председателя можно выбрать 80 способами, то есть
1
число способов равно C80
 80.
Число способов выбора секретаря из оставшихся 79 человек рав1
но C79
 79. Число способов выбора трех членов редакционной ко3
C20
3
миссии из оставшихся 78 человек равно C78
, тогда по правилу произведения число способов выбора из 80 человек председателя, секретаря
и трех членов редакционной комиссии равно
1
1
3
C80
 С79
 С78

80  79  78  77  76
 6 326 320.
1 2  3
Задачи по теме «Элементы комбинаторики»
1.1. Города А и В соединены один с другим тремя различными дорогами. 1. Сколькими способами можно совершить круговой рейс
от А к В и обратно? 2. Сколько будет таких способов, если на обратном пути обязательно избирать новую дорогу?
1.2. Пятнадцать занумерованных бильярдных шаров разложены по 6
лузам. Сколькими способами это можно сделать?
1.3. Номер автомобиля состоит из трех букв русского алфавита
(33 буквы) и четырех цифр. Сколько существует различных номеров автомобилей? (Номер 0000 возможен, буквы могут повторяться).
1.4. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1; 2; 3; 4;
5; 6; 7; 8, если каждое из них можно использовать любое число
раз?
1.5. Бросаются две игральные кости. Сколько возможных комбинаций пар очков будет?
1.6. Буквы азбуки Морзе состоят из последовательности точек и тире.
Сколько букв можно изобразить, если потребовать, чтобы каждая
буква содержала не более пяти символов?
1.7. Сколько различных чисел, не содержащих одинаковых цифр,
можно написать при помощи цифр 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9?
165
1.8. Сколько различных четырехзначных чисел можно написать,
пользуясь цифрами 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 так, чтобы в каждом из них
была только одна единица, если любая другая цифра может
встречаться в записи этих чисел несколько раз?
1.9. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0; 1; 3; 5; 7, если каждое число не должно содержать
одинаковых цифр?
1.10. Скольким числом способов можно расположить для фотографирования 5 человек, если троих поставить в передний ряд,
а двух сзади?
1.11. На один ряд, в котором 8 стульев, рассаживаются 5 юношей и 3
девушки. Сколькими способами они могут сесть, чтобы все девушки оказались сидящими рядом?
1.12. Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 4,
можно составить из цифр 1; 2; 3; 4; 5, если каждую из них можно
использовать не более одного раза?
1.13. В одной арабской сказке речь идет о такой задаче. Вокруг костра сидят 12 разбойников. Каждый из них смертельно ненавидит
двух ближайших соседей. С целью спрятать награбленное необходимо выделить 5 разбойников. Сколькими способами атаман
может назначить пятерых так, чтобы между ними не было распри?
1.14. Двенадцати студентам выданы два варианта контрольной работы. Сколькими способами их можно посадить в два ряда, чтобы
рядом не было одинаковых вариантов, а у сидящих друг за другом был один и тот же вариант?
1.15. 10 групп занимаются в десяти подряд расположенных аудиториях. Сколько существует вариантов расписания, при которых
группы №1 и №2 находились бы в соседних аудиториях?
1.16. Выпускнику средней школы, поступающему в вуз, нужно сдать
четыре экзамена и набрать на них не менее 17 баллов (двойки при
этом получать нельзя). Сколько существует разных наборов экзаменационных отметок, дающих ему право поступления?
1.17. В учебном плане 10 учебных дисциплин и три разных дисциплины можно назначить в день. Сколькими способами могут быть
распределены дисциплины в день?
1.18. Найдите число комитетов из трех человек, которые могут быть
образованы из трех человек факультета А и трех человек факультета В, если
166
а) не накладывать больше никаких ограничений на состав комитета?
б) включить в комитет только студентов факультета А?
в) включить в комитет двух студентов факультета А и одного
студента факультета В?
г) включить в комитет лишь студентов факультета В?
д) включить в комитет одного студента факультета А и двух студентов факультета В?
1.19. Между четырьмя игроками в домино поровну распределяются
28 костей. Сколькими способами можно распределить кости домино?
1.20. Сколько наборов из пяти карт можно составить таким образом,
чтобы в каждом из них было
а) ровно 3 короля?
б) не более трех королей?
в) хотя бы один король?
Считать, что в колоде 36 карт.
1.21. Тридцать человек разбиты на 3 группы по 10 человек в каждой.
Сколько может быть различных составов групп?
1.22. Из 10 роз и 8 георгинов нужно составить букет, содержащий 2
розы и 3 георгина. Сколько можно составить различных букетов?
1.23. В урне 10 белых и 6 красных шаров. Сколькими способами
можно выбрать из урны 4 шара, из которых белых будет 3?
1.24. Комплексная бригада состоит из двух маляров, трех штукатуров
и одного столяра. Сколько различных бригад можно создать из
рабочего коллектива, в котором 15 маляров, 10 штукатуров и 5
столяров?
1.25. Изготовлено 12 изделий, из которых 8 отличного качества.
Скольким числом способов можно из общего числа изделий отобрать 4 изделия таким образом, чтобы среди них было
а) два отличного качества?
б) менее двух отличного качества?
в) хотя бы одно отличного качества?
Индивидуальные задания по теме «Элементы комбинаторики»
Вариант 1.
1.1. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех
горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал
167
пяти различных оттенков?
1.2. Сколькими способами можно построить в одну шеренгу игроков
двух футбольных команд так, чтобы при этом два футболиста одной команды не стояли рядом?
Вариант 2.
1.1. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную из
слова «студент»?
1.2. Группа студентов изучает восемь различных дисциплин. Скольким числом способов можно составить расписание занятий в субботу, если в этот день недели должно быть три различных дисциплины (порядок дисциплин роли не играет)?
Вариант 3.
1.1. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из четырех горизонтальных полос, имея четыре различных цвета?
1.2. Из группы в 15 человек должны быть выделены бригадир и 4
члена бригады. Сколькими способами это можно сделать?
Вариант 4.
1.1. Четверо студентов получают оценки A, B, C, D. Сколькими различными способами можно расставить оценки так, чтобы никакие два студента не получили одну и ту же оценку?
1.2. В урне 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами из урны наугад можно вынуть три шара, чтобы при этом два шара оказались белыми, а один – черным?
Вариант 5.
1.1. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр
1; 2; 3; 4; 5 при условии, что числа могут содержать одинаковые
цифры?
1.2. Скольким числом способов можно распределить шесть пригласительных билетов на презентацию среди 30 человек?
Вариант 6.
1.1. Из пункта А в пункт В можно добраться самолетом, поездом и автобусом, причем между этими пунктами существуют два авиамаршрута, один железнодорожный и три автобусных. Скольким
числом способов можно добраться из пункта А в пункт В?
1.2. Комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще пяти
человек. Сколькими способами члены комиссии могут распределить между собой обязанности?
Вариант 7.
1.1. Сколькими различными способами можно распределить четыре
168
шара по двум лункам, в которые помещается ровно один шар?
1.2. Сколько различных аккордов можно взять на 10 выбранных клавишах рояля, если каждый аккорд может содержать от трех до
пяти звуков?
Вариант 8.
1.1. Сколькими способами можно разложить пять монет различного
достоинства по трем карманам?
1.2. Из 10 кандидатов на одну и ту же должность должны быть
выбраны трое кандидатов. Сколько может быть разных случаев
выборов?
Вариант 9.
1.1. Сколько может быть номеров телефона, если известно, что они
пятизначные? (Считается, что номера 00000 и 99999 возможны).
1.2. В хирургическом отделении работают 40 врачей. Сколькими способами из них можно организовать бригаду в составе хирурга и
ассистента?
Вариант 10.
1.1. Сколько различных способов распределения восьми студенческих путевок между тремя студенческими группами существует,
если все путевки различны?
1.2. На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько может
быть образовано тренером стартовых пятерок?
Вариант 11.
1.1. Пять студентов следует распределить по трем группам факультета. Скольким числом способов это можно сделать?
1.2. В группе 25 студентов. Из них 6 человек надо посадить на первый ряд. Сколько имеется таких способов, если не обращать внимания на порядок, в котором студенты сидят на скамейке, а только на фамилии их?
Вариант 12.
1.1. Три автомобиля, №1, №2, №3, должны доставить товар в шесть
магазинов. Сколькими способами это можно сделать, если грузоподъемность каждого из них позволяет взять товар сразу для всех
магазинов и если два автомобиля в один и тот же магазин не направляются?
1.2. Шесть человек рассаживаются на скамейке. Скольким числом
способов это можно сделать так, чтобы два определенных человека оказались рядом?
Вариант 13.
169
1.1. Сколько существует трехзначных номеров студенческих билетов,
не содержащих цифры 8?
1.2. Четыре стрелка должны поразить 8 мишеней, по две каждый.
Сколькими способами они могут распределить мишени между
собой?
Вариант 14.
1.1. Шесть пассажиров наудачу рассаживаются в трех вагонах. Скольким числом способов это можно сделать?
1.2. Вам надо выбрать два факультатива из 6. Скольким числом способов это можно сделать?
Вариант 15.
1.1. Сколько различных трехзначных чисел, делящихся на 3, можно
составить из цифр 0; 1; 2; 3; 4; 5, если каждое число не должно
содержать одинаковых цифр?
1.2. Скольким числом способов можно выбрать три красных и два
черных шара, если в коробке находится 7 красных и 5 черных
шаров?
Вариант 16.
1.1. Буквы азбуки Морзе образуются как последовательности точек и
тире. Сколько различных букв можно образовать, если использовать 5 символов?
1.2. Из колоды, содержащей 36 карт, наугад вытаскивают 5 карт.
Сколько существует таких наборов, в которых содержится три
туза?
Вариант 17.
1.1. Сколько существует различных семизначных номеров телефона?
(Телефонный номер может начинаться с нуля).
1.2. На собрании присутствуют 40 человек. Необходимо избрать
председателя, секретаря и двух членов президиума. Скольким
числом способов это можно сделать?
Вариант 18.
1.1. Сколько различных трехзначных чисел может быть составлено из
цифр 1; 2; 3; 4; 5, если в каждом числе нет одинаковых цифр?
1.2. Вам надо выбрать два факультатива из шести. Скольким числом
способов это можно сделать, если занятия на двух факультативах
начинаются с 10 часов, еще двух других – с 12 часов, а остальные
не пересекаются во времени?
Вариант 19.
1.1. Сколько существует натуральных чисел, меньших 10 4 , в записи
170
которых в десятичной системе все числа различны?
1.2. Из слова «дом» перестановками букв можно получить слова
«дмо», «одм», «мдо», «омд», «мод», которые называют анаграммами. Сколько анаграмм можно получить из слова «полдень»?
Вариант 20.
1.1. Сколько существует различных трехцветных флагов с тремя вертикальными полосами одинаковой ширины, если можно использовать материю семи цветов?
1.2. Вам надо выбрать два факультатива из шести. Скольким числом
способов это можно сделать, если два факультатива совпадают по
времени?
Вариант 21.
1.1. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1; 2; 3;
4; 5; 6; 7; 8, если каждое из них можно использовать не более одного раза?
1.2. В ящике 12 деталей, из которых 4 окрашены. Скольким числом
способов можно из ящика выбрать три детали таким образом,
чтобы среди них было две окрашенных?
Вариант 22.
1.1. Сколько можно образовать целых чисел, из которых каждое изображалось бы тремя различными цифрами?
1.2. На станке должны быть последовательно обработаны пять различных деталей. Сколько вариантов должен проанализировать
технолог для выбора наилучшей очередности их обработки?
Вариант 23.
1.1. Сколько различных способов распределения шести пирожных
между тремя людьми, если все пирожные разные?
1.2. Сколькими способами можно рассадить группу студентов из 25
человек в аудитории, имеющей 30 мест?
Вариант 24.
1.1. Сколько существует шестизначных чисел, делящихся на пять?
1.2. Десять книг расставляются на одной полке. Сколькими способами их можно расставить так, чтобы при этом две определенные
книги оказались рядом?
Вариант 25.
1.1. На вершину горы ведут семь дорог. Сколькими способами турист
может подняться на гору и вернуться назад?
1.2. Вратарь 10 раз выбрасывает мяч в игру. Предположим, что тренер рекомендовал подавать мяч каждый раз другому игроку сво171
ей команды. Сколько возможных вариантов может выбрать вратарь?
Вариант 26.
1.1. На вершину горы ведут пять дорог. Сколькими способами турист
может подняться на гору, а потом спуститься с нее, если спуск и
подъем происходят по разным дорогам?
1.2. В колоде 52 карты. Сколько существует возможных способов извлечь наугад из них три карты: «тройку», «семерку», «туза»?
Вариант 27.
1.1. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1; 2; 3; 4; 5, если каждую можно использовать любое число раз?
1.2. Сколько можно набрать комбинаций из шести карт, каждая из которых содержит два «короля», одну «даму», если в колоде 36
карт?
Вариант 28.
1.1. Сколько четырехзначных чисел, составленных из цифр 0; 1; 2; 3;
4; 5, содержат цифру 3 (цифры в числах не повторяются)?
1.2. Восемь авторов должны написать книгу из 16 глав. Сколькими
способами возможно распределение материала между авторами,
если два человека напишут по три главы, четыре – по две и два –
по одной?
Вариант 29.
1.1. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0; 3; 4; 5; 7; 8, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?
1.2. В хирургическом отделении работают 20 врачей и 25 медсестер.
Сколькими способами можно организовать бригаду в составе
двух врачей и пяти медицинских сестер?
Вариант 30.
1.1. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0; 1; 3; 5; 7, если каждое число не должно содержать
одинаковых цифр?
1.2. Укротителю диких зверей предстоит выпустить на арену одного
за другим 5 львов и 4 тигра. Сколькими способами он это может
сделать?
§2. АЛГЕБРА СОБЫТИЙ
172
Изучение случайных явлений обязательно связано с проведением
испытаний (опытов) по измерению некоторых количественных показателей. При этом под опытом понимают соблюдение определенного
комплекса условий. В результате опытов появляются или не появляются некоторые события. Таким образом, событие  это всякий факт,
который может произойти или нет в результате данного опыта.
П р и м е р 1 . Пусть опыт состоит в измерении некоторых показателей (характеристик) свойств грунта. Тогда попадание (или непопадание) полученного в опыте значения показателя в определенный
интервал значений  это событие.
События бывают невозможными, достоверными и случайными.
Невозможное событие  это событие, которое никогда не произойдет в результате данного опыта; достоверное событие  это событие, которое всегда произойдет в результате данного опыта; случайное событие  это событие, наступление которого заранее, то есть
apriori, предсказать невозможно.
Будем обозначать случайные события большими буквами латинского алфавита A, B, C ,..., достоверное событие  буквой Ω, невозможное  буквой Θ (по аналогии с теорией множеств, из которой
можно получить формальные выражения для алгебры событий).
П р и м е р 2 . Для рассмотренного в примере 1 опыта случайное
событие А={влажность грунта равна 200 %}, невозможное событие
Θ ={влажность грунта равна 1 000% }, достоверное событие
Ω ={влажность грунта находится в интервале 0;1 000%  }.
П р и м е р 3 . Производится измерение (опыт) прочности цементобетона на сжатие. В результате опыта могут произойти случайные
события, например, событие А={прочность равна 10 МПа}, событие
В={прочность равна 10,2 МПа}, невозможное событие Θ ={прочность
равна 150 МПа}, достоверное событие Ω ={прочность находится в
интервале 0;100  МПа}.
Алгебра событий изучает операции, производимые над событиями (по аналогии с алгеброй чисел, многочленов и т.д.).
Суммой событий A1 , A2 ,..., An называют событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий в результате данного опыта. Обозначают: A1  A2  ...  An , или A1  A2  ...  An . Символ сложения   можно ассоциировать с "или". Так, например, равенство
C  A  B означает: произойдет событие или А, или В, или оба вместе:
173
А и В.
Произведением событий A1 , A2 ,..., An называют событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий в результате данного опыта. Обозначают: A1  A2  ...  An , или A1  A2  ...  An . Символ
умножения  можно ассоциировать с “и”. Равенство С  А  В означает: произойдет и событие А, и событие В.
Для операций сложения и умножения событий справедливы формулы:
A  B  B  A; A  B  B  A;
 A  B   C  A  B  C ;  A  B   C  A  B  C ;
 A  B   C  A  C  B  C;
A  Ω  A; A  Θ  1.
Два последних равенства показывают, что достоверное событие
Ω играет в алгебре событий роль единицы, а невозможное событие Θ
– роль нуля.
Однако алгебра событий не совпадает с алгеброй чисел, в частности, заметим, что в алгебре событий A  A  A; A  A  A.
События A1 , A2 ,..., An называют несовместными, если появление
одного события полностью исключает появление других в одном и
том же опыте, то есть Ai  A j  1, i  j; i, j  1, n.
Для несовместных событий A1 , A2 ,..., An их сумма A1  A2  ...  An
есть событие, состоящее в наступлении одного и только одного из
этих событий, а произведение несовместных событий есть невозможное событие, то есть A1  A2  ...  An  1.
Введем понятие противоположного события. Пусть А  некоторое событие. Если в результате опыта событие А не наступает, то говорят, что наступает событие, противоположное событию А. Обозначают его A, при этом говорят: происходит событие “не А” (противоположное событие). События А и A являются несовместными, и, учитывая определения суммы и произведения событий, имеем
A  A  Ω; A  A  1.
Приведем примеры, иллюстрирующие данные выше определения.
П р и м е р 4 . Пусть опыт состоит в измерении прочности образца асфальтобетона на сжатие. Определим события: А={прочность об174
разца находится в интервале (30;32) МПа}; В={прочность образца находится в интервале (31;34) МПа}; С={прочность образца находится в
интервале (33;34) МПа}; D={прочность образца находится в интервале (30;34) МПа}; Е={прочность образца находится в интервале (31;32)
МПа}; F={прочность образца находится вне интервала (33;34) МПа}.
Тогда D  A  B; E  A  B; F  C , а события А и С несовместны
при испытании одного образца.
О п р е д е л е н и е . События A1 , A2 ,..., An образуют полную группу
(систему) событий, если в результате опыта происходит одно и только
одно из этих событий.
Из определения следует, что события, образующие полную группу событий, несовместны, а их сумма A1  A2  ...  An  Ω.
Задачи по теме «Алгебра событий»
2.1. Выяснить, каким событиям соответствуют следующие события:
а) А  Θ ; б) А  Ω ; в) Θ ; г) Ω .
2.2. Событие В является частным случаем события А, то есть из появления события В следует обязательное появление события А. Чему равны: а) их сумма; б) их произведение?
2.3. Назвать противоположные события для следующих событий:
а) А – выпадение двух гербов при бросании двух монет; б) В –
появление белого шара при вынимании одного шара из урны, в
которой два белых, три черных и четыре красных шара; в) С –
три попадания при трех выстрелах; г) выпадение хотя бы трех
очков при одном бросании игральной кости.
2.4. Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число. Событие
А – число делится на 5; событие В – число оканчивается на 0. Что
означают события: а) А  В ; б) А  В ?
2.5. Рассматриваются события: А – хотя бы один из трех проверяемых
приборов бракованный; В – все приборы доброкачественные. Что
означают события: а) А  В ; б) А  В ; в) А  В ; г) А  В ;
д) А  В ?
2.6. Событие А – сдача экзамена; событие В – получение оценки
«пять». В чем состоят события: а) А  В ; б) А  В ; в) А  В ;
г) А  В ?
2.7. Событие А1 – появление четного числа очков при бросании игральной кости, событие А2 – появление двух очков, событие А3 –
175
появление четырех очков, событие А4 – появление шести очков.
Определить, каким событиям из этого списка равносильны следующие события: 1) А1  А4 ; 2) А2  А3 ; 3) А1  А2 ; 4) А1  А3  А4 ;
5) А1  А2  А3 ; 6) А1  А2  А3  А4 .
2.8. Производится два выстрела по мишени. Образуют ли полную
группу события С1  хотя бы одно попадание и С 2  хотя бы
один промах?
2.9. Некто написал три письма, запечатал в конверты, а затем наудачу
на каждом написал адреса. Событие Аi – адрес на i-м конверте
написан верно (i=1;2;3). Представить в виде сумм, произведений
или сумм произведений событий Аi , Аi следующие события:
а) на всех конвертах написаны правильные адреса;
б) только на двух конвертах написаны правильные адреса;
в) только на одном конверте правильный адрес;
г) хотя бы на одном конверте правильный адрес;
д) хотя бы на двух конвертах правильный адрес;
е) ни на одном конверте нет правильного адреса;
ж) хотя бы на одном конверте неправильный адрес;
з) только на одном конверте неправильный адрес;
и) только на первом конверте правильный адрес;
к) только на первом конверте неправильный адрес.
2
1
4
3
2.10. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной ниже.
Событие Аk – выход из строя k-го элемента, k=1;2;3;4. Пусть событие С означает, что тока в цепи нет. Выразить события С и С в
алгебре событий Аk , k=1;2;3;4.
2.11. Электрическая цепь составлена по нижеприведенной схеме. Событие Аk – элемент с номером k исправен, k=1;2;3;4;5. Событие
С означает разрыв цепи. Записать в алгебре событий Аk события
1
2
176
3
4
5
С и С.
Индивидуальные задания по теме «Алгебра событий»
Задача 1. Опыт состоит в бросании двух монет. Рассматриваются
следующие события:
А – появление герба Г на первой монете;
В – появление цифры Ц на первой монете;
С – появление герба Г на второй монете;
D – появление цифры Ц на второй монете;
Е – появление хотя бы одного герба;
F – появления хотя бы одной цифры;
G – появление одного герба и одной цифры;
H – непоявление ни одного герба;
K – появление двух гербов.
Определить, каким событиям этого списка равносильны следующие
события: 1) А  С ; 2) А  С ; 3) E  F ; 4) G  E ; 5) G  E ; 6) B  D ;
7) E  K ; 8) B  D .
Задача 2. Проводится наблюдение за группой, состоящей из четырех однородных объектов. Каждый из них за время наблюдения
может быть обнаружен или не обнаружен. Рассматриваются события:
А – обнаружен ровно один объект;
В – обнаружен хотя бы один объект;
С – обнаружено не менее двух объектов;
D – обнаружено ровно два объекта;
Е – обнаружено ровно три объекта;
F – обнаружены все четыре объекта.
Определить, каким событиям этого списка равносильны следующие
события: 1) А  В ; 2) А  В ; 3) B  C ; 4) В  С ; 5) D  E  F ; 6) В  F ;
7) C  F .
Задача 3. Производится три выстрела по мишеням. Рассматриваются события Аi – попадание при i-м выстреле, i=1;2;3. Представить в
виде сумм, произведений или сумм произведений событий Аi , Аi
следующие события:
1) А – все три попадания;
2) В – все три промаха;
3) С – хотя бы одно попадание;
4) D – хотя бы один промах;
177
5) E – не меньше двух попаданий;
6) F – не более одного попадания;
7) G – попадание в мишень не раньше, чем при третьем выстреле;
8) H – только одно попадание.
Задача 4. Проверяется исправность трех приборов. Событие Аi –
i-й прибор исправен; событие Аi – i-й прибор неисправен, i=1;2;3.
Используя сложение и умножение указанных событий, записать следующие события:
1) А – все три прибора исправны;
2) В – хотя бы один прибор исправен;
3) С – хотя бы один прибор неисправен;
4) D – все три прибора неисправны;
5) E – только первый прибор исправен;
6) F – исправно не более двух приборов;
7) G – исправно не менее двух приборов.
Задача 5. Устройство состоит из блоков А, В, каждый из которых
состоит из нескольких элементов. Параллельное соединение означает
дублирование функций элементов и блоков и используется для повышения надежности устройства. Начертить эскиз получаемой схемы
согласно номеру варианта, пронумеровать элементы схемы числами
и, используя элементарные события Аi – безотказная работа i-го элемента, i=1;2;3;4;5;6, и операции над событиями, записать выражение
для события, состоящего в безотказной работе устройства, и события,
противоположного ему.
A
I
A
II
B
B
Схемы устройства блоков:
1
2
3
4
5
6
178
Задание 2.1.
Номер варианта
Номер задачи
Номер пункта
Номер
варианта
Номер
задачи
Номер
пункта
1
3
8
2
3
7
3
3
6
4 5 6 7 8 9
3 3 3 3 3 4
5 4 3 2 1 7
10
4
6
11
4
5
12
4
4
13
4
3
14
4
2
15
4
1
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
Задание 2.2 по условию задачи 5.
Номер варианта
Номер схемы соединения блоков
Номера схем A
блоков
B
Номер
вариан- 16
та
Номер
схемы
соедиII
нения
блоков
НоA 6
мера
схем
бло- B 2
ков
1
2
3
4
5
6 7 8 9 10
11
12
13
14
15
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
II
6
2
1
2
1
3
1
4
2
3
2 3 3 3
4 4 6 5
4
5
1
6
4
6
2
5
1
5
6
1
17
18
19
20
21
22
23
24
25 26
27
28
29
30
II
II
II
II
II
II
II
II
II
II
II
II
II
II
6
6
6
5
5
5
5
4
4
4
4
3
3
2
3
4
5
1
2
3
4
1
2
3
5
1
2
1
I
I
§3. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ ПОДСЧЕТ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОБЫТИЙ
Рассмотрим полную группу попарно несовместных событий
А1 , А2 ,..., Аn , связанную с некоторым опытом. Предположим, что в
этом опыте осуществление каждого из событий А1 , А2 ,..., Аn равно179
возможно, т.е. предположим, что не существует никаких объективных
оснований считать, что одно из событий является более возможным,
чем другое. Такой опыт мы будем называть опытом с равновероятными исходами. В этом случае будем говорить, что события
А1 , А2 ,..., Аn равновероятны и что вероятность каждого из этих событий равна
1
. Записывать это будем следующим образом:
n
1
1
1
P( A1 )  ; Р( А2 )  ,....; Р( Аn )  .
n
n
n
П р и м е р 1 . Пусть в опыте с подбрасыванием игральной кости
Аi – событие, состоящее в том, что кость выпала гранью с цифрой i.
События А1 , А2 ,..., А6 образуют полную группу попарно несовместных
событий. Так как кость предполагается однородной и симметричной,
то все исходы опыта естественно считать одинаково возможными.
Следовательно, рассматриваемый опыт является опытом с равновероятными исходами, события А1 , А2 ,..., А6 равновероятны и
1
1
1
P( A1 )  ; Р( А2 )  ,....; Р( А6 )  .
6
6
6
События А1 , А2 ,..., Аn , образующие полную группу попарно несовместных и равновероятных событий, будем называть элементарными событиями.
Рассмотрим теперь событие А, связанное с опытом с равновероятными исходами, и пусть А наступает тогда, когда осуществляется
одно из каких-то m элементарных событий и не наступает, если осуществляется любое из оставшихся m  n  элементарных событий.
Будем говорить, что элементарные события, приводящие к наступлению события А, благоприятствуют событию А.
П р и м е р 2 . В опыте с игральной костью (см. пример 1) событию А (число выпавших очков кратно 3) благоприятствуют два элементарных события A3 и A6 ; событию В (выпало простое число) благоприятствуют А2 , А3 , А5 событию С (выпало 7 очков) не благоприятствует ни одно из шести элементарных событий; событию D (число
выпавших очков меньше 7) благоприятствуют все шесть элементарных событий.
О п р е д е л е н и е . Вероятностью Р(А) события А, связанного с
m
опытом с равновероятными исходами, называется отношение
чисn
ла элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу
180
всех элементарных событий, т.е.
m
.
(3.1)
n
П р и м е р 3 . Вероятности событий А, В, С, D, рассмотренных в
примере 2, будут, следовательно,
2 1
0
6
3 1
P( A)   ; Р ( В )   ; Р(С )   0; Р( D )   1.
6 2
6 3
6
6
Формула (3.1) дает так называемое классическое определение вероятности события, она применяется только тогда, когда опыт сводится к схеме случаев, т.е. обладает симметрией возможных исходов.
Так как число благоприятствующих случаев всегда заключено
между 0 и n (0 – для невозможного и n – для достоверного событий),
то вероятность события, вычисленная по формуле (3.1), всегда есть
правильная рациональная дробь:
Р( А) 
0  Р ( А)  1.
(3.2)
П р и м е р 4 . Десять книг наудачу расставляются на книжной
полке. Какова вероятность того, что три конкретные книги из этих десяти (скажем, учебники математики, физики и химии) окажутся
стоящими рядом (событие А)?
Элементарным исходом опыта следует считать любую расстановку десяти книг на полке; слово «наудачу» служит указанием на то,
что всевозможные расстановки равновероятны. Число всех расстановок равно n=10!. Благоприятными для события А являются перестановки, в которых три данные книги стоят рядом. Представим, что три
данные книги объединены в одну связку; условимся рассматривать
эту связку как одну большую книгу. Тогда можно считать, что имеется 8 книг, которые можно расставлять 8! способами. Учитывая, что
внутри «большой» книги три данные книги могут переставляться 3!
8!3! 1
способами, получаем, что m  8!3!. Таким образом, Р( А) 
 .
10! 15
П р и м е р 5 . Партия из 100 железобетонных плит подвергается
выборочному контролю. Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной бракованной плиты среди пяти проверенных. Какова вероятность для данной партии быть непринятой, если
она содержит 5% плит, не удовлетворяющих проекту?
Событие Ai – среди пяти проверенных будет i штук бракованных
181
плит.
Событие А – хотя бы одна плита, не удовлетворяющая проекту,
среди пяти проверенных: A  A1  A2  A3  A4  A5 .
Так как партия из 100 плит содержит 5 % плит, не удовлетворяющих проекту, то 95 плит будут удовлетворять проекту, а 5 плит –
m
нет. P( Ai )  i , где п (общее число элементарных событий) есть чисn
ло способов, которыми могут быть выбраны для контроля 5 плит из
5
100; n  C100
; mi – число элементарных событий, благоприятствующих
появлению события Ai , то есть число элементарных событий, в каждом из которых окажется ровно i плит, не удовлетворяющих проекту,
5 i
1  i  5; тогда mi  C5i  C95
и m  m1  m2  m3  m4  m5 . Следовательно,
4
3
2
1
0
C51C95
 C52C95
 C53C95
 C54 C95
 C55C95
P( A) 
 0,23.
5
C100
В заключение этого параграфа отметим, что, с одной стороны,
вычисленные значения вероятностей событий надо оценивать с позиций практики и предыдущего опыта и в случае получения резко отличающихся от здравого смысла результатов проверить еще раз правильность ваших рассуждений, а с другой стороны, следует помнить,
что ответ на какую-нибудь задачу, полученный с помощью теории
вероятностей, может совершенно не согласовываться с нашей интуицией.
В современных математических курсах вероятность определяется
аксиоматически, как функция Р(А), определенная на множестве событий {A} и удовлетворяющая следующим аксиомам:
1. 0  Р( А)  1 .
2. P Ω   1 .
3. P Θ   0 .
4. P  A  B   P  A  P B  ,
где события А и В несовместны. Эту аксиому называют аксиомой
сложения вероятностей.
5. P A  B   P A  PB A ,
где P B A  вероятность события В при условии, что событие А произошло (иначе PB A  условная вероятность события В).
182
Эту аксиому называют аксиомой умножения событий. Так как
А  В  В  А , то аксиому умножения справедливо записать и в виде
P  A  B   P В   P  А В  , где P  А В   вероятность события А, вычисленная при условии, что наступило событие В.
Задачи по теме «Непосредственный подсчет вероятностей»
3.1. Бросаются одновременно два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7?
3.2. Монета бросается дважды. Какова вероятность того, что хотя бы
один раз выпадет герб?
3.3. Какова вероятность того, что при заполнении карточки спортивной лотереи, содержащей 49 чисел, будет угадано 4 номера из 6
«счастливых», если играющий зачеркивает 6 чисел по своему усмотрению?
3.4. В ящике находится 10 стандартных и 5 нестандартных деталей.
Какова вероятность, что среди наугад взятых шести деталей будет 4 стандартных и 2 нестандартных?
3.5. В коробке лежит 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Найти вероятность того, что из пяти взятых наугад шаров будет четыре белых.
3.6. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и,
помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Какова
вероятность того, что номер набран правильно?
3.7. Среди 100 электроламп 5 испорченных. Какова вероятность того,
что выбранные наудачу 3 лампы окажутся исправными?
3.8. На пяти одинаковых карточках написаны буквы а, д, к, л, о. После
тщательного перемешивания берут по одной карточке и кладут
последовательно рядом. Какова вероятность того, что получится
слово «лодка»?
3.9. Лифт в пятиэтажном доме отправляется с тремя пассажирами.
Найти вероятность того, что на каждом этаже выйдет не более
одного пассажира, предполагая, что все возможные способы распределения пассажиров по этажам равновероятны.
3.10. Полная колода карт (52 листа) делится наугад на две равные части по 26 листов. Найти вероятность того, что в одной из пачек не
будет ни одного туза, а в другой – все четыре.
3.11. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку
наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.
183
3.12. Имеется две урны: в первой 10 белых и 7 черных шаров; во второй 8 белых и 5 черных. Из каждой урны вынимается по шару.
Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.
3.13. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли четыре человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятности того, что
все пассажиры выйдут на разных этажах.
3.14. Четыре зенитных пулемета ведут огонь по трем самолетам. Каждый пулемет выбирает объект обстрела наугад. Какова вероятность, что все 4 пулемета ведут огонь по одному и тому же самолету?
3.15. Первенство по баскетболу оспаривают 18 лучших команд, которые путем жеребьевки распределяются на две группы по 9 команд в каждой. 5 наиболее сильных команд занимают первые
места. Какова вероятность попадания: а) всех лидирующих команд в одну группу; б) двух лидирующих команд в одну группу,
а трех – в другую?
3.16. Телефонный номер состоит из пяти цифр. Найти вероятность того, что: а) все цифры одинаковы; б) все цифры различны. (00000
и 99999 возможны).
3.17. Четыре шарика случайным образом разбрасываются по четырем
лункам. Каждый шарик попадает в ту или иную лунку с одинаковой вероятностью и независимо друг от друга. Найти вероятность
того, что в одной из лунок окажется 3 шарика, в другой – один, а
в двух других шариков не будет.
3.18. Из последовательности целых чисел 1, 2, …,10 наудачу выбирают два числа. Какова вероятность того, что одно из них меньше 6,
а другое – больше 6?
3.19. Найти вероятность того, что среди четырех выбранных наудачу
цифр: а) все одинаковые; б) три одинаковые; в) только две одинаковые; г) по две пары одинаковых; д) все разные.
Индивидуальные задания по теме «Непосредственный подсчет
вероятностей»
Вариант 1.
3.1. В урне 6 белых и 4 черных шара. Какова вероятность того, что
среди пяти шаров, наудачу вынутых из урны, будет 3 белых и 2
черных?
184
3.2. Десять человек случайным образом садятся за круглый стол. Найти вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом.
Вариант 2.
3.1. Из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 наудачу выбирают два числа. Найти вероятность того, что их сумма делится на 3.
3.2. В лотерее 100 билетов, из них 40 выигрышных. Какова вероятность, что ровно один из трех взятых билетов окажется выигрышным?
Вариант 3.
3.1. Найти вероятности того, что при бросании двух игральных костей
сумма выпавших очков не превзойдет 5.
3.2. Среди 17 студентов группы, из которых 8 девушек, разыгрывается 7 билетов. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 4 девушки?
Вариант 4.
3.1. Из колоды, содержащей 52 карты, наудачу извлекают 4 карты.
Какова вероятность того, что среди этих четырех карт будет одна
дама?
3.2. На шести одинаковых по форме и размеру карточках написаны
буквы слова ТАЛАНТ – по одной букве на каждой карточке. Карточки брошены в мешок и тщательно перемешаны. Затем их вынимают наудачу и располагают на столе одну за другой в порядке
появления. Какова вероятность снова получить слово ТАЛАНТ?
Вариант 5.
3.1. В партии из 100 изделий 10 изделий бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых четырех изделий три будут небракованные?
3.2. Из чисел 1, 2, 3,…,10 наугад выбираются два числа. Какова вероятность того, что их сумма будет четной?
Вариант 6.
3.1. На каждой из десяти карточек написаны буквы А, А, А, М, М, Т,
Т, Е, К, И. Ребенок, не умеющий читать, складывает эти карточки
в случайном порядке. Какова вероятность того, что он получит
слово МАТЕМАТИКА?
3.2. Наудачу взятый телефонный номер состоит из шести цифр. Какова вероятность того, что в нем все цифры различные?
Вариант 7.
3.1. Бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что
сумма выпавших очков больше, чем их произведение.
185
3.2. В урне находятся 5 белых, 8 черных и 7 синих шаров. Наугад извлекаются 4 шара. Найти вероятность того, что среди них 3 черных и один белый.
Вариант 8.
3.1. Среди имеющихся 10 одинаковых по внешнему виду телевизоров
половина неисправных. Наугад выбирают три телевизора. Какова
вероятность того, что из трех выбранных наугад телевизоров 2
окажутся исправными?
3.2. Определить вероятность того, что при одновременном подбрасывании двух игральных костей произведение выпавших очков равно 6.
Вариант 9.
3.1. В лотерее 50 билетов, из них 10 выигрышных. Какова вероятность того, что из трех взятых наудачу билетов хотя бы два окажутся выигрышными?
3.2. Полная колода карт (52 листа) делится на две равные пачки по 26
листов. Найти вероятности следующих событий: а) в каждой из
пачек окажется по два туза; б) в одной из пачек будет один туз, а
в другой – три.
Вариант 10.
3.1. Девять пассажиров наудачу рассаживаются в трех вагонах. Найти
вероятность того, что в один вагон сядут 4, в другой – 3 и в третий – 2 пассажира.
3.2. Четырехтомное сочинение стоит на полке в случайном порядке.
Какова вероятность того, что номера томов образуют монотонную последовательность?
Вариант 11.
3.1. Группа из 10 мужчин и 10 женщин делится случайным образом
на две части. Найти вероятность того, что в каждой части мужчин
и женщин одинаково.
3.2. Десять студентов условились ехать в определенном электропоезде, но не договорились о вагоне. Какова вероятность, что ни один
из них не встретится с другим, если в составе электропоезда 10
вагонов? Предполагается, что все возможности в распределении
студентов по вагонам равновероятны.
Вариант 12.
3.1. Найти вероятность того, что среди трех выбранных наудачу цифр:
а) все одинаковые; б) две одинаковые; в) все разные.
3.2. Из полной колоды карт (52 листа) наудачу извлекают три карты.
186
Найти вероятность того, что это будут «тройка», «семерка» и
«туз».
Вариант 13.
3.1. На первом курсе студенты слушают лекции по восьми предметам.
Первого сентября в расписание включают 4 лекции по разным
предметам. Какова вероятность того, что студент, не знающий
расписания, угадает все предметы, по которым будут прочитаны
лекции 1 сентября?
3.2. В партии из 26 калькуляторов имеется 6 неисправных. Из партии
наугад выбирают 4 калькулятора. Какова вероятность того, что в
числе отобранных четырех калькуляторов два будут исправными?
Вариант 14.
3.1. Из партии из 20 деталей, среди которых 2 бракованных, проверяют половину и признают годной всю партию, если среди проверенных изделий бракованных не более одного. Какова вероятность, что партия этих изделий будет признана годной?
3.2. Восемь шаров, пронумерованных от 1 до 8, находятся в урне.
Наугад берутся два шара. Найти вероятность того, что на одном
из шаров окажется число, большее, чем 6, а на другом – меньшее,
чем 6.
Вариант 15.
3.1. Батарея из трех орудий ведет огонь по группе, состоящей из пяти
целей. Орудия выбирают себе цели последовательно, случайным
образом, при условии, что никакие два орудия стрелять по одной
цели не могут. Найти вероятность того, что будут обстреляны цели с номерами 1, 2, 3.
3.2. Брошены две игральные кости одновременно. Найти вероятность
того, что сумма очков на выпавших гранях – четная, причем на
грани хотя бы одной из костей появится шестерка.
Вариант 16.
3.1. Из 60-ти вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент
подготовил 50. Какова вероятность того, что вытянутый студентом билет, содержащий два вопроса, будет состоять из подготовленных им вопросов?
3.2. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность того, что
сумма очков, выпавших на двух костях, окажется равной восьми?
Вариант 17.
3.1. В ящике имеются 10 белых и 5 черных шаров. Наудачу вынимают
187
3 из них. Какой состав шаров по цвету извлечь наиболее вероятно?
3.2. Чему равна вероятность того, что два лица А и В окажутся рядом,
если они рассаживаются вместе с 15 остальными произвольным
образом в ряд из 17-ти мест?
Вариант 18.
3.1. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Неграмотный мальчик перемешал буквы, а потом их наугад собрал.
Какова вероятность того, что он опять составил слово «книга»?
3.2. В играх на турнире по футболу участвуют 16 команд, которые
будут распределены по жребию на две группы по 8 команд. Какова вероятность того, что две команды-победительницы прошлогоднего турнира войдут в одну группу?
Вариант 19.
3.1. В первом ряду театра сидят 3 женщины и 27 мужчин. Какова вероятность, что все три женщины сидят рядом?
3.2 Найти вероятность того, что среди 12 карт, вынутых из колоды в
36 карт, будет по 3 карты каждой масти?
Вариант 20.
3.1. У сборщика 10 деталей, мало отличающихся друг от друга, четыре первого, по две второго, третьего и четвертого видов. Какова
вероятность того, что среди шести взятых одновременно деталей
окажутся три первого вида, две второго и одна третьего?
3.2. Подбрасываются две игральные кости. Найти вероятность того,
что сумма выпавших очков четная.
Вариант 21.
3.1. В одном ящике 4 белых и 6 черных шарика. Во втором 3 белых и
7 черных. Из каждого ящика наугад вынимается по одному шарику. Чему равна вероятность того, что оба шарика окажутся
черными?
3.2. Из колоды карт в 52 листа извлекаются наудачу 4 карты. Найти
вероятность того, что будут извлечены карты: «валет», «дама»,
два «туза».
Вариант 22.
3.1. Из партии, содержащей 10 одинаковых изделий, случайным образом отбирают три. Найти вероятность того, что среди отобранных
изделий все исправны, если известно, что партия содержит два
неисправных изделия.
3.2. На одинаковых карточках написаны буквы А, А, А, К, Р, Д, Н, Ш.
188
Карточки перемешиваются и случайным образом раскладываются. Какова вероятность того, что получится слово КАРАНДАШ?
Вариант 23.
3.1. В группе 20 студентов, среди которых 8 девушек. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди
отобранных студентов пять девушек.
3.2. В урне находятся карточки с номерами 1, 2, 3, 4. 5, 6. Наугад вынимают карточки одну за другой. Найти вероятность появления
карточек в порядке возрастания.
Вариант 24.
3.1. Имеется 6 билетов в театр, из которых 4 на места первого ряда.
Какова вероятность того, что из трех выбранных наугад билетов
два окажутся на места первого ряда?
3.2. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и
решил набрать их наугад. Какова вероятность набрать правильный номер, если абонент вспомнил, что две последние цифры
различны и меньше 5?
Вариант 25.
3.1. Устройство состоит из пяти элементов, из которых 2 изношены.
При включении устройства включаются случайным образом 2
элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся
неизношенные элементы.
3.2. Из шести одинаковых карточек с буквами Л, И, Т, Е, Р, А выбираются наугад в определенном порядке четыре. Найти вероятность того, что при этом получится слово ТИРЕ.
Вариант 26.
3.1. В шахматном турнире участвуют 20 человек, которые по жребию
распределяются в две группы по 10 человек. Найти вероятность
того, что четверо сильнейших противников попадут по два в разные группы.
3.2. На карточках написаны числа 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13. Наугад берутся две карточки. Найти вероятность того, что образованная из
двух чисел дробь сократима.
Вариант 27.
3.1. Имеется десять шариков, которые разбрасываются по пяти лункам. Найти вероятность того, что в первую лунку попадет ровно 3
шарика, во вторую – 2 шарика, в третью – 3 шарика, в четвертую
– 1 шарик, в пятую – 1 шарик.
3.2. Чему равна вероятность того, что у 12 человек дни рождения
189
приходятся на разные месяцы?
Вариант 28.
3.1. В забеге участвуют 6 одинаково подготовленных спортсменов.
Трое из них получают призовые места. Какова вероятность того,
что болельщик угадает тройку лидеров (без учета их мест)?
3.2. В студсовете 15 человек, из которых 3 первокурсника, 5 второкурсников и 7 третьекурсников. Из этого состава выбирают наугад 5 человек на предстоящую конференцию. Какова вероятность, что все первокурсники попадут на конференцию?
Вариант 29.
3.1. В лотерее 100 билетов, из которых 20 выигрышные. Участник купил 5 билетов. Какова вероятность того, что из пяти купленных
билетов выигрышных будет 3?
3.2. На девяти одинаковых карточках написаны цифры от 0 до 8. Две
из них вынимаются наугад и укладываются на стол в порядке появления, затем читается полученное число. Найти вероятность
того, что образованное число будет четным.
Вариант 30.
3.1. Найти вероятность того, что наудачу выбранное двухзначное
число делится на 8.
3.2. Из шести букв разрезной азбуки составлено слово «ананас». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал в
произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова
получилось слово «ананас».
§4. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОБЫТИЙ
Понятие независимости  одно из центральных понятий в теории
вероятностей. В этом параграфе речь будет идти о независимости
случайных событий.
О п р е д е л е н и е . События А и В называются независимыми, если
вероятность появления каждого из них не зависит от появления или
непоявления другого события, то есть
P  A / B   P A; P B / A   P B .
(4.1)
Другими словами, если А и В  независимые события, то их условные вероятности равны вероятностям этих событий, которые на190
зывают безусловными.
Аксиома умножения для независимых событий принимает вид
P  A  B   P  A  P B .
(4.2)
Пусть теперь для некоторых событий А и В выполняется соотношение (4.2). В этом случае из аксиомы умножения немедленно следуют соотношения (4.1). Это означает, что в качестве определения независимости событий А и В можно взять равенство (4.2).
О п р е д е л е н и е . События А1 , А2 ,..., Аn называют независимыми в
совокупности, если каждое из этих событий и любая комбинация остальных событий являются независимыми событиями, то есть

