ОСНОВЫ ТЕХНИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИ

Федеральное агентство железнодорожного транспорта
Уральский государственный университет путей сообщения
Кафедра «Электроснабжение транспорта»
А.В. Ефимов
А.Г. Галкин
ОСНОВЫ ТЕХНИЧЕСКОЙ
ДИАГНОСТИКИ
Курс лекций для студентов специальности 190401
«Электроснабжение железных дорог»
Екатеринбург
2006
Ефимов А.В., Галкин А.Г.Основы технической диагностики: Курс лекций. – Екатеринбург: УрГУПС, 2006.– 97 с.
Рассмотрены основы теории надежности, технической диагностики, модели отказов, расчеты структурной и функциональной надежности систем электроснабжения железных дорог.
Изложены основные положения диагностики, модели объектов и алгоритмы диагностирования, связь диагностики с надежностью и качеством продукции с прогнозированием. Рассмотрено тестовое и функциональное диагностирование, информационная энтропия и неопределенность состояния объекта.
Курс лекций предназначен для студентов специальности 190401 «электроснабжение железных дорог» и слушателей института дополнительного профессионального образования, а также факультетов повышения квалификации.
Работа может быть полезна аспирантам и инженерно-техническим работникам
ОАО «РЖД».
Текстовая часть курса лекций составлена в соответствии с ГОСТ 2.105-95
ЕСКД «Общие требования к текстовым документам».
Утверждено кафедрой «Электроснабжение транспорта» 14.12.2005 г.
Авторы:
А.В. Ефимов, ректор УрГУПС, профессор, канд. техн. наук,
А.Г. Галкин, зав. кафедрой «Электроснабжение транспорта»
УрГУПС, доцент, д–р техн. наук.
.
Рецензент: И.А. Пятецкий, начальник ДЭЛ Свердловской железной
дороги – филиала ОАО «РЖД».
© Уральский государственный университет путей сообщения (УрГУПС), 2006
2
Содержание
1 ДИАГНОСТИКА, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ..................5
2 ТЕХНИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ......................10
3 СВЯЗЬ ТЕХНИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИ С НАДЕЖНОСТЬЮ
И КАЧЕСТВОМ ПРОДУКЦИИ ...........................................................................16
3.1 Аспекты надежности.........................................................................................16
3.2 Неполнота обнаружения дефектов ..................................................................18
3.3 Диагностика и жизненный цикл ......................................................................19
3.4 Проектирование.................................................................................................21
4 ТЕСТОВОЕ ДИАГНОСТИРОВАНИЕ...............................................................21
4.1 Виды объектов ...................................................................................................21
4.2 Дискретные объекты .........................................................................................23
4.3 Аналоговые объекты .........................................................................................24
4.4 Построение тестов.............................................................................................24
4.5 Средства диагностирования .............................................................................25
5 ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ДИАГНОСТИРОВАНИЕ ............................................27
5.1 Дискретные объекты .........................................................................................27
5.2 Аналоговые (непрерывные) объекты ..............................................................27
5.3 Время диагностирования ..................................................................................28
6 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИ ФУНКЦИОНАЛЬНОМ
ДИАГНОСТИРОВАНИИ АНАЛОГОВЫХ ОБЪЕКТОВ ...................................28
6.1 Аналитические модели .....................................................................................31
6.2 Эмпирические модели.......................................................................................32
6.3 Полуэмпирические модели...............................................................................32
6.4 Линейность и нелинейность в моделировании ..............................................32
6.5 Протяженные объекты ......................................................................................33
6.6 Зависимость от времени ...................................................................................33
6.7 Стохастичность в моделировании ...................................................................34
6.8 Допущения и упрощения моделей...................................................................34
6.9 Модели элементов с сосредоточенными параметрами .................................35
6.10 Модели элементов с распределенными параметрами .................................37
6.11 Математические модели систем ....................................................................39
6.12 Модели неисправности ...................................................................................45
7 СТАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРИ ФОРМИРОВАНИИ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ .......................................................................48
8 ТАБЛИЦА ФУНКЦИЙ НЕИСПРАВНОСТЕЙ .................................................49
