Б2.Б1 Математика (математический анализ, алгебра, геометрия)

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Курский государственный университет»
Кафедра математического анализа и прикладной математики
Рабочая программа дисциплины
«Математика (математический анализ,
алгебра, геометрия)»
Направление подготовки 090900 Информационная безопасность
Профиль подготовки Организация и технология защиты информации
Квалификация (степень) Бакалавр
Факультет физики, математики, информатики
Очная форма обучения
Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Курский государственный университет»
Кафедра математического обеспечения информационных систем
Утверждаю
Декан факультета
информатики и вычислительной техники
_________________ В.А. Кудинов
«____» ________________ 2011 г.
Рабочая программа дисциплины
«Математика (математический анализ, алгебра, геометрия)»
Направление подготовки 090900 Информационная безопасность
Профиль подготовки Организация и технология защиты информации
Квалификация (степень) Бакалавр
Факультет информатики и вычислительной техники
Очная форма обучения
Курск 2011
Рецензенты:
В.В. Воронин, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры
математического обеспечения информационных систем Курского государственного университета;
Волкова С.Н., профессор, доктор сельскохозяйственных
наук,
заведующий кафедрой математики, физики и теоретической механики
ФГБОУ ВПО «Курская ГСХА».
Рабочая программа дисциплины «Математика (математический анализ,
алгебра, геометрия)» Текст  сост. В.Г. Никоненок; Курск. гос. ун-т. –
Курск, 2011. –58 с.
Рабочая программа составлена в соответствии с Федеральным
государственным образовательным стандартом высшего профессионального
образования по направлению подготовки 090900 Информационная
безопасность, утвержденным приказом Министерства образования и науки
Российской Федерации от 28 октября 2009 г. № 496.
Рабочая программа предназначена для методического обеспечения
дисциплины основной образовательной программы 090900 Информационная
безопасность.
«____» ____________________ 2011 г.
Составитель _____________________
В.Г.
Никоненок,
кандидат
педагогических
наук,
доцент
кафедры
математического
обеспечения
информационных
систем КГУ
 Никоненок В.Г., 2011
 Курский государственный университет, 2011
Лист согласования рабочей программы
дисциплины «Математика (математический анализ, алгебра,
геометрия)»
Направление подготовки090900 Информационная безопасность
Профиль подготовки Организация и технология защиты информации
Квалификация (степень) Бакалавр
Факультет информатики и вычислительной техники
Очная форма обучения
2011/2012 учебный год
Рабочая программа утверждена на заседании кафедры математического
обеспечения информационных систем, протокол № 1 от «29» августа 2011
г.
Заведующий кафедрой __________________ Г.С. Толстова
Составитель ___________________________ В.Г. Никоненок
Согласовано:
Начальник УМУ
__________________ И.Я. Благирева, «____» ______________ 2011 г.
Заведующий отделом комплектования научной библиотеки
__________________ О.В. Терещенко, «____» _______________ 2011 г.
Председатель методической комиссии по направлению
__________________ В.Н. Лопин, «____» _________________ 2011 г.
Пояснительная записка
1. Место дисциплины в структуре основной образовательной программы, в модульной структуре ООП
Дисциплина «Математика (математический анализ, алгебра, геометрия)»
включена в базовую часть цикла математических и естественнонаучных дисциплин ООП.
Данный курс является основой для изучения последующего дисциплин:
«Дискретная математика», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Математическая логика и теория алгоритмов», «Введение в теорию чисел»,
«Криптографические методы защиты информации» и других дисциплин базовой и
вариативной части профессионального цикла.
Дисциплина «Математика (математический анализ, алгебра, геометрия)»
является самостоятельным модулем.
2. Цель и задачи изучения дисциплины
Целью изучения учебной дисциплины «Математика (математический
анализ, алгебра, геометрия)» является формирование представления о линейной
алгебре, аналитической геометрии, математическом анализе как фундаментальных областях математического знания, умений по применению полученных
знаний при последующем освоении дисциплин математического и компьютерного циклов, формирование общекультурных и профессиональных компетенций.
Задачи изучения дисциплины:
- освоение математического аппарата, помогающего моделировать, анализировать и решать профессиональные задачи;
- приобретение умений и навыков практического применения математических методов, дающих возможность изучать и прогнозировать процессы и
явления из области будущей деятельности;
- развитие логического и алгоритмического мышления, способствовавшего формированию умений и навыков самостоятельного анализа исследования
профессиональных проблем,
- воспитание духовно-нравственных и профессиональных качеств.
3. Требования к входным знаниям, умениям, компетенциям
Приступая к освоению дисциплины, обучающийся должен:
- знать: сущность математического доказательства; примеры доказательств; как используются математические формулы, уравнения и неравенства;
графики, свойства элементарных функций; аксиомы и основные теоремы планиметрии; аксиомы и основные теоремы стереометрии.
- уметь: составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач;
выполнять тождественные преобразования степени с рациональным показателем, с корнями, логарифмических выражений; распознавать графики элементарных функций; применять чтение свойств функции по графику для решения
практических задач; находить производную функции и применять ее геометрический смысл, применять производную для исследования функции; находить
множества значений функции; решать рациональные, логарифмические, пока-
зательные, тригонометрические неравенства; выполнять тождественные преобразования тригонометрических выражений и находить их значения; решать
уравнения с помощью замены переменных; решать уравнения с модулем; решать комбинированные уравнения; решать практическую задачу, составляя математическую модель предложенной в ней ситуации; решать системы уравнений и неравенств; решать планиметрические задачи; решать стереометрические
задачи; применять геометрические знания для решения практических задач.
- владеть (быть в состоянии продемонстрировать): моделированием практических ситуаций и исследованием построенных моделей с использованием
аппарата алгебры и геометрии; интерпретацией результатов решения задач с
учетом ограничений, связанных с реальными свойствами рассматриваемых
процессов и явлений; интерпретацией графиков реальных зависимостей между
величинами.
4. Ожидаемые результаты образования и компетенции по завершении освоения учебной дисциплины
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих
общекультурных и профессиональных компетенций:
- способность к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения, владеть культурой мышления (ОК8);
- способность логически верно, аргументировано и ясно строить устную и
письменную речь, публично представлять собственные и известные научные
результаты, вести дискуссии (ОК-9);
- способность использовать основные естественнонаучные законы, применять математический аппарат в профессиональной деятельности, выявлять
сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности (ПК1);
- способность применять методы анализа изучаемых явлений, процессов
и проектных решений (ПК-20);
В результате изучения дисциплины студенты должны:
знать:
- математическую символику для выражения количественных и качественных отношений объектов (З-1);
- алгебраические структуры (группы, кольцо, поля), изоморфизм алгебраических систем (З-2 );
- поле комплексных чисел; алгебраическую и тригонометрическую формы
записи комплексных чисел (З-3 );
- основные методы решения и исследования любых систем линейных алгебраических уравнений (З-4 );
- приложения векторного исчисления к основным задачам геометрии
(З-5 );
- способы задания плоскости в пространстве (З-6);
- основные уравнения плоскости в пространстве (З-7);
- способы задания прямой на плоскости и в пространстве (З-8);
- основные уравнения прямой на плоскости и в пространстве (З-9);
- канонические уравнения линий второго порядка на плоскости и в пространстве (З-10);
-канонические уравнения поверхностей второго порядка в пространстве (З11);
- основные теоремы делимости многочленов; алгоритмы Евклида, отделение
кратных множителей (З-12);
- основные понятия дифференциального исчисления, правила дифференцирования (З-13),
- свойства производных и дифференциалов, основные теоремы дифференциального исчисления, формулу Тейлора (З-14);
- понятие первообразной и ее свойства, основные приемы и методы интегрирования(З-15),
- основные типы интегрируемых функций (З-16);
- определенный интеграл, его свойства, вычисление и приложения (З-17);
- несобственные интегралы (З-18);
- основные типы рядов, признаки сходимости и приложения рядов (З-19);
- основные понятия функции нескольких переменных, дифференциального
исчисления, экстремум (З-20);
- кратные и криволинейные интегралы (З-21);
- типы дифференциальных уравнений и их интегрирования (З-22);
- основные понятия функции комплексно переменного (З-23)
уметь:
- использовать математическую символику для выражения количественных
и качественных отношений объектов (У-1);
- исследовать систему линейных уравнений на совместность (У-2);
- решать системы линейных алгебраических уравнений методами Гаусса и
Крамера, обратных матриц; находить общее и частное решения (У-3);
- определять алгебраическую структуру, используя аксиоматику (У-4);
- записывать комплексное число в различной форме и производить действия
над комплексными числами (У-5);
- решать простейшие задачи векторной алгебры (У-6);
- используя векторное исчисление, решать простейшие задачи аналитической геометрии прямых и плоскостей (У-7);
- строить кривые и поверхности второго порядка (У-8);
- находить пределы функций (У-9);
- исследовать функцию на непрерывность (У-10);
- дифференцировать функции при различном их задании (У-11);
- аппроксимировать функцию многочленом Тейлора (У-12);
- провести полное исследование и построить график функции (У-13);
-.находить интегралы от рациональных, тригонометрических, иррациональных выражений (У-14);
- исследовать на сходимость числовые и функциональные ряды (У-15);
- находить частные производные функции нескольких переменных и исследовать ее на экстремум (У-16);
- решать задачи геометрического и физического характера с помощью интегрального исчисления (У-17);
- решать дифференциальные уравнения первого и второго порядков, находить их общее и частные решения (У-18);
- решать системы обыкновенных дифференциальных уравнений (У-19);
- представлять функцию степенным рядом (У-20);
- вычислять с помощью степенных рядов интегралы и решать дифференциальные уравнения (У-21);
- производить основные операции над элементарными функциями комплексного переменного (У-22);
- исследовать модели с учетом их иерархической структуры и оценки пределов применимости полученных результатов (У-23);
владеть (быть в состоянии продемонстрировать):
- терминологией и символикой линейной алгебры, аналитической геометрии, математического анализа (В-1);
- навыками практического использования математического аппарата для решения конкретных задач (В-2);
- навыком поиска научной информации и работы с реферативной, справочной, периодической и монографической литературой по курсу математики (В3).
5. Структура дисциплины
Введение. Матрицы и определители. Системы линейных уравнений. Алгебраические системы. Поле комплексных чисел. Линейные (векторные) пространства. Векторы и действия над ними. Аналитическая геометрия на плоскости. Аналитическая геометрия в пространстве. Многочлены от одной переменной. Функции. Пределы. Непрерывность. Дифференциальное исчисление
функций одной переменной. Интегральное исчисление функций одной переменной. Числовые и функциональные ряды. Дифференциальное исчисление
функций нескольких переменных. Интегрирование функции многих переменных. Функции комплексного переменного. Дифференциальные уравнения.
6. Основные образовательные технологии
В процессе изучения дисциплины используются как традиционные технологии обучения (лекции, практические занятия, лабораторные работы, консультации, самостоятельная и научно-исследовательская работы и т.д.), так и
инновационные (объяснительно-иллюстративный метод с элементами проблемного изложения; технология поиска и накопления информации); активные
и интерактивные методы обучения: разбор конкретных ситуаций, решение ситуационных задач.
7. Формы контроля
Оценка качества освоения дисциплины «Математика» включает текущий
контроль успеваемости (опросы по изучаемому материалу, защиту лабораторных работ, внеаудиторные задания, дифференцированные по степени трудно-
сти, контрольные работа, экспресс-тестирование и др.) и промежуточную аттестацию (экзамен 1 семестр, зачет 2 семестр).
Оценка «зачтено» на зачете ставится, если студент освоил все компетенции на пороговом уровне; «не зачтено» - имеются компетенции не освоенные
на пороговом уровне.
Оценка «отлично» на экзамене выставляется если студент освоил все
компетенции на повышенном уровне; «хорошо» - студент освоил все компетенции на повышенном уровне, но существуют неточности в изложении материала; «удовлетворительно» - студент освоил все компетенции на пороговом
уровне; «неудовлетворительно» имеются компетенции не освоенные на пороговом уровне.
Структура и содержание дисциплины
№ Наименование и содержа- Образовательные тех- Методы и форп.п. ние раздела
нологии, в т.ч. иннова- мы обучения, в
ционные
т.ч. активные и
интерактивные
ОбразоФормы контроля,
вательоценочные средные ре- ства
зультаты
1.
Формируемые
компетенции
лекция, практи- ОК-8;
Матрицы и определители объяснительноиллюстративного обу- ческое занятие, ОК-9;
чения с элементами самостоятельная ПК-1;
проблемного изложе- работа, лаборания
торная работа
З-1; З-4;
У-1; У-3;
У-23; В1; В-2;В3.
2.
Системы линейных урав- объяснительноиллюстративного об. с
нений
элементами проблемного изложения
лекция, практи- ОК-8;
ческое занятие, ОК-9;
самостоятельная ПК-1;