  
P AK1 / AK 2  AK 3  ...  AK S  P AK1 ,
(4.3)
где K1 , K 2 ,..., K S – любые числа из множества 1;2;...; n , s  n.
На практике обычно бывает очень сложно, а иногда и невозможно проверить справедливость равенств (4.1) или (4.3), поэтому зачастую выводы о независимости событий приходится делать, исходя из
здравого смысла, то есть исходя из гипотезы о физической независимости событий, и следовать этим выводам, если полученные результаты не противоречат практике. Такой подход объясняется тем, что
если какие-либо события оказываются пренебрежимо мало связанными физически, то их считают физически независимыми, а из физической независимости следует независимость в вероятностном смысле.
П р и м е р 1 . Опыт состоит в бросании двух монет, рассматриваются события: А – появление герба на первой монете; В – появление
герба на второй монете.
В данном случае вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет; событие А независимо от события В.
П р и м е р 2 . В урне два белых шара и один черный; два лица
последовательно вынимают из урны по одному шару; рассматриваются события: А – появление белого шара у 1-го лица; В – появление белого шара у 2-го лица.
Вероятность события А до того, как известно что-либо о событии
191
2
. Если стало известно, что событие В произошло, то веро3
1
ятность события А становится равной , из чего заключаем, что со2
бытие А зависит от события В.
В, равна
П р и м е р 3 . В отряде по устройству насыпи работают четыре
скрепера, один автогрейдер и два катка. Событие А  выход из строя
(поломка) автогрейдера. Событие В  выход из строя любого катка.
Очевидно, можно считать события А и В независимыми, так как вероятность появления события А не зависит от появления или непоявления события В, и наоборот.
Теорема умножения вероятностей событий
Вероятность произведения событий (совместного появления событий) равна произведению вероятностей этих событий, вычисленных при условии, что все предыдущие события произошли, то есть
P  A1  A2  ...  An   P  A1   P  A2 / A1   ...  P  An / A1 A2 ... An 1 .
(4.4)
С л е д с т в и е . Если события А1 , А2 ,..., Аn независимы, то
P  A1  A2  A3  ...  An   P A1   P  A2   P  A3   ...  P  An ,
(4.5)
то есть вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Это следствие называют теоремой умножения для независимых
событий.
П р и м е р 4 . В условиях примера 3 пусть вероятность выхода из
строя за определенный период одного (любого) скрепера равна 0,2 ,
вероятности поломки автогрейдера и катка (любого) равны соответственно 0,15 и 0,1.
Какова вероятность того, что в рассматриваемый период времени
выйдут из строя: а) оба катка; б) все скреперы?
Обозначим: событие A1  поломка первого катка; событие A2 
поломка второго катка; событие Bi  поломка i-го скрепера, i  1,4;
а) событие C  A1  A2  выход из строя обоих катков; события A1
192
и A2 независимы (см. пример 3), тогда, используя (4.2), имеем
P C   P  A1  A2   P  A1   P  A2   0,1  0,1  0,01;
б) событие D  B1  B2  B3  B4  выход из строя в рассматриваемый период всех скреперов; так как события B1 , B2 , B3 , B4 независимы, то, согласно (3.5),
PD   PB1  B2  B3  B4   PB1   PB2   PB3   PB4   0,2 4  0,0016.
Пусть А  некоторое событие, событие A  противоположное событию А; так как A  A  Ω и события А и A несовместны, то, согласно аксиоме сложения,




P A  A  P A  P A  1, то есть P A  P A  1;
тогда


P A  1  P A или P A  1  P A.

(4.6)
(4.7)

Так как A  A  Θ, то P A  A  PΘ   0.
Теорема сложения вероятностей для несовместных событий
Если события А1 , А2 ,..., Аn несовместны, то
n
P A1  A2  ...  An    P( Ai ),
(4.8)
i 1
то есть вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Теорема сложения вероятностей для произвольных событий
Если А и В  произвольные события, то
Р  А  В   Р  А  Р В   Р  А  В .
(4.9)
П р и м е р 5 . Для условий примера 3, а также используя исходные данные примера 4, найти вероятность того, что за рассматриваемый период времени произойдет поломка хотя бы одного катка.
193
Пусть событие Ai  поломка i-го катка, i  1;2. Событие
A  A1  A2  хотя бы один каток выйдет из строя в течение рассматриваемого периода, события A1 и A2 совместны и независимы, поэтому, используя сначала равенство (4.9), а затем (4.2), получаем
P  A   P  A1  A2   P  A1   P  A2   P  A1  A2  
 P A1   P  A2   P A1   P A2   0,1  0,1  0,1  0,1  0,19.
П р и м е р 6 . Студент озабочен предстоящими экзаменами по
строительной механике и математике. По его мнению, вероятность
того, что он сдаст экзамен по математике, равна 0,4; вероятность того,
что он сдаст оба предмета, равна 0,1, а хотя бы один  0,6. Какова вероятность того, что он сдаст экзамен по строительной механике?
Событие A1  сдача экзамена по математике;
событие A2  сдача экзамена по строительной механике;
событие A1  A2  сдача хотя бы одного экзамена;
событие A1  A2  сдача обоих предметов;
P  A1   0,4; P A1  A2   0,6; P  A1  A2   0,1.
По теореме сложения для произвольных событий [см. (4.9)] имеем
P  A1  A2   P  A1   P  A2   P  A1  A2 ,
откуда P  A2   P  A1  A2   P  A1   P  A1  A2 ;
P  A2   0,6  0,4  0,1  0,3.
П р и м е р 7 . Студент имеет вероятность сдать экзамен по математике, равную 0,9, а вероятность сдать его ниже, чем на «отлично»,
равна 0,6. Какова вероятность того, что студент получит на экзамене
либо «удовлетворительно», либо «хорошо»?
Событие A1  получение на экзамене положительной оценки;
событие A2  получение на экзамене оценки «хорошо»;
событие A3  получение на экзамене оценки «удовлетворительно»;
событие A4  получение на экзамене оценки «неудовлетворительно».
Тогда событие B  A2  A3  A4  получение на экзамене оценки
ниже, чем «отлично»; событие  A2  A3   получение на экзамене
оценки «хорошо» или «удовлетворительно».
P A4   P A1  1  P A1   1  0,9  0,1 [применили формулу (4.7)].
Событие  A2  A3   получение на экзамене оценки «хорошо» или
 
194
«удовлетворительно», события A2 , A3 , A4  несовместные, поэтому,
применяя формулу (4.8) и учитывая, что Р В   0,6, получим
P B   P  A2  A3  A4   P  A2  A3   P  A4 ;
P  A2  A3   PB   P A4   0,6  0,1  0,5.
Теорему сложения для двух произвольных событий можно обобщить на число событий и n  2 (здесь рассматриваем только случаи,
когда п конечно). Для n  3 имеем, используя (4.9),
P  A1  A2  A3   P  A1   P  A2  A3   PA1  A2  A3  
 P  A1   P  A2   P  A3   P  A2  A3   P  A1 A2  A1 A3  
 P  A1   P  A2   P  A3   P  A2  A3   P  A1  A2   P  A1  A3  
 P  A1  A2  A3   P  A1   P  A2   P  A3   P  A2  A3  
 P  A1  A2   P  A1  A3   P  A1  A2  A3 .
Для n  3 теорема сложения для произвольных событий принимает достаточно громоздкий вид, но для случая, когда события
А1 , А2 ,..., Аn совместны, но независимы, формула для вычисления
P  А1  А2  ...  Аn  значительно упрощается.
Теорема. Пусть события А1 , А2 ,..., Аn совместны, но независимы,
тогда
   
 
P  А1  А2  ...  Аn   1  P A1  P A2  ...  P An .
(4.10)
П р и м е р 8 . Для условий примера 3 найти вероятности того, что
за определенный период:
а) ни один скрепер не выйдет из строя;
б) произойдет поломка хотя бы одного скрепера;
в) только один скрепер из всех имеющихся в отряде выйдет из
строя;
г) только два скрепера из четырех выйдут из строя;
д) произойдет поломка хотя бы одной из имеющихся в отряде дорожно-строительных машин;
е) ни одна из имеющихся в отряде дорожно-строительных машин
не выйдет из строя.
При решении примера используем исходные числовые данные
примера 4. Пусть событие Ai  выход из строя в течение рассматриваемого периода i-го скрепера, i  1; 2; 3; 4. По условию, P  Ai   0,2.
а) Событие {i-й скрепер будет исправным в течение рассматриваемого периода, i  1; 2; 3; 4 }–противоположное событию Ai , поэто195
му это есть событие Ai ; P Ai   1  P Ai   1  0,2  0,8.
Событие А  {ни один скрепер не выйдет строя} состоит в совместном наступлении событий Ai , i  1;2;3;4, поэтому, согласно определению (пример 1), A  A1  A2  A3  A4 ; события A1 , A2 , A3 , A4 независимы, следовательно, независимы и события A1 , A2 , A3 , A4 ; используя
теорему умножения для независимых событий, получаем
P  A  P A1  A2  A3  A4   P A1   P A2   P A3   P A4   0,8 4  0,4096 .
б) Событие В  {хотя бы один скрепер выйдет из строя} есть
сумма событий A1 , A2 , A3 , A4 . События A1 , A2 , A3 , A4 независимы, следовательно, применяя (4.10), получаем
P B   P  A1  A2  A3  A4   1  P A1   P A2   P A3   P A4  
 1  0,8 4  1  0,4096  0,5904.
в) Событие С  {только один скрепер выйдет строя} означает,
что в течение рассматриваемого периода произойдет поломка только
первого скрепера, а остальные будут исправны (событие A1  A2  A3 ),
или выйдет из строя второй скрепер, а остальные будут исправны (событие A1  A2  A3  A4 ), или выйдет из строя третий скрепер, а остальные будут исправны (событие A1  A2  A3  A4 ), или выйдет из строя
четвертый скрепер, а остальные будут исправны (событие
A1  A2  A3  A4 ), поэтому событие
C  A1  A2  A3  A4  A1  A2  A3  A4  A1  A2  A3  A4  A1  A2  A3  A4 .
События, входящие в эту сумму, несовместны, поэтому применим теорему сложения для несовместных событий [см. (4.8)]:
P C   P A1  A2  A3  A4  P A1  A2  A3  A4 


 
 


 P A1  A2  A3  A4  P A1  A2  A3  A4 .
Учитывая независимость событий Ai и Ai , i  1; 2; 3; 4, по теореме
умножения независимых событий [см. (4.5)] получим окончательно
P C   P  A1   P A2  P A3  P A4  P A1  P  A2   P A3  P A4 
 P A1  P A2  P  A3   P A4  P A1  P A2  P A3  P  A4  
       
   
   
       
 0,2  0,83  0,8  0,2  0,8  0,8  0,8  0,8  0,2  0,8  0,8  0,8  0,8  0,2 
 4  0,2  0,83  0,4096.
г) Пусть событие D  {только два скрепера из четырех выйдут из
строя}. Рассуждая аналогично п. в), получаем
D  A1  A2  A3  A4  A1  A2  A3  A4  A1  A2  A3  A4  A1  A2  A3  A4 
196
 A1  A2  A3  A4  A1  A2  A3  A4 ;
P D   P A1  A2  A3  A4  P A1  A2  A3  A4  P A1  A2  A3  A4 


 
 
 
 

 P  A1   P A2   P A3   P A4   P  A1   P A2   P  A3   P A4  

 P A1  A2  A3  A4  P A1  A2  A3  A4  P A1  A2  A3  A4 
   
 
 
 P A1   P A2  P A3  P A4   P A1  P A2   P A3   P A4 
 
 
   
 P A1  P A2   P A3  P  A4   P A1  P A2  P  A3   P  A4  
 6  0,2 2  0,8 2  0,1536.
д) Пусть событие Fi  {поломка i-го катка, i  1;2 };
событие G  {поломка автогрейдера};
событие Ai  {поломка i-го скрепера};
событие Н  {поломка хотя бы одной дорожно-строительной машины, входящей в состав отряда}.
4
Тогда событие H   Ai  F1  F2  G.
i 1
Все события, входящие в эту сумму, совместны, но независимы,
поэтому, применяя (4.10), получим
P H   P  A1  A2  A3  A4  F1  F2  G  
 1  P A1   P A2   P A3   P A4   PF1   PF2   PG  
 1  0,84  0,9 2  0,85  0,718.
е) Событие К  {ни одна из имеющихся в отряде дорожностроительных машин не выйдет из строя} и H  противоположные,
поэтому PK   1  PH   0,8 4  0,9 2  0,85  0,282.
П р и м е р 9 . При изготовлении железобетонных плит на заводе
ЖБИ вероятность изготовления плиты, не соответствующей проектным размерам, равна 0,01; вероятность изготовления плиты, не соответствующей требованиям прочности в результате нарушения технологии при приготовлении бетонной смеси, равна 0,03, а при укладке
смеси в форму и ее уплотнении эта вероятность равна 0,01. Найти вероятность того, что наудачу взятая плита будет не соответствовать
проекту.
Событие А  взятая наудачу плита не соответствует проекту,
событие A1  плита дефектна из-за несоответствия размерам;
событие A2  плита не соответствует требованиям прочности
вследствие нарушения технологии при приготовлении смеси;
событие A3  плита не соответствует требованиям прочности
197
вследствие нарушения технологии при укладке смеси в форму и её
уплотнении. События A1 , A2 , A3 совместны, так как плита будет дефектной, если происходит событие A1 , или A2 , или A3 , или любые
два вместе, или все три события вместе, поэтому A  A1  A2  A3 .
Поскольку события A1 , A2 , A3 независимы, то, используя формулу
(4.10), получаем P  A  P A1  A2  A3   1  P A1   P A2   P A3  
 1  0,97  0,99  0,99  0,05.
Теоремы сложения и умножения вероятностей применяются при
определении надежности функционирования различных систем.
A1
P(A1) = 0,7
A2
C1
D
B1
P(C1) = 0,44
P(B1) = 0,73
P(A2) = 0,8
A3
P(A3) = 0,65
P(D)=0,91
C2
C3
B2
A4
P(A4) = 0,8
P(C2)=P(C3)=0,45
P(B2) = 0,78
A5
P(A5) = 0,76
Звено I
Звено II
Звено III
Звено IV
Рис. 3.1. Вариант структурной схемы автогрейдера
При этом под надежностью функционирования системы понимают вероятность безотказной работы системы (в течение рассматриваемого периода времени T). Каждую систему можно представить в
виде последовательно и (или) параллельно соединенных элементов
(звеньев). Последовательное соединение элементов означает, что отказ (выход из строя) каждого элемента приводит к отказу (выходу из
строя) всей системы. Параллельное соединение элементов означает,
что отказ наступает, если выйдет из строя хотя бы один элемент.
П р и м е р 1 0 . В строительном и дорожном машиностроении на
стадии проектирования применяют метод расчета надежности машин
с помощью структурных схем. Один из вариантов структурной схемы
автогрейдера представлен на рис. 3.1.
В структурной схеме приняты следующие обозначения элемен198
тов: A1  двигатель и электрооборудование; A2  рабочее оборудование; A3  передний мост; A4  отвал; A5  колеса; B1  коробка переключения передач; B2  рулевой механизм; C1  гидрооборудование;
C2 , C3  балансиры левый и правый; D  рама.
Вероятности успешной безотказной работы каждого элемента за
период T  3 000 ч показаны на рис. 3.1. Требуется определить надежность, то есть вероятность безотказной работы автогрейдера, по варианту структурной схемы, представленному на рисунке, если вероятности отказа для каждого элемента и каждого звена взаимно независимы.
Для успешной работы всей системы необходимо, чтобы успешно
работало каждое звено. Следовательно, согласно теореме умножения
для независимых событий [см. (4.5)], вероятность PS  безотказной
работы системы составляет P S   PI   P II   P III   P IV , где P I ,
P II , P III , P IV  обозначают вероятности безотказной работы звеньев I, II,III, IV соответственно. Для безотказной работы звена III необходимо, чтобы элемент B1 или элемент B2 (или оба) работали безотказно, поэтому, применяя теорему сложения для совместных событий
[см. (4.8)] и учитывая независимость элементов B1 и B2 , получаем
P III   PB1   P B2   P B1   P B2   0,73  0,78  0,73  0,78  0,7786.
Аналогично рассуждая и учитывая, что элементы C 2 и C3 соединены последовательно, получим, применяя формулу (4.10),
P II   1  1  PC1   1  P C 2   P C3   1  0,56  0,8976  0,9406.
Снова применяя формулу (4.10), получим
P IV   1  1  P A1   1  P  A2   1  P  A3   1  P  A4   1  P  A5  
 1  0,3  0,2  0,35  0,2  0,24  0,998992.
Таким образом, P S   0,91  0,9406  0,7786  0,999  0,666.
Задачи по теме «Теоремы сложения и умножения
вероятностей событий»
4.1. В лотерее 1000 билетов; из них на один билет падает выигрыш
5000 руб., на 10 билетов – по 1000 руб., на 50 билетов – выигрыш
по 200 руб., на 100 билетов – выигрыш по 50 руб., остальные билеты невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 200 руб.
199
4.2. Пусть вероятность того, что стрелок при стрельбе по мишени выбьет 10 очков, равна 0,3; 9 очков – 0,2; 8 очков – 0,2; 7 очков –
0,1; 6 очков или менее – 0,1. Найти вероятность того, что стрелок
при одном выстреле выбьет не менее 8-ми очков.
4.3. Вероятность поломки первого станка в течение смены равна 0,2 ,
а второго – 0,13. Чему равна вероятность того, что в течение смены: а) оба станка будут работать бесперебойно; б) будет работать
бесперебойно только один станок? Станки работают независимо
друг от друга.
4.4. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени. Вероятность попадания в мишень первого спортсмена равна
0,7 , а второго – 0,8. Какова вероятность того, что мишень будет
поражена?
4.5. На перевозку направлены 4 автомобиля. Вероятность нахождения
каждой из машин в исправном состоянии равна 0,8. Найти вероятность того, что в работе участвует хотя бы один из выделенных
для этого автомобилей.
4.6. В гараж поступили 24 новые шины, предназначенные для определенной марки автомобиля. Шины имеют одинаковый внешний
вид. Изготовлены они на двух различных заводах, причем 10 шин
изготовлено на первом заводе, а остальные – на втором. Какова
вероятность того, что первые три водителя воспользуются шинами второго завода, а четвертый – шиной первого завода?
4.7. В трех залах кинотеатра идут три различных фильма. Вероятность
того, что на определенный час в кассе первого зала есть билеты,
равна 0,3 , в кассе второго зала – 0,2 , а в кассе третьего зала – 0,4.
Какова вероятность того, что на данный час: а) нет билетов ни в
одной кассе; б) есть билеты только в одной кассе; в) имеется возможность купить билет хотя бы в одной кассе?
4.8. Среди одинаковых по внешнему виду 11 изделий находятся три
бракованных. Произвольно вынимают три изделия. Найти вероятность того, что среди них хотя бы одно бракованное.
4.9. Электрическая цепь имеет два параллельно соединенных дублирующих друг друга элемента и один элемент, соединенный с ними последовательно. Вероятность безотказной работы каждого
элемента в течение заданного времени равна 0,8. Отказ каждого
элемента не зависит от отказов других. Найти вероятность безотказной работы всей цепи.
200
4.10. Партия из 100 деталей подвергается выборочному контролю.
Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы
одной бракованной детали среди пяти проверяемых. Какова вероятность для данной партии быть принятой, если она содержит
5% неисправных деталей?
4.11. Пусть вероятность оплаты в кассе выписанного у продавца чека
равна 0,99. Найти вероятность того, что из 100 выписанных чеков
хотя бы один окажется неоплаченным.
4.12. Найти наименьшее число монет, которое необходимо бросить,
чтобы вероятность утверждения, что выпадет хотя бы один герб,
превосходила 0,999.
4.13. Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле
равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы
с вероятностью, меньшей 0,4 , можно было ожидать, что не будет
ни одного промаха?
4.14. Электрическая цепь состоит из n параллельно соединенных элементов, каждый из которых работает независимо от остальных.
Вероятность безотказной работы каждого элемента равна 0,7.
Сколько элементов должен содержать участок электрической цепи, чтобы его надежность превышала 0,99?
4.15. Происходит бой между двумя участниками А и В. У стороны А в
запасе два выстрела, у стороны В  один. Начинает стрельбу А:
он делает по В один выстрел и поражает его с вероятностью 0,2.
Если В не поражен, он отвечает противнику выстрелом и поражает его с вероятностью 0,3. Если А этим выстрелом не поражен, то
он делает по В свой последний выстрел, которым поражает его с
вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что в бою будет поражен: а) участник А; б) участник В.
4.16. Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков равна 0,3. Стрелки стреляют по очереди, причем каждый должен
сделать по два выстрела. Попавший в мишень первым получает
приз. Найти вероятность получения приза спортсменами. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах
равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.
4.17. Какова должна быть вероятность изготовления изделия, удовлетворяющего стандарту, чтобы с вероятностью, равной 0,9 , можно
было утверждать, что среди 20 изготовленных изделий хотя бы
одно не удовлетворяет стандарту?
201
Найти вероятность P(A) по данным вероятностям:
Р( А  В)   0,72, Р( А  В)  0,18 .
4.19. Студент, разыскивая специальную книгу, решил обойти 3 библиотеки. Для каждой библиотеки одинаково вероятно, есть в ее
фондах книга или нет. Если книга есть в фонде, то одинаково вероятно, занята она другим читателем или нет. Что более вероятно: найдет студент книгу или нет? (Библиотеки комплектуются
книгами независимо одна от другой.)
4.18.
Индивидуальные задания по теме «Теоремы сложения
и умножения вероятностей событий»
Вариант 1.
4.1. Рабочий обслуживает четыре станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего равна
0,3 , второй – 0,4 , третий – 0,7 , четвертый – 0,4. Найти вероятность того, что в течение часа ни один станок не потребует внимания рабочего.
4.2. Производится бомбометание в военный объект. Вероятность попадания в цель при сбрасывании бомбы равна 0,7 , а вероятность
того, что бомба не взорвется, равна 0,08. Найти вероятность разрушения объекта, если будет сброшена одна бомба.
Вариант 2.
4.1. Два стрелка производят в цель по одному выстрелу. Вероятность
попадания для первого стрелка равна 0,7 , а для второго – 0,8.
Найти вероятность того, что попадут в цель: а) оба стрелка; б)
только один стрелок; в) ни один стрелок.
4.2. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того,
что студент ответит на первый и второй вопросы билета, равна по
0,9 , на третий – 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст
экзамен, если для этого надо ответить: а) на все вопросы; б)хотя
бы на два вопроса.
Вариант 3.
4.1. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,2.
Произведено 10 выстрелов. Найти вероятность хотя бы одного
попадания.
4.2. Три стрелка производят по одному выстрелу по цели, вероятности
попадания в которую равны: для первого стрелка – 0,5 , для вто202
рого – 0,7 , для третьего – 0,8. Найти вероятность двух попаданий
в цель.
Вариант 4.
4.1. Какова вероятность того, что в выбранном наудачу году дни 28
февраля и 7 марта выпадут на воскресенье?
4.2. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии первый
сигнализатор сработает, равна 0,95 , а второй – 0,9. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только один сигнализатор; б) хотя бы один сигнализатор.
Вариант 5.
4.1. Вероятность попадания в движущуюся цель при одном выстреле
постоянна и равна 0,05. Сколько необходимо сделать выстрелов
для того, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,75 , иметь хотя бы
одно попадание?
4.2. Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей
хотя бы один раз выпадет 6 очков.
Вариант 6.
4.1. Группа состоит из двух стрелков. Найти вероятность попадания в
цель каждым стрелком, если известно, что вероятность совместного попадания в цель, при условии, что каждый сделает независимо друг от друга по одному выстрелу, равна 0,56 , а вероятность совместного промаха равна 0,06.
4.2. Бросаются три игральных кубика. Какова вероятность того, что
сумма выпавших очков будет меньше 17?
Вариант 7.
4.1. Отдел технического контроля проверяет на стандартность по
двум параметрам серию изделий. Было установлено, что у восьми
из 25-ти изделий не выдержан только первый параметр, у шести –
только второй, а у трех изделий не выдержаны оба параметра.
Наудачу берется одно из изделий. Какова вероятность того, что
оно не удовлетворяет стандарту?
4.2. Четыре охотника договорились стрелять по дичи в определенной
последовательности. Следующий охотник производит выстрел
лишь в случае промаха предыдущего. Вероятности попадания в
цель каждым из охотников одинаковые и равны по 0,8. Найти вероятность того, что будет произведено: а) один; б) два); в) три;
г) четыре выстрела.
203
Вариант 8.
4.1. В коробке лежат 30 электрических лампочек одинаковой величины, причем 12 из них рассчитаны на напряжение 220 В, а остальные – 120 В. Какова вероятность того, что из четырех наудачу
взятых одновременно электроламп все окажутся с напряжением
220 В или с напряжением 120 В?
4.2. Студент знает 35 из 40 экзаменационных вопросов. Преподаватель задает три вопроса. Какова вероятность того, что студент ответит на эти вопросы?
Вариант 9.
4.1. Вероятность прийти ни финиш первым в любом из заездов для
мотоциклиста равна 0,8. Найти вероятность того, что мотоциклист приедет первым хотя бы в двух заездах из трех.
4.2. Ящик содержит 90 деталей первого сорта и 10 деталей второго
сорта. Наудачу извлекаются три детали. Какова вероятность, что
хотя бы одна из трех деталей второго сорта?
Вариант 10.
4.1. При увеличении напряжения в два раза может произойти разрыв
электрической цепи вследствие выхода из строя одного из трех
последовательно соединенных элементов соответственно с вероятностями 0,3; 0,4; 0,5. Определить вероятность того, что не будет
разрыва в цепи.
4.2. В одной урне 1 белый и 4 черных шара, а в другой – 2 белых и 3
черных, в третьей – 3 белых и 2 черных. Из каждой урны вынули
по шару. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров будет 1 белый и 2 черных шара.
Вариант 11.
4.1. Прибор состоит из двух дублирующих друг друга элементов.
Вероятность безотказной работы первого элемента равна 0,85 , а
второго – 0,72. Найти вероятность безотказной работы прибора.
4.2. Среди билетов лотереи половина выигрышных. Сколько билетов
надо взять, чтобы быть уверенным в выигрыше хотя бы по одному билету с вероятностью, большей 0,95?
Вариант 12.
4.1. Студент выучил 20 вопросов из 25. Для сдачи экзамена студент
должен ответить не менее чем на 2 вопроса из трех, заданных ему
экзаменатором. Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен?
4.2. Произведен залп из двух орудий по мишени. Вероятности пора204
жения мишени для каждого из орудий соответственно равны 0,85
и 0,91. Найти вероятность поражения цели, т.е. вероятность хотя
бы одного попадания.
Вариант 13.
4.1. На двадцати одинаковых карточках написаны 20 двухзначных чисел от 11 до 39. После тщательного перемешивания вынимается
наугад одна карточка. Какова вероятность того, что вынутая карточка будет с номером, кратным 4 или 7?
4.2. Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь будет первосортной, равна 0,7. При изготовлении такой же детали
на втором станке эта вероятность равна 0,8. На первом станке изготовлены 2 детали, на втором – 3. Найти вероятность того, что
все детали первосортные.
Вариант 14.
4.1. Два стрелка независимо друг от друга делают по два выстрела
каждый по своей мишени. Вероятность попадания в мишень при
одном выстреле для первого стрелка равна 0,6 , а для второго –
0,7. Выигравшим соревнование считается тот стрелок, в мишени
которого будет больше пробоин. Найти вероятность того, что выиграет первый стрелок.
4.2. Три автомашины направлены на перевозку груза. Вероятность
исправного состояния первой из них равна 0,7 , второй – 0,8 и
третьей – 0,5. Найти вероятность того, что: а) все три машины находятся в эксплуатации; б) только две машины находятся в эксплуатации.
Вариант 15.
4.1. Охотник выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность
попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8 , а после каждого
выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятность того, что он: а)
промахнется все три раза; б) попадет хотя бы один раз; в) попадет
два раза.
4.2. Вероятность того, что танк наедет на мину, равна 0,4. Какова вероятность того, что танк подорвется на мине, если 15% мин имеют дефектные взрыватели?
Вариант 16.
4.1. Стрелок производит 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Какова вероятность того, что цель будет поражена всеми тремя выстрелами?
4.2. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках.
205
Вероятность того, что эта формула содержится в первом справочнике, равна 0,6 , во втором – 0,7 , в третьем – 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится: а) только в одном справочнике; б) только в двух справочниках; в) только в трех справочниках.
Вариант 17.
4.1. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9 ,
второй – 0,9 , третий – 0,8. Найти вероятность того, что студент
сдаст хотя бы два экзамена.
4.2. Вероятность изготовления изделия первого сорта равна 0,9.
Сколько должно быть изготовлено изделий, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95 , можно было бы ожидать, что среди них
есть хотя бы одно изделие первого сорта?
Вариант 18.
4.1. В студии телевидения имеется три телекамеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна
0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя
бы одна телекамера.
4.2. В урне находится 100 лотерейных билетов, из которых 25 выигрышных. Из урны трижды без возвращения извлекают по одному
билету. Какова вероятность того, что все три билета окажутся
выигрышными?
Вариант 19.
4.1. Вероятность прийти первым в любом из заездов для мотоциклиста равна 0,8. Найти вероятность того, что мотоциклист приедет
первым в двух заездах из трех.
4.2. Вероятность бесперебойной работы первого станка в течение часа
равна 0,75, а второго – 0,8. Какова вероятность того, что в течение часа будет нарушение в работе: а) только одного станка, если
станки работают независимо; б) обоих станков?
Вариант 20.
4.1. Числитель и знаменатель рациональной дроби написаны наудачу.
Какова вероятность того, что эта дробь не сократима на 5?
4.2. Два охотника стреляют в волка. Для первого охотника вероятность попадания в цель равна 0,7 , а для второго – 0,8. Какова вероятность хотя бы одного попадания в волка, если: а) охотники
делают по одному выстрелу; б) по два выстрела?
Вариант 21.
4.1. Дана система, состоящая из двух независимых блоков, такая, что
206
она исправна тогда и только тогда, когда исправен хотя бы один
из блоков. Вероятность исправности каждого блока равна 0,8.
Найти вероятность того, что система работает.
4.2. Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Найти вероятность
попадания в мишень хотя бы одним выстрелом.
Вариант 22.
4.1. Два шарика разбрасываются случайно и независимо друг от друга
по четырем ячейкам, расположенным одна за другой по прямой
линии. Каждый шарик с одинаковой вероятностью 0,25 попадает
в любую ячейку. Найти вероятность того, что шарики попадут в
соседние ячейки.
4.2. В электрическую цепь последовательно включены три элемента,
работающие независимо друг от друга. Вероятность отказа первого элемента равна 0,1 , второго – 0,15 , третьего – 0,2. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.
Вариант 23.
4.1. Истребитель перехватывает и первым атакует бомбардировщик
противника. Вероятность перехвата равна 0,7. В случае, если перехват состоялся, но бомбардировщик не сбит, он ответным огнем сбивает истребитель с вероятностью 0,3. Найти вероятность
поражения: а) бомбардировщика; б) истребителя.
4.2. Из колоды карт в 52 листа вынимаются сразу четыре карты. Найти вероятность того, что все эти четыре карты будут разных мастей.
Вариант 24.
4.1. Вероятность установления в данной местности устойчивого
снежного покрова с октября равна 0,1. Определить вероятность
того, что в ближайшие три года в этой местности устойчивый
снежный покров с октября: а) не установится ни разу; б) установится по крайней мере один раз.
4.2. Детали проходят три операции обработки. Вероятность получения брака на первой операции равна 0,02 , на второй – 0,03 , на
третьей – 0,02. Найти вероятность получения детали без брака
после трех операций, предполагая, что получение брака на отдельных операциях являются независимыми событиями.
Вариант 25.
4.1. Вероятность того, что каждый из трех друзей придет в условленное место, для первого равна 0,8 , для второго – 0,4 , для третьего
207
– 0,7. Определить вероятность того, что встреча состоится, если
для этого достаточно явиться хотя бы двум из трех друзей.
4.2. Два орудия ведут стрельбу по танку. Вероятность попадания в
танк для первого орудия равна 0,5 , для второго – 0,4. Найти вероятность хотя бы одного попадания в танк, если из каждого орудия сделано по три выстрела.
Вариант 26.
4.1. Вероятность того, что книга имеется в фондах первой библиотеки, равна 0,5 , второй – 0,7, третьей – 0,4. Какова вероятность наличия книги в фондах хотя бы одной библиотеки?
4.2. Производится стрельба по самолету зажигательными снарядами.
Горючее на самолете сосредоточено в четырех баках, расположенных в фюзеляже один за другим. Поверхности баков одинаковы. Чтобы зажечь самолет, достаточно попасть двумя снарядами
либо в один и тот же бак, либо в соседние баки. Известно, что в
область баков попало два снаряда. Найти вероятность того, что
самолет загорелся.
Вариант 27.
4.1. Три станка работают независимо. Вероятность того, что первый
станок в смену выйдет из строя, равна 0,1 , второй – 0,2 , третий –
0,3. Найти вероятность того, что: а) хотя бы один станок выйдет
из строя; б) только один станок выйдет из строя.
4.2. Для местности среднее число дождливых дней в августе равно 11.
Чему равна вероятность того, что первые два дня августа будут
дождливыми?
Вариант 28.
4.1. Вероятность того, что событие А появится хотя бы один раз при
двух независимых испытаниях, равна 0,75. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что вероятность появления события в обоих испытаниях одна и та же).
4.2. Партия содержит 150 изделий первого сорта, 30 изделий второго
сорта, 16 изделий третьего сорта и 4 бракованных. Найти вероятность того, что из трех одновременно взятых наугад изделий все
окажутся одного сорта.
Вариант 29.
4.1. Производится три выстрела по одной и той же мишени. Вероятности попадания в мишень при первом, втором и третьем выстрелах соответственно равны 0,42 , 0,5 и 0,8. Найти вероятности того, что в мишени будет: а) хотя бы одна пробоина; б) две пробои208
ны; в) ни одной пробоины.
4.2. В мешке смешаны нити, среди которых 30% белых, а остальные –
красные. Найти вероятность того, что вытянутые наудачу два
мотка нитей будут одного цвета.
Вариант 30.
4.1. В урне 5 белых и 7 черных шаров. Из урны вынимаются сразу два
шара. Найти вероятность того, что эти шары будут разных цветов.
4.2. Завод изготавливает изделия определенного типа, каждое из которых имеет дефект с вероятностью 0,15. Изделие осматривается
одним контролером; он обнаруживает имеющийся дефект с вероятностью 0,95 , а если дефект не обнаружен, пропускает изделие в
готовую продукцию. Кроме того, контролер может по ошибке забраковать изделие, не имеющее дефекта, вероятность этого равна
0,1. Найти вероятности того, что: а) изделие будет забраковано; б)
изделие будет забраковано, но ошибочно; в) изделие с дефектом
будет пропущено в готовую продукцию.
§5. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ.
ФОРМУЛЫ БАЙЕСА
Пусть событие А может произойти в результате появления одного
и только одного события H i (i  1,2,..., n) из некоторой полной группы
несовместных событий H 1 , H 2 ,..., H n (i  1, n) . События этой группы
обычно называются гипотезами.
Т е о р е м а . Вероятность события А равна сумме произведений
вероятностей всех гипотез, образующих полную группу, на соответствующие условные вероятности данного события А, т.е.
n
P  А   P  H i   P  А H i 
(5.1)
i 1
n
(формула полной вероятности), причем здесь  PH i   1.
i 1
П р и м е р 1 . Имеются две урны: в первой 5 белых и 3 черных
шара, во второй 7 белых и 4 черных шара. Из первой урны во вторую
перекладывают, не глядя, один шар. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.
Решение.
209
Событие А – появление белого шара.
Гипотезы:
H1 – переложен белый шар из первой урны во вторую;
H 2 – переложен черный шар из первой урны во вторую.
Найдем вероятность выдвинутых гипотез:
5
5
3
3
P  H1  
 ; PH 2  
 .
53 8
53 8
5 3
Проверка: PH1   PH 2     1.
8 8
Найдем соответствующие условные вероятности события А:
7 1
8 2
P А Н1  
  (если мы переложили во вторую урну
7  4  1 12 3
белый шар, то белых шаров на 1 стало больше, также как и всех шаров стало на 1 шар больше);
7
7
P А H 2  

(если мы переложили черный шар, то
7  4  1 12
увеличилось только общее количество шаров, а белых осталось 7).
5 2 3 7
5
7
P  А  P H 1   P  А H 1   P  H 2   P  А Н 2       

8 3 8 12 12 32
40  21 61

 .
96
96
П р и м е р 2 . Завод ЖБИ изготавливает железобетонные плиты,
при этом первая смена производит 55%, вторая смена  45% суточного количества плит. В результате нарушения технологического режима при приготовлении бетонной смеси первая смена может выпустить
3% плит, не соответствующих требованиям прочности, вторая смена
 4%. Найти вероятность того, что выбранная наудачу плита из плит,
изготовленных в течение суток, окажется не соответствующей требованиям по прочности. Событие А  выбранная случайным образом
плита не удовлетворяет требованиям по прочности; гипотезы:
H 1  плита изготовлена первой сменой;
H 2  плита изготовлена второй сменой;
P H 1   0,55; P H 2   0,45.
Вероятность того, что выбранная наудачу плита не удовлетворяет
требованиям по прочности, если она выпущена первой сменой, равна
P  A / H 1   0,03; вероятность того, что наудачу выбранная плита не
соответствует требованиям по прочности, если она изготовлена вто210
рой сменой, равна
P  A / H 2   0,04.
По формуле (5.1) получаем
P  A   P  H 1   P  A / H 1   P H 2   P  A / H 2  
 0,55  0,03  0,45  0,04  0,0165  0,018  0,0345.
П р и м е р 3 . В ППР (проект производства обработки) в момент
времени Т запроектирована минимальная величина организационнотехнологического разрыва между двумя смежными разноритмичными
специализированными потоками по устройству земляного полотна и
основания. Оценить надежность (вероятность) выполнения планового
задания в заданные сроки потоком по устройству основания, если надежность выполнения планового объема работ к моменту времени т
потоком по устройству земляного полотна равна 0,8, а вероятности
выполнения планового объема работ по устройству основания равны
0,8 в случае выполнения к моменту времени Т запланированных объемов работ предыдущим потоком (по устройству земляного полотна)
и 0,2  в случае невыполнения потоком по устройству земляного полотна плановых объемов работ к моменту времени Т критического
сближения потоков.
Событие (гипотеза) H 1  выполнение запланированных объемов
работ потоком по устройству земляного полотна ко времени критического сближения специализированных потоков.
Событие (гипотеза) H 2  невыполнение запланированных объемов работ потоком по строительству земляного полотна к моменту
времени Т.
Событие А  выполнение планового объема работ потоком по
устройству основания в заданные сроки; P H1   0,8;
P H 2   1 
 P H 1   0,2; P  A / H 1   0,8; P  A / H 2   0,2, P  A / H 1   0,8; тогда по
формуле (5.1) вероятность (надежность) выполнения запланированных объемов работ потоком по строительству основания равна
P  A  0,8  0,8  0,2  0,2  0,64  0,04  0,68.
П р и м е р 4 . Охотник сделал 3 выстрела по кабану. Вероятность
попадания первым выстрелом равна 0,4; вторым – 0,5; третьим – 0,7.
Одним попаданием кабана можно убить с вероятностью 0,2; двумя
попаданиями  с вероятностью 0,6; а тремя – наверняка. Найти вероятность того, что кабан будет убит.
211
Решение.
Событие А – кабан будет убит. Рассмотрим несовместные события, составляющие полную группу (гипотезы): H 0 , H 1 , H 2 , H 3 .
H 0 – промах; H 1 – одно попадание; H 2 – два попадания; H 3 –
три попадания.
Найдем вероятности этих гипотез. События: B1 – попадание с
первого выстрела; B2 – попадание со второго выстрела; B3 – попадание с третьего выстрела.
Найдем вероятности гипотез. По условию задачи
P B1   0,4, тогда P B1  1  0,4  0,6;
P B2   0,5, тогда P B2  1  0,5  0,5;
P B3   0,7, тогда P B3   1  0,7  0,3.
Р Н 0   Р В1   Р В2   Р В3   0,6  0,5  0,3  0,09;
Р Н 1   Р В1   Р В2   Р В3   Р В1   Р В2   Р В3  
Р В1  Р В2  РВ3   0,4  0,5  0,3  0,6  0,5  0,3  0,6  0,5  0,7  0,36;
Р Н 2   Р В1   Р В2   Р В3   Р В1   Р В2   РВ3  
 Р В1  РВ2   РВ3   0,4  0,5  0,3  0,4  0,5  0,7  0,6  0,5  0,7  0,41 ;
Р Н 2   Р В1   Р В2   РВ3   0,4  0,5  0,7  0,14;
 