9 ЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АНАЛОГОВОГО (НЕПРЕРЫВНОГО)
ОБЪЕКТА.................................................................................................................50
10 МОДЕЛЬ ДИСКРЕТНОГО ОБЪЕКТА............................................................53
11 МОДЕЛЬ ПРОТЯЖЕННОГО ОБЪЕКТА........................................................59
3
12 ИНФОРМАЦИОННАЯ ЭНТРОПИЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ
СОСТОЯНИЯ ОБЪЕКТА .......................................................................................63
12.1 Определение энтропии ...................................................................................63
12.2 Энтропия объекта с непрерывным пространством состояний ...................66
12.3 Энтропия системы ...........................................................................................67
12.4 Мера информации ...........................................................................................69
13 СТАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСПОЗНОВАНИЯ ..........................................74
13.1 Общие замечания.............................................................................................74
13.2 Метод, основанный на теореме Байеса .........................................................74
13.3 Метод последовательного анализа ................................................................77
13.4 Метод минимального риска ...........................................................................80
14 АЛГОРИТМЫ ДИАГНОСТИРОВАНИЯ........................................................83
14.1 Критерии оптимизации...................................................................................83
14.2 Построение и оптимизация таблицы покрытий...........................................84
14.3 Метод поэлементных проверок .....................................................................85
14.4 Метод групповых проверок............................................................................87
14.5 Метод логического анализа симптомов отказа ............................................89
14.6 Рациональная диагностика .............................................................................90
Список использованных источников ....................................................................92
Приложение А. План лекций «основы диагностики» .........................................93
Приложение Б. Вопросы для итогового контроля по курсу «основы
теории надежности» ................................................................................................95
Приложение В. Вопросы для итогового контроля по курсу «основы
технической диагностики» .....................................................................................96
Приложение Г. Вопросы для итогового контроля по курсу «надежность
и диагностика устройств электроснабжения железной дороги»........................97
4
Лекция 1
1 ДИАГНОСТИКА, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Техническая диагностика (ТД) – отрасль научно-технических знаний,
сущность которой составляют теория, методы и средства обнаружения и поиска
дефектов объектов технической природы. Под дефектом следует понимать любое несоответствие свойств объекта заданным, требуемым или ожидаемым его
свойствам. Обнаружение дефекта есть установление факта его наличия или отсутствия в объекте. Поиск дефекта заключается в указании с определенной точностью его местоположения в объекте.
Жизненный цикл (ЖЦ) – время существования объекта с момента зарождения его в сознании проектировщика до полной утилизации. ЖЦ состоит из
этапов: замысел и проектирование, производство, эксплуатация и ремонт, утилизация. Основное назначение технической диагностики состоит в повышении
надежности объектов на этапе их эксплуатации, а также в предотвращении производственного брака на этапе изготовления. Повышение надежности обеспечивается улучшением таких показателей, как коэффициент готовности, коэффициент технического использования, время восстановления работоспособного
состояния, а также ресурс или срок службы и наработка до отказа или наработка на отказ для резервированных объектов с восстановлением. Предотвращение
производственного брака достигается правильной организацией диагностирования на операциях входного контроля комплектующих изделий и материалов
и контроля технологических процессов изготовления объектов, включая выходной контроль последних.
На стадии изготовления ТД используется при приемке комплектующих
изделий и материалов, в процессе производства, наладки и сдачи объекта ОТК
или представителю заказчика. Для стадии эксплуатации типичными являются
этапы применения объекта по назначению, профилактики (плановой, перед и
после применения по назначению), ремонта, транспортирования и хранения
объекта. Объект, удовлетворяющий всем требованиям нормативно-технической
документации, является исправным или, говорят, что он находится в исправном
техническом состоянии. Убеждаться в исправности объекта необходимо после
его изготовления и после ремонта. Объект работоспособен, если он может выполнять все заданные ему функции с сохранением значений заданных параметров (признаков) в требуемых пределах. Убеждаться в работоспособности объекта необходимо, например, при его профилактике, после транспортирования и
хранения.
