МЕТОДЫ СОВМЕЩЕННЫХ СЕТОК И ВИРТУАЛЬНЫХ Z

УДК 517.9: 518.6: 519.6: 533
МЕТОДЫ СОВМЕЩЕННЫХ СЕТОК И ВИРТУАЛЬНЫХ Z-ЯЧЕЕК
В.В. Кондрашов
Институт тепло и массообмена им. А.В. Лыкова
Представлены обзор и анализ состояния дел с решением проблем
моделирования сред со значительным вращательным и сдвиговым
движением (деформациями), включая способы уменьшения ошибок
аппроксимации (ошибки скоса потока, transverse problem of
propagation) в алгоритмах численной реализации математических
моделей термомеханических процессов в движущихся средах, и,
как результат, – основные положения методов совмещенных
сеток и виртуальных Z – ячеек.
Ключевые слова
Метод совмещенных сеток, виртуальные Z – ячейки, ошибки скоса потока (transverse
problem of propagation), учет вращательных степеней свободы макродвижений сред.
Условные обозначения
ДУ - дифференциальные уравнения; (к-р) - конечно-разностные; МКР - метод
конечных разностей; МКЭ - метод конечных элементов (FEM - finite element method);
МГЭ - метод граничных элементов (BEM - boundary element method); Фi - функция
ядра i-ой частицы; 1D - одномерное; 2D - двухмерное; 3D - трехмерное; CA – Cellular
Automate; DNE - Direct Numerical Experiment; DNS - Direct Numerical Simulations; GSP grids superposition; MM - meshless or meshfree methods; PIC - particle-in-cell.
Введение.
Будем исходить из самых общих положений, имея в виду обсуждение методов
совмещенных сеток и виртуальных Z - ячеек прежде всего для выделения сути и
полезности представляемых ими новых идей для решения проблем численного моделирования термомеханических процессов и явлений при наличие значительных вращательных и сдвиговых макродвижений и деформаций сред.
С этих позиций весь круг проблем моделирования явлений в движущихся средах
возникает из осознанного стремления людей жить за счет целенаправленного изменения окружающего мира и управления происходящими в нем процессами. Для этого
необходимо уметь добывать нужные знания, то есть находить и устанавливать среди
множества явлений существование причинно-следственных связей между выделенными событиями, которые затем можно было бы воспроизводить по необходимости,
контролируя их и управляя ими. И здесь существенным оказывается не только верная
последовательность действий, но и мера, как их количественная характеристика,
ведущая к желаемому результату.
Чтобы найти законы мер, устраивают опыты, то есть повторяют одни и те же
действия, изменяя некую количественную меру и наблюдая за результатом. Законы мер
- это знания о том, каким будет результат еще до того, как произойдут реальные
практические действия. Эти законы используют как при объяснении того, что, как и
почему происходит в окружающем мире, так и при рукотворном создании известного.
Последнее может происходить только последовательно, поэтапно. И первый этап
реализации любого замысла начинается с наброска плана, проекта или модели, при
1
создании которых уже требуется выполнить немало вычислений для сравнений и
оценок вариантов. Сегодня для этого сподручнее всего оказывается использовать ЭВМ.
Вот поэтому одним из важных результатов шестидесятилетнего послевоенного
развития стран может считаться тот факт, что все чаще и повсеместно в качестве
основного пути разработки и совершенствования образцов новой техники и технологий
избирается метод моделирования процессов и явлений на ЭВМ - прямой численный
эксперимент (DNE) или же прямое численное моделирование (DNS) на ЭВМ [1 - 12].
Ограничения при DNE могут возникать и накладываются лишь техническими
характеристиками вычислительных устройств и уровнем знаний тех, кто организует и
проводит такое моделирование. Есть и дополнительные проблемы, связанные со сложностью адаптации современных знаний, реализованных в уже известных передовых
технологиях, в реальных условиях функционирования научно-производственных комплексов стран с общим отставанием с освоением информационных технологий и их
использованием в научно-производственной сфере. Но есть и базисные проблемы DNE,
порождаемые выбором тех или иных возможностей при численном исследование процессов и явлений. В частности, проблемы, связанные с моделированием движущихся
сложным образом сред с деформацией объемов. Почему это важно? Где и зачем это
нужно? Ответом будет обзор и анализ причин и проблем использования DNE – методов
на практике и представление нового подхода к выбору форм дискретных объемов.
1. Потребность практики: от критериев теории подобия к DNE - моделированию.
Прямой численный эксперимент был открыт и активно используется в мире уже
почти 40 лет, хотя первоначально он рассматривался лишь как альтернативный путь
проведения научно-технических исследований в аэрокосмической промышленности [1
- 2]. C созданием относительно дешевых и мощных компьютеров он стал стремительно
проникать во все наукоемкие отрасли производственно-технической сферы, а именно, в
строительство (горное, гидротехническое, промышленное), энергопроизводство, машиностроение (включая авиа, авто и судостроение), в металлургию, нефтегазодобычу и их
транспортировку, геологоразведку и т.д. [1, 3, 6, 9, 13 - 26].
В DNE - методе в отличие от натурных и экспериментальных метод в принципе
нет необходимости делать какие - то ограничения либо предварительные упрощающие
допущения при разработке физических моделей рассматриваемых реальных процессов
и устройств. Как результат в последние годы стало возможным полномасштабное
моделирование на ЭВМ большого круга промышленных объектов и процессов (турбин,
компрессоров, литьевых машин, горелок и форсунок, анализ термопрочности изделий,
их виброанализ, прокатка, штамповка, механообработка, работа тепловых машин и
механизмов, вентиляция помещений, а также экология, прогноз погоды и т.д.) [3 - 19].
По существу же самой проблемы моделирования возникновение подобной
ситуации связано с практической (слишком дорого, опасно и долго) невозможностью
проведения натурных исследований на существующих и создаваемых промышленных
установках и устройствах и фактическим отличием от натурных измерений результатов, получаемых даже на их геометрически подобных моделях (рис.1). В ряде случаев
такие уменьшенные экспериментальные модели современных изделий просто нельзя
создать (например, спутники, средства микро и наноэлектроники, ТВЭЛ атомных
станций и т.д.). Поиск необходимых с позиций практики оптимальных соотношений
определяющих параметров для них все чаще осуществляется или с использованием
многовариантных систематических экспериментов, или самым простым, понятным,
доступным, но и очень дорогостоящим методом “проб и ошибок” [13 - 23, 27, 28].
2
Дело в том, что на практике прямое физическое моделирование явлений может
неограниченно применяться исключительно для процессов, определяемые числа подобия которых являются функциями безразмерных геометрических параметров системы и только одного определяющего критерия (например, числа Рейнольдса, Re).
Наличие уже двух определяющих критериев заметно осложняет моделирование (при
теплообмене, к примеру, для чисел Re и Прандля, Pr) [27 - 29]. Особенно в тех случаях,
когда невозможно создание геометрически подобных распределений определяющих
параметров пространственных течений даже при сохранении деталей форм моделей
объектов [27, 30, 31].
Рис. 1 Фрагменты течения в модели по исследованию детонационного двигателя.
При трех определяющих критериях прямое экспериментальное моделирование
становится обычно очень сложным или даже просто неосуществимым [27]. Это наблюдается в термогидроаэродинамике многофазных сред и технологических процессах, где
механика движений непосредственно связана и в существенной степени определяется,
например, сопряженными процессами энерговыделения и тепломассообмена. Или в
моделях связанной термовязкоупругости, турбулентности, трибологии, при учете акустики движущихся неоднородных сред, в процессах распространения фронта горения и
фазовых переходов, в пористых телах и т.п. Тем не менее наиболее распространенным
методом исследования явлений и обобщения данных при создании реальных технических устройств и технологий в ряде стран до сих пор остаются освоенные эксперименты на уменьшенных и упрощенных моделях, основанные на теории подобия [16, 27].
Использование теории подобия действительно позволяет получать результаты
быстрее и дешевле, но только при сравнении затрат времени и средств на получение
одних и тех же результатов на экспериментальных образцах и на натурных установках.
Хотя это верно только для стран, которые могут себе позволить содержание одновременно достаточно высококвалифицированных и узкоспециализированных научно-исследовательских коллективов, способных разобраться в комплексных (многомерных,
многокритериальных, разномасштабных, нелинейных, нестационарных, многофазных,
топологически сложных, с неточными данными и др.) процессах и явлениях так, как
это необходимо для практических нужд современного производства [3, 9, 13, 15, 27].
При этом методы теории подобия весьма значительно расширяют и возможности DNE
– методов моделирования.
Поэтому и из-за чрезвычайно сильного воздействия способов применения ЭВМ
на сокращение сроков и повышение качества разработок современных машин и технологий в условиях очень высокого уровня конкурентной борьбы на планете постоянно
3
необходим и уже более 40 лет ведется систематический критический анализ состояния
и развития проблем построения алгоритмов численной реализации сложных моделей
термомеханических процессов и методов решения прикладных задач, включая массу
тонких особенностей [1 - 26]. Остановимся на той части их основных результатов,
которая касается способов построения дискретных моделей физического пространства
сред, и дополним их своим анализом, выделяя корни проблем, новые возможности и
видимые пути их разрешения, а также испытанные временем способы учета деформаций объемов движущихся сред.
2. От сплошной среды к дискретным моделям физического пространства.
Практика проведения численных экспериментов показала, что только он дает
возможность получать детальную информацию о динамических полях течений (векторные поля скоростей, поля давлений, температур и концентраций…), о смещениях и
деформациях элементов в таком виде и объѐме, что допускает их сравнение с замерами
на экспериментальных стендах и в натурных условиях с целью их верификации и
валидации для любых форм объектов и процессов любой степени сложности.
Здесь возможно сравнение данных с применяемыми в отраслях стандартными
(эталонными) или поверочными расчѐтами выделенных объектов, и проведение исчерпывающего расчетно-теоретического анализа сути явлений и процессов. Это позволяет
реально устранять (на западе) ряд негативных моментов, в полной мере выявляемых
сегодня, как правило, лишь на стадии промышленной эксплуатации уже изготовленных
устройств, агрегатов и строений (у нас) [13 – 19, 23, 32].
На практике сказанное выше во многом может быть выполнено сегодня лишь
путем использования коммерческих программных комплексов [32, 33]. Однако опыт их
применения показал, что в них часто заложены концепции, которые становятся или уже
стали непреодолимым препятствием для их
развития и резко сужают сферу их применимости. Это связано прежде всего с тем, что
математическое описание моделей процессов
в технических устройствах включает в себя не
только собственно уравнения, но прежде
всего само пространство, заполненное материальными средами, взаимодействующими
друг с другом. И сегодня становится очевидным, что критической особенностью для многих программных DNE - комплексов является
невозможность выбора моделей дискретного
физического пространства сред с необходиРис. 2 Фрагмент течения в сечение
мыми свойствами (см. рис. 2). Так ли это и
модели вращающегося треугольного
почему это так? И из чего можно выбирать?
транспортного шнека.
Известно, что в основе всей теоретической механики сплошных сред лежит гипотеза сплошности [29]. Эта идеализация
необходима потому, что при исследовании движения сред используют хорошо разработанный и освоенный за три столетия математический аппарат непрерывных функций,
дифференциального и интегрального исчислений. Эта фундаментальная гипотеза в
свою очередь породила модель материальной точки, т.е. бесконечно малой (но
имеющей объем) частицы неоднородной сплошной среды.
4
Она в свою очередь дала возможность ввести ряд понятий (удельных параметров; наряду с координатами и объѐмом “точки” - еѐ скорость, плотность, виды энергий,
давление и др.), которые определяются с помощью чисел или других математических
понятий и которые характеризуют и однозначно определяют еѐ движение. Устанавливая между этими понятиями соотношения по правилам математических операций,
получают уравнения и, по сути, сводят естественнонаучные задачи к математическим
задачам отыскания чисел или числовых функций [29].
Так возникли уравнения Эйлера, Навье-Стокса и Больцмана, описывающие в
разных условиях динамику движения отдельных материальных точек сплошных текучих сред. Так же возникли, например, и уравнения Ферми-Паста-Улама (ФПУ) [34, 35],
описывающие распространение нелинейных волн в средах [36], и создаются новые [12,
37, 38]. Показательно, что на все эти уравнения можно смотреть с позиций представления ими качественно разных моделей сред. Так первые два различаются в принципе
только последовательным усложнением физики взаимодействующих элементов
сплошной среды. Оба есть следствие третьего, в котором на месте “материальных точек“ рассматриваются уже реальные физические сущности. Даже если изменить “только” последовательность операций, необходимых при численном решении этих трех
уравнений, можно получить ряд совершенно новых физических моделей [12, 39, 40].
В ФПУ - моделях (линейные цепочки упруго-связанных материальных точек) не
только реальная, но и модельная среды изначально дискретны. Это ведет к получению
сравнительно простых уравнений, но с принципиально дискретным пространственным
представлением положений “точек”. Попытки замены их моделью сплошной среды
(путем предельного перехода) приводят к ДУ с бесконечным числом высших производных, отбрасывание даже части которых ведет к изменению не только отдельных
свойств модели, но и неадекватному представлению самой природы и геометрии как
исходной ФПУ - модели, так и собственно явления [38, 41].
Результатом осознания того, что модели физического пространства должны
быть дискретными не только в силу корпускулярного строения материальных сред, но
и из-за существенного отражения этой дискретности в нелинейных свойствах материальных систем, - стало создание дискретных клеточных автоматов (СА) [37, 38], основанных на начатых в 50х годах С.Уламом численных исследованиях поведения
нелинейных волн в простейших физических моделях нелинейных систем [35]. Однако
до появления и развития DNE - моделирования инженерно-конструкторский корпус
производственников, непосредственно создающих реальную технику и технологии и
опирающихся в этом на упрощения фундаментальных законов и установленные отраслевые эмпирические закономерности и связи для определяющих параметров, реально
не мог использовать СА.
Дело в том, что с нелинейными свойствами систем практики уже давно столкнулись в задачах механики жидкости и газа, где был получен ряд соответствующих ДУ
в частных производных. Они тщательно анализировались и исследовались в рамках
классической механики сплошных сред. Практические потребности нахождения их
решений привели к созданию численных к-р методов (MKP), методов частиц и метода конечных элементов (МКЭ) [42 - 79], различающихся в своих базовых принципах и
положениях. Исторически к-р аппроксимации производных появились первыми и
использовались для нахождения решений обыкновенных ДУ итерационными методами
(уравнения Лапласа, теплопроводности и бигармоническое) [42, 44]. В газодинамике
это направление открыла в 1928 работа Куранта, Фридрихса и Леви [80 - 82].