 
   
 
3
 Рi  0,09  0,36  0,41  0,14  1.
i 1
Запишем условные вероятности:
Р  А Н 0   0; Р  А Н 1   0,2; Р  А Н 2   0,6; Р  А Н 3   1 .
По формуле (5.1)
Р  А  0,09  0  0,36  0,2  0,41  0,6  0,4  1  0,458.
Формулы Байеса
Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности
являются формулы Байеса. Они применяется, когда событие А, которое может появиться только с одной из гипотез H 1 , H 2 ,..., H n , образующих полную группу событий, произошло и необходимо произвести количественную переоценку априорных вероятностей этих гипотез Р Н 1 , Р Н 2 ,..., Р Н n , известных до испытания, т.е. надо найти
апостериорные (получаемые после проведения испытания) условные
вероятности гипотез Р Н 1 А, Р Н 2 А,..., Р Н n А.
Формулы Байеса:
212
Р  Н i А 
или с учетом (5.1)
РН i   Р А Н i 
; i  1, n
Р  А
Р  Н i А 

Р Н i   Р  А Н i 
n

.
(5.2)
(5.3)
 Р Н i   Р А Н i 
i 1
Значение формул Байеса состоит в том, что при наступлении события А, т.е. по мере получения новой информации, мы можем проверять и
корректировать выдвинутые до испытания гипотезы. Такой подход, называемый байесовским, дает возможность корректировать управленческие решения в экономике, оценки неизвестных параметров распределения изучаемых признаков в статистическом анализе и т.д.
П р и м е р 1 . Из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 – хорошо, 2 – посредственно и 1 – плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный
студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо – на 16 вопросов,
посредственно – на 10, плохо – на 5. Вызванный наугад студент ответил на 3 произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что
этот студент подготовлен: 1) отлично; 2) плохо.
Решение.
Гипотезы: Н 1 – студент подготовлен отлично; Н 2 – студент подготовлен хорошо; Н 3 – студент подготовлен посредственно; Н 4 –
студент подготовлен плохо.
Найдем вероятности этих гипотез.
P H 1   0,3 ; P H 2   0,4 ; P H 3   0,2 ; P H 4   0,1 .
A  студент ответил на три заданных вопроса.
16 15 14
Р  А Н 1   1; P A H 2  
   0,491;
20 19 18
10 9 8
5 4 3
P A H 3  
   0,105 ; P A H 4  
   0,009 .
20 19 18
20 19 18
По формуле Байеса
P  H1 A  
P H 1   P  A H1 
0,3  1

 0,58;
P  A
0,3  1  0,4  0,491  0,2  0,105  0,1  0,09
PH 4   P A H 41  0,1  0,009

 0,02.
P  A
0,518
Скорее всего стандартная деталь из 1-го ящика.
П р и м е р 2 . Известный по опыту средний процент изготовления
на заводе ЖБИ плиты, не соответствующей требованиям по прочности, равен 3% вследствие нарушения технологии по приготовлению
P  H 4 A 
213
бетонной смеси и 1% вследствие нарушения технологии при укладке
бетонной смеси в форму и ее уплотнении. Вероятность обнаружения
несоответствия плиты проекту по прочности равна 0,6 и в том, и в
другом случае.
Выбранная наудачу из партии готовой продукции плита выдержала проверку на соответствие проекту по прочности. Каковы вероятности того, что проверенная плита не отвечает требованиям проекта
по прочности и соответствует этим требованиям?
Событие А  плита выдержит проверку на прочность; гипотезы:
Н 1  плита отвечает требованиям по прочности (годная); Н 2  плита
не отвечает требованиям по прочности (негодная). Найдем вероятности гипотез.
Событие B1  плита не соответствует требованиям по прочности
вследствие нарушения технологии при приготовлении бетонной смеси; событие B2  плита не соответствует требованиям по прочности
вследствие нарушения технологии при укладке смеси в форму и ее
уплотнении. P B1   0,03; P B2   0,01.
Тогда гипотеза H 2  B1  B2 , события B1 и B2 совместны и независимы, так как оба вида нарушения технологии могут появиться
вместе, но вероятность наличия (появления) каждого из них не зависит от появления или непоявления другого.
Применяя теорему сложения [см. формулу (3.9)] и учитывая независимость событий B1 и B2 , получаем
P H 2   P B1  B2   P B1   P B2   P B1  B2  
 P B1   PB2   P B1   PB2   0,03  0,01  0,03  0,01  0,0397.
Так как события Н1 и Н 2 противоположны, то
P  1  P H 2   0,9603.
По условию задачи вероятность того, что наудачу выбранная
плита пройдет проверку на прочность, если она отвечает этому требованию, равна P  A / H 1   0,6, а вероятность того, что плита пройдет
проверку, если она не отвечает требованиям по прочности, равна
P  A / H 2   0,4.
Используя формулу полной вероятности (5.1), найдем вероятности того, что плита пройдет проверку на прочность:
P  A   P H 1   P  A / H 1   P  H 2   P  A / H 2  
 P  A  P  H1   P  A / H 1   P H 2   P  A / H 2  
 0,9603  0,6  0,0397  0,4  0,5762  0,016  0,5922.
214
Вероятность того, что плита не отвечает требованиям по прочности, но испытания на соответствие этим требованиям выдержала,
найдем по формуле (5.4):
P( H 2 / A) 
P( H 2 )  P( A / H 2 ) 0,0397  0,4

 0,0268;
P( A)
0,592
аналогично находим вероятность того, что выдержавшая испытания
на прочность плита соответствует требованиям проекта по
прочности:
P( H1 )  P( A / H1 ) 0,9603  0,6
P( H1 / A) 

 0,9732.
P( A)
0,592
События H1 / A и H 2 / A  противоположные, поэтому Р(Н2/А)
можно было бы найти и по формуле
P H 2 / A  1  P H 1 / A.
Задачи по теме «Формула полной вероятности. Формулы Байеса»
5.1. Изделия изготавливаются параллельно на двух станках. Вероятность брака на одном станке равна 0,04 и на втором 0,08. Определить вероятность того, что из 10 изделий, изготовленных по 5 на
каждом станке, ни одна не будет бракована.
5.2. Рабочий обслуживает три станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна
0,02; для второго – 0,03; для третьего – 0,04. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого
станка в три раза больше, чем второго, а третьего – в два раза
меньше, чем второго. Определить вероятность того, что взятая
наудачу деталь будет бракованной.
5.3. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна.
Вероятность выполнить квалификационную норму равна: для
лыжника  0,9; для велосипедиста  0,8; для бегуна  0,75. Найти
вероятность того, что спортсмен, вызванный наудачу, выполнит
норму.
5.4. Производится стрельба по цели одним снарядом. Цель состоит из
215
трех частей, площади которых равны S1  20; S 2  50; S3  30 м2
S  S1  S 2  S3  . При попадании в первую часть цель поражается с вероятностью 0,6; во вторую часть  с вероятностью 0,9; в
третью – 0,8. Найти вероятность поражения цели, если известно,
что в нее попал один снаряд.
5.5. Производится 3 независимых выстрела зажигательными снарядами по емкости с горючим. Каждый снаряд попадает в емкость с
вероятностью 0,6. Если в емкость попал один снаряд, горючее
воспламеняется с вероятностью 0,7, если 2 снаряда – с полной
достоверностью. Найти вероятность того, что горючее воспламенится.
5.6. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 – с вероятностью 0,7; 4 – с вероятностью 0,6 и 2 – с вероятностью 0,5.
Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не
попал. К какой из групп вероятнее всего этот стрелок принадлежал?
5.7. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором
стоит бензозаправка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе, как 3:2. Вероятность того, что будет
заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины –
0,2. К бензозаправке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это будет грузовая машина.
Индивидуальные задания по теме «Формула полной вероятности.
Формулы Байеса»
Вариант 1.
5.1. Изделия изготавливаются параллельно на двух станках. Вероятность брака на одном станке равна 0,02; на втором – 0,06. Определить вероятность того, что из 20 изделий, изготовленных поровну на каждом станке, ни одно не будет бракованным.
5.2. Смотри задачу 1.
Вариант 2.
5.1. Для контроля продукции из трех партий берется для испытания
одна деталь. Найти вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии 2/3 деталей бракованные, а в двух
других все доброкачественные.
5.2. Смотри задачу 1.
Вариант 3.
216
5.1. Рабочий обслуживает три танка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна
0,04; для второго – 0,05; для третьего – 0,06. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого
станка в три раза больше, чем второго, и третьего – в два раза
меньше, чем второго. Определить вероятность того, что наудачу
взятая деталь будет бракованной.
5.2. Смотри задачу 1.
Вариант 4.
5.1. В группе спортсменов 15 биатлонистов, 10 лыжников, 7 конькобежцев. Вероятность сдать зачет равна: для биатлонистов – 0,9;
для лыжников – 0,8, а для конькобежцев – 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, вызванный наудачу, сдаст зачет.
5.2. Смотри задачу 1.
Вариант 5.
5.1. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8; а второго – 0,9. Найдите вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора)
стандартная.
5.2. Смотри задачу 1.
Вариант 6.
5.1. В первой команде 6 мастеров спорта и 4 перворазрядника, а во
второй – 6 перворазрядников и 4 мастера спорта. Сборная, составленная из игроков первой и второй команд, содержит 10
спортсменов: 6 спортсменов из первой команды и 4 – из второй.
Из сборной команды наудачу выбирается один спортсмен. Найти
вероятность того, что он мастер спорта.
5.2. Смотри задачу 1.
Вариант 7.
5.1. Прибор, установленный на борту самолета, может работать в двух
режимах: в условиях нормального крейсерского полета и в условиях перегрузки при взлете и посадке. Крейсерский режим полета
осуществляется в 80% всего времени полета, условия перегрузки
– в 20 %. Вероятность выхода прибора из строя за время полета в
нормальном режиме равна 0,1; а в условиях перегрузки – 0,4. Вычислить надежность прибора во время полета.
5.2. Смотри задачу 1.
Вариант 8.
5.1. Из полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость
217
домино. Найти вероятность того, что вторую извлеченную наудачу кость можно приставить к первой.
5.2. Смотри задачу 1.
Вариант 9.
5.1. В ящик, содержащий 3 одинаковые детали, брошена стандартная
деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность
того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все
возможные предположения о числе стандартных деталей, первоначально находящихся в ящике.
5.2. Смотри задачу 1.
Вариант 10.
5.1. Прибор может работать в двух режимах: 1) нормальном и 2) ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы прибора; ненормальный – в 20%. Вероятность выхода
прибора из строя за время t в нормальном режиме равна 0,1; в ненормальном – 0,7. Найти полную вероятность выхода прибора из
строя за время t.
5.2. Смотри задачу 1.
Вариант 11.
5.1. Приборы одного наименования изготавливаются двумя заводами;
первый завод поставляет 2/3 всех изделий, поступающих на производство; второй – 1/3. Надежность (вероятность безотказной
работы) прибора, изготовленного первым заводом, равна 0,85;
второго – 0,9. Определить полную вероятность надежности прибора, поступившего на производство.
5.2. Смотри задачу 2.
Вариант 12.
5.1. На складе имеется 12 изделий, изготовленных на предприятии А,
20 изделий на предприятии В, 18 изделий на предприятии Г. Вероятности качественного изготовления изделий на этих предприятиях соответственно равны 0,9; 0,6; 0,9. Найти вероятность того,
что произвольно взятое изделие будет качественным.
5.2. Смотри задачу 2.
Вариант 13.
5.1. На предприятии работают две бригады рабочих: первая производит в среднем 0,75 продукции с процентом брака 4%, вторая –
0,25 продукции с процентом брака 6%. Найти вероятность того,
что взятое наугад изделие окажется бракованным.
5.2. Смотри задачу 2.
218
Вариант 14.
5.1. В первом ящике содержится 30 деталей, из них 25 стандартных;
во втором – 40 деталей, из них 35 стандартных; в третьем – 50 деталей, из них 45 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика стандартная.
5.2. Смотри задачу 2.
Вариант 15.
5.1. В группе из 10-ти студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 – хорошо, 2 – посредственно, 1 – плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. «Отличник» может
ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный – на 16, посредственно – на 10, плохо – на 5. Найти вероятность того, что
первый вызванный студент ответил на 3 заданных вопроса.
5.2. Смотри задачу 2.
Вариант 16.
5.1. Имеется четыре измерительных прибора: три исправных и один
неисправный. При измерениях исправным прибором вероятность
получения ошибки, превышающей допустимую, равна 0,04; при
измерениях неисправным прибором вероятность получения такой
ошибки – 0,92. Найти вероятность получения ошибки, превышающей допустимую, если измерение произведено прибором,
взятым наудачу.
5.2. Смотри задачу 2.
Вариант 17.
5.1. На сборку поступают детали с двух автоматов. Первый дает в
среднем 0,2% брака, второй – 0,1%. Найти вероятность попадания
на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 2000 деталей, а со второго – 3000.
5.2. Смотри задачу 2.
Вариант 18.
5.1. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной
машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в
оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно
равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.
5.2. Смотри задачу 2.
219
Вариант 19.
5.1. В тире 5 винтовок, вероятности попадания из которых равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9. Определить вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берет одну из
винтовок наудачу.
5.2. Смотри задачу 2.
Вариант 20.
5.1. Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой
партии одно изделие браковано. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую. После чего выбирается наудачу изделие из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.
5.2. Смотри задачу 2.
Вариант 21.
5.1. При механической обработке станок обычно работает в двух режимах: рентабельном и нерентабельном. Рентабельный режим
наблюдается в 80% всех случаев работы, нерентабельный – в
20%. Вероятность выхода из строя станка за время t работы в
рентабельном режиме равна 0,1; в нерентабельном – 0,7. Найти
вероятность выхода из строя за время t.
5.2. Смотри задачу 3.
Вариант 22.
5.1. Заготовки для серийного производства поступают из 1-го и 2-го
литейных цехов в соотношении 3:2 и могут быть как стандартными, так и нестандартными. Для 1-го цеха стандартные заготовки составляют 5%, а для второго цеха – 10% от всей продукции.
При изготовлении детали из стандартной заготовки вероятность
брака равна 0,02, а из нестандартной – 0,25. Найти вероятность
изготовления бракованной детали из случайно выбранной заготовки.
5.2. Смотри задачу 3.
Вариант 23.
5.1. В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 12 новых и 8 игранных. Из ящика извлекаются наугад два мяча для игры и после
игры возвращаются в ящик. После этого из ящика вынимают два
мяча для следующей игры. Найти вероятность того, что эти оба
мяча будут неигранными.
5.2. Смотри задачу 3.
220
Вариант 24.
5.1. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 стрелков – с вероятностью 0,7; 4 стрелка – с вероятностью 0,5. Найти
вероятность того, что мишень не будет поражена.
5.2. Смотри задачу 3.
Вариант 25.
5.1. Сообщение состоит из сигналов «1» и «0». Свойства помех таковы, что искажаются в среднем 5% сигналов «0» и 3% сигнала
«1». При искажении вместо сигнала «0» принимается сигнал «1»,
и наоборот. Известно, что среди передаваемых сигналов «1» и
«0» встречаются в отношении 3:2. Найти вероятность того, что
отправляющий сигнал будет принят как «1».
5.2. Смотри задачу 3.
Вариант 26.
5.1. Счетчик регистрирует частицы трех типов  ,  ,  . Вероятности
появления этих частиц соответственно равны 0,2; 0,5; 0,3. Частицы каждого из этих типов счетчик улавливает с вероятностями,
соответственно равными 0,8; 0,2; 0,4. Найти вероятность события,
счетчик появившуюся частицу зарегистрирует.
5.2. Смотри задачу 3.
Вариант 27.
5.1. Изделия изготавливаются параллельно на трех станках. Вероятность брака на первом станке равна 0,05; на втором – 0,06; на
третьем – 0,07. Определить вероятность того, что из 30 изделий,
изготовленных поровну на каждом станке, ни одно не будет бракованным.
5.2. Смотри задачу 3.
Вариант 28.
5.1. Рабочий обслуживает 3 автомата. Вероятность брака для первого
автомата равна 0,6; для второго – 0,05; для третьего – 0,01. Производительность всех станков одинакова. Изготовленные детали
попадают на общий конвейер. Найти вероятность того, что взятая
наугад деталь оказалась годной.
5.2. Смотри задачу 3.
Вариант 29.
5.1. В лаборатории имеется 6 новых компьютеров и 4 старых. Вероятность безотказной работы нового компьютера равна 0,95; а старого – 0,8. Производится расчет на наудачу выбранном компьютере.
221
Найти вероятность того, что этот компьютер не выйдет из строя.
5.2. Смотри задачу 3.
Вариант 30.
5.1. Рабочий обслуживает 3 автомата. Вероятность безотказной работы для первого автомата равна 0,90; для второго – 0,85; для
третьего – 0,80. Производительность всех станков одинакова. Изготовленные детали попадают на общий конвейер. Найти вероятность того, что взятая наугад деталь оказалась бракованной.
5.2. Смотри задачу 3.
Задача 1. В партии изделий смешаны изделия трех заводов: n1
изделий первого, n2 изделий второго и n3 изделий третьего. Известно, что вероятности дефектов для изделий первого, второго, третьего
заводов соответственно равны p1, p2, p3. Если изделие дефектно, то
оно не проходит испытания. Взято наугад одно изделие из смешанной
партии, оно не прошло испытания. Найти вероятность того, что оно
изготовлено i-м заводом (i=1,2,3).
Количество изделий завода Вероятности дефекта
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n1
20
25
35
45
35
25
45
30
35
25
n2
50
45
40
30
30
35
35
35
20
30
n3
30
30
25
25
35
40
20
35
45
45
p1
p2
p3
0,01
0,015
0,02
0,01
0,02
0,01
0,02
0,01
0,02
0,03
0,02
0,01
0,03
0,02
0,015
0,03
0,025
0,02
0,015
0,01
0,03
0,02
0,01
0,01
0,025
0,02
0,01
0,03
0,025
0,02
Изделия,
изготовленные
i-м заводом
1
2
3
2
1
3
2
1
3
2
Задача 2. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по одной и той же мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка p1, для второго – p2,
для третьего – p3. После стрельбы в мишени была обнаружена пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит i-му
стрелку (i=1,2,3)?
222
Вариант
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
p1
p2
0,8
0,7
0,9
0,6
0,75
0,8
0,9
0,8
0,75
0,8
p3
0,6
0,65
0,85
0,75
0,8
0,75
0,8
0,9
0,85
0,75
0,5
0,8
0,7
0,8
0,7
0,7
0,75
0,7
0,9
0,65
i
2
1
3
2
3
2
1
2
3
1
Задача 3. Однотипные приборы выпускаются тремя заводами в
количественном отношении n1, n2, n3, причем вероятности брака для
этих заводов соответственно равны p1, p2, p3. Прибор, приобретенный
научно-исследовательским институтом, оказался бракованным. Какова вероятность, что данный прибор произведен i-м заводом (i=1,2,3)?
Вариант
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
n1
2
4
5
6
4
3
7
6
5
8
n2
3
5
6
7
6
2
8
7
7
9
n3
4
6
4
8
8
4
9
8
6
7
p1
0,01
0,015
0,02
0,01
0,02
0,01
0,01
0,015
0,01
0,015
p2
0,02
0,03
0,015
0,02
0,015
0,015
0,02
0,015
0,02
0,02
p3
0,03
0,04
0,03
0,03
0,03
0,02
0,03
0,03
0,015
0,01
i
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
§6. ПОВТОРЕНИЕ ОПЫТОВ. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ
Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А. Здесь будем рассматривать независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события одинакова.
Ф о р м у л а Б е р н у л л и . Вероятность того, что в n независимых
испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события
223
равна p ( 0  p  1 ), событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), равна Рn k   Сnk  р k  q n  k , где q  1  p,
n!
C nk 
.
k!n  k !
Вероятность того, что событие наступит
а) менее k раз: Рn 0  Рn 1  ...  Рn k  1;
б) более k раз: Рn k  1  Рn k  2  ...  Рn n ;
в) не менее k раз: Рn k   Рn k  1  ...  Рn n  ;
г) не более k раз: Рn 0  Рn 1  ...  Рn k .
Наивероятнейшее число k0 появлений события в независимых испытаниях определяется из неравенств np  q  k 0  np  p, причем
а) если число np  q – дробное, то существует одно наивероятнейшее число k0;
б) если число np  q – целое, то существует два числа, а именно k0 и k0+1;
в) если np – целое, то наивероятнейшее число k 0  np.
Задачи то теме «Повторение опытов. Формула Бернулли»
6.1. Для стрелка, выполняющего упражнения в тире, вероятность попасть в «яблочко» при одном выстреле не зависит от результатов
предшествующих выстрелов и равна p  0,25. Спортсмен сделал
5 выстрелов. Найти вероятность событий: А={ровно одно попадание}; В={ровно два попадания}; С={хотя бы одно попадание};
D={не менее трех попаданий}.
6.2. Десять осветительных лампочек для елки включены в цепь последовательно. Вероятность для любой лампочки перегореть при
повышении напряжения в сети равна 0,1. Определить вероятность разрыва цепи при повышении напряжения ВЦ в сети.
6.3. Пара одинаковых игральных костей бросается 7 раз. Какова вероятность следующих событий: А={сумма очков, равная 7, выпадет
дважды}; В={сумма очков, равная 7, выпадет по крайней мере
один раз}; С={каждый раз выпадет сумма очков большая 7};
D={ни разу не выпадет сумма очков, равная 12}?
6.4. Устройство состоит из восьми независимо работающих элементов. Вероятности отказов каждого из элементов за время Т одинаковы и равны p  0,2. Найти вероятность отказа прибора, если
224
для этого достаточно, чтобы отказали хотя бы три элемента из
восьми.
6.5. На контроль поступила партия деталей из цеха. Известно, что 5%
всех деталей не удовлетворяют стандарту. Сколько нужно испытать деталей, чтобы с вероятностью не менее 0,95 обнаружить
хотя бы одну нестандартную деталь?
6.6. Вероятность получения отметки цели на экране обзорного радиолокатора при одном обороте антенны равна 1/6. Цель считается
обнаруженной, если получены 3 отметки. Какова вероятность,
что цель будет обнаружена не более чем за 5 оборотов антенны?
Индивидуальные задания по теме «Повторение опытов.
Формула Бернулли»
Вариант 1.
Вероятность отказа локомотива на линии за время полного оборота составляет 0,01. Найти вероятность того, что в десяти поездах
произойдет не более отказов локомотива на линии.
Вариант 2.
Вероятность рождения мальчика 0,515. Найти вероятность того,
что в семье из пяти детей не более двух мальчиков.
Вариант 3.
В ящике имеется 6 белых и 60 красных шаров. Какова вероятность того, что при десяти независимых выборах с возвращением три
раза будет выниматься белый шар?
Вариант 4.
Станок штампует детали. Вероятность того, что деталь окажется
бракованной, равна 7%. Найти вероятность того, что среди 5 деталей
две бракованные.
Вариант 5.
Игральная кость бросается 7 раз. Найти вероятность того, что три
очка выпадут 2 раза.
Вариант 6.
Игральная кость бросается 5 раз. Найти вероятность того, что три
очка выпадут 3 раза.
Вариант 7.
Монета бросается 10 раз. Найти вероятность того, что орел выпадает 3 раза.
225
Вариант 8.
Вероятность выигрыша по облигации займа равна 0,25. Какова
вероятность того, что из 8 облигаций 10 выигрывают?
Вариант 9.
В магазин вошли 10 покупателей. Вероятность совершить покупку для каждого вошедшего одна и та же и равна 0,2. Найти вероятность того, что 6 из них совершат покупку.
Вариант 10.
В каждом из четырех ящиков по 5 белых и по 15 черных шаров.
Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность вынуть два белых и два черных шара?
Вариант 11.
При подаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,1. Какова вероятность того, что сообщение из шести знаков содержит два неправильных знака; не менее трех неправильных знаков?
Вариант 12.
В люстре пять электролампочек. Каждая из них перегорает в течение года с вероятностью 0,02. Найти вероятность того, что в течение года перегорит не менее трех электролампочек.
Вариант 13.
Среди вырабатываемых деталей бывает в среднем 3% брака. Какова вероятность того, что среди взятых на испытание пяти деталей
будет 30% бракованных?
Вариант 14.
В магазин вошли восемь покупателей. Найдите вероятность события, состоящего в том, что трое из них будут что-нибудь покупать.
Вероятность того, что любой из вошедших в магазин не уйдет без покупки, равна 0,65.
Вариант 15.
В скольких партиях с равным по силе противником выигрыш более вероятен: в трех партиях из четырех или в пяти партиях из восьми?
Вариант 16.
Рабочий обслуживает четыре однотипных станка. Вероятность
того, что в течение часа станок потребует регулировки, равна 1/3. Какова вероятность того, что в течение часа рабочему придется регулировать не более одного станка?
Вариант 17.
Вероятность забить пенальти для хорошо подготовленного фут226
болиста равна 0,9. Какова вероятность того, что из десяти пенальти он
забьет не меньше восьми?
Вариант 18.
Что вероятнее выиграть в шахматы у равносильного противника:
не менее трех партий из четырех или не менее пяти из восьми?
Вариант 19.
Вероятность выхода из строя за время Т одного (любого) элемента равна 0,25. Определить вероятность того, что за время Т из восьми
элементов из строя выйдет: а) половина; б) меньше половины.
Вариант 20.
Для стрелка, выполняющего упражнение в тире, вероятность попасть в «яблочко» при одном выстреле не зависит от результатов
предшествующих выстрелов и равна 0,25. Спортсмен сделал пять выстрелов. Найти вероятность не менее трех попаданий.
Вариант 21.
Испытание заключается в бросании трех игральных костей. Найти вероятность того, что в пяти независимых испытаниях ровно два
раза выпадает по три единицы.
Вариант 22.
Спортсмен выполняет семь бросков мячом по корзине. Вероятность попадания мяча в корзину при каждом броске равна 0,6. Найти
вероятность того, что спортсмен попадет в корзину не менее пяти раз.
Вариант 23.
В студии телевидения семь телевизионных камер. Для каждой
камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна
0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включено не менее
четырех камер.
Вариант 24.
Известно, что для некоторой волейбольной команды вероятности
выиграть три партии из пяти и две партии из четырех равны. Найти
вероятность выигрыша в одной партии.
Вариант 25.
Пара одинаковых игральных костей бросается семь раз. Какова
вероятность того, что сумма очков, выпавших на обеих костях, равная
девяти, повторится дважды?
Вариант 26.
Вероятность успешного запуска управляемого снаряда равна
0,95. Найти вероятность того, что из десяти запусков будет по меньшей мере восемь успешных.
227
Вариант 27.
Вероятность отказа каждого прибора при испытании не зависит
от отказов остальных приборов и равна 0,15. Испытано девять приборов. Найти вероятность того, что три из них отказали.
Вариант 28.
В ячейку памяти записывается 8-разрядное двоичное число. Значения «0» и «1» в каждом разряде появляются с равной вероятностью.
Найти вероятность того, что в записи двоичного числа содержится
четыре единицы.
Вариант 29.
По данным телевизионного ателье, в течение гарантийного срока
выходит из строя в среднем 12% кинескопов. Какова вероятность того, что в партии из 100 кинескопов не меньше половины из них проработает гарантийный срок?
Вариант 30.
Событие В появится в случае, если событие А наступит не менее
четырех раз. Найти вероятность наступления события В, если производится пять независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,9.
§7. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Числовые характеристики случайных величин
О п р е д е л е н и е 1 . Случайной величиной называется величина,
которая в результате опыта может принять то или иное значение, какое именно заранее неизвестно.
О п р е д е л е н и е 2 . Закон распределения случайной величины есть
всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными
значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Случайные величины могут быть дискретными, непрерывными и
смешанными. Далее будут рассматриваться только дискретные и непрерывные случайные величины.
Случайные величины часто обозначают большими буквами латинского алфавита, например X , Y , Z , а их возможные значения – маленькими буквами, например x1 , x2 ,.... .
О п р е д е л е н и е 3 . Дискретной случайной величиной называют
228
случайную величину, принимающую отдельные, изолированные друг
от друга значения, множество которых не более, чем счетное, то есть
возможные значения дискретной случайной величины можно перенумеровать.
Закон распределения дискретной случайной величины можно задать либо в виде ряда распределения, либо функции распределения.
О п р е д е л е н и е 4 . Ряд распределения дискретной случайной величины есть таблица, в которой перечислены возможные значения
x1 , x2 ,..., xn случайной величины и вероятности p1 , p 2 ,..., p n , с которыми эти значения принимаются:
X
P
x1
p1
где pi  P  X  xi ;
x2
p2
xi
pi
……….
……….
……….
……….
xn
pn
n
 pi  1.
i 1
Графическое изображение ряда распределения (рис.7.1) называется многоугольником распределения.
pi
p1
x1
p2
x2
p3
p4
x3 x4
p5
x5
x
Рис. 7.1. Многоугольник распределения
О п р е д е л е н и е 5 . Функцией распределения случайной величины
X называется функция F  x ,    x  , равная вероятности того,
что X примет значение, меньшее, чем x:
229
F  x   P X  x .
(7.1)
Свойства функции распределения:
1) F     0;
2) F     1;
3) 0  F  x   1,    x  ;
4) F  x  есть неубывающая функция, т.е.
x1 , x2 , x1  x2 , F  x1   F  x2 .
Для дискретных случайных величин функция распределения есть
разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева. Функция распределения вычисляется по формуле
F  x    pi ,
xi x
где суммирование ведется по всем значениям i, для которых
xi  x; xi  возможные значения дискретной случайной величины,
pi  вероятности, с которыми эти возможные значения принимаются,
i  1,2,..., n.
Функция распределения дискретной случайной величины имеет
разрывы в точках возможных значений случайной величины, величины скачков равны вероятностям, с которыми эти возможные значения
принимаются.
Вероятность того, что случайная величина X примет какоенибудь значение из [a; b), равна приращению функции распределения
на концах этого промежутка:
P a  X  b   F b   F a .
(7.2)
П р и м е р 1 . Дан ряд распределения дискретной случайной величины X:
X
-2
3
5
pi
0,2
0,5
0,3
Найти: 1) многоугольник распределения; 2) функцию распределения; 3) P 0  X  4 ; 4) P  X  3.
Многоугольник распределения строим, пользуясь данными ряда
распределения (рис. 7.2).
230
pi
x
Рис. 7.2. Многоугольник распределения для примера 1.
Найдем значения функции распределения.
x  2, тогда F  x   P  X  x   0;
 2  x  3,
тогда F  x   P  X  x   P  X  2  P  2  X  x   P  X  2  0,2;
3  x  5,
тогда F  x   P X  x   P  X  2  P X  3  0,2  0,5  0,7;
x  5,
тогда
F  x   P  X  x   P  X  2  P  X  3  P  X  5  0,2  0,5  0,3  1.
Построим график F(x) (рис. 7.3).
F(x
)
Рис. 7.3. График функции распределения для примера 1
231
P 0  X  4   F 4  F 0  0,7  0,2  0,5;
P  X  3  P 3  X     F     F 3  1  0,2  0,8.
П р и м е р 2 . Из партии, состоящей из 20 изделий, среди которых
два бракованных, случайным образом выбирают 5 изделий для проверки их качества. Построить ряд распределения случайной величины
X – числа бракованных изделий среди пяти отобранных.
Число бракованных изделий среди пяти отобранных может быть
любым целым числом от 0 до 2 включительно, то есть возможные
значения xi случайной величины X равны x1  0; x2  1; x3  2.
Найдем вероятности, с которыми эти возможные значения принимаются.
5
4
3
С 20С18
С 22 С18
21
С 12С18
15
1




P X  0 

;
P
X

1


;
P
X

2


.
5
5
5
38
38
19
С20
С 20
С 20
Ряд распределения имеет вид таблицы
X
0
1
2
P
21
38
15
38
1
19
2
Отметим, что  P  X  k   1.
k 0
О п р е д е л е н и е 6 . Случайная величина X называется непрерывной, если её возможные значения сплошь (без промежутков) заполняют некоторый интервал числовой оси.
Закон распределения непрерывной случайной величины X можно
задать в форме функции распределения или функции плотности вероятностей. Функция распределения F  x  непрерывной случайной величины всюду непрерывна и имеет производную во всех точках, кроме тех, в которых терпит излом.
О п р е д е л е н и е 7 . Функцией плотности вероятностей (функцией плотности или плотностью распределения) непрерывной слуdF x 
чайной величины называется функция f  x  
.
dx
Свойства функции плотности:
1. Плотность распределения неотрицательна, то есть f  x   0.
232

2.  f  x dx  1.
(7.3)

График функции плотности f  x  называется кривой распределения. Функция распределения
пределения формулой
F x выражается через плотность расx
F  x    f  x dx.
(7.4)

Вероятность попадания на участок от а до b для непрерывной
случайной величины можно найти не только с помощью функции
распределения, но и с помощью функции плотности по формуле
b
Pa  X  b    f x dx.
(7.5)
a
Численно вероятность события a  X  b  равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции плотности f  x  , снизу – отрезком [a; b], слева и справа прямыми x  a, x  b
соответственно (рис. 7.4).
f(x)
Рис. 7.4. Вариант графика функции плотности
Свойство 2 функции плотности означает, что вероятность принять значения непрерывной случайной величиной на промежутке
233
 ;  равна 1.
Элементом вероятности для случайной величины X называется
величина f  x dx, приближенно равная вероятности попадания случайной точки X в элементарный отрезок dx, примыкающий к точке x
(см. рис. 7.4), то есть
P  x  X  x  dx   f  x dx.
(7.6)
Числовые характеристики случайных величин
Числовые характеристики случайной величины – это числа, которые в сжатой форме отражают наиболее существенные черты поведения случайной величины. Наиболее употребительные числовые характеристики – математическое ожидание и дисперсия.
О п р е д е л е н и е 8 . Математическим ожиданием случайной величины X называется её среднее значение, вычисляемое по формулам
n
MX   xi pi ,
(7.7)
i 1
где pi  P  X  xi  – для дискретной случайной величины;

MX   x  f  x dx,
(7.8)

где f  x  – функция плотности для непрерывной случайной величины.
Математическое ожидание имеет размерность случайной величины.
Свойства математического ожидания:
1) MC  C , где С – константа;
2) M CX   CMX , где С – константа;
3) M  X  Y   MX  MY ;
4) M  X  Y   MX  MY для независимых случайных величин.
Часто математическое ожидание случайной величины X обозначают m x .
Пусть имеется случайная величина X с математическим ожиданием m x . Центрированной случайной величиной, соответствующей величине X, называется отклонение случайной величины X от её мате234
матического ожидания:
(7.9)
xц  X  m x .
О п р е д е л е н и е 9 . Дисперсией случайной величины X называется
математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной случайной величины:
DX  MX ц2 .
(7.10)
Учитывая формулу (7.9), получаем
DX  M  X  m x 2 .
(7.11)
Дисперсию дискретной случайной величины, учитывая формулы
(7.11) и (7.7), вычисляют по формуле
n
DX    xi  m x 2 pi ,
(7.12)
i 1
где pi  P  X  xi .
Дисперсию непрерывной случайной величины, учитывая формулы (7.11) и (7.8), вычисляют по формуле

DX    x  mx 2 f  x dx,
(7.13)

где f  x  – функция плотности.
На практике для вычисления дисперсии случайной величины
часто применяется формула
DX  MX 2  MX 2 .
(7.14)
Формула (7.14) для вычисления дисперсии случайной величины
принимает вид
n
DX  
i 1
2
xi2 pi
n
   xi pi  ,
 i 1

235
(7.15)



DX   x f x dx    f  x dx

 

2
2
(7.16)
соответственно для дискретной и непрерывной случайных величин.
Свойства дисперсии:
1) DC  0, где С – константа;
2) DCX   С 2 DX , где С – константа;
3) D  X  Y   DX  DY для независимых случайных величин.
Дисперсия случайной величины характеризует разброс, рассеивание возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания и имеет размерность квадрата случайной величины. В
качестве характеристики разброса, имеющей размерность самой случайной величины, используют среднее квадратическое отклонение
  x    x , которое определяется по формуле
 x  DX .
(7.17)
П р и м е р 3 . Производится три независимых выстрела. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах равны соответственно 0,4; 0,5 и 0,6. Найти дисперсию числа попаданий.
События А, В, С – попадание при первом, втором и третьем выстрелах. По условию P  А  0,4; PB   0,5; P С   0,6.
Случайная величина X – число попаданий при трех выстрелах соответственно. Составим ряд распределения случайной величины X. Её
возможные значения: 0,1,2,3.
Событие  X  0  А  В  С , тогда
P А  В  С  P А  P В  P С  0,6  0,5  0,4  0,12.
Событие  X  1  А  В  С  А  В  С  А  В  С , тогда
P  X  1  P А  В  С  P А  В  С  P А  В  С 
 0,4  0,5  0,4  0,6  0,5  0,4  0,6  0,5  0,6  0,38.
Событие  X  2  А  В  С  А  В  С  А  В  С , тогда
P X  2  P А  В  С  P А  В  С  P А  В  С 
 0,4  0,5  0,4  0,4  0,5  0,6  0,6  0,5  0,6  0,38.
Событие  X  3  А  В  С , тогда
P  X  3  P  X  3  0,4  0,5  0,6  0,12.

    

 
 


 
 

236
Ряд распределения есть таблица
X
P
0
0,12
1
0,38
2
0,38
3
0,12
Математическое ожидание случайной величины X найдем по
формуле (7.7), а дисперсию – по формуле (7.15):
MX  0,12  0  1  0,38  2  0,38  3  0,12  1,5;
MX 2  0  0,12  1  0,38  4  0,38  9  0,12  2,6;
DX  2,6 - 2,25  0,35.
П р и м е р 4 . Случайная величина X задана функцией распределения F  x . Найти: а) функцию плотности; б) MX , DX ,  x ; в) построить графики функций плотности и распределения, если
при x  1;
 0
1
F  x     x  1 при  1  x  1;
2
при x  1.
 0
Функцию плотности находим по формуле из определения 7:
 0 при x  1;
1
f x  
при  1  x  1;
2

 0 при x  1.
Математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение находим по формулам (7.8), (7.16), (7.17) соответственно,
учитывая, что вне промежутка [1;1] функция плотности равна 0:
2
1
11
1
1
7
7
1
MX   xdx  ; DX   x 2 dx     ;  x 
 0,76.
2
12
12
 2
1 2
1 2
237
Графики данной функции распределения и полученной функции
плотности изображены на рис. 7.5.
f(x)
F(x)
1
2
Рис. 7.5. Графики функций плотности распределения для примера 4
П р и м е р 5 . Случайная величина X задана функцией плотности


с x 2  2 x при x  0;1,
f x   
0
при x  0;1.

Найти: 1) параметр с; 2) функцию распределения F  x ; 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклоне1

ние случайной величины X; 4) P 0  X  .
2

Параметр с находим, пользуясь свойством 2 функции плотности
[см. формулу (7.3)]. Учитывая, что вне 0;1 функция плотности равна
1


0, имеем  с x 2  2 x dx  1, вычислим интеграл, стоящий слева:
0
1
 x3 2x 2 
4
  с  ; учитывая, что этот интеграл равен 1, получаем
с 
2 
3
 3
0
4
3
с   1 и с  ; таким образом, на 0;1 функция плотности
3
4
3
f  x   x 2  2 x , вне его f  x   0.
4
По формуле (7.8) находим математическое ожидание
1
3
MX   x  x 2  2 x dx или после вычисления интеграла получаем
4
0




238
11
.
16
Дисперсию случайной величины X находим по формуле (7.16):
MX 
1
DX   x 2 f  x dx  MX 2
0
или
2
31
 11 
DX   x 2 x 2  2 x dx    .
40
 16 


67
 0,052;
1280
среднее квадратическое отклонение находим по формуле (7.17):
После необходимых вычислений получаем DX 
 x  0,052  0,23.
Функцию распределения F x  находим по формуле (7.4), учитывая, что она определена на всей числовой оси.
x
Для x  0 F  x    0  dx  0;


3x 2
3  x3
для 0  x  1 F  x    0  dx   x  2 x dx    x 2 ;
40
4 3


0
1

3
для x  1 F  x    0  dx   x 2  2 x dx   0  dx  1.
40

1
Таким образом,
0




0,
если
x  0;

 3  x 3

F  x      x 2 , если 0  x  1;

4  3

1,
если
x  1.
Вероятность принятия случайной величиной X значений на про 1
межутке  0;  найдем по формуле (7.5):
 2
1
2
1 3
7

P 0  X     x 2  2 x dx 
 0,22.
2 4 0
32


239

Краткая справка о некоторых основных законах распределения
случайных величин
Дискретная случайная величина называется распределенной по
биномиальному закону, если её возможные значения 0;1;...; n, а вероятность того, что X  m, выражается формулой
P X  m  Сnm p m q n  m ,
(7.18)
где 0  p  1; q  1  p; n, p  параметры закона распределения.
Математическое ожидание случайной величины X, распределенной по биномиальному закону, равно MX  n  p, а дисперсия
DX  npq.
Отметим, что случайную величину X можно рассматривать как
число появлений события А в n независимых испытаниях с вероятностью p в каждом испытании (см. формулу Бернулли в схеме
Бернулли в §6).
Дискретная случайная величина X называется распределенной по
закону Пуассона, если ее возможные значения 0,1,2,..., m,... , а вероятность того, что X  m, выражается формулой
аm а
P X  m  
е ,
m!
(7.19)
где а  0 - параметр закона распределения.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X,
распределенной по закону Пуассона, равны параметру а:
(7.20)
MX  a; DX  a.
Непрерывная случайная величина X называется распределенной
по показательному закону распределения, если ее функция плотности
имеет вид
 0
f  x     x
е
при
x  0;
при
x  0,
240
(7.21)
где   0  параметр закона распределения.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X,
распределенной по показательному закону распределения, равны соответственно
MX 
1
1
; DX  2 .