Наконец, для этапа применения по назначению существенным является
понятие технического состояния правильного функционирования объекта. Правильно функционирующим является объект, значения параметров (признаков)
которого в текущий момент реального времени применения объекта по назна5
чению находятся в требуемых пределах (в этот момент времени объект не отказал, т. е. правильно выполняет конкретную заданную функцию).
Неисправное и неработоспособное техническое состояние, а также техническое состояние неправильного функционирования объекта могут быть детализированы путем указания соответствующих дефектов, нарушающих исправность, работоспособность или правильность функционирования, и относящихся
к одной или нескольким составным частям объекта, либо к объекту в целом.
Диагностированием называется определение технического состояния
объекта. Диагнозом называется результат диагностирования.
Объектом диагностирования (ОД) – называется объект, состояние которого распознается.
Алгоритмом диагностирования называется последовательность операций, выполняемых с целью постановки диагноза.
Средством диагностирования (СД) – называется устройство, взаимодействующее по определенному алгоритму с ОД с целью постановки диагноза.
Tехническая диагностика включает в себя теорию и методы организации
процессов диагностирования, а также принципы построения средств диагностирования.
Цель диагностики устройств электроснабжения – определение их технического состояния.
Цель достигается выполнением задач:
− анализ объекта и построение модели его диагностирования;
− разработка методов и оптимизация алгоритмов диагностирования;
− разработка технических средств диагностирования;
− испытания объекта, сбор информации;
− обработка информации;
− описание предыстории и прогноза развития состояния объекта.
Задачи технической диагностики должны решаться комплексно, с учетом
всех трех этапов жизненного цикла технического объекта: проектирования,
монтажа (изготовления) и эксплуатации.
На этапе эксплуатации может потребоваться решение частных задач:
− проверка исправности;
− проверка работоспособности;
− проверка правильности функционирования;
− поиск неисправностей.
Проверка исправности необходима для объектов, не имеющих мгновенной индикации об отказе на этапе эксплуатации, а также для других объектов
на этапе производства и хранения. Такая проверка позволяет определить, что в
объекте отсутствуют какие-либо неисправности. После проведения управляющих воздействий по восстановлению объекта, перед его включением в работу
также бывает необходимо убедиться в отсутствии неисправностей.
6
Проверка работоспособности может применяться в тех же случаях, но
является менее глубокой и служит для проверки возможности объекта выполнять все функции рабочего алгоритма. При этом могут оставаться необнаруженными неисправности, не препятствующие применению объекта по назначению. Например, проверка гирлянды изоляторов на работоспособность по
электрической нагрузке может не выявить один отказавший изолятор, если вся
гирлянда выдерживает приложенное напряжение.
Проверка правильности функционирования еще менее полная и позволяет
убедиться лишь в том, что объект правильно функционирует в данном режиме в
данный момент времени. В таком объекте могут быть неисправности, которые
не позволяют ему правильно функционировать в других режимах.
Если объект неисправен, но работоспособен, или правильно функционирует, или же находится в состоянии отказа, то важной задачей становится поиск
неисправностей. Поиск неисправностей предусматривает обнаружение конкретных элементов, их групп или связей между ними, которые находятся в состоянии отказа.
В трех первых частных задачах технической диагностики на этапе эксплуатации ОД может рассматриваться как черный ящик. Состояние объекта определяется по соотношению сигналов на его входах и выходах. В последней задаче объект должен рассматриваться как система, состоящая из отдельных элементов. Ее состояние может характеризоваться одним или несколькими параметрами, изменяющимися дискретно и непрерывно.
В любом случае состояние объекта описывается некоторым пространством состояний. Оно может быть дискретным и непрерывным. Например, если
решается задача определения исправности объекта, то пространство состояний
содержит два состояния: исправное и все неисправные, объединенные в одно.
Степень разбиения пространства состояний объекта диагностирования принято
называть глубиной поиска или глубиной диагностирования.
Под действием деградационных процессов прочность и другие параметры
объекта с увеличением наработки изменяются. Поэтому деление пространства
состояния на отдельные кванты должно учитывать возможность прогноза смены технических состояний объекта. В частности, на определенных этапах жизненного цикла объекта представляет интерес лишь часть пространства состояний.