работа, лабораторная работа
З-1; З-4;
У-1; У-2;
У-23; У3; В-1; В2;В-3.
3.
Алгебраические системы
объяснительноиллюстративного об. с
элементами проблемного изложения
лекция, практи- ОК-8;
ческое занятие, ОК-9;
самостоятельная ПК-1;
работа, лабораторная работа
З-1; З-2;
У-1; У-4;
У-23; В1; В-2; В3.
4.
Поле комплексных чисел
объяснительноиллюстративного об. с
элементами проблемного изложения
лекция, практи- ОК-8;
ческое занятие, ОК-9;
самостоятельная ПК-1;
работа, лабора-
З-1; З-3;
У-1; У-5;
У-23; В1; В-2;В-
Текущий
контроль: фронтальный опрос, самостоятельная работа, защита лабораторных работ
Текущий
контроль: фронтальный опрос, самостоятельная работа, защита лабораторных работ
Текущий
контроль: фронтальный опрос, самостоятельная работа, защита лабораторных работ
Текущий
контроль: фронтальный опрос, самостоятельная рабо-
торная работа
3.
та, защита лабораторных работ
Текущий
контроль: фронтальный опрос, самостоятельная работа, защита лабораторных работ
Текущий
контроль: фронтальный опрос, самостоятельная работа, защита лабораторных работ
Текущий
контроль: фронтальный опрос, самостоятельная работа, защита лабораторных работ
Текущий
контроль: фронтальный опрос, самостоятельная работа, защита лабораторных работ
5.
Линейные
(векторные) объяснительноиллюстративного об. с
пространства
элементами проблемного изложения
лекция, практи- ОК-8;
ческое занятие, ОК-9;;
самостоятельная ПК-1;
работа, лабораторная работа
З-1; У-1;
У-7; У-6;
У-23; В1; В-2;В3.
6.
Векторы и действия над
ними. Скалярное произведение, векторное произведение, смешанное
произведение
объяснительноиллюстративного об. с
элементами проблемного изложения
лекция, практи- ОК-8;
ческое занятие, ОК-9;
самостоятельная ПК-1;
работа, лабораторная работа
З-1; З-6;
У-1; У-6;
У-7; У23; В-1;
В-2;В-3.
7.
Аналитическая геометрия на плоскости
объяснительноиллюстративного об. с
элементами проблемного изложения
лекция, практи- ОК-8;
ческое занятие, ОК-9;
самостоятельная ПК-1;
работа, лабораторная работа
8.
Аналитическая геометрия в пространстве
объяснительноиллюстративного об. с
элементами проблемного изложения
лекция, практи- ОК-8;
ческое занятие, ОК-9;
самостоятельная ПК-1;
работа, лабораторная работа
9.
лекция, практи- ОК-8;
Многочлены от одной пе- объяснительноиллюстративного об. с ческое занятие, ОК-9;
ременной
З-1; З-9;
З-10; З-11
У-1; У-7;
У-8; У23; В-1;
В-2;В-3.
З-1; З-7;
З-8; З-9;
З-10; З-12
У-1; У-8;
У-23; В1; В-2;В3.
З-1; З-13; Текущий
конУ-1; У- троль: фронталь-
элементами проблемно- самостоятельная ПК-1;
го изложения
работа, лабораторная работа
10.
Функции. Пределы. Не- объяснительноиллюстративного обупрерывность
чения с элементами
проблемного изложения
лекция, практи- ОК-8;
ческое занятие, ОК-9;
самостоятельная ПК-1;
работа, лабораторная работа
11.
Дифференциальное
ис- объяснительночисление функций одной иллюстративного об. с
элементами проблемнопеременной
го изложения
лекция, практи- ОК-8;
ческое занятие, ОК-9;
самостоятельная ПК-1;
работа, лабораторная работа
12.
Интегральное исчисление объяснительнофункций одной перемен- иллюстративного об. с
элементами проблемноной
го изложения
лекция, практи- ОК-8;
ческое занятие, ОК-9;
самостоятельная ПК-1;
работа, лабораторная работа
13.
Числовые и функциональные ряды
объяснительноиллюстративного об. с
элементами проблемного изложения
лекция, практическое занятие,
самостоятельная
работа, лабораторная работа
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК-20
23; В-1; ный опрос, самоВ-2;В-3.
стоятельная работа, защита лабораторных работ
З-1; У-1; Текущий
конУ-9; У- троль: фронталь10; У-23; ный опрос, самоВ-1;
В- стоятельная рабо2;В-3.
та, защита лабораторных работ
З-1; З-14; Текущий
конЗ-15 У-1; троль: фронтальУ-11; У- ный опрос, само12; У-13 стоятельная рабоУ-23; В- та, защита лабо1; В-2;В- раторных работ
3.
З-1; З-16; Текущий
конЗ-17; З- троль: фронталь18; З-19; ный опрос, самоУ-1; У-17 стоятельная рабоУ-14; У- та, защита лабо23; В-1; раторных работ
В-2;В-3.
З-1; З-20; Текущий
конУ-1; У- троль: фронталь20; У-21; ный опрос, самоУ-23; В- стоятельная рабо1; В-2;В- та, защита лабо-
14.
Дифференциальное
ис- объяснительночисление функций не- иллюстративного об. с
элементами проблемноскольких переменных
го изложения
лекция, практическое занятие,
самостоятельная
работа, лабораторная работа
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК-20
3.
З-1; З-21;
У-1; У16; У-23;
В-1;
В2;В-3.
15.
Интегрирование функции объяснительноиллюстративного об. с
многих переменных
элементами проблемного изложения
лекция, практическое занятие,
самостоятельная
работа, лабораторная работа
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК-20
З-1; З-22;
У-1; У23; В-1;
В-2;В-3.
16.
Функции комплексного
переменного
объяснительноиллюстративного об. с
элементами проблемного изложения
лекция, практическое занятие,
самостоятельная
работа, лабораторная работа
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК-20
З-1; З-24;
У-1; У22; У-23;
В-1;
В2;В-3.
17.
Дифференциальные
уравнения
объяснительноиллюстративного об. с
элементами проблемного изложения
лекция, практическое занятие,
самостоятельная
работа, лабораторная работа
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК-20
З-1; З-23;
У-1; У21; У-23;
В-1;
В2;В-3.
раторных работ
Текущий
контроль: фронтальный опрос, самостоятельная работа, защита лабораторных работ
Текущий
контроль: фронтальный опрос, самостоятельная работа, защита лабораторных работ
Текущий
контроль: фронтальный опрос, самостоятельная работа, защита лабораторных работ
Текущий
контроль: фронтальный опрос, самостоятельная работа, защита лабораторных работ
Промежуточная
аттестация – Экзамен, зачет
Лекционный курс
Введение. Множества. Действия над множествами.
Тема 1. Определители. Свойства определителей. Перестановки и подстановки. Матрица. Определитель квадратной матрицы. Основные свойства
определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа.
Тема 2. Матрицы. Решения матричных уравнений. Матрицы. Обратимые матрицы. Вычисление обратной матрицы. Решение матричных уравнений.
Прямоугольные матрицы.
Тема 3. Арифметическое пространство. Ранг и базис системы векторов. Арифметическое n-мерное пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Эквивалентность системы векторов. Базис и ранг
конечной системы векторов.
Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. Элементарные преобразования
матрицы, неизменяемость ранга матрицы при элементарных преобразованиях.
Тема 4. Метод Гаусса, правило Крамера, метод обратных матриц для
решения систем линейных уравнений. Система линейных уравнений. Равносильные системы линейных уравнений. Критерий совместимости системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных. Понятие общего решения системы линейных уравнений.
Система однородных линейных уравнений.
Система линейных уравнений в матричной форме. Правило Крамера решения системы n линейных уравнений с n переменными.
Тема 5. Алгебраические системы. Алгебраические операции. Группоид.
Полугруппа. Определения, аксиомы. Примеры. Простейшие свойства групп.
Подгруппа. Кольцо. Определение, аксиомы кольца. Простейшие свойства кольца. Подкольцо. Поле. Определение, аксиомы поля. Простейшие свойства полей.
Подполе. Признаки подгрупп, подколец, подполей.Понятие алгебраической системы как множества с операциями и отношениями. Изоморфизм алгебраических систем.
Тема 6. Поле комплексных чисел. Построение поля комплексных чисел.
Поле комплексных чисел как расширение поля действительных чисел. Алгебраическая форма комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа. Операции
над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах,
геометрическая интерпретация этих операций.
Тема 7. Линейные (векторные) пространства
Определение линейного пространства. Основные свойства линейных пространств.
Евклидово пространство. Длина вектора. Угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональная система векторов. Существование
ортогонального базиса и ортонормированного базиса евклидова пространства.
Изоморфизм евклидовых пространств одинаковой размерности.
Тема 8. Векторы и действия над ними. Скалярное произведение, векторное произведение, смешанное произведение. Векторы. Линейные опера-
ции над векторами. Линейная зависимость векторов. Система декартовых координат. Координаты вектора и точки. Проекция вектора на ось.
Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения.
Выражение скалярного произведения через координаты векторов в ортонормированном базисе. Длина вектора. Угол между векторами. Условие ортогональности векторов.
Векторное произведение и его свойства. Выражение векторного произведения через координаты векторов в ортонормированном базисе. Условие коллинеарности векторов.
Смешанное произведение векторов и его свойства. Выражение смешанного произведения через координаты векторов в ортонормированном базисе.
Условие компланарности векторов.
Тема 9. Уравнения прямой на плоскости. Понятие уравнения линии.
Задание линии при помощи уравнения. Общее уравнение прямой. Уравнение
прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. Уравнение прямой «в отрезках». Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. Полярное
уравнение прямой.
Тема 10. Кривые второго порядка. Линии второго порядка. Канонические уравнения и основные свойства. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола. Уравнения кривых 2-го порядка в полярных координатах.
Тема 11. Уравнения прямых и плоскостей в пространстве. Взаимное
расположение прямых и плоскостей. Декартова система координат в пространстве. Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении.
Уравнение поверхности. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости,
проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор. Уравнение плоскости «в отрезках». Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от
точки до плоскости. Уравнение прямой в пространстве. Каноническое уравнение прямой. Взаимное расположение прямых и плоскостей: углы между ними,
условия параллельности и перпендикулярности.
Тема 12. Поверхности второго порядка. Поверхности второго порядка.
Канонические уравнения и основные свойства.
Тема 13. Делимость многочленов. Алгоритм Евклида. Теорема Безу.
Определение многочленов от одной переменной. Делимость многочленов. Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель многочленов. Алгоритм Евклида. Взаимно простые многочлены. Корни многочлена. Максимальное число корней многочлена. Теорема Безу.
Тема 14. Деление многочлена на двучлен. Многочлены над полем рациональных чисел. Деление многочлена на двучлен Кратные неприводимые
множители многочлена. Приводимые и неприводимые многочлены над полем.
Представление многочлена в виде произведения неприводимых многочленов;
единственность этого представления. Многочлены над полем рациональных
чисел. Целые и рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами.
Критерий неприводимости Эйзенштейна.
Тема 15. Определение предела по Коши. Критерии существования
предела. Бесконечно большие и малые величины. Понятие функции. Свойства функций (четность и нечетность функций, монотонность, ограниченность
функции, наибольшее и наименьшее значения на промежутке). Обзор элементарных функций и их графиков.
Предел функции. Непрерывность функции
Окрестности. Определение предела функции по Коши. Критерии существования предела функции: предел монотонной функции, критерий Коши,
связь односторонних пределов с пределом функции. Свойства функций имеющих предел. Предел промежуточной функции. Бесконечно малые и бесконечно
большие величины. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций.
Тема 16. Неопределенности. Правила нахождения пределов. Замечательные пределы. Неопределенности. Правила нахождения предела. Замечательные пределы: первый замечательный предел, второй замечательный предел
и их следствия.
Тема 17. Непрерывность. Определения непрерывности функции в точке.
Свойства непрерывных функций. Классификация точек разрыва. Непрерывность функции на множестве. Общие свойства функций, непрерывных на отрезке: теорема1 Больцано-Коши об обращении функции в 0,теорема2 БольцаноКоши о промежуточном значении непрерывной функции, теорема1 Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции, теорема2 о достижении непрерывной функции точной верхней и точной нижней граней.
Тема 18. Производная. Дифференциал. Задачи, приводящие к понятию
производной. Определение производной, её физический и геометрический
смысл. Дифференцируемость, правила дифференцирования. Уравнение касательной и нормали. Производные элементарных функций. Дифференцирование
сложной и обратной функций. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование неявных функций. Дифференцирование функции заданной параметрически. Производные высших порядков. Формулы для производных n-ого
порядка некоторых функций. Определение дифференциала и его связь с производной.
Тема 19. Применение производной. Теорема Ферма. Теорема Роля. Теорема Коши (следствие теоремы Ролля). Теорема Лагранжа. Правило Лопиталя.
Тема 20. Неопределенный интеграл. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных дробей. Понятие первообразной. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Методы замены и подстановки для вычисления интегралов. Метод интегрирования по частям Интегрирование рациональных дробей.
Тема 21. Интегрирование иррациональных выражений. Интегрирование тригонометрических выражений. Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование иррациональных выражений. Подстановка
Эйлера. Интегрирование тригонометрических выражений.
Тема 22. Определенный интеграл. Несобственные интегралы. Понятие определенного интеграла Ньютона. Геометрическая интерпретация инте-
грала Ньютона. Свойства интеграла Ньютона. Теорема о среднем и ее следствия. Геометрическая интерпретация свойств интеграла Ньютона.
Несобственные интегралы. Интегралы по бесконечному промежутку.
Свойство сходящегося несобственного интеграла по бесконечному промежутку
Признаки сходимости интеграла по бесконечному промежутку. Интегралы от
неограниченной функции. Вычисление несобственного интеграла. Признаки
сходимости интегралов от неограниченных функций.
Тема 23. Числовые ряды. Определение числового ряда и его суммы.
