простейших (и самых важных!) уравнений

Глава III — Немного об уравнениях
Немного об уравнениях (сложение/вычитание).
В цикле I, задача 1, мы с вами определили уравнение как равенство, содержащее неизвестную величину. Решением уравнения мы назвали как формулу решения, так и то значение
неизвестной (число), которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое
равенство.
Совокупность простейших уравнений распадается на две группы: группа сложениявычитания и группа умножения-деления.
Первой группой, состоящей из уравнений (1)–(3), мы и займемся.
Решения я поясню на конкретных числовых уравнениях.
Уравнение
Решение уравнения
(1) х
+
5=8
х=8
(2) х
–
5=8
х = 8 + 5 (2′)
(3) 9
–
х= + 6
–
5 (1′)
+ х=9
– 6 (3′)
Опираемся исключительно на определение действия вычитания: найти неизвестное
слагаемое — это и есть вычитание (п. Немного о вычитании).
Так как работаем только с натуральными числами, то подразумевается, что сумма больше
каждого из слагаемых (если исключить равенство нулю одного из слагаемых).
Видим, в уравнении (1) х — неизвестное слагаемое. Значит, находим действием
вычитания известного слагаемого = 5 из известной суммы = 8, решение (1′). С этим
уравнением мы с вами давно знакомы.
В уравнении (2) видим, что неизвестной является сумма х. (Сравните с (1′): 8 — число из
которого вычитаем, это сумма).
Раз в уравнении (2) х — неизвестная сумма (уменьшаемое), то 5 и 8 — известные
слагаемые. А сумма и «состоит» из слагаемых. Получаем (2′) — решение уравнения (2).
Совершенно аналогично получаем решение уравнения (3): х, число которое вычитаем,
является неизвестным слагаемым (вычитаемым). (Сравните с (1′): 5 — число которое
вычитаем, это слагаемое). А неизвестное слагаемое и находим, по определению,
вычитанием из известной суммы = 9 (уменьшаемого) известного слагаемого = 6 (разности).
Более подробно решение (3′) получим, — дважды опираясь на определение вычитания, —
рассматривая следующую цепочку преобразований:
Неизвестное
слагаемое
(3) 9
–
х=6
9=6 + х
9
–
6=х ⇔ х=9
–
6 (3′)
Самым существенным, в прикладном смысле, для нас является следующее: «уединение х»
(стрелочкой показано, как соответствующие члены уравнения переносятся в другую часть
равенства); и при переносе меняются знаки (для наглядности я обвел знаки контуром).
147
Задача — это очень просто
Знаки меняются по определению действия вычитания (вспомните, как мы ввели знак «–»
(минус): чтобы всего лишь обозначить действие вычитания).
Сценарий.
Вы прочитываете с ребенком выше сказанное (я полагаю, что вам, читатель, все ясно). Ребенок самую суть воспримет (правда, неизвестно с какой долей понимания).
Ваша задача состоит в том, чтобы ребенок «впечатал» (заучил, зазубрил) решения уравнений в память, особенно, уравнения (3). При этом главное, на что обращаем внимание, так это
на смену знаков при переносе в другую часть равенства и лишь в меру понимания — на
смысл действия вычитания. Единственная сто́ящая поддержка ребенку будет заключаться в
том, что при ошибках вы просите его показать стрелочкой (нарисовать), что и куда переносится, как у меня. При малейших заминках — рисуете сами, все время проговаривая: «А
раз переносим в другую часть равенства, то с каким знаком?.. Правильно, с противоположным».
Внимание.
Когда вы будете говорить: «С каким знаком?» — то, как правило, будет звучать ответ: «С
минусом». Это происходит потому, что в уравнении (1) — определении действия вычитания
— действительно «плюс» меняется на «минус». Однако в уравнениях (2) и (3) наоборот —
«минус» меняется на «плюс».
Обязательно поправляйте ребенка, говоря: «Не с минусом, а с противоположным знаком», — и только потом уточняйте с каким именно. В противном случае в 6-м классе, при
работе с отрицательными числами, ребенок будет постоянно путаться в знаках.