СД и ОД, взаимодействующие между собой, образуют систему диагностирования. Процесс диагностирования состоит из подачи на объект определенных воздействий (входных сигналов) и анализ откликов (выходных сигналов) объекта на эти воздействия. Воздействия на объект могут быть внешними,
определяемыми процессом функционирования объекта, или формироваться
специально средством диагностирования. Поэтому различают системы функционального и тестового диагностирования.
7
а)
б)
Тестовые
воздействия
СД
ОД
Рабочие воздействия
СД
Ответы
ОД
Ответы
Результаты
диагностирования
Результаты
диагностирования
Рисунок 1.1 – Системы диагностирования технического состояния
(а – тестовое диагностирование; б – функциональное
диагностирование)
В системах функционального диагностирования на объект действуют
только его рабочие нагрузки, возникающие в процессе функционирования. В
системах тестового диагностирования СД формируют специальные тестовые
сигналы и посылают их на входы объекта. Системы тестового диагностирования чаще применяются во время, когда объект не функционирует. Их применение возможно и в процессе функционирования объекта, но в этом случае тестовые сигналы должны быть выбраны так, чтобы не мешать нормальной работе.
На рисунке 1.1 представлены схемы диагностирования в виде однолинейных схем. Тестовые воздействия (сигналы) могут подаваться как на основные
входы объекта (необходимые для применения объекта по назначению), так и на
дополнительные входы, организованные специально для целей диагностирования. Ответы также могут сниматься с основных или дополнительных выходов объекта, их часто называют контрольными точками.
Различают также прямую и косвенную диагностику. Так, если целью диагностирования является определение степени коррозии арматуры железобетонной опоры, то методы, основанные на измерении оставшегося сечения арматуры, будут прямыми. Методы, реагирующие на вторичные признаки (последствия) коррозии арматуры – изменение потенциала, сопротивления и т. д. – косвенными.
Элементарными проверками называются отдельные тестовые или рабочие воздействия, подаваемые на объект, и снимаемые с него ответы.
Результатом элементарной проверки является полученное при ее реализации значение ответа объекта.
Число элементарных проверок, достаточных для решения конкретной задачи диагноза, как правило, меньше числа всех допустимых (возможных) проверок.
Целью анализа элементарных проверок является получение диагноза.
8
В задачах тестового диагностирования составы контрольных точек объекта часто определены предварительно, и они одинаковы для всех элементарных проверок. В таких случаях выбирают только входные воздействия элементарных проверок – это задачи построения тестов. В задачах функционального
диагностирования, наоборот, входные воздействия элементарных проверок определены заранее рабочим алгоритмом функционирования объекта, и выбору
подлежат только составы контрольных точек.
Формализованные методы построения тестов нашли широкое применение
для дискретных объектов и редко применяются для аналоговых объектов. Последнее объясняется тем, что для аналоговых объектов не является естественным ни выделение значительного числа различных входных воздействий, ни,
главное, определение значений ответов на эти воздействия исправного объекта
и его неисправных модификаций.
СД можно классифицировать по следующим признакам:
− аппаратные или программные;
− внешние или встроенные;
− ручные, автоматизированные или автоматические;
− специализированные или универсальные.
СД должны содержать источники воздействий (тестовая диагностика) и
измерительные устройства. Измерительные устройства состоят из датчиков
сигналов и систем обработки информации. В простейшем случае системы обработки информации сравнивают значения выходных сигналов, полученные в результате проверки, с эталонными. Эталонные сигналы в этом случае соответствуют всем состояниям объекта, которые необходимо различить. Набор эталонных сигналов, или другую подобную информацию о поведении объекта называют моделью объекта диагностирования. В крайнем случае для целей проверки исправности объекта может служить его эталонный, заведомо исправный экземпляр. Использовать такие «модели ОД» в большинстве случаев не удается
из-за трудностей реализации.