Свойства моделей дискретного физического пространства связаны с сутью численных методик. И хотя есть несколько точек зрения, с которых можно рассматривать
5
эту суть, будем исходить из приоритета к-р методов и прежде всего отметим, что
конечная разность - это приращение параметра на конечном (пространственном)
интервале (не стягиваемом путем предельного перехода в точку). Это означает, что ищется закономерность поведения параметра в выделенных и достаточно удаленных точках пространства с минимально
возможной детализацией свойств и геометрии сред как
в окрестности этих точек, так и в пространстве между
ними. В этой ситуации модель “материальной точки”,
т.е. предельной “бесконечно малой” частицы
сплошной среды, здесь по необходимости должна
дополниться моделью частицы, имеющей конечный
Рис. 3a Фрагмент первичной
размер, а значит и форму.
сетки прямоугольных ячеек.
В совокупности они образуют наборы дискретных геометрических моделей физического пространства [41]. По другому говорят, что пространство разбивается на клетки (ячейки, глобулы, квазичастицы,
конечные элементы, крупные частицы, облака частиц
(clouds) и т.д.) или же просто - среда дискретизируется. Ближайшим физическим аналогом этому могут
служить зернистые среды. Однако в отличие от них
материал математических дискретных “зерен” и
вмещающих их сред чаще всего один и тот же.
Рис. 3б Первый дубликат.
Естественно, что нахождение решений 1D к-р
уравнений проще, чем 2D и тем более 3D, и в ряде
случаев может быть выполнено аналитически [42 - 46].
Здесь форма дискретных зерен различается одним
линейным размером в физическом пространстве с
учетом возможно имеющихся симметрий, и особых
проблем для численного решения сегодня нет [44, 57 63]. Но введение в задачу уже второй независимой
координаты изменяет все кардинально [31, 35, 83].
Понимание связи размерности дискретных зерен, их
Рис. 3в Второй дубликат.
формы и свойств дискретных моделей пространства
нашло отражение в истории развития 2D(3D) численных методик [23, 24, 37, 38, 42, 44, 49, 52, 57 - 79].
Изначально размер “материальной точки” считали бесконечно малым прежде всего с позиций измерения длин в технике, когда для многих технических
устройств размер в сотую миллиметра (10-5м = 10
микрон) уже был за пределами разумного. Но в кубике
с ребром такого размера при нормальных условиях
Рис. 3г Третий дубликат
находится 27•109 молекул газа, что является достаторагмента области на рис. 3а.
чным для статистического осреднения, необходимого
при определении термодинамических свойств газов в
этой “точке”. Сегодня эти условия могут быть нарушены не только в ряде случаев
проведения DNE, но уже и в силу технической необходимости в производственной
практике [3 - 8, 11, 21, 23, 32, 77 - 79].
6
И здесь возникают, во-первых, DNE - проблемы описания внешнего взаимодействия этих зерен между собой [57 - 65, 78]. И, во-вторых, проблемы представления
параметров внутри крупной частицы, которые формулируются и решаются по разному
в конкурирующих численных методиках. В методах частиц - явно [58, 78, 95, 101 104], разделяя эйлеровые пространственные точки среды (в глобальной системе
координат) и движущиеся лагранжевые массовые элементы. В МКР и МКЭ – неявно
[45, 51 - 54, 79], в терминах типа аппроксимирующих сплайнов и шаблонов к-р схем
ДУ в частных производных (МКР) или аппроксимирующих (пробных) и весовых
функций на конечных элементах (МКЭ), скрывая тем самым существо моделей
дискретных пространств завесой математической техники интегрирования ДУ в
частных производных (по клеткам, ячейкам, конечным элементам… с применением
явных, неявных, h, p или h - p схем и т.п. [42, 53]).
Поэтому сейчас отметим лишь, что поскольку в расчетах уже были опробованы
дискретные элементы самых разных форм: “материальные” точки; плоские (2D) – треугольники, четырехгранники, круги, ячейки
Дирихле и Вороного и т.п.; пространственные
(3D) – сфера и ее части, цилиндры, торы,
четырех- и шестигранники, фигуры, образованные при сечении их плоскостью, и некоторые
другие - то корень проблем здесь находится
собственно не в выборе формы ячейки как
таковой, а в том, какие свойства среды и как
должны и могут быть с ней непосредственно
Рис. 3д Четвертый дубликат.
связаны.
Этот подход возник не сразу и содержит
элементы физического мышления, часто опирающегося на априорные знания, наблюдения и
интуицию вычислителей - прикладников, тогда
как математики, создавшие к-р аппроксимации
производных, работали с ними зачастую как с
чисто инструментальным способом интегрирования ДУ. Однако достаточно быстро вычислиРис. 3е Пятый дубликат.
тели осознали, что процесс дискретизации
физических уравнений не прост и коварен, если
не проверять получаемые численные решения
экспериментом и теоретическим анализом.
Потому что он может менять не только
количественную точность, но и качественное
поведение решений [42 - 47,77,79,83,84].
Оказалось, что вроде бы “незначительные” изменения, например, вида к-р аппроксимации производных, итерационных схем или
же “просто” трактовка граничных условий могли дать как большой выигрыш в сроках получения решений и необходимых для этого средстРис. 4 Фрагмент расчетной области вах, так и приводить к вычислительным катастрофам. Потому много усилий было потрачено
с совмещенными сетками.
на изучение причин развития неустойчивостей
7
и разного рода “вязкостных” эффектов, возникавших при решении ДУ в частных
производных к-р методами, их устранение или использование [42 - 51, 77 - 86].
Наконец, в семидесятых годах наиболее развитая часть нового научного раздела
– вычислительная гидроаэродинамика – выделилась в отдельную дисциплину [44],
которая отлична как от экспериментальной, так и от теоретической (классической)
газодинамик, существенным образом дополняет их, имея свою собственную сферу
приложений, свои собственные методы, в частности, DNE и DNS, и свои трудности,
над разрешением которых трудятся специалисты - вычислители. Известные конкурирующие численные методики (МКР, МКЭ, МГЭ, СА и ММ) здесь взаимообогащаются за
счет заимствования новых идей и новейших приемов у вычислителей, специализирующихся на приложении разных численных методов в различных прикладных областях.
Итогом этой деятельности сегодня можно считать построение общих численных
методик, доступных практикам в лице их инженерно-конструкторского корпуса
обычно в виде универсальных коммерческих программных DNE - комплексов [3, 9, 13 18, 26, 32, 33].
При этом следует отдавать себе полный отчет в том, что реализованные в DNE комплексах дискретные модели сред не только могут, но и должны иметь существенные отличия как от модели сплошной среды, использующейся при составлении ДУ
в частных производных, так и от самого природного явления, закономерности которого
собственно и представляют интерес. К анализу причин этих различий мы и приступим.
3. Можно ли вообще обойтись без сеток и выбора форм дискретных ячеек?
Итак, можно принять, что нелинейные свойства движущихся сред реального мира
во многом являются следствием их дискретного строения и поэтому вполне адекватно
могут быть смоделированы численными дискретными моделями. Но в чем, в каких
проявлениях находит отражение форма их дискретных элементов? Чтобы разобраться с
этим начнем от противного: а можно ли вообще обойтись без сеток и выбора форм
дискретных ячеек при численном моделировании?
Наиболее общепринятым подходом при решении начально-краевых задач, который
реализован сегодня во всех DNE - комплексах, стал следующий [33, 42, 44, 51]:
1. задают положение границ расчетной области, где значения определяющих задачу
параметров считаются известными;
2. на границе и внутри расчетной области определяют правила выбора координат
точек (сеточных узлов), в которых необходимо найти значения неизвестных;
3. формулируют правила (алгоритмы) и создают реализующие их программы для
ЭВМ, по которым проводятся вычисления.
Два первых пункта можно отнести к постановке задачи и считать их
подготовительными. В последний сведено существо действий. В них для нас сейчас
важно наличие трех моментов:
- до расчета всегда задаются начальными (приблизительными) распределениями
значений неизвестных в заданных точках расчетной области. Более того, сам факт
существования этих начальных данных означает, что в расчетную систему внесены
некие возмущения, уровень и действие которых вроде бы никак не должны повлиять
на искомое в процессе вычислений решение. При этом координаты заданных точек
образуют первичную сетку (триангуляционных) узлов;
- именно здесь вводятся правила, определяющие вид расчетных численных схем
(например, в МКР - шаблон к-р схем; в МКЭ - тип интерполяции неизвестных функций и вариант метода взвешенных невязок и т.д.). Иначе говоря то, каким образом
8
при вычислении неизвестных будут использоваться параметры из других (связанных с данной) точек дискретного пространства. Формулируются правила выбора
ближайших точек (соседей) и тем самым расчетная сетка узлов может заменять
триангуляционную. Это может быть выполнено в явном виде на заданной сетке
расчетных узлов и при задании правил построения ячеек (как в вариантах МКР [44,
52, 56] и в стандартном МКЭ [53, 54]), либо в скрытом виде (как в “чисто
бессеточных” вариантах МГЭ и ММ при выполнении итераций);
- наконец, посредством прохождения ряда уровней дискретизации (1 - задание начальных данных на границах и внутри расчетной области; 2 - выбор правил интерполяции неизвестных; 3 - выбор способа интегрирования по пространству) здесь де
факто образуется дискретная модель (рис. 3) исследуемого явления (в частности,
модели движущихся сред).
Как фундаментальные, так и специфические свойства дискретной модели при
этом должны в известной мере быть идентичны свойствам соответствующей ДУ модели, если явление может быть описано с помощью ДУ в частных производных [42,
44, 49, 51 - 54, 77 - 79, 84 - 88]. Различия дискретной и ДУ - моделей согласно данным
работ [42 - 56, 77 - 79] в основном определяются ошибками к-р аппроксимации
неизвестных. При этом учитываются такие физические свойства ДУ уравнений
сохранения и их к-р аппроксимации производных, как инвариантность, консервативность, причинность, обратимость, положительность и др. [42 - 47, 77, 79, 83, 84].
Неинвариантность к-р схем относительно групп преобразований, которые допускает исходная система ДУ [83], сопровождается счетными эффектами, заметно искажающими картину моделируемого физического процесса [84]. Рассмотрение на основе
дифференциальных приближений инвариантных свойств эйлеровых схем [84] указало
на возможность построения их классов, обладающих свойствами сохранения массы
(это - важное преимущество лагранжевого подхода) и соответствующих инвариантов
относительно преобразований переноса и поворота.
Вместе с этим анализ результатов многих расчетов показывал, что наименьшие
искажения дают схемы, реализующие методы расщепления [51, 85, 86], которые включают в себя и разные варианты развития метода частиц в ячейках (PIC), начавшегося с
работ Харлоу [57, 58]. Существенной особенностью PIC - метода является использование неподвижной эйлеровой сетки, по которой дискретными шагами продвигается
лагранжевая сетка частиц-точек. Неконкурентоспособный в 1D задачах с чисто лагранжевыми методиками он раскрыл свой потенциал в 2D(3D) задачах c большой сдвиговой
деформацией [58, 62 - 65, 77]. При этом достаточно быстро выяснилась необходимость
учета объема и формы частиц как элементов текучей среды. Этот учет существенно
снижает стохастический, прерывистый характер изменения параметров переноса от
использования частиц-точек, но взамен заметно усложняет процедуры расчетов.
Итогом одновременного развития чисто эйлерова и лагранжева подходов в МКР
для 2D (3D) задач стал постепенный переход к использованию различных их сочетаний
[64 - 79], инициированный успехами применения PIC - метода. Здесь показательна
методика “Медуза” [64, 65], связанная с развитием идей Паста и Улама о представлении сред в виде дискретных глобул и реализованная с использованием ячеек Дирихле. Метод FLIC [66, 67] на сетке дискретных клеток с возвратом к подсеточной ДУ модели сплошной среды. Методы OIL [68, 69], СЭЛ [70], ICE, ALE и их комбинации
[71 - 76], различающиеся техникой сочетания разных способов вычисления неизвестных, отнесения их не только к узлам, но и к вершинам и к граням четырехгранных 2D
ячеек, учетом нюансов областей приложения и др. А также различные их модификации
9
и развитие [23, 52, 61, 77 - 79]. Наряду с трех и четырехвершинными 2D - фигурами
здесь введены в рассмотрение и многогранные ячейки Вороного.
Важно отметить, что в лагранжевом подходе вращение со сдвигом или скручивание выделенной формы-глобулы в принципе соответствует геометрическим свойствам самой текучей среды, отображаемым в пространстве траекториями-следами движущихся точек этой формы. Однако ни в одной из известных методик не удается добиться
того, чтобы первичная форма глобул оставалась самоподобной и не вырождалась при
деформациях сдвига и при скручивании на протяжении нескольких шагов продвижения
решения от начальных условий. В рамках
традиционных методов это условие на трансформацию дискретных объемов оказалось
крайне трудно выполнимым – практически
это оказалось невозможным [56, 65, 79].
Продолжение решений на искаженных лагранжевых сетках сопровождается
ростом погрешностей и остановом расчета.
Поэтому для устранения искажений сетка
должна перестраиваться. Частично проблема
Рис. 5а Исходная ячейка и построение
может решаться и путем изменения связносоставляющих частей еѐ новой формы
сти узлов; и проще всего в случаях, когда это
после изменения (поворота) векторвыполняется на каждом шаге продвижения
функции относительно начального
решения [79].
положения
Но еще проще оказалось вообще не
перестраивать исходную сетку, а расщепить
шаг продвижения решения на последовательность лагранжева и эйлерова этапов [58,
66 - 69, 77]. Это решение также изначально
было представлено еще в PIC – методе [57,
58] и оказалось наиболее экономичным по
требованиям к ресурсам ЭВМ. Оно реализовано практически во всех новейших DNE –
комплексах [33], допускает различные
модификации [47, 49, 51, 77, 78, 85], хотя и
Рис. 5б Виртуальная Z –ячейка.
имеет ряд фундаментальных ограничений.
Дело в том, что само наличие сетки,
содержащей некоторый линейный размер расстояние между узлами - фактически вводит в задачу новую произвольную нефизическую величину, вносимую извне [79, 84].
Она влияет на решение вне зависимости от
точности применяемых алгоритмов и
является базовым
параметром любой
дискретной
модели.
