Элементы аналитической геометрии

Элементы аналитической геометрии
в курсе геометрии 10-11 классов
Преподаватель математике школы № 853
Белов А.И.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Введение
Уравнение прямой
Уравнение плоскости
Решение задач с использованием уравнений прямой и плоскости
Расстояние и отклонение точки от плоскости
Задачи для самостоятельного решения
Проверочные работы
1. Введение
В курсе геометрии 10-11 классов большое внимание уделяется декартовым
координатам, векторам и их применению при решении задач. Уравнения простейших
геометрических объектов – прямой и плоскости, дают более наглядную картину
численного восприятия пространства. Учащимся, занимающимся в классах с
углублённым изучением информатики, в физико-математических классах, изучение
данной темы даёт возможность непосредственно использовать свои знания по данной
теме при разработке и применении программ трёхмерной графики. С некоторыми
оговорками некоторые из следующих материалов можно использовать и в 8-9 классах
в при изучении темы «Уравнение прямой на плоскости».
2. Уравнение прямой
Для вывода уравнения прямой в пространстве удобней всего воспользоваться
условием коллинеарности векторов. Рассмотрим прямую l в пространстве, при этом
пусть точка M x0 ; y0 ; z 0  - известная точка, лежащая на этой прямой, и пусть вектор
q  q1 ; q2 ; q3  - известный вектор, коллинеарный прямой l. Данный вектор называется
направляющим вектором прямой. Рассмотрим точку Ax; y; z  - произвольную точку
пространства. Для того, чтобы выполнялось условие A  l , необходимо и достаточно,
чтобы MA || q. Найдём MA  x  x0 ; y  y0 ; z  z 0 . У коллинеарных векторов
x  x0 y  y 0 z  z 0
координаты пропорциональны, значит,


. Полученное
q1
q2
q3
уравнение является каноническим уравнением прямой l.
Преобразуем полученное уравнение следующим образом.
x  x0 y  y 0 z  z 0
Пусть


 t.
q1
q2
q3
 x  x0  q1t ,

Тогда  y  y 0  q 2 t , где t  . Полученная система называется параметрическим
 z  z  q t.,
0
3

уравнением прямой l. Задавая различные значения параметра t , получим различные
точки на прямой l. Так, например, при t  0, получим точку M . Таким образом,
параметр t выполняет роль внутренней координаты на прямой.
Задача 1
Написать уравнение прямой, проходящей через точки A1;1;0; B2;3;1.
Решение
Направляющим вектором прямой будет AB  1;4;1. Отсюда уравнение прямой
x 1 y 1 z

 . Уравнение в параметрическом виде имеет вид
имеет вид
1
4
1
x  1  t,

 y  1  4t ,t  .
z  t,

Задача 2
Написать уравнение прямой, содержащей медиану AM треугольника ABC , если
A 1;2;0; B3;4;5; C1;2;1.
Решение
 3 1 4  2 5 1
M  середина BC , значит, M 
;
;
. Таким образом, M 2;1;3.
2
2 
 2
Направляющим вектором искомой прямой будет вектор AM  3;1;3. Отсюда
x 1 y  2 z

 , а в параметрическом виде
уравнение прямой имеет вид
3
1
3
 x  3t  1,

 y  t  2,t  .
 z  3t ,

Задача 3
Написать уравнение прямой, содержащей высоту AH треугольника ABC , если
A0;1;4; B3;2;1; C1;3;1.
Решение
Высота AH  BC , H  BC . Пусть H x; y; z .
x 1
z 1
 y 3
, причём
BC   2;1;2 , уравнение прямой BC имеет вид
2
2
координаты точки H удовлетворяют этому уравнению.
С другой стороны, AH  BC , значит, их скалярное произведение равно 0. Так как
AH   x  0; y  1; z  4 , то  2x  y  1  2z  4  0.
Отсюда, координаты точки H удовлетворяют системе
z 1
 x 1
 y 3
,

2
 2
 2 x  y  2 z  9  0,
 x  2t  1,
 y  t  3,


 z  2t  1,
 2 2t  1  t  3  22t  1  9  0.
2
 1 11 7 
Решив последнее уравнение, найдём t  . Отсюда, точка H   ; ; . Значит,
3
 3 3 3
 1 8 5
вектор AH    ; ; , и, следовательно, уравнение прямой AH имеет вид
 3 3 3
y  11
z7
x
3
3,


1
8
5


3
3
3
11
7
y
z
x
3 
3.