В процессе диагностики с помощью СД собирается и обрабатывается информация о состоянии объекта. До проведения диагностики, в общем случае,
информация об объекте отсутствует и имеется некоторая неопределенность его
состояния. Из априорных рассуждений можно заключить, что чем сложнее технический объект, тем степень неопределенности состояния больше, т. к. больше
число всех состояний, в которых объект может находиться.
Тестовые воздействия из-за погрешностей источников воздействия в общем случае представляют собой случайные величины или случайные процессы
(в зависимости от конкретной задачи диагностирования). Рабочие нагрузки
также случайны. СД имеют погрешности. Наконец, параметры объекта, (особенно косвенные) характеризующие его состояние в зависимости от технологии
изготовления и местных условий, также являются случайными величинами. Все
9
это делает необходимым вероятностный подход к решениям задач диагностирования.
Следовательно, можно выделить два подхода к задаче диагностирования:
вероятностный и детерминистический. При вероятностном подходе объект может находиться в одном из случайных состояний. Известны параметры, с определенной вероятностью характеризующие состояния объекта. Требуется построить решающее правило, с помощью которого можно поставить диагноз с
оценкой его достоверности.
При детерминистском подходе состояние системы характеризуется nмерным вектором X. Требуется найти решающее правило, которое отнесло бы
конкретный вектор состояния объекта к определенной области диагноза.
Более общим является вероятностный подход.
Лекция 2
2 ТЕХНИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА
И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
Все задачи ТД можно разделить три типа.
К первому типу относятся задачи определения технического состояния, в
котором находится объект в настоящий момент времени – задачи диагностирования. Задачи второго типа относят предсказание технического состояния, в котором окажется объект в некоторый будущий момент времени – задачи прогнозирования. К третьему типу относятся задачи определения технического состояния, в котором находился объект в некоторый момент времени в прошлом.
По аналогии можно говорить, что это задачи генеза.
Задачи первого типа формально следует отнести к технической диагностике, а второго типа – к технической прогностике (к техническому прогнозированию). Отрасль знания, которая должна заниматься решением задач третьего
типа, естественно назвать технической генетикой.
Задачи технической генетики возникают, например, в связи с расследованием аварий и их причин, когда техническое состояние объекта в рассматриваемое время отличается от состояния, в котором он был в прошлом, в результате появления первопричины, вызвавшей аварию. Такие проблемы очень часто
возникают, например, при расследовании случаев поломки токоприемников
ЭПС или обрывов и пережогов контактного провода. Подобные задачи решаются путем определения возможных или вероятных предыстории, ведущих в
настоящее состояние объекта.
К задачам технической прогностики относятся, например, задачи, связанные с определением срока службы объекта или с назначением периодичности
его профилактических проверок и ремонтов. Эти задачи решаются путем определения возможных или вероятных эволюций состояния объекта, начинающихся в настоящий момент времени.
10
Используя аппарат прогностики, можно, например по данным ВИКС, полученным при известных условиях окружающей среды, спрогнозировать поведение контактной сети в других условиях (экстремальных или низких температур).
Решение задач прогнозирования весьма важно, в частности, для организации технического обслуживания объектов по состоянию (вместо обслуживания по срокам иди по ресурсу). Непосредственное перенесение методов решения задач диагностирования на задачи прогнозирования невозможно из-за различия моделей, с которыми приходится работать: при диагностировании моделью обычно является описание объекта, в то время как при прогнозировании
необходима модель процесса эволюции технических характеристик объекта во
времени. В результате диагностирования каждый раз определяется не более чем
одна «точка» указанного процесса эволюции для текущего момента (интервала) времени. Хорошо организованное диагностическое обеспечение объекта с
хранением всех предшествующих результатов диагностирования может дать
полезную и объективную информацию, представляющую собой предысторию
(динамику) развития процесса изменения технических характеристик объекта в
прошлом, что может быть использовано для систематической коррекции прогноза и повышения его достоверности.
Одной из основных причин низкой эффективности использования вагонлабораторий для испытаний контактной сети (ВИКС) была и остаётся отсутствие накопления и последующего обобщения результатов диагностирования.