Можно
ли избавиться от
Рис.5в Виртуальная 2Z – ячейка.
этого влияния и как?
Вопрос обсуждался, например, в [79] c позиций спектральных методов дискретного представления непрерывных функций. Показано, что частично это влияние может
быть уменьшено, но не может быть устранено полностью из-за ограниченности степеней свободы, которые могут быть связаны с эйлеровыми сеточными ячейками. (Хотя
10
это верно только для ячеек неизменной формы и при фиксированных шаблонах; но
ведь и нет никаких запретов на их изменение (см. рис. 3 - 5); об этом - ниже.)
Для лагранжевых ячеек традиционного типа эти ограничения меньше за счет
допустимости произвольного поступательного движения вершин ячеек. Но на практике
реализовать это преимущество оказалось невозможно при наличии значительных сдвиговых деформаций и вращении ячеек даже для 2D моделей [64 - 77]. Трудности частично преодолеваются за счет изменения узлов - соседей или их связности в пространстве
индексов, которое возникает при нумерации узлов в ходе их создания [79].
Здесь необходимо отметить, что хотя представление физического пространства
сред как системы частиц-точек [23, 57 - 61, 77 - 79] и позволяет вводить в решение
задач большое число степеней свободы, и это соответствует корпускулярной природе
моделируемых сред, но суть проблемы скорее в другом: сколько и какие степени
свободы для элементов движущейся среды действительно необходимо обеспечить при
решении конкретной термомеханической задачи, и как?
До последнего времени учет локальных вращательных степеней свободы движущихся сред представлялся возможным только в методах частиц или путем введения
элементов дискретных вихрей или вихревых ячеек [87]. Ниже будет показано, как то же
самое можно выполнить и для пространственных форм эйлеровых ячеек (рис. 4 - 7).
Надеемся, что представляемые ниже методы совмещенных сеток и виртуальных Z –
ячеек дают конструктивный ответ на все эти вопросы.
Известно [59 - 61], что ограничения по степеням свободы практически снимаются, если в методах частиц можно было бы вообще отказаться от сеток, что по сути
равноценно отказу от использования модели сплошной среды. (Нет модели - нет и ее
проблем). Попытка осуществить эту возможность была реализована, в частности, в
варианте метода частиц В.Ф. Дьяченко (метод свободных точек [59 - 61, 77]). Однако
его осуществление требует столь значительных вычислительных ресурсов, что даже в
отдаленной перспективе он будет использован скорее всего лишь в уникальных единичных расчетах. Хотя сама идея была воспринята в мире вычислителями и все эти годы
интенсивно развивается как ММ, т.е. комбинация идей МГЭ, МКЭ и метода частиц.
Более того, чрезвычайно высокая трудоемкость процессов построения и анализа
сложных первичных 3D сеток и их перестройки в ходе расчетов, создания необходимых для этого алгоритмов привлекло внимание вычислителей к освоению одного из
эффективных направлений поиска решений на пути развития бессеточных методов на
базе интегральных форм граничных уравнений краевых задач [87 - 92]. К концу 1980х
идеи бессеточных МГЭ стали проникать в среду разработчиков МКЭ, что инициировало их бурное развитие и взаимообогащение, идущее последние 10 - 15 лет столь
интенсивно, что и сегодня еще сложно провести даже классификацию создаваемых
численных методик [89, 92]. Поэтому ограничимся перечислением только известных
ММ - методов, поскольку до сих пор здесь есть еще много открытых вопросов [90 - 92]:
SPH(smooth particle hydrodynamics; Lucy, Monaghan (1977)[93 - 98, 100]), MLSPH
(moving least squares SPH (1999)[98, 99]), DPD (dissipative particle dynamics; Espanol,
Flekkøy et al.(1997)[101 - 105]), DEM (diffuse element method; Nayroles et al.(1992)[106,
107]), EFG (element free Galerkin; Belytschko, Lu, Gu (1994) [108 - 112]), RKPM (reproducing kernel particle method; Liu et al.(1995)[113 - 123]), PU/POU/PUM/PUFEM (partition of
unity method; partition of unity FEM; Babuska, Melenk (1996)[124 - 127]), h-p clouds
(Oden, Duarte (1996)[129 - 135]), FCM (Finite Cloud Method; Aluru, Li, 2001[136]), FPM
(finite point method; Onate et al.(1996)[137 - 139]), MLPG (meshless local Petrov-Galerkin;
Atluri, Zhu (1998)[140 - 144]), LBIE (local boundary integral equation; Zhu, Zhang, Atluri
(1998)[145 -148], NEM (natural element method; Sukumar, Moran, Belytschko (1998)[151 -
11
153]), XFEM (extended FEM; Dolbow et al. (1999)[154 - 157]), GFEM (generalized FEM
(2000)[158 - 162]), MFEM (meshless FEM; Idelsohn, Onate, Calvo, Del Pin (2001) [163 165]), MPM (material-point method; Sulsky, Chen, Schreyer (1994)[168 - 174]), PIM (point
interpolation method; Lio, Gu (2001)[175]), ParFEM (particle-in-cell FEM; Moresi, Muhlhaus, Dufour (2001)[176 - 180]), MPFEM (moving particle FEM; Hao et al. (2002) [181 182]).
Возглавивший список из ~20 ММ SPH - метод лагранжевых частиц изначально
был ориентирован на решение астрофизических задач с бесконечно удаленными границами. Попытки использовать его в прикладных областях впервые указали на сложность
учета здесь граничных условий на поверхности твердых тел (типа условий скольжения
потока или температурного скачка), что оказалось ахиллесовой пятой многих ММ [90 92, 97, 100 - 103, 119 - 122, 131]. Плавное (отсюда - smooth) изменение характеристик
лагранжевых частиц в пространстве, описываемое функцией ядра Фi, приводит и к
численным эффектам, в частности, при постоянном давление в системе: возникновению неравновесных сил, если пространственное расположение частиц не соответствует некоторой кристаллической решетке [104, 105].
С позиций PIC - метода частиц вычислители, осваивая SPH, впервые объективно
столкнулись со сложностью и взаимосвязанностью представления параметров внутри
отдельной дискретной частицы с описанием их взаимодействий. Весьма вероятно, что
недооценка роли формы дискретных элементов в описании динамики текучих сред до
сих пор в немалой степени препятствует успеху SPH, порождая его модификации [97,
98, 100] и создание новых МКЭ - методик на основе базисных идей SPH, PIC и МКЭ
методов с привлечением техники RKPM и ячеек Вороного в качестве дискретных
элементов среды, в частности, при решении задач геодинамики: DPD-метод [101-105],
MPM [168 - 174], ParFEM [176-180] и MPFEM [181-182].
В отличие от SPH в МКЭ отмеченную выше взаимосвязь (формально) можно
видеть в поиске наиболее подходящего вида для функций ядра Ф и весовых функций,
связанных с интегрированием на конечных элементах. Тем самым первоначальная
привлекательность идеи МГЭ обойтись вообще без сеток после многолетнего освоения
необходимой для этого техник MLS [99, 106] и RKPM [113 - 119] породила множество
вариаций ММ, лежащих в общем русле изменения правил учета форм ячеек, которые
присутствуют здесь в скрытом виде как области действия интегральных функций ядер
в пространстве. Та же суть скрыта и за выбором вида локальных функций распределения в пространстве определяющих параметров и нюансами техники вариационных
процедур, необходимых при определении глобальных решений [88 - 92].
Действительно, чаще всего решение u операторного уравнения Lu = f ищется
здесь путем подбора подходящих функций ядра Фi так, что локальное решение в пределах дискретного элемента uh = ∑ Фi ui . Пределы суммирования определяются
правилами учета степени взаимодействия (вклада) частиц-соседей. Затем подбирают и весовые
функции, необходимые при использовании метода взвешенных невязок [52 - 55] и по
сути обеспечивающие минимизацию ошибок аппроксимации решения.
При использовании MLS - одного из четырех основных (по виду и способу
употребления весовых функций ω [53, 54, 99]) вариантов схем вариационного метода
наименьших квадратов - вначале определяют вид коэффициентов а(х) разложения
неизвестной функции искомого решения ul(х) по полиномиальному базису pT(x) [99,
106] так, что ul = pT(x) а(х). Из условия экстремума функционала для задачи на
собственные значения в заданной точке хi находится вид вектора а(х). Затем получают
выражение для ul и uh следующего вида [92]:
12
N
∑ ω ( x − x ) p( x ) u
u ( x, x ) = u ( x) = p ( x)
l
h
i
i =1
T
i
i
,
N
∑ ω ( x − x ) p( x ) p
i
i =1
T
(1)
( xi )
i
где суммирование проводится по всем точкам N в расчетной области Ω .
Полученное
выражение соответствует использованию в МКР вместо локально-полиномиальных
сплайнов обобщенных функций Паде. Тем самым техника MLS дает возможность
получить разложение решения uh по дробно - рациональным функциям с коэффициентами, учитывающими взаимовлияние всех точек дискретизации. Ясно, что выбор вида
функций ω (x-xi) определяет одновременно и локальные свойства решения
вблизи
любой точки среды и вклад-взаимодействие их на расстояние. Следующий шаг - определение глобального решения для любой точки области Ω - выполняется с
использованием вариантов процедур метода Галеркина [52 - 55, 92, 110, 117], и фактически
здесь формы дискретных элементов скрыты в “черном ящике” матричных операций.
Другая широко известная RKPM - методика определения вида uh(х) в отличие от
MLS опирается на идеи вейвлет представления функций в локальных областях Ω y
,
покрывающих расчетную область Ω : uh ( x) = ∫ K ( x, y) u( y) dΩ y . Предназначалась она
y
Ω
изначально для повышения точности SPH [114]. Непосредственное использование в
K(x,y) весовых функций ω (x-y), как показано в [113], оказывается неприемлемым, что
во многом и обусловливало недостатки прежних вариантов SPH и вейвлет методов.
При введении корректирующей полиномиальной функции С(x,y) так, что K(x,y) =
C(x,y) ω (x-y), удается обеспечить аппроксимацию n-го порядка в области Ω y..
Нахождение коэффициентов для С(x,y) разложением в ряд Тейлора в итоге дает [92, 118, 121]:
u h ( x) = p T ( x) ⎡ ∫ ω ( x − y) p( y) pT ( y) dΩ
⎤
−1
⎡ ω ( x − y) p( y) a( y) dΩ
⎤∫
y
Ωy
(2)
y
Ωy
Из сравнения (1) и (2) видно, что получены выражения аналогичного вида с заменой
суммирования интегралом по дискретной области. Поскольку обычно он вычисляется
численно, то есть заменяется суммой так, что
C( x, y) ω ( x − y) a( y) d
u h ( x) = i∫ Ω
y=
Ωy
N
∑C( x, x ) ω ( x − x ) u
i
i
∆ iV ,
i=1
то и в результате получается [92]
N
u ( x) = p ( x)
h
∑ ω ( x − x ) p( x ) u
i
i =1
T
i
i
i
∆ Vi
.
N
∑ ω ( x − x ) p( x ) p
i
T
(3)
( xi ) ∆ Vi
i=1
Выражения в (3) отличаются от (1) тем, что в качестве весов здесь появились объемы
областей ∆ Vi. Если все ∆ Vi = const, то выражение для локального решения,
даваемого
RKPM, функциональным видом не отличается от полученного в MLS. В ряде случаев N
в RKPM может соответствовать суммированию не по всем расчетным точкам, а лишь
13
попадающим в дискретный объем ∆ Vi [92]. Видим, что и здесь формы объемов
вполне
сознательно скрыты и информация о них фактически никак не используется.
Однако учитывать форму дискретных пространственных областей по необходимости все-таки приходится. Так распространение метода DEM [106, 107], изначально
основанного на MLS, за пределы 2D проблем теории потенциалов и линейной
14
упругости твердых тел вначале сопровождалось усложнением вида весовых функций
ω (x-y) в (1) и соответственно использованием процедур Петрова-Галеркина
(возник
EFG [108 - 110]), затем заменой MLS на RKPM с применением вариационного метода
Бубнова-Галеркина [110, 117, 120 - 122], обеспечивающего возможность выбора
функций, “ориентированных” в пространстве. При этом вычислительные затраты для
функций ядра выросли более чем в 50 раз сравнительно с классическим МКЭ, что
сделало DEM и EFG неконкурентоспособными даже при учете затрат на построение
сеток в МКЭ. Одновременно шло совершенствование h, p и h-p версий классического
МКЭ. Это привело в ММ – методах к осознанию важности нормировки ∑ Фi(x) = 1 для
любой точки расчетной области и для функций ядер, отличных от δ - функций
Дирака,
получившей даже отдельное обозначение как PU/PUM/POU/PUFEM метод [124 - 127].
Техника h-p версий МКЭ позволяет в пределе малых областей (h -> 0) использовать
полиномы высокого порядка p для обеспечения необходимой точности, а для областей
с конечными h одновременно иметь сходимость решений при p -> 0 [128].
Представляется важным, что практическая потребность в нормировке возникла в
ММ из-за необходимости корректного учета положений пространственных форм ячеек
отдельных областей Ω y в Ω . Поскольку это дополнительно осложняется еще и
наличием двух альтернативных возможностей: воспользоваться для необходимой аппроксимации решения или дискретностью пространства (больше зерен - меньше размеры h и
Ω y - лучше разрешение и проще функции), или свойствами аппроксимирующих функций (чем точнее они на больших Ω y, тем меньшее количество Ω y необходимо).
Ясно,
что покрыть расчетную область дискретными элементами без наложений и пропусков
можно только в случае, если это обеспечивает их форма. Это и нашло отражение в формулировке согласованных с видом ω (x-y) правил расстановки точек (FPM), правил
выбора соседей (NEM) и в учете геометрии Ω y для упрощения интегрирования (MLPG).
Итак, опыт последних десятилетий однозначно указывает, что обойтись без
сеток не удается даже при моделировании задач “бессеточными” методами на базе
интегральных форм граничных уравнений только краевых задач. Выбор форм ячеек во
многом определяют эффективность конкурирующих численных методик. Однако,
возвращаясь к вопросу о влиянии произвольного нефизического дискретного размера
на решение и учитывая результаты развития ММ - методик, видим, что вопрос можно
рассматривать и по другому: имеются ли в задаче естественные локальные пространственные масштабы (размеры), с которыми следует совместить (до неотличимости)
произвольный размер дискретного элемента для устранения посредством этого его
влияния на решение?