(7.22)
Показательное распределение тесно связано с простейшим (стационарным пуассоновским) потоком событий. Потоком событий называется последовательность событий, наступающих одно за другим
в случайные моменты времени.
Поток событий называется потоком без последействия, если вероятность появления на любом участке времени того или другого
числа событий не зависит от того, какое число событий попало на
другие, не пересекающееся данным участки.
Поток событий называется ординарным, если вероятность появления на элементарном участке  t двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления одного события.
Ординарный поток событий без последействия называется пуассоновским.
Интенсивностью (плотностью) потока называется среднее число
событий в единицу времени.
Если события образуют пуассоновский поток, то число событий,
происходящих на любом интервале времени t0 , t0    , распределено
по закону Пуассона и параметр этого закона распределения
t0 
а    t dt , где  t   плотность потока.
t0
Если  t   const то пуассоновский поток называется простейшим
потоком.
Для простейшего потока число событий m, происходящих за время t, распределено по закону Пуассона с параметром   t :

 t m е   t
P X  m  
.
m!
Случайная величина T – время между двумя соседними событиями в простейшем потоке – имеет показательное распределение с параметром, равным интенсивности потока:
241
f t   е   t , t  0.
Непрерывная случайная величина X называется равномерно распределенной в интервале  ;  , если её плотность распределения в
этом интервале постоянна и равна
 1

f x      
 0
при x   ;  ;
при
(7.23)
x   ;  .
где  и  – параметры закона распределения.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X,
распределенной равномерно на интервале  ;  , равны

   2

MX 
; DX 
.
2
12
(7.24)
Непрерывная случайная величина X называется распределенной
по нормальному закону, если её плотность распределения равна
f x 
1
е
2 

 x   2
2 2
,    x  ,
(7.25)
где  ,   параметры закона распределения.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X,
распределенной по нормальному закону, равны соответственно
MX  M ; DX   2 .
(7.26)
Для случайной величины, имеющей нормальный закон распределения (часто говорят «для нормальной случайной величины») с параметрами   0 и   1 функция плотности (7.25) принимает вид

f 0;1  x  
x2
2
1
l 2x .
2
242
(7.27)
Такую случайную величину называют нормированной нормальной случайной величиной; функция (7.27) табулирована [табл. П. 1].
Вероятность попадания случайной величины X, распределенной
по нормальному закону, в интервал  ;   выражается формулой
 
   
P  X     Ф
  Ф
,






(7.28)
t2
1 x 2
где Ф x  
 е dt - функция Лапласа, которая табулирована
2 0
(табл.П.2). Для нормального закона распределения с параметрами
 и  справедлива формула
P X       2Ф ,
где Фx   функция Лапласа.
Задачи по теме «Случайные величины. Законы распределения. Числовые характеристики случайных величин»
7.1. Производится три независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. Построить ряд
распределения числа попаданий при трех выстрелах, найти математическое ожидание и дисперсию числа попаданий.
7.2. Производятся независимые испытания трех приборов. Вероятности отказов каждого из них равны соответственно 0,1; 0,2; 0,3.
Найти математическое ожидание числа отказавших приборов.
7.3. В партии из шести деталей имеются четыре стандартных. Наудачу отбирают две детали. Составить закон распределения случайной величины X – числа стандартных деталей среди отобранных.
7.4. Монету бросают до первого появления герба. Найти среднее число бросаний.
7.5. Проводятся два опыта с вероятностью появления успеха в
каждом, равной p. Найти закон распределения и математическое
ожидание случайной величины X – разности среди успехов и неудач.
243
7.6. Вероятность выпуска нестандартного изделия равна 0,1. Из партии контролер проверяет не более пяти изделий. Если изделие
оказывается нестандартным, дальнейшие испытания прекращаются, а партия задерживается. Если изделие оказывается стандартным, контролер берет следующее, и т.д. Составить закон распределения числа проверяемых изделий.
7.7. Производятся последовательные испытания пяти приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в
том случае, если предыдущий оказался надежным. Написать ряд
распределения числа испытанных приборов, если вероятность
выдержать испытание для каждого прибора равна 0,9.
7.8. Число X заявок на ремонт оборудования за время t=1 час распределено по закону Пуассона с параметром а=2. Найти вероятность
того, что за первый час работы заявок будет меньше двух, а за
второй час – не меньше двух.
7.9. Два орудия залпом стреляют по цели до первого попадания хотя
бы одним орудием. Вероятность попадания каждого равна 0,6.
Найти закон распределения случайной величины X – числа залпов, вычислить: а) MX; б) P  X  m x .
7.10. Поток заявок, поступающих на телефонную станцию, представляет собой простейший (стационарный пуассоновский) поток.
Математическое ожидание числа вызовов за час равно 30. Найти
вероятность того, что за минуту поступит не менее двух вызовов.
7.11. Изделие проходит контроль по двум параметрам. Вероятность
того, что оно является стандартным по первому параметру, равна
p1  0,9 , по второму p 2  0,95. Проверено n=100 деталей. Найти
математическое ожидание и дисперсию числа X нестандартных
деталей (деталь считается нестандартной, если хотя бы один параметр не удовлетворяет стандарту).
7.12. Независимые опыты продолжаются до первого положительного
исхода, после чего они прекращаются. Найти для случайного
числа опытов ряд распределения, если вероятность положительного исхода при каждом опыте равна 0,5.
7.13. При работе прибора время от времени возникают неисправности
(сбои). Поток сбоев можно считать простейшим. Среднее число
сбоев за сутки равно 1,5. Найти вероятности событий: а) за двое
суток не будет ни одного сбоя; б) в течение суток произойдет хотя бы один сбой; в) за неделю работы прибора произойдет не менее трех сбоев.
244
7.14. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение некоторого времени T первый станок потребует внимания рабочего, равна 0,2. Для второго станка эта вероятность равна 0,3,
для третьего – 0,4. Построить ряд распределения и функцию распределения числа X станков, потребующих внимания рабочего в
течение времени T. Найти: а) MX; б) DX; в) P  X  2.
7.15. Случайная величина X задана функцией распределения
 0 при x  0;
 x 2
F x   
при 0  x  9;
81

 1 при x  9.
Найти: а) функцию плотности f  x  ; б) построить графики функций F  x  и f  x  ; в) математическое ожидание и дисперсию; г)
вероятность того, что случайная величина X примет значение,
принадлежащее интервалу 1;4.
7.16. Случайная величина X задана функцией распределения
0
при x  1;


F  x   0,5 x  1 при 1  x  3;

1
при x  3.

Найти: а) функцию плотности f  x  ; б) построить графики функций F  x  и f  x  ; в) математическое ожидание и дисперсию; г)
вероятность того, что случайная величина X примет значение, не
большее двух.
7.17. Случайная величина X задана функцией распределения
0
 x 2
F x   
 64
 1
при
x  0;
при 0  x  8;
при
x  8.
Найти: а) функцию плотности f  x  ; б) построить графики функций F x  и f x  ; в) математическое ожидание и дисперсию; г) вероятность того, что случайная величина X примет значение, не
меньшее трех.
7.18. Дана плотность вероятности f  x  случайной величины X:
245
 с

f  x   1  x 2
 0
 
x  0; 3  .
при x  0; 3 ;
при
Найти: а) с; б) F  x  ; в) MX; г) DX; д)  x ; е) P  X  MX .
7.19. Дана плотность вероятности f  x  случайной величины X:
 с

f x    1  x 2
 0
при
x   1;1 ;
при
x  - 1;1 .
Найти: а) с; б) F x  ; в) MX; г) DX; д)  x ; е) P  X  MX   x .
7.20. Дана плотность вероятности f  x  случайной величины X:
c ln x при
f x   
при
 0
x  1; е ;
x  - 1; е .
Найти: а) с; б) F  x  ; в) MX; г) DX; д)  x ; е) P X  MX   x .
7.21. Дана плотность вероятности f  x  случайной величины X:
c x
f x   
 0
при x  0;1 ;
при x  0;1 .
Найти: а) с; б) F  x  ; в) MX; г) DX; д)  x ; е) P X  MX   x .
7.22. Случайная величина X распределена равномерно в интервале
2;4. Найти: а) функцию плотности f  x  ; б) функцию распределения F  x  ; в) MX; г) DX. Построить графики функций f  x  ,
F x  .
7.23. Случайная величина X равномерно распределена в интервале

   2
 
 ;  . Доказать, что MX 
, а DX 
.
2
12
7.24. Автобусы маршрута № 110 ждут, согласно расписанию, с интервалом 4 минуты. Какова вероятность того, что пассажир, пришедший на остановку, будет ждать: а) менее двух минут; б) менее
минуты?
246
7.25. Шкала секундомера имеет цену делений 0,2 с. Какова вероятность сделать по этому секундомеру отсчет времени с ошибкой
более 0,05 с, если отсчет делается с точностью до целого деления
с округлением в ближайшую сторону?
7.26. Азимутальный лимб имеет цену делений 1. Какова вероятность
при считывании азимутального угла сделать ошибку в пределах
 10, если отсчет округляется до ближайшего целого числа градусов?
7.27. Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z  2 X  3Y , если DX  3; DY  2.
7.28. Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z  3 X  2Y , если DX  3; DY  5.
7.29. Даны две независимые случайные величины X и Y:
X
P
-2
0,2
0
0,3
1
0,5
Y
P
0
0,1
1
0,4
2
0,3
4
0,2
Найти: а) M  X  2Y ; б) D  X  2Y .
7.30. Даны две независимые случайные величины X и Y:
X
P
Y
P
-1
0,2
0
0,3
0
0,3
1
0,3
1
0,1
2
0,4
2
0,4
Найти: а) M 2 X  Y ; б) D 2 X  Y .
7.31. Случайная величина X имеет показательный закон распределе1
1
ния с параметром  . Доказать, что MX  ; DX  2 .


7.32. Случайная величина X распределена по показательному закону с
параметром  . Доказать, что функция распределения случайной
величины X равна F  x   1  е  x при x  0 и F  x   0 при x  0.
247
7.33. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, распределенной по показательному закону с параметром
  5.
7.34. Случайная величина X имеет показательный закон распределения с параметром  .
Доказать, что Pa  X  b  е  а е  b .
7.35. Случайная величина X распределена по показательному закону с
параметром   0,1. Найти вероятность того, что в результате
опыта X примет значения в интервале 1,3.
7.36. Случайная величина X распределена по показательному закону с
параметром  . Найти: а) вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее математического ожидания
MX; б) вероятность того, что случайная величина X примет значение, большее математического ожидания MX.
7.37. Задана интенсивность простейшего потока   4. Найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию; в) среднее квадратическое
отклонение непрерывной случайной величины T – времени между
появлениями двух последовательных событий потока.
7.38. Время Т (в часах) безотказной работы элемента распределено по
показательному закону с параметром   0,01. Найти:
а) плотность распределения случайной величины Т; б) построить
кривую распределения; в) вероятность того, что элемент проработает бесперебойно 200 ч; г) среднее время безотказной работы.
7.39. Испытывают два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы первого элемента имеет показательное
распределение
F1 t   1  е 0,03t ,
второго
–
F2 t   1  е 0,05t . Найти вероятность того, что за время длительностью t  10 ч : а) оба элемента откажут; б) только один откажет; в)
хотя бы один откажет; г) ни один не откажет.
7.40. Доказать, что параметры  и  нормального закона распределения являются соответственно математическим ожиданием и
средним квадратическим отклонением случайной величины X.
7.41. Нормально распределенная случайная величина X задана плот2
1
ностью f  x  
е   x 1 / 18 . Найти математическое ожидание
3 2
и дисперсию X. Построить схематически график f  x .
248
7.42. Математическое ожидание и дисперсия нормально распределенной случайной величины X равны соответственно трем и четырем. Написать плотность вероятности X. Построить схематически график f  x .
7.43. Случайная величина X распределена нормально с параметрами
  1 и   2. Найти: а) P0  X  1; б) P X  3.
7.44. Средний рост девочки в три года равен 92 см, а среднее квадратическое отклонение равно 4 см. Какова вероятность того, что
рост случайно выбранной трехлетней девочки будет: а) более 110
см; б) от 86 до 98 см?
7.45. Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием   2 и средним квадратическим отклонением
  3. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с вероятностью 0,9973 случайная величина примет значение в результате испытания.
7.46. Случайная величина X подчинена нормальному закону распре0,1  0,01 x  2 2
деления с плотностью f  x  
е
. Найти:
а)

P 0  X  12 ; б) интервал наиболее вероятных значений случайной величины.
7.47. Параметр детали X при массовом производстве распределен
нормально с MX  2 и  x  0,1. Найти процент деталей, отклоняющихся от математического ожидания по модулю не более,
чем на 1% от математического ожидания.
7.48. Ошибка X измерительного прибора распределена нормально.
Систематической ошибки прибор не имеет. Каким должно быть
среднеквадратическое отклонение  x , чтобы с вероятностью, не
меньшей 0,9, ошибка измерения не превышала 20 мкм по модулю?
7.49. Ошибка X измерительного прибора распределена нормально.
Систематической ошибки прибор не имеет. Среднеквадратическое отклонение  x  12 мкм (микрометров). Найти вероятность
того, что ошибка измерения по модулю не превысит 20 мкм.
7.50. Измерительный прибор имеет систематическую ошибку
MX  1м. Среднее квадратическое отклонение ошибки измерения
X равно  x  2м. Случайная величина X распределена нормально.
Найти: а) P X   ; б) как изменится эта вероятность, если устранить систематическую ошибку?
249
7.51. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение X её контролируемого размера от номинала не превышает по модулю 5 мм. Предполагается, что случайная величина X
распределена нормально с параметрами   0 и   3 мм. Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?
7.52. Каким должно быть среднее квадратическое отклонение  , чтобы толщина X металлического листа, выпускаемого заводом, отличалась от номинала   2 мм не более, чем на 5% номинала, с
вероятностью, не меньшей 0,99? Предполагается, что случайная
величина X распределена нормально.
7.53. Номинальное значение контролируемого линейного размера детали (длины цилиндрического болта) равно 20 мм. Среднее квадратическое отклонение равно 0,05 мм. Найти процент деталей,
для которых контролируемый размер X отклоняется от номинала
по модулю а) не более, чем на 0,5%; б) от 0,5 до 1%; в) свыше
1%.
Индивидуальные задания по теме «Случайные величины.
Законы распределения. Числовые характеристики
случайных величин»
Задача 1 . Несколько студентов переписывают контрольную работу. Вероятность того, что i-й студент перепишет работу, равна pi .
Составить закон распределения, найти математическое ожидание и
дисперсию числа студентов, которые перепишут контрольную работу,
если общее число переписывающих равно m. Построить функцию
распределения.
Задача 2. Производятся независимые испытания n приборов. Вероятность отказа каждого из них равна p. Составить закон распределения случайного числа отказавших приборов, построить функцию
распределения, найти математическое ожидание и
дисперсию.
Задача 3. Опыт состоит из n независимых бросаний монеты, при
каждом из которых герб выпадает с вероятностью p  0,3. Для случайного числа появлений герба построить ряд распределения, функцию распределения, найти математическое ожидание и дисперсию.
250
Задача 4. Функция плотности случайной величины X задана
формулой
x  0;
0,
a, 0  x  1;

f x   
b, 1  x  2;
0,
x  2.
Найти: а) функцию распределения F  x ; б) математическое ожидание
MX и дисперсию DX; в) P 0,5  X  1,5. Построить графики функций
f  x  и F  x .
Задача 5. Функция плотности случайной величины X задана
формулой
x
2 
 1   при
f x    а  а 

0
при
x  0; а ;
x  0; а .
Найти: а) функцию распределения F  x ; б) математическое ожидание
MX и дисперсию DX; в) вероятность попадания случайной величины
а
X на участок от до а.
2
Задача 6. Номинальное значение линейного размера X детали
равно MX  a мм. Среднее квадратическое отклонение  x  b мм.
Какой процент от общего количества деталей при массовом производстве составляют детали, для которых размер X отклоняется от математического ожидания по модулю не больше, чем на t % номинала?
Предполагается, что X – случайная величина, распределенная нормально.
Задача 7. Параметр X детали распределен нормально с MX  a ,
равным номиналу, и  x  b . Найти вероятность того, что отклонение
параметра X от номинала по модулю не превысит t % номинала.
Задача 8. Номинальное значение сопротивления резистора равно
MX  a кОм (килоом). Среднее квадратическое отклонение равно
 x  b кОм. Какой процент от общего количества резисторов при
массовом производстве имеет сопротивление X, отличающееся от но251
минала по модулю не более, чем на t % номинала? Предполагается,
что случайная величина X распределена нормально.
Задание 7.1.
Номер
варианта
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Задача
1
2
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
2
m
2
3
3
4
3
2
4
3
2
3
4
5
6
-
p1
0,8
4
0,8
0,5
0,6
0,6
0,5
0,4
0,4
0,6
0,2
0,4
0,8
-
p2
0,9
5
0,7
0,7
0,5
0,4
0,6
0,7
0,5
0,2
0,7
0,4
0,8
-
Параметры
p3
6
0,9
0,8
0,4
0,7
0,6
0,8
0,5
0,4
0,8
-
p4
7
0,9
0,8
0,7
0,4
0,8
-
n
8
4
4
3
5
4
5
3
6
2
4
5
4
4
p
9
0,2
0,3
0,4
0,25
0,1
0,3
0,25
0,25
0,35
Окончание задания 7.1.
1
26
27
28
29
30
2
1
1
2
1
1
3
4
3
4
3
4
0,6
0,2
0,6
0,9
5
0,4
0,9
0,7
0,7
252
6
0,8
0,5
0,5
0,8
7
0,5
0,9
0,7
8
3
-
9
0,2
-
Задание 7.2.
Номер
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Задача
4
5
4
5
4
5
4
5
4
5
4
5
4
5
4
Параметры
a
b
0,1
0,9
1
0,2
0,8
2
0,3
0,7
3
0,4
0,6
1,5
0,15 0,85
1,8
0,25 0,75
2,4
0,35 0,65
2,6
0,6
0,4
Номер варианта
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Задача
5
4
5
4
5
4
5
4
5
4
5
4
5
4
5
Параметры
a
b
2,8
0,7
0,3
1,4
0,8
0,2
1,6
0,9
0,1
3,2
0,45 0,55
3,6
0,65 0,35
3,8
0,75 0,25
4
0,55 0,45
4,2
-
Задание 7.3.
Номер
варианта
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Задача
Параметры
b
2
6
7
8
6
7
8
6
7
a
3
100
2
100
90
2.4
80
80
2.6
4
0,5
0,012
8
0,4
0,01
5
0,3
0,02
t
5
1
1
10
2
2
12
6
3
8
6
7
90
95
2.5
4
0,5
0,015
8
3
1
Номер
Задача
варианта
6
7
16
6
17
7
18
8
19
6
20
7
21
8
22
6
23
7
24
25
26
8
6
7
Параметры
a
b
t
8
9
10
110
0,6
2
2,8
0,02
1
120
10
5
100
0,6
2
3,2
0,02
3
110
10
8
70
0,3
2
2,2
0,01
1
120
75
2,3
8
0,5
0,012
10
1
2
Окончание задания 7.3.
1
12
13
14
15
2
8
6
7
8
3
95
85
3
85
4
6
0,5
0,01
5
5
5
1
2
10
6
27
28
29
30
253
7
8
6
7
8
8
70
60
2,7
75
9
5
0,4
0,01
5
10
5
3
2
4
§8. ЛОКАЛЬНАЯ И ИНТЕГРАЛЬНАЯ
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ МУАВРА-ЛАПЛАСА.
ТЕОРЕМА ПУАССОНА. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
Использование формулы Бернулли при больших значениях n и k
представляется затруднительным ввиду увеличения объема вычислений и операций с большими числами. В этом случае применима формула, устанавливаемая следующей локальной теоремой Лапласа.
Теорема 1. Пусть вероятность p появления события А в каждом
испытании постоянна, причем 0  p  1. Тогда вероятность Pn k  того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно
равна
Pn k  
1
   x ,
n pq
(8.1)
где
x
k  np
,
npq
(8.2)
а функция   x  определяется равенством
 x 
1  x2 / 2
е
.
2
(8.3)
Точность формулы (8.1) возрастает с увеличением n. Имеются
таблицы с вычисленными значениями функции   x  (табл. П. 1), по
которым можно с достаточно высокой степенью точности найти
практически любое значение этой функции. Поскольку функция четная, то в таблицах даются значения только для положительных
значений x. Формула (8.1) носит название асимптотической формулы.
П р и м е р 1 . Вероятность выпуска бракованного изделия равна
0,3. Найти вероятность того, что среди 100 выпущенных изделий будет ровно 60 изделий без брака.
Решение.
Вероятность появления события А (изделие без брака) в одном
испытании p  0,7, тогда q  0,3; в нашем случае n  100; k  60.
254
Последовательно вычисляем:
npq  100  0,7  0,3  4,58;
x  k  np / npq  10 / 4,58  2,18.
Теперь для найденного аргумента x по таблице (см. табл.П.1) находим соответствующее значение   x ; оно равно 0,0371. Подставляя
это число в формулу (8.1), получаем P100 60  0,0371 / 4,58  0,008.
В прикладных вопросах теории вероятностей наиболее употребимы определения вероятности события А в n испытаниях, когда k
изменяется в заданном интервале значений k1  k  k 2 . Соответствующую вероятность обозначают Pn k1 , k 2 . Формула для приближенного вычисления этой вероятности устанавливается следующей интегральной предельной теоремой Лапласа.
Т е о р е м а 2 . Пусть вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна, причем 0  p  1. Тогда вероятность того,
что событие А появится в n испытаниях от k1 до k 2 раз, приближенно
равна
Pn k1 , k 2   Ф x2   Ф x1  ,
(8.4)
где x1  k1  n  p  / npq ; x2  k 2  n  p  / npq ,
1 x z 2 / 2
dz  функция Лапласа.
(8.5)
е
2 0
Соответствующая таблица её значений приведена в табл.П.2. Эта
функция является нечетной, т.е. Ф x   Ф x  и для всех x  5 принимается, что Ф x   0,5.
П р и м е р 2 . Вероятность выпуска бракованной детали равна
0,3. Найти вероятность того, что среди 100 выпущенных деталей будет не менее 75 стандартных.
Решение.
По условию задачи p  0,7; q  0,3; n  100. Условие «не менее»
означает, что число стандартных деталей k заключено в пределах от
k1  75 до k 2  100. Согласно формуле (8.4) производим предварительные вычисления:
x1  75  100  0,7  / 100  0,7  0,3  5 / 21  1,09 ;
x2  100  100  0,7  / 100  0,7  0,3  30 / 21  6,55.
Ф x  
255
По табл. П. 2 находим соответствующие значения функции Ф x ,
подставляем их в формулу (8.4) и получаем
P100 75,100   Ф 6,55  Ф 1,09  0,5  0,36  0,24.
П р и м е р 3 . В каждый танк выпускают одновременно больше
одного снаряда и перестают стрелять, как только он подбит. Вероятность поражения танка при одном выстреле из противотанкового орудия, делающего 12 выстрелов в минуту, равна 0,15. Сколько нужно
иметь орудий, чтобы вероятность поразить все 20 танков противника
в течение трех минут была больше 0,9?
Решение.
Пусть необходимо иметь N орудий. За три минуты они сделают
36N выстрелов. Из них должно быть не менее 20 попаданий (чтобы
поразить все 20 танков) с вероятностью, не меньшей 0,9. Вероятность
этого события с помощью формулы (8.4) при k1  20; k 2  36 N ;
n  36N ; p  0,15; q  0,85 представим в виде
 36 N  36 N  0,15 
 20  36 N  0,15 
  Ф
 
P20  k  36 N   Ф
36
N

0,15

0,85
36
N

0
,
15

0
,
85




 30,6 N 
 5,4 N  20 
 5,4 N  20 
  Ф
  Ф 14,3 N  Ф
  0,9.
 Ф
 4,59 N 
 4,59 N 
 4,59 N 
Так как N  1, то
Ф 14,3 N  Ф14,3  0,5.
Подставляя в неравенство, получаем




 5,4 N  20 
  0,9,
0,5  Ф
4
,
59
N


откуда
 5,4 N  20 
  0,4.
Ф
4
,
59
N


По табл.П.2 находим, что при значении функции Ф x   0,4 аргумент x  1,28; поскольку функция Ф x  является монотонно возрастающей, то неравенство между значениями Ф x  переходит в неравенство такого же смысла и для соответствующих аргументов:
5,4 N  20
 1,28.
4,59 N
256
Решая его, получим N  4,84. Но N – число орудий – может быть
только целым, поэтому необходимо иметь не менее 5 орудий. Если
вероятность события p (или q) в отдельном испытании близка к нулю
(такие события называются редкими), то даже при большом числе испытаний n, но небольшой величине произведения np (меньше 10) вероятности Pn k , вычисленные по формуле (8.1), недостаточно близки
к их истинным значениям. В таких случаях применяют другую асимптотическую формулу, которая устанавливается теоремой Пуассона.
Т е о р е м а 3 . Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна, но близка к нулю, число независимых испытаний n достаточно велико, а произведение np является постоянной величиной, т.е. np   , то вероятность того, что событие А наступит ровно k раз, приближенно равна
Pn k   k  е   / k! .
(8.6)
Формула (8.6) называется формулой Пуассона, она используется,
если вероятность p мала, число испытаний n велико, а np  10.
П р и м е р 4 . Некоторое электронное устройство выходит из
строя, если откажет определенная микросхема. Вероятность её отказа
в течение 1ч работы устройства равна 0,004. Какова вероятность того,
что за 1000ч работы устройства придется пять раз менять микросхему?
Решение.
По условию задачи n  1000; p  0,004, а
n  p  1000  0,004  4  10.
Для нахождения вероятности P1000 5 воспользуемся формулой
Пуассона, так как условия её применения выполнены. Имеем
45 е 4
P1000 5 
 0,1563.
5!
Задачи по теме «Локальная и интегральная предельные теоремы Муавра-Лапласа. Теорема Пуассона.
Закон больших чисел»
8.1. В урне 80 белых и 20 черных шаров. Какова вероятность того, что
при 60 независимых выборах шара (с возвращением) будет выну257
то: а) половина шаров белого цвета; б) черных шаров будет вынуто не менее половины?
8.2. Вероятность возникновения опасной для работы прибора перегрузки в каждом опыте равна 0,01. Во время перегрузки прибор
отказывает с вероятностью 0,2. Найти вероятность отказа трех
приборов в серии из 100 опытов.
8.3. Вероятность покупки в лотерее выигрышного билета равна 0,1.
Какова вероятность того, что из 100 наугад приобретенных билетов безвыигрышными являются: а) не менее 8 и не более 11; б)
ровно половина?
8.4. Вероятность того, что изделие не выдержит испытание, равна
0,005. Найти вероятность того, что из 2000 изделий ровно два не
выдержат испытание.
8.5. Найти вероятность того, что из 50 случайных прохожих: а) 40 –
мужчины; б) от 10 до 40 – женщины, если вероятность появления
женщины равна 0,4.
8.6. Среди вырабатываемых деталей в среднем бывает 15% брака. Какова вероятность того, что среди взятых на испытание 100 деталей окажутся бракованными: а) 5 деталей; б) от 7 до 10 деталей?
8.7. Вероятность выхода из строя во время испытания на надежность
одного из однотипных приборов равна 0,05. Найти вероятность
того, что из 100 приборов выйдет из строя не более двух приборов во время испытания.
8.8. Вероятность успешного запуска управляемого снаряда равна 0,9.
Найти вероятность того, что из 50 запусков будет успешных: а)
ровно 40; б) не менее 35 и не более 40.
8.9. Вероятность сбоя в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,001. Поступило 1000 вызовов. Определить вероятность
десяти сбоев.
8.10. Произведено 100 испытаний при одинаковой вероятности наступления события 0,7 в каждом испытании. Найти вероятность
того, что событие наступит: а) ровно 70 раз;
б) не менее
70 и не более 80 раз.
Индивидуальные задания по теме «Локальная и интегральная
предельные теоремы Муавра-Лапласа. Теорема Пуассона. Закон больших чисел»
Вариант 1.
258
8.1. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2.
Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей непроверенными окажутся: а) 70 деталей; б) от 70 до 100
деталей (включительно).
8.2. Вероятность сбить самолет выстрелом из винтовки равна 0,0004.
Какова вероятность сбить самолет, если по нему будет сделано
2500 выстрелов?
Вариант 2.
8.1. Вероятность изготовления прибора повышенной точности равна
0,3. Какова вероятность того, что среди 500 изготовленных приборов: а) будет 140 приборов повышенной точности;
б) от
140 до 160 приборов повышенной точности?
8.2. В банк отправлено 2000 пакетов денежных знаков. Вероятность
того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число
денежных знаков, равна 0,0005. Найти вероятность того, что при
проверке всех отправленных пакетов будет обнаружено ошибочно укомплектованных пакетов: а) три; б) менее трех.
Вариант 3.
8.1. Из каждой сотни посеянных семян всходит в среднем 80. Какова
вероятность того, что из 500 посеянных семян взойдут: а) 320 семян; б) хотя бы 320 семян?
8.2. Вероятность повреждения радиоаппаратуры при транспортировке
равна 0,002. Какова вероятность того, что при перевозке 3000
изделий будут повреждены не более трех?
Вариант 4.
8.1. При осенней посадке саженцев плодовых деревьев вероятность
вымерзания для каждого саженца равна 0,2. Найти вероятность
того, что из 900 посаженных осенью саженцев вымерзших будет:
а) 190 саженцев; б) от 190 до 210 саженцев.
8.2. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность
того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003.
Найти вероятность того, что магазин получил менее двух разбитых бутылок.
Вариант 5.
8.1. На керамическом заводе в среднем 90% тарелок выпускаются
продукцией первого сорта. Найти вероятность того, что из 600
проверенных тарелок первосортными окажутся: а) 520; б) не менее 520.
259
8.2. Вероятность того, что изделие не выдержит испытания, равна
0,001. Найти вероятность того, что из 5000 изделий не выдержат
испытания не более двух.
Вариант 6.
8.1. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе руды равна 0,7. Найти вероятность того, что среди 400 таких
отобранных проб руды число проб с промышленным содержанием металла окажется: а) 275 проб; б) не менее 275 проб.
8.2. Вероятность появление ондатры-альбиноса на звероферме равна
0,001. Найти вероятность того, что из 1000 выращенных животных окажется альбиносов менее двух.
Вариант 7.
8.1. Вероятность того, что сошедшая с конвейера деталь стандартная,
равна 0,9. Найти вероятность того, что среди 400 сошедших с
конвейера деталей окажутся стандартными: а) 356; б) от 350 до
370.
8.2. На базу отправлено 10 000 изделий. Вероятность повреждения
при транспортировке каждого изделия равна 0,008. Найти вероятность того, что будет повреждено в дороге менее одного изделия.
Вариант 8.
8.1. Вероятность попадания в цель из скорострельного орудия при отдельном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при
300 выстрелах число попаданий равно: а) 200; б) не менее 210, но
не более 230 раз.
8.2. Вероятность допустить ошибку при наборе некоторого текста,
состоящего из 1200 знаков, равна 0,005. Найти вероятность того,
что при наборе будет допущено 6 ошибок.
Вариант 9.
8.1. В городе N из каждых 100 семей 85 имеют цветные телевизоры.
Найти вероятность того, что из 400 семей имеют такие телевизоры: а) 340; б) не менее 340, но не более 350.
8.2. Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом
вызове равна 0,007. Поступило 1000 вызовов. Определить вероятность 9 «сбоев».
Вариант 10.
8.1. Стрелок сделал 80 выстрелов, вероятность попадания при каждом
выстреле равна 0,7. Найти вероятность того, что: а) стрелок попадет 56 раз; б) число попаданий будет заключено между 50 и 60.
260
8.2. Книга издана тиражом 10 000 экземпляров. Вероятность того, что
книга будет сброшюрована неправильно, равна 0,0002. Найти вероятность того, что тираж содержит 5 бракованных книг.
Вариант 11.
8.1. Вероятность изготовления доброкачественного изделия равна 0,9.
Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 300 изделий
окажется доброкачественных: а) 95%; б) не менее 95%.
8.2. Посеяли 1000 семян. Вероятность не прорасти для каждого семени равна 0,002. Найти вероятность того, что не прорастет 10 семян.
Вариант 12.
8.1. Вероятность рождения девочки равна 0,485. Найти вероятность
того, что из 600 родившихся детей девочек будет: а) 300; б)
больше, чем мальчиков.
8.2. Вероятность выхода из строя одного элемента устройства в течение Т часов работы равна 0,002. Найти вероятность того, что за
время Т из 1500 независимо работающих элементов выйдет из
строя 4 элемента.
Вариант 13.
8.1. Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,2.
Найти вероятность того, что при испытании 80 приборов откажут: а) 10; б) не менее 10 и не более 15 приборов.
8.2. Вероятность того, что при автоматической штамповке изделий
отдельное изделие окажется с отклонением от стандарта, постоянна и равна 0,005. Какова вероятность того, что в партии из 100
изделий встретится ровно 4 изделия с отклонением от стандарта.
Вариант 14.
8.1. Найти вероятность того, что при 100-кратном бросании монеты:
а) герб выпадет ровно 50 раз; б) количество выпадений герба будет не менее 45 и не более 55.
8.2. Проверяется партия из 10000 изделий. Вероятность того, что изделие окажется бракованным, равна 0,002. Найти вероятность того, что в партии есть хотя бы одно бракованное изделие.
Вариант 15.
8.1. Мастер и ученик изготавливают однотипные детали, причем производительность мастера в 2 раза выше производительности ученика. Детали без маркировки поступают на склад. Найти вероятность того, что среди 450 деталей, случайно взятых со склада,
261
окажутся изготовленными мастером: а) 300; б) не менее 275 деталей.
8.2. Автоматическая телефонная связь осуществляет в среднем 0,3%
неправильных соединений. Найти вероятность того, что из 2000
соединений телефонной связи неправильных будет не более 5.
Вариант 16.
8.1. Каждый десятый телевизор в магазине продается в кредит. В
прошедшем месяце было продано 600 телевизоров. Найти вероятность того, что из них было продано в кредит: а) 50 телевизоров; б) не менее 50 и не более 60 телевизоров.
8.2. Вероятность того, что житель некоторого района имеет автомобиль, равна 0,008. Найти вероятность того, что из 500 жителей автомобиль имеют 6.
Вариант 17.
8.1. Вероятность изготовления изделия второго сорта равна 0,2. Найти
вероятность того, что среди 500 выпущенных изделий будет:
а) ровно 120 изделий второго сорта; б) не более 120 изделий второго сорта.
8.2. Аппаратура содержит 2000 одинаково надежных элементов, вероятность отказа каждого из них равна 0,0005. Какова вероятность
отказа аппаратуры, если он наступает при отказе хотя бы одного
из элементов?
Вариант 18.
8.1. Вероятность того, что в партии, состоящей из 600 телевизоров,
каждый из них не потребует гарантийного ремонта, равна 0,8.
Найти вероятность того, что из этой партии не потребуют ремонта: а) ровно 500 телевизоров; б) не менее 500 телевизоров.
8.2. Вероятность того, что на странице книги могут оказаться опечатки, равна 0,003. Проверяется книга, содержащая 400 страниц.
Найти вероятность того, что с опечатками окажутся менее двух
страниц.
Вариант 19.
8.1. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,4.
Найти вероятность того, что из 30 выстрелов попаданий будет:
а) ровно половина; б) не менее 20.
8.2. Агрегат содержит 5000 деталей. Вероятность отказа детали за
время работы агрегата равна 0,001. Найти вероятность того, что
за время работы агрегата откажет более чем одна деталь. Предполагается взаимная независимость отказов.
262
Вариант 20.
8.1. Вероятность выхода из строя за некоторое время Т одного конденсатора равна 0,2. Найти вероятность того, что из 100 конденсаторов в течение времени Т выйдет из строя: а) ровно 30 конденсаторов; б) не более 30 конденсаторов.
8.2. Торговая база получила 10 000 электрических лампочек. Вероятность повреждения электролампочек в пути 0,0001. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено 4 электролампочки.
Вариант 21.
8.1. При штамповке металлических клемм получается в среднем 90%
годных. Найти вероятность наличия в партии из 900 клемм:
а) 90% годных; б) не менее 90% и не более 95% годных.
8.2. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,015.
Сделано 600 выстрелов. Какова вероятность попадания в цель не
меньше 7 и не больше 10 выстрелов?
Вариант 22.
8.1. В цехе имеется 125 станков, работающих независимо друг от друга. Каждый станок оказывается включенным 0,85 всего рабочего
времени. Какова вероятность того, что в некоторый момент времени окажутся включенными: а) 100 станков; б) не менее 100
станков?
8.2. На факультете 800 студентов. Вероятность рождения каждого
студента в один день равна 1 135 . Найти вероятность того, что
найдутся три студента с одним и тем же днем рождения.
Вариант 23.
8.1. Фабрика выпускает 75% продукции первого сорта. Найти вероятность того, что из 300 изделий число первосортных равно: а) 250
изделиям; б) не менее 219 и не более 234 изделия.
8.2. Радиоаппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа
одного элемента в течение года работы равна 0,001 и не зависит
от состояния других элементов. Какова вероятность отказа двух
элементов в год?
Вариант 24.
8.1. В ОТК поступила партия изделий. Вероятность того, что наудачу
взятое изделие не бракованное, равна 0,9. Найти вероятность того, что из 100 проверенных изделий окажутся небракованными: а)
ровно 84; б) не менее 84.
8.2. Если в среднем левши составляют 1%, то каковы шансы на то, что
среди 500 человек окажется ровно 8 левшей?
263
Вариант 25.
8.1. Вероятность неточной сборки прибора равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 500 приборов окажется точных:
а) 410;
б) от 410 до 430 (включительно).
8.2. Учебник издан тиражом 5000 экземпляров. Вероятность того, что
экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0,0004.
Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 8 бракованных книг.
Вариант 26.
8.1 Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 41-го
размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 750 покупателей потребуют обувь этого размера: а) 120 человек; б) не более
120 человек.
8.2 Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0,01.
Сколько нужно купить билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них с вероятностью, не меньшей, чем 0,95?
Вариант 27.
8.1. Имеется 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга при включенном приводе в течение 0,8 всего
рабочего времени. Какова вероятность, что в произвольный момент времени окажутся включенными: а) ровно 90;
б)
от 70 до 85 станков?
8.2. Вероятность попадания в мишень равна 0,001. Какова вероятность
того, что при 5000 выстрелах будет не меньше двух попаданий?
Вариант 28.
8.1. В каждом из 700 испытаний событие А происходит с постоянной
вероятностью 0,35. Найти вероятность того, что событие А происходит: а) точно 250 раз; б) больше, чем 70, и меньше, чем 230
раз.
8.2. Вероятность сбоя в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,004. Поступило 1000 вызовов. Определить вероятность
семи сбоев.
Вариант 29.
8.1. Найти вероятность того, что из 100 случайных прохожих: а) 80 –
женщины; б) от 25 до 70 – мужчины, если вероятность появления
мужчины равна 0,4.
8.2. Известно, что в среднем 5% студентов носят очки. Какова вероятность того, что из 75 студентов, сидящих в аудитории, окажутся два студента, носящих очки?
264
Вариант 30.
8.1. Вероятность появления события в некотором опыте равна 0,6. Какова вероятность того, что это событие появится: а) в половине
опытов; б) в большинстве опытов, если проводится 60 опытов?
8.2. Найти вероятность того, что среди 200 изделий окажется более
трех бракованных, если в среднем бракованные изделия составляют 1%.
§9. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Основные положения
Математическую статистику определяют как науку о методах
получения и обработки результатов наблюдений (измерений) для установления закономерностей в массовых случайных явлениях.
Особое внимание в математической статистике получили два
типа задач: оценивание и статистическая проверка гипотез. Первая
задача состоит в получении точечных и интервальных оценок параметров распределения, вторая заключается в проверке согласованности результатов эксперимента с гипотезой о распределении вероятностей случайной величины (например, в случае нормального распределения можно проверять гипотезу, согласно которой параметр распределения   0 ). Необходимо отметить, что если бы можно было провести неограниченное число наблюдений, то параметры распределения, например, практически были бы определены и ни о какой статистической задаче говорить уже не пришлось бы. Таким образом, задача статистических выводов появляется именно тогда, когда надо получить наилучшие, в некотором смысле, выводы по ограниченному
числу наблюдений. Но тогда сами наблюдения должны отвечать некоторым требованиям. Каким же? Естественно предположить, что результаты наблюдений случайны и независимы.
О п р е д е л е н и е 1 . Пусть X – некоторая случайная величина.
Совокупность результатов n наблюдений (измерений)
x1 , x2 ,..., xn
(9.1)
этой случайной величины называют выборкой, а саму случайную величину X – генеральной случайной величиной либо генеральной совокупностью.
265
Учитывая вышесказанное, подчеркнем, что когда речь идет о
задаче статистических выводов, подразумевается: элементы выборки
есть независимые одинаково распределенные случайные величины,
закон распределения которых совпадает с законом распределения генеральной случайной величины X (говоря другими словами, выборка
рассматривается априорно). Все характеристики случайной величины
X (например, функция распределения, математическое ожидание,
дисперсия и т.д.) именуют генеральными (теоретическими), а характеристики, полученные на основе обработки результатов измерений
(выборки), называют выборочными (эмпирическими, статистическими). Далее будем эти характеристики, в отличие от генеральных, отмечать символом «*».
Для того чтобы те или иные заключения о генеральной случайной величине, сделанные по выборке, были научно обоснованными,
необходимо, чтобы выборка достаточно полно характеризовала случайную величину, т.е. была репрезентативной (представительной).
Выборка (9.1) будет репрезентативной, если ее объем n достаточно
велик, а значения выборки независимы, т.е. получены при независимых измерениях величины X в одних и тех же условиях.
Тогда основная задача математической статистики ставится так:
на основе репрезентативной выборки, извлекая из нее максимум информации, сделать те или иные научно обоснованные выводы о
генеральной случайной величине X.
Выборочная функция распределения и гистограмма
Пусть X – некоторая случайная величина, и из этой генеральной
совокупности извлечена выборка (9.1). Если элементы выборки расположить не в порядке их получения, а в порядке их возрастания
x 1  x 2   x 3   ...  x n  ,
(9.2)
то получаем так называемый вариационный ряд.
Известно, что приближенным значением (оценкой) вероятности
события является относительная частота этого события. Следовательно, для нахождения неизвестной функции распределения F x  генеральной совокупности нужно оценить ее значения, являющиеся вероятностью события  X  x , с помощью относительной частоты этого
события, полученной по выборке.
266
О п р е д е л е н и е 2 . Пусть x – некоторая точка оси OX; обозначим через nx число выборочных значений из (9.2), расположенных
n
левее точки x на той же оси. Тогда относительная частота x события
n
 X  x  называется выборочной функцией распределения и обозначается F *  x .
Таким образом, по определению,
F * x  
nx
n
(9.3)
Очевидно, что выборочная функция распределения любой случайной величины (дискретной или непрерывной) представляет всегда
ступенчатую функцию, которая терпит разрывы в точках, соответствующих наблюдаемым значениям случайной величины, а величины
скачков равны относительным частотам этих значений.
Пример 1. Получены результаты измерения скорости движения автомобилей на участке дороги. Данные эксперимента сведены в
табл. 9.1. Первая строка таблицы представляет собой вариационный
ряд, вторая дает частоты появления каждого выборочного значения,
объем выборки
13
n   mi*  4  7  5  ...  4  610.
i 1
xi
12 17
22
27
32
37
42
47
52
57
Таблица 9.1
62
67
72
mi*
4
5
16
31
35
42
109
143
112
72
7
30
4
Для построения выборочной функции распределения надо, соn
гласно определению 2, вычислить относительные частоты x . Реn
зультаты вычислений представлены в табл. 9.2.
F*(x)
Интервал
x≤12
12<x≤17
17<x≤22
0
0,007
0,019
Интервал
42<x≤47
47<x≤52
52<x≤57
267
Таблица 9.2
F*(x)
0,23
0,409
0,642
22<x≤27
27<x≤32
32<x≤37
37<x≤42
0,027
0,053
0,104
0,161
57<x≤62
62<x≤67
67<x≤72
x>72
0,826
0,944
0,993
1
График функции F *  x  представлен на рис.9.1.
Формально выборочная распределения обладает всеми свойствами теоретической функции распределения, что следует из ее определения, и отличается от нее тем, что ее значения дают не вероятности, а относительные частоты события  X  x  в выборке.
Согласно теореме Бернулли, при неограниченном увеличении
числа опытов n относительная частота события  X  x  сходится к веp
*
роятности этого события, т.е. F  x   F  x .
n
Таким
образом,
выборочная
функция
распределения
F *  x   P*  X  x  является оценкой (статистическим аналогом) генеральной функции распределения F  x   P X  x , и чем больше объем
выборки, тем более точное представление дает выборочная функция
распределения о генеральной функции распределения.
При большом числе n опытов построение выборочной функции
распределения F * x  становится затруднительным. Удобнее в этом
случае воспользоваться характеристиками выборочных распределений, аналогичных не функции распределения F  x , а плотности вероятности f  x .
268
Рис. 9.1. График выборочной функции распределения


