1. Рациональные числа. Обыкновенные дроби и действия с ними.

(c) Санкт‐Петербургский Государственный Политехнический Университет ; www.avalon.ru §1. Рациональные числа. Обыкновенные дроби и действия с ними. Рациональными числами называются числа, которые могут быть представлены в виде отношения двух целых чисел: , где n ≠ 0. Не умаляя общности, можно считать, что m ∈ Z , n ∈ N. Q = { , m ∈ , n ∈ } ‐ множество всех рациональных чисел. В частности, любое целое число «m» является также и рациональным числом, т.к. m = . Поэтому множество есть подмножество множества Q: ⊂ ⊂ Q. Число называется обыкновенной дробью, где m – числитель, а n – знаменатель дроби. Обыкновенная дробь ± , где , ∈ называется правильной дробью, если m < n и называется неправильной, если m ≥ n. Например: ± ‐ правильная дробь, ± ‐ неправильная дробь. Любую неправильную дробь можно записать в виде смешанного числа, выполнив деление с остатком: m = k ⋅ n + r ⇒ = k Например: = 3 , т.к. 13 = 3 ⋅ 4 + 1; ‐ = ‐ 1 , т.к. 5 = 1⋅3 + 2. Основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель обыкновенной дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится дробь, равная данной: = ⋅
⋅ Это свойство дроби используется при сокращении дробей, например: = ⋅
⋅ = ; ‐ = ‐ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ = ‐ . При сокращении дробей числитель и знаменатель дроби надо разделить на максимально возможное натуральное число. Таким числом для «m» и «n» является НОД(m; n) ‐ их наибольший общий делитель. Например: = ⋅
⋅ = , [НОД(25;150) = 25]; ‐ = ‐ ⋅
⋅ = ‐ , [НОД(162;108) = 54]. На множестве рациональных чисел Q определены все 4 арифметических действия: сложение, вычитание, умножение, деление. Деление возможно на любое рациональное число, отличное от нуля. Деление на 0 не определено. Результатом всех арифметических действий с рациональными числами будет также рациональное число. Рассмотрим эти действия. (c) Санкт‐Петербургский Государственный Политехнический Университет ; www.avalon.ru 1. Сложение и вычитание дробей. а). При сложении (вычитании) дробей с одинаковыми знаменателями нужно сложить (вычесть) числители, а знаменатель оставить прежним. Например: + = = = 4; ‐ = = = ‐ . б). При сложении (вычитании) дробей с разными знаменателями нужно сначала привести дроби к общему знаменателю, т.е. найти НОК – наименьшее общее кратное этих знаменателей; далее числитель и знаменатель каждой дроби надо умножить на дополнительный множитель; затем выполнить действие, как в пункте а). Например: + = [НОК(10;5)=10] = ‐ = [НОК(2;3)=6] = ‐ = ‐ + = ; ⋅
= [НОК(27;36)=108] = ⋅
⋅ = ‐ ⋅
= ; = = . в). При сложении (вычитании) смешанных чисел можно отдельно сложить (вычесть) целые части и дробные части, а результаты затем сложить. Например: 2
2
+ 5
‐ 5
= (2+5) + (
= (2‐5) + (
= ‐2 ‐ + ‐ = ‐(2 + ) = 7 + ) = ‐3 + ) = ‐ 2
+ ‐ = 7 + = ‐3 + = 7
= ‐3 + ; = ‐2 + (
‐1) = ‐2 + . 2. Умножение дробей. При умножении дробей получается дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель равен произведению знаменателей: ⋅ Например: ⋅ 4⋅ (‐ = ‐ = 6
) = ‐ ⋅
⋅ ⋅ = = ⋅
⋅
⋅ = ⋅ = ; ‐ ⋅ = ‐ ⋅
⋅
⋅ =‐ ⋅ =‐ ; ⋅
⋅
⋅
⋅ = ‐ = ‐ 2 ; ‐ ⋅ (‐ 8) = ⋅ = ⋅ = ⋅ = = . 3. Деление дробей. При делении дробей нужно первую дробь умножить на дробь, обратную ко второй дроби: ⋅ = : = ⋅ ⋅ (c) Санкт‐Петербургский Государственный Политехнический Университет ; www.avalon.ru Например: :(‐ ‐4: )= ‐ = ‐ ⋅ ⋅ = ‐ = ‐ ⋅
⋅
⋅ = ‐ ⋅ = ‐ ; 1
: = ⋅
= ⋅
⋅
⋅
⋅ = ‐ ⋅ = ‐ 6; (‐ ): (‐8) = ⋅ = ⋅ = ⋅
⋅ = = 1
; . Замечания. 1. При умножении и делении чисел с одинаковыми знаками результатом будет положительное число, а с разными знаками – отрицательное число. 2. При умножении и делении смешанных чисел надо сначала привести их к неправильным дробям, а затем выполнить действия. Упр.1. Выполнить действия и записать результат в виде целого числа или в виде несократимой правильной дроби, или в виде смешанного числа: а) 3
г) 1
+ 5
; б) 13
⋅ (‐ 4); д) 2
‐ 10
: (‐ 4
; в) ‐2
⋅ 3
; е) ‐3 : (‐2
; .