Периоды времени, к которым относится информация о техническом состоянии (фактическом – в прошлом и настоящем и предсказываемом – в будущем) объектов диагностирования или прогнозирования, обозначим следующим
образом: t0 – настоящий момент или период времени; Т1 – прошлый период
времени; Т2 – будущий период времени.
Отдельные экземпляры объектов диагностирования или прогнозирования
обозначим символом Sj:
s0 – один конкретный исследуемый экземпляр объекта;
S1 – группа из k экземпляров объекта, подвергающихся исследованию для
получения априорной информации о их техническом состоянии;
S2 – группа из m экземпляров объекта, техническое состояние которых
(настоящее или будущее) определяется по полученной априорной информации
о техническом состоянии экземпляра s0 или группы S1 экземпляров.
Априорная информация, требуемая для постановки диагноза или прогноза, представляет собой те или иные данные о техническом состоянии одного s0
или группы S1 экземпляров объекта. Эти данные получаются либо в результате
однократного в момент времени t0, либо многократного в течение периода времени T1 диагностирования конкретных экземпляров объекта. Обозначив данные
о техническом состоянии символом е, выделим четыре объема получаемой априорной информации:
11
e (S1, T1) – группа S1 экземпляров объекта диагностировалась многократно в течение периода времени T1;
e(s0, Т1) – экземпляр s0 объекта диагностировался многократно в течение
периода Т1;
e(S1, t0) – группа S1 экземпляров объекта диагностировалось однократно в
момент времени t0;
e(s0, t0) – экземпляр s0 объекта диагностировался однократно в момент
времени t0.
Первая ситуация соответствует получению наибольшего, а четвертая –
наименьшего объема априорной информации. Вторая и третья ситуации занимают промежуточное положение по объему информации, но между собой эти
ситуации несопоставимы.
Аналогично можно выделить четыре вида обработки априорной информации с целью определения:
e(S2, T2) – технического состояния группы S2 экземпляров объекта в будущий период времени T2;
e(s0, T2) – технического состояния одного экземпляра s0 объекта в будущий период времени Т2.
е(S2, t0) – технического состояния группы S2 экземпляров объекта в настоящий момент времени t0;
е(i) – технического состояния одного экземпляра s0 объекта в настоящий
момент времени t0.
Из указанных четырех видов обработки априорной информации первые
два соответствуют задачам прогнозирования, а последние два – задачам диагностирования (таблица 2.1).
Таблица 2.1 – Классификация задач прогнозирования
и диагностирования
ПрогнозироДиагностирование
вание
Объем априорной информаИндиГрупГруп- Индивидуции
видуповое
повое
альное
альное
e(S2,T2)
ГП
ИП
e(s0,T2)
e(S2,t0)
ВК
e(s0,t0)
КД
Обозначение: ГП – групповое прогнозирование; ИП – индивидуальное
прогнозирование; ВК – выборочный контроль; КД – «классическое» диагностирование.
12
В период эксплуатации весьма важным является индивидуальное прогнозирование технического состояния каждого конкретного экземпляра объекта,
которое позволяет обслуживать объекты по их состоянию. При индивидуальном прогнозировании априорная информация должна быть индивидуальной
для каждого экземпляра объекта. Если эту информацию получать в процессе
эксплуатации, то она будет учитывать не только конкретные условия применения данного экземпляра объекта по назначению, условия его обслуживания,
хранения и транспортирования, но также специфические особенности экземпляра, зависящие от конкретных условий изготовления объекта и его составных
частей.
Теоретически задача прогнозирования (в том числе индивидуальное) ставится следующим образом. На техническое состояние объекта Sj влияют факторы (вектор на рисунке 2.1), определяющие необратимые процессы деградации
физико-химических свойств аппаратуры объекта (старение, износ и др.), а также случайные, внешние и внутренние помехи (вектор ).