Поступают следующим образом: делят интервал x 1 ; x n  наблюдений значений случайной величины X точками 1 ,  2 ,..., k 1 на
интервалы (разряды) 1 ,  2 ,  2 ,  3 ,...,  k ,  k 1  и для каждого i-го
разряда  i ,  i 1  вычисляют относительную частоту pi* попадания
значений величины X в этот разряд:
pi*
mi*

,
n
(9.4)
где mi* – число (частота) попаданий значений X в i-й разряд,
i  1,2,..., k , n – объем выборки.
Результаты вычислений представляют в виде табл. 9.3.
Таблица 9.3
1; 2 
 2 ;  3 
 3 ;  4 
…
 i ;  i 1 
…
 k ;  k 1 
m1*
m2*
m3*
…
mi*
…
mk*
269
p1*
p *2
…
p3*
k
k
i 1
i 1
…
pi*
p *k
Очевидно, что  mi*  n,  pi*  1.
Табл. 9.3 называют статистическим рядом, а графическое изображение статистического ряда называют гистограммой. Для построения гистограммы на оси OX откладывают разряды  i ,  i 1 ,
i  1,2,..., k , и на каждом из них, как на основании, строят прямоугольник, площадь которого равна pi* , i  1, k . Полученная при этом ступенчатая фигура f * x  называется гистограммой (рис. 9.2).
Очевидно, что высоты hi* прямоугольников равны
hi*
pi*

,
i
(9.5)
где  i   i 1   i , i  1, k .
k
 k 1
1  2 
k
 k 1
Рис. 9.2. Гистограмма
Способ построения гистограммы позволяет говорить о том, что
гистограмма есть оценка (приближенное изображение) генеральной
функции плотности. Согласно закону больших чисел, при n   и
неограниченном стремлении длины интервала  i ,  i 1  к нулю функция f *  x  сходится по вероятности к генеральной функции плотно270
сти f  x . Число разрядов k обычно берут от 5 до 12; можно применять
формулу k  5  lg n, где n – объем выборки, для ориентировочного
определения числа k. Кроме того, в i-й разряд включают либо левую,
либо правую границу интервала (см. табл. 9.3).
Необходимо отметить, что построение гистограммы имеет смысл
только для непрерывных случайных величин. Для дискретных случайных величин вместо гистограммы строят выборочный многоугольник распределения. Для построения выборочного многоугольника распределения в отличие от многоугольника распределения (см.
рис. 7.1) вместо вероятностей pi берут их оценки
(приближенные значения) pi* .
Пример 2. На основании статистического ряда распределения
(табл. 9.4) скоростей движения автомобилей на участке автодороги
построить гистограмму.
Таблица 9.4
αi ,αi 1 
22;27  27;32  32;37  37;42 
42;47  47;52 
mi*
3
16
70
102
156
132
pi*
 i ,  i 1 
0,004
0,022
0,095
0,138
0,21
0,178
52;57  57;62  62;67  67;72 
72;77 
mi*
147
71
25
17
1
pi*
0,199
0,095
0,034
0,0236
0,0014
11
Как следует из табл. 9.4, объем выборки n   mi*  740 элеменi 1
11
там (наблюдениям),  pi*  1. Длина каждого разряда составляет 5 км.
i 1
Вычислим высоты ступенек гистограммы по формуле (9.5):
0,004
0,022
0,0014
*
h1* 
 0,0008; h2* 
 0,044; ...; h11

 0,0003.
5
5
5
На основании этих расчетов можно строить гистограмму (см.
рис.9.3).
271
Рис. 9.3. Гистограмма для примера 2
Точечные оценки числовых характеристик и параметров закона
распределения
О п р е д е л е н и е 3 . Приближение значения параметров закона
распределения либо числовых характеристик случайной величины,
вычисленные на основе выборки, называют в математической статистике оценками.
Не касаясь методов получения оценок, скажем, что в качестве
оценки математического ожидания берут выборочное среднее x, которое вычисляют по формуле
x
1 n
 xi ,
n i 1
(9.6)
где n – объем выборки; xi – i-й элемент выборки.
В качестве оценки дисперсии берут выборочную дисперсию S 2 ,
вычисляемую по формуле
2
1 n
(9.7)
S 2   xi  x ,
n i1


где n, xi – те же, что и в формуле (9.6).
При небольших объемах выборки (ориентировочно n  30 ) необходимо в качестве оценки дисперсии брать так называемую «исправленную выборочную дисперсию» S 2 , вычисленную по
272
формуле
S2 
2
1 n
 xi  x .
n  1 i 1


(9.8)
Для удобства вычислений и практически не умаляя точности результатов вычислений, в качестве xi [i-го элемента выборки в формулах (9.7) и (9.8)] можно брать среднее значение ~
xi i-го интервала (разряда) в статистическом ряде, считая, что каждый такой «представитель i-го разряда» повторяется mi* число раз. Иногда ~
xi берут равным
одному из концов i-го разряда. Тогда формулы (9.6), (9.7) и (9.8) приобретают вид
x
1 k * ~
 mi  xi ;
n i1
(9.9)
S2 
2
1 k * ~
 mi  xi  x ;
n i 1
S2 
2
1 k * ~
 mi  xi  x .
n  1 i 1



(9.10)

(9.11)
В §7 была указана связь между числовыми характеристиками
случайной величины и параметрами закона распределения. Исходя из
этого и учитывая, что MX  x; DX  S 2 , и находят оценки параметров законов распределения. Например, для равномерного закона распределения с учетом формул (7.24) имеем
 
 x;

2
1
    2  S 2 .
12
(9.12)
Решая систему уравнений относительно  и  , находим их
оценки  * и  * .
Для пуассоновского распределения, учитывая (7.20), имеем
(9.13)
ax
273
Для показательного закона распределения с учетом (7.22) имеем
оценку параметра  :
1
(9.14)
*  ,
x
для нормального закона с учетом (7.26)
  x;  2  S 2 .
(9.15)
Принцип выбора гипотезы о законе распределения генеральной
случайной величины
Гипотеза о законе распределения должна выдвигаться как из физических соображений, так и на основе анализа выборки. В первом
случае надо исходить из условий формирования того или иного закона распределения. Так, например, если рассматривается случайная величина – время безотказной работы аппаратуры, причем известно, что
интенсивность отказов постоянна (а это бывает характерно для нормальных условий эксплуатации, когда период приработки уже закончился, а период износа и старения еще не начинался), то естественно
предположить показательный закон распределения. Если же интенсивности отказов самые разнообразные, то более правильно выдвинуть гипотезу о распределении Вейбулла.
Во-вторых, т.к. гистограмма является статистическим аналогом
функции плотности, то, анализируя ее, можно сделать предположение
о законе распределения. Так, например, для случая, изображенного на
рис.9.3, естественно выдвинуть гипотезу о нормальном законе распределения.
Выравнивание статистических рядов
Задача выравнивания статистического ряда заключается в выявлении существенных закономерностей выборки и отбрасывании всех
несущественных, случайных. Так как на практике число опытов (наблюдений) всегда ограничено и при этом неизбежны ошибки измерения, то статистическому ряду, конечно же, в большей или меньшей
мере свойственны колебания случайного характера.
В предыдущем подразделе был рассмотрен вопрос о выборе
теоретической кривой распределения (закона распределения), которая
бы, в некотором смысле, наилучшим образом описывала исследуемое
274
статистическое распределение.
Здесь будет рассмотрена техническая сторона этой задачи, когда
уже заранее из соображений, связанных с существом задачи, а также с
внешним видом гистограммы, сделан выбор выравнивающей кривой.
Пусть сделано предположение о нормальном законе распределения, функция плотности которого имеет вид (7.25)
1
e
2 
f x 

 x   2
2 2
.
(9.16)
Чаще всего параметры  и  неизвестны, но можно найти из
оценки, исходя из формул (9.15); тогда функция плотности будет
иметь вид
1
e
2 S 2
f x 

x  x 2
2S 2
.
(9.17)
Остается найти значения этой функции либо на границе разрядов,
либо в середине их (чаще берут значения f  x  в середине разряда).
При ручном счете для нахождения значений функции (9.17)
t2
1 2
обычно пользуются таблицей функции плотности f 0 t  
e
2
нормированной нормальной случайной величины (см. табл. П.1).
t2
Функция (9.16) и функция f 0 t  
1 2
e
связаны между собой
2
соотношением
f x  
1
f 0 x .

(9.18)
Нормируем исследуемую случайную величину X:
T
X 
,

где Т – нормированная нормальная случайная величина.
275
(9.19)
Тогда для каждого i-го разряда находят с учетом формул (9.15)
значения аргумента
~
x x
ti  i
,
(9.20)
S
где ~
xi – середина i-го разряда, а по формуле (9.18), принимая   S ,
вычисляют значения f ~
xi .
Для показательного закона процесс вычисления значений функции плотности f  x   e  x несколько проще, так как проще и сам
вид функции. Значения f  x  получают, заменяя значение  его оценкой * [см.формулу (9.14)] и, как обычно, беря в качестве значений x
либо среднее значение случайной величины в i-м разряде, либо границы разрядов; значения функции е  x можно найти в табл. П.3.
Совсем просто найти функцию плотности равномерного закона
[см. формулу (7.23)], вычислив оценки параметров (9.12). После того,
как найдены значения функции плотности для каждого разряда, их
наносят прямо на гистограмму, получая тем самым выравнивающую
гистограмму кривую функции плотности. Если исследуемая случайная величина дискретна, то, как было сказано выше, построение гистограммы бессмысленно. В этом случае строят многоугольник распределения относительных частот и многоугольник распределения
вероятностей.
Многоугольник относительных частот строят следующим образом: по оси абсцисс откладывают выборочные значения случайной
величины, по оси ординат – соответствующие им относительные частоты, вычисленные по формуле (9.4). В этой же системе координат
строят многоугольник распределения вероятностей, предварительно
вычислив вероятности принятия случайной величиной соответствующих значений согласно гипотетическому закону распределения.
Так, в случае гипотезы о распределении Пуассона используют
формулу
ak a
pk  P X  k  
e .
(9.21)
k!
При неизвестном значении параметра а используют его оценку
[см. формулу (9.13)].
276
Критерии согласия
Как бы хорошо ни было выравнено статистическое распределение с помощью теоретической кривой распределения, расхождения
между ними всегда будут, они обусловлены объективными причинами. Тогда возникает вопрос, насколько существенны эти расхождения, вызваны они случайными причинами в связи с ограниченным
числом наблюдений или дело в том, что гипотеза о законе распределения выбрана неверно. Для ответа на вопрос о согласованности статистического и теоретического распределений служат так называемые
критерии согласия.
Итак, считаем, что гипотетическое распределение уже задано заранее, например с помощью функции распределения F  x , и надо
проверить статистическую гипотезу о том, что наша выборка получена из совокупности с этим распределением. Начнем с предположения,
что подлежащая проверке гипотеза верна. Тогда функция распределения выборки F *  x  должна служить приближением к данной функции
распределения F  x , когда n  . Определим некоторую неотрицательную меру расхождения между F *  x  и F  x . Эту меру можно определить по-разному, но каждая мера отклонения D будет некоторой
функцией выборочных значений и поэтому будет иметь определенное
выборочное распределение. С помощью этого выборочного распределения можно вычислить вероятность P D  D0  того, что отклонение
D превышает некоторое данное число D0 . Эту вероятность можно
сделать как угодно малой, если выбрать достаточно большое D0 . Выберем D0 так, чтобы P D  D0    , где  так мало, что практически
можно считать событие D  D0  невозможным при единичном опыте. Пусть по выборке можно вычислить величину D. Если окажется,
что D  D0 , то это означает, что событие, невозможное при единичном опыте, произошло, следовательно, наша гипотеза опровергнута
опытом.
С другой стороны, если D  D0 , то можно признать гипотезу разумной интерпретацией выборочных данных, т.е. не противоречащей
им. Таким образом, если гипотеза верна, то выборочные значения образуют статистический аналог для гипотетического распределения, и
в соответствии с этим можно ввести подходящую меру D отклонения
выборки от этого распределения. Зная выборочное распределение ве277
личины D, можно найти такое число D0 , чтобы P D  D0    , где 
мало. Если выяснится, что D  D0 , то считаем, что отклонение значимо и гипотезу надо отвергнуть. Если же D  D0 , то, следовательно,
отклонение D вызвано случайными колебаниями и выборочные данные согласуются с гипотезой.
Критерии такого рода, когда выясняется согласие между распределением выборки и теоретическим распределением, называют критериями согласия. Вероятность  , которую выбирают в зависимости
от ситуации, называют уровнем значимости, а вероятность p  1   
– доверительной вероятностью.
Если произошло событие D  D0 , то, как было сказано выше,
считаем, что гипотеза опровергнута опытом. Однако такое опровержение никак не равноценно логическому опровержению. Даже если
гипотеза верна, событие D  D0 , имеющее малую вероятность  ,
может произойти в отдельном исключительном случае. Но так как 
достаточно мало, то практически это событие можно считать невозможным. С другой стороны, получение одного события D  D0  не
является еще доказательством правильности гипотезы. Этот факт говорит лишь о том, что с точки зрения одного критерия, который был
использован, совпадение между теорией и опытными данными удовлетворительно. Говоря другими словами, чтобы считать статистическую гипотезу обоснованной, надо проверить ее с помощью нескольких критериев.
Существует несколько критериев для проверки гипотез о законе
распределения. Одним из самых распространенных является критерий
 2 (хи-квадрат), предложенный К.Пирсоном, поэтому его ещё называют критерием Пирсона. Пирсон показал, что распределение
величины

2
p
 n
*
i
k
i 1

2
 pi
,
pi
где n – число опытов, pi* и p i – относительная частота и вероятность
попадания возможных значений случайной величины в i-й разряд статистического ряда, k – число разрядов, практически не зависит от
числа опытов n и приближается к так называемому распределению
 2 при n  . Распределение  2 зависит от параметра r, который
называют числом степеней свободы:
278
(9.22)
r  k  q,
где q – число независимых условий («связей»), наложенных на отноn
сительные частоты pi*. Так, мы всегда требуем, чтобы  pi*  1.
i 1
Кроме этой связи, которая присутствует всегда, могут быть и
другие. Например, если мы по выборке находим оценку математического ожидания и требуем, чтобы MX  x, то это будет ещё одна
связь. Таким образом, число связей q равно числу параметров, оцениn
ваемых по выборке, плюс одна связь, которая есть всегда:   pi*  1.
 i 1

2
Для практических целей величину  преобразовывают к виду

2
np

*
i
k
i 1

2
 npi
.
npi
(9.23)
Метод проверки гипотезы с помощью критерия  2 можно сформулировать следующим образом:
1. Определить меру расхождения между теоретическим и выборочным распределениями по формуле 
2
np

k
i 1
*
i

2
 npi
.
npi
2. Определить r  k  q.
3. Выбрать соответствующий уровень значимости  и по
табл. П.4 распределения  2 по этому уровню значимости и
числу степеней свободы r найти предел  2,r , при котором будет
выполняться соотношение


P  2   2, r   .
(9.24)
Таким образом, критическая область для гипотезы задается неравенством  2   2, r (рис. 9.4). Это означает, что если  2 – наблюденное значение – оказалось больше табличного  2 , то произошло событие, вероятность которого равна  , следовательно, произошло собы279
тие практически невозможное и гипотезу надо опровергнуть. Если же
 2   2, r , то с вероятностью p  1   гипотеза принимается.
 2
f x
2
2
  , r критическая область 
Рис. 9.4. Кривая распределения  2
На практике значения доверительной вероятности берут от 0,7 до
0,99. Следует отметить, что критерий  2 чувствителен к числу наблюдений, попавших в каждый разряд. Требуется, чтобы в каждом
разряде число наблюдений было не меньше 5. Разряды, для которых
это требование не выполняется, объединяют с соседними. Число степеней свободы при этом уменьшается [см. формулу (9.22)] в соответствии с уменьшением числа разрядов.
Для вычисления вероятностей  x1 , y1 ,  x2 , y 2 ,...,  xn , yn  входящих
в (9.23), используют формулу [см. предварительно (7.5)]
 i 1
pi  P  i  X   i 1    f ~
xi dx
(9.25)
i
при проверке гипотезы о законе распределения непрерывной случайной величины, кроме гипотезы о нормальном распределении.
В случае гипотезы о нормальном распределении следует использовать формулу [см. предварительно (7.28)]
  x 
  x 
  Ф i
 .
pi  P i  X   i 1   Ф i 1
(9.26)
S
S




Кроме того, во всех вышеуказанных ситуациях вполне допустимо
использование приближенной формулы
280
pi  f ~
xi  i ,
(9.27)
где  i  длина i-го разряда.
В случае гипотезы о распределении Пуассона используют для
вычисления вероятностей pi формулу (9.21) или табл.П.5. Если в таблице отсутствует соответствующее значение параметра а, то расчет
можно
произвести
по
рекуррентной
формуле
a
P X  i  1 
P X  i  с начальным членом P X  0  e  a .
i 1
Доверительные интервалы для математического ожидания
и дисперсии
Ранее был рассмотрен вопрос об оценке неизвестного параметра
Θ распределения одним числом. Такую оценку называют точечной.
Однако часто требуется найти не только приближенное значение параметра, но и оценить его точность и надежность. Для этого в математической статистике пользуются доверительными интервалами.
Пусть для параметра Θ из опыта получена несмещенная оценка
*
Θ . Зададимся вероятностью p, такой, что событие, происходящее с
этой вероятностью, можно было бы считать практически достоверным (обычно эти значения берут равными 0,9; 0,95; 0,99) и найдем такое значение  , для которого


P Θ*  Θ    p
или

(9.28)

P Θ*    Θ  Θ*    p.


Интервал I p  Θ *   , Θ *   называют доверительным интервалом, а p – доверительной вероятностью; число   1  p называют
уровнем значимости. Границы интервала называют доверительными
границами.
Надо отметить, что Θ*   , Θ*   является случайным, так как


случайно его положение на оси абсцисс, определяемое центром Θ* ,
случайна и его длина 2 , так как величина  определяется из опытных данных. Таким образом, величину p можно интерпретировать как
281
вероятность, с которой интервал I p накроет истинное значение параметра Θ. Кроме того, I p можно считать множеством значений параметра Θ, совместимых с опытными данными и не противоречащих
им.
Пусть подтвердилась гипотеза о нормальном законе распределения случайной величины X. Тогда доверительный интервал для параметра  или, что то же самое, [см.(7.26), (9.6) и (9.15)] для математического ожидания имеет вид

S
S 
,
I p   x  t p
; x  tp
n
n


(9.29)
где x – оценка параметра  ; S – несмещенное среднеквадратичное отклонение; n – объем выборки; t p – коэффициент, который находят,
пользуясь табл. П.6 по выбранной доверительной вероятности p и
числу степеней свободы k  n  1.
Доверительный интервал для дисперсии в указанной выше ситуации имеет вид
 n  1S 2 n  1S 2 
,
Ip  
;
(9.30)
 V2

V
1


где n – объем выборки; S 2 – несмещенная оценка дисперсии
[см.(9.8)]; p – доверительная вероятность; V2 – значение, которое на1 p
ходят, пользуясь табл. П.7 по вероятности p1 
и числу степеней
2
свободы, равному n  1; V1 – значение, которое находят, пользуясь
табл. П.7 по вероятности p2  1  p1 и числу степеней свободы n  1.
Заметим, что при числе степеней свободы n  30 V1 и V2 находят по
табл. П.4.
Пусть теперь случайная величина X имеет закон распределения,
отличный от нормального. Тогда доверительный интервал для математического ожидания приближенно имеет вид


I p  x  u p x , x  u p x ,
282
(9.31)
где x – оценка математического ожидания; p – доверительная вероятность;  x – среднее квадратическое отклонение выборочного среднего,
S
x 
;
(9.32)
n
u p – коэффициент, который находят по табл. П.2 как значение аргуp
мента, при котором функция Лапласа равна .
2
Совершенно аналогично может быть построен доверительный
интервал для дисперсии

I p  S 2  u p
S
2
; S 2  u p
S2
,
(9.33)
где S 2 – несмещенная оценка дисперсии [см.(9.8)]; u p – коэффициент,
который находят так же, как в формуле (9.31); 
S2
– среднее квадра-
тическое отклонение несмещенной выборочной дисперсии.
Для нахождения  2 можно воспользоваться тем, что
S
DS 2 
1
n3
4 
DX 2 ,
n
nn  1
где  4  M  X  MX 4 ; n – объем выборки.
В этой формуле неизвестную DX можно заменить на приближенное значение S 2 ,  4 также можно заменить его оценкой:
4
1 n
 4   xi  x  . Если нет оснований считать, что закон распределеn i 1
ния случайной величины X резко отличается от нормального, то можно воспользоваться формулой
2 2
S .
(9.34)
S
n 1
Кроме того, если подтвердилась гипотеза о равномерном законе
распределения, то можно воспользоваться формулой

2

283

S
2

0,8n  1,2 2
S .
nn  1
(9.35)
Далее приведены примеры, иллюстрирующие проверку гипотезы
о законе распределения и построение доверительного интервала для
математического ожидания и дисперсии.
Пример 3. Получена выборка из генеральной совокупности
42,54
66,28
49,90
53,91
72,77
38,88
51,99
53,52
58,84
48,88
48,56
58,07
45,53
46,38
61,13
70,45
63,58
45,04
61,38
52,70
62,55
65,04
48,26
71,06
60,40
53,61
61,00
55,81
46,34
52,21
69,26
62,72
46,24
49,27
63,71
65,08
51,38
55,99
43,26
72,72
52,12
63,96
63,18
40,48
38,82
51,59
61,38
60,60
64,91
53,24
56,16
56,72
44,89
69,86
61,02
53,07
54,90
57,75
32,68
52,72
61,17
64,96
57,23
75,85
75,92
51,41
58,05
48,89
53,00
45,23
58,97
55,80
68,22
51,32
53,44
62,40
48,70
58,00
46,72
49,79
64,45
48,31
54,04
42,93
76,33
50,81
66,70
50,22
52,72
43,43
56,28
35,84
73,46
55,00
35,26
65,11
43,37
54,84
63,82
68,50
По этой выборке получаем вариационный ряд
32,68
35,26
35,84
38,82
38,88
40,48
42,54
42,93
43,26
43,37
43,43
44,89
45,04
45,23
45,53
46,24
46,24
46,38
46,72
48,26
48,31
48,56
48,70
48,88
48,89
49,27
49,79
49,90
50,22
50,59
50,81
51,32
51,38
51,41
51,99
52,12
52,21
52,70
52,72
52,72
53,00
53,07
53,24
53,44
53,52
53,61
53,61
54,04
54,84
54,90
55,00
55,80
55,81
55,99
56,16
56,28
56,72
57,23
57,75
58,00
58,05
58,07
58,84
58,97
60,40
60,60
61,00
61,02
61,13
61,17
61,38
61,38
62,40
62,45
62,55
62,72
63,18
63,58
63,71
63,82
63,96
64,91
64,96
65,04
65,08
65,11
66,28
66,70
68,22
68,50
69,26
69,86
70,45
71,06
72,72
72,77
73,46
75,85
75,92
76,33
Диапазон наблюденных значений случайной величины X укладывается в интервал (32;77). Разбиваем интервал наблюденных значений случайной величины на 9 разрядов с шагом   5 и составляем
статистический ряд (см. табл. 9.3.)
Последующие вычисления представлены в табл. 9.5.
Таблица 9.5
№
ст
ро
ки
i ;i 1 
32;37  37;42 
284
42;47 
47;52 
1
2
3
mi*
*
* mi
pi 
n
*
* p
hi  i
i
3
3
13
16
0,03
0,03
0,13
0,16
0,006
0,006
0,026
0,032
34,5
-2,22
0,0339
39,5
-1,70
0,0940
44,5
-1,18
0,1989
49,5
-0,66
0,3209
0,004
0,010
0,021
0,033
0,020
2
0,050
5
0,105
10,5
0,165
16,5
8
9
~
xi
ti
f ti 
f ~
xi 
pi
npi
10
mi*  npi
-1
2,5
-0,5
11
mi*  npi 2
1
6,25
0,25
4
5
6
7
Продолжение табл. 9.5
№
стр
оки
1
1
2
3
4
5
6
1
7
i ;i 1 
52;57  57;62 
62;67 
67;72 
72;77 
2
3
4
5
6
7
mi*
22
15
16
6
6
0,22
0,15
0,16
0,06
0,06
0,044
0,030
0,032
0,012
0,012
54,5
59,5
64,5
69,5
74,5
-0,14
0,39
0,91
1,43
1,95
0,3961
0,3697
0,2637
0,1435
0,0596
3
0,041
4
0,039
5
0,028
0,205
0,195
0,140
0,075
0,030
20,5
19,5
14
7,5
3
*
* mi
pi 
n
*
* p
hi  i
i
~
xi
ti
f ti 
2
Окончание табл. 9.5
6
7
0,015
0,006
9
f ~
xi 
pi
npi
10
mi*  npi
1,5
-4,5
2
1,5
3
11
mi*  npi 2
2,25
20,25
4
2,25
9
8
285
Комментарии к табл. 9.5.
Используя информацию в строках 13, строим гистограмму, вид
которой позволяет выдвинуть гипотезу о нормальном законе распределения исследуемой случайной величины.
Рис. 9.5. Гистограмма и выравнивающая ее функция плотности
Результаты расчетов в строках 47 дают возможность построить
на гистограмме выравнивающую кривую функции плотности. Отметим, что предварительно для вычислений значений функции плотности были найдены точечные оценки математического ожидания
[см.(9.9)] и дисперсии [см.(9.11)], что, согласно (9.15), позволило получить оценки параметров  и  .
Для данного примера имеем
1
(3  34,5  3  39,5  13  44,5  16  49,5  22  54,5 
100
1
 15  59,5  16  64,5  6  65,9  6  74,5) 
 5580  55,8;
100
MX  x 
1
(3  453,69  3  265,69  16  39,69  22  1,69 
99
1
 15  13,69  16  75,69  6  187,69  6  349,69)   9131  92,23;
99
  DX  S  9,604,   55,8.
В 8-й строке приведены результаты вычислений по формуле
(9.27).
DX  S 2 
286
В первом и во втором разрядах оказалось менее 5 наблюдений,
поэтому объединим эти разряды в один.
По результатам вычислений, приведенных в строках 911, вычисляем по формуле (9.23) значение  2 :
1 6,25 0,25 2,25 20,25 4 2,25 9
2  



 
  5,48.
7 10,5 16,5 20,5 19,5 14 7,5 3
Определим по формуле (9.22) число степеней свободы - параметр
распределения  2 . Учитывая, что число наложенных связей для нормального распределения равно 3, а число разрядов уменьшилось на
один, число степеней свободы r  8  3  5. Выберем уровень значимости   0,05 и по табл.П.4 для r  5 найдем  02, 05;5  11,1. Так как
наблюденное значение  2 оказалось меньше табличного значения, то


есть произошло событие  2   02,05;5 , вероятность которого равна
0,95, то можно сделать вывод: выдвинутая гипотеза о нормальном законе распределения не противоречит опытным данным.
Построим доверительный интервал для математического ожидания по формуле (9.29). Зададимся доверительной вероятностью
p  0,95 и, учитывая, что число степеней свободы n  1  99, по табл.
П.6
найдем
t 0,95  1,9843,
тогда
I 0,95  53,89;57,71
или
9,604
9,604 

I 0,95   55,8  1,9843 
;55,8  1,9843 
.
100
100 

Построим доверительный интервал для дисперсии по фор- муле (9.30). Зададимся доверительной вероятностью p  0,95,
тогда
1  0,95
p1 
; p2  1  p1  0,975,
число
степеней
свободы
2
n  1  100  1  99.
Тогда
по
табл.
П.7
находим
 99  92,23 99  99,23 
1  73,361;  2  128,422; таким образом, I 0,95  
;

128
,
422
73
,
361


или I 0,95  71,1;124,46, следовательно, истинное значение  2 случайной величины X находится в этом интервале с вероятностью 0,95.
Пример 4. В механическом цехе с десятью станками в течение
определенного периода ежедневно регистрировали количество выбывших из строя станков, проведя 200 наблюдений. Предполагается,
что случайная величина X – число отказавших станков – удовлетворяет распределению Пуассона, так как в нормальных условиях произ287
водства отказ станка можно считать редким событием, которое не зависит от отказа других станков. Подтверждает ли выборка, представленная в табл.9.6, эту гипотезу?
Чтобы использовать критерий  2 , надо по значениям выборки
найти значение параметра а распределения Пуассона и вычислить
теоретические частоты npi . Согласно (9.13), оценкой а будет выборочное среднее x.
Для примера 4 a  x  1,8 , вычисленное по формуле (9.9):
1
0  41  1  62  2  45  3  22  4  16  5  8  6  4  7  2  1,8.
x
200
Вероятности pi вычислены по формуле (9.21) с учетом того, что
a  x  1,8 .
Число отказов
станков, xi
Частота отказов, mi*
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
41
62
45
22
16
8
4
2
0
0
0
Таблица 9.6
Относительная частота
отказов, pi*
0,205
0,31
0,225
0,11
0,08
0,04
0,02
0,01
0
0
0
10
*
 pi  1
n=200
i 1
Все промежуточные результаты для вычисления значения  2
представлены в табл.9.7.
Таблица 9.7
Число
Относ.
отказов Частота
частота
станков
mi*
*
Теорет.
частота

mi*  npi mi*  npi
 m
npi
pi
xi
0
1
2
Вероят
нос
ть
2
*
i
 npi
npi
pi
41
62
45
0,2050 0,1653
0,3100 0,2975
0,225 0,2678
33,06
59,5
53,56
288
7,94
2,5
8,56
63,0436
6,25
72,2736
1,91
0,11
1,37

2
3
4
5
6
7
8
9
10
22
16
8
4

2
14
0

0
0

200
0,1100
0,0800
0,0400
0,0200
0,0100
0
0
0
1
0,1607
32,14
0,0723
14,46
0,0260 5,2 
0,0078 1,56 

0,0020
0,4 
0,0005
7,28
0,1

0,0001
0,02 
0,0000 0,00 

1
200
10,14 102,8196
1,54
2,3716
3,2
0,16
6,72
6,2
45,1584
χ
2
 12 ,95
В этом примере объединены последние 6 разрядов. Число степеней свободы, с учетом (9.22), r  6  2, так как по выборке оценивался
неизвестный параметр а. Выбираем уровень значимости   0,05.
Пользуясь табл. П.4, по   0,05 и r  4, находим  02,05;4  9,5. Так как
 2  12,95  9,5 , то гипотезу о распределении Пуассона надо отвергнуть, следовательно, выборка взята из генеральной совокупности,
распределение которой не подчиняется закону Пуассона. На рис. 6
представлены многоугольники распределения относительных частот
и вероятностей.
Построим доверительные интервалы для MX и DX. С учетом
формул (7.20) имеем MX  1,8; DX  1,8. Тогда по формуле (9.32) по1,8
лучаем  x 
 0,095. Возьмем доверительную вероятность
200
p  0,95 и по табл. П.2 найдем значение u p  1,96 как значение аргуp
мента, при котором функция Лапласа равна  0,475; тогда, исполь2
зуя формулу (9.31), получаем доверительный интервал для MX:
1,8  1,96  0,095;1,8  1,96  0,095 или I 0,95  1,614;1,986.
289
Рис.9.6. Многоугольник распределения pi
многоугольник распределения pi*
;
Для построения доверительного интервала для дисперсии по
формуле (9.34) найдем  2 :
S
2
 1,8  0,18.
S2
200  1
Тогда доверительный интервал для дисперсии, найденный по
формуле (9.33), имеет вид
I 0,95  1,8  1,96  0,18; 1,8  1,96  0,18
или
I 0,95  1,447;2,153.
Пример 5. Имеем результаты n  100 наблюдений изучаемой
случайной величины X.
0,03
0,01
0,06
0,12
0,05
0,07
0,01
0,18
0,21
0,14
0,11
0,64
0,19
0,11
0,49
0,09
0,23
0,01
0,52
0,02
0,64
0,77
0,47
0,20
0,12
0,07
0,84
0,66
0,25
0,12
0,35
0,92
0,32
0,98
0,14
0,07
0,21
0,74
0,03
0,35


0,13
0,48
0,48
0,56
0,36
0,34
0,63
0,36
0,11
0,50
0,01
0,03
0,11
0,08
0,19
0,02
0,55
0,08
0,78
0,24
0,27
0,04
0,11
0,01
0,06
0,04
0,05
0,22
0,07
0,03
0,01
0,25
0,19
0,57
0,37
0,68
0,36
0,57
0,34
0,70
0,22
0,39
0,80
0,47
0,09
0,27
0,15
0,35
0,93
0,68
0,92
0,97
0,26
0,84
0,98
0,53
0,84
0,12
0,04
0,21
Расположим эти наблюдения не в порядке получения, а в порядке
их возрастания, получим вариационный ряд.
290
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,02
0,02
0,03
0,03
0,03
0,03
0,04
0,04
0,04
0,05
0,05
0,06
0,06
0,07
0,07
0,07
0,07
0,08
0,08
0,09
0,09
0,11
0,11
0,11
0,11
0,11
0,12
0,12
0,12
0,12
0,13
0,14
0,14
0,15
0,18
0,19
0,19
0,19
0,20
0,21
0,21
0,21
0,22
0,22
0,23
0,24
0,25
0,25
0,26
0,27
0,27
0,32
0,34
0,34
0,35
0,35
0,35
0,36
0,36
0,36
0,37
0,39
0,47
0,47
0,48
0,48
0,49
0,50
0,52
0,53
0,55
0,56
0,57
0,57
0,63
0,64
0,64
0,66
0,68
0,68
0,70
0,74
0,77
0,78
0,80
0,84
0,84
0,84
0,92
0,92
0,93
0,97
0,98
0,98
Исходные данные удобно разбить на 10 разрядов с
шагом   0,1. Статистический ряд (см. табл. 9.3) и последующие вычисления представлены в табл. 9.8, пояснения к которой
даны ниже.
Таблица 9.8
№ строки
 i ; i1 
0;0,1
0,1;0, 2
0,2;0,3
1
mi*
27
18
12
11
6
2
pi*
0,27
0,18
0,12
0,11
0,06
3
hi*
2,7
1,8
1,2
1,1
0,6
0,3;0, 4 0,4;0,5
0,05
0,15
0,25
0,35
0,45
5
~
xi
f ~
x
2,604
1,923
1,421
1,049
0,775
6
7
pi
npi
0,253
25,259
0,187
18,656
0,138
13,780
0,102
10,178
0,075
7,517

3,031
0,431
3,167
0,676
2,302

0,120
0,023
0,230
0,066
0,306
4
i
8
m
9
m
*
i
 npi
*
i
 npi
npi
2
2
Окончание табл. 9.8
№
стр
оки
i ;i 1 
0,5;0,6 0,6;0,7  0,7;0,8
291
0,8;0,9 
0,9;1
4
3

mi*
6
2
pi*
0,06
0,07
0,04
0,03
0,06
3
hi*
~
xi
f ~
xi 
0,6
0,7
0,41
0,31
0,62
0,55
0,65
0,75
0,85
0,95
0,572
0,423
0,312
0,231
0,170
0,056
0,041
0,030
0,022
0,017
5,552
4,101
3,029
2,237
1,7
0,201
8,404
0,943
0,582
18,49
0,036
2,049
1
4
5
7
8
9
m
m
*
i
*
i
6
7
pi
npi
6
7

 np 
 npi
2
2
i
npi
0,311 0,260

0,571
10,876
Пояснения к табл. 9.8.
В первых трех строках последовательно определены выборочные частоты mi* , относительные частоты pi* и высоты hi* столбцов
гистограммы по формулам (9.4), (9.5) соответственно. По результатам
вычислений третьей строки построена гистограмма, представленная
на рис. 9.7 (см. пример 2).
Рис. 9.7. Гистограмма и выравнивающая ее кривая функции плотности
Исходя из вида гистограммы, выдвигаем гипотезу о показательном законе распределения, функция плотности которого имеет вид
(7.21).
292
Найдем оценки MX и DX по формулам (9.9), (9.11) соответственно. Так как
1
(0,05  27  0,15  18  0,25  12  0,35  11 
100
 0,45  6  0,55  6  0,65  7  0,75  4  0,85  3  0,95  6)  0,33 ;
x
S2 
1
[0,05 - 0,332  27  0,15  0,332  18  0,25  0,332  12 
99
 0,35  0,332  11  0,45  0,332  6  0,55  0,332  6 
2
2
2
 0,65  0,33  7  0,75  0,33  4  0,85  0,33  3 

 0,95  0,332  6  0,078 ;
S  0,078  0,279 , то MX  0,33; DX  0,078 ;   0,279.
С учетом формулы (9.14) имеем оценку параметра  закона
1
распределения * 
 3,03. Значения функции плотности получа0,33
ем по формуле (7.21), заменяя  его оценкой * и беря в качестве x
для i-го разряда ~
xi . Вероятности pi находим по формуле (9.27). Вычисления, выполненные в 7-й, 8-й и 9-й строках, очевидны.
По формуле (9.23) находим значение  2  14,277 , а по формуле
(9.22) определяем число степеней свободы r с учетом объединения
разрядов и числа параметров закона распределения, оцениваемых по
выборке r  9  2  7. Возьмем уровень значимости   0,05 , по
табл. П.4 найдем критическое значение  02,05;7  14,1 . Согласно (9.24)
произошло событие, вероятность которого равна 0,05, то есть гипотеза о показательном распределении противоречит опытным данным, а
потому должна быть отвергнута.
Найдем доверительные интервалы для MX и DX. По
форму0,078
ле
(9.32)
x 
 0,00078 ,
а
по
формуле
(9.34)
100
2
 2 
 0,078  0,011. Тогда для доверительной вероятности
S
100  1
p  0,95 найдем значение u p по табл. П.2 как значение аргумента
293
p 0,95