Свойства числовых рядов. Необходимый признак сходимости. Гармонический
ряд. Знакопостоянные ряды. Необходимое и достаточное условие сходимости
знакоположительного ряда. Признак сравнения рядов. Предельный признак
сравнения. Признак Даламбера. Предельный признак Даламбера. Признаки
Коши. Предельный признак Коши. Знакопеременные ряды. Абсолютная и
условная сходимость рядов. Ряды Лейбница. Оценка остатка ряда Лейбница.
Перестановка членов ряда. Признаки сходимости.
Тема 24. Функциональные ряды. Понятие функционального ряда и его
сходимости. Равномерная сходимость. Признак равномерной сходимости
функционального ряда. Достаточный признак сходимости Вейерштрасса. Непрерывность суммы ряда. Почленный переход к пределу, почленное интегрирование и дифференцирование. Определение степенного ряда. Радиус сходимости. Теорема Коши-Адамара или сходимость степенного ряда. Интервал и область (промежуток) сходимости степенного ряда. Теорема Абеля. Свойства
степенных рядов. Непрерывность суммы степенного ряда. Интегрирование степенных рядов. Дифференцирование степенных рядов. Ряд и формула Тейлора.
Теорема Тейлора в форме Лагранжа. Формулы Тейлора с остаточным членом
Коши. Условие разложения функции в ряд Тейлора. Разложение функции в
x
степенные ряды. Разложение функций e , sinx, cosx функций arctgx, ln(1+ x ) в
ряд Маклорена. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.
Ортонормированные системы функций, понятие ряда Фурье по ортонормированной системе.
Тема 25. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Понятие функции нескольких переменных. Предел и непрерывность
функции нескольких переменных. Частные производные функций нескольких
переменных. Понятие дифференцируемости функции нескольких переменных.
Дифференцирование сложной функции. Градиент функции. Производная по
направлению. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Необходимые условия
экстремума функции нескольких переменных. Достаточные условия экстремума функций нескольких переменных.
Тема 26. Кратные интегралы. Кратные интегралы. Замена переменных.
Тема 27. Криволинейные интегралы. Интегралы по поверхности.
Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Формула Грина. Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Поверхностные интегралы пер-
вого и второго рода. Векторные функции нескольких переменных. Интегралы
по поверхности. Формула Остроградского. Элементарная формула Стокса.
Тема 28-29. Функции комплексного переменного. Дифференцирование
функции комплексного переменного. Определение и свойства функций комплексного переменного. Предел и непрерывность. Основные трансцендентные
функции. Производная. Условия Коши-Римана. Аналитические функции.
Интегрирование функций комплексного переменного. Свойства. Теорема
Коши. Интегральная формула Коши. Формулы для производных высшего порядка.
Тема 29-30. Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения первого порядка Прикладные задачи, приводящие к дифференциальным
уравнениям. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения
задачи Коши. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения
первого порядка.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Геометрическая интерпретация. Уравнения, допускающие понижение порядка.
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Однородные
уравнения. Свойства решений. Неоднородные линейные уравнения. Свойства
решений. Структура общего решения. Однородные уравнения с постоянными
коэффициентами. Неоднородные уравнения с правой частью специального вида.
№ Тема лекции
п.
п.
1.
Определители. Свойства
определителей
2.
Матрицы.
Решения
матричных уравнений
3.. Арифметическое
пространство.
Ранг и базис системы
векторов
4.
Метод Гаусса, правило
Крамера, метод обратных матриц для решения систем линейных
Литература Образовательные Методы
и Формии др. ис- технологии, в т.ч. формы обуче- руемые
точники
инновационные
ния, в т.ч. ак- компетивные и ин- тенции
терактивные
Литература: объяснительноЛекция
ОК-8;
осн. – 1доп. иллюстративного
ОК-9;
– 1, 2, 3, 4, обучения с элеПК-1;
6;
ментами
проИнтернетблемного изложересурс:1, 2, ния
3, 4
Литература: объяснительноЛекция-диалог ОК-8;
осн. – 1, иллюстративного
ОК-9;
Интернетоб. с элементами
ПК-1;
ресурс: 1-4 проблемного изложения
Литература: объяснительноЛекция
ОК-8;
осн. – 1, 2, иллюстративного
ОК-9;
3, 4; доп. – об. с элементами
ПК-1;
1, 2, 3, 4, 5, проблемного из6;
ложения
Интернетресурс: 1, 2,
3, 4
Литература: объяснительноПроблемная
ОК-8;
осн. – 1, иллюстративного лекция
ОК-9;
Интернетоб. с элементами
ПК-1;
ресурс: 1-4 проблемного из-
Образовательные результаты
З-1; З-4;
Формы
контроля, оценочные средства
З-1; З-4;
Опрос,
спект
кон-
З-1; З-2; Опрос,
З-3;
спект
кон-
З-1; З-4;
кон-
Конспект
Опрос,
спект
5.
6.
7.
8.
9.
ложения
Лекция
систе- Литература: объяснительноосн. – 1, 2, иллюстративного
3, 4; доп. – об. с элементами
1, 2, 3, 4, 6; проблемного изИнтернетложения
ресурс: 2, 3,
4
Лекция-диалог
Поле комплексных чи- Литература: объяснительноосн. – 1, иллюстративного
сел
Интернетоб. с элементами
ресурс: 1-4 проблемного изложения
Лекция
Линейные (векторные) Литература: объяснительноосн. – 1, иллюстративного
пространства
Интернетоб. с элементами
ресурс: 1-4 проблемного изложения
Лекция-диалог
Векторы и действия над Литература: объяснительноними. Скалярное произ- осн. – 1, иллюстративного
об. с элементами
ведение, векторное про- Интернетресурс: 1-4 проблемного изизведение, смешанное
ложения
произведение
уравнений.
Алгебраические
мы
Уравнения прямой на
плоскости
Литература:
осн. – 1,
Интернетресурс: 1-4
объяснительноЛекция-диалог
иллюстративного
об. с элементами
проблемного изложения
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
З-1; З-2;
Опрос,
спект
кон-
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
З-1; З-3;
Опрос,
спект
кон-
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
З-1; З-6;
Опрос,
спект
кон-
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
З-1; З-6;
Опрос,
спект
кон-
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
З-1; З-9; Опрос,
З-10; З- спект
11
кон-
10 Кривые второго порядка
Литература:
осн. – 1,
Интернетресурс: 1-4
11 Уравнения прямых и
плоскостей в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей
12 Поверхности второго
порядка
Литература:
осн. – 1,
Интернетресурс: 1-4
Литература:
осн. – 1,
Интернетресурс: 1-4
13 Делимость многочленов. Литература:
Алгоритм
Евклида. осн. – 1,
ИнтернетТеорема Безу
ресурс: 1-4
14 Деление многочлена на
двучлен.
Многочлены
над полем рациональных чисел
Литература:
осн. – 1,
Интернетресурс: 1-4
15 Определение предела по Литература:
Коши. Критерии суще- осн. – 1,
ствования предела. Бес- Интернет-
объяснительноиллюстративного
обучения с элементами
проблемного изложения
объяснительноиллюстративного
об. с элементами
проблемного изложения
объяснительноиллюстративного
об. с элементами
проблемного изложения
объяснительноиллюстративного
об. с элементами
проблемного изложения
объяснительноиллюстративного
об. с элементами
проблемного изложения
объяснительноиллюстративного
об. с элементами
Лекция
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
З-1; З-9; Опрос,
З-10; З- спект
11
кон-
Лекция-диалог
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
З-1; З-7; Опрос,
З-8; З-9; спект
З-10; З12
кон-
Лекция
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
З-1; З-7; Опрос,
З-8; З-9; спект
З-10; З12
кон-
Лекция-диалог
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
З-1;
13;
З- Опрос,
спект
кон-
Лекция
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
З-1;
13;
З- Опрос,
спект
кон-
Лекция-диалог
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
З-1;
Опрос,
спект
кон-
конечно большие и малые величины
16 Неопределенности. Правила нахождения пределов.
Замечательные
пределы
ресурс: 1-4
17 Непрерывность
Литература:
осн. – 1,
Интернетресурс: 1-4
18 Производная.
ренциал
19 Применение
ной
Литература:
осн. – 1,
Интернетресурс: 1-4
Диффе- Литература:
осн. – 1,
Интернетресурс: 1-4
производ- Литература:
осн. – 1,
Интернетресурс: 1-4
20 Неопределенный интеграл. Интегрирование
по частям. Интегриро-
проблемного изложения
объяснительноиллюстративного
об. с элементами
проблемного изложения
объяснительноиллюстративного
об. с элементами
проблемного изложения
объяснительноиллюстративного
об. с элементами
проблемного изложения
объяснительноиллюстративного
обучения с элементами
проблемного изложения
Проблемная
лекция
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
З-1;
Опрос,
спект
кон-
Лекция
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
З-1;
Опрос,
спект
кон-
Лекция-диалог
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
З-1; З- Опрос,
14; З-15 спект
кон-
Лекция-диалог
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК-20
З-1; З- Опрос,
14; З-15 спект
кон-
Литература: объяснительноЛекция
осн. – 1, иллюстративного
Интернетоб. с элементами
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
Промежуточная
аттестация – зачет
З-1; З- Опрос,
кон16; З-17; спект
З-18; З-
вание рациональных
дробей
21 Интегрирование иррациональных выражений. Интегрирование
тригонометрических
выражений
22 Определенный интеграл. Несобственные
интегралы
ресурс: 1-4
23
Литература:
осн. – 1,
Интернетресурс: 1-4
24
Числовые ряды
Функциональные ряды
Литература:
осн. – 1,
Интернетресурс: 1-4
Литература:
осн. – 1,
Интернетресурс: 1-4
Литература:
осн. – 1,
Интернетресурс: 1-4
25 Дифференциальное ис- Литература:
числение функций не- осн. – 1,
Интернетскольких переменных
ресурс: 1-4
26 Кратные интегралы
Литература:
осн. – 1,
проблемного изложения
объяснительноиллюстративного
об. с элементами
проблемного изложения
объяснительноиллюстративного
об. с элементами
проблемного изложения
объяснительноиллюстративного
об. с элементами
проблемного изложения
объяснительноиллюстративного
об. с элементами
проблемного изложения
объяснительноиллюстративного
об. с элементами
проблемного изложения
объяснительноиллюстративного
19;
Лекция-диалог
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
З-1; З- Опрос,
16; З-17; спект
З-18; З19;
кон-
Лекция-диалог
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
З-1; З- Опрос,
16; З-17; спект
З-18; З19;
кон-
Лекция-диалог
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК 20
З-1;
20;
З- Опрос,
спект
кон-
Лекция
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК 20
З-1;
20;
З- Опрос,
спект
кон-
Лекция-диалог
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК 20
З-1;
21;
З- Опрос,
спект
кон-
Лекция-диалог
ОК-8;
ОК-9;
З-1;
22;
З- Опрос,
спект
кон-
Интернетресурс: 1-4
27 Криволинейные
инте- Литература:
гралы. Интегралы по осн. – 1,
Интернетповерхности
ресурс: 1-4
28 Функции комплексного
переменного
29
Литература:
осн. – 1,
Интернетресурс: 1-4
29 Дифференциальные
уравнения
30
Литература:
осн. – 1,
Интернетресурс: 1-4
об. с элементами
проблемного изложения
объяснительноиллюстративного
об. с элементами
проблемного изложения
объяснительноиллюстративного
об. с элементами
проблемного изложения
объяснительноиллюстративного
об. с элементами
проблемного изложения
ПК-1;
ПК 20
Лекция-диалог
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК 20
З-1;
22;
З- Опрос,
спект
кон-
Проблемная
лекция
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК 20
З-1;
24;
З- Опрос,
спект
кон-
Лекция-диалог
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК 20
З-1;
23;
З- Опрос,
спект
кон-
Промежуточная
аттестация - экзамен
Практические занятия
Введение. Множества. Действия над множествами.
Тема 1. Определители. Нахождение определителей по определению; используя основные свойства определителей. Вычисление определителей с использованием теоремы Лапласа.
Тема 2. Матрицы. Вычисление обратной матрицы. Решение матричных
уравнений. Действия над прямоугольными матрицами.
Тема 3. Решение систем линейных уравнений методами Крамера, обратных матриц. Решение систем линейных уравнений методом обратных матриц, методом Крамера.
Тема 4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Нахождение общего решения системы линейных уравнений.
Тема 5. Аксиоматика групп, колец. Проверка аксиом групп, колец.
Тема 6. Поле. Изоморфизм алгебраических систем. Проверка аксиом
поля. Изоморфизм алгебраических систем.
Тема 7 Поле комплексных чисел. Действия над комплексными числами
в алгебраической форме записи (сложение, умножение деление). Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Действия над комплексными числами
в тригонометрической форме (умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).
Тема 8. Линейные (векторные) пространства
Тема 9. Векторы и действия над ними. Линейные операции над векторами. Проверка линейной зависимости векторов.
Нахождение скалярного произведения векторов. Выражение скалярного
произведения через координаты векторов в ортонормированном базисе. Длина
вектора. Угол между векторами. Условие ортогональности векторов.
Нахождение векторного произведения. Выражение векторного произведения через координаты векторов в ортонормированном базисе. Условие коллинеарности векторов.
Нахождение смешанного произведения векторов. Выражение смешанного
произведения через координаты векторов в ортонормированном базисе. Условие компланарности векторов.
Тема 10. Уравнения прямых и плоскостей. Взаимное расположение
прямых и плоскостей. Уравнения линий и поверхностей. Уравнения прямых
на плоскости, прямых и плоскостей в пространстве, их виды. Взаимное расположение прямых и плоскостей: углы между ними, условия параллельности и
перпендикулярности.
Тема 11. Кривые второго порядка. Кривые второго порядка. Канонические уравнения и основные свойства. Уравнения кривых 2-го порядка в полярных координатах.
Тема 12. Поверхности второго порядка. Поверхности второго порядка.
Канонические уравнения и основные свойства.
Тема 13. Делимость многочленов. Алгоритм Евклида. Делимость многочленов. Нахождение наибольшего общего делителя многочленов по алгоритму Евклида.
Тема 14. Схема Горнера. Приводимость многочленов. Схема Горнера.
Представление многочлена в виде произведения неприводимых многочленов.
Критерий неприводимости Эйзенштейна. Нахождение рациональных корней
многочлена.
Тема 15. Пределы. Раскрытие неопределенностей   ,  0 ,[0, ], [  ]] . Рас 0
   