В таблице 5 я привожу подборку уравнений типа (1)–(3) для трех «видов» чисел. Главной
трудностью, разумеется, явится правильный счет с десятичным дробями (вычитание) в уравнениях типа (1) и (3).
Натуральные числа
Таблица 5
Обыкновенные дроби
(5-й класс
Десятичные дроби
3
5
7
7
7
х1 + 18 = 40
х1Д + 18,9 = 40,8
a1O + =
y1 + 160 = 500
y1Д + 160,78 = 500,99
2
z1 + 1250 = 4500
z1Д + 1250,067 = 4500,329
2
х2 – 37 = 13
х2Д – 5,5 = 4,9
a2O − = 1
y2 – 260 = 160
y2Д – 16,09 = 50,99
b2O − = 4
z2 – 1350 = 2500
z2Д – 120,647 = 450,373
c2O − 2
25 – х3 = 5
5,5 − х3Д = 4,9
1 − a3O =
140 – y3 = 50
14,56 − y3Д = 4,97
4 − b3O =
4300 – z3 = 400
430,051 − z3Д = 240,905
5 − c3O = 2
148
9
+ b1O = 1
7
13
9
+ c1O = 5
3
7
7
9
7
13
=5
3
7
7
9
7
13
12
13
Глава III — Немного об уравнениях
В таблице 6 я привожу несколько уравнений, которые обязательно нужно свести к простейшим, т. е. к типу уравнений (1)–(3): одна неизвестная величина и два известных числа.
Таблица 6
Уравнения, требующие
Соответствующие
сведения к простейшим
простейшие уравнения
х + 18 + 20 = 40
х + 38 = 40
130 + 200 + х + 120 = 840
х + 450 = 840
150 + 250 + 100 + х = 750
х + 500 = 750
х – 10 + 20 = 40
х + 10 = 40
х + 30 – 10 = 50
х + 20 = 50
100 – 50 – х = 10
50 – х = 10
60 – х + 10 = 30
70 – х = 30
40 – х – 20 = 10
20 – х = 10
Поясню примером.
Очень часто в 6-м классе (и старше) можно наблюдать такую картину:
х + 10 + 20 = 50 ⇒ х = 50 – 10 – 20,
вместо того, чтобы сначала сложить в левой части 10 и 20 (привести подобные, они подчеркнуты) и свести данное уравнение к простейшему, типа (1):
х + 30 = 50 ⇒ х = 50 – 30.
Ясно, что провести два вычитания вместо сложения не только труднее, но и гораздо опаснее (чем больше минусов, тем больше шанс ошибиться).
Натуральные числа
Десятичные дроби
Таблица 7
Обыкновенные дроби
(5-й класс
2
х1 = 22
х1Д = 21,9
a1O =
y1 = 340
y1Д = 340,21
b1O = 1
z1 = 3250
z1Д = 3250,262
c1O = 3
х2 = 50
х2Д = 10,4
a2O = 1
y2 = 420
y2Д = 67,08
b2O = 4
z2 = 3850
z2Д = 571,02
c2O = 7
х3 = 20
х3Д = 0,6
a3O =
y3 = 90
y3Д = 9,59
b3O = 3
z3 = 3900
z3Д = 189,146
c3O = 2
7
5
9
5
13
3
7
7
9
7
13
4
7
2
9
6
13
Пока мы работаем с натуральными числами, как в таблице 6 — еще куда ни шло. Но как
только дроби, да плюс отрицательные числа — пиши пропало.
В таких случаях спрашивайте: «Можем сложить или вычесть (привести подобные)?
149
Задача — это очень просто
Поэтому требуйте: сначала к простейшей форме типа (1)–(3), а далее — отлаженные решения простейших уравнений (1′)–(3′).
В таблице 7 приведены ответы к уравнениям из таблицы 5.
Прорешиваться должны все уравнения («набить руку» до автоматизма) в следующей последовательности: сначала вся группа «натуральных чисел», затем — «обыкновенные дроби», и только в заключение — «десятичные дроби». И ясно почему: указанные две группы,
содержащие 18 уравнений, будут расписаны мгновенно, менее чем за 10–15 минут. А вот
группа «десятичных дробей» потребует утомительного счета (кстати, вот теперь крайне желательна проверка с калькулятором, как и вообще в работе с десятичными дробями при хорошей практике счета).