Другими словами, структурные элементы сеток и ячеек следует совместить с
линейными размерами, естественно присущими моделируемому явлению и процессу в
любой точке пространства. В случае движущихся сред это могут быть размеры типа
произвольных линейных длин вдоль траекторий частиц (вдоль трубок тока), доли их
поперечных масштабов (размеры типа кривизны траекторий) и т.п.
С этих позиций требуется изменение традиционного подхода к выбору формы
дискретных ячеек, поскольку теперь эта форма должна быть наделена новыми свойствами формально - математической модели. Прежде всего ей должна быть присуща
способность самоподобно деформироваться, изменяя свои размеры и форму в окрестности данного узла первичной сетки в соответствии с изменением относительно своего
первоначального положения некоторой определяющей пространственной вектор функции параметров задачи так, чтобы оставаться “слившейся до неотличимости” с
пространственным распределением этого векторного поля.
15
Описание этого свойства дискретной ячейки может быть воспринято похожим
на деформацию эйлерово - лагранжевой частицы–глобулы под воздействием соседей,
лишенных возможности смещения в пространстве относительно “своего” узла
первичной сетки в процессе продвижения решения. Другими словами это же
может рассматриваться и как дискретизация пространства эйлеровой сеткой
узлов с лагранжевыми ячейками, которые могут только вращаться и сжиматься
(расширяться) относительно фиксированных в пространстве узлов.
Учет смещения узлов конечно
приведет к усложнению расчетов (как
это всегда бывает при переходе в подвижную систему координат), но в известных пределах ничего кардинально нового в представленном подходе уже не меРис. 6 Фрагмент построения виртуальных
няет. Поэтому в данной работе движение
ячеек в расчетной области с изменяющимсеточных узлов не рассматривается.
ся полем вектор - функции в первичных
Анализ известных методов генеузлах расчетной сетки.
рации сеток [24, 44, 51 - 56, 79, 166 - 174,
183 - 195] показывает, что подобным
образом задача еще не ставилась, а значит здесь нет и готового рецепта ее решения.
Наиболее близки, по-видимому, современные методы совместного эйлерово – лагранжевого подхода, использующие адаптирующиеся к решению сетки [33, 186 - 189, 193 194] в криволинейных системах координат. Но и здесь еще не использованы возможности, связанные с изменением самоподобной формы ячеек (не столько лагранжевых
при перестройке сеток, сколько эйлеровых !), их связности. При этом, естественно, нет
и методики выбора самоподобных невырождающихся форм ячеек. Хотя для этого уже
вполне можно воспользоваться простейшим требованием совпадения граней ячеек с
фрагментами траекторий, построенных на определяющим решение поле векторфункции, и с ортогональными к ним сечениями.
Таким образом мы пришли к формулировке нового способа построения дискретной модели физического пространства сред, в которой может быть учтена трансформация дискретного элемента в зависимости от изменения ориентации определяющей
пространственной вектор-функции параметров задачи относительно своего первоначального положения. Рассмотрим этот подход с традиционных позиций.
4. Метод совмещенных сеток со статичной и изменяемой формой ячеек.
Известно [22, 49, 196 - 202], что в многомерных алгоритмах расчета потоков
трудноустранимы ошибки, возникающие из-за скошенного относительно сетки характера движения сред в направлении к одному из углов ячейки, охватывающей узел
сетки. Хотя это и известная сравнительно давно проблема (ошибки скоса потока,
transverse problem of propagation [22, 49]), но удовлетворительного решения ее для
расчетной практики пока не найдено, так как обычно рекомендуемые способы измельчения сеток (mesh refinement) для уменьшения ошибок аппроксимации не решают эту
задачу в принципе [22, 49, 203 - 206].
16
В то же время нет и проблемы, если расчеты можно осуществить или в особых
переменных, учитывающих такой скос, или на сетках, построенных на дискретных
элементах векторных полей, описывающих решаемую задачу. Для газодинамических
задач, например, этими элементами могут служить части трубок тока или вихревых
трубок, для тепловых задач - элементы векторного поля тепловых потоков и т.п. Эти
элементы по своей сути есть искомые неизвестные, но реальная практика моделирования идет однако по пути использования естественных переменных [44 - 56] и методов
динамической адаптации сеток к решениям в этих переменных [189 - 194].
Pяд новейших методов адаптации сеток может дать pадикальное решение проблемы, но ценой построения узкоспециализированных алгоритмов с введением дополнительных неизвестных и функциональных связей [207, 208]. Частично, как уже указывалось выше, проблема решается и при использовании методов расщепления. Также было
показано [203 - 206], как можно добиться того же без изменения положения первичной
сетки узлов: наряду с первичными ячейками предложено ввести в рассмотрение и
другие расчетные ячейки, построенные на тех же самых узлах первичной сетки - метод
совмещения сеток (grids superposition, GSP [203], см. рис. 3, 4).
Сама потребность в ячейках связана в основном с тем, что численные расчеты
по необходимости проводят с использованием интегральных форм уравнений для контрольных объемов [42, 44, 52 - 56]. Вместе с тем, хотя это и ведет к разбиению пространства на плотно упакованные расчетные ячейки-объемы, но изначально к их форме
никаких других особых требований нет: любая расчетная область может быть, в принципе, дискретизирована произвольно, что и наблюдается на практике и представлено
выше в нашем анализе. В рассматриваемом GSP - методе положение узлов первичной
сетки принимается фиксированным для дубликатов (см. рис. 3) расчетной области (но
при необходимости они вполне могут размещаться произвольным образом и
смещаться) и выдвигается ряд требований к построению и учету форм ячеек еще до
проведения расчетов.
Более того, здесь пока не рассматриваются способы расстановки узлов первичной сетки, то есть решение задач триангуляции расчетной области и построение первичной сетки узлов и ячеек, поскольку для представления методов совмещенных сеток и
виртуальных Z - ячеек достаточно рассмотрения любой первичной сетки, например,
простейших четырехгранных (2D) и шестигранных (3D) ячеек.
Если теперь остановиться на той или иной традиционной реализации численной
методики расчетов, то это означает необходимость выбрать характер пространственных
связей между неизвестными и определяющими решение величинами, заданными в
узлах и/или в вершинах и на гранях ячеек [42 - 56]. Для определенности пусть это будет
любой известный классический метод [2, 10, 33, 42, 44, 51, 77, 209, 213], использующий
трехточечный шаблон на сетке узлов для одного координатного направления.
Тогда его можно использовать как для счета на первичной сетке узлов и ячеек,
так и на дубликатах расчетной области, так как положения первичных сеточных узлов
(а значит и связанные с ними данные) не меняются (но отнюдь не параметры балансных соотношений, аппроксимирующие соответствующие интегралы по поверхностям
контрольных объемов и зависящие от их формы!). Например, на первичной 2D сетке
квадратов (см. рис. 3а) можно построить сетки левых (см. рис. 3б) и правых (см. рис.
3в) прямоугольников на соответствующих диагональных полосах и сетку ячеек ”малых
квадратов” (см. рис. 3г, рис. 6) - то есть иметь четыре дубликата расчетной области.
17
После этого любой вычислитель может представить, как провести расчет одной
и той же задачи на одной и той же сетке по одному и тому же численному методу, но
на разных ячейках, изменяя лишь связность узлов эйлеровой сетки. Отметим, что
результаты расчетов могут уже заметно отличаться, как минимум, из-за ошибок скоса и
различий в постановке граничных условий для ячеек разной формы и ориентации в
пространстве. Для стационарных или установившихся решений отличия могут быть и
небольшие, но их эволюция от начальных данных может уже отличаться значительно
(доказательства этого здесь пока опустим)
Итак, в чем выгода получения
нескольких разных решений одной и той
же задачи на одной и той же сетке с
разными ячейками? Ее можно усматривать уже в том, что эти разные решения
просто могут иметь место. Какая их комбинация даст “правильное” решение?
Это определится выбором стратегии взвешивания [209] полученных при
счете значений и верификацией результатов по эталонным данным [13]. Полагаем, что подобный подход для устранеРис. 7 Фрагмент построения трехмерния одних только ошибок скоса в реальных виртульных Z – ячеек.
ных расчетах излишне расточителен и
прямолинеен, и более приемлем по-видимому лишь для теоретических исследований.
Хотя, учитывая существование проблем с распараллеливанием алгоритмов на
многопроцессорных ЭВМ [4 - 6, 210 - 213], уже здесь можно указать на возможность
вести расчеты каждого дубликата на отдельной группе процессоров с учетом
дополнительных преимуществ для повышения точности расчетов от использования
линейных комбинаций базисных трехточечных к-р схем [213].
С современных позиций численного моделирования здесь все дело в том, что
форма ячеек традиционно считается статичной и не изменяется во время счета. Хотя
очевидно, что форма ячеек каждого дубликата может быть теперь непосредственно
связана с операцией “взвешивания”. Последнее было бы алгоритмически выгоднее всетаки выполнить или непосредственно при счете балансных соотношений по
контрольным объемам-ячейкам, или даже до того.
И при этом желательно для одного сеточного узла иметь лишь одну связанную с
ним ячейку “оптимальной” формы. Но что является критерием “оптимальности” для
формы ячейки и почему она должна быть статичной, то есть одной и той же для
начальных и окончательных данных? Если принять, что это условие есть уменьшение
ошибок аппроксимации (и, в частности, отсутствие ошибок скоса), то такую возможность дают ячейки Z - образной формы (или того же типа); и не только для 2D, но и для
3D сеток (см. рис. 3д, 3е, 5б, 5в, 6, 7). Способы построения Z и 2Z ячеек могут быть
разными и отвечать особенностям конкретной прикладной задачи. Сейчас же важно
отметить, что выбором формы ячеек можно изменить суть операции взвешивания.
И здесь, кстати, явно видно отличие предложенной GSP-методики от развиваемых за границей технологий многоблочных наложенных сеток и различных их вариаций (см. NASA overset gridding, Chimera Grid Tools, URL: www.nas.nasa.gov,
science.nas.nasa.gov/Pubs/NASnews [14, 33, 186]), существо которых состоит только в
отыскании надежных способов установления соответствия решений, определяемых на
сетках разных конфигураций, произвольным образом накладывающихся друг на друга
18
или взаимопроникающих. В этом суть их подхода и его отличия от представляемого
здесь GSP-метода, где изначально предполагается одновременное существование
дубликатов расчетной области с одними и теми же узлами, совпадающими с первичной
сеткой узлов.
С учетом Z - ячеек (см. рис.5) количество дубликатов расчетной области, в
принципе, может вырасти на количество узлов сетки, если вектор-функция (для определенности пусть это будет вектор скорости), которая принята для определения ориентации и формы каждой ячейки, связанной с узлом, будет отлична для всех узлов (см.
рис. 3д, 3е, 5). Отметим также, что речь до сих пор шла лишь об одной вектор функции, связанной с конкретной точкой в пространстве (узлом сетки).
Хотя очевидно, что для получения “слившихся до неотличимости” с векторным
полем форм ячеек их отдельные фрагменты (“виртуальной” ячейки) должны определяться локальным положением вектор-функции, которая может иметь разную ориентацию в разных пространственных областях внутри ячейки, например, в вершинах и в
центрах граней (см. рис. 5, 6). При этом характер и особенности поведения векторного
поля в пространстве ячейки, окружающим узел, естественно, должны определять и
выбор той или иной реализации численной методики. Поскольку становятся существенными не только ориентация вектор-функций и их разброс, но и характеристики
формы (объем, размер соответствующих элементов поверхности ячеек и их гладкость).
Кроме этого, можно рассматривать и несколько самих вектор - функций, например, не только вектор скорости, но и градиенты давления или же другие комбинации
переменных в разных точках поверхности ячеек для учета особенностей как численных
методик, так и физики исследуемых процессов и явлений. А также свой набор ячеек
для одной и той же первичной сетки узлов для разных уравнений или их систем.
Более того, выбор формы ячеек может теперь быть связан также и с методикой
проведения расчета задач. Так, если детали начального поля скоростей для задачи не
известны (при этом форма ячеек никак не связана с вектор - функциями), то счет можно
провести сначала на фиксированном наборе сеток по численным схемам низкого
порядка точности. В этом случае результаты можно получить сравнительно быстро, но
и с достаточно большими ошибками, в том числе и ошибками скоса, даже и при использовании операций взвешивания. Полученное решение затем может быть использовано в качестве начальных данных при определении более точного решения. Такая
возможность имеется в создаваемом программном комплексе “САД/SAD” [214, 215].
В отличие от статичных форм введенные в рассмотрение виртуальные Z-ячейки
позволяют полностью устранить ошибки скоса потому, что поверхности контрольных
объемов здесь подстраиваются под траектории движения материальных точек среды
так, что в решении нет разрывов потоковых параметров в точках пересечения граней
соседствующих 2D (3D) ячеек в силу правил построения самих форм ячеек (см. рис. 6 11), нормали к поверхности которых или совпадают с определяющей вектор-функцией,
или ортоганальны к ним.
Тем самым применение “виртуальных” Z-ячеек [205, 206] дает возможность
динамически увязать форму и ориентацию ячеек с известными векторными полями
задачи: от узла к узлу их форма теперь может динамически изменяться в соответствии с
изменением ориентаций векторов скорости или других вектор - функций в разных
точках на поверхности формы. Сама же Z-ячейка (см. рис. 5 - 7) как бы складывается из
фрагментов нескольких траекторий (линий тока), проходящих в окрестностях узла
сетки и вершин, через середины граней первичной ячейки.
Введение дубликатов можно теперь рассматривать как одно из средств устранения несогласованности статичных форм соседних Z - ячеек, приводящих к их наложе-
19
нию (прониканию, пересечению) и нестыковкам из-за различной ориентации определяющих формы границ ячеек вектор - функций в узлах соседних ячеек. А операция
“взвешивания” - это выбор одной конкретной ячейки из ряда “виртуальных”.
В общем случае теперь есть возможность для каждого заданного векторного
поля задачи построить на одних и тех же узлах первичной сетки свой дубликат расчетной области со своими ячейками “оптимальной” формы для соответствующей векторфункции. Но при этом сразу же возникает необходимость решения вопроса для конкретной задачи о физической возможности совмещения в одном узле параметров, которые
для ячеек разной формы в окрестности узла могут быть пространственно разнесены.
Итак, с узлом сетки можно связывать не только средние или локальные значения
данных, но и разные формы ячеек для определяющих задачу векторных полей. Фактически здесь обеспечена возможность естественного геометрического (подсеточного и
динамического) разрешения определяющих параметров (по траекториям или линиям
тока векторных полей) без введения каких-либо дополнительных переменных или же
итераций. Последнее в свою очередь оказывается весьма ценным качеством при
решении нестационарных многомерных задач с движущимися поверхностями разделов
сред или границами расчетных областей [204 - 206, 214, 215].