крытие неопределенностей. Вычисление пределов многочленов, иррациональных выражений. Разные задачи на вычисление пределов.
Тема 16.Замечательные пределы. Непрерывность. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Исследование функции на непрерывность. Нахождение точек разрыва.
Тема 17. Производная. Производная явной функции. Логарифмическая
производная. Производная обратной функции, производная функции, заданной
параметрически. Производная функции, заданной неявно. Геометрический
смысл производной.
Тема 18. Дифференциал. Правило Лопиталя Дифференциал функции.
Производные и дифференциалы высших порядков. Построение графиков с
полным исследованием. Правило Лопиталя.
Тема 19. Интегрирование табличных интегралов, по частям, рациональных выражений. Неопределённый интеграл. Непосредственное интегрирование, интегрирование по частям. Интегрирование рациональных функций.
Тема 20. Интегрирование иррациональных и тригонометрических
выражений. Интегрирование иррациональных функций. Подстановки Эйлера.
Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование трансцендентных функций.
Тема 21. Определенный интеграл. Несобственные интегралы. Определенный интеграл. Непосредственное вычисление. Формула НьютонаЛейбница. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Несобственные интегралы функций по бесконечному промежутку.
Тема 22. Числовые ряды. Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Признаки Коши и Даламбера. Обобщенный гармонический ряд. Ряды
Лейбница.
Тема 23. Функциональные ряды. Функциональные последовательности
и ряды. Степенные ряды. Радиус сходимости. Область сходимости. Разложения
различных функций в степенные ряды. Применение степенных рядов для
нахождения пределов, вычисления интегралов. Ряды Фурье.
Тема 24. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Функции нескольких переменных. Область определения. Поверхности
уровня. Частные производные. Дифференцируемость функции. Дифференцирование сложной функции. Дифференциал.
Экстремум функции нескольких переменных. Нахождение наибольшего и
наименьшего значений функции.
Тема 25. Интегрирование функции многих переменных. Кратные интегралы. Замена переменных. Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Поверхностные интегралы первого и второго рода.
Тема 26. Функция комплексного переменного. Дифференцирование
функции комплексного переменного. Интегрирование функций комплексного
переменного. Интегральная формула Коши. Формулы для производных высшего порядка.
Тема 27. Решение дифференциальных уравнений. Дифференциальные
уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения высших порядков.
Задача Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
№ Тема занятия
п.п.
Литература Образовательные Методы и фори др. ис- технологии, в т.ч. мы обучения, в
точники
инновационные
т.ч. активные и
интерактивные
Литерату- т. объяснительно- практическое
ра:
иллюстративного занятие,
коносн. – 1, обучения об.
трольная рабоИнтернетта.
ресурс: 1-4
Формируемые
компетенции
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
Образовательные результаты
З-1; З-4;
У-1; У-3;
У-23; В1; В-2;В3.
Формы контроля,
оценочные средства
Текущий контроль:
самостоятельная работа, домашняя работа
1.
Определители
2.
Матрицы
Литерату- т. объяснительнора:
иллюстративного
осн. – 1, обучения об.
Интернетресурс: 1-4
практическое
ОК-8;
занятие,
кон- ОК-9;
трольная рабо- ПК-1;
та.
З-1; З-4;
У-1; У-3;
У-23; В1; В-2;В3.
Текущий контроль:
самостоятельная работа, домашняя работа
3.
Решение систем
линейных уравнений методами
Крамера, обратных матриц
Литерату- т. объяснительнора:
иллюстративного
осн. – 1, обучения об.
Интернетресурс: 1-4
практическое
ОК-8;
занятие,
кон- ОК-9;
трольная рабо- ПК-1;
та.
З-1; З-4;
У-1; У-2;
У-23; У3; В-1; В2;В-3.
Текущий контроль:
самостоятельная работа, домашняя работа
4.
Решение систем
линейных уравнений методом Гаусса
Литерату- т. объяснительнора:
иллюстративного
осн. – 1, обучения об.
Интернетресурс: 1-4
практическое
ОК-8;
занятие,
кон- ОК-9;
трольная рабо- ПК-1;
та.
З-1; З-4;
У-1; У-2;
У-23; У3; В-1; В2;В-3.
Текущий контроль:
самостоятельная работа, домашняя работа
5.
Аксиоматика
групп, колец.
Литерату- т. объяснительнора:
иллюстративного
осн. – 1, обучения об.
Интернетресурс: 1-4
практическое
ОК-8;
занятие,
кон- ОК-9;
трольная рабо- ПК-1;
та.
З-1; З-2;
У-1; У-4;
У-23; В1; В-2; В3.
Текущий контроль:
самостоятельная работа, домашняя работа
6.
Поле. Изоморфизм
алгебраических
систем
Литерату- т. объяснительнора:
иллюстративного
осн. – 1, обучения об.
Интернетресурс: 1-4
практическое
ОК-8;
занятие,
кон- ОК-9;
трольная рабо- ПК-1;
та.
З-1; З-2;
У-1; У-4;
У-23; В1; В-2; В3.
Текущий контроль:
самостоятельная работа, домашняя работа
7.
Поле комплексных Литерату- т. объяснительнора:
иллюстративного
чисел
осн. – 1, обучения об.
Интернетресурс: 1-4
практическое
ОК-8;
занятие,
кон- ОК-9;
трольная рабо- ПК-1;
та.
З-1; З-3;
У-1; У-5;
У-23; В1; В-2;В3.
Текущий контроль:
самостоятельная работа, домашняя работа
8.
Линейные (векторные) пространства
Литерату- т. объяснительнора:
иллюстративного
осн. – 1, обучения об.
Интернетресурс: 1-4
практическое
ОК-8;
занятие,
кон- ОК-9;
трольная рабо- ПК-1;
та.
З-1; З-6;
У-1; У-6;
У-7; У23; В-1;
В-2;В-3.
Текущий контроль:
самостоятельная работа, домашняя работа
9.
Векторы и действия над ними
Литерату- т. объяснительнора:
иллюстративного
осн. – 1, обучения об.
Интернетресурс: 1-4
практическое
ОК-8;
занятие,
кон- ОК-9;
трольная рабо- ПК-1;
та.
З-1; З-6;
У-1; У-6;
У-7; У23; В-1;
В-2;В-3.
Текущий контроль:
самостоятельная работа, домашняя работа
10.
Уравнения прямых и плоскостей.
Взаимное расположение прямых и
плоскостей
Литерату- т. объяснительнора:
иллюстративного
осн. – 1, обучения об.
Интернетресурс: 1-4
практическое
ОК-8;
занятие,
кон- ОК-9;
трольная рабо- ПК-1;
та.
З-1; З-9;
З-10; З-11
У-1; У-7;
У-8; У23; В-1;
В-2;В-3.
Текущий контроль:
самостоятельная работа, домашняя работа
11.
Кривые второго
порядка.
Литерату- т. объяснительнора:
иллюстративного
осн. – 1, обучения об.
Интернетресурс: 1-4
практическое
ОК-8;
занятие,
кон- ОК-9;
трольная рабо- ПК-1;
та.
З-1; З-9;
З-10; З-11
У-1; У-7;
У-8; У23; В-1;
В-2;В-3.
Текущий контроль:
самостоятельная работа, домашняя работа
12.
Поверхности второго порядка
Литерату- т. объяснительнора:
иллюстративного
осн. – 1, обучения об.
Интернетресурс: 1-4
практическое
ОК-8;
занятие,
кон- ОК-9;
трольная рабо- ПК-1;
та.
З-1; З-7;
З-8; З-9;
З-10; З-12
У-1; У-8;
У-23; В1; В-2;В3.
Текущий контроль:
самостоятельная работа, домашняя работа
13.
Делимость многочленов. Алгоритм
Евклида
Литерату- т. объяснительнора:
иллюстративного
осн. – 1, обучения об.
Интернетресурс: 1-4
практическое
ОК-8;
занятие,
кон- ОК-9;
трольная рабо- ПК-1;
та.
З-1; З-13;
У-1; У23; В-1;
В-2;В-3.
Текущий контроль:
самостоятельная работа, домашняя работа
14.
Схема Горнера.
Приводимость
многочленов
15.
Пределы. Раскрытие неопределенностей   ,  0 ,[0, ], [  ]]
 0
   