1
8
5
3. Уравнение плоскости
Для вывода уравнения плоскости воспользуемся условием перпендикулярности
векторов. Рассмотрим плоскость  . Пусть точка M 0 x0 ; y 0 ; z 0   известная точка,
принадлежащая данной плоскости, и пусть вектор n   A; B; C   известный вектор,
перпендикулярный плоскости  . Такой вектор называется нормальным вектором
(нормалью) плоскости. Точка M x; y; z   произвольная точка пространства. Для того,
чтобы выполнялось условие M   , необходимо и достаточно, чтобы вектора n и
M 0 M были перпендикулярны, следовательно, скалярное произведение этих векторов
должно быть равно 0.
M 0 M  x  x0 ; y  y0 ; z  z0 .
M 0 M  n  Ax  x0   B y  y 0   C z  z 0 .
Ax  By  Cz   Ax0  By 0  Cz0   0.
Обозначим D   Ax0  By 0  Cz0 . Отсюда Ax  By  Cz  D  0. Полученное
уравнение является уравнением плоскости  .
Задача 4
Написать уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка AB,
перпендикулярно к нему, если A2;1;4; B0;5;2.
Решение
Найдём координаты точки O  середины отрезка AB.
O1;2;1.
AB   2;6;6  нормальный вектор искомой плоскости.
Отсюда искомое уравнение имеет вид  2x  1  6 y  2  6z  1  0.
Итак,  x  3 y  3z  3  0  искомое уравнение.
Задача 5
Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат,
x 1 y 1 z

 .
перпендикулярно прямой
2
1
4
Решение
Направляющий вектор данной прямой будет нормалью к искомой плоскости,
следовательно, n  2;1;4. Тогда уравнение плоскости имеет вид 2 x  y  4 z  0.
Задача 6
Написать уравнение плоскости, проходящей через точки
A1;1;0; B2;3;1; C 1;3;2.
Решение
AB  1;4;1; AC   2;4;2. Так как координаты найденных векторов не являются
пропорциональными, то AB и AC неколллинеарны, а значит, точки A, B, C не лежат
на одной прямой. Через три точки, не лежащие на одной прямой можно провести
единственную плоскость. Нормальный вектор этой плоскости должен быть
перпендикулярен любому вектору, лежащему в плоскости, а по критерию
перпендикулярности прямой и плоскости для этого необходимо и достаточно
перпендикулярности каким-либо двум неколлинеарным векторам, лежащим в
плоскости. Пусть нормаль n   A; B; C . Тогда n  AB  0; n  AC  0.
Найдём координаты нормали из системы
 A  4 B  C  0,

 2 A  4 B  2C  0,
3 A  C  0,
C  3 A.
Пусть A  1. Тогда C  3; B  1.
Таким образом n  1;1;3, а уравнение искомой плоскости имеет вид
1 x  1  1 y  1  3 z  0  0,
x  y  3z  2  0.
4. Решение задач с помощью уравнений прямой и плоскости
Задача 7
Найти пересечение плоскостей  : 2 x  y  3z  1  0 и  : 2 x  y  2 z  6  0.
Решение
Плоскости  и  пересекаются по прямой l , так как нормаль плоскости 
неколллинеарна нормали плоскости  . Точки прямой пересечения должны
удовлетворять системе уравнений
2 x  y  3 z  1  0,

 2 x  y  2 z  6  0.
 5 z  5  0,
z  1,
2 x  y  4  0,
y  4  2 x.
Тогда при x  0 получим y  4, а при x  2 получим y  0. Значит, точки A0;4;1
и B2;0;1 принадлежат линии пересечения плоскостей. Вектор AB  2;4;0 
направляющий вектор искомой прямой. Тогда уравнение линии пересечения имеет
x y  4 z 1