5. О способах построения Z - ячеек.
Для того, чтобы можно было воспользоваться изложенным выше на практике,
необходимо обсуждении способов построения Z – ячеек. При этом учтем следующее:
1. вначале будем считать, что ищется стационарное решение начально - краевой
задачи методом установления (или итерациями), то есть путем продвижения
решения шагами, начиная с некоторого начального распределения данных;
2. пусть в задаче существует и некоторая вектор - функция решения (например, вектор
скорости), для которой известно лишь осредненное направление начальной
ориентации в расчетной области (например, среда движется по участку прямого
канала слева на право);
3. расчетная область помещена в пространство, в котором равномерно расставлены
точки по каждому координатному направлению xk (k = 1,2,3) так, что они образуют
регулярную сетку узлов с шагами ∆ xki = hk = const. К каждому узлу сетки
(мысленно) присоединена прилежащая прямоугольная область пространства так,
что имеем сетку простых прямоугольных ячеек (см. рис. 3а) или шестигранников (в
3D). Размеры hk для заданной конфигурации расчетной области выбираются по
известным правилам [24, 44, 51 - 56, 79, 166 - 174].
Затем можно поступить следующим образом. Будем считать, что форма каждой из этих
ячеек связана с заданной начальной ориентацией вектор-функции в глобальной системе
координат (или локальной для произвольных ячеек). Для определенности (и в соответствии с пп. 2, 3) пусть в начальный момент у вектора скорости движения среды в выделенном (см. рис. 3а) фрагменте расчетной 2D области, состоящим из девяти ячеек, имеется
только одна ненулевая (в локальной системе координат, например, на рис. 3а это может
быть горизонтальная) составляющая скорости. Тем самым для первичной сетки простейших ячеек установлены непротиворечивые связи для начальной ориентации граней
ячеек и выбранной определяющей вектор – функции (вектора скорости).
Предположим далее, что каким - либо численным методом на данной сетке
узлов и ячеек может быть выполнено продвижение решения задачи на один шаг и при
этом окажется, что в рассматриваемом фрагменте из девяти ячеек ориентация вектор функции изменится на угол α . Для начала пусть этот угол будет небольшим и
почти
20
одинаковым для всех соседних ячеек, окружающих центральную в выделенном
фрагменте (рис. 3а, 8а). Учитывая приведенные выше три исходных положения,
очевидно, что изменение ориентации вектор-функции в ячейках возможно по разным
причинам. Обычно это указывает на то, что начальные данные были неточными и
полученное новое направление должно быть ближе к искомому решению.
И, наконец, предположим, что в момент продвижения решения на шаг среда
действительно была как бы образована из зерен – блоков прямоугольной формы с
“вмороженными” в них векторами. Вместе с поворотом вокруг узлов вектор-функций на
тот же угол α повернутся и ячейки, скользя своими гранями по граням соседей
и
сжимаясь.при этом вдоль нового направления пропорционально косинусу угла поворота
(в 2D, см. рис. 5а, 8).
Рис. 8а Фрагмент построения составляющих частей новой формы виртуальных
ячеек (по типу А) после поворота вектор-функции относительно начального
положения на угол α ~ α diagonal - 50 .
Рис. 8б То же, что на рис. 8а с α ~ α
diagonal
+ 50
.
21
Рис. 8в То же, что на рис. 8а с α ~ 90 - 50.
Рис. 8г То же, что на рис. 8а с α ~ 90 + 100.
Если теперь сосредоточить внимание на одной из вершин первичной ячейки, то
можно наблюдать как с момента начала вращения ячеек здесь возникает полость, форма
которой подобна первичной ячейке, но с другой ориентацией граней и размерами,
пропорциональными синусу угла поворота (в 2D, см. рис. 5а, 8).
Ясно, что эта полость может как-то заполняться средой и тут у нас возникают
несколько альтернативных возможностей для моделирования этого процесса или же,
другими словами, выбора вида (составной) формы реальных или “виртуальных” ячеек
Первая: можно считать, что полости заполняются веществом соседних ячеек
“равноправно”, образуя в результате 2Z – ячейку (в 2D, см. рис. 5в). В этом случае
возникает составная ячейка из пяти самоподобных форм.
22
Рис. 8д То же, что на рис. 8а с α ~ 180 – 4/3 α
diagonal
Рис. 8е То же, что на рис. 8а с α ~ 180 - α
diagonal
-
100.
23
Рис. 8ж То же, что на рис. 8а с α ~ 180 – 2/3 α
diagonal
.
24
Вторая: можно считать, что возникает Z – ячейка (в 2D, см. рис. 5б). Отметим,
забегая вперед, что этой возможностью удобно воспользоваться в задачах, в которых в
качестве вектор - функции действительно выступает вектор скорости движения среды.
Тем самым выбор формы ячеек может быть увязан с физикой предметной области
задачи. Более того, выбор должен быть или одним и тем же для всей расчетной области,
или согласованно изменяться для всех соседей.
Третья: можно считать, что реальный размер ячейки, связанной с узлом первичной сетки действительно уменьшается (рис. 3г, 10). В вершинах в этом случае возникают новые, вторичные ячейки (которые на рисунках выделены крестообразным делением), которые на первичной сетке ячеек имели нулевой (!) объем. В этом случае в
алгоритме расчета изначально должна быть предусмотрена иерархия первичных узлов
сетки и вторичных узлов вершин первичных ячеек (с учетом возможного их вырождения). По сути же это один из способов изменения первичного разбиения пространства
на той же сетке узлов за счет трансформации связанных с ними объемов – ячеек. Ясно,
что такая возможность должна поддерживаться алгоритмом численного метода расчета
и внесет ряд особенностей, в частности, в задание граничных условий и определение
граничных ячеек (если она будет доступна).
Четвертая возможность, наконец, может представлять интерес скорее как
способ повышения точности решения путем измельчения ориентированных составных
частей “виртуальных” ячеек. Для этого следует не объединять части в Z и 2Z ячейки, а
наоборот каждую часть расщеплять на составные элементы-ячейки, обеспечивая тем
самым более точное пространственное разрешение вектор - функции и других неизвестных задачи. Такой прием аналогичен известным иерархическим многосеточным методам [79, 183, 186]. Но в отличие от последних здесь для определения координат
положений новых узлов и ориентации ячеек использован новый комплексный подход,
базирующийся на естественных вектор-функциях решения задачи для геометрического
построения сетки ячеек в (криволинейной ортогональной) локальной системе координат
без ее формального введения в исходную систему ДУ в частных производных.
Выбор любой из представленных возможностей, очевидно, должен (и может)
быть увязан с физикой микродвижений сред на уровне подсеточных масштабов для
конкретной прикладной области исследования процессов и явлений. Причем это может
быть как реально существующим движением среды, если вращение модельных блоковячеек имеет хотя бы качественное подобие с поведением реальных блоков зернистой
среды, так и “виртуальным”, то есть мысленным переразбиением пространства на более
согласованные с искомым решением пространственные ячейки-объемы.
В последнем случае можно считать “просто”, что первичная сетка ячеек не
вполне соответствует заданным начальным данным или полученному решению из-за
наличия ошибок в них или ошибок аппроксимации (например, ошибок скоса потока). В
этом случае ориентация и форма ячеек как бы соответствует мысленной, “виртуальной
перенарезке” среды на новые дискретные блоки-ячейки для выполнения следующего
шага продвижения к искомому решению. Изменение формы ячеек в алгоритмах расчета
может быть учтено по-разному: используя разные способы осреднения на расчетном
шаге или же в конце его.
Так шаг за шагом в соответствии с итерационной идеей метода установления
решение будет продвигаться к искомому, одновременно создавая дискретные формы
ячеек, совпадающих до “неразличимости” с векторным полем определяющей векторфункции решения.
25
Рис. 9а Фрагмент построения составляющих частей новой формы виртуальных
ячеек (по типу Б) после поворота вектор-функции относительно начального
положения на угол α = α diagonal / 2.
Рис. 9б То же, что на рис. 9а с α ~ α
diagonal
– 50.
Рис. 9в То же, что на рис. 9а с α ~ α
diagonal
+ 10.
26
6.
Учет особенностей, связанных с изменением форм Z - ячеек.
Вполне возможно, что ориентация вектор-функции в пространстве в процессе
продвижения решения будет изменяться относительно своего начального положения. И
здесь появляются особенности, связанные с изменением формы ячеек. В частности,
первоначально она может выйти за пределы треугольника (в 2D) или пирамиды (в 3D),
образованных диагоналями и ребрами ячеек. У вычислителя здесь имеется возможность
связать (или не делать этого) пространственную ориентацию определяющей векторфункции ячейки с заданным пространственным положением узлов.
В одном случае (изменения форм структурных элементов по типу А) при
достижении векторами диагональной ориентации (см. рис. 8) составляющие объемы
ячеек достигают своих эстремальных значений (для уменьшающихся – минимума (рис.
8а, 8б), для возрастающих – максимума) и затем возвращаются к своим исходным
значениям для первичной сетки (рис. 8в, 8г). Положение вектор-функции при этом
становится
ортогональным
исходному,
так
как
угол
α
считается
изменяющимся,
нарастая, непрерывно. Тем самым можно получить динамически изменяющуюся форму
ячейки, которая будет совпадать с первичной при совпадении вектор-функции с
направлениями базисных векторов в ортогональной локальной системе координат в
узле. Выделенная пространственная ориентация диагоналей должна, естественно,
поддерживаться также и численным алгоритмом.
В другом случае (по типу Б) экстремальные значения составляющих объемов
достигаются только в ортогональных положениях вектор-функций. С ростом угла
α
объем центральной части, совпадавшей сначала с первичной ячейкой, стремится к нулю
(она вырождается, см. рис. 10б), а составляющие объемов вблизи вершин достигают
своих максимальных значений (рис. 9в). Совпадающую с первичной дает только выбор
“виртуальной” формы 2Z - ячейки. В других случаях этого нет: Z - ячейки
расщепляются на две (рис. 10, 11); вторичные ячейки заполняют все пространство при
ортогональной ориентации вектор-функций. В последнем случае ориентация вектора
как бы становится характеристикой размера ячейки в зависимости от координаты места
узла ячейки.
Выбор той или иной возможности, то есть изменения форм структурных элементов по типу А или Б может оказаться критичным в трехмерном случае для отличных
кубических форм первичных ячеек из-за различной величины смещений и ориентации
граней соседних ячеек, которая может быть получена в результате разной предыстории
изменения углов поворота вектор - функции для соседних ячеек. Здесь разная предыстория может определяться разным направлением обхода узлов или сканированием ячеек
расчетной области, которые сегодня еще не являются обязательным элементом
численных алгоритмов и часто скрыты техникой выполнения матричных вычислений.
Если рассмотренные особенности формообразования ячеек были связаны с
динамикой изменения ориентации вектор-функции, то другие особенности возникают
из-за различной ориентации вектор – функции в соседних узлах как при задании
начальных данных, так и в ходе расчетов. В этом случае необходима коррекция
положений элементов общих граней соседних ячеек для учета возникающих без этого
наложений и нестыковок, которые можно наблюдать на представленных рис. 9 - 11.
При этом каждая грань первичной ячейки распадается на два элемента (рис. 8),
соседствующего с соответствующими элементами других первичных и вторичных ячеек
(для случая А и части случаев Б см. рис.9. Для других вариантов случая Б это относится
ко вторичным ячейкам (см. рис. 10, 11)), которые могут быть ориентированы локально.
27
Рис. 10а То же, что на рис. 9а с α ~ 90 - 1/3 α
diagonal
Рис. 10б То же, что на рис. 9а с α ~ 90 –
50.
28
Рис. 10в То же, что на рис. 9а с α ~ 90 + 1/3 α
diagonal
29
Действительно для определения ориентации каждого из этих элементов может
быть подобрано свое правило в зависимости от одного из двух возможных типов
изменения форм структурных элементов и выбранного вида составной формы виртуальной ячейки, которое найдет отражение в алгоритмах расчета соответствующих
аппроксимаций поверхностных интегралов (или балансных соотношений) или наоборот.
В частности, отдельные наложения и нестыковки могут просто игнорироваться,
например, при выборе Z – формы ячеек (см. рис. 5б).
7. Выводы.
Представлен обзор и анализ состояния дел с решением проблем моделирования
сред со значительным вращательным и сдвиговым движением (деформациями),
включая способы уменьшения ошибок аппроксимации (ошибки скоса, transverse
problem of propagation) применительно к вычислительным алгоритмам численной
реализации математических моделей термомеханических процессов в движущихся
средах, и, как результат, – методы совмещенных сеток (grids superposition, GSP - метод)
и виртуальных Z – ячеек.
В рассматриваемом варианте GSP - метода положение первичной сетки узлов
принято фиксированным для наглядности представления (хотя при необходимости они
вполне могут и смещаться). Затем в рассмотрение введены дубликаты расчетной области, отличающихся статичной формой ячеек и обеспечивающих изменение связности
узлов первичной эйлеровой сетки для одного и того же шаблона численного конечноразностного метода на всех дубликатах расчетной области.
При обсуждении возможности получения решений с исключением ошибок скоса
сделан вывод о необходимости использования для этого виртуальных Z – ячеек (и
других того же типа), которые обеспечивают динамическую увязку их формы с
изменением ориентации векторного поля, определяющего задачу. Отметим, что сама Z
- ячейка как бы складывается из фрагментов траекторий и нормальных к ним сечений
этого поля, проходящих в окрестности узла первичной сетки. Тем самым с узлом
можно связывать не только средние и локальные значения данных, но и разные формы
ячеек для разных векторных полей в задаче, что фактически обеспечивает возможность
естественного геометрического (подсеточного и динамического) разрешения определяющих параметров и независимых переменных. Указано на существование ряда
особенностей, связанных с изменением форм Z – ячеек.
30
Рис. 11а То же, что на рис. 9а с α ~ 180 – 4/3 α
diagonal
Рис. 11б То же, что на рис. 9а с α ~ 180 - α
diagonal.-
Рис. 11в То же, что на рис. 9а с α ~ 180 - α
diagonal
.
10.
+ 50.
31
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Harlow F.H., Fromm J.E. Computer experiments in fluid dynamics // J. Scientific
American. 1965. Vol. 212. №3. P. 104 – 110.