 0,475; u 0,95  1,96.
2
2
По формулам (9.31) и (9.33) получаем соответственно
0,33  1,96  0,00078  MX  0,33  1,96  0,00078 или 0,275  MX  0,385
и 0,078  1,96  0,011  DX  0,078  1,96  0,011 или 0,056  DX  0,099.
функции Лапласа, при котором она равна
Индивидуальные задания по теме «Проверка гипотезы
о законе распределения»
Дана выборка из генеральной совокупности случайной величины
X. Требуется:
1) построить гистограмму (многоугольник относительных частот)
и выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины X;
2) проверить эту гипотезу по критерию Пирсона (уровень значимости
выбрать самостоятельно);
3) найти доверительные интервалы для математического ожидания и
дисперсии (доверительную вероятность выбрать самостоятельно).
Вариант 1.
1,4; 0,5; 0,9; 1,1; 0,7; 1,4; 1,0; 1,4; 0,8;
0,5; 1,3; 0,9; 1,1; 0,7; 1,4; 1,3; 0,8; 1,2; 1,2;
1,2; 1,0; 0,6; 1,3; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,74 0,8;
0,7; 0,9; 0,8; 1,1; 0,6; 0,7; 1,0; 0,7; 1,1; 1,1;
0,7; 0,8; 1,3; 0,7; 1,1; 0,7; 0,9; 0,7; 1,2; 1,0;
0,7; 0,5; 0,6; 1,2; 1,4; 0,8; 1,0; 0,7; 1,4; 1,3;
0,6.
Вариант 2.
8,0; 12,5; 15,4; 6,9; 11,4; 7,2; 10,5; 11,5;
17,7; 13,6; 15,1; 13,4; 17,9; 18,6; 9,8; 12,6;
14,9; 7,3; 16,5; 15,5; 12,9; 11,0; 16,8; 18,4;
12,8; 11,4; 13,5; 16,2; 14,3; 12,1; 12,2; 18,1;
10,9; 7,9; 17,9; 18,6; 10,5; 13,7; 10,3; 17,2;
13,5; 17,7; 6,7; 17,1; 16,4; 7,1; 16,9; 14,2;
11,3; 15,2; 15,8; 12,3; 9,9; 15,6; 18,9; 14,2;
8,2; 11,5; 18,6; 19,0.
Вариант 3.
35,1; 22,9; 23,9; 29,0; 36,1; 35,9; 31,2; 6,0;
37,3; 24,4; 27,6; 26,3; 24,0; 44,0; 35,5; 27,1;
30,3; 17,7; 30,9; 20,2; 17,3; 26,6; 21,3; 40,7;
294
30,1; 43,2; 28,3; 24,5; 32,0; 27,8; 26,5; 26,0;
35,3; 24,8; 22,5; 26,9; 31,8; 31,3; 19,3; 31,6;
18,5; 32,8; 25,4; 41,3; 24,1; 37,6; 37,5; 27,8;
13,1; 24,7; 31.3; 20,7; 25,0; 30,4; 23,0; 11,2;
26,5; 19,8; 25,6; 22,3.
Вариант 4.
31,9; 35,5; 39,6; 34,9; 40,7; 43,9; 27,3; 33,5;
53,5; 41.2; 20,3; 47,4; 41,3; 25,4; 33,6; 21,7;
32,6; 31,9; 37,7; 30,5; 21,5; 40,8; 29,9; 31,8;
28,7; 39,1; 24,0; 31,0; 10,2; 19,7; 40,2; 29,3;
30,1; 43,4; 43,9; 44,7; 36,6; 54,8; 37,3; 20,1;
25,0; 25,1; 39,6; 37,0; 27,6; 34,9; 45,2; 20,5;
32,2; 26,7; 35,0; 44,5; 32,7; 32,3; 26,6; 26,4;
19,4; 38,2; 54,2; 52,9.
Вариант 5.
20,6; 19,8; 22,0; 19,3; 20,8; 20,5; 18,8; 20,1;
19,7; 19,1; 18,9; 19,9; 20,4; 18,3; 19,4; 19,1;
18,6; 18,7; 19,2; 18,7; 18,8; 18,6; 21,0; 19,6;
18,5; 18,6; 18,4; 18,8; 18,6; 19,2; 21,9; 19,6;
19,9; 20,3; 18,3; 19,5; 20,5; 19,2; 19,7; 19,4;
18,9; 18,9; 18,4; 18,2.
Вариант 6.
14,1; 7,1; 15,9; 16,3; 12,2; 13,0; 15,5; 7,6; 11,8; 19,0;
9,0; 15,9; 17,0; 16,2; 15,9; 9,0; 15,8; 16,6; 12,5; 8,6;
17,4; 8,9; 15,7; 14,6; 17,8; 9,7; 10,2; 6,9; 6,9; 12,6;
10,8; 9,5; 12,4; 13,8; 17,1; 16,2; 17,8; 12,0; 8,1; 18,8;
11,7; 10,0; 17,4; 15,0; 17,0; 17,7; 11,7; 6,5; 7,0; 15,8;
8,7; 14,5; 19,1; 15,3; 13,6; 8,3; 13,3; 18,3; 18,2; 17,7.
Вариант 7.
14,4; 30,3; 16,3; 34,0; 34,3; 25,7; 31,1; 36,2; 36,8; 18,3;
25,0; 19,9; 32,9; 26,1; 21,7; 19,0; 31,6; 20,4; 24,4; 38,0;
21,4; 21,4; 24,2; 25,8; 30,9; 28,7; 26,4; 32,6; 24,6; 21,1;
32,9; 35,6; 33,4; 35,3; 25,2; 26,3; 32,5; 17,4; 24,7; 18,9;
28,9; 23,7; 32,5; 24,3; 26,2; 46,0; 11,3; 41,6; 24,8; 29,4;
25,1; 49,1; 39,2; 20,5; 30,4; 21,9; 45,8; 36,0; 23,6; 27,5.
Вариант 8.
19,0; 18,5; 18,6; 20,6; 18,7; 19,4; 18,3; 18,3;
18,7; 19,4; 18,8; 18,5; 18,3; 19,5; 18,6; 18,3;
18,3; 19,0; 18,6; 19,4; 18,2; 18,4; 19,8; 18,6;
295
18,5; 19,6; 19,5; 20,0; 19,9; 19,2; 19,0; 19,4;
18,6; 18,3; 19,7; 19,3; 18,3; 18,6; 18,2; 23,0;
18,3; 19,2; 19,0; 21,1.
Вариант 9.
32,7; 27,6; 35,1; 45,5; 40,7; 20,7; 21,0; 33,8;
37,5; 32,1; 47,7; 11,3; 35,5; 35,3; 36,2; 40,9;
23,2; 30,4; 30,0; 49,6; 36,0; 34,0; 27,0; 31,7;
54,6; 48,9; 21,3; 49,2; 35,5; 43,3; 33,6; 27,5;
23,0; 32,6; 19,6; 41,5; 37,4; 38,6; 23,8; 19,2;
23,7; 38,5; 34,4; 27,6; 35,1; 26,0; 16,4; 28,0;
39,7; 42,1; 32,7; 39,0; 21,9; 42,2; 50,6; 34,6;
33,9; 49,4; 43,7; 35,9.
Вариант 10.
3,0; 5,0; 4,0; 3,0; 3,0; 3,0; 2,0; 3,0; 3,0; 3,0;
3,0; 2,0; 4,0; 0,0; 3,0; 3,0; 3,0; 3,0; 1,0; 2,0;
3,0; 3,0; 2,0; 2,0; 5,0; 2,0; 4,0; 4,0; 1,0; 2,0;
3,0; 1,0; 4,0; 0,0; 3,0; 5,0; 6,0; 4,0; 8,0; 2,0;
2,0; 5,0; 1,0; 0,0; 1,0; 5,0; 3,0; 2,0; 5,0; 1,0.
Вариант 11.
42,7; 37,6; 45,1; 55,4; 50,7; 30,7; 31,9; 43,8;
47,5; 42,1; 57,7; 21,3; 45,5; 45,3; 46,2; 50,9;
33,2; 40,4; 40,0; 59,6; 46,0; 44,0; 37,0; 44,7;
64,6; 58,9; 31,3; 59,2; 45,5; 53,3; 43,6; 37,5;
33,0; 42,6; 39,6; 51,5; 47,4; 48,6; 33,8; 29,2;
33,7; 48,5; 44,4; 37,6; 45,1; 36,0; 26,4; 38,0;
49,7; 52,1; 42,7; 49,0; 31,9; 52,2; 60,6; 44,6;
43,9; 59,4; 53,7; 45,9.
Вариант 12.
14,7; 15,4; 12,7; 9,6; 18,7; 21,3; 16,6; 17,7;
11,4; 10,9; 18,5; 15,0; 13,7; 10,4; 18,5; 8,1;
13,0; 10,1; 14,6; 16,8; 6,8; 9,2; 10,9; 19,1;
8,0; 11,2; 10,7; 13,1; 19,3; 13,9; 17,0; 11,2;
6,8; 14,2; 13,8; 10,5; 10,3; 15,9; 7,4; 6,7;
15,3; 18,8; 12,9; 8,5; 15,3; 13,6; 11,8; 11,8;
16,4; 12,8; 16,7; 11,8; 15,0; 10,8; 15,4; 17,3;
21,1; 10,9; 16,4; 14,7.
Вариант 13.
41,7; 36,7; 45,6; 31,0; 38,9; 28,3; 23,7; 54,5;
31,6; 26,1; 50,4; 45,0; 53,5; 50,1; 29,7; 40,9;
296
32,4; 45,0; 35,6; 25,6; 55,3; 33,1; 25,6; 40,2;
32,2; 43,2; 25,1; 29,9; 52,7; 18,6; 35,3; 38,1;
29,4; 32,1; 43,0; 23,0; 34,1; 28,8; 31.6; 40,8;
32,7; 43,0; 41,7; 41,7; 28,3; 23,1; 18,2; 23,5;
30,3; 36,2; 34,9; 41,0; 54,3; 33,3; 39,3; 12,8;
20,6; 22,6; 26,1; 16,8.
Вариант 14.
18,5; 19,0; 20,6; 18,4; 18,3; 19,2 18,5; 20,3;
18,6; 20,6; 18,5; 18,3; 19,1; 21,0; 18,6; 19,1;
18,4; 19,9; 18,7; 19,5; 18,4; 21,6; 18,9; 19,5;
20,1; 19,4; 19,0; 19,2; 19,7; 19,9; 19,5; 20,0;
18,4; 18,3; 19,6; 18,8; 23,1; 19,6; 18,5; 20,7;
18,7; 18,7; 22,8; 18,9; 20,2; 19,0; 19,2; 19,6;
18,9; 20,3; 21,0; 18,9; 20,3; 18,3; 19,5; 18,5;
18,5; 18,6; 19,3; 18,6.
Вариант 15.
1,0; 3,0; 2,0; 3,0; 0,0; 2,0; 2,0; 0,0; 4,0; 2,0;
3,0; 1,0; 2,0; 3,0; 3,0; 3,0; 4,0; 4,0; 5,0; 2,0;
4,0; 1,0; 4,0; 1,0; 2,0; 2,0; 4,0; 2,0; 3,0; 2,0;
1,0; 2,0; 4,0; 0,0; 2,0; 3,0; 4,0; 3,0; 3,0; 1,0;
3,0; 2,0; 3,0; 6,0; 3,0; 5,0; 4,0; 1,0; 3,0; 3,0.
3,0.
Вариант 16.
18,6; 19,1; 18,5; 19,3; 20,1; 18,3; 18,9; 19,6;
19,3; 18,5; 19,0; 18,5; 21,9; 18,4; 20,1; 20,3;
18,4; 18,7; 22,3; 18,3; 18,5; 19,4; 19,6; 19,3;
18,7; 19,1; 18,5; 20,6; 18,8; 19,8; 19,5; 18,9;
18,6; 18,2; 21,8; 18.4; 18,3; 19,1; 18,3; 19,6;
19,0; 19,9; 18,6; 18,8; 18,2; 18,4; 19,7; 18,9;
22,5; 19,4; 20,6; 19,3; 21,0; 19,4; 18,7; 19,6;
19,3; 21,1; 19,7; 19,3.
Вариант 17.
19,1; 18,4; 18,7; 18,4; 19,2; 18,8; 18,9; 18,7; 18,6;
20,0; 19,0; 20,6; 20,3; 22,2; 18,3; 21,8; 18.3; 19,8;
18,6; 19,1; 18,8; 18,3; 19,4; 19,5; 18,6; 20,9; 19,1;
18,4; 18,6; 18,5; 18,7; 20,4; 24,9; 19,4; 20,0; 20,5;
20,2; 18,9; 19,0; 20,4; 19,7; 18,3; 18,5; 18,2; 18,8;
18,8; 19,0; 18,7; 18,2; 21,1; 18,9; 19,6; 18,7; 18,6;
19,2; 18,2; 19,8; 19,9; 18,8; 18,9.
297
Вариант 18.
38,3; 23,5; 36,8; 28,3; 26,4; 17,3; 43,5; 19,3;
30,6; 20,1; 27,0; 27,0; 28,1; 27.9; 19,3; 49,6;
35,9; 24,4; 22,8; 33,1; 16,0; 24,9; 45,6; 34,6;
31,1; 41,5; 40,3; 29,8; 27,8; 22,1; 25,5; 17,2;
27,8; 41,8; 25,7; 26,8; 23,2; 24,6; 18,5; 24,4;
37,8; 30,4; 30,1; 16,2; 39,9; 20,2; 31,8; 39,7;
29,2; 21,2; 34,7; 24,8; 19,9; 22,7; 38,1; 37,6;
31,2; 28,1; 38,0; 27,4.
Вариант 19.
2,0; 0,0; 3,0; 3,0; 4,0; 1,0; 1,0; 3,0; 2,0; 7,0;
4,0; 0,0; 4,0; 4,0; 4,0; 1,0; 1,0; 0,0; 3,0; 2,0;
1,0; 1,0; 3,0; 1,0; 6,0; 2,0; 7,0; 5,0; 0,0; 2,0;
3,0; 6,0; 5,0; 2,0; 3,0; 4,0; 4,0; 5,0; 2,0; 4,0;
2,0; 2,0; 2,0; 2,0; 3,0; 5,0; 5,0; 5,0; 2,0; 2,0.
Вариант 20.
34,0; 26,2; 32,0; 19,2; 21,0; 23,2; 16,6; 22,9;
35,7; 35,6; 25,0; 52,9; 38,5; 26,8; 24,1; 39,1;
33,0; 33,7; 30,8; 48,6; 30,1; 25,7; 23,8; 24,1;
21,2; 26,1; 25,4; 34,3; 20,1; 23,6; 23,0; 47,5;
36,1; 23,7; 28,7; 34,4; 38,2; 38,6; 17,4; 36,7;
31,9; 25,6; 30.1; 35,5; 32,5; 42,1; 25,0; 37,3;
20,3; 27,5; 33,2; 29,6; 26,4; 36,7; 26,4; 31,1;
18,6; 13,1; 21,0; 22,5.
Вариант 21.
22,2; 30,9; 24,4; 32,0; 32,8; 25,4; 34,7; 22,4;
45,6; 13,4; 10,3; 29,9; 36,5; 20,1; 22,9; 39,7;
40,1; 25,6; 32,8; 25,4; 30,7; 36,1; 30,1; 42,3;
24,8; 17,7; 41,7; 20,9; 36,4; 25,4; 25,7; 44,3;
32,6; 35,8; 35,8; 25,2; 28,2; 33,8; 37,3; 26,8;
32,3; 19,7; 36,7; 35,3; 12,5; 16,9; 19,5; 28,5;
33,1; 36,3; 27,8; 35,9; 27,3; 22,5; 19,5; 28,5;
49,3; 27,5; 24,2; 17,3.
Вариант 22.
10,7; 6,6; 15,9; 19,1; 11,6; 17,4; 14,9; 13,2;
15,9; 7,4; 14,0; 9,5; 17,7; 8,7; 7,2; 8,8;
16,6; 7,3; 11,9; 9,3; 9,5; 12,5; 10,5; 10,2;
298
12,8; 17,6; 15,5; 7,3; 12,9; 12,7; 11,4; 9,0;
14,5; 9,2; 17,8; 8,9; 6,8; 16,2; 7,7; 8,0;
14,7; 14.1; 15,0; 17,1; 9,5; 16,6; 17,2; 9,6;
16,6; 8,1; 11,6; 6,8.
Вариант 23.
10,8; 11,0; 15,6; 15,3; 9,5; 7,4; 8,7; 15,4;
16,8; 17,7; 17,1; 7,2; 7,0; 9,2; 9,5; 11,9;
17,5; 18,4; 14.7; 17,6; 15,2; 8,0; 14,3; 18,0;
10,9; 9,1; 16,4; 17,3; 19,2; 12,4; 13,9; 16,4.
Вариант 24.
29,6; 49,5; 25,7; 33,9; 35,7; 45,2; 37,2; 30,1;
38,0; 28,2; 35,5; 42,1; 26,6; 39,7; 38,3; 43,8;
35,0; 35,8; 49,2; 29,6; 36,5; 18,8; 25,4; 33,8;
34,6; 16,4; 30,0; 37,7; 41,6; 27,3; 36,6; 19,1;
36,5; 42,7; 39,9; 43,0; 45,0; 53,8; 34,7; 46,0;
36,7; 30,6; 34,5; 18,4; 25,4; 12,5; 39,9; 23,8;
37,6; 55,6; 47,4; 44,7; 49,6; 17,7; 27,8; 21,7;
17,2; 56,5; 16,6; 36,1.
Вариант 25.
37,6; 26,8; 31,4; 33,3; 41,8; 29,7; 29,3; 35,5;
28,2; 44,3; 49,1; 28,2; 20,5; 38,9; 25,9; 51,2;
15,3; 30,3; 34,9; 43,5; 32,2; 21,9; 14,5; 16,4;
20,0; 42,9; 40,8; 20,6; 19,3; 24,7; 50,4; 44,0;
48,9; 14,0; 43.7; 50,3; 22,5; 48,7; 11,7; 18,9;
33,6; 34,8; 16,6; 35,6; 37,7; 40,4; 37,7; 15,6;
34,6; 19,4; 30,8; 39,2; 36,7; 34,4; 39,6; 23.6;
36,9; 41,3; 31,1; 28,1.
Вариант 26.
18,6; 19,9; 20.7; 19,7; 19,4; 19,0; 19,3; 22,1; 19,3; 18,7;
19,9; 19,0; 20,5; 19,5; 18,6; 19,5; 18,6; 21,1; 18,7; 19,9;
18,7; 18,7; 19,3; 18,6; 19,2; 18,6; 20,4; 20,9; 18,7; 18,7;
19,7; 18,7; 19,4; 19,5; 19,6; 20,5; 19,8; 19,2; 19,0; 18,7;
18,6; 19,4; 19,0; 19,6; 19,6; 19,0; 18,9; 18,6; 20,5; 18,6;
20,1; 18,9; 19,8; 19,9; 19,0; 20,0; 19,6; 18,6; 19,6; 20,7.
Вариант 27.
18,6; 19,4; 19,9; 18,9; 18,9; 18,64 18,6; 18,7;
19,3; 20,4; 19,2; 18,8; 20,4; 20,3; 19,2; 18,7;
20,3; 18,9; 21,0; 19,4; 20,9; 19,8; 20,5; 20,0;
299
19,9; 19,5; 19,0; 19,7; 20,7; 18,6; 18,6; 18,6;
18,7; 19,0; 18,8; 19,1; 19,9; 19,9; 23,3; 19,1;
18,6; 19,4; 18,7; 19,4; 18,6; 18,6; 18,8; 18,9;
19,8; 18,6; 18,8; 18,6.
Вариант 28.
31,9; 35,5; 32,7; 27,6; 41,7; 36,7; 29,6; 49,5;
25,7; 33,9; 39,6; 34,9; 35,1; 45,4; 45,6; 31,0;
35,7; 45,2; 37,2; 30,1; 40,7; 43,9; 40,7; 20,7;
38,9; 28,3; 38,0; 28,2; 355; 42,1; 27,3; 33,5;
53,5; 41,2; 37,5; 32,1; 31,6; 26,1; 35,0; 35,8;
49,1; 29,6; 20,3; 47,4; 47,7; 11,3; 50,4; 45,0;
36,5; 8,8; 25,4; 33,8.
Вариант 29.
41,3; 25,4; 35,5; 35,3; 53,5; 50,1; 34,6; 16,4;
30,0; 37,7; 33,6; 21,7; 36,2; 40,9; 29,7; 40,9;
41,6; 27,3; 36,6; 19,1; 32,6; 31,9; 23,2; 30,4;
32,4; 45,0; 36,5; 42,7; 39,9; 43,0; 37,7; 30,5;
30,0; 49,6; 35,6; 25,6; 45,0; 53,8; 34,7; 46,0;
21,5; 40,8; 36,0; 34,0; 55,3; 33,1; 36,7; 30,6;
34,5; 18,4; 29,9; 31,8; 27,0; 31,7; 25,6; 40,2;
25,4; 12,5; 39,9; 23,8.
Вариант 30.
28,7; 39,1; 54,6; 48,9; 32,2; 43,2; 37,6; 55,6;
47,4; 44,7; 24,0; 31,0; 21,3; 49,2; 25,1; 29,9;
49,6; 17,7; 27,8; 21,7; 10,2; 19,7; 35,5; 43,3;
52,7; 8,6; 17,2; 56,5; 16,6; 36,1; 40,2; 29,3;
33,6; 27,5; 35,3; 38,1; 37,6; 26,8; 31,4; 33,3;
30,1; 43,4; 23,0; 32,6; 29,4; 32,1; 1,8; 29,7;
29,3; 35,5; 43,9; 44,7; 9,6; 41,5; 43,0; 23,0;
28,2; 44,3; 49,1; 28,2.
Вариант 31.
36,6; 54,8; 36,4; 38,6; 34,1; 28,8; 20,5; 38,9;
25,9; 51,2; 37,3; 20,1; 23,8; 19,2; 31,6; 40,8;
15,3; 30,3; 34,9; 43,5; 25,0; 25,3; 23,7; 38,5;
32,7; 43,0; 32,2; 21,9; 14,5; 16,4; 39,6; 37,0;
34,4; 327,6; 41,7; 41,7; 20,0; 42,9; 40,8; 20,6;
27,6; 34,9; 35,1; 26,0; 28,3; 23,1; 19,3; 24,7;
50,4; 44,0; 45,2; 20,5; 16,4; 28,0; 18,2; 23,5;
48,9; 14,0; 43,7; 50,3.
300
Вариант 32.
8,0; 12,5; 14,1; 7,1; 14,7; 15,4; 10,7; 6,6; 10,8;
11,0; 15,4; 6,9; 15,9; 16,3; 12,7; 9,6; 15,9; 19,1;
15,6; 15,3; 11,4; 7,2; 12,2; 13,0; 18,7; 12,3; 11,6;
17,4; 9,5; 7,4; 10,5; 11,5; 15,5; 7,6; 16,6; 17,7;
14,9; 13,2; 8,7; 15,4; 17,7; 13,6; 11,8; 19,0; 11,4;
10,9; 15,9; 7,4; 16,8; 17,7; 15,1; 13,4; 9,0; 15,9;
18,5; 15,0; 14,0; 9,5; 17,1; 7,2.
Вариант 33.
8,0; 15,4; 11,4; 10,5; 17,7; 15,1; 17,9; 9,8; 14,9;
16,5; 12,9; 16,8; 12,8; 13,5; 14,3; 12,2; 10,9; 17,9;
10,5; 10,3; 13,5; 6,7; 16,4; 16,9; 11,3; 15,8; 9,9;
18,9; 8,2; 18,6; 12,5; 6,9; 7,2; 11,5; 13,6; 13,4;
18,6; 12,6; 7,3; 15,5; 11,0; 18,4; 11,4; 16,2; 12,1;
18,1; 7,9; 18,6; 13,7; 17,2; 17,7; 17,1; 7,1; 14,2;
15,2; 12,3; 15,6; 14,2; 11,5; 19,0; 14,1; 15,9; 12,2;
15,5; 11,8; 9,0; 17,0; 15,9; 15,8; 12,5; 17,4; 15,7;
17,8; 10,2; 6,9; 10,8; 12,4; 17,1; 17,8; 8,1; 11,7;
17,4; 17,0; 11,7; 7,0; 8,7; 19,1; 13,6; 13,3; 18,2; 7,1;
16,3; 13,0; 7,6; 19,0; 15,9; 16,2; 9,0; 16,6; 8,6; 8,9;
14,6; 9,7; 6,9; 12,6; 9,5; 13,8; 16,2; 12,0; 18,8; 10,0;
15,0; 17,7; 6,5; 15,8; 14,5; 15,3; 8,3; 18,3; 17,7.
Вариант 34.
14,7; 12,7;4 18,7; 16,6; 11,4; 18,5; 13,7; 418,5; 13,0;
14,6; 6,8; 10,9; 8,0; 10,7; 13,1; 13,9; 6,8; 13,8; 10,3;
7,4; 15,3; 12,9; 15,3; 11,8; 16,4; 16,7; 15,0; 15,4; 12,1;
16,4; 15,4; 9,6; 12,3; 17,7; 10,9; 15,0; 10,4; 8,1; 10,1;
16,8; 9,2; 19,1; 11,2; 11,2; 19,3; 17,0; 14,2; 10,5; 15,9;
6,7; 18,8; 8,5; 13,6; 11,8; 12,8; 11,8; 10,8; 17,3; 10,9;
14,7; 10,7; 15,9; 11,6; 14,9; 15,9; 14,0; 17,7; 7,2; 16,6;
11,9; 9,5; 10,5; 12,8; 15,5; 12,9; 11,4; 14,5; 17,8; 6,8;
7,7; 14,7; 15,0; 9,5; 17,2; 9,7; 9,1; 19,3; 13,3; 16,6; 11,6.
Вариант 35.
6,6; 19,1; 17,4; 13,2; 7,4; 9,5; 8,7; 8,8; 7,3; 9,3; 12,2;
10,2; 17,6; 7,3; 12,7; 9,0; 9,2; 8,9; 16,2; 8,0; 14,1; 17,1;
16,6; 9,6; 16,1; 14,5; 10,7; 11,1; 8,1; 6,8; 10,8; 15,6; 9,5;
8,7; 16,8; 17,1; 7,0; 9,5; 17,5; 14,7; 15,2; 14,3; 10,9; 16,4;
19,2; 13,9; 17,3; 7,3; 16,5; 9,2; 9,3; 12,6; 6,6; 7,3; 19,3;
17,2; 10,5; 18,0; 18,2; 12,0; 11,0; 15,3; 7,4; 15,4; 17,7;
301
7,2; 9,2; 11,9; 18,4; 17,6; 8,0; 18,0; 9,1; 17,3; 12,4; 16,4;
7,1; 9,7; 13,3; 10,7; 16,9; 10,2; 16,8; 10,4; 15,9; 12,2;
14,8; 9,7; 6,8; 12,4.
Вариант 36.
3,0; 5,5; 7,8; 5,8; 6,9; 2,3; 7,5; 8,4; 5,4; 5,8; 6,7; 6,5; 5,7;
5,5; 3,4; 4,4; 5,6; 4,0; 6,5; 6,3; 8,5; 7,3; 6,4; 5,7; 5,0; 5,1;
8,3; 4,9; 7,4; 7,2; 7,3; 4,2; 7,4; 4,7; 3,4; 6,7; 5,9; 5,8; 6,2;
9,3; 11,7; 6,0; 6,8; 11,2; 8,4; 6,6; 8,9; 4,3; 5,4; 4,8; 5,4; 4,3;
6,5; 9,1; 5,7; 6,8; 6,4; 4,1; 4,4; 7,4; 6,2; 8,3; 8,0; 5,3; 3,4;
6,6; 7,2; 3,8; 4,4; 8,1; 6,6; 4,2; 8,2; 5,3; 4,9; 4,2; 8,1; 7,1;
6,4; 9,0; 6,4; 4,0; 4,5; 7,5; 2,0; 3,0; 7,0; 4,7; 6,6; 7,6; 6,7;
4,0; 5,5; 2,5; 6,8; 6,4; 5,7; 4,9; 5,6; 6,6; 5,6; 8,3; 6,0; 6,4;
6,3; 3,7; 7,2; 7,9; 5,2; 5,9; 6,7; 5,9; 5,2; 6,0; 2,0; 5,9; 3,7;
6,0; 6,9; 6,3.
Вариант 37.
8,0; 7,0; 8,5; 3,7; 2,3; 6,8; 6,3; 8,0; 7,2; 5,8; 9,6; 6,9; 6,1;
6,5; 3,5; 6,4; 5,9; 7,8; 5,9; 5,5; 6,3; 4,7; 0,2; 8,3; 9,0; 5,3;
4,3; 8,1; 9,9; 6,4; 6,6; 6,8; 6,9; 7,2; 3,5; 12,2; 8,6; 2,8; 6,8;
5,1; 9,1; 6,0; 7,7; 6,6; 6,7; 8,8; 4,3; 6,7; 5,2; 6,7; 4,3; 4,9;
4,9; 8,1; 2,3; 7,6; 9,4; 6,9; 7,5; 3,2; 4,4; 2,4; 6,5; 6,3; 8,5;
6,1; 3,3; 8,3; 10,9; 7,9; 4,8; 4,4; 7,0; 4,1; 7,9; 7,0; 4,5; 5,2;
2,3; 4,8; 4,2; 3,7; 3,3; 6,6; 4,8; 6,6; 7,7; 5,0; 5,1; 4,4.
Вариант 38.
7,8; 7,7; 1,7; 6,3; 4,5; 4,7; 7,6; 5,3; 7,4; 7,5; 5,0; 4,9; 8,4;
7,0; 8,1; 9,2; 5,0; 7,0; 6,8; 5,5; 3,8; 4,0; 5,9; 4,8; 4,0; 5,6;
2,9; 5,5; 4,8; 8,2; 4,1; 7,9; 7,9; 4,6; 3,6; 4,6; 4,6; 7,1; 3,3;
5,2; 4,5; 4,1; 2,8; 6,5; 5,4; 7,2; 7,4; 3,8; 3,4; 6,0; 7,5; 10,4;
9,2; 8,7; 4,8; 8,7; 2,5; 4,7; 6,2; 6,7; 8,4; 4,0; 5,7; 8,9; 6,0;
6,1; 7,4; 7,9; 5,3; 7,7; 7,5; 7,3; 4,5; 6,1; 6,3; 4,6; 5,7; 8,1;
5,8; 6,5; 7,2; 5,5; 6,2; 4,8; 5,6; 8,6; 3,9; 4,2; 4,5; 3,8.
Вариант 39.
31,9; 39,6; 40,7; 27,3; 53,5; 20,3; 41,3; 33,6; 32,6; 37,7;
21,5; 29,9; 28,7; 24,0; 10,2; 40,2; 30,1; 43,9; 36,6; 37,3;
25,0; 39,6; 37,3; 25,0; 39,6; 27,6; 45,2; 32,2; 35,0; 32,7;
26,6; 19,4; 54,2; 35,5; 34,9; 43,9; 33,5; 41,2; 47,4; 25,4;
21,7; 31,9; 30,5; 40,8; 31,8; 39,1; 31,0; 19,7; 29,3; 43,4;
44,7; 54,8; 20,1; 25,3; 37,0; 34,9; 20,5; 26,7; 44,5; 32,3;
26,4; 38,2; 52,9; 29,6; 35,7; 38,0; 26,6; 35,0; 36,5; 34,6;
41,6; 36,5; 45,0; 36,7; 25,4; 37,6; 41,8; 28,2; 20,5; 15,3;
302
32,2; 20,0; 19,3; 48,9; 22,5; 33,6; 37,7; 34,6; 36,7; 36,9.
Вариант 40.
49,5; 45,2; 28,2; 39,7; 35,8; 8,8; 16,4; 27,3; 42,7; 53,8;
30,6; 12,5; 55,6; 17,7; 56,5; 26,8; 29,7; 44,3; 38,9; 30,3;
21,9; 42,9; 24,7; 14,0; 48,7; 34,8; 40,4; 19,4; 34,4; 41,3;
25,7; 37,2; 35,5; 38,3; 49,1; 25,4; 30,0; 36,6; 39,9; 34,7;
34,5; 39,9; 47,4; 27,8; 16,6; 31,4; 29,3; 49,1; 25,9; 34,9;
14,5; 40,8; 50,4; 43,7; 11,7; 16,6; 37,7; 30,8; 39,6; 31,1;
33,9; 30,1; 42,1; 43,8; 29,6; 33,8; 37,7;19,1; 43,0; 46,0;
18,4; 23,8; 44,7; 21,7; 36,1; 33,3; 35,5; 28,2; 51,2; 43,5;
16,4; 20,6; 44,0; 50,3; 18,9; 35,6; 15,6; 39,2; 23,6; 28,1.
Вариант 41.
35,1; 23,9; 36,1; 31,2; 37,3; 27,6; 24,0; 35,5; 30,3; 30,9;
17,3; 21,3; 30,1; 28,3; 32,0; 26,5; 35,3; 22,5; 31,8; 19,3;
18,5; 25,4; 24,1; 37,5; 13,1; 31,3; 25,0; 23,0; 26,5; 25,6;
22,9; 29,0; 35,9; 6,0; 34,4; 26,3; 44,0; 27,1; 17,7; 20,2;
26,6; 40,7; 43,2; 24,5; 27,8; 26,0; 24,8; 26,9; 31,3; 31,6;
32,8; 41,3; 37,6; 27,8; 24,7; 20,7; 304; 11,2; 9,8; 22,3;
38,3; 36,8; 26,4; 43,5; 30,6; 27,0; 28,1; 19,3; 35,9; 22,8;
16,0; 45,6; 31,1; 40,3; 27,8; 25,5; 27,8; 25,7; 23,2; 18,5;
37,8; 30,1; 19,9; 31,8; 29,2; 34,7; 19,9; 38,1; 31,2; 38,0.
Вариант 42.
4,4; 16,3; 34,3; 31,1; 36,8; 25,0; 32,9; 21,7; 31,6; 24,4;
21,4; 24,2; 30,9; 26,4; 24,6; 32,9; 33,4; 25,2; 32,5; 24,7;
28,9; 32,5; 26,2; 11,3; 24,8; 25,1; 39,2; 30,4; 45,8; 23,6;
30,3; 34,0; 25,7; 36,2; 18,3; 19,9; 26,1; 19,0; 20,4; 38,0;
21,4; 25,8; 28,7; 32,6; 21,1; 35,6; 35,3; 26,3; 17,4; 18,9;
23,7; 24,3; 46,0; 41,6; 29,4; 49,1; 20,5; 21,9; 36,0; 27,5;
34,0; 421,0; 35,7; 38,5; 33,0; 30,1; 21,2; 20,1; 36,1; 38,2;
31,9; 32,5; 20,3; 26,4; 18,6; 22,2; 32,0; 45,6; 36,5; 40,1;
30,7; 24,8; 36,4; 32,6; 28,2; 32,3; 12,5; 33,1; 27,3; 49,3.
Вариант 43.
26,2; 23,2; 35,6; 26,8; 33,7; 25,7; 26,1; 23,6; 23,7; 38,6;
25,6; 42,1; 27,5; 36,7; 13,1; 30,9; 32,8; 3,4; 20,1; 25,6;
36,1; 17,7; 25,4; 35,8; 33,8; 19,7; 16,9; 36,3; 22,5; 27,5;
32,0; 16,6; 25,9; 24,1; 30,8; 23,8; 25,4; 23,0; 28,7; 17,4;
30,1; 25,0; 33,2; 26,4; 21,0; 24,4; 25,4; 10,3; 22,9; 32,8;
30,1; 41,7; 25,7; 35,8; 37,3; 36,7; 19,5; 27,8; 19,5; 24,2;
19,2; 22,9; 52,9; 39,1; 48,6; 24,1; 34,3; 47,5; 34,4; 36,7;
303
35,5; 37,3; 29,5; 31,1; 22,5; 22,4; 34,7; 29,9; 39,7; 25,4;
42,3; 20,9; 44,3; 25,2; 26,8; 35,3; 28,5; 35,9; 50,0; 17,3.
Вариант 44.
0,286; 0,499; 0,251; 0,103; 0,178; 0,173; 0,367; 0,333;
0,432; 0,161; 0,105; 0,038; 0,114; 0,095; 0,177; 0,078;
0,025; 0,188; 0,416; 0,143; 1,617; 0,677; 0,162; 0,152;
0,017; 0,021; 0,187; 0,294; 1,065; 1,286; 1,587; 0,022;
0,278; 0,888; 0,294; 1,104; 0,225; 0,305; 0,422; 0,108;
0,758; 0,023; 0,089; 0,004; 0,345; 0,116; 0,162; 0,143;
0,320; 0,321.
Вариант 45.
4,490; 3,266; 1,227; 1,190; 3,157; -1,325; 1,830; 1,354;
0,063; 0,775; 2,771; 1,183; 4,415; 4,015; -0,015; 3,591;
6,382; 5,543; 3,889; 1,421; 3,972; 4,838; 2,073; 1,311;
-0,266; 0,160; 5,405; 4,203; 5,003; 2,172; 3,870; 4,373;
4,062; 2,936; 3,813; 3,876; 3,125; 4,376; -0,821; 1,518;
3,873; 1,196; 3,338; 1,849; 2,363; -0,754; 6,582; 1,836;
4,727; 1,170.
Вариант 46.
0,776; 0,760; 1,296; 0,777; 0,547; 1,540; 0,107; 1,135;
0,129; 1,149; 0,125; 0,193; 1,210; 0,234; 0,064; 0,956;
0,578; 2,630; 0,550; 0,589; 2,205; 1,082; 1,377; 0,770;
0,649; 0,044; 0,691; 0,591; 0,314; 0,442; 1,603; 1,285;
0,291; 1,380; 0,770; 0,649; 0,044; 0,691; 0,591; 0,314;
0,442; 1,603; 1,285; 0,291; 1,380; 1,188; 0,714; 0,968;
0,617; 0,602; 0,078; 0,152; 0,408; 3,130; 0,379; 3,408;
0,250; 0,815; 0,588; 0,342; 0,654.
Вариант 47.
0,302; 3,225; 5,335; 3,813; 4,294; 1,144; 2,813; 6,485;
6,526; 2,936; 4,772; 4,515; 3,445; 1,560; -1,139; 3,798;
2,2874 5,596; 5,274; 1,320; 2,304; 1,684; 5,884; 0,820;
3,391; -0,485; 3,275; 3,404; 2,718; 1,218; -0,060; -1,042;
5,612; 3,001; 2,392; 0,970; 7,183; -1,502; 3,084; 1,221;
4,724; 0,561; 1,218; 3,878; 2,906; 3,937; 4,154; 0,740;
2,145; 5,553.
Вариант 48.
1; 1; 4; 2; 1; 5; 2; 2; 6; 4; 3; 5; 3; 4; 3; 3; 1; 6; 3; 3; 6; 3;
1; 0; 2; 2; 1; 3; 3; 2; 3; 1; 0; 4; 2; 2; 2; 5; 2; 2; 4; 3; 3; 2;
3; 6; 5; 0; 2; 3.
304
Вариант 49.
-2,696; 7,039; 1,875; 4,348; 3,189; 6,850; 4,063; 6,095;
4,497; 4,901; -0,784; 2,954; 0,243; 2,353; 6,465; 6,946;
0,979; 5,465; 3,503; 0,727; 1,232; 4,607; 4,350; 0,463;
-1,422; 4,330; 0,816; 2,122; 5,431; 5,109; 1,944; 2,139;
1,519; 2,902; 3,471; 3,226; 4,983; 0,293; 0,422; 2,553;
5,577; 5,409; 4,427; 5,447; 2,836; 7,861; 3,621; 4,201;
3,967; 2,919.
Вариант 50.
0,007; 0,546; 0,121; 0,050; 0,666; 0,418; 0,009; 0,363;
0,341; 0,240; 1,188; 0,606; 0,588; 0,181; 1,741; 0,062;
0,098; 0,435; 0,704; 0,071; 0,007; 0,469; 0,106; 0,105;
0,017; 0,083; 1,933; 1,404; 0,313; 2,101; 0,621; 0,358;
0,446; 0,238; 0,183; 0,812; 0,177; 0,122; 0,001; 0,036;
0,701; 1,217; 0,077; 1,045; 0,390; 0,420; 0,244; 0,277;
0,062; 1,086.
Вариант 51.
5,056; -1,417; 2,563; 2,912; 2,447; 6,801; 1,890; 4,616;
0,893; 1,990; 2,671; 1,468; 2,268; 5,071; 1,426; -0,217;
2,960; -0,311; 1,237; 1,971; 4,616; 0,233; 3,487; 5,926;
1,918; 5,546; -0,091; 4,725; 5,910; 0,647; 3,848; 1,919;
4,810; 1,252; 5,331; 2,962; 2,596; 7,049; -0,579; 5,062;
1,776; 2,301; 7,646; 0,908; 1,807; 4,709; 1,162; 2,436;
0,078; 2,539.
Вариант 52.
0,415; 0,643; 0,593; 0,613; 0,681; 0,397; 0,030; 0,203;
0,095; 0,307; 0,064; 0,216; 0,537; 0,003; 0,461; 0,136;
0,878; 0,164; 0,860; 0,203; 0,285; 0,582; 0,195; 0,849;
0,263; 0,436; 0,495; 0,541; 0,301; 0,124; 0,901; 0,132;
0,747; 0,098; 0,160; 0,533; 0,966; 0,187; 0,815; 0,826;
0,821; 0,025; 0,277; 0,988; 0,354; 0,600; 0,579; 0,765;
0,643; 0,130; 0,170; 0,614; 0,936; 0,238; 0,734; 0,392;
0,602; 0,463; 0,701; 0,667; 0,915; 0,761; 0,931; 0,150;
0,768; 0,761.
Вариант 53.
5,570; 4,962; 6,356; 6,936; 3,885; 5,653; 0,973; 1,113;
0,439; 7,401; 5,039; 1,250; 5,098; 2,498; 1,901; 3,306;
3,897; 3,674; 2,636; 0,784; 1,795; 3,277; 1,129; 3,799;
305
2,839; 6,698; 1,192; 0,705; 4,938; 2,723; 2,881; 6,817;
1,489; 3,796; 5,289; 3,151; 3,016; 4,884; 0,303; 6,175;
1,255; 2,011; 1,953; 1,081; 2,211; -0,290; 2,028; 3,533;
7,039; 6,915.
Вариант 54.
0,247; 0,576; 0,155; 0,334; 1,042; 0,712; 0,497; 2,256;
0,049; 0,276; 0,211; 0,217; 0,259; 0,005; 0,245; 0,111;
0,630; 0,312; 1,001; 0,173; 0,736; 1,292; 0,219; 0,426;
0,038; 0,068; 0,133; 0,920; 0,230; 0,157; 0,284; 0,891;
0,212; 0,274; 0,341; 0,032; 0,227; 0,030; 0,222; 1,024;
0,309; 0,038; 0,030; 0,973; 0,016; 0,856; 0,825; 0,232;
0,005; 0,009.
Вариант 55.
2,470; 1,322; 2,177; 5,035; 4,261; 5,491; 3,089; 2,689;
7,110; 5,082; 3,716; 5,022; -0,120; 2,374; 1,238; 2,104;
2,156; 4,210; 2,634; 3,059; 6,474; 4,601; 4,729; 1,227;
2,544; 3,047; 2,736; 7,244; 8,121; 2,550; 3,704; 1,467;
4,050; 5,818; 3,955; 4,095; 0,604; 4,749; 2,446; 2,145;
2,447; -0,154; 4,883; 3,471; 4,062; 3,839; 5,618; 3,766;
1,100; 6,071.
Вариант 56.
0,300; 0,565; 0,573; 0,924; 0,843; 0,182; 0,746; 0,889;
0,127; 0,436; 0,415; 0,291; 0,674; 0,930; 0,948; 0,205;
0,801; 0,461; 0,205; 0,677; 0,390; 0,193; 0,563; 0,600;
0,971; 0,935; 0,306; 0,437; 0,302; 0,502; 0,447; 0,341;
0,246; 0,887; 0,615; 0,406; 0,314; 0,577; 0,520; 0,367;
0,969; 0,802; 0,720; 0,003; 0,693; 0,389; 0,318; 0,330;
0,448; 0,480; 0,086; 0,368; 0,050; 0,483; 0,895; 0,410;
0,352; 0,197; 0,045; 0,621; 0,469; 0,935; 0,472; 0,433;
0,792; 0,151.
Вариант 57.
2,273; 1,742; 3,213; 3,870; 0,896; 2,741; 3,772; 3,989;
6,209; 1,980; 1,891; 0,996; 4,921; 2,398; 4,695; 6,177;
4,028; 3,882; 5,738; 3,963; 5,838; 1,763; 5,325; 2,439;
4,372; 2,675; 2,980; -0,347; 3,963; 1,825; 4,256; 2,635;
3,017; 2,585; 4,155; 4,911; -0,781; 1,163; 2,293; -0,208;
4,187; 2,203; 2,222; 4,243; 2,633; 3,026; 5,422; -1,448;
4,953; 7,723.
Вариант 58.
306
0,569; 1,986; 3,399; 0,136; 1,526; 0,546; 0,582; 0,340;
0,438; 0,138; 1,536; 0,089; 1,414; 0,450; 0,336; 3,986;
1,454; 0,254; 1,104; 0,920; 0,733; 0,084; 0,366; 1,312;
1,517; 2,112; 0,530; 2,075; 0,976; 0,206; 0,542; 0,418;
1,593; 0,275; 0,098; 1,227; 0,978; 0,298; 0,025; 0,308;
0,870; 1,728; 2,277; 0,250; 0,271; 0,453; 0,101; 1,308;
1,779; 1,401.
Вариант 59.
6,259; 4,110; 3,964; 0,187; 4,046; 1,457; 0,870; 5,103;
0,072; 2,676; 1,349; 1,653; 1,144; 2,637; 3,316; -2,453;
5,049; 6,102; 0,707; 2,948; 4,993; 7,752; 4,063; 2,376;
-0,125; 2,193; 0,881; 1,571; 1,446; 0,508; 4,517; 4,098;
2,860; 3,627; 0,763; 5,535; -1,774; 4,186; -1,935; -0,419;
1,329; 6,178; 4,579; 2,166; 1,756; 3,348; 4,126; 1,273;
0,422; 4,391.
Вариант 60.
0,528; 0,231; 0,220; 0,594; 0,080; 0,028; 0,803; 0,236;
0,452; 0,803; 0,263; 0,433; 0,122; 0,819; 0,322; 0,606;
0,272; 0,546; 0,586; 0,444; 0,356; 0,548; 0,870; 0,798;
0,776; 0,685; 0,545; 0,207; 0,146; 0,463; 0,535; 0,287;
0,988; 0,739; 0,266; 0,919; 0,111; 0,325; 0,259; 0,642;
0,822; 0,776; 0,024; 0,012; 0,469; 0,373; 0,323; 0,543;
0,376; 0,861; 0,463; 0,784; 0,048; 0,106; 0,048; 0,490;
0,547; 0,070; 0,535; 0,042; 0,440; 0,041; 0,779; 0,130;
0,196; 0,701.
Вариант 61.
3; 3; 4; 2; 2; 2; 3; 5; 2; 2; 5; 1; 1; 1; 2; 0; 4; 5; 1; 2; 3; 0;
6; 3; 5; 5; 5; 2; 1; 7; 4; 3; 3; 5; 3; 0; 4; 2; 2; 2; 5; 2; 3; 4;
5; 2; 3; 3; 2; 2.
Вариант 62.
5,098; 1,980; 0,866; 4,571; 1,828; 1,087; -0,467; 5,614;
2,431; 4,067; 3,752; 3,089; 4,428; 4,953; 4,664; 0,743;
1,642; 1,727; 3,814; 2,271; 2,511; 1,485; 2,461; 2,623;
4,787; 3,320; 1,039; 3,578; 2,485; 6,212; -0,034; 4,210;
2,006; 4,622; 4,787; 3,320; 1,039; 3,578; 2,485; 6,212;
-0,033; 4,210; 2,006; 4,622; 0,790; 1,777; 4,766; 4,125;
5,486; 6,033; 0,343; 4,224; 4,474; 1,092; 5,348; 3,155;
2,964; 1,959; 5,775; 3,142.
307
Вариант 63.
0,698; 0,415; 0,336; 0,026; 0,208; 0,087; 0,542; 0,316;
0,031; 0,360; 0,040; 0,560; 0,749; 0,513; 0,832; 0,424;
0,324; 0,018; 0,196; 0,085; 0,446; 1,038; 0,142; 0,141;
0,156; 0,672; 0,097; 1,081; 0,183; 0,022; 0,044; 0,103;
0,690; 0,159; 0,079; 0,534; 0,283; 1,087; 0,168; 0,122;
0,009; 0,094; 0,430; 0,747; 0,067; 0,006; 0,600; 0,020;
0,043; 0,200.
Вариант 64.
-0,761; 1,161; 2,269; 2,563; 7,677; 0,708; 4,193; 1,230;
3,086; -1,505; 3,186; 4,745; 2,673; 2,604; 4,537; 5,657;
3,145; 5,452; 1,312; 1,991; 4,421; -0,016; 3,182; 5,566;
4,319; 5,076; 2,201; 1,328; 5,275; 2,774; 1,535; 5,185;
5,203; 4,408; 5,615; 0,374; 2,770; 7,168; 2,301; 2,2054;
4,387; 2,040; 4,513; 3,354; 4,198; 4,228; 0,627; 7,479;
2,249; 1,838.
Вариант 65.
0,483; 0,936; 0,818; 0,355; 0,396; 0,418; 0,522; 0,432;
0,500; 0,701; 0,635; 0,247; 0,719; 0,515; 0,736; 0,107;
0,980; 0,329; 0,756; 0,485; 0,368; 0,881; 0,926; 0,759;
0,437; 0,935; 0,854; 0,419; 0,482; 0,518; 0,627; 0,535;
0,593; 0,517; 0,928; 0,330; 0,573; 0,132; 0,109; 0,228;
0,841; 0,922; 0,073; 0,520; 0,640; 0,723; 0,567; 0,898;
0,065; 0,045; 0,439; 0,471; 0,993; 0,480; 0,032; 0,543;
0,266; 0,145; 0,781; 0,399; 0,851; 0,611; 0,781; 0,086;
0,876; 0,127.
Вариант 66.
2,232; 0,116; 5,637; 1,893; 5,785; 0,412; 5,492; 4,124;
-0,874; 4,580; 4,226; 1,747; 6,905; -0,020; 3,509; 3,407;
-0,326; 6,394; 1,032; 3,306; 4,617; 2,074; 4,052; -0,419;
2,747; 2,282; 1,002; 1,725; -1,183; 3,545; 0,077; -0,311;
6,937; 4,920; 2,089; -1,556; 2,435; 2,795; 2,340; 1,072;
-0,432; 4,451; 2,885; 3,322; 2,944; 4,570; 2,564; 5,378;
1,743; 0,111.
Вариант 67.
0,157; 0,587; 0,325; 0,031; 1,007; 0,199; 1,036; 1,360;
1,388; 0,189; 0,714; 0,052; 0,453; 0,572; 0,767; 0,204;
0,720; 0,345; 1,748; 0,468; 0,056; 0,724; 1,046; 1,017;
308
0,095; 0,122; 0,282; 0,141; 0,047; 0,249; 0,406; 0,589;
0,037; 0,068; 0,168; 1,879; 0,499; 0,569; 0,400; 0,559;
0,677; 0,149; 0,186; 0,201; 0,690; 2,438; 0,339; 0,567;
1,948; 0,876.
Элементы корреляционно-регрессионного анализа
В математическом анализе рассматривается связь между величинами, которую называют функциональной. В этом случае величина y
определена вполне значениями x, z,..., u , т.е. y  f ( x, z ,...u ) . Функциональная связь может существовать и между случайными величинами.
Но между случайными величинами может существовать связь и другого рода, заключающаяся в том, что одна из них реагирует на изменение другой изменениями своего закона распределения. Такую связь
называют стохастической или вероятностной. Таким образом, если
X и Y связаны вероятностной зависимостью, то зная значение одной
случайной величины, нельзя точно указать, какое значение примет
другая величина, а можно указать только закон ее распределения, зависящий от другой случайной величины.
Вероятностная зависимость может быть более или менее тесной;
при увеличении степени тесноты вероятностной связи она все более и
более приближается к функциональной, таким образом, функциональную зависимость можно рассматривать как предельный, крайний
случай вероятностной зависимости. Другой крайний случай – полная
независимость случайных величин. Между этими двумя «полюсами»
находятся все степени вероятностной зависимости – от самой слабой
до самой сильной. Наиболее простым и имеющим важное практическое значение видом вероятностной зависимости является корреляционная зависимость.
Корреляционная зависимость между двумя случайными величинами выражается в том, что на изменения одной случайной величины
другая случайная величина реагирует изменениями своего математического ожидания:
M (Y
X x
)  f ( x)
(9.36)
)  f ( y) .
(9.37)
или
M (Y
Xy
309
Уравнение (9.36) называют уравнением регрессии случайной величины Y относительно X или уравнением регрессии Y на X . Соответственно уравнение (9.37) есть уравнение регрессии X и Y .
Таким образом, чтобы изучить корреляционную связь, нужно
знать условное математическое ожидание случайной величины. В
свою очередь для этого необходимо знать аналитический вид двумерного распределения  X ;Y  , который зачастую неизвестен. Поэтому
идут на упрощение и переходят от условного математического ожидания случайной величины к условному среднему значению, то есть
принимают, что
M (Y
)  yx
(9.38)
)  xy .
(9.39)
X x
или
M (X
Yy
Тогда из формул (9.36) и (9.38) называемое эмпирическое уравнение (эмпирическую функцию) регрессии Y на X :
f ( x)  y x .
(9.40)
Аналогично из (9.37) и (9.39) имеем эмпирическую функцию регрессии Y на X :
g ( x)  x y .
(9.41)
Вопрос о том, что принять за зависимую переменную, а что за независимую, следует решать применительно к каждому конкретному
случаю. При изучении корреляционных связей возникает три основных вопроса: наличие связи, форма связи и сила связи.
Допустим, что проведено n испытаний и при каждом отмечались
значения двух случайных величин. В результате получатся n пар выборочных значений  x1 , y1 ,  x2 , y 2 ,..., xn , y n  . Для наглядности эти
пары значений можно рассматривать как координаты точек на
310
плоскости. Образовавшуюся совокупность точек обычно называют
полем корреляции. Поле корреляции дает представление о силе корреляции. На рис 9.8 приведены примеры совокупностей точек, соответствующих сильной (а), слабой (б) корреляции и полному ее отсутствию (в).
y
y
 