. В данном случае деление на 0 означает лишь то, что прямая
вид 
2
4
0
параллельна плоскости Oxy. Уравнение прямой в параметрическом виде имеет вид
x  t,

 y  2t  4,t  .
 z  1,

Задача 8
Найти пересечение прямой l :
x 1 y  2 z

 и плоскости  : 2 x  y  z  6  0.
2
1
3
Решение
Направляющий вектор данной прямой q  2;1;3 и нормальный вектор данной
плоскости n  2;1;1 не являются перпендикулярными (так как их скалярное
произведение не равно 0). Значит, данная прямая и плоскость пересекаются в
точке A, координаты которой удовлетворяют системе уравнений
2 x  y  z  6  0,

 x 1 y  2 z
 2   1  3 ,
 x  2t  1,
 y  t  2,


 z  3t ,
22t  1  t  2  3t  6  0,
6t  6  0,
t  1,
x  1,
y  1,
z  3 .
Таким образом, искомая точка имеет координаты A 1;1;3.
5. Расстояние и отклонение точки от плоскости
Пусть точка M 0 x0 ; y 0 ; z 0   известная точка пространства и пусть дана плоскость
 : Ax  By  Cz  D  0. Пусть N - проекция точки M на плоскость  . Тогда
N  a   , где a - прямая, проходящая через точку M перпендикулярно
плоскости  . Нормальный вектор плоскости  совпадает с направляющим
вектором прямой a, значит, уравнение этой прямой имеет вид
x  x0 y  y 0 z  z 0


. Координаты точки N удовлетворяют системе уравнений
A
B
C
 x  x0 y  y 0 z  z 0


,

B
C
 A
 Ax  By  Cz  D  0,
 x  x0  At ,
 y  y  Bt ,

0

 z  z 0  Ct ,
 A At  x0   BBt  y 0   C Ct  z 0   D  0,
Ax0  By 0  Cz0  D
.
A2  B 2  C 2
Расстояние от точки M до плоскости  - это длина вектора MN   At; Bt ; Ct .
Отсюда получим
Отсюда t  
Ax0  By 0  Cz 0  D
 Ax  By  Cz 0  D 
MN   0 2 0 2
.
 A 2  B 2  C 2  
2
A  B C


A2  B 2  C 2
Итак, формула расстояния от точки M до плоскости 
Ax0  By 0  Cz0  D
 M ,   
.
2
2
2
A  B C
Модуль в числителе этого выражения говорит о том, что на данном расстоянии от
плоскости  на прямой, проходящей через точку M , находятся две точки – сама
точка M и симметричная ей относительно плоскости  . Таким образом, знак
выражения внутри модуля в числителе дроби показывает, с какой стороны от
плоскости  расположена точка.
Ax  By 0  Cz 0  D
Выражение  M ,    0
называется отклонением точки от
2
2
2
A  B C
плоскости и обладает следующим смыслом
 M ,   0 если M   ,
 M ,   0 если M лежит по ту же сторону от  , куда направлен нормальный
вектор  A; B; C  плоскости  ,
 M ,   0 если M лежит по другую сторону от  .
2
Задача 9
Найти расстояние от точки A1;2;3 до плоскости  : 2 x  3 y  z  1  0.
Решение
Используя полученную формулу, получим
2  6  3 1
6
6 14 3 14
  A,   



.
2
2
2
14
7
14
2  3   1
Задача 10
Пересекает ли плоскость  : x  4 y  2 z  5  0 отрезок AB, если A1;1;1; B2;1;0?
Пересекает ли плоскость прямая AB ?
Решение
1 4  2  5
4
  A,   

 0.
1  16  4
21
2405
11
  B,   

 0.
1  16  4
21
Таким образом, отклонения обеих точек от плоскости одного знака, следовательно,
они лежат по одну сторону от  , а значит, отрезок AB не пересекает плоскость  .
Но отклонения данных точек не равны между собой, значит, они находятся на
разном расстоянии от плоскости, то есть отрезок AB не параллелен плоскости  .
Следовательно, прямая AB пересекает плоскость  .
6. Задачи для самостоятельного решения
Уравнение прямой
1. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A и B , если
А) A2;1;3; B 1;0;1
Б) A 2;1;1; B1;1;1
2. Лежит ли точка P на прямой AB, если A 1;2;3; B4;1;1; P0;2;3?
3. Известно, что A1;2;3; B 1;0;1; C2;2;5. Написать уравнения прямых
CD, BD , AD, если ABCD  параллелограмм.
4. Написать уравнения медиан треугольника ABC , если
A1;2;1; B 1;1;2; C3;3;4.
5. Написать уравнение высот треугольника ABC , если A1;1;1; B2;1;3; C0;5;1.
x 1 y  2 z 1


6. При каком значении параметра a прямая
пересекает ось
3
a
2
аппликат?
x 1 y  2 z