Белоцерковский О.М. Вычислительный эксперимент. Прямое численное
моделирование сложных течений газовой динамики на основе уравнений Эйлера,
Навье-Стокса и Больцмана // Прямое численное моделирование течений газа
(численный эксперимент в газовой динамике). М., ВЦ АН СССР. 1978. C. 6 - 64.
Gosman A.D. Developments in industrial computational fluid dynamics // Trans.
IchemE. 1998. Vol. 76. Pt. A, №2. P. 153 – 161.
Tsatuchara Tahada, Kataoka Lattice gas and lattice Boltzmann methods - new methods
of computational fluid dynamics. Tokio, Corona Publishing Co. 1999. 162 p.
Белоцерковский О.М. Математическое моделирование на суперкомпьютерах
(опыт и тенднции) // Ж.вычисл.матем. и матем.физики. 2000.Т.40.№8.С.1221-1236.
Jenssen C.B. Parallel computational fluid dynamics 2000: Trends and applications //
Proc. of meetings covering numerical methods and industrial applications for parallel
CFD. Elsevier Science. 2001. P. 602.
Hu H.H., Patankar N.A., Zhu M.Y. Direct numerical simulation of fluid – solid system
using the arbitrary Lagrangian – Eulerian technique // J.Comput.Phys. 2001. Vol. 169.
P. 427 - 439.
Shingu S., Takahara H., Fuchigami H., Yamada M., Tsuda Y., Ohfuchi W., Sasaki Y.,
Kobayashi K., Hagiwara T., Habata S., Yokokawa M., Itoh H., Otsuka K. A 26.58
Tflops global atmospheric simulation with the spectral transform method on the earth
simulator // SC2002 Technical Papers. URL:http://sc-2002.org/program_tech.htm
http://sc-2002.org/paperpdfs/pap.pap331.pdf
Carpenter M.H., Singer B.A., Yamaleev N., Vatsa V,N., Viken S.A., Atkins H.L. The
current status of unsteady CFD approaches for aerodynamic flow control. AIAA Paper.
№2002-3346. 2002. 28 p. URL:http://techreports.larc.nasa.gov/ltrs/PDF/2002/aiaa/
NASA-aiaa-2002-3346.pdf
Ковеня В.М. Некоторые тенденции развития математического моделирования //
Вычислительные технологии. 2002. Т. 7. №2. С. 59 – 73.
Jimenez J. Computing high-Reynolds-number turbulence: will simulations ever replace
experiments? // J.Turbulence. 2003. Vol. 4 (from Proc. 5th Intern.Symp. on Engineering
Turbulence Modelling and Measurements, Mallorca, 16 Sept. 2002, Elsevier Science)
Четверушкин Б.Н. Кинетические и Lattice Boltzmann схемы // Тр. межд. конф.
"Математическое моделирование и высокопроизводительные вычисления", 29 30 января 2004. Обнинск, ОГТУ АЭ.
Мелихов В.И., Мелихов О.И., Соловьев С.Л. Теплогидравлический код нового
поколения. Современные тенденции развития // Теплофизика высоких температур
2002. Т. 40. №5 С. 826 – 842.
Исаев С.А., Баранов Б.А., Кудрявцев Н.А. Численное моделирование ламинарного
отрывного течения и теплообмена в пакетах труб с помощью многоблочных
вычислительных технологий // Инженерно-физический журнал. 2004. Т. 77. №1.
С. 122 – 128.
Митрофанов О.В. Гидродинамика и теплообмен закрученных потоков в каналах с
завихрителями // Теплофизика высоких температур. 2003. Т. 41. №4. С. 587 – 633.
Рычков А.Д. Моделирование в теплоэнергетике // Вычислительные технологии.
2002. Т. 7. №2. С. 94 – 105.
32
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
Москвина Г.В., Мостинский И.Л., Полежаев Ю.В., Селиверстов Е.М. Проблемы и
перспективы исследования теплового режима лопаток высокотемпературных
газовых турбин (Обзор по материалам III российской нац.конф. по теплообмену)
// Теплофизика высоких температур. 2003. Т. 41. №5. С. 800 – 816.
Исаев С.А., Леонтьев А.И. Численное моделирование вихревой интенсификации
теплообмена при турбулентном обтекании сферической лунки на стенке узкого
канала // Теплофизика высоких температур. 2003. Т. 41. №5. С. 755 – 770.
Огурцов А.П., Недопекин Ф.В., Белоусов В.В. Математическое моделирование
процессов переноса в слитках и отливках с учетом внешних воздействий. Изд.
Днепродзержинский гос.тех.ун-т. 1997. 199 с.
Численное исследование актуальных проблем машиностроения и механики
сплошных и сыпучих сред методом крупных частиц / Под ред. Ю.М. Давыдова.
М., Нац. Академия прикладных наук. 1995. 1595 с. (в пяти томах).
Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов
тепло- и массобмена. М., Наука. 1988. 265 с.
Белов И.А., Кудрявцев Н.А. Теплоотдача и сопротивление пакетов труб. Л.,
Энергоатомиздат. 1987. 223 с.
Мейдер Ч. Численное моделирование детонации. М., Мир. 1985. 384с.
Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П.
Численное решение многомерных задач газовой динамики. М., Наука. 1976. 400 с.
Госмен А.Д., Пан В.М., Ранчел А.К., Сполдинг Д.Б., Вольфштейн М. Численные
методы исследования течений вязкой жидкости. М., Мир. 1972. 324 с.
Итоги науки и техники. Серии: Гидромеханика (т.5 - 10), Механика жидкости и
газа (т. 11 - 21). М., ВИНИТИ. 1971 – 1986.
Кутателадзе С.С. Анализ подобия и физические модели. Нсб., Наука. 1986. 296с.
Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М., Наука. 1987. 432 с.
Седов Л. И. Механика сплошной среды. - 4 изд. - М., Наука. 1983. 528 с.
Гухман А.А. Введение в теорию подобия. - 2 изд. М., Высш.шк. 1973. 295 с.
Хантли Г. Анализ размерностей. М., Мир. 1970. 174 с.
Knight N.F., StoneT.J. Rapid modeling and analysis tools (evolution, status, needs and
directions). Report NASA/CR-2002-211751. July 2002. 86 p. URL:
http://techreports.larc.nasa.gov/ltrs/PDF/2002/cr/NASA-2002-cr211751.pdf
Пакеты CFD program system: PHOENICS (CHAM Ltd.,www.cham.co.uk); FLUENT
(Fluent Inc.,www.fluent.com); CFX (AEA Technology,www.software.aeat.com/cfx);
STAR-CD (CD adapco Group,www.cd-adapco.com; www.cd.co.uk); LS-DYNA
(Livermore Software Technologies Co.,www.lstc.com); MSC (MSC.Software
Co.,www.mscsoftware.com); FLOW3D (Flow Science Inc.,www.flow3d.com); CFD
RC (CFD Research Co., www.cfdrc.com); Flow Vision (Tesis Co.,www.tesis.com.ru;
www.flowvision.ru); Gas Dynamics Tools (GDT Software Group,www.cfd.ru).
Fermi E.,Pasta J.,Ulam S. Studies of nonlinear problems. Originally: Los Alamos report
LA-1940,1955;later in S.Ulam Sets,numbers and universes. MIT Press.1974.P.491-501
Улам С. Устойчивость при расчетах по методу многих тел // Гидродинамическая
неустойчивость. М., Мир. 1964.
Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М., Мир. 1977. 622с.
Wolfram S. Universality and complexity in cellular automata//Phys.D.1984.V.10.P.1-35
Wolfram S. A new kind of science. 2004. URL: http://www.wolframscience.com
Четверушкин Б.Н. Кинетически-согласованные схемы в газовой динамике. М.,
изд. МГУ. 1999. 232 с.
33
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
Succi S. The Lattice Boltzmann equations for fluid dynamics and beyond. Oxford/
Clarendon press. 2001. 238 p.
Галиулин Р.В. Системы Делоне как основа геометрии дискретного мира // Ж.
вычисл.матем. и матем.физики. 2003. Т. 43. №6.. С. 790 - 801.
Самарский А.А. Теория разностных схем. М., Наука. 1977. 656 с.
Рождественнский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квализилинейных уравнений и их
приложения к газовой динамике. М., Наука. 1978. 688 с.
Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М., Мир. 1980. 616 с.
Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики
жидкости. М., Энергоиздат. 1984. 152 с.
Пейре Р., Тейлор Т.Д. Вычислительные методы в задачах механики жидкости. Л.,
Гидрометеоиздат. 1986. 352 с.
B. Van Leer Computing methods in applied sciences and engineering. Elsevier Science,
NY. 1984. Vol. 6.
Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и
теплообмен. М., Мир. 1990. 728 с. (в двух томах).
LeVeque R.J. Numerical methods for conservation laws. Basel, Birkhauser. 1990.
Пинчуков В.И., Чи-Ванг Шу Численные методы высоких порядков для задач
аэрогидродинамики. Нсб., изд. СО РАН. 2000. 232 с.
Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы
численного решения гиперболических систем уравнений. М., Физматлит, МАИК
“Наука/Интерпериодика”, 2001. 607 с.
Shih T.M. Numerical heat transfer. Berlin, NY, Springer - Verlag. 1983.
Hughes T.J. The finite element method. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. 1987.
Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. М.,Мир.1991.1054с.
Секулович М. Метод конечных элементов. М., Стройиздат. 1993.
Самарский А.А., Колдоба А.В., Повещенко Ю.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П.
Разностные схемы на нерегулярных сетках. Минск, ЗАО “Критерий”. 1996. 273 с.
Evans M.W., Harlow F.H. The particle-in-cell method for hydrodynamic calculations.
Los Alamos scientific lab.rep. № LA-2139. 1957.
Харлоу Ф.Х. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики //
Вычислительные методы в гидродинамике. М., Мир. 1967. с. 316 - 342.
Дьяченко В.Ф. Об одном новом методе численного решения нестационарных
задач газовой динамики с двумя пространственными переменными // Ж. вычисл.
матем. и матем.физики. 1965. Т. 5. №4. С. 680 - 688.
Дьяченко В.Ф. Об одной модели сплошной среды // ДАН СССР. 1967. Т.174. №4
Дьяченко В.Ф. The free point method for problems of continuous media // Comp.
methods in applied mechanics and engineering. 1973. Vol. 2. P. 265 - 277.
Алалыкин Г.Б., Годунов М.К., Киреева И.Л., Плинер Л.А. Решение одномерных
задач газовой динамики в подвижных сетках. М., Наука. 1970. 112 с.
Потугина И.В. Освоение и развитие методики программ расчета одномерных
задач энерговыделения во ВНИИЭФ (1954 - 1986) // ВАНТ. Сер. Матем.
моделирование физ. процессов. 1998. Т.2. С. 50 – 59.
Глаголева Ю.П., Жогов Б.М., Кирьянов Ю.Ф. и др. Основы методики “Медуза”
численного расчета двумерных нестационарных задач газовой динамики // Числ.
методы механ. сплошной среды. Нсб., ВЦ СО АН СССР. 1972. Т. 3, №2. С.18-55.
Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач
математической физики. / Под ред. К.И. Бабенко. М., Наука. 1979. 295 с.
34
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
Rich M. A method for Eulerian fluid dynamics. Los Alamos scientific lab.rep. №
LAMS-2826. 1962.
Gentry R.A., Martin R.E., Daly B.J. An Eulerian differencing method for unsteady
compressible flow problems // J. Comput. Phys. 1966. Vol. 1. №1. P. 87 - 118.
Johnson W.E. OIL – a continuous two – dimensional eulerian hydrodynamic code.
General Atomic Division report. GAMD – 5580, 1964.
Динс Дж., Уолт Дж. Теория удара: некоторые общие принципы и метод расчета в
эйлеровых координатах. // Высокоскоростные ударные явления. М., Мир. 1973.
Нох В.Ф. СЭЛ - совместный эйлерово – лагранжев метод для расчета
нестационарных двумерных задач // Вычислительные методы в гидродинамике.
М., Мир. 1967. с. 128 - 184.
Harlow F.H., Amsden A.A. A numerical fluid dynamics calculation method for all flow
speeds // J.Comput.Phys. 1971. Vol. 8. №2. P. 197 - 213.
Hirt C.W., Amsden A.A., Cook J.L. An arbitrary Lagrangian - Eulerian computing
method for all flow speed // J. Comput.Phys. 1974. Vol. 14 P. 227 – 253.
Amsden A.A., Hirt C.W. YAQUA: An arbitrary Lagrangian – Eulerian computer
program for fluid flow at all speed. Los Alamos scientific lab.rep. № LA-5100. 1973.
Amsden A.A., Ruppel H.M., Hirt C.W. SALE: A simplified ALE computer program
for fluid flow at all speeds. Los Alamos scientific lab.rep. №LA- 8095. June 1980.
Huerta A., Liu W.K. Viscous flow with large free surface motion // Comput. Methods
Appl. Mech. Engng. 1987. Vol. 69. P. 277 - 324.
McGlaun J.M., Thompson S.L., Elrick M.G. CTH: a three dimensional shock wave
physics code // Int. J. Impact Engng. 1990. Vol.10. P. 351-360.
Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой
динамике. Вычислительный эксперимент. М., Наука. 1982. 392 с.
Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц. М., Мир. 1987.
Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков. М., Мир.
1990. 660 с.
Courant R., Friedrichs K.O., Lewy W. Uber die partiellen Differencengleihungen der
mathematischen Physik // Math. Ann. 1928. Vol. 100. P. 32 - 74.
Курант Р., Фридрихс К., Леви Г. О разностных уравнениях математической
физики // УМН. 1940. Вып. 8. С. 125 - 160.
Courant R., Friedrichs K.O., Lewy W. On the partial difference equations of
mathematical physics // IBM Journal. 1967. Vol. 11. P. 215 - 234.
Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М., Наука.
1978. 400 с.
Шокин Ю.И., Яненко Н.Н. Метод дифференциального приближения.
Применение к газовой динамике. Нсб., Наука. 1985. 364 с.
Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Нсб.,
Наука. 1981. 304 с.
Марчук Г. И. Методы расщепления. М., Наука. 1988. 333 с.
Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных
интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости,
электродинамике. М., Наука. 1985.
Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках.
М., Мир. 1984.
Линьков А.М. О становлении и развитие метода граничных элементов // Методы
граничных элементов в механике твердого тела. М., Мир. 1987. С. 264 – 279.
35
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
100.