Литература:
осн. – 1,
Интернетресурс: 1-4
Литература:
осн. – 1,
Интернетресурс: 1-4
т. объяснительноиллюстративного
обучения об.
практическое
ОК-8;
занятие,
кон- ОК-9;
трольная рабо- ПК-1;
та.
З-1; З-13;
У-1; У23; В-1;
В-2;В-3.
т. объяснительноиллюстративного
обучения об.
практическое
ОК-8;
занятие,
кон- ОК-9;
трольная рабо- ПК-1;
та.
З-1; У-1;
У-9; У10; У-23;
В-1;
В2;В-3.
Текущий контроль:
самостоятельная работа, домашняя работа
16.
Замечательные
пределы. Непрерывность
Литерату- т. объяснительнора:
иллюстративного
осн. – 1, обучения об.
Интернетресурс: 1-4
практическое
ОК-8;
занятие,
кон- ОК-9;
трольная рабо- ПК-1;
та.
З-1; У-1;
У-9; У10; У-23;
В-1;
В2;В-3.
Текущий контроль:
самостоятельная работа, домашняя работа
17.
Производная
Литерату- т. объяснительнора:
иллюстративного
осн. – 1, обучения об.
Интернетресурс: 1-4
практическое
ОК-8;
занятие,
кон- ОК-9;
трольная рабо- ПК-1;
та.
З-1; З-14;
З-15 У-1;
У-11; У12; У-13
У-23; В1; В-2;В3.
Текущий контроль:
самостоятельная работа, домашняя работа
18.
ЛитератуДифференциал.
Правило Лопиталя ра:
осн. – 1,
Интернет-
практическое
ОК-8;
занятие,
кон- ОК-9;
трольная рабо- ПК-1;
та.
З-1; З-14;
З-15 У-1;
У-11; У12; У-13
Текущий контроль:
самостоятельная работа, домашняя работа
ресурс: 1-4
У-23; В1; В-2;В3.
19.
Интегрирование
табличных интегралов, по частям,
рациональных
выражений
Литература:
осн. – 1,
Интернетресурс: 1-4
практическое
ОК-8;
занятие,
кон- ОК-9;
трольная рабо- ПК-1;
та.
З-1; З-16;
З-17; З18; З-19;
У-1; У-17
У-14; У23; В-1;
В-2;В-3.
Текущий контроль:
самостоятельная работа, домашняя работа
20.
Интегрирование
иррациональных
и тригонометрических выражений
Литерату- т. объяснительнора:
иллюстративного
осн. – 1, обучения об.
Интернетресурс: 1-4
практическое
ОК-8;
занятие,
кон- ОК-9;
трольная рабо- ПК-1;
та.
З-1; З-16;
З-17; З18; З-19;
У-1; У-17
У-14; У23; В-1;
В-2;В-3.
Текущий контроль:
самостоятельная работа, домашняя работа
21.
Определенный
интеграл. Несобственные интегралы
Литерату- т. объяснительнора:
иллюстративного
осн. – 1, обучения об.
Интернетресурс: 1-4
практическое
ОК-8;
занятие,
кон- ОК-9;
трольная рабо- ПК-1;
та.
З-1; З-16;
З-17; З18; З-19;
У-1; У-17
У-14; У23; В-1;
В-2;В-3.
Текущий контроль:
самостоятельная работа, домашняя работа
Литерату- т. объяснительнора:
иллюстративного
осн. – 1, обучения об.
Интернетресурс: 1-4
практическое
занятие,
контрольная работа.
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК 20
З-1; З-20;
У-1; У20; У-21;
У-23; В1; В-2;В3.
Текущий контроль:
самостоятельная работа, домашняя работа
23.
Литерату- т. объяснительноФункциональные ра:
иллюстративного
ряды
осн. – 1, обучения об.
Интернетресурс: 1-4
практическое
занятие,
контрольная работа.
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК 20
Текущий контроль:
самостоятельная работа, домашняя работа
24.
Дифференциальное исчисление
функций нескольких переменных
Литерату- т. объяснительнора:
иллюстративного
осн. – 1, обучения об.
Интернетресурс: 1-4
практическое
занятие,
контрольная работа.
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК 20
З-1; З-20;
У-1; У20; У-21;
У-23; В1; В-2;В3.
З-1; З-21;
У-1; У16; У-23;
В-1;
В2;В-3.
25.
Интегрирование
функции многих
переменных
т. объяснительноиллюстративного
обучения об.
практическое
занятие,
контрольная работа.
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК 20
З-1; З-22;
У-1; У23; В-1;
В-2;В-3.
Текущий контроль:
самостоятельная работа, домашняя работа
26.
Функция комплексного переменного
Литература:
осн. – 1,
Интернетресурс: 1-4
Литература:
осн. – 1,
Интернетресурс: 1-4
т. объяснительноиллюстративного
обучения об.
практическое
занятие,
контрольная работа.
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК 20
З-1; З-24;
У-1; У22; У-23;
В-1;
В2;В-3.
Текущий контроль:
самостоятельная работа, домашняя работа
22.
Числовые ряды
Текущий контроль:
самостоятельная работа, домашняя работа
27.
Решение дифференциальных
уравнений
Литерату- т. объяснительнора:
иллюстративного
осн. – 1, обучения об.
Интернетресурс: 1-4
практическое
занятие,
контрольная работа.
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК 20
З-1; З-23;
У-1; У21; У-23;
В-1;
В2;В-3.
Текущий контроль:
самостоятельная работа, домашняя работа
Промежуточная аттестация – экзамен, зачет
Лабораторные работы
№ Наименование и содержание разде- Образовательные Методы и форп.п. ла
технологии, в т.ч. мы обучения, в
инновационные
т.ч. активные и
интерактивные
Формируемые
компетенции
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК-20
ОбразоФормы контроля,
вательоценочные
средные ре- ства
зультаты
0.
Применение вычислений в среде объяснительноMaple. Пользовательский интер- иллюстративное
фейс. Справочные и управляющие обучение
команды и функции
Лабораторная
работа
В-2;В-3.
Защита лабораторной работы
1.
Матричные и векторные вычис- объяснительноиллюстративное
ления
обучение
Лабораторная
работа
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК-20
З-1; З-4; Защита лабораторУ-1; У-3; ной работы
У-23; В1; В-2;В3.
2.
Решение
системы
уравнений
линейных объяснительноиллюстративное
обучение
Лабораторная
работа
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК-20
3.
Линейные (векторные) простран- объяснительноиллюстративное
ства
обучение
Лабораторная
работа
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК-20
З-1; З-4;
У-1; У-3;
У-23; В1; В-2;В3.
З-1; З-6;
У-1; У-6;
У-7; У23; В-1;
В-2;В-3.
Защита лабораторной работы
Защита лабораторной работы
4.
Векторы и действия над ними.
Скалярное произведение, векторное произведение, смешанное
произведение
объяснительноиллюстративное
обучение
Лабораторная
работа
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК-20
З-1; З-6; Защита лабораторУ-1; У-6; ной работы
У-7; У23; В-1;
В-2;В-3.
5.
Аналитическая геометрия на
плоскости
объяснительноиллюстративное
обучение
Лабораторная
работа
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК 20
З-1; З-9; Защита лабораторЗ-10; З-11 ной работы
У-1; У-7;
У-8; У23; В-1;
В-2;В-3.
6.
Аналитическая геометрия в пространстве
объяснительноиллюстративное
обучение
Лабораторная
работа
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК 20
7.
Графики функций
объяснительноиллюстративное
обучение
Лабораторная
работа
8.
Пределы.
объяснительноиллюстративное
обучение
Лабораторная
работа
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК 20
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК 20
-1; З-9; З10; З-11
У-1; У-7;
У-8; У23; В-1;
В-2;В-3.
У-23; В2;В-3.
Защита лабораторной работы
Защита лабораторной работы
З-1; У-1; Защита лабораторУ-9; У- ной работы
10; У-23;
В-1;
В2;В-3.
9.
Производная и ее использование объяснительноиллюстративное
для исследования функции
обучение
Лабораторная
работа
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК 20
З-1; З-16; Защита лабораторЗ-17; З- ной работы
18; З-19;
У-1; У-17
У-14; У23; В-1;
В-2;В-3.
10.
Неопределенный интеграл
объяснительноиллюстративное
обучение
Лабораторная
работа
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК 20
З-1; З-16; Защита лабораторЗ-17; З- ной работы
18; З-19;
У-1; У-17
У-14; У23; В-1;
В-2;В-3.
объяснительноиллюстративное
обучение
Лабораторная
работа
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК 20
З-1; З-16; Защита лабораторЗ-17; З- ной работы
18; З-19;
У-1; У-17
У-14; У23; В-1;
В-2;В-3.
Дифференциальное исчисление объяснительнофункций нескольких переменных иллюстративное
обучение
Лабораторная
работа
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК 20
З-1; З-21; Защита лабораторУ-1; У- ной работы
16; У-23;
В-1;
В2;В-3.
11.
12.
Приложение определенного
интеграла
13.
Интегрирование функции многих объяснительноиллюстративное
переменных
обучение
Лабораторная
работа
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК 20
З-1; З-22; Защита лабораторУ-1; У- ной работы
23; В-1;
В-2;В-3.
14.
Дифференциальные уравнения
объяснительноиллюстративное
обучение
Лабораторная
работа
ОК-8;
ОК-9;
ПК-1;
ПК 20
З-1; З-23; Защита лабораторУ-1; У- ной работы
21; У-23;
В-1;
В2;В-3.
Промежуточная аттестация – экзамен,
зачет
Самостоятельная работа
Самостоятельная работа по дисциплине «Математика» состоит из самостоятельного доказательства отдельных
утверждений и теорем, выполнения домашних заданий по пройденному материалу, решения задач при подготовке к зачету и экзамену, подготовке к сдаче лабораторных работ.
№ Раздел или тема,
п.п. выносимые на самостоятельное
изучение
Темы 1-27
Виды и содержание Литература и др. Формируемые
самостоятельной рабо- источники
компетенции
ты
Выполнение
них заданий
домаш- Осн.-1, доп. – 1- ОК-8;
6;
ПК-1;
ПК 20
Функции
аналитический обзор Осн.-1, доп. – 1- ОК-8;
литературы, Интернет- 6;
ПК-1;
источников
ПК 20
Применение производной.
аналитический обзор Осн.-1, доп. – 1- ОК-8;
литературы, Интернет- 6;
ПК-1;
источников
ПК 20
Применение определенного инте-
аналитический обзор
литературы, Интернет-
ОК-8;
ПК-1;
ОбразоваФормы контроля,
тельные ре- оценочные средзультаты
ства
ОК-9; З-1; З-2; З-3;
З-6; З-7; З-8;
З-10; У-1; У2; У-3; У-6; У7; У-8; У-10;
В-2; В-3
ОК-9; З-1; З-2; З-3;
З-6; З-7; З-8;
З-10; У-1; У2; У-3; У-6; У7; У-8; У-10;
В-2; В-3
ОК-9; З-1; З-16; З17; З-18; З-19;
У-1; У-17 У14; У-23; В-1;
В-2;В-3.
Текущий
контроль: фронтальный опрос
Текущий
контроль: фронтальный опрос.
Текущий
контроль: фронтальный опрос.
ОК-9; З-1; З-16; З- Текущий
кон17; З-18; З-19; троль: фронталь-
грала
источников
ПК 20
У-1; У-17 У- ный опрос.
14; У-23; В-1;
В-2;В-3.
Разложение функции в степенные