 и осью абсцисс.
7. Найти расстояние между прямой
3
2
1
x  4 y 1 z 1


8. Найти уравнение общего перпендикуляра прямых a :
и
4
1
0
x4 y 5 z 2
b:


.
2
1
3
Уравнение плоскости
1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A1;3;2,
перпендикулярно отрезку AB, если B0;1;5.
2. Написать уравнение плоскости, проходящей через середину AB,
перпендикулярно AB, если
А) A1;4;10; B 3;2;0
Б) A2;1;5; B 2;1;1
3. Плоскость  задана уравнением 6 x  7 y  34 z  2007  0. Найти уравнения
плоскостей, симметричных 
А) относительно оси абсцисс
Б) относительно оси ординат
В) относительно оси аппликат
Г) относительно плоскости Oxz
Д) относительно плоскости Oxy
Е) относительно плоскости Oyz
Ж) относительно начала координат
4. Написать уравнения плоскостей, проходящих через точку A1;2;3 и
перпендикулярных каждой из координатных осей.
5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C , если
А) A1;1;1; B2;3;0; C 2;2;5
Б) A3;1;2; B 2;3;3; C0;0;6
6. Составить уравнение плоскости, симметрично плоскости  : 2 x  5 y  z  0
относительно точки A1;2;4.
7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки A 1;0;2 и B3;4;1,
параллельно оси аппликат.
Уравнения прямой и плоскости
1. Найти пересечение плоскостей  и  , если
 : 3x  2 y  5 z  1  0;
А)
 : x  y  3z  4  0
 : 5 x  3 y  2 z  1  0;
Б)
 :x y z40
2. Спроектировать точку A6;2;4 на плоскость  : 3x  y  2 z  0.
x 1 y  2 z

 и плоскости
3. Найти пересечение прямой a :
2
4
1
 : 2 x  y  2 z  4  0.
4. Выяснить взаимное расположение плоскостей
 : 2 x  3 y  4 z  3  0;  : x  2 y  z  1  0;  : 5 x  7 y  13z  2  0.
x2 y5 z4


,
5. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую a :
3
1
0
параллельно прямой x  2 y  z.
x  2 y z 1
x  3 y 1 z  2
 


.
6. Провести плоскость через прямые a :
и b:
3
4
2
3
4
2
Найти расстояние между a и b.
x 1
 y  3  z  2.
7. Спроектировать точку A8;1;2 на прямую a :
2
8. Написать уравнение прямой, параллельной плоскости  : 2 x  4 y  z  1  0,
проходящей через точку A3;1;1.
Расстояние и отклонение точки от плоскости
1. Определить расположение точки P1;2;1 относительно плоскостей
 : 2 x  3 y  4 z  5  0 и  : 2 x  3 y  4 z  2  0.
2. Пересекает ли плоскость  : 2 x  3 y  5 z  1  0 отрезок AB, если
A2;2;0; B 1;4;1? Пересекает ли плоскость прямая AB ? Если пересекает –
найти точку пересечения.
3. Составить уравнение плоскостей, проходящих на расстоянии 5 от плоскости
 : 2 x  2 y  z  4  0.
4. На оси абсцисс найти точку, равноудалённую от плоскостей
 : x  2 y  3z  1  0 и  : 5 x  10 y  z  3  0.
5. Найти расстояние между плоскостями  : 3x  y  z  1  0 и
 : 3x  y  z  5  0.
6. Определить, лежит ли точка P1;1;1 внутри острого или внутри тупого
двугранного угла, образованного плоскостями  : x  2 y  3z  7  0 и
 : x  4 y  0.
x 1 y  2 z 1


7. Найти уравнение проекции прямой l :
на плоскость
1
2
1
 : x  2 y  3z  1  0.
8. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A1;1;1, параллельно
линии пересечения плоскостей  : 2 x  y  5 z  5  0  : x  3 y  z  7  0. Найти
расстояние между этими прямыми.
7. Проверочные работы
Самостоятельная работа № 1
Вариант 1
1. Написать уравнение прямой, содержащей медиану AM треугольника ABC ,
если A1;0;3; B 1;4;5; C 5;2;1.
2. Написать уравнение плоскости, проходящей через середину BC ,
перпендикулярно к нему, если A, B, C  точки из задачи №1.
3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной
плоскости из задачи №2
Вариант 2
1. Написать уравнение прямой, содержащей медиану BK треугольника ABC ,
если A1;0;3; B 1;4;5; C 5;2;1.
2. Написать уравнение плоскости, проходящей через середину AC ,
перпендикулярно к нему, если A, B, C  точки из задачи №1.
3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку B и перпендикулярной
плоскости из задачи №2
Самостоятельная работа № 2
Вариант 1
1. Найти точку пересечения прямой
x3 y 3 z 5