101.
102.
103.
104.
105.
106.
107.
108.
109.
110.
Partridge P.W., Brebbia C.A., Wrobel L.C. The dual reciprocity boundary element
method. Computational Mechanics Publication. 1992.
Chen C.S., Brebbia C.A., Power H. Dual reciprocity method using compactly supported
radial basis functions // Commun. Numer. Meth. Engng. 1999. Vol.15. P.137 – 150.
Fries T.P., Matthies H.G. Classification and overview of meshfree methods.
Brunswick, Institute of Scientific Computing, Technical University Braunschweig,
Germany. Informatikbericht Nr. 2003 – 03. URL: http://opus.tu-bs.de/opus/volltexte/
2003/418/pdf/MeshfreeMethods.pdf
Lucy L.B. A numerical approach to testing of the fission hypothesis // Astron. J. 1977.
Vol. 82, №12. P. 1013 – 1024.
Gingold R.A., Monaghan J.J. Smoothed particle hydrodynamics: theory and application
to non-spherical stars // Mon.Not.R.Astron.Soc. 1977. Vol. 181. P. 375 - 389.
Monaghan J.J. Why particle methods work // SIAM J. Scientific and Statistical
Computing. 1982. Vol. 3, №4. P. 422-433.; Monaghan J.J. An introduction to SPH //
Computer Physics Communications. 1988. Vol. 48. P. 89 – 96.; Monaghan J.J.
Smoothed particle hydrodynamics // Annual Review of Astronomy and Astrophysics.
1992. Vol. 30. P. 543 - 574.
Libersky L.D., Petschek A.G., Carney T.C., Hipp J.R., Allahdadi F.A. High strain
lagrangian hydrodynamics - a three dimensional SPH code for dynamic material
response //J. Comput. Phys. 1993. Vol. 109. P. 67 - 75.
Bonet J., Kulasegaram S. Correction and stabilization of smooth particle
hydrodynamics methods with applications in metal forming simulations // Int. J. Numer.
Methods Engng. 2000. Vol. 47. P. 1189 - 1214.
Dilts G.A. Moving-Least-Squares-Particle Hydrodynamics I. Consistency and stability
// Int. J. Numer. Methods Engng. 1999. Vol. 44. P. 1115 - 1155.
Lancaster P., Salkauskas K. Surfaces generated by moving least squares methods //
Mathematics of Computation. 1981. Vol. 37. №155. P. 141 - 158.
Cleary P.W., Monaghan J.J. Conduction modelling using Smoothed Particle
Hydrodynamics // J. Comp. Phys. 1999. Vol. 148. P. 227.
Espanol P. Fluid particle dynamics: a syntehsis of dissipative particle dynamics and
smoothed particle dynamics // Europhys. Lett. 1997. Vol. 39. P. 606.
Espanol P. Fluid particle model // Phys. Rev. E. 1998. Vol. 57. P. 2930.
Flekkøy E.G., Coveney P.V. From molecular to dissipative particle dynamics // Phys.
Rev. Lett. 1999. Vol. 83. P. 1775.
Flekkøy E.G., Coveney P.V., Fabritiis G.D. Foundations of dissipative particle
dynamics // Phys. Rev. E. 2000. Vol. 62. P. 2140.
Serrano M., Espanol P. Thermodynamically consistent mesoscopic fluid particle model
// Phys. Rev. E. 2001. Vol. 65. P. 46115.
Nayroles B., Touzot G., Villon P. Generalizing the finite element method: Diffuse
approximation and diffuse elements // Comput. Mech. 1992. Vol. 10. P. 307 - 318.
Krongauz Y., Belytschko T. A Petrov-Galerkin Diffuse Element Method (PG DEM)
and its comparison to EFG // Comp. Mech. 1997. Vol. 19. P. 327 - 333.
Belytschko T., Lu Y.Y., Gu L. Element-free Galerkin methods // Int. J. Num. Methods
Engng. 1994. Vol. 37. P. 229 – 256.
Lu Y.Y., Belytschko T., Gu L. A new implementation of the Element Free Galerkin
Method // Comput. Methods Appl. Mech. Engng. 1994. Vol. 113. P. 397 - 414.
Belytschko T., Krongauz Y., Organ D., Fleming M., Krysl P. Meshless methods: An
overview and recent developments // Comput. Methods Appl. Mech. Engng. 1996. Vol.
139, №1 - 2. P. 3 - 47.
36
111. Belytschko T., Tabarra M. Dynamic fracture using element-free galerkin methods //
Int. J. Numer. Methods Engng. 1996. Vol. 39, №6. P. 923 – 938.
112. Huerta A., Fernandez-Mendez S. Enrichment and coupling of the finite element and
meshless methods // Int. J. Numer. Methods Eng. 2000. Vol. 48, №11. P. 1615 - 1636.
113. Liu W.K., Jun S., Zhang Y.F. Reproducing kernel particle methods // Int. J. Numer.
Methods Fluids. 1995. Vol. 20. P. 1081 - 1106.
114. Liu W.K., Chen Y. Wavelet and multiple scale reproducing kernel methods // Int. J.
Numer. Methods Fluids. 1995. Vol. 21. P. 901 - 931.
115. Liu W.K., Jun S., Li S., Adee J., Belytschko T. Reproducing kernel particle methods
for structural dynamics // Int. J. Numer. Meth. Engng. 1995. Vol. 38. P. 1655 - 1679.
116. Liu W.K., Chen Y., Uras R.A., Chang C.T. Generalized multiple scale reproducing
kernel particle methods // Comp. Methods Appl. Mech. Engng. 1996.Vol.139.P.91-157.
117. Liu W.K., Chen Y., Jun S., Chen J.S., Belytschko T., Pan C., Uras R.A., Chang C.T.
Overview and applications of the reproducing kernel particle methods // Archives of
Computational Methods in Engineering State of Art Reviews. 1996. Vol. 3. P.3 - 80
118. Liu W.K., Li S., Belytschko T. Moving least square reproducing kernel methods (I)
Methodology and convergence // Comput. Methods Appl. Mech. Engng. 1997. Vol.
143. P. 113 - 154.
119. Chen J.S., Pan C., Wu C.T. Large deformation analysis of rubber based on a reproducing kernel particle method // Computational Mechanics. 1997. Vol. 19. P. 211 - 227.
120. Huerta A, Fernandez Mendez S. Enrichment and coupling of the finite element and
meshless methods // Int. J. Numer. Meth. Engng. 2000. Vol. 48. P. 1615 -1636.
121. Choe H.J., Kim D.W., Kim H.H., Kim Y. Meshless method for the stationary
incompressible Navier-Stokes equations // Discrete and Continuous Dynamical Systems
- Series B. 2001. Vol. 1, №4. P. 495 - 526.
122. Chen J.S, Yoon S., Wu C.T. Non-linear version of stabilized conforming nodal
integration for Galerkin mesh-free methods // Int. J. Numer. Meth. Engng. 2002.
Vol.53. P. 2587 - 2615.
123. Chen J.S, Han W., You Y., Meng X. A reproducing kernel method with nodal
interpolation property // Int. J. Numer. Meth. Engng. 2003. Vol.56. P. 935 - 960.
124. Melenk J.M, Babuska I.. The partition of unity finite element method: basic theory and
applications // Comput. Methods Appl. Mech. Engng. 1996. Vol. 139. P. 289 - 314.
125. Babuska I., Melenk J.M. The partition of unity method // Int. J. Numer. Meth. Engng.
1997. Vol. 40. P. 727 - 758.
126. Li S., Liu W.K. Reproducing kernel hierarchical partition of unity, Part I - Formulation
and theory // Int. J. Numer. Meth. Engng. 1999. Vol. 45. P. 251 - 288.
127. Li S., Liu W.K. Reproducing kernel hierarchical partition of unity, Part II Applications // Int. J. Numer. Meth. Engng. 1999. Vol. 45. P. 289 - 317.
128. Babuska I., Szabo B.A. Rates of convergence of the finite element method // Int. J.
Numer. Meth. Engng. 1981. Vol. 18. P. 323 - 341.
129. Duarte C.A., Oden J.T. Hp clouds - a meshless method to solve boundary - value
problems. TICAM Report 95-05, May 1995.
130. Duarte C.A. A review of some meshless methods to solve partial differential equations.
TICAM Report 95-06, 1995.
131. Duarte C.A.M., Oden J.T. An h-p adaptive method using clouds // Comput. Methods
Appl. Mech. Engng. 1996. Vol. 139. P. 237 - 262.
132. Duarte C.A., Oden J.T. Hp clouds-an hp meshless method // Numerical Methods for
Partial Differential Equations. 1996. Vol. 12. P. 673 - 705.
37
133. Duarte C.A. The hp cloud method. PhD dissertation. Austin, the University of Texas.
1996. (Advisor J.T. Oden).
134. Oden J.T., Duarte C.A., Zienkiewicz O.C. A new cloud-based hp finite element method
// Comput. Methods Appl. Mech. Engng. 1998. Vol. 153. P. 117 – 126.
135. Garcia O., Fancello E.A., de Barcellos C.S., Duarte C.A. hp-clouds in Mindlin's thick
plate model // Int. J. Numer. Methods Engng. 2000. Vol. 47. P. 1381 - 1400.
136. Aluru R., Li G. Finite cloud method: A true meshless technique based on a fixed
reproducing kernel approximation // Int.J.Num.Meth.Engng.2001.Vol.50.P.2373-2410.
137. Onate E., Idelsohn S., Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. A finite point method in
computational mechanics. Applications to convective transport and fluid flow // Int. J.
Numer. Methods Engng. 1996. Vol. 39. P. 3839 - 3866.
138. Onate, E.; Idelsohn, S.; Zienkiewicz, O.C.; Taylor, R.L.; Sacco, C.: A stabilized finite
point method for analysis of fluid mechanics problems // Comp. Methods Appl. Mech.
Engng. 1996. Vol. 139. P. 315 - 346.
139. De S., Bathe K.J. The method of finite spheres // Comp. Mech. 2000. Vol. 25. P. 329.
140. Atluri S.N., Zhu T. A new meshless local Petrov-Galerkin (MLPG) approach in
computational mechanics // Computational Mechanics. 1998. Vol. 22. P. 117 - 127.
141. Atluri S.N., Zhu T.L. A new meshless local Petrov-Galerkin (MLPG) approach to
nonlinear problems in computer modeling and simulation // Comp. Mod. Simul. Engng.
1998. Vol. 3, №3. P. 187 - 196.
142. Atluri S.N., Kim H.G., Cho J.Y. A critical assessment of the truly meshless local
Petrov-Galerkin (MLPG) and local boundary integral equation (LBIE) methods //
Comp. Mech. 1999. Vol. 24. P. 348 - 372.
143. Atluri S.N., Zhu T.L. The meshless local Petrov-Galerkin (MLPG) approach for
solving problems in elasto-statics // Comp. Mech. 2000. Vol. 25. P. 169 - 179.
144. Atluri S.N., Shen S. The meshless local Petrov-Galerkin (MLPG) method. Stuttgart,
Tech. Science Press. 2002.
145. Zhu T., Zhang J.D., Atluri S.N. A local boundary integral equation (LBIE) method in
computational mechanics and a meshless discretization approach // Comp. Mech. 1998.
Vol. 21. P. 223 - 235.
146. Zhu T., Zhang J., Atluri S.N. A meshless local boundary integral equation (LBIE)
method for solving nonlinear problems // Comp. Mech. 1998. Vol. 22. P. 174 - 186.
147. Atluri S.N.,Sladek J.,Sladek V.,Zhu T. The local boundary integral equation (LBIE) and
its meshless implementation for linear elasticity//Comp.Mech.2000.Vol.25.P.180-198.
148. Sladek V., Sladek J., Atluri S.N., van Keer R. Numerical integration of singularities in
meshless implementation of local boundary integral equations // Comp. Mech. 2000.
Vol. 25. P. 394 - 403.
149. Braun J., Sambridge M. Dynamical lagrangian remeshing (DLR): A new algorithm for
solving large strain deformation problems and its application to fault-propagation
folding // Earth and Planetary Sciences Letters. 1994. Vol. 124. P. 211 - 220.
150. Braun J., Sambridge M. A numerical nethod for solving partial differential equations
on highly irregular evolving grids // Nature. 1995. Vol. 376. P. 655 - 660.
151. Sukumar N. Natural element method in solid mechanics. PhD thesis, Nortwestern
University, Illinois, 1998.
152. Sukumar N., Moran B., Belytschko T. The natural element method in solid mechanics
// Int. J. Numer. Methods Engng. 1998. Vol. 43, №5. P. 839 - 887.
153. Sukumar N., Moran B., Semenov A.Y., Belikov V.V. Natural neighbour Galerkin
methods // Int. J. Numer. Methods Engng. 2001. Vol. 50. P. 1 - 27.
38
154. Dolbow J., Belytschko T. Numerical integration of the Galerkin weak form in meshfree
methods // Comput. Mech. 1999. Vol. 23. P. 219 - 230.
155. Dolbow J.E. An extended finite element method with discontinuous enrichment for
applied mechanics. PhD dissertation. Evanston, Northwestern University. (Advisor:
Ted Belytschko).
156. Daux C., Moes N., Dolbow J. Sukumar N., Belytschko T. Arbitrary branched and
intersecting cracks with the extended finite element method // Int. J. Numer. Methods
Engng. 2000. Vol. 48: P. 1741 - 1760.
157. Sukumar N., Chopp D.L., Moran B. Extended finite element method and fast marching
method for thre-dimensional fatigue crack propagation // Engineering Fracture
Mechanics. 2003. Vol. 70. P. 29 - 48.
158. Duarte C.A., Babuska I., Oden J.T. Generalized finite element methods for threedimensional structural mechanics problems // Computer and Structures. 2000. Vol. 77.
P. 215 - 232.
159. Duarte C.A., Hamzeh O.N., Liszka T.J., Tworzydlo W.W. A generalized finite element
method for the simulation of three-dimensional dynamic crack propagation // Comp.
Methods Appl. Mech. Engng. 2001. Vol. 190. P. 2227 - 2262.
160. Strouboulis T., Babuska I., Copps K. The design and analysis of the generalized finite
element method // Comp. Methods Appl. Mech. Engng. 2000. Vol. 181. P. 43 - 69.
161. Strouboulis T., Copps K., Babuska I. The generalized finite element method: an
example of its implementation and illustration of its performance // Int. J. Numer. Meth.
Engng. 2000. Vol. 47. P. 1401 - 1417.