  
 


0

 


 

 

 

x
0
y
   
 

б)
а)
x
0
в)
Рис. 9.8. Возможные варианты корреляционного поля
Кроме того, по расположению точек на поле корреляции можно в
первом приближении сделать предположение о форме и тесноте корреляционной связи.
Пусть сделано предположение о форме корреляционной связи
(линейная, квадратичная, экспоненциальная и т.д.), тем самым можно
записать аналитический вид функции f (x) из уравнения (9.40), пока с
неопределенными коэффициентами. Для линейной зависимости будем иметь
y ( x)  a0  a1 x .
(9.42)
Для квадратичной зависимости
y ( x)  a0  a1 x  a2 x 2 .
Для экспоненциальной зависимости
y ( x)  a0ea1x .
Для обратно пропорциональной зависимости
311
(9.43)
(9.44)
y ( x )  a0 
a1
.
x
(9.45)
Во всех уравнениях (9.42) – (9.45) a0 , a1 , a2 - коэффициенты регрессии; x - независимая случайная переменная.
Неизвестные коэффициенты регрессии находят исходя из принципа наименьших квадратов. Согласно принципу наименьших квадратов, наилучшее уравнение приближенной регрессии дает та функция из рассматриваемого класса (линейных, квадратичных и т.д.)
функций, для которой сумма квадратов
2
n
S    yi  f ( xi )
(9.46)
i 1
имеет наименьшее значение. В формуле (9.46) функция f (x) записана
со всеми неопределенными коэффициентами a0 , a1 , a2 ,…; yi - измеренное значение y .
Величину S теперь можно рассматривать как функцию от этих
неопределенных коэффициентов. Задача состоит в том, чтобы найти
набор коэффициентов a0 , a1 , a2 ,…, минимизирующий величину S. В
математической статистике, как правило, рассматриваются функции
f (x) , дифференцируемые по всем своим коэффициентам. При этом
условии отыскание минимизирующего набора коэффициентов превращается в несложную задачу математического анализа.
Как известно, необходимым условием минимума дифференцируемой функции многих переменных S ( a0 , a1 , a2 ,...) является выполнение равенства
S
S
S
 0;
 0;
 0;... .
a0
a1
a2
Эти равенства можно рассматривать как уравнения относительно
a0 , a1 , a2 ,…; в математической статистике они называются нормальными уравнениями. Так как S  0; при любых a0 , a1 , a2 ,…; то у нее
обязательно должен существовать хотя бы один минимум.
Поэтому если система нормальных уравнений иметь единственное
решение, то оно и является минимальным для величины S.
312
Используя правила дифференцирования, получим систему нормальных уравнений
f ( xi )
n


2
y

f
(
x
)
 0;

i
i
i1
a0

f ( xi )
n
 0;
  2 yi  f ( xi )

a
0
i1
........................................


или
f ( xi )
 n f ( xi ) n
y

f
(
x
)
 0;


i
i1 i a

a
i

1
0
0

f ( xi )
 n f ( xi ) n
y

f
(
x
)
 0;


 i
i

a

a
i

1
i

1
0
1

..................................................


Покажем, как составляются нормальные уравнения для случая
линейной регрессии (9.42). Отметим, что линейная форма связи занимает особое место в теории корреляции. Можно показать, что линейная регрессия обуславливается двумерным нормальным законом
распределения пары случайных величин  X ;Y  .Уравнение (9.46) для
случая линейной формы связи между случайными переменными приобретает вид
n
S   ( yi a0  a1 x ) 2 .
i 1
Согласно вышеизложенному алгоритму получения системы нормальных уравнений, находим частные производные функции S по a0 и
a1 и приравниваем их к нулю.
n
 S


2
( yi  a0  a1 xi ) 0;

 a
i 1
 0

n
 S  2  ( y  a  a x ) x 0.
i
0
1 i i
 a1
i 1
313
После небольших преобразований получим
 n y  n a  n a x 0;
 0  1 1
i
i
1
i 1
i 1
n
n
n
  yi xi   a0 xi   ai xi2 0.
i 1
i 1
i 1
Величины a0 и a1 являются постоянными, поэтому их можно выn
нести за знак суммы;  a0 есть не что иное, как na0 . В результате
i 1
имеем
na  a n x  y ;
 i
i
 0 1 i
1
 n
n
n
a0  xi  a1  xi2   yi xi .
 i 1
i 1
i 1
(9.47)
Решая систему нормальных уравнений (9.47), получим значения
коэффициентов регрессии
n
n
n
n
 yi  xi2   xi  yi xi
i 1 i 1
a0  i 1 i 1
n
n
n  xi2  (  xi ) 2
i 1
;
(9.48)
i 1
n
n
n
n  yi xi   xi  yi
i 1 i 1 .
a1  i 1
n
n
n  xi2  (  xi ) 2
i 1
(9.49)
i 1
Получим систему нормальных уравнений для уравнения регрессии вида (9.43). Согласно (9.46) имеем
n
S   ( yi a0  a1 xi  a2 xi2 ) 2 .
i 1
314
В этом случае
f ( x )
f ( x)
f ( x)
 1;
 x;
 x2 ,
a 0
a1
a2
поэтому система нормальных уравнений имеет вид
n
n
2
y

  i  ( a0  a1 xi  a 2 xi )  0;
i 1
i 1
n
2
3
  yi xi   ( a 0  a1 xi  a 2 xi ) 0;
i 1
n
2
2
3
4
  yi xi   ( a0 xi  a1 xi  a 2 xi )  0.
i 1
или
 na  a n x  a n x 2  n y ;
 i
0
1 i
2 i

i 1
i 1
i 1
 n
n
n
n

2
3
a0  xi  a1  xi  a2  xi   xi yi ;
i 1
i 1
i 1
 i 1
n
n
n
n

2
3
3
xi  a1  xi  a2  xi   xi2 yi .
a0 i
1
i 1
i 1
i 1
Полученная система линейна относительно неизвестных коэффициентов a0 , a1 , a2 , ее нетрудно решить, пользуясь известными методами, например, по формулам Крамера или методом Гаусса.
Для уравнения регрессии вида (9.45) согласно (9.46) имеем
2

a 
S    y i  a0  1  .
xi 
i 1 
n
Дифференцируя последнее равенство по a0 и a1 , получим
n
S
a
 2  ( yi  a0  1 );
a0
xi
i 1
315
a 1
S
 2 ( yi  a0  i ) .
a0
xi xi
Приравниваем каждое из уравнений нулю, получим следующую
систему нормальных уравнений:
1
  yi ;
i 1 xi
n 1
n 1
n y
a0   a1  2   i .
i 1 xi
i 1 xi
i 1 xi
n
na0  a1 
Эта система относительно неизвестных a0 и a1 также линейна.
Для суждения о степени тесноты связи между случайными величинами чаще всего используют коэффициент корреляции r или корреляционное отношение  . Возможность измерения тесноты связи
между случайными величинами с помощью коэффициента корреляции и корреляционного отношения следует из свойств этих показателей, приведенных ниже:
1. Если коэффициент корреляции r  1 , то x и y связаны точной
прямолинейной связью вида y  a0  a1 x или x  b0  b1 y .
2. Если r  0 , между x и y не существует прямолинейной корреляционной связи, но криволинейная возможна.
3. Чем ближе r к ±1, тем точнее прямолинейная корреляционная
связь между x и y . Она ослабевает с приближением r к 0.
4. Если корреляционное отношение Y  0 , то между x и y нет
X
корреляционной связи.
5. Если Y  1, то y связано с x однозначной связью, то есть всяX
кому значению x соответствует одно определенное значение y
(функциональная связь).
6. Чем ближе Y к единице, тем теснее связь между x и y ; чем
X
ближе Y
7. Если Y
к нулю, тем слабее эта связь.
X
 r , то регрессия y по x точно линейна и обратно:
X
если регрессия y по x точно линейна, то Y
316
 r.
X
Оценка r  коэффициента корреляции по выборке может быть
найдена по формуле
1 n
 xi  x yi  y

n
i 1
r 
SxSy



(9.50)
или
1
 xi yi  x y
n

r 
.
Sx S y
(9.51)
1 n
1 n
 xi ; y   yi - средние всех наблюдений xi и yi ; S x , S y n i 1
n i 1
выборочные средние квадратические отклонения случайных величин
x и y соответственно.
где x 
При малом числе наблюдений r  удобно вычислять по формуле

r 
n
n
n
i 1
i 1
i 1
n  xi yi   xi  yi

n xi2   xi
2

n
n
n  yi2    yi 
i 1
 i 1 
2
.
(9.52)
Отметим, что если коэффициент корреляции положительный, то
связь между переменными положительная. Это значит, что с ростом
значений x увеличивается y . Если коэффициент корреляции имеет
отрицательное значение, то связь между переменными отрицательная,
то есть с ростом значений x величина y уменьшается.
Если коэффициент корреляции равен 0, то говорят, что случайные величины некоррелированы. Некоррелированность не следует
смешивать с независимостью, независимые случайные величины некоррелированы. Однако обратное утверждение неверно: некоррелированные случайные величины могут быть зависимы и даже функционально.
317
При отклонении исследуемой зависимости от линейного вида коэффициент корреляции r теряет свой смысл как характеристика степени тесноты связи. Более надежной характеристикой при этом оказывается корреляционное отношение Y , интерпретация которого не
X
зависит от вида исследуемой зависимости. Выборочное корреляционное отношение  Y X вычисляется по формуле
Y*
X
1 n
 mi yi  y
n
i 1
 k m
i
1
  yij  y
n i 1 j 1

2


2

S y2( x )
S y2
,
(9.53)
где числитель S y2( x ) характеризует рассеяние частных средних
yi 
1 mi
1 k
 yij около своего общего среднего y   mi y i , а знаменаmi j 1
n i 1
тель – дисперсия S y2 индивидуальных результатов наблюдений относительно общего среднего y . Аналогично определяется выборочное
значение  *X .
Y
В отличие от коэффициента корреляции корреляционное отношение несимметрично по отношению к исследуемым переменным, то
есть Y ≠ X . Отметим, что между Y и  X нет какой-либо проX
Y
X
Y
стой зависимости. Некоррелированность Y с X (то есть равенство нулю величины Y ) не влечет за собой непосредственно некоррелироX
ванность Y с X.
Величина Y*
- r используется в качестве отклонения зависиX
мости от линейной, т.к. обычно (Y* ) 2 > r 2 , ( *X ) 2 > r 2 и лишь в слуX
2
Y
чае линейной зависимости r 2 = (Y* ) = ( *X ) 2 .
X
Y
Замечание. Из теории вероятностей известно, что характеристикой связи (линейной) между случайными величинами Y и X служит
коэффициент корреляции
318
r
K xy
 x y
,
где K xy  M  X  MX Y  MY  - корреляционный момент;  x ,  y средние квадратические отклонения случайных величин X и Y соответственно.
Тогда очевидно, что числитель в формуле (9.50) есть оценка корреляционного момента [cм. (9.6)], т.е. выборочный корреляционный
момент K  xy . Для небольших выборок рекомендуется использовать
несмещенную оценку
1 n
~
K  xy 
 xi  x yi  y ,
n  1 i 1



(9.54)
а выборочные средние квадратические отклонения случайных величин X и Y вычислять по формуле (9.8).
Числитель в формуле (9.50) достаточно просто преобразуется к
выражению в числителе формулы (9.51). Чаще используется формула
(9.51) для вычисления величины r  , поэтому для получения несмещенной оценки выборочного корреляционного момента, стоящего в
числителе формулы (9.51), рекомендуется вычисленный числитель
n
умножить на
, величины S x и S y определить по формуле (9.8).
n 1
При корреляционном анализе необходимо оценить достоверность
связи между переменными, то есть выяснить, не объясняется ли величина коэффициента корреляции, полученная по выборочным данным,
случайностями выборки. Для этого оценивается значимость (существенность) коэффициента корреляции. Проверяется гипотеза H 0 о том,
что r =0, альтернативной является гипотеза H 1 : при r ≠0.
В случае совместной нормальной распределенности исследуемых
переменных и при достаточно большом объеме выборки n распределение r  можно считать приближенно нормальным со средним, равным своему теоретическому значению r и дисперсией
1  r 

2 2
 r2
n
319
.
Оценка для  r вычисляется по формуле
1  r 2
 r  Sr 
.
n
(9.55)
r  r
Можно доказать, что в указанной ситуации величина t 
r
имеет приближенно нормальное распределение с математическим
ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Поэтому
проверка значимости (или существенности) коэффициента корреляr
ции сводится к следующему: вычисляется значение t 
, которое
r
затем сравнивается с найденным по табл. П.2 для заданной вероятноp
сти значением t p .
2
Если t < t p , то принимается гипотеза H 0 , то есть коэффициент
корреляции считать существенным нельзя и его отклонение от нуля
обусловлено неизбежными случайными колебаниями выборки. Если
t > t p , то гипотеза H 0 отвергается и коэффициент корреляции можно
считать существенным, а связь между случайными величинами X и Y
достоверной.
Однако следует учитывать, что при малых значениях n и значениях r , близких k ±1, это приближение оказывается очень грубым.
Пример 6. Результаты наблюдений двумерной случайной величины (Y; X) представлены в табл. 9.9.
Таблица 9.9
320
Y\X
34
38
42
46
50
mi
20
4
4
25
2
5
7
30
3
5
2
10
35
40
45
45
8
4
57
5
7
7
19
3
3
mj
6
8
55
17
14
100
Необходимо:
1) вычислить групповые средние xi и y j и построить по ним ломаные эмпирических линий регрессии; 2) предполагая, что между
переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость:
а) найти уравнение прямых регрессий и построить их графики на
том же чертеже, на котором изображены ломаные по групповым
средним;
б) вычислить коэффициент корреляции, на уровне значимости   0,05 оценить его существенность и сделать вывод о
тесноте и направлении связи;
в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить
среднее значение величины Y для x  38 .
Пояснения к табл. 9.9.
В последнем столбце таблицы представлены частоты mj появлений значений y j , j  1;5 ; в последней строке таблицы представлены
частоты mi появлений значений x j , i  1;6 ; на пересечении строк и
столбцов представлены частоты nij появлений пары xi , y j  . Объем
выборки, как видно из таблицы, n  100 .
Вычисляем групповые средние xi и y j .
Для x = 20 y1 
34  4
 34;
4
для x = 25 y 2 
34  2  38  5
 36,86;
7
для x = 30 y3 
38  3  42  5  46  2
 41,6;
10
321
для x = 35 y 4  43,12;
для x = 40 y5  46,42;
для x = 45 y6  50.
Составляем табл. 9.10.
x
20
25
30
35
yj
34
36,86
41,6
43,12
Таблица 9.10
40
45
46,42
50
На рис. 9.9 представлена ломаная эмпирической линии регрессии
Y по X. Так как объем выборки велик, то эта ломаная более наглядно
представляет тенденцию изменения значений Y при изменении значений X, чем корреляционное поле.
По виду ломаной можно предположить наличие линейной корреляционной зависимости между переменными X и Y.
y
y
50
45
40
35
30
10
20
30
40
50
Рис. 9.9. Ломаная линия регрессии по групповым средним
график уравнения регрессии Y по X
x x
;
Уравнение регрессии ищем в виде y x  a0  a1 x. Коэффициенты
a0 , a1 найдем из системы нормальных уравнений. С учетом частностей появления значений переменных система (9.47) принимает вид
na0  a1  xi mi   y j m j ;
i
322
j
a0  xi mi  a1  mi xi2   mij y j xi .
i
i
ij
Составляем расчетную таблицу для определения коэффициентов
при неизвестных a0 ,a1 в системе нормальных уравнений.
Таблица 9.11
Y\X
20
25
34
38
42
46
50
mi
ximi
4
2
5
4
80
7
175
2
xi m j
1600
4375
30
35
40
45
mj
yjmi
yi2mj
204
304
2310
782
700
4300
6936
11552
97020
35972
35000
186480
10
300
45
8
4
57
1995
5
7
7
19
760
3
3
135
6
8
55
17
14
100
3445
9000
69825
30400
6075
121275
3
5
2
 x i y j mij
i
4420
8170
80850
28520
27750
149710
Пояснение к табл. 9.11:
5
 y j m j  y1m1  ...  y5 m5  34  6  38  8  42  55  46  17  50  14 
j 1
 204  304  2310  782  700  4300;
6
2
2
2
2
2
2
 y j m j  y1 m1  ...  y5 m5  34  6  38  8  42  55  46  17 
j 1
 50 2  14  6936  11552  97020  35972  3500  186480 ;
6
2
 xi mi  3445;  x i mi  121275.
i 1
Для первой строчки последнего столбца
 xi y1ni1  34  20  4  34  25  2  4420 ;
i
аналогично для строк со второй по пятую включительно
5
6
  xi y j nij  4420  8170  ...  27750  149710.
j 1 i 1
Подставляя данные из табл. 9.11 в систему нормальных уравнений, получим
323
100a0  3445a1  4300;
3445a0  121275a1  149710.
Решая эту систему, находим a0  22,089; a1  0,607, тогда уравнение регрессии Y по X имеет вид
(9.56)
y x  22,089  0,607x.
Строим график этой прямой по двум точкам:
при x  25 y x  22,089  15,175  37,264;
при x  45 y x  22,089  27,315  49,404.
Уравнение регрессии (9.56) дает возможность прогнозировать
значение (среднее) переменной Y в предположении, что независимая
переменная X примет определенное значение. Например, для x  38 из
уравнения (9.56) получим y  45,155.
Данные, приведенные в табл. 9.11, позволят определить уравнение регрессии X по Y. Находим аналогично предыдущему групповые
средние:
20  4  25  2
для y = 34 x1 
 21,67;
6
25  5  30  3
для y = 38 x2 
 26,875;
8
для y = 42 x3  35;
для y = 46 x4  36,47;
для y = 50 x5  39,64.
Составляем табл. 9.12.
y
xj
34
38
42
46
Таблица 9.12
50
21,67
26,87
35
36,47
39,64
Строим ломаную эмпирической линии регрессии (рис. 9.10).
x
50
40
30
20
324
Рис. 9.10. Ломаная линии регрессии по групповым средним
график уравнения регрессии X по Y
;
Уравнение регрессии для зависимости x y  g ( y ) ищем в виде
x y  b0  b1 y .
Система нормальных уравнений имеет вид
nb0  b1  y j mi   xi mi ;
j
i
b0  y j m j  b1  m j x 2j   mij y j xi .
j
j
ij
Исследуя данные табл. 9.11, имеем
100b0  4300b1  3445;
4300b0  186480b1  149710 .
Решая систему, получаем b0  8,414; b1  0,9968 . Уравнение
регрессии X по Y принимает вид x y  8,414  0,9968y .
График этой функции строим по двум точкам:
при y  40 x y  8,414  39,872  31,458;
при y  50 x y  8,414  49,84  41,426.
Коэффициент корреляции удобно вычислить по формуле (9.52),
все необходимые суммы получены в расчетной табл. 9.11.
325
2
 xi y j mij  149710;  xi mi  3445;  y j m j  4300;  xi mi  121275;
i, j
i
j
i
2
 y j m j  186480, n  100.
j
Тогда
r 
100  149710  3445  4300
 0,778 .
100  121275  11868025 100  186480  18490000
По формуле (9.55) найдем оценку среднеквадратического отклонения коэффициента корреляции:
r 
1  0,6058
 0,039 .
10
Зададимся доверительной вероятностью p  0,95 (уровень значиp
мости   1  p  0,05 ), и по табл. П.2. для  0,475 найдем значение
2
t p : t0,95  1,96.
Вычисляем величину
r
t 
r

0,778
 19,95.
0,039
Величина t p >> t0,95 (знак «>>» означает «значительно больше»),
поэтому можно сделать вывод о том, что между переменными X и Y
действительно существует линейная корреляционная зависимость.
Так как коэффициент корреляции r  0,778, то есть достаточно близок к единице, то эта зависимость может считаться вполне достаточно
тесной; положительный знак коэффициента корреляции указывает на
прямо пропорциональную зависимость, то есть с возрастанием значений, например, X значения Y также будут возрастать. Графики уравнений регрессии также подтверждают этот вывод.
326
При небольшом объеме выборки ( n  50 ) величина выборочного
коэффициента корреляции r  считается значимо отличной от нуля,


1
если выполняется неравенство r 2 > 1  n  2 / t2 , где t есть критическое значение t -распределения Стьюдента с n  2 степенями
свободы, соответствующее выбранному уровню значимости  . Поэтому для проверки значимости выборочного коэффициента корреляции вычисляется величина
t  r
n2
.
1  r 2
(9.57)
Для проверки нулевой гипотезы находят по табл. П.6 распределения Стьюдента для фиксированного уровня значимости  и числа
степеней свободы n  2 критическое значение t ; n  2 , удовлетворяющее условию P t  t ;n 2    . Если для tнабл [значения t , вычисленного по формуле (9.57)] выполняется tнабл  t ; n  2 , то нулевую гипотезу об отсутствии линейной зависимости между переменными X и
Y следует отвергнуть. Если же tнабл < t ; n  2 , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу о некоррелированности переменных X и Y.
Если же известно, что r  0 , то необходимо воспользоваться Zпреобразованием Фишера (не зависящим от r и n ):
1 1  r
Z  ln
.
2 1  r
Все вышеприведенные рассуждения и формулы, если подходить
достаточно строго, справедливы в предположении, что двумерное
распределение исследуемых переменных (X,Y) в генеральной совокупности предполагается нормальным или близким к нему.
Пример 7. В результате наблюдений получена выборка
(табл. 9.13).
X
Y
70
2,8
110
3,5
85
2,4
65
2,1
100
3,4
327
90
3,2
120
3,6
80
2,5
Таблица 9.13
130
110
4,1
3,3
Требуется построить корреляционное поле, найти уравнение регрессии, сделать вывод о тесноте связи между переменными (показателями) X и Y, оценить ожидаемое среднее значение Y при X  80.
y
5

4
3

2









110
120

1
60
70
80
90
100
130
x
Рис. 9.11. Корреляционное поле и прямая регрессия
На рис. 9.11 построено корреляционное поле.
Расположение точек корреляционного поля позволяет высказать
предположение о линейном виде корреляционной зависимости между
переменными X и Y. Найдем коэффициенты уравнения регрессии
y x  a0  a1 x.
Составим расчетную табл. 9.14.
Таблица 9.14
X
70
11
85
65
100
90
120
80
130
110
960
Y
2,8
3,5
2,4
2,1
3,4
3,2
3,6
2,5
4,1
3,3
30,9
X
2
4900
12100
7225
4225
10000
8100
14400
6400
16900
12100
96350
Y
2
7,84
12,25
5,76
4,41
11,56
10,24
12,96
6,25
16,81
10,89
98,97
В последней строке табл. 9.14 получены значения
328
XY
196
385
204
136,5
340
288
432
200
533
363
3077,5
10
 xi  960;
i 1
10
10
 yi  30,9;
i 1
10
x
2
i
10
y
 96350;
i 1
2
i
 98,97;
i 1
 xi yi  3077,5.
i 1
Получим [см (9.47)] систему нормальных уравнений
10a0  960a1  30,9;
960a0  96350a1  3077,5,
из которой следует a0  0,5445; a1  0,0265 [см. (9.48), (9.49)].
Тогда уравнение регрессии имеет вид:
y x  0,0265x  0,5445.
Cтроим прямую регрессии по точкам: при x  70 y x  2,3995;
x  120 y x  3,7245.
Прямая изображена на рис. 9.11.
Найдем по формуле (9.50) выборочный коэффициент
корре
ляции r .
Предварительно вычислим, учитывая (9.6),
x 
960
30,9
 96; y 
 3,09.
10
10
Используя формулу (7.14), найдем оценки выборочных дисперсий S 2 x и S 2 y по формуле
1
1
S 2   x 2 i  2 ( xi ) 2 .
n
n
Тогда
1
1
S x2  96350 
960 2  419,
10
100
аналогично
329
S y2 
1
1
98,97 
30,9 2  0,3489.
10
100
Выборочный корреляционный момент K  xy найдем по формуле
(9.54):
1
K  xy  3077,5  96  3,09  11,11.
10
Учитывая, что объем выборки небольшой, найдем несмещенные
оценки выборочных дисперсий и корреляционного момента, умножив
их вычисленные значения на величину
n
10
 ,
n 1 9
тогда
2
10
S x   419  465,5555;
9
S y2 
10
 0,3489  0,3877;
9
10
~
K  xy   11,11  12,3444.
9
По формуле (9.50), числитель которой есть выборочный корреляционный момент, получим
r 
12,3444
 0,9187.
465,5555  0,3877
Величина выборочного коэффициента корреляции говорит о достаточно тесной линейной зависимости между переменными X и Y.
Тем не менее проверим нулевую гипотезу. По формуле (9.57) найдем
10  2
величину t  0,9187
 6,579. Зададимся уровнем значимости
1  0,844
  0,05, доверительная вероятность p  1    0,95, число степеней
свободы n  2  10  2  8 . По табл. П.6 находим критическое значение
t0,05;8  2,31. Поскольку tтабл > t0,05;8 , то нулевую гипотезу об отсутст330
вии линейной зависимости надо отвергнуть и признать наличие достаточно близкой линейной корреляционной связи между переменными X и Y. Прогноз среднего значения переменной Y при X=80 составит
y x  0,0265  80  0,5445  2,66.
Индивидуальные задания по теме
«Элементы корреляционно-регрессионного анализа»
По данной корреляционной таблице построить ломаную линию
регрессии, найти уравнение регрессии и построить линию регрессии;
найти выборочный коэффициент корреляции, оценить его существенность; по выбранному значению переменной X сделать прогноз ожидаемого среднего значения переменной Y.
Вариант 1.
Y\X
10
15
20
25
30
35
40
4
1
1
2
6
1
1
4
5
6
4
8
2
11
12
10
10
12
10
10
6
8
6
Вариант 2.
Y\X
8
8,5
9
9,5
10
50
150
3
5
10
3
40
20
1
250
1
10
2
1
350
2
1
450
1
Вариант 3.
Y\X
20
30
40
50
1
8
2
3
12
20
8
5
7
9
10
1
9
8
10
12
331
Вариант 4.
Y\X
20
25
30
35
40
16
4
6
26
8
10
36
46
56
32
3
9
4
12
6
1
5
Вариант 5.
Y\X
0
1
2
3
4
5
6
7
0
3
25
3
1
-
2
6
108
50
11
5
1
-
7
44
60
33
5
1
1
12
8
21
32
13
2
1
1
17
2
5
13
13
12
-
22
5
2
7
6
-
27
3
2
3
2
-
32
1
2
1
1
Вариант 6.
Y\X
15
17
19
21
23
25
27
29
34
1
3
35
2
6
4
1
1
36
37
4
13
11
1
3
15
4
2
5
38
39
8
5
4
3
1
2
2
7
1
1
Вариант 7.
Y\X
0-0,2
0.2-0,4
0,4-0,6
0,6-0,8
0,8-1,0
1,0-1,2
10-15
4
2
15-20
20-25
25-30
30-35
4
4
6
35-40
2
2
6
332
6
4
37
1
-
42
1
-
Вариант 8.
Y\X
20
30
40
50
60
70
80
12
2
4
18
5
6
2
24
30
36
42
3
8
12
2
9
16
6
3
2
4
7
1
1
2
6
20
25
30
35
5
7
6
12
10
8
4
10
10
18
3
18
1
1
-
22
13
20
1
4
-
26
4
3
16
2
-
Вариант 9.
Y\X
50
60
70
80
90
10
2
2
15
2
4
2
4
6
6
Вариант 10.
Y\X
25
45
65
85
105
125
145
10
4
1
1
-
14
9
3
1
3
-
30
9
26
3
-
34
18
10
38
7
17
42
2
Вариант 11.
Y\X
0-20
20-40
40-60
60-80
80-100
55-115
5
2
-
115-175
10
18
4
-
175-235
3
10
21
1
-
333
235-295
1
10
5
2
295-355
3
2
1
355-415
2
Вариант 12.
Y\X
11,8-12,2 12,2-12,6
13,8-14,2
2
1
14,2-14,6
5
1
14,6-15
6
15-15,4
1
15,4-15,8
15,8-16,2
16,2-16,6
12,6-13
13-13,4
2
2
6
13,4-13,8 13,8-14,2
1
3
4
1
4
2
3
6
Вариант 13.
Y\X
16-20
20-24
24-28
28-32
32-36
36-40
6-6,8
6,8-7,6
7,6-8,4
2
2
4
10
3
1
8
19
8
3.2-3,7
3,7-4,2
8,4-9,2
1
9
20
1
9,2-10
3
7
2
4,2-4.7
4,7-5,2
6
8
1
5,2-5,7
2
400-500
2
500-600
Вариант 14.
Y\X
2-2,6
2,6-3,2
3,2-3,8
3,8-4,4
4,4-5
5-5,6
5,6-6,2
2,7-3,2
1
3
3
1
1
3
3
1
13
20
3
2
6
16
4
Вариант 15.
Y\X
0-100
100-200
200-300
300-400
400-500
500-600
0-100
2
3
8
100-200
200-300
8
21
26
14
2
4
3
5
9
300-400
1
1
1
1
1
334
2
1
1
Вариант 16.
Y\X
0,25-0,75
0,75-1,25
1,25-1,75
1,75-2,25
2,25-2,75
2,75-3,25
5-7
6
12
7-9
1
4
18
4
9-11
11-13
16
14
2
5
5
5
13-15
2
3
3
Вариант 17.
Y\X
0-8
8-16
16-24
24-32
0-5
5-10
10-15
15-20
20-25
25-30
30-35
35-40
Вариант 18.
Y\X
15-18
18-21
21-24
24-27
27-30
0-10
2
4
10-20
3
5
20-30
30-40
40-50
5
30
20
3
10
7
3
4
4
Вариант 19.
Y\X
0,16-0,22
0,22-0,28
0,28-0,34
0,34-0,4
0,4-0,46
0,46-0,52
0,52-0,58
0,58-0,64
0-0,8
4
4
0,8-1,6
6
10
3
1,6-2,4
8
15
10
4
2,4-3,2
2
20
5
2
3,2-4
4-4,8
4
1
2
335
Вариант 20.
Y\X
40-45
45-50
50-55
55-60
60-65
65-70
1200-1300
1
3
2
1300-1400
1400-1500
1500-1600
2
4
4
3
4
5
3
3
6
4
Вариант 21.
Y\X
1
2
3
4
5
6
1
2
1
2
1
2
3
1
3
1
3
2
4
5
6
1
2
1
2
1
1
1
3
4,3
5
Вариант 22.
Y\X
0,1
0,5
0,9
1,1
1,2
1,7
2
2,2
2,5
1
2
2
2
2,7
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
3
Вариант 23.
Y\X
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
9.9
1
10
2
1
10,1
10,2
10,3
2
2
1
2
1
1
10,4
10,5
3
1
2
1
336
1600-1700
2
2
2
Вариант 24.
Y\X
1
2
3
4
5
1
1
2
1
2
1
2
1
3
4
1
2
1
1
2
Вариант 25.
X
Y
2,7 4,6 6,3 7,8 9,2 10.6 12.0 13,4 14,7
17 16,2 13,3 13,0 9,7 9,9 6,2 5,8 5,7
Вариант 26.
X 7,9 11,6 12,8 14,9 16,3 18,6 20,3 21,9 23,6
Y 13,0 22,8 24,8 28,6 31,6 38,7 40,0 44,9 43,0
Вариант 27.
X
Y
X
Y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,21 0,32 0,58 1,02 1,76 2,68 3,75 5,07 6,62
10
11
12
13
14
15
16
17
8,32 10,21 12,33 14,58 17,07 19,53 22,27 29,05
-
Вариант 28.
X
2
3
4
6
7
8
10
12
14
15
Y 14,39 9,45 8,75 9,39 8,22 7,05 5,32 3,41 16,94 1,97
Вариант 29.
X 28
Y 5,3
X 58
Y 64,3
29 32
35
40
44
51
45
53
9,2 15,2 20,7 21,7 36,5 52,7 39,3 55,4
64 65
75
73
80
83
93
76 79,1 101 94,8 89,5 114,8 137,4
-
Вариант 30.
Y\X
12,6
13,6
15,2
17,4
18,6
4,2
4
6
6,2
8
8
5
8,4
6
33
9
10,1
5
3
9
12,5
3
1
337
ОТВЕТЫ
Ответы к задачам по теме «Элементы комбинаторики»
1.1. 1)94; 2)6. 1.2. 615 . 1.3. 33 2  10 4 . 1.4. 6 5 . 1.5. 6 2  36 . 1.6. 62. 1.7. 15120. 1.8.
1372. 1.9. 72. 1.10. 120. 1.11. 4320. 1.12. 24. 1.13. С56   6 2  36 . 1.14. 2  6!2 . 1.15.
2
2  9! . 1.16. 31. 1.17. А103  720 . 1.18. а) С 63  20 ; б)1; в) С 32  С 31  9 ; г)1; д)9. 1.19.
28!
7!
4
. 1.20. а)1984; б)376960; в) 175616. 1.21.
30!
10!3
. 1.22. 2520. 1.23. 720. 1.24.
63000. 1.25. а)168; б)33; в)494.
Ответы к задачам по теме «Алгебра событий»
2.1. а) А; б)  ; в)  ; г)  . 2.2. а) А; б) В. 2.3. а) выпадение хотя бы одной цифры; б) появление красного или черного шара; в) хотя бы один промах; г) выпадение менее трех очков. 2.4. Число оканчивается на «5». 2.5. а)  ; б)  . 2.7. Да.
2.8. 1) A2  A3 ; 2)  ; 3) А2; 4) А2; 5) А4; 6)  . 2.10. C  A1  A4  A2  A3 . 2.11.
C  A1  A2  A3  A4  A5 .
187
Ответы к задачам по теме «Непосредственный подсчет вероятностей»
3.1. 0,17. 3.2. 0,75. 3.3. 0,001. 3.4. 0,42. 3.5. 0,06. 3.6. 0,011. 3.7. 0,86. 3.8. 0,008.
3.9. 0,375. 3.10. 0,055. 3.11. 0,25. 3.12. 0,36. 3.13. 0,012. 3.14. 0,04. 3.15. а) 0,029;
б) 0,71. 3.16. а) 10-4; б) 0,3024. 3.17. 0,1875. 3.18. 0,44. 3.19. а) 0,001; б) 0,036;
в) 0,432; г) 0,027; д) 0,504.
Ответы к задачам по теме
«Теоремы сложения и умножения вероятностей»
4.1. 0,061. 4.2. 0,7. 4.3. а) 0,696; б) 0,278. 4.4. 0,94. 4.5. 0,9984. 4.6. 0,09. 4.7. а)
0,336; б) 0,452; в) 0,664. 4.8. 0,66. 4.9. 0,96. 4.10. 0,77. 4.11. 0,64. 4.12. 100. 4.13.
n  5 . 4.14. n  4 . 4.15. а) 0,24; б) 0,424. 4.16. 0,76. 4.17. 0,8. 4.18. 0,888. 4.19. 0,9.
4.20. Студент получит книгу.
Ответы к задачам по теме «Формула полной вероятности»
5.1. 0,94. 5.2. 0,024. 5.3. 0,84. 5.4. 0,81. 5.5. 0,849. 5.6. Ко второй группе. 5.7. 3/7.
Ответы к задачам по теме «Повторение опытов. Формула Бернулли»
6.1. P(A)=0,9955; P(B)=0,2637; P(C)=0,7627; P(D)≈0,1035. 6.2. P(A)=0,234;
P(B)=0,721; P(C)=(15/36)7≈0,00218; P(D)=0,821. 6.3. P(A)=0,203. 6.4. n>59. 6.5.
0,036.
188
Ответы к задачам по теме «Случайные величины. Законы распределения»
7.1. X
p
0
1
0,216 0,432
2
0,288
3
0,064
0
1/15
1
8/15
2
6/15
7.5. X
p
2
0
-2
p
2 p1  p 
1  p 2 MX= 22 p  1
7.6. X
p
1
0,1
2
0,09
3
0,081
4
0,0729
5
0,6561
7.7. X
p
1
0,1
2
0,09
3
0,081
4
0,0729
5
0,6561
MX=1,2;
DX=0,72
7.2. MX=0,6
7.3. X
P
7.4.
1 
 k  0,5k 1
4 k 1
7.8. 0,4059. 7.9. а) 1,19; б) 0,84. 7.10. 0,02. 7.11. MX=14,5; DX=12,3975.
7.12. P  X  m  
1
. 7.13. а) 0,05; б) 0,777; в) 0,998. 7.14. а) 0,9; б) 0,61; в)
m
2
0,788. 7.15. в) MX=6; DX=4,5; г)  0,185 . 7.16. в) MX=2; DX=1/3; г) 1/2. 7.17. в)
MX=16/3; DX=32/9; г) 55/64. 7.18. а) 3 /  ; в)
 1,045 ; е) 0,208.
189
3 ln 2
 0,662 ; г)  1,092 ; д)