ряды.
аналитический обзор Осн.-1, доп. – 1- ОК-8;
литературы, Интернет- 6;
ПК-1;
источников
ПК 20
ОК-9; З-1; З-20; У-1; Текущий
конУ-20; У-21; У- троль: фронталь23; В-1; В- ный опрос.
2;В-3.
Применение степенных рядов к
приближенным
вычислениям.
аналитический обзор Осн.-1, доп. – 1- ОК-8;
литературы, Интернет- 6;
ПК-1;
источников
ПК 20
ОК-9; З-1; З-20; У-1; Текущий
конУ-20; У-21; У- троль: фронталь23; В-1; В- ный опрос.
2;В-3.
Промежуточная
аттестация – зачет
Вопросы для самоконтроля по самостоятельно изученным темам
Тема: Функции
1. Понятие функции.
2. Свойства функций
3. Обзор элементарных функций и их графиков.
Тема: Применение производной.
1. Условие постоянства функции.
2. Условия монотонности функции.
3. Экстремумы и необходимые условия экстремумов.
4. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.
5. Выпуклость и вогнутость.
6. Нахождение точек перегиба.
7. Асимптоты.
8. Схема исследования графика функции и его построение.
Тема: Разложение функции в степенные ряды.
Разложение функций в ряд Маклорена:
x
1. e ,
2. sinx,
3. Cosx;
4. arctgx,
5. ln(1+ x ).
Примерный перечень вопросов к экзамену
1. Бинарная алгебраическая операция. Группоид. Полугруппа. Группа.
2. Кольцо. Свойства колец.
3. Поле. Свойства полей.
4. Подгруппы. Подкольцо. Подполе.
5. Поле комплексных чисел. Действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах записи.
6. Определители n-го порядка, их свойства.
7. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема о произведении минора к-го
порядка на его алгебраическое дополнение.
8. Теорема Лапласа и следствия из нее. Примеры.
9. Алгебра матриц. Примеры.
10.Умножение прямоугольных матриц. Правило Крамера.
11.n-мерное арифметическое пространство (определение, свойства).
12.Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов, их свойства.
13.Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы и следствия из нее.
14.Системы линейных уравнений. Критерий Кронекера-Капелли.
15.Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
16.Определение линейного пространства, свойства, примеры.
17.Скалярное произведение (определение, примеры).
18.Векторное произведение (определение, примеры).
19.Смешанное произведение (определение, примеры).
20.Евклидово пространство (определение, примеры).
21.Длина вектора, угол между векторами в евклидовом пространстве. Неравенство Коши-Буняковского.
22.Ортогональные системы векторов. Процесс ортогонализации. Ортонормированный базис линейного пространства.
23.Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения. Общее
уравнение прямой.
24.Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми.
Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых.
25.Уравнение прямой «в отрезках». Нормальное уравнение прямой. Расстояние
от точки до прямой. Полярное уравнение прямой.
26.Линии второго порядка. Канонические уравнения и основные свойства.
Окружность. Эллипс.
27.Линии второго порядка. Канонические уравнения и основные свойства. Гипербола. Парабола.
28.Уравнения кривых 2-го порядка в полярных координатах.
29.Декартова система координат в пространстве. Расстояние между точками.
Деление отрезка в данном отношении.
30.Уравнение поверхности. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости,
проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор.
31.Уравнение плоскости «в отрезках». Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
32.Уравнение прямой в пространстве. Каноническое уравнение прямой.
33.Взаимное расположение прямых и плоскостей: углы между ними, условия
параллельности и перпендикулярности.
34.Поверхности второго порядка. Канонические уравнения и основные свойства.
35.Определение многочлена. Свойства делимости многочленов над областью
целостности.
36.Свойство делимости. Теорема о делении с остатком.
37.Теорема о нахождении НОД. Алгоритм Евклида.
38.НОД, свойства. Линейное представление НОД.
39.Деление многочлена на двучлен. Теорема Безу.
40.Схема Горнера. Примеры.
41.Приводимость многочленов над полем.
42.Кратные множители. Отделение кратных множителей.
43.Приводимость многочленов над различными полями. Признак неприводимости Эйзенштейна.
44.Определение предела функции по Коши. Критерии существования пределов
функции.
45.Свойства функций, имеющих предел.
46.Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Эквивалентные бесконечно малые величины. Примеры выполнения пределов с эквивалентными
бесконечно малыми величинами.
47.Правила нахождения пределов.
48.Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Следствия.
49.Определение непрерывности функции в точке. Свойства непрерывных
функций.
50.Классификация точек разрыва. Примеры.
51.Непрерывность функции на множестве. Общие свойства функций непрерывных на отрезке. Теоремы Больцано-Коши. Теоремы Вейерштрасса.
52.Задачи, приводящие к понятию производной функции. Определение производной.
53.Дифференцируемость. Правила дифференцируемости.
54.Производные элементарных функций.
55.Дифференцируемость сложной и обратной функций. Примеры. Логарифмическая дифференцируемость. Дифференцируемость неявной функции,
функции заданной параметрически. Примеры.
56.Производные высших порядков. Примеры.
57.Дифференциал и его связь с производной. Дифференциалы высших порядков.
Примерный перечень вопросов к зачету
1. Основные теоремы дифференциального исчисления. Теоремы Ферма, Ролля.
Теоремы Коши, Лагранжа. Примеры применения.
2. Исследования функции с помощью производной. Условия постоянства и
монотонности функции. Экстремумы функций. Определение выпуклости и
вогнутости функции. Неравенство выпуклости и вогнутости. Условия выпуклости и вогнутости. Нахождение точек перегиба.
3. Исследования функции с помощью производной. Асимптоты.
4. Понятие первообразной. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.
5. Метод замены и подстановки для вычисления интегралов. Метод интегрирования по частям. Примеры.
6. Интегрирование рациональных дробей.
7. Интегрирование иррациональных выражений.
8. Интегрирование тригонометрических выражений.
9. Понятие определенного интеграла Ньютона. Свойства интеграла Ньютона.
Теорема о среднем. Следствия. Геометрическая интерпретация интеграла
Ньютона и его свойств.
10.Способы вычисления интеграла Ньютона.
11.Интегралы по бесконечному промежутку. Вычисление несобственных интегралов по бесконечному промежутку. Признаки сходимости интегралов по
бесконечному промежутку.
12.Интегралы от неограниченных функций. Вычисление несобственных интегралов от неограниченных функций. Признаки сходимости интегралов от
неограниченных функций.
13.Определение числового ряда и его суммы. Примеры. Свойства числовых рядов.
14.Признаки сравнения рядов. Примеры.
15.Признаки Даламбера. Примеры.
16.Признаки Коши. Примеры.
17.Абсолютная и условная сходимость рядов. Ряды Лейбница.
18.Понятие функционального ряда и его сходимость. Равномерная сходимость
функциональных рядов.
19.Определение степенного ряда. Радиус сходимости. Интервал и область сходимости степенного ряда.
20.Ряд и формула Тейлора. Условия разложения функции в ряд Тейлора.
21.Разложение функций e x , sinx, cosx функций arctgx, ln(1+ x ) в ряд Маклорена
22.Применение рядов для приближенных вычислений.
23.Ряды Фурье. Ортонормированные системы функций, понятие ряда Фурье по
ортонормированной системе.
24.Окрестность и пределы последовательности точек.
25.Определение функции многих переменных. Дифференцируемость функции
многих переменных.
26.Двойной интеграл. Вычисление двойных интегралов.
27.Криволинейные интегралы первого рода.
28.Криволинейные интегралы второго рода.
29.Поверхностные интегралы первого и второго рода.
30.Основные понятия для функции многих переменных.
31. Непрерывность функции многих переменных. Линии уровня.
32.Частные производные функции многих переменных. Примеры.
33.Дифференцируемость функции многих переменных. Необходимое условие
дифференцируемости. Примеры.
34. Производные сложной функции. Примеры.
35. Полный дифференциал функции многих переменных. Примеры.
36.Частные производные и дифференциалы высших порядков. Примеры.
37.Экстремумы и оптимумы функции многих переменных. Примеры.
38.Понятие двойного интеграла. Примеры.
39.Замена переменных в двойном интеграле. Примеры.
40.Формула перехода в двойном интеграле к полярным координатам. Примеры.
41.Приложение двойного интеграла. Примеры.
42.Понятие криволинейного интеграла второго рода. Свойства. Примеры.
43.Существование и вычисление криволинейного интеграла второго рода.
Примеры.
44.Формула Грина. Пример.
45.Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Примеры.
46.Понятие криволинейного интеграла первого рода. Свойства. Вычисление.
Примеры.
47.Определение и свойства функций комплексного переменного. Предел и непрерывность.
48. Основные трансцендентные функции. Производная.
49. Условия Коши-Римана. Аналитические функции.
50. Интегрирование функций комплексного переменного. Свойства. Теорема
Коши. Интегральная формула Коши.
51. Формулы для производных высшего порядка функции комплексного переменного.
52. Дифференциальные уравнения первого порядка
53. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи
Коши. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка.
54. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Геометрическая интерпретация.
55. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка. Примеры.
Примерный перечень заданий контрольных работ
1. Решить матричные уравнения: а) AX = C; б) AXB = C, где:
  6 1 11 
3 0 1
 3 1 2