162. Strouboulis T., Copps K., Babuska I. The generalized finite element method // Comp.
Methods Appl. Mech. Engng. 2001. Vol. 190. P. 4081 - 4193.
163. Idelsohn S.R., Onate E., Calvo N., Del Pin F. The meshless finite element method //
Int. J. Numer. Methods Engng. 2001.
164. Idelsohn S.R., Onate E., Del Pin F., Calvo N. Lagrangian formulations: The only way
to solve some free-surface fluid mechanics problems // Proc. 5th World Congress on
Computational Mechanics, Vienna, Austria, July 7-12, 2002.
165. Idelsohn S.R., Onate E., Calvo N., Del Pin F. Meshless Finite Element Ideas // Proc.
5th World Congress on Computational Mechanics, Vienna, Austria. July 7-12, 2002.
166. Brackbill J.U., Ruppel H.M. FLIP: A method for adaptively zoned, particle-in-cell
calculations of fluid flows in two dimensions // J.Comput.Phys.1986.Vol.65.P.314-343.
167. Brackbill J.U., Kothe D.B., Ruppel H.M. FLIP: A low-dissipation, particle-in-cell
method for fluid flow // Comput. Phys. Comm. 1998. Vol. 48. P. 25 - 38.
168. Sulsky D., Chen Z., Schreyer H. L. A particle method for history-dependent materials //
Comput. Methods Appl. Mech. Engng. 1994. Vol. 118. P. 179 - 186.
169. Sulsky D., Zhou S.J., Schreyer H.L. Application of a particle-in-cell method to solid
mechanics // Comput. Phys. Commun. 1995. Vol. 87. P. 236 - 252.
170. Sulsky D., Schreyer H.L. Axisymmetric form of the material point method with
applications to upsetting and taylor impact problems // Comput. Methods App. Mech.
Engng. 1996. Vol. 139. P. 409 - 429.
171. Bardenhagen S., Brackbill J., Sulsky D. The material point method for granular
materials // Comput. Methods Appl. Mech. Engng. 2000. Vol. 187. P. 529 - 541.
172. York A.R., Sulsky D., Schreyer H. Fluid-membrane interactions based on the material
point method // Int. J. Numer. Meth. Engng. 2000. Vol. 48. P. 901 - 924.
173. Tan H., Nairn J.A. Hierarchical, adaptive, material point method for dynamic energy
release rate calculations // Comput. Methods Appl. Mech. Engng. 2002. Vol. 191. P.
2095 - 2109.
39
174. Sulsky D., Kaul A. Implicit Dynamics in the Material-Point Method. August 2003. 46 p.
URL: http://www.math.unm.edu/~sulsky/papers/implicit.pdf
175. Liu G.R., Gu Y.T. A point interpolation method for two-dimensional solids // Int. J.
Numer. Meth. Engng. 2001. Vol. 50. P. 937 - 951.
176. Dufour F., Muhlhaus H.B., Moresi L. A particle-in-cell formulation for large
deformation in cosserat continua // Bifurcation and Localization in Soils and Rocks.
Rotterdam, Balkema. 2001. P. 133 - 138.
177. Moresi L., Muhlhaus H.B., Dufour F. Viscoelastic formulation for modelling of plate
tectonics // Bifurcation and Localization in Soils and Rocks. Rotterdam, Balkema. 2001.
P. 337 - 343.
178. Moresi L., Muhlhaus H.B., Dufour F. Particle-in-cell solutions for creeping viscous
flows with internal interfaces // Bifurcation and Localization in Soils and Rocks.
Rotterdam, Balkema. 2001. P. 345 - 353.
179. Moresi L., Dufour F., Muhlhaus H.B. Mantle convection models with viscoelastic/
brittle lithosphere // Numerical methodology and plate tectonic modeling. Pure Appl.
Geophys. 2002. Vol. 159. P. 2335 - 2356.
180. Moresi L., Dufour F., Muhlhaus H.B. A lagrangian integration point finite element
method for large deformation modeling of viscoelastic geomaterials // J. Comput. Phys.
2003. Vol. 184. P. 476 - 497.
181. Hao S., Park H.S., Liu W.K. Moving particle finite element method // Int. J. Numer.
Methods Engng. 2002. Vol. 53, №8. P. 1937 - 1958.
182. Hao S., Liu W.K. Revisit of moving particle finite element method // Proc. 5th World
Congress on Computational Mechanics, Vienna, Austria, July 7-12, 2002
183. Thompson J.F., Warsi Z.U.A., Mastin C.W. Numerical grid generation, foundations
and applications. NY., North Holland. 1985.
184. Иваненко С.А., Прокопов Г.П. Методы построения адаптивно-гармонических
сеток // Ж. вычисл.матем. и матем.физики. 1997. Т. 37, №6. С. 643 - 662.
185. Иваненко С.А. Адаптивно-гармонические сетки. М., ВЦ РАН. 1997.
186. Handbook of grid generation / Eds. J.F Thompson., B.K. Soni, N.P. Weatherill Boca
Raton, Fl., CRC Press. 1999.
187. Liseikin V.D. Grid generation methods. Berlin, Springer. 1999.
188. Гильманов А.Н. Методы адаптивных сеток в задачах газовой динамики. М.,
Наука. 2000. 248 с.
189. Азаренок Б.Н., Иваненко С.А. О применении адаптивных сеток для численного
решения нестационарных задач газовой динамики // // Ж.вычисл.матем. и матем.
физики. 2000. Т. 40, №9. С. 1386 - 1407.
190. Yamakawa S., Shimada K. Quad-layer: Layered quadrilateral meshing of narrow two
dimensional domain by bubble packing and chordial axis transformation // Proc. 2001
DAC. 27th Design Automation Conference. Sept. 9-12, 2001. Pittsburgh, Pennsylvania.
P. 1 - 11. URL: http://ciel.me.cmu.edu/soji/publication/yamakawa_dac2001.pd
191. Itoh T., Shimada K. Automatic conversion of triangular meshes into quadrilateral
meshes with directionality //-Int. J. CAD/CAM. 2001. Vol. 1, No. 2. P. 1598 - 1800.
URL: http://www.ijcc.org/ijcc1-2.pdf
192. Yamakawa S., Shimada K. Hex – dominant mesh generation with directionality control
via packing rectangular solid cells // Proc. Geometric Modelling and Processing 2002.
P. 107 - 118. URL: http://www.andrew.cmu.edu/org/cielab/papers2/02-gmpyamakawa.pdf
193. Годунов С.К. Об идеях, используемых при построении разностных сеток // Ж.
вычисл. матем. и матем.физики. 2003. Т. 43, №6. С.787 - 789.
40
194. Иваненко С.А. Вариационные методы построения адаптивных сеток // Ж. вычисл.
матем. и матем.физики. 2003. Т. 43, №6. С. 830 - 844.
195. Богомолов К.Л., Тишкин В.Ф. Ячейки Дирихле в метрике кратчайшего пути //
Матем. моделирование. 2003. Т. 15, №5. С. 71 - 79.
196. Raithby G.D. A critical evaluation of upstream differencing applied to problems
involving fluid flow // Comp. Meth. App. Mech. Engrg. 1976. Vol.9, №1. P.75-103.
197. Raithby G.D. Skew upstream differencing schemes for problems involving fluid flow //
Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg. 1976. Vol.9, № 2. P.153-164.
198. Hughes T.J.R. A simple scheme for developing ’upwind’ finite elements // Inter. J.
Numer. Meth. Engrg. 1978.Vol.12. P. 1359-1365.
199. De Vahl D., Mallinson G.D. An evaluation of upwind and central difference approximations by a study of recirculating flow // Comp. & Fluids. 1976. Vol.4, № 1. P.29-43.
200. Leonard B.P. A survey of finite differences of opinion on numerical muddling of the
incomprehensible defective confusion equation // Finite Element Methods for
Convection Dominated Flows. AMD Vol. 34, ASME, NY. 1979. P.1-17.
201. Leschziner M.A. Practical evaluation of three finite difference schemes for the
computation of steady - state recirculating flows // Comp. Meth. Appl. Mech. and
Engrg. 1980. Vol.23, № 3. P.293-312.
202. Le Veque R.J. Wave propagation algorithms for multi-dimensional hyperbolic systems
// J. Comput. Phys. 1997. Vol.131. P.327-353. URL: ftp:\\amath.washington.edu\pub\
~rjl\papers\wpalg.ps.Z
203. Кондрашов В.В Повышение точности метода крупных частиц при расчете
движения энергонасыщенных сред на совмещенных сетках. // Инж.-физ.журнал.
2002. Т.75, вып.1. С. 41 – 48.
204. Kondrashov V.V. Improvement of the accuracy of solution on a sequence of
superposed grids with a set of virtual cells differing in shape // Proc. 5th Intern. Congr.
Math. Modeling, Dubna, JINR, Sept.30-Okt.2, 2002. Book of abstracts, Vol.2. P.22-23.
205. Kondrashov V.V. Method of virtual Z-cells via of grids superposition // Proc. 15th
Intern. Conf. Parallel CFD, IMM RAN, Moscow, Russia,13-15 May 2003. Book of
abstracts. P. 55 – 57.
206. Кондрашов В.В. О методе совмещенных сеток // Тепло- и массоперенос – 2003.
Cб.научн.тр. ИТМО. Минск, ГНУ ИТМО НАНБ. 2003. C. 233 - 236.
207. Nishikawa H., Rad M., Roe P.L. Grids and slutions from residual minimisation // Proc.
First Intern. Conf. Comp. Fluid Dynamics, Kyoto, Japan, July 9-14. 2000.
208. Roe P.L., Nishikawa H. Adaptive grid generation by minimising residuals // Proc.
ICFD Conf. Num. Meth. Fluid Dynamics, Oxford, UK, March 26-29. 2001.
209. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. –
М.: Наука, 1979. – 320 с.
210. Воеводин В.В. Параллелизм в алгоритмах и программах / Вычислительные
процессы и системы. / Под ред. Г.И.Марчука. Вып. 10. М., Наука. 1993.
211. Четверушкин Б.Н. Высокопроизводительные многопроцессорные
вычислительные системы // Вестник РАН. 2002. Т. 72. №9. С. 786 - 794.
212. Четверушкин Б.Н. Кинетические схемы и высокопроизводительные многопроцессорные вычисления в газовой динамике // Вычислительные технологии. 2002.
Т. 7. №6. С. 65 - 89.
213. Липавский М.В., Толстых А.И. Мультиоператорные компактные схемы 5-го и 7го порядков // Журн. выч. мат. и мат.физики. 2003. Т. 43. №7.. С. 1018 - 1034.
214. Кондрашов В.В., Ознобишин А.Н. Создание оболочки и интегрирование пакета
многообъектного 2D (3D) генератора сеток для персональных компьютеров //
41
215.
216.
217.
218.
219.
220.
221.
222.
223.
224.
НТО по теме “Кинетические, термодинамические и феноменологические аспекты
математического моделирования термомеханических процессов в сплошных
средах” дог. Ф99Р - 153 с ФФИ РБ (разд. 4.3, 5.1), № гос.рег. 20011106 - Минск,
ИТМО НАН РБ. 2002. 103 с.
Кондрашов В.В., Ознобишин А.Н. Реализация основных элементов ядра
комплекса “САД/SAD” // НТО по теме “Моделирование термомеханических
процессов с учетом кинетических подходов в сплошных средах” дог. Т02Р - 031 с
ФФИ РБ, № гос.рег. 20022431 - Минск, ИТМО НАН РБ. 2004. 137 с.
Hughes T.J.R., Brooks A. A multidiensional upwind scheme with no crosswind
diffusion // Finite Element Methods for Convection Dominated Flows. ASME, New
York. 1979. AMD Vol. 34. P. 19 - 35.
Brooks A., Hughes T.J.R. Streamline upwind/Petrov-Galerkin methods for advection
dominated flows // Proc. 3d Intern. Conf. on Finite Element Methods in Fluid Flows,
Banfl, Canada. 1980.
Hughes T.J.R., Brooks A. A theoretical framework for Petrov-Galerkin methods with
discontinuous weighting functions: Application to the streamline-upwind procedure //
Ed. R.H. Gallagher et al., Finite Elements in Fluids, Vol. 4. 1982. P. 47 - 65.
Hughes T.J.R, Mallet M., Mizukami A. A new finite element formulation for
computational fluid dynamics: II. Beyond SUPG // Comp.Meth.App.Mech.Engng.
1986. Vol. 54. P. 341 - 355.
Bradford S.F., Katopodes N.D. The anti-dissipative, non-monotone behavior of Petrov–
Galerkin upwinding // Int. J. Numer. Meth. Fluids 2000; 33: 583–608
Bourisli R. A General Review of the SUPG Method in a Consistent Petrov-Galerkin
Formulation Applied to Solutions of Viscoelastic Flow Problems // Sci. Rensselaer
Polytechnic Institute Report. 2002. 25 p.URL:http://www.rpi.edu/~bourir/SUPG.pdf
Bochev P., Shashkov M. Constrained interpolation (remap) of divergence-free fields //
Preprint submitted to Elsevier Science, 9 Oct.2003. URL:http://cnls.lanl.gov/
~shashkov/papers/div-free.pdf
Osher S., Sethian J.A. Fronts propagating with curvature dependent speed: Algorithms
based on Hamilton-Jacobi formulations. //J. Comput Physics, 79:12 - 49, 1988 and in:
Sethian, J.A. Level Set Techniques for Tracking Interfaces: Fast Algorithms, Multiple
Regions, Grid Generation and Shape/Character Recognition, Proceedings of the Intern.
Conf. on Curvature Flows and Related Topics, Trento, Italy, 1994, Eds. A. Damlamian,
J., Spruck, and A. Visintin, Gakuto Intern. Series, Tokyo, Japan, 5, pp. 215 - 231, 1995;
Sethian, J.A. A Fast Marching Level Set Method for Monotonically Advancing Fronts,
Proc. Nat. Acad. Sci., 93, 4, pp.1591 - 1595, 1996; Sethian, J.A. Fast Marching
Methods and Level Set Methods for Propagating Interfaces // von Karman Institute
Lecture Series, Computational Fluid Mechanics, 1998; Sethian, J.A. Level Set
Methods and Fast Marching Methods, Cambridge University Press, 1999.
LeVeque R.J., Mitran S. Wave-Propagation Methods and Software for Complex
Applications To appear in Proc. Third International Symposium on Finite Volumes for
Complex Applications, Porquerolles, France, June, 2002.
42