Ещё немного об уравнениях (умножение/деление).
В главе III, п. «Немного об уравнениях», мы с вами рассмотрели первую группу простейших уравнений — группу сложения-вычитания, опираясь на определение действия вычитания.
Сейчас мы разберёмся со второй группой простейших уравнений — группой умноженияделения, опираясь на определение действия деления1.
В п. «Немного о делении» действие деления было определено как нахождение неизвестного множителя. Тем самым было введено основное (или второе основное) уравнение второй группы х • 6 = 30 и его решение х = 30 : 6. Вторая группа, как и первая, тоже состоит из
трёх уравнений (1)–(3). Я покажу их решения на конкретных числовых примерах.
Уравнение
Решение уравнения
(1) х • 6 = 30
х = 30 : 6
или x =
(1′′)
30
6
(2) х : 2 = 3
или
x
2
х=3•2
=3
(3) 20 : х = 4
или
20
x
(2′)
=4
х = 20 : 4
или x =
(3′)
20
4
Уравнение (1), решаемое по определению деления мы уже разобрали в п. «Немного о делении».Стрелочкой, направленной вниз, показано куда уходит известный множитель (в
знаменатель). Эта графическая мнемоника решения особенно действенна, когда мы записываем деление в виде дроби.
Сравнивая уравнение (2) с решением (1′) уравнения (1), видим, что х — неизвестное произведение (делимое) — вспомните терминологию п. «Немного о делении», — а значит числа
2 и 3 — известные множители. Отсюда получаем решение (2′). Стрелочка, направленная
вверх, показывает, куда уходит известный множитель (в числитель).
В уравнении (3), сравнивая с уравнениями (1) и (2), видим: 20 (что́ делим) — известное
произведение (делимое), х — неизвестный множитель (делитель) и 3 — известный множитель. Следовательно, решение (3′) получаем действием деления. Стрелочки показывают, как меняются местами известный и неизвестный множители.
1
Прежде чем читать далее, я рекомендую вам, читатель, вернуться к главе III и ещё раз прочитать п. «Немного
об уравнениях», поскольку в своём изложении буду опираться на ваше понимание первой группы простейших
уравнений.
150
Глава III — Немного об уравнениях
Более подробно решение (3′) получим, рассматривая следующую цепочку преобразований:
20
(3)
=4
x
20 = 4 • х
20
x=
4
(3′)
Неизвестный
множитель
Внимание.
Как и с уравнениями первой группы, вы «впечатываете» в память ребёнка решения всех
трёх уравнений второй группы. При затруднениях просите его показать стрелочкой (нарисовать, как у меня) куда что идёт.
В таблице 11 дана небольшая подборка уравнений второй группы.
Уравнение (1)
2 •х = 4
5 • y = 15
3 •z = 2
Уравнение (2)
х:3=6
y
3
z
5
Таблица 11
Уравнение (3)
10 : х = 2
=4
15
= 10
5
y
z
=3
=3
В таблице 12 даны решения этих уравнений.
Решение
уравнения (1)
х =4:2=2
y=
z=
15
5
2
3
=3
Решение
уравнения (2)
х = 6 • 3 = 18
Таблица 12
Решение
уравнения (3)
х = 10 : 2 = 5
y = 4 • 3 = 12
y=
z = 10 • 5 = 50
z=
15
3
5
=5
3
Обратите внимание на дробные значения решений ( z =
2
5
5
и z = ). Как ни странно, но
3
обычно ребёнок недоумённо спрашивает: «Как это? Ведь 2 на 3 не делится.», — пока не напомнишь ему, что дробь — это ещё и действие деления.
При необходимости, читатель, вы с лёгкостью увеличите число простейших уравнений,
памятуя о том, что крайне важно (после правильно записанного решения) следить за правильностью счёта.
Однако, в отличие от главы III, сейчас (освоив решения) важнейшим для нас будет совместное применение методов решения уравнений первой и второй групп.
Я подробно покажу один пример. Остальные уравнения будут даны в табличной форме.
