Оптика анизотропных сред» () - Medphysics

4.2 Оптика анизотропных сред.
4.2.1. Модель анизотропной среды.
Моделью анизотропной среды является система, состоящая из
вытянутых молекул или других комплексов, в которых оптические
электроны могут смещаться только вдоль одного, выбранного направления.

Пусть это смещение характеризуется единичным вектором f . Выбрали
систему координат, в которой произвели замену ( x, y, z)  ( x1 , x2 , x3 )  xi .

f
Единичный
вектор
в этом случае
x3

представлен, как f   f1 , f 2 , f3   fi . Электроны
совершают колебания под воздействием

электромагнитной волны,
напряженность
f


электрического поля E которой показана на
E
рисунке.
Уравнение движения оптического электрона в
x2
этом случае имеет
вид:

2
x  x   0 x  e( fE) m .
x1
поляризация
x

1 или
P  efxN
 
 e2
f ( fE )
P
N
m  02   2  i
В отличии от изотропной
среды, направление поляризации
не совпадает с


направлением вектора E , то есть P не параллельно E .
Введем диэлектрическую восприимчивость среды:
0 
e2
1
N 2
m  0   2  i
Рассмотрим скалярное произведение
 
3
( f E )  f1 E1  f 2 E 2  f 3 E3   fiEi  f i Ei ,
i 1
тогда p j   0 f j f i Ei
или
(1)
p1   0 f1 ( f1 E1  f 2 E2  f 3 E3 )
p2   0 f 2 ( f1 E1  f 2 E2  f 3 E3 )
p3   0 f 3 ( f1 E1  f 2 E2  f 3 E3 ) .
Введем тензорную диэлектрическую восприимчивость  ij   0 f i f j .
Уравнение для поляризации можно представить в виде
p j   ji Ei
или
p1  11 E1  12 E2  13 E3
p 2   21 E1   22 E2   23 E3
p3   31 E1   32 E2   33 E3
Тензор  ij можно записать в виде матрицы
 11

 ij    21

 31
12
 22
 32
13 

 23 
 33 



Найдем материальное уравнение для анизотропных сред D  E  4 P , для
соответствующих компонент уравнение примет вид:
D j  E j  4Pj .
Запишем
1 при i  j
E j   ij Ei , где  ij  
,
0 при i  j
тогда
D j  Ei ( ij  4ij ) .
Материальное уравнение для анизотропной среды примет вид:
D j   ij E i , где диэлектрическая проницаемость
412
413 
1  411


 ij   421 1  422
423 
 4
432
1  433 
31

Выберем систему координат,
учитывающую
симметрию кристалла, направим


ось x 3 вдоль вектора f , в этой системе f  0,0,1 , тогда
 0 0 0


 ij   0  0 0 0  ,
0 0 1


0 
1 0


 ij   0 1
0 .
 0 0 1  4 
0

x3

f

E
x2
x1
x1
Матрица  ij   ji .
Всегда можно выбрать оси координат, в
которых  ij приобретает диагональный вид
  11 0

 ij   0  22
 0
0

0 

0 
 33 
Для этого необходимо найти собственные значения  ij   ; и решить
уравнение

ij
  ij E j  0 , где E j - собственные вектора.,  - собственные значения.
В этой системе координат
  xx

 ij   0
 0

0
 yy
0
0

0
 zz 
Такая система называется главной кристаллической системой координат
тензора диэлектрической проницаемости .

В этой системе связь между D .

и E следующая
Dx   xx Ex
D y   yy E y
Dz   zz Ez

Рассмотрим, когда вектор E направлен вдоль одной из осей.




1 E  ( E x ,0,0) в этом случае D  ( D x ,0,0) ,то есть E ║ D
Введем главное значение показателя преломления n x   xx
Vx 
c
nx

E  (0, E y ,0)

D  (0, D y ,0)
D y   yy E y
Vy 
c
, где n y   yy
ny
Если все главные компоненты тензора  xx ,  yy ,  zz различны по значению, то


больше нет направлений, в которых векторы E и D были бы коллинеарны.
4.2.2. Распространение электромагнитных волн в анизотропных средах.
Рассмотрим волну, распространяющуюся в анизотропной среде.
Направление волнового вектора в такой среде характеризуется единичным
вектором:

 k
e  .
k
Рассмотрим уравнения Максвелла:
k  E   c H
k  H    c D .