А   9 2 5 ; В   0 2 7 ; С    1 0 2 
 0 3 7
1  3 2
 1 2 1






2. Решить систему уравнений по формулам Крамера.
 х1  2 х 2  3 х3  х 4  5,
 2 х  х  3 х  4 х  10 ,

1
2
3
4

3
х

3
х

х

х

10 ,
1
2
3
4

 5 х1  2 х 2  х3  2 х 4  7;
3. Проверить совместимость системы уравнений (по теореме Кронекера–
Капелли).
 х1  2 х 2  2 х 3  х 4  0,
 х  2 х  х  3х  2,
2
3
4
 1
3х1  4 х 2  4 х 3  х 4  4,
 х  2 х  х  2 х  3,
2
3
4
 1
2 х1  х 2  2 х 3  4 х 4  6;
4. Найти базис системы векторов.
a1=(3,1,2,0,1), a2=(5,0,-6,1,3), a3=(-2,2,1,1,3), a4=(8,0,3,-1,-1), a5=(10,-1,-5,0,1),
a6=(5,-1,1,-1,-2)
5. Решить систему методом Гаусса.
 х1  2 х 2  3 х3  х 4
2 х  х  3 х  4 х
 1
2
3
4

3
х

3
х

х

х
1
2
3
4

4 х1  2 х 2  х3  2 х 4
 5,
 6,
 8,
 1.
6. Найти общее решение системы и записать, если возможно, одно частное
решение.
 х1  5 х 2  6 х3  х 4  2 х5  5,
 3х  х  4 х  3х  х  2,
1
2
3
4
5


2
х

3
х

х

4
х

3
х
 1
2
3
4
5  0,
 х  9 х  8 х  5 х  5 х  8,
2
3
4
5
 1

2
х

9
х

9
х

6
х

2
х5  8;
2
3
4
 1
7. Проверить, образует поле или кольцо относительно обычных операций
сложения и умножения указанное множество: множество всех рациональных чисел, которые можно представить в виде дроби со знаменателем 2.
8.
Выполнить действие:  
1i 3
1 i
  
12
9. Даны векторы а, b , c . Необходимо: а) вычислить смешанное произведение трех указанных векторов; б) найти модуль векторного произведения
указанных векторов; в) вычислить скалярное произведение двух указанных векторов; г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны
указанные два вектора; д) проверить, будут ли компланарны указанные
три вектора.

   








а  7i  2k , b  2i  6 j  4k , c  i  3 j  2k ; а) а ,  2b ,7 c ;
10. Вершины пирамиды находятся в точках А, В, С и D. Вычислить: А(4,-7,-3), В(-4,5,7), С(2,-3,3), D(3,2,1). а) Площадь грани ВCD; б) площадь сечения, проходящего через середину ребра BС и вершины А и D пирамиды; в)
объем пирамиды АВСD.
11.
Даны четыре точки А, В, С, D, заданные своими координатами. Составить уравнения:
а) плоскости АВС;
б) прямой АВ;
в) прямой DМ, перпендикулярной к плоскости АВС;
г) прямой СN, параллельной прямой АВ;
д) плоскости, проходящей через точку D, перпендикулярно к прямой АВ.
Вычислить:
е) синус угла между прямой АD и плоскостью АВС;
ж) косинус угла между координатной плоскостью хОу и плоскостью АВС.
А(2,3,5), В(5,3,-7), С(1,2,7), D(4,2,0)
12.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(3,4,0) и
прямую
х  4 у  2 z 1
.


3
2
2
12.
ные прямые
Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельх 1 у 1 z
х  3 у z 1
 

 .
и
2
1
2
2
1
2
13.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(5,2,-3)
и отсекает на осях Ох и Оz отрезки а=-4 и с=3 соответственно.
14.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(1,-1,2)
перпендикулярно к отрезку АВ, где А(2,3,-4), В(-1,2,-3).
х 1 у 1 z  3


параллельна плоскости
2
1
3
у
х2
z4


2х+у-z=0, а прямая
лежит в этой плоскости.
2
1
3
х  2 у 1 z  5


16.
При каких значениях m и С прямая
перпендикуm
4
3
15.
Доказать, что прямая
лярна к плоскости 3х-2у+Cz+1=0?
17.
Показать, что прямые
х у 1 z

 , 3х+у-5z-1=0 и 2х+3у-8z+3=0
1
2
3
перпендикулярны.
18.
у+2z-8=0.
Найти точку пересечения прямой
х  7 у 1 z  5


и плоскости 3х5
1
4
19.
Составить общее уравнение прямой, образованной пересечением
плоскости х+2у-z+5=0 с плоскостью, проходящей через ось Оу и точку
М(5,3,2).
20.
Показать, что прямая
х у  3 z 1


параллельна плоскости х+3у6
8
9
 x  t  7,

2z+1=0, а прямая  y  t  2, лежит в этой плоскости.
 z  2t  1

21.
Найти точку, симметричную точке М(2,-1)относительно прямой х2у+3=0.
22.
Найти точку О пересечения диагоналей четырехугольника АВСD,
если А(-1,-3), В(3,5), С(5,2), D(3,-5).
23.
Известны уравнения стороны АВ треугольника АВС 4х+у=12 и его
высот ВН:5х-4у=12, АМ:х+у=6. Найти уравнения двух других сторон треугольника.
24.
Даны две вершины треугольника АВС: А(-6,2) и В(2,-2); точка пересечения высот треугольника АВС Н(1,2). Найти координаты точки М пересечения стороны АС и высоты ВН.
25.
Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров, проведенных через середины сторон треугольника АВС, если А(2,3), В(0,-3), С(6,3).
26.
Составить уравнения медианы СМ и высоты СК треугольника
АВС, если А(4,6), В(-4,0), С(-1,-4).
27.
Какую ординату имеет точка С, лежащая на одной прямой с точками А(-6,-6) и В(-3,-1 ) и имеющая абсциссу, равную 3?
28.
Найти точку Е пересечения медиан треугольника АВС, если А(3,1), В(7,5), С(5,-3).
29.
Даны уравнения высот треугольника АВС: 2х-3у+1=0, х+2у+1=0 и
координаты его вершины А(2,3). Найти уравнения сторон АВ и АС треугольника.
30.
Записать уравнения прямых, проходящих через точку А(-1,1) под
углом 45 к прямой 2х+3у=6.
31. Составить канонические уравнения: а) эллипса; б) гиперболы, в)
параболы. (А,В – точки, лежащие на кривой; F – фокус; а – большая (действительная) полуось; b – малая (мнимая) полуось; е – эксцентриситет; у=кх –
уравнения асимптот гиперболы; D – директриса кривой; 2с – межфокусное расстояние.)
А( 
21 1
17 1
, );
, ), В(
2 2
3 3
32
. Составить уравнение линии, каждая точка М которой удовлетворяет следующим условиям.
Отстоит от прямой х=8 на расстоянии в два раза большем, чем от точки А(-1,7).
33.
Построить поверхности и определить их вид.
х2=8(у2+z2).
34.
Записать уравнение и определить вид поверхности, полученной
при вращении данной линии вокруг указанной оси координат, сделать рисунок.
x=4, z=6, Oy.
Выполните деление с остатком, используя схему Горнера:
х4-2х3+4х2-6х+8 на х-1;
Пользуясь схемой Горнера, разложите многочлен f(x) по степеням
36.
х-а: f(x)=x4+2x3-3x2-4x+1, a=-1;
Пользуясь алгоритмом Евклида, подобрать полиномы М1(х) и М2(х)
37.
так, чтобы f1(x)M2(x)+f2(x)M1(x)=(x), где (х) – общий наибольший делитель
f1(x) и f2(x):
f1(x)=x5+3x4+x3+x2+3x+1, f2(x)=x4+2x3+x+2;
Найти область определения данной функции:
38.


y  x2  x  1

3
2
.
Найти [(x)], [(x)], [(x)] и [(x)], если
39.
(х)=sin x
и
1
(х)= .
2
40. Найти функцию, обратную данной. Указать область ее определения.
(Данную функцию рассматриваем на любом из промежутков, где она является
строго монотонной).
y  2 sin 3x.
41. Исследовать функцию на четность и нечетность:
y  log2
2х
.
2 х
Доказать, что:
42.
n 1
=1.
n2
2
lim
n
46.
lim
n
Найти предел функции:
( n  1)  n!
.
( n  1)!
47. Найти предел функции:
lim
x  1
x
3

 2 x  1 x  1
x 4  4x 2  5
48. Найти предел функции:
lim
x
 x  2x  1 
4
2

x4  2x2  1 .
49. Найти предел функции:
3
lim
x0
1 х  3 1 х
.
х
50. Найти предел функции:
lim
 0
(1  cos ) 2
.
tg 3  sin 3 
51. Найти предел функции:
 3х  4 
lim 

x
 3х  2 
х 1
3
.
52. Найти предел функции:
7 2 x  73 x
.
x  0 2 x  arctg 3 x
lim
53. Найти предел функции:
lim
x0
ln( 3  x)  ln 3
.
5x
54. Найти пределы с помощью эквивалентных бесконечно малых:
1 x 1
.
5
1  2x  1
4
lim
x0
55. Найти точки разрыва функции, установить их род, доопределить
функцию по непрерывности в точках устранимого разрыва:
y=lg(x2+3x).
56. Исходя из определения производной, непосредственно найти произ3
водную следующей функции: х .
57 Используя правила и формулы дифференцирования, найти производную функции: y  e3 x
4 sin 5x  6 cos( x 2  3)
 arcsin ln x .
5x  4
3
x
58 Продифференцируйте следующую функцию: y  x .
2x
y
2

 1 1  x2
3x 3
.
59 Найти производную:
'
60 Найти y x для функции
y  y (x) ,
заданной
параметрически:
t

 x  arcsin
1 t2 ,

.