7.19. а)
1
1
 0,707 ; е) 1/2. 7.20. а) 1; в) 2,097; г) 0,176; д) 0,42;
; в)0; г) 1/2; д)

2
е) 0,616. 7.21. а) 3/2; в) 3/5; г)  0,0686 ; д) 0,262; е) 0,604. 7.22. в) 3; г) 1/3. 7.24.
а) 0,5; б) 0,25. 7.25. 1/2. 7.26. 2/3. 7.27. 30. 7.28. 47. 7.29. а) 3,7; б) 7,44. 7.30. а)
2,5; б) 6,33. 7.33. MX=0,2; DX=0,04. 7.35. 0,164. 7.36. а) е  1 / е ; б) 1 / е . 7.37. а)
0,25; б) 0,0625; в) 0,25. 7.38. в) 0,13534; г) 100. 7.39. а) 0,102; б) 0,449; в) 0,551; г)
0,449. 7.41. MX=1; DX=9. 7.42.
f x  
1
e  x  32 / 8 . 7.43. а)0,19146;
2 2
б)0,15866. 7.44. а)0,000003; б)0,8664. 7.45. (-7;11). 7.46. а)0,531;
б)(-5,07;9,07).
7.47.  15,9% . 7.48.  x  12,2 мкм . 7.49. 0,904. 7.50. а)0,625; б)0,683. 7.51.
90,45%. 7.52   0,039 мм . 7.53. а)95,45%; б)4,544%; в)0,006%.
190
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица
П.1.
Плотность
f t  
t
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
0
0,3989
3970
3910
3814
3683
3521
3332
3123
2897
2661
0,2420
2179
1942
1714
1497
1295
1109
0940
0790
0656
0,0540
0440
0355
0283
0224
0175
0136
0104
0079
0060
0,00447
0033
0024
0017
0012
0009
1
3989
3965
3902
3802
3668
3503
3312
3101
2874
2637
2396
2155
1919
1691
1476
1276
1092
0925
0775
0644
0529
0431
0347
0277
0219
0171
0132
0101
0077
0058
0043
0032
0023
0017
0012
0008
1
2
2
3989
3961
3894
3790
3653
3485
3292
3079
2850
2613
2372
2131
1895
1669
1456
1257
1074
0909
0761
0632
0519
0422
0339
0270
0213
0167
0129
0099
0075
0056
0042
0031
0022
0016
0012
0008
вероятности
нормального
распределения
t2

e 2
3
3988
3956
3885
3778
3637
3467
3271
3056
2827
2589
2347
2107
1872
1647
1435
1238
1057
0893
0748
0620
0508
0413
0332
0264
0208
0163
0126
0096
0073
0055
0040
0030
0022
0016
0011
0008
4
3986
3951
3876
3765
3621
3448
3251
3034
2803
2565
2323
2083
1849
1626
1415
1219
1040
0878
0734
0608
0498
0404
0325
0258
0203
0158
0122
0093
0071
0053
0039
0029
0021
0015
00111
0008
191
5
3984
3945
3867
3752
3605
3429
3230
3011
2780
2541
2299
2059
1826
1604
1394
1200
1023
0863
0721
0596
0488
0396
0317
0252
0198
0154
0119
0091
0069
0051
0038
0028
0020
0015
0010
0007
6
3982
3939
3856
3739
3589
3410
3209
2989
2756
2516
2275
2036
1804
1582
1374
1182
1006
0848
0707
0584
0478
0387
0310
0246
0194
0151
0116
0088
0067
0050
0037
0027
0020
0014
0010
0007
7
3980
3932
3847
3726
3572
3391
3187
2966
2732
2492
2251
2012
1781
1561
1354
1163
0989
0833
0694
0573
0468
0379
0303
0241
0189
0147
0113
0086
0065
0048
0036
0026
0019
0014
0010
0007
8
3977
3925
3836
3712
3555
3372
3166
2943
2709
2468
2227
1989
1758
1539
1334
1145
0973
0818
0681
0562
0459
0371
0297
0235
0184
0143
0110
0084
0063
0047
0035
0025
0018
0013
0009
0007
9
3973
3918
3825
3696
3538
3352
3144
2920
2685
2444
2203
1965
1736
1518
1315
1127
0957
0804
0669
0551
0449
0363
0290
0229
0180
0139
0081
0061
0046
0034
0025
0018
0013
0009
0006
z2
1 x 2
Таблица П.2. Функция Лапласа Ф  x  
 e dz
2 0
x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
0
0,00000
03983
07926
11791
15542
19146
22575
25804
28814
31594
34134
36433
38493
40320
41924
43319
44520
45543
46407
47128
47725
48214
48610
48928
49180
49379
49534
49653
49744
49813
49865
4997674
4999683
4999966
4999997133
1
00399
04380
08317
12172
15910
19497
22907
26115
29103
31859
34375
36650
38686
40490
42073
43448
44630
45637
46485
47193
47778
48257
48645
48956
49202
49396
49537
49664
49752
49819
2
00798
04776
08706
12552
16276
19847
23237
26424
29389
32121
34614
36864
38877
40658
42220
43574
44738
45728
46562
47257
47831
48300
48679
48983
49224
49413
49560
49674
49760
49825
3
01197
05172
09095
12930
16640
20194
23565
26730
29673
32381
34850
37076
39065
40824
42364
43699
44845
45818
46638
47320
47882
48341
48713
49010
49245
49430
49573
49683
49767
49831
192
4
01595
05567
09483
13307
17003
20540
23891
27035
29955
32639
35083
37286
39251
40988
42507
43822
44950
45907
46712
47381
47932
48382
48745
49036
49266
49446
49585
49693
49774
49836
5
01994
05962
09871
13683
17364
20884
24215
27337
30234
32894
35314
37493
39435
41149
42647
43943
45053
45994
46784
47441
47982
48422
48778
49061
49286
49461
49589
49702
49781
49741
z2
1 x 2
Таблица П.2. Функция Лапласа Ф  x  
 e dz
2 0
x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
(окончание)
6
7
02392 02790
06356 06749
10257 10642
14058 14431
17724 18082
21226 21566
24537 24857
27637 27935
30511 30785
33147 33398
35543 35769
37698 37900
39617 39796
41308 41466
42786 42922
44062 44179
45154 45254
46080 446164
46856 46926
47500 47558
48030 48077
48461 48500
48809 48840
49086 49111
49305 49324
49477 49492
49609 49621
49711 49720
49788 49795
49846 49851
8
03188
07142
11026
14803
18439
21904
25175
28230
31057
33646
35993
38100
39973
41621
43056
44295
45352
46246
46995
47615
48124
48537
48870
49134
49343
49506
49632
49728
49801
49856
9
03586
07535
11409
15173
18793
22240
25490
28524
31327
33891
36214
38298
40147
41774
43189
44408
45449
46327
47062
47670
48169
48574
48899
49158
49361
49520
49643
49736
49807
49861
193
Таблица П.3. Значения функции
x
.
0
1
2
0,0
0,
9900 9802
0,1
0,
9048 8958 8869
0,2
0,
8187 8106 8025
0,3
0,
7408 7334 7261
0,4
0,
6703 6636 6570
0,5
0,
6065 6005 5945
0,6
0,
6488 5433 5379
0,7
0,
4966 4916 4867
0,8
0,
4493 4449 4404
0,9
0,
4066 4025 3985
1,0
0,
3679 3642 3606
1,1
0,
3329 3296 3263
1,2
0,
3012 2982 2952
1,3
0,
2725 2698 2671
1,4
0,
2466 2441 2417
1,5
0,
2231 2209 2187
1,6
0,
2019 1999 1979
1,7
0,
1827 1809 1791
1,8
0,
1653 1636 1620
1,9
0,
1496 1481 1466
2,0
0,
1353 1340 1327
2,1
0,
1225 1212 1200
2,2
0,
1108 1097 086
2,3
0,
1003 0993 0983
2,4
0,0
9072 8981 8892
2,5
0,0
8208 8127 8046
2,6
0,0
7427 7354 7280
2,7
0,0
6721 6654 6587
2,8
0,0
6081 6020 5961
2,9
0,0
5502 5448 5393
3,0
0,0
4979 4929 4880
3,1
0,0
4505 4460 4416
3,2
0,0
4076 4036 3996
3,3
0,0
3688 3652 3615
3,4
0,0
3337 3304 3271
3,5
0,0
3020 2990 2960
3,6
0,0
2732 2705 2678
3,7
0,0
2472 2448 2423
3,8
0,0
2237 2215 2193
ex
3
9704
8781
7945
7189
6505
5886
5326
4819
4360
3945
3570
3230
2923
2645
2393
2165
1959
1773
1604
1451
1313
1188
1075
0973
8804
7966
7208
6522
5901
5340
4832
4372
3956
3579
3239
2930
2652
2399
2171
4
9608
8694
7866
7118
6440
5827
5273
4771
4317
3906
3534
3198
3894
2618
2369
2144
1940
1755
1588
1437
1300
1177
1065
0963
8716
7887
7136
6457
5843
5287
4784
4328
3916
3544
3206
2901
2625
2375
2149
194
5
9512
8607
7788
7047
6376
5770
5220
4724
4274
3867
3499
3166
2865
2592
2346
2122
1920
1738
1572
1423
1287
1165
1054
0954
8629
7808
7065
6393
5784
5234
4736
4285
3877
3508
3175
2872
2599
2352
2128
6
9418
8521
7710
6977
6313
5712
5168
4677
4232
3829
3465
3135
2836
2567
2322
2101
1901
1720
1557
1409
1275
1153
1043
0944
8544
7730
6995
6329
5727
5182
4689
4243
3839
3474
3143
2844
2573
2328
2107
7
9324
8437
7634
6907
6250
5655
5117
4630
4189
3791
3430
3104
2808
2541
2299
2080
1882
1703
1541
1395
1262
1142
1033
0935
8458
7654
6925
6266
5670
5130
4642
4200
3801
3439
3112
2816
2548
2305
2086
8
9231
8353
7558
6839
6188
5599
5066
4584
4148
3753
3396
3073
2780
2516
2276
2060
1864
1686
1526
1381
1249
1130
1023
0926
8374
7577
6856
6204
5614
5079
4596
4159
3763
3405
3081
2788
2522
2282
2065
9
9139
8270
7483
6771
6126
5543
5016
4538
4107
3716
3362
3042
2753
2491
2254
2039
1845
1670
1511
1367
1237
1119
1013
0916
8291
7502
6788
6142
5558
5029
4550
4117
3725
3371
3050
2760
2497
2260
2044
x
Таблица 3 Значения функции e (окончание)
x
.
0
1
2
3
4
5
3,9
0,0
2024 2004 1984 1964 1945 1925
6
1906
7
1887
8
1869
9
1850
4,0
0,0
1832
1813
1795
1777
1760
1742
1725
1708
1691
1674
4,1
0,0
1657
1641
1624
1608
1592
1576
1561
1545
1530
1515
4,2
0,0
1500
1485
1470
1455
1441
1426
1412
1398
1384
1370
4,3
0,0
1357
1343
1330
1317
1304
1291
1278
1265
1253
1241
4,4
0,0
1228
1216
1203
1191
1180
1168
1156
1145
1133
1122
4,5
0,0
1111
1100
1089
1078
1067
1057
1046
1036
1025
1015
4,6
0,0
1005
0995
0985
0975
0966
0956
0947
0937
0928
0919
4,7
0,00
9095
9005
8915
8826
8739
8652
8566
8480
8396
8312
4,8
0,00
8230
8148
8067
7986
7907
7828
7750
7673
7597
7521
4,9
0,00
7447
7372
7299
7226
7155
7083
7013
6943
6874
6806
5,0
0,00
6738
6671
6604
6539
6474
6409
6346
6282
6220
6158
195

2
2
2

Таблица П.4. Значения  в зависимости от вероятности P     и
степеней свободы
Число
Вероятность
степеней
0,30
0,20
0,10
0,05
0,02
0,01
0,005 0,002
свободы
1
1,07
1,64
2,7
3,8
5,4
6,6
7,9
9,5
2
2,41
3,22
4,6
6,0
7,8
9,2
11,6
12,4
3
3,66
4,64
6,3
7,8
9,8
11,3
12,8
14,8
4
4,9
6,0
7,8
9,5
11,7
13,3
14,9
16,9
5
6,1
7,3
9,2
11,1
13,4
15,1
16,3
18,9
6
7,2
8,6
10,6
12,6
15,0
16,8
18,6
20,7
7
8,4
9,8
12,0
14,1
16,6
18,5
20,3
22,6
8
9,5
11,0
13,4
15,5
18,2
20,1
21,9
24,3
9
10,7
12,2
14,7
16,9
19,7
21,7
23,6
26,1
10
11,8
13,4
16,0
18,3
21,2
23,2
25,2
27,7
11
12,9
14,6
17,3
19,7
22,6
24,7
26,8
29,4
12
14,0
15,8
18,5
21,0
24,1
26,2
28,3
31,0
13
15,1
17,0
19,8
22,4
25,5
27,7
29,8
32,5
14
16,2
18,2
21,1
23,7
26,9
29,1
31,0
34,0
15
17,3
19,3
22,3
25,0
28,3
30,6
32,5
35,5
16
18,4
20,5
23,5
26,3
29,6
32,0
34,0
37,0
17
19,5
21,6
24,8
27,6
31,0
33,4
35,5
38,5
18
20,6
22,8
26,0
28,9
32,3
34,8
37,0
40,0
19
21,7
23,9
27,2
30,1
33,7
36,2
38,5
41,5
20
22,8
25,0
28,4
31,4
35,0
37,6
40,0
43,0
21
23,9
26,2
29,6
32,7
36,3
38,9
41,5
44,5
22
24,9
27,3
30,8
33,9
37,7
40,3
42,5
46,0
23
26,0
28,4
32,0
35,2
39,0
41,6
44,0
47,5
24
27,1
29,6
33,2
36,4
40,3
43,0
45,5
48,5
25
28,1
30,7
34,4
37,7
41,6
44,3
47,0
50,0
26
29,3
31,8
35,6
38,9
42,9
45,6
48,0
51,5
27
30,3
32,9
36,7
40,1
44,1
47,0
49,5
53,0
28
31,4
34,0
37,9
41,3
45,4
48,3
51,0
54,5
29
32,5
35,1
39,1
42,6
46,7
49,6
52,5
56,0
30
33,5
36,3
40,3
43,8
48,0
50,9
54,0
57,5
196
числа
0,001
10,83
13,8
16,3
18,5
20,5
22,5
24,3
21,6
27,9
29,6
31,3
32,9
34,5
36,1
37,7
39,2
40,8
42,3
43,8
45,3
46,8
48,3
49,7
51,2
52,6
54,1
55,5
56,9
58,3
59,7
k  e  
Таблица П.5. Таблица значений функции Pk   
k!
λ
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
904837
090484
004524
000151
000004
818731
163746
016375
001091
000055
000002
740818
222245
033337
003334
000250
000015
000001
670320
268128
053626
007150
000715
000057
000004
606531
303265
075816
012636
001580
000158
000013
000001
548812
329287
098786
019757
002964
000356
000035
000003
496585
347610
121663
028388
004968
000695
000081
000008
44329
359463
143785
038343
007669
001227
000164
000019
000002
k  e  
Таблица П.5. Таблица значений функции Pk   
(продолжение)
k!
λ
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
0,9
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
406570
365913
164661
049398
011115
002001
000300
000039
000004
1,0
2,0
367879
367879
183940
061313
015328
003066
000511
000073
000009
000001
135335
270671
180447
090224
036089
012030
003437
000859
000191
000038
000007
000001
197
3,0
4,0
5,0
049787
149361
224042
224042
168031
100819
050409
021604
008101
002701
000810
000221
000055
000013
000003
000001
018316
073263
146525
195367
195367
156293
104194
059540
029770
013231
005292
001925
000642
000197
000056
000015
000004
000001
006738
033690
084224
140374
175467
175467
146223
104445
065278
0362666
018133
008242
003434
001321
000472
000157
000049
000014
k  e  
Таблица П.5. Таблица значений функции Pk   
k!
(продолжение)
λ
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
6,0
7,0
8,0
9,0
002479
014873
044618
089235
133853
160623
160623
137677
103258
068838
041303
022529
011262
005199
002228
000891
000334
000118
000912
006383
022341
052129
091226
127717
149003
149003
130377
101405
070983
045171
026350
014188
007094
003311
001448
000596
000335
002684
010735
028626
057252
091604
122138
139587
139587
124077
099262
072190
048127
029616
016924
009026
004513
002124
000123
001111
004998
014994
033737
060727
091090
117116
131756
131756
118580
097020
072765
050376
032384
019431
010930
005786
k  e  
Таблица П.5. Таблица значений функции Pk   
(окончание)
k!
λ
k
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
000004
000001
000039
000012
000004
000001
000232
000085
000030
000010
000003
000001
000944
000397
000159
000061
000022
000008
000003
000001
002893
001370
000617
000264
000108
000042
000016
000006
000002
000001
198
Таблица П.6. Значения t-распределения Стьюдента
Р
Р
0,95
0,99
0,999
0,95
0,99
k
k
4
2,78
4,60
8,61
19
2,093
2,861
5
2,57
4,03
6,86
20
2,086
2,845
6
2,45
3,71
5,96
25
2,064
2,797
7
2,37
3,50
5,41
30
2,045
2,756
8
2,31
3,36
5,04
35
2,032
2,729
9
2,26
3,25
4,78
40
2,023
2,708
10
2,23
3,17
4,59
45
2,016
2,692
11
2,20
3,11
4,44
50
2,009
2,679
12
2,18
3,06
4,32
60
2,001
2,662
13
2,16
3,01
4,22
70
1,996
2,649
14
2,15
2,98
4,14
80
1,991
2,640
15
2,13
2,95
4,07
90
1,987
2,633
16
2,12
2,92
4,02
100 1,984
2,627
17
2,11
2,90
3,97
120 1,980
2,617
18
2,10
2,83
3,92
1,960
2,576
0,999
3,883
3,849
3,745
3,659
3,600
3,558
3,527
3,502
3,464
3,439
3,418
3,403
3,392
3,374
3,291
Таблица П.7. Значения V1 и V2 в зависимости от вероятности
p и числа степеней свободы n
n/p
0,9995
0,999
0,995
0,99
0,975
31
11,389
12,196
14,458
15,655
17,539
32
11,979
12,811
15,134
16,362
18,291
33
12,576
13,431
15,815
17,073
19,047
34
13,179
14,057
16,501
17,789
19,806
35
13,788
14,688
17,192
18,509
20,569
36
37
38
39
40
14,401
15,020
15,644
16,273
16,906
15,324
15,965
16,611
17,262
17,916
17,887
18,586
19,289
19,996
20,707
19,233
19,960
20,691
21,426
22,164
21,336
22,106
22,878
23,654
24,433
41
42
43
44
45
17,544
18,186
18,832
19,482
20,137
18,575
19,238
19,905
20,576
21,251
21,421
22,138
22,859
23,584
24,311
22,906
23,650
24,398
25,148
25,901
25,215
25,999
26,785
27,575
28,366
199
Таблица П.7. Значения V1 и V2 в зависимости от вероятности
p и числа степеней свободы n (продолжение)
n/p
0,9995
0,999
0,995
0,99
0,975
46 20,794
21,929
25,041
26,657
29,160
47 21,456
22,610
25,775
27,416
29,956
48 22,121
23,295
26,511
28,177
30,755
49 22,789
23,983
27,249
28,941
31,555
50 23,461
24,674
27,991
29,707
32,357
51
52
53
54
55
24,136
24,814
25,495
26,179
26,866
25,368
26,065
26,765
27,468
28,173
28,735
29,481
30,230
30,981
31,735
30,475
31,246
32,018
32,793
33,570
33,162
33,968
34,776
35,586
36,398
56
57
58
59
60
27,555
28,248
28,943
29,640
30,340
28,881
29,592
30,305
31,020
31,738
32,490
33,248
34,008
34,770
35,535
34,350
35,131
35,913
36,698
37,485
37,212
38,027
38,844
39,662
40,482
61
62
63
64
65
31,043
31,748
32,455
33,165
33,877
32,459
33,181
33,906
34,633
35,362
36,301
37,068
37,838
38,610
39,383
38,273
39,063
39,855
40,649
41,444
41,303
42,126
42,950
43,776
44,603
66
67
68
69
70
34,591
35.307
36,025
36,745
37,467
36,093
36,826
37,561
38,298
39,036
40,158
40,935
41,713
42,494
43,275
42,240
43,038
43,838
44,639
45,442
45,431
46,261
47,092
47,924
48,758
71
72
73
74
75
38,192
38.918
39,646
40,376
41,107
39,777
40,520
41,264
42,010
42,757
44,158
44,843
45,629
46,417
47,206
46,246
47.051
47,858
48,666
49,475
49,592
50,428
51,265
52,103
52,942
200
Таблица П.7. Значения V1 и V2 в зависимости от вероятности
p и числа степеней свободы n (продолжение)
n/p
0,9995
0,999
0,995
0,99
0,975
76 41,841
43,507
47,997
50,286
53,782
77 42,576
44,258
48,788
51,097
54,623
78 43,313
45,010
49,582
51,910
55,466
79 44,051
45,764
50,376
52,725
56,309
80 44,791
46,520
51,172
53,540
57,153
81
82
83
84
85
45,533
46,276
47,021
47,767
48,515
47,277
48,036
48,796
49,577
50,320
51,969
52,767
53,567
54,368
55,170
54,357
55,174
55,993
56,813
57,634
57,998
58,845
59,692
60,540
61,389
86
87
88
89
90
49,264
50,015
50,767
51,521
52,276
51,085
51,850
52,617
53,386
54,155
55,973
56,777
57,582
58,389
59,196
58,456
59,279
60,103
60,928
61,754
62,239
63,089
63,941
64,793
65,647
91
92
93
94
95
53,032
53,790
54,549
55,309
56,070
54,926
55,698
56,472
57,246
58,022
60,005
60,815
61,625
62,437
63,250
62,581
63,409
64,238
65,068
65,898
66,501
67,356
68,211
69,068
69,925
96
97
98
99
100
56,833
57,597
58,362
59,128
59.896
58,799
59,577
60,356
61,136
61,918
64,063
64,878
65,694
66,510
67,328
66,730
67,562
68,396
69,230
70,065
70,783
71,642
72,501
73,361
74,222
201
Таблица П.7. Значения V1 и V2 в зависимости от вероятности
p и числа степеней свободы n (продолжение)
n/p
0,95
0,9
0,8
0,7
0,6
31
19,281
21,434
25,148
26,440
28,409
32
20,072
22,271
25,148
27,373
29,376
33
20,867
23,110
26,042
28,307
30,344
34
21,664
23,952
26,938
29,242
31,313
35
22,465
24,797
27,836
30,178
32,282
36
37
38
39
40
23,269
24,075
24,884
25,695
26,509
25,643
26,492
27,343
28,196
29,051
28,735
29,635
30,537
31,441
32,345
31,115
32,053
32,992
33,932
34.872
33,252
34,222
35,192
36,163
37,134
41
42
43
44
45
27,326
28,144
28,965
29,787
30,612
29,907
30,765
31,625
32,487
33,350
33,251
34,157
35,065
35,974
36,884
35,813
36,755
37,698
38,641
39,585
38,105
39,077
40,050
41,022
41,995
46
47
48
49
50
31,439
32,268
33,098
33,930
34,764
34,215
35,081
35,949
36,818
37,689
37,795
38,708
39,621
40,534
41,449
40,529
41,474
42,420
43,366
44,313
42,968
43,942
44,915
45,889
46,864
51
52
53
54
55
35,600
36,437
37,276
38,116
38,958
38,560
39,433
40,308
41,183
42,060
42,365
43,281
44,199
45,117
46,036
45,261
46,209
47,157
48,106
49,054
47,838
48,813
49,788
50,764
51,739
56
57
58
59
60
39,801
40,646
41,492
42,339
43,188
42,937
43,816
44,696
45,577
46,459
46,955
47,876
48,797
49,718
50,641
50,005
50,956
51,906
52,857
53,809
52,715
53,691
54,667
55,643
56,620
202
Таблица П.7. Значения V1 и V2 в зависимости от вероятности
p и числа степеней свободы n (продолжение)
n/p
0,95
0,9
0,8
0,7
0,6
61
44,038
47,342
51,564
54.761
57,597
62
44,889
48,226
52,487
55,714
58,574
63
45,741
49,111
53,412
56,666
59,551
64
46,595
49,996
54,336
57,619
60,528
65
47,450
50,883
55,262
58,573
61,506
66
67
68
69
70
48,305
49,162
50,020
50,879
51,739
51,770
52,659
53,548
54,438
55,329
56,188
57,115
58,042
58,970
59,898
59,527
60,481
61,436
62,391
63,346
62,484
63,461
64,440
65,418
66,396
71
72
73
74
75
52,600
53,462
54,325
55,189
56,054
56,221
57,113
58,006
58,900
59,795
60,827
61,756
62,686
63,616
64,547
64,302
65,258
66,214
67,170
68,127
67,375
68,353
69,332
70,311
71,290
76
77
78
79
80
56,920
57,786
58,654
59,522
60,391
60,690
61.586
62,483
63,380
64,378
65,478
66,409
67,341
68,274
69,207
69,084
70,042
70,999
71,957
72,915
72,270
73,349
74,228
75,208
76,188
81
82
83
84
85
61,261
62,132
63,004
63,876
64,749
65,176
66,076
66,976
67,876
68,777
70,140
71,074
72,008
72,943
73,878
73,874
74,833
75,792
76,751
77,710
77,168
78,148
79,128
80,108
81,089
86
87
88
89
90
65,623
66,498
67,373
68,249
69,126
69,679
70,581
71,484
72,387
73,291
74,813
75,749
76,685
77,622
78,558
78,670
79,630
80,590
81,550
82,511
82,069
83,050
84,031
85,012
85,993
203
Таблица П.7. Значения V1 и V2 в зависимости от вероятности
p и числа степеней свободы n (продолжение)
n/p
0,95
0,9
0,8
0,7
0,6
91
70,003
74,196
79.496
83,472
86,974
92
70,882
75,101
80,433
84,433
87,955
93
71,760
76,006
81,371
85,394
88,936
94
72,640
76,912
82,309
86,356
89,917
95
73,520
77,818
83,248
87,317
90,899
96
97
98
99
100
74,400
75,282
76,164
77,046
77,929
78,725
79,633
80,541
81,449
82,358
84,187
85.126
86,065
87,005
87,945
88,279
89,241
90,204
91,166
92,129
91,881
92,862
93,844
94,826
95,808
Таблица П.7. Значения V1 и V2 в зависимости от вероятности
p и числа степеней свободы n (продолжение)
n/p
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
31 30,336
32,349
34,598
37,359
41,422
32 31,336
33,381
35,665
38,466
42,585
33 32,336
34,413
36,731
39,572
43,745
34 33,336
35,444
37.795
40,676
44,903
35 34,336
36,475
38,859
41,778
46,059
36
37
38
39
40
35,336
36,336
37,335
38,335
39,335
37,505
38,535
39,564
40,593
41,622
39,922
40,984
42,045
43,105
44,165
42,879
43,978
45,076
46,173
47,269
47,212
48,363
49,513
50,660
51,805
41
42
43
44
45
40,335
41,335
42,335
43,335
44,335
42,651
43,679
44,706
45,734
46,761
45,224
46,282
47,339
48,396
49,452
48,363
49,456
50,548
51,639
52,729
52,949
54,090
55,230
56,369
57,505
46
47
48
49
50
45,335
46,335
47,335
48,335
49,335
47,787
48,814
49,840
50,866
51,892
50,507
51,562
52,616
53,670
54,723
53,818
54,906
55,993
57,097
58,164
58,641
59,774
60,907
62,038
63,167
204
Таблица П.7. Значения V1 и V2 в зависимости от вероятности
p и числа степеней свободы n (продолжение)
n/p
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
51
50,335
52,917
55,775
59,248
64,295
52
51,335
53,942
56,827
60,332
65,422
53
52,335
54,967
57,879
61,414
66,548
54
53,335
55,992
58,930
62,496
67,673
55
54,335
57,016
59,980
63,577
68,796
56
57
58
59
60
55,335
56,335
57,335
58,335
59,335
58,040
59,064
60,088
61,111
62,135
64,658
65,737
66,816
67,894
68,072
64,658
65,737
66,816
67,894
68,972
69,918
71,040
72,160
73,279
74,397
61
62
63
64
65
60,335
61,335
62,335
63,335
64,335
63,158
64,181
65,204
66,226
67,249
66,274
67,322
68,369
69,416
70,462
70,049
71,125
72,201
73,276
74,351
75,514
76,630
77,745
78,860
79,973
66
67
68
69
70
65,335
66,335
67,334
68,334
69,334
68,271
69,293
70,315
71,337
72,358
71,508
72,554
73,600
74,645
75,689
75,425
76,498
77,571
78,643
79,715
81,086
82,197
83,308
84,418
85,527
71
72
73
74
75
70,334
71,334
72,334
73,334
74,335
73,380
74,401
75,442
76,443
77,464
76,734
77,778
78,882
79,865
80,908
80,786
81,857
82,927
83,997
85,066
86,635
87,743
88,850
89,956
91,061
76
77
78
79
80
75,334
76,334
77,334
78,334
79,334
78,458
79,505
80,526
81,546
82,566
81,951
82,994
84,036
85,078
86,120
86,135
87,203
88,271
89,338
90,405
92,166
93,270
94,374
95.476
96,578
205
Таблица П.7. Значения V1 и V2 в зависимости от вероятности
p и числа степеней свободы n (продолжение)
n/p
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
81
80,334
83,586
87,161
91,472
97,680
82
81,334
84,606
88,202
92,538
98,780
83
82,334
85,626
89,243
93,604
99,880
84
83,334
86,646
90,284
94,669
100,980
85
84,334
87,665
91,325
95,734
102,079
86
87
88
89
90
85,334
86,334
87,334
88,334
89,334
88,685
89,704
90,723
91,742
92,761
92,365
93,405
94,445
95,484
96,524
96,799
97,863
98,927
99,991
101,054
103,177
104,275
105,372
106,469
107,565
91
92
93
94
95
90,334
91,334
92,334
93,334
94,334
93,780
94,799
95,818
96,836
97,855
97,563
98,602
99,641
100,679
101,717
102,117
103,179
104,241
105,303
106,364
108,661
109,756
110,850
111,944
113,038
96
97
98
99
100
95,334
96,334
97,334
98,334
99,334
98,873
99,892
100,910
101,928
102,946
102,755
103,793
104,831
105,868
106,906
107,425
108,486
109,547
110,607
101,667
114,131
115,223
116,315
117,407
118.498
Таблица П.7. Значения V1 и V2 в зависимости от вероятности
p и числа степеней свободы n (продолжение)
n/p
0,05
0,025
0,01
0,005
0,001
31
44,985
48,232
52,191
55,003
61,098
32
46,194
49,480
53,486
56,328
62,487
33
47,400
50,725
54,776
57,648
63,870
34
48,602
51,966
56,061
58,964
65,247
35
49,802
53,203
57,342
60,275
66,619
36
37
38
39
40
50,998
52,192
53,384
54,572
55,758
54,437
55,668
56,895
58,120
59,342
58,619
59,892
61,162
62,428
63,691
206
61,581
62,882
64,181
65,476
66,766
67,985
69,346
70,703
72,055
73,402
Таблица П.7. Значения V1 и V2 в зависимости от вероятности
p и числа степеней свободы n (продолжение)
n/p
0,05
0,025
0,01
0,005
0,001
41
56,942
60,561
64,950
68,053
74,745
42
58,124
61,777
66,206
69,336
76,084
43
59,304
62,990
67,459
70,616
77,419
44
60,481
64,201
68,709
71,893
78,749
45
61,656
65,410
69,957
73,166
80,077
46
47
48
49
50
62,830
64,001
65,171
66,339
67,505
66,617
67,821
69,023
70,222
71,420
71,201
72,443
73,683
74,919
76,154
74,437
75,704
76,969
78,231
79,490
81,400
82,720
84,037
85,351
86,661
51
52
53
54
55
68,669
69,832
70,993
72,153
73,311
72,616
73,810
75,002
76,192
77,380
77,386
78.616
79,843
81,069
82,292
80,747
82,001
83,253
84,502
85,749
87,968
89,272
90,573
91,872
93,167
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
74,468
75,624
76,778
77,931
79,082
80,232
81,381
82,529
83,675
84.821
78,567
79,752
80,936
82,117
83,298
84,476
85,654
86,830
88,004
89,177
83,513
84,733
85,950
87,166
88,379
89,951
90,802
92,010
93,217
94,422
86,994
88,236
89,477
90,715
91,952
93,186
94,419
95,649
96,878
98,105
94,460
95,751
97,039
98,324
99,607
100,888
102,166
103,442
104,716
105,988
66
67
68
69
70
85,965
87,108
88,250
89,391
90,531
90,349
91,519
92,688
93,856
95,023
95,626
96,828
98,028
99,227
100,425
99,330
100,554
101,776
102,996
104,215
107,258
108,526
109,791
111,055
112,317
207
Таблица П.7. Значения V1 и V2 в зависимости от вероятности
p и числа степеней свободы n (продолжение)
n/p
0,05
0,025
0,01
0,005
0,001
71
91,670
96,189
101,621 105,432
113,577
72
92,808
97,353
102,816 106,648
114,835
73
93,945
98,516
104,010 107,862
116,092
74
95,081
99,678
105.202 109,074
117,346
75
77
78
79
80
96,217
98,484
99,617
100,749
101,879
100,839
103,158
104,316
105,473
106,629
106,393
108,771
109,958
111,144
112,329
110,286
112,704
113,911
115,117
116,321
118,599
121,100
122,348
123,594
124,839
81
82
83
84
85
103,010
104,139
105,267
106,395
107,522
107,783
108,937
110.09
111,242
112,393
113,512
114,695
115,876
117,057
118,236
117,524
118,726
119,927
121,126
122,325
126,082
127,324
128,565
129,804
131,041
86
87
88
89
90
108,648
109,773
110,898
112,022
113,145
113,544
114,693
115,841
116,989
118,136
119,414
120,591
121,767
122,942
124,116
123,522
124,718
125,913
127,106
128,299
132,277
133,512
134,745
135,978
137,208
91
92
93
94
95
114,268
115,390
116,511
117,632
118,752
119,282
120,427
121,571
122,715
123,858
125,289
126,462
127,633
128,803
129,973
129,491
130,681
131,871
133,059
134,247
138,438
139,666
140,893
142,119
143,344
96
97
98
99
100
119,871
120,990
122,108
123,225
124,342
125,000
126,141
127,282
128,422
129,561
131,141
132,309
133,476
134,642
135,807
135,433
136,619
137,803
138,987
140,169
144,567
145,789
147,010
148,230
149,449
208
m  e  
Таблица П.8. Таблица значений функции 
m!
m 0
k
λ
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0,1
0,904837
0,995321
0,999845
0,999996
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
0,2
0,818731
0,982477
0,998852
0,999943
0,999998
1,000000
1,000000
1,000000
0,3
0,4
0,740818
0,963063
0,996400
0,999734
0,999984
0,999999
1,000000
1,000000
0,670320
0,938448
0,992074
0,999224
0,999939
0,999996
1,000000
1,000000
m  e  
Таблица П.8. Таблица значений функции 
m!
m 0
k
(продолжение)
λ
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0,6
0,548812
0,878099
0,976885
0,996642
0,999982
0,999997
1,000000
0,7
0,496585
0,844195
0,965858
0,994246
0,999214
0,999909
0,999990
0,999998
1,000000
0,8
0,449329
0,808792
0,952577
0,990920
0,998589
0,999816
0,999980
0,999999
1,000000
209
0,9
0,406570
0,772483
0,937144
0,986541
0,997657
0,999658
0,999958
0,999997
1,000000
0,5
0,606531
0,909796
0,985612
0,998248
0,999828
0,999986
0,999999
1,000000
m  e  
Таблица П.8. Таблица значений функции 
m!
m 0
k
(продолжение)
λ
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
1,0
0,367879
0,735759
0,919699
0,981012
0,996340
0,999406
0,999917
0,999990
0,999999
1,000000
2,0
0,135335
0,406006
0,676677
0,857124
0,947348
0,983437
0,995467
0,998904
0,999763
0,999954
0,999992
0,999999
1,000000
3,0
0,049787
0,199148
0,423190
0,647232
0,815263
0,916082
0,966491
0,988095
0,996196
0,998897
0,999707
0,999928
0,999983
0,999996
0,999999
1,000000
210
4,0
0,018316
0,091579
0,238105
0,433472
0,628839
0,785132
0,889326
0,948866
0,978636
0,991867
0,997159
0,999084
0,999726
0,999923
0,999979
0,999994
0,999998
0,999999
0,999999
0,999999
1,000000
5,0
0,006738
0,040428
0,124652
0,265026
0,440493
0,615960
0,762183
0,866628
0,931806
0,968172
0,986305
0,994547
0,997981
0,999202
0,999774
0,999931
0,999980
0,999994
0,999998
0,999999
0,999999
1,000000
m  e  
Таблица П.8. Таблица значений функции 
m!
m 0
k
(окончание)
λ
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
6,0
0,002479
0,017352
0,061970
0,151205
0,285058
0,445681
0,606304
0,743981
0,847239
0,916077
0,957380
0,979909
0,991173
0,996372
0,998600
0,999491
0,999825
0,999943
0,999982
0,999994
0,999998
0,999999
0,999999
1,000000
7,0
0,000912
0,007295
0,029636
0,081765
0,172991
0,300708
0,449711
0,598714
0,729091
0,830496
0,901479
0,946650
0,973000
0,987188
0,994282
0,997593
0,999041
0,999637
0,999869
0,999955
0,999985
0,999995
0,999998
0,99999
0,999999
1,000000
8,0
0,000335
0,003019
0,013754
0,042380
0,099632
0,191236
0,313374
0,452961
0,592548
0,716625
0,815887
0,888077
0,936204
0,965820
0,982744
0,991770
0,996283
0,998407
0,999351
0,999748
0,999907
0,999967
0,999989
0,999997
0,999999
0,999999
1,000000
211
9,0
0,000123
0,001234
0,006232
0,021228
0,054963
0,115690
0,206780
0,323896
0,455652
0,587408
0,705988
0,803008
0,875773
0,926149
0,958533
0,977964
0,988894
0,994680
0,997573
0,998943
0,999560
0,999824
0,999932
0,999974
0,999990
0,999996
0,999998
0,999999
1,000000
Библиографический список
1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб. для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
2. Вентцель Е.С., Овчаров А.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. – М.: Наука, 1988.
3. Крамер Г. Математические методы статистики. – М.: Мир, 1975.
4. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики. – М.: Наука, 1969.
5. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. – М.:
Наука, 1965.
6. Исакова А.И. Теория вероятностей и математическая статистика в инженерных задачах. Омск: Изд-во СибАДИ, 1999.–Ч. 1.
Учебное издание
Альвина Ильинична Исакова,
Светлана Владимировна Матвеева,
Татьяна Петровна Мирошниченко
ПОСОБИЕ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ И КОНТРОЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ ПО РАЗДЕЛУ
«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»
Учебное пособие
***
Редактор И.Г. Кузнецова
***
Подписано к печати 27.11.07. Формат 60 x 901/16. Бумага писчая
Оперативный способ печати. Гарнитура Times New Roman
Усл. п. л. 13,0, уч.-изд. л. 13,0. Тираж 490 экз. Заказ №___
Цена договорная
***
Издательство СибАДИ
644099, г.Омск, ул. П.Некрасова, 10
Отпечатано ПЦ издательства СибАДИ
644099, г.Омск, ул. П. Некрасова, 10
212