Пусть в направлении
распространяется плоская электромагнитная
e
волна

 
E  A exp  i (t  k r ) , волновой вектор которой
  
k  e n(e ) .
c
Тогда можем записать:

 
er 
E  A exp  i (t 
n(e ))
c

 
er 
H  B exp  i (t 
n(e ))
c
Подставим данные выражения в уравнения Максвелла, получим


   
H  e  E n(e )

  
D   e  H n(e ) , (*)


где
D j   ij E i .
 
 
 

)
Рассмотрим ориентацию векторов e D , e H , EH , вектор E лежит в



плоскости (e D ) , угол между D

D

E
и
называется
углом
E
о

анизотропии. Q5 для кальцита.
S
Направление луча определяется
Q
направлением переноса энергии.


Рассмотрим
вектор
УмоваПойтинга.
 C  
 
)Q



S

E

H
,
при
этом
S
E и

e
k
 4
SH , луч распространяется в

направлении
вектора
S,
определяемом
единичным

вектором
Направления
.

распространения фазы и энергии не совпадают. Фаза движется по e со

скоростью Vф , а энергия по  со скоростью V л  Vф cos Q , эта скорость
 
называется лучевой. Скорости связаны соотношением: Vф  V л (e   ) .

H
4.2.3. Уравнение нормали Френеля.
Из уравнений (*) получим

  

D  e  e  E n 2 (e ) .


   
D  n 2 (e ) E  e (e E )


Рассмотрим компоненты вектора D в главной кристаллической системе
 D x   xx E x

 D y   yy E y

D   E
zz z
 z

D x  n 2 ( E x  e x (e E ))

D y  n 2 ( E y  e y (e E ))

D z  n 2 ( E z  e z (e E ))
Получим:



e x (e E )
Dx  
1
1


2

 xx
n



e y (e E )
D y   1
1


2
 yy

n


e z (e E )

Dz   1
1


2
 zz
n

 ex
 ey

 ez
 
Скалярное произведение ( D  e )  0 , см. ориентацию векторов. Отсюда:


e y2
e z2
   e x2
eE 


1
1
1
1
1
1


 2 
2
2
 xx n  yy n  zz
n





  0.


Уравнение
распадается на два
 
1. e  E   0 , это обыкновенная волна
2. Уравнение нормали Френеля:


2
e y2
e z2
 ex


 1
1
1
1
1
1



 2
2
2
 xx n  yy n  zz
n



0


Данное уравнение 4-го порядка, имеет 4 корня, из них разных 2.
1
и получим уравнение для фазовых скоростей:
C2
 e x2
e y2
e z2 



 0.
V 2 V 2 V 2 V 2 V 2 V 2 
x
y
z 

Умножим уравнение на
Введем функцию
 ex2
ey2
ez2 



 f (V )
V 2 V 2 V 2 V 2 V 2 V 2 
x
y
z 

Решим данное уравнение графически.
Получим две скорости распространения волны в данном направлении V  и V  .
Покажем что вектора индукции, соответствующие этим волнам
перпендикулярны между собой,
f(V)
V/
V1
V//
V2



2

D  n ( E  ex (e E))


  Умножим на
2




D

n
(
E

e
(
e
E)

y

V3
V

 D 
 и вычтем уравнения
 D
 
 
 
 
1 1  
   E D   D E  , рассмотрим выражение E D   D E 
 n  n  
 
 
 
 
 
E D  EiDi  Ei ij E j  E j ij Ei  E jDj  E D , отсюда E D  DE   0 , и DD  0
 
то есть D D  .
 
Пример: Рассмотрим случай, k // Z , т.е. e x  0, e y  0, e z  1 , уравнение
Получим D D 
Френеля после приведения к общему знаменателю имеет вид:
 1
1  1
1
 2 
 2 

 xx  n
 yy
n

  0 , корни уравнения n 2   xx , n 2   yy ,


в данном направлении распространяется две волны со скоростями V x 
Vy 
1
 yy
.
1
 xx
и