 y  arccos t

1 t2
61 Найти производную от функции у, заданной неявно: x3  y 3  3axy  0 .
62 Найти производную n-го порядка от функции: y  e
x
2
63 Определить, в каких точках и под каким углом пересекаются графики
функций: f1 ( x)  x  x3 , f 2 ( x)  5x .
64 Заменяя приращения функции дифференциалом, найти приближенно
следующее значения: 3 1,02 .
65 Считая х независимой переменной, найти дифференциал указанного
2
3
порядка: y  sin x; d y  ? .
66 Используя правило Лопиталя, найти предел функции:
ln x
lim (1  x)
x0
67 Дана функция f ( x)  1  x m ( x  1)n , где m и n – целые положительные
числа. Не вычисляя производной, показать, что уравнение f ' ( x)  0
имеет по крайней мере один корень в интервале (0, 1).
68 Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданных отрезках: y 


2 x2  3
,
x2  2x  5
 3,3 .
69 Провести полное исследование данной функции и построить ее графи( x  1) 2
y

ки:
( x  1)3
70 Число 36 разложить на два таких множителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
71 Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующий интеx
2
грал:  sin 2 dx .
72
Используя введение постоянных и переменных под знак дифференциала, найти интеграл:
arctg x
dx .
x
 1  x 
73 Найти интеграл интегрированием по частям:
a)  x 2e 2 x dx ; b)  e x cos 20 xdx .
74Найти интеграл от рациональной функции:
а)

2x  1
dx ;
2
x  x3
b)
x 5 dx
 x3  2 .
Найти интеграл от тригонометрической функции:
75
dx
 2  cos x sin x .
76
С помощью приведения подынтегральных функций к рациональным функциям найти следующие интегралы:
a)
dx
; b)
x  1 x
1
dx
x2  x 1
.
Найти интеграл с помощью подходящей замены переменных:
77
 x
x
5
x dx
2
4

2
.
78
Найти определенный интеграл:
4
dx
1
0
79
80
Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми:
y  2 x 3  1, y  2 3 x  1, y  1,5 .
Вычислить интеграл или установить его расходимость
 /4

sin x  cos x
3
sin x  cos x
dx
.
Вычислить интеграл или установить его расходимость:
0
81
x.

dx
x
2
.
Найти n-ю частичную сумму Sn ряда и сумму S этого ряда:
2
82
n2n  1

 ln n  12n  1
n 1
90
.
Для ряда проверить выполнимость необходимого условия

сходимости рядов:
91
 n 



n 1  2 n  1 
n
.
С помощью теорем сравнения установите сходимость или расходи
мость нижеприведенного ряда:

n 1
1
2n 2  1 .

92
Исследовать на сходимость ряд
бера:
an 
a
n 1
n
с помощью признака Далам-
n 2 n 2n !
5 2 n n!
4
.

93
Исследовать на сходимость ряд
a
n 1
n
с помощью предельного при-
n2

1 
a n   cos

n

 .
знака Коши:
94
С помощью интегрального признака Коши выяснить сходимость

1

или расходимость следующего ряда: n  1ln n  1 .
n 1
95

 1
n
n 1
4
3
Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряда:
n 1
2n  3 .

96
Вычислить сумму ряда с точностью :

n 1
 1n1 ,
3n 2
  0,01
.
Найти радиус и интервал сходимости ряда и исследовать его схо-
97


 1n1 x n
2
n
n 1
димость на границах интервала:
.
98
Разложить в ряд Маклорена и найти интервалы сходимости функции:
f ( x)  x 2 e 2 x .
99
Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х0 и найти
1
,
x  5x  6
x0  1
радиус сходимости R полученного ряда:
.
100 Вычислите приближенное значение определенного интеграла с точ2
1
2
dx

ностью до 0,001: 0 1  x .
2
101 На отрезке   ,   разложить в ряд Фурье функцию: f ( x)  x .
4
102 Найти области определения функций двух переменных, заданных
формулами:
u  ln y 2  4 x  8.
103 Построить линии уровня следующих функций (для z  1,2,3 ):
z  x2  y2 .
104 Найти пределы функции u  f ( x; y ) :
lim
x 
y 
x y
x  xy  y 2
2
.
Найти дифференциал функции f(x;y), если:
105
y
f  xz .
'
u
'
v
x  u cos v,
y
u
,
z  euv
1 v
Найти w , w , если
:
yz
w  xe .
107 Неявно заданные функции.
Для функции u  x, y  найти частные производные первого и второго порядка:
u 2 ln u  x   xy .
106
2
108
d 3z
d 3z

2
Проверить, что dydx dxdydx для функций:
109
2
Найти d u
u  x 2 ze y .
110
Исследовать на экстремум функции нескольких переменных:
z  x  y  1
2
.
111 Найти наибольшее М и наименьшее m значения функции и на заданном множестве:
u  x3  8 y3  6 xy  1, 0  x  2,
y 1
.
112 Найти прямоугольник данного периметра 2р, который вращением
вокруг одной из своих сторон образует тело наибольшего объема.
 f ( x, y)dxdy
113 Для заданного множества G записать интеграл G
в виде
повторных интегралов с разными порядками интегрирования. (G ограничено
линиями или задано неравенствами):
y  x2 , x  y  2 .
114 Вычислить повторные интегралы, переменив порядок интегрирования:
1
1
 dx  y
3
0
2
y 4  x 2 dy
.
x
115 Выразить сумму повторных интегралов через один повторный интеграл, переменив порядок интегрирования:
3
2
5
2
sin x
1
 dx  f ( x; y)dy   dx  f ( x; y)dy

1
2
116
.
Вычислить двойные интегралы:
xdxdy
2
 y2
 x
G
sin x
2
, G ограничено линиями
 ( x  y)dxdy,
G
117
2
2
y  x, 0  x 

2
.
yx

118
щей замены вычислить интеграл


G  x2  y 2  R2 ,
x y 0
.
Для заданной функции f и множества G с помощью подходя-
G
f ( x; y)  x  y
2
,
2 2
 f ( x; y)dxdy
G
G   x  y  1
:
.
 f ( x; y; z)dxdydz,
Вычислить интеграл G
если
f ( x; y; z )  x  z , область G ограничена плоскостями
119

.
Вычислить интеграл, перейдя к полярным координатам:
 (ax  by)dxdy,
.

G x y R ,
2
y  xtgx,
x  y  1, x  y  1, x  z  1, z  0, x  0.
x  0, y  0, z  0, x  y  z  1.
120 Найти площадь области, ограниченной данными линиями, используя подходящую замену координат:
2
2
2
2
2
2
x3  y 3  a3 , x3  y 3  b3 ,
y  x,
y  8 x, b  a  0.
Найти объемы тел, ограниченные поверхностями:
121
x y 

2
,
z  cos x cos y,
z  0,
x y 

2
.
Вычислить криволинейный интеграл первого рода по плоской кри-
122
вой Г:
 xds,
Г – отрезок с концами (0;0) и (1;2).
122 Вычислить криволинейный интеграл второго рода по кривой Г,
пробегаемой в направлении возрастания ее параметра х:
Г
 xydx,
Г – дуга синусоиды y  sin x, 0  x   .
123 Вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой Г, пробегаемой так, что ее внутренность остается слева:
Г
 x
2

 y 2 dx,
Г
x  1, x  3,
Г – граница прямоугольника, образованного прямыми
y  1,
y  5.
124 Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по
замкнутой кривой Г, пробегаемой так, что ее внутренность остается слева
 xy  x  y dx  xy  x  y dy,
Г
Г – эллипс
x2 y2

 1.
a 2 b2
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Литература
Основная
1. Высшая математика. Полный курс : учебник для бакалавров / В.С. Шипачев ; под ред. А.Н. Тихонова .— 4-е изд., испр. и доп. — М. : Юрайт,
2014.— 608с.
2. Задачник по высшей математике для вузов : учеб. пособие / под ред. А.С.
Поспелова .— СПб : Лань, 2010 .
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Дополнительная
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.— СПб. :
Профессия, 2006 .— 432с.
Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу— М. : Астрель: АСТ, 2006 .— 558с.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа : учебник для вузов, рек.
МО РФ : в 3 т. Т.1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. — М. : Дрофа, 2006 .— 703с.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа : учебник для вузов, рек.
МО РФ : в 3 т. Т.2. Ряды. Дифференциальное и интегральное исчисления
функций многих переменных. — М. : Дрофа, 2004 .— 720с.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления
в 3 т. Т.1— М. : Физмалит, 2006 .— 679с.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления
в 3 т. Т.2.— М. : Физмалит, 2006 .— 863с.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления
в 3 т. Т.3— М. : Физмалит, 2006 .— 727с.
Программное обеспечение и Интернет-ресурс
1. http://siblec.ru/
2. http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/student/ma/examples.asp
4. http://allmath.ru/
5.
Электронная
библиотечная
система
КнигаФонд»
http://www.knigafund.ru/
6. Электронная библиотечная система издательства «Лань»
http://e.lanbook.com/ «
1.
2.
3.
4.
Материально-техническое обеспечение дисциплины
аудитории для проведения лекционных и практических занятий
компьютерные классы
доступ к сети Интернет
пакеты прикладных программ
−
−
Схема распределения учебного времени
по видам учебной деятельности
Общая трудоемкость дисциплины – 8 зачетных единиц (288 академических
часов)
Виды учебной деятельности
Трудоемкость, час
Общая трудоемкость
Аудиторная работа
в том числе:
лекции
практические занятия
лабораторные занятия
Самостоятельная работа
Промежуточная аттестация(экзамен, зачет)
288
180
72
54
54
81
27
Схема распределения учебного времени по семестрам
Виды учебной деятельности
Общая трудоемкость
Аудиторная работа
в том числе:
лекции
практические занятия
лабораторные занятия
Самостоятельная работа
в том числе:
курсовой проект
курсовая работа
расчетно-графическая работа
реферат
домашняя контрольная работа
контрольная работа
Промежуточная аттестация (экзамен, зачет)
1
сем.
175
108
2
сем.
113
72
Всего
36
36
36
40
36
18
18
41
60
54
54
81
+
+
27
+
+
+
288
180
27
Учебно-тематический план
№
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Общая
трудо
емкость,
час
Матрицы и определители
18
Системы линейных урав14
нений
Алгебраические системы
12
Поле комплексных чисел
6
Линейные
(векторные)
6
пространства
Векторы и действия над
10
ними. Скалярное произведение, векторное произведение, смешанное произведение
Аналитическая геометрия
16
на плоскости
Аналитическая геометрия
18
в пространстве
Многочлены от одной пе18
ременной
Функции. Пределы. Не22
прерывность
Дифференциальное
ис20
числение функций одной
переменной
Интегральное исчисление
28
функций одной переменной
18
Числовые и функциональные ряды
11
Дифференциальное
исчисление функций нескольких переменных
Интегрирование функции
16
многих переменных
Функции комплексного
14
переменного
Дифференциальные урав14
нения
Промежуточная аттеста27
ция (экзамен)
Итого
288
Наименование раздела,
тема
В том числе аудиторных
всего
из них:
лекц. прак
т.
лабор.
Самостоятельная
работа
14
12
4
4
4
4
6
4
4
2
8
4
4
4
2
2
4
2
2
0
0
0
4
2
2
8
4
2
2
2
10
4
2
4
6
12
4
4
4
6
12
4
4
4
6
14
6
4
4
8
12
4
4
4
8
18
6
6
6
10
12
4
4
4
6
10
4
2
4
1
10
4
2
4
6
10
6
2
2
4
10
6
2
2
4
180
72
54
54
81