Уравнение: 2 • х + 1 = 4. Вы, читатель, пишете вспомогательное уравнение А + 1 = 4 и
спрашиваете ребёнка: « Знаем, как решать это уравнение? Ну разумеется: А = 4 − 1, т. е. А =
3. В алгебре мы одной буквой можем обозначить всё, что угодно. Мы с тобой обозначили
буквой А выражение 2 • х. Подставим в решение вместо буквы А её значение и получим 2 • х
151
Задача — это очень просто
= 4 − 1 или 2 • х = 3. А теперь смотри, что получилось? — уравнение (1) группы умножениеделение, которое мы уже прекрасно умеем решать: x =
3
».
2
Примерно так же поступаете с остальными уравнениями — принцип ясен.
В таблице 13 дана подборка уравнений и их решения на совместное применение методов
решения уравнений первой и второй групп.
Таблица 13
Решения
уравнений
Уравнения, сводящееся
b
к типу (1)
x=
a •x = b
a
5 •х + 3 = 5
5 •х = 5 − 3 → 5 •х = 2 → x =
3х − 4 = 1
3х = 1 + 4 → 3х = 5 → x =
4y − 10 = 2
4y = 2 + 10 → 4y = 12 → y =
4 − 2х = 3
2x = 4 − 3 → 2x = 1 → x =
10 − 4y = 1
4y = 10 − 1 → 4y = 9 → y =
Уравнения, сводящееся
к типу (2)
x
a
2
5
5
3
12
4
=3
1
2
9
4
Решения уравнений
x=b a
=b
х:3=6
2y : 3 = 12
х = 6 • 3 → х = 18
2y = 12 • 3 → 2y = 36 → y = 36 : 2 → y = 18
5z : 10 = 3
5z = 30 → z = 6
4x
=2
4x = 16 → x = 4
= 14
7y = 28 → y = 2
8
7y
2
(2х − 4) : 4 = 6
5 y − 12
2
= 19
5y − 12 = 38 → 5y = 50 → y = 10
(7 − х) : 2 = 3
14 − 2 y
4
2х − 4 = 24 → 2х = 28 → x = 14
=2
7−х=6→х=7−6→x=1
14 − 2y = 8 → 2y = 14 − 8 → 2y = 6 → y = 3
Уравнения, сводящееся
к типу (3)
a
x
Решения уравнений
x=
=b
a
b
35 : х = 7
30 : 2y = 5
х = 35 : 7 → х = 5
2y = 30 : 5 → 2y = 6 → y = 3
60
3z =
3z
= 20
20 : (х + 3) = 4
152
60
20
→ 3z = 3 → z = 1
х + 3 = 20 : 4 → х + 3 = 5 → х = 5 − 3 → x = 2
Глава III — Немного об уравнениях
90
=9
5x
30
2y −1
60
3z + 6
20
5− x
10
7
=5
2y − 1 = 6 → 2y = 7 → y =
=2
3z + 6 = 30 → 3z = 24 → z = 8
=4
3 − 2x
5x = 10 → x = 2
=5
2
5−x=5→x=5−5→x=0
3 − 2x = 2 → 2x = 1 → x =
1
2
Внимание.
1). Так же, как и уравнения первой группы, должны прорешиваться все уравнения второй
группы из таблицы 13 («набить руку» до автоматизма).
2). Вы видите, читатель, что, дав несколько уравнений с подробнейшей росписью решений, я далее (после двойной черты) некоторые этапы пропускаю и провожу вычисления в
уме. Вот здесь мы не только можем, но и должны так поступать, поскольку числа очень
простые и мы можем удержать вычисления в уме. Но кроме того умение проводить вычисления в уме (в нужных местах!) — свидетельство хорошей техники. Поверьте, когда в
старших классах преподаватель видит необоснованную (то есть, нет дробей и многозначных
чисел) подробнейшую роспись решения, то ничего, кроме раздражения, это не вызывает.
3). Всё время старайтесь приучать ребёнка кончиком пера показывать, что куда
идёт, т. е. переносы слагаемых в другую часть равенства — это напоминание о смене знаков; множители — вверх или вниз (в числитель или знаменатель дробей) — это напоминание о методе решения соответствующего уравнения: что́ на что́ делится или умножается.
Движение кончиком ручки заменяет рисование стрелочек и крайне способствует безошибочной записи решений.
153