Задание заочного тура МТКФ 2011

Международный Интеллект – Клуб «Глюон»
15-й Турнир «Компьютерная физика»
Задание заочного тура
КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ
Нелинейные оптические явления возникают в среде в результате возбуждения
колебаний на частотах, не совпадающих с частотой падающего электромагнитного
излучения. Первым было открыто явление комбинационного рассеяние в 1928 г. в Советском
Союзе Ландсбергом Г.С. и Мандельштамом Л.И. при исследовании рассеяния света в
кристаллах и индийским физиком Раманом Ч. при исследовании рассеяния света в
жидкостях. Это явление заключается в том, что при облучении среды светом с частотой w в
рассеянном свете возникает излучение на частоте  = w  w0, где w0 – собственная частота
колебаний в среде. В случае среды типа разреженного газа собственная частота колебаний это частота колебаний электронов в атомах или молекулах. Для разности частот говорят о
стоксовом комбинационном рассеянии, а для суммы частот – об антистоксовом
комбинационном рассеянии.
Спонтанное комбинационное рассеяние (СКР) - рассеяние при взаимодействии
излучения с атомами и молекулами, совершающими тепловые колебания. Создание мощных
лазерных источников излучения привело к открытию в 1962 г. Вудбери Е. и Нг В. эффекта
вынужденного комбинационного рассеяния (ВКР), которое возникает вследствие
раскачки атомных колебаний воздействующим на среду сильным электромагнитным
излучением. Соответственно сигнал ВКР оказывается существенно сильнее сигнала СКР.
Комбинационное рассеяние представляет собой современный метод изучения
структуры и строения среды по сигналу рассеянного света. Наиболее эффективным является
метод когерентного антистоксового рассеяния света (КАРС). Идея этого метода
заключается в принудительном возбуждении собственных колебаний среды под действием
2-х пучков световых волн (волн накачки) с частотами w1 и w2, такими, что разность
w1 - w2 = w0 равна собственной частоте колебаний в среде. В этом случае происходит
резонансное раскачивание колебаний атомов в молекулах. Исследуется сигнал
комбинационного рассеяния, возникающий при прохождении через среду пробной волны с
частотой w3. Обычно в качестве пробной волны используется одна из волн накачки,
например с частотой w1. Наибольший практический интерес представляет антистоксово
рассеяние.
Излучение
в
этом
случае
можно
наблюдать
на
частоте
карс  3  1  2   21  2 . Спектр КАРС может быть получен плавной перестройкой
одной из частот накачки, как правило, 2.
Классическая модель нелинейной среды.
Для описания процессов комбинационного рассеяния предлагается классическая
модель нелинейной среды, состоящей из ансамбля атомов – ангармонических осцилляторов.
В рамках этой модели атомный электрон находится в потенциале
mw0 2 x 2
x2
U
 x ,
2
3
где w0 – собственная частота колебаний среды, а второй член дает малую нелинейную
поправку к гармоническому потенциалу. Для моделирования колебаний электрона
необходимо учесть силу, действующую на электрон со стороны внешнего
электромагнитного поля, а также силу трения, описывающую процесс релаксации в среде и
приводящую к затуханию колебаний в отсутствие внешнего воздействия. Эта сила может
быть записана в виде Fтр=-mVст, где m и Vст - масса и средняя скорость теплового движения
электрона.
В отсутствие внешнего воздействия атомный электрон совершает тепловые колебания
на частоте w0. Амплитуда этих колебаний определяется температурой среды. Для описания
этих колебаний в модель необходимо ввести дополнительную вынуждающую силу f0cosw0t,
амплитуда которой в конечном счете определяется температурой среды. Фактически, в
нашей модели предполагается, что амплитуда тепловых колебаний определяется балансом
работ силы f0cosw0t и силы трения за период колебаний:
f0 = mVст.
Средняя скорость теплового движения может быть определена как
 h0
Vст 
,
 2hkT0

me
 1


-34
где h =6,6310 Джс – постоянная Планка; k = 1,3810-23 Дж/моль – постоянная Больцмана.
При прохождении через среду электромагнитной волны с интенсивностью I0
уравнение движения электрона имеет вид
d 2x
dx
m 2  m  m 0 x  x 2  f 0 cos  0 t  eE0 cos 1t ,
dt
dt