и плоскости
2
1
4
x  2 y  3z  1  0.
2. Провести через точку пересечения прямой и плоскости из задачи №1 прямую,
перпендикулярную данной плоскости.
Вариант 2
x 1 y 1 z 1


1. Найти точку пересечения прямой
и плоскости
3
2
4
2 x  3 y  z  4  0.
2. Провести через точку пересечения прямой и плоскости из задачи №1 прямую,
перпендикулярную данной плоскости.
Самостоятельная работа № 3
Вариант 1
Написать уравнение прямых, содержащей медиану AM и высоту AH
треугольника ABC , если A2;1;3; B1;4;5; C 4;2;2. Найти длину высоты и
медианы.
Вариант 2
Написать уравнение прямых, содержащей медиану BL и высоту BK треугольника
ABC , если A2;1;3; B1;4;5; C 4;2;2. Найти длину высоты и медианы.
Самостоятельная работа № 4
Вариант 1
A1;4;1; B3;2;5; C 5;4;1.
Написать уравнение медианы AM треугольника ABC. Написать уравнение
плоскости, проходящей через середину AB перпендикулярно к нему. Найти угол
между проведёнными прямой и плоскостью.
Вариант 2
A0;1;2; B6;1;4; C4;7;6.
Написать уравнение медианы AM треугольника ABC. Написать уравнение
плоскости, проходящей через середину AB перпендикулярно к нему. Найти угол
между проведёнными прямой и плоскостью.
Самостоятельная работа № 5
Вариант 1
1. Написать уравнение пересечения плоскостей  : 2 x  y  4 z  5  0 и
 : x  3 y  z  1  0.
2. Найти расстояние от точек A1;3;2 и B 2;0;1 до плоскости
 : x  2 y  2 z  5  0. Пересекает ли плоскость  отрезок AB ? Пересекает ли
плоскость  прямая AB ?
Вариант 2
1. Написать уравнение пересечения плоскостей  : x  3 y  5 z  1  0 и
 :  x  2 y  z  4  0.
2. Найти расстояние от точек A 3;1;0 и B1;4;1 до плоскости
 : 2 x  y  2 z  3  0. Пересекает ли плоскость  отрезок AB ? Пересекает ли
плоскость  прямая AB ?
Самостоятельная работа № 6
Вариант 1
Провести плоскость, проходящую через точки A 5;2;1; B0;1;2; C4;0;1. Найти
расстояние от этой плоскости до точек M 0;0;1; N 1;1;2. Пересекает ли плоскость
отрезок MN ?
Вариант 2
Провести плоскость, проходящую через точки A3;1;4; B 2;1;0; C 1;1;2. Найти
расстояние от этой плоскости до точек M 0;0;1; N 1;1;2. Пересекает ли плоскость
отрезок MN ?
Контрольная работа
Вариант 1
1. Написать уравнение плоскости, проходящей через середину AB,
перпендикулярно AB, если A3;2;1; B0;2;4.
2. Выяснить расположение треугольника ABC относительно плоскости
 : x  y  2 z  10  0, если A0;0;1; B3;2;1; C 2;0;1.
3. Написать уравнение пересечения плоскостей  : 2 x  3 y  4 z  5  0 и
 : x  3 y  z  1  0.
x 1 y z 1
x  2 y  3 z 1
 


.
4. Провести плоскость через прямые a :
и b:
2
3
1
2
3
1
Найти расстояние между ними.
Вариант 2
1. Написать уравнение плоскости, проходящей через середину AB,
перпендикулярно AB, если A1;0;1; B4;1;1.
2. Выяснить расположение треугольника ABC относительно плоскости
 : 2 x  y  3z  5  0, если A1;0;0; B2;1;1; C0;1;4.
3. Написать уравнение пересечения плоскостей  : x  3 y  5 z  1  0 и
 :  x  2 y  z  4  0.
4. Провести плоскость через прямые a :
Найти расстояние между ними.
x  3 y 1 z
x 1 y  3 z  2

 и b:


.
1
2
4
1
2
4