где E0  2 I 0 0 , 0 - магнитная постоянная, 0 – электрическая постоянная.
0
В уравнении член x2 имеет знак «+» при x  0, и знак «-» при x < 0.
Под действием падающего излучения электрон совершает вынужденные колебания и
переизлучает поглощенную от поля энергию на частоте вынужденных колебаний. В
нелинейной среде вынужденные колебания возбуждаются не только на частоте
вынуждающей силы, но также и на наборе частот, определяемых нелинейными свойствами
среды. Спектральное значение энергии (энергии, приходящейся на единичный диапазон
частоты) рассеянного света на частоте w связано со спектральным значением амплитуды
колебаний xw (см. математическое приложение 2) на данной частоте соотношением
1 2e2 4 2
Pw 
w x .
4 0 3c3
где c – скорость света в вакууме, e – заряд электрона.
Задание:
1. Исследовать зависимость спектрального значения энергии рассеянного излучения в
спектроскопии КР от частоты и интенсивности падающего электромагнитного излучения
P (, I0) в диапазоне w = 21015  1016 c-1, предположив, что у вас есть мощный источник
лазерного излучения с интенсивностью I0 = 1012 1018 Вт/м2. Повторите открытие
вынужденного комбинационного рассеяния, определив значение I0 (порог), при котором
возникает ВКР при комнатной температуре 300 К.
2. Исследовать зависимость спектрального значения энергии рассеянного излучения P (T, I0)
в спектроскопии КР от температуры среды, изменяющейся от 30 К до 3000 К при
w = 31015 c-1 и I0 = 1012 1018 Вт/м2.
3. Определить зависимость спектрального значения энергии рассеянного излучения
P (I01, I02) в КАРС спектроскопии от равных интенсивностей волн накачки в диапазоне
I01,2 = 1012 1018 Вт/м2 при комнатной температуре 300 К, если их частоты w1 = 3,51015 c-1
и w2 = 2,51015 c-1. Сравнить КАРС с СКР и ВКР.
Для моделирования предлагаются значения  =1012 с-1, =31011 кг/(мс2), w0=1015 с-1.
Математическое приложение.
1. Численное решение дифференциальных уравнений второго порядка – это сложная
процедура, поэтому одно уравнение второго порядка сведем к двум уравнениям первого
порядка. Запишем систему этих уравнений:
mV 'mV  m 0 x  x 2  f 0 cos  0 t  eE 0 cos 1t ,
x’ = V
Здесь V – скорость электрона, x – координата частицы, штрих означает производную
по времени. В уравнении член x2 имеет знак «+» при x  0, и знак «-» при x < 0.
Конечно-разностная схема для численного решения этой системы уравнений проще,
чем для исходного уравнения. Для примера, конечно-разностная производная от скорости по
времени вычисляется как
V’ = (V – V0)/t,
где V0 – скорость частицы в некоторый момент времени t0, V – скорость частицы через малый
интервал времени t. Для координаты x конечно-разностная производная строится
аналогично.
2. Произвольное движение электрона (даже непериодическое), происходящее по
закону x(t), можно представить в виде суперпозиции гармонических колебаний на различных
частотах  с различными спектральными амплитудами x:
На данной частоте  квадрат спектральной амплитуды xw2, определяющий
спектральное значение энергии излучения, можно вычислить как сумму квадратов
спектральных амплитуд, xw2= (xw k) 2 + (xw s) 2, причем
1
1
x wk 
x(t ) cos wtdt , xws 
x(t )sin wtdt .

2 
2
Численное интегрирование целесообразно производить методом трапеций. Интервал
интегрирования по времени, в нашей задаче равный периоду возбуждающей волны
T1 = 2/1, разбивается на элементарные интервалы t.
Выберем некоторое значение времени ti, находящееся
внутри
интервала
интегрирования.
Значение
подинтегральной функции в этот момент времени равно
(для первого интеграла) fi = x(ti)costi. Для момента
времени ti+1 = ti + t значение функции равно
fi+1 = x(ti+1)costi+1. Будем считать, что в пределах
интервала t функция изменяется линейно. Тогда площадь
заштрихованной
элементарной
трапеции
равна
t(fi + fi+1)/2. Значением интеграла будет площадь всей
фигуры под графиком подинтегральной функции на интервале интегрирования. Эта площадь
является суммой площадей всех элементарных трапеций.
Для второго интеграла вычисления аналогичны.
Литература.
1. Фишман А.И. Спектроскопия когерентного антистоксова рассеяния света. –
Соросовский Образовательный Журнал, т. 7, № 4, 2001 г., с. 105 – 110.
2. Горелик В.С. Комбинационное рассеяние света. - Соросовский Образовательный
Журнал, т. 3, № 6, 1997 г., с. 91 – 96.
3. Калиткин Н.Н. Численные методы.
4. Турчак Л.В. Численные методы.