Υ
Χ
Sj
ξ
Ζ
СИ
ξ*
W
СП
e
Рисунок 2.1 – Задача прогнозирования (СИ – средство измерения;
СП – средство программирования)
Для измерения выбрана совокупность параметров объекта (вектор ), относительно которых предполагается, что они существенно зависят от и позволяют (при определенных средствах прогнозирования, реализующих алгоритм
прогнозирования) предсказать будущее техническое состояние e объекта. Эти
параметры называют прогнозирующими. На значения прогнозирующих параметров в общем случае накладываются помехи . При измерении параметров
возможны погрешности измерения (вектор Z ), вследствие чего вместо вектора
ξ истинных значений получается вектор ξ * ≠ ξ . На результаты прогнозирова13
ния, возможно, влияют погрешности прогнозирования (вектор W ). Таким образом, будущее техническое состояние е объекта зависит от нескольких случайных векторных аргументов
e = f (X , Y , Z ,W ) .
(2.1)
Зависимость (2.1) является, по существу, моделью процесса прогнозирования. Вероятностный характер этой модели определяется тем, что аргументы и
W являются существенно случайными функциями. Получить зависимость (2.1)
в явной аналитической форме для более сложных объектов практически невозможно. В связи с этим используют различные приемы упрощения как самой
модели, так и процедур ее обработки. К этим приемам относится расчленение
общей задачи прогнозирования на две самостоятельные задачи – задачу измерения прогнозирующих параметров, когда работают с моделью вида
ξ Д* = φ Д (X , Y , Z ) ,
(2.2)
и задачу получения прогноза (результата прогнозирования) по модели вида
(
)
e = ψ ξ Д* ,W .
(2.3)
Однако и при таком расчленении трудности разработки практически эффективных методов прогнозирования для сложных объектов остаются значительными.
Наиболее простой была бы явная аналитическая модель вида
e = f Х ( X ),
(2.4)
в которой отсутствует зависимость будущего технического состояния от случайных помех и погрешностей. Стремясь к «идеальной» модели (2.4) , применяют различные способы математической обработки моделей вида (2.2) и (2.3)
с целью уменьшения зависимости окончательных результатов измерения прогнозирующих параметров, и прогноза от случайных функций Y, Z и W. Эти
способы заключаются главным образом в сглаживании случайных процессов
применением операторов сглаживания, таких, как операторы математического
ожидания, текущего среднего, экспоненциального сглаживания и некоторых
других. Для применения операторов сглаживания необходимо знать характеристики сглаживаемых случайных процессов, например вероятности появления
величин Y, Z и W, интервалов сглаживания и др., что сопряжено с необходимостью получения и обработки больших объемов априорной информации, что
практически далеко не всегда возможно.
Аналитическое представление модели (2.3) затруднено даже в том случае,
когда известны значения прогнозирующих параметров ξ* в прошлые периоды
времени , заданы диапазоны их допустимых значений и можно пренебречь погрешностями W. Задача выбора описания процесса изменения во времени рабо14
чей точки (конца вектора ξ*) в области допустимых значений прогнозирующих
параметров, т.е. выбора модели процесса эволюции технического состояния
объекта прогнозирования, остается всегда. Относительно просто прогноз может
быть получен градиентным или операторным методами, когда процесс эволюции может быть описан линейной или так называемой центральной детерминированной моделью, что, однако, не всегда допустимо в реальных практических
ситуациях.
Задача достоверного и устойчивого измерения значений прогнозирующих
(как и любых других) параметров, т. е. выбора и обработки модели (2.2), является типичной для теории и практики измерения. Специфическими для технического прогнозирования являются задачи построения и обработки модели (2.3)
с целью получения прогноза, а также задачи выбора прогнозирующих параметров. Для решения задачи выбора совокупностей прогнозирующих параметров
не существует формализованных методов. Даже для простых объектов прогнозирующие параметры выбираются интуитивно на основе знания функциональных, структурных, физико-химических и других свойств конкретных объектов
с учетом условий эксплуатации и т. и.
Выбор и измерение прогнозирующих параметров не являются необходимыми, так как при прогнозировании в конечном итоге интересует только зависимость (2.4), где X представляет факторы, определяющие необратимые изменения в объекте прогнозирования. Однако установить функциональную связь в
явном виде между техническим состоянием е и факторами X в общем случае не
представляется возможным. Более того, измерение значений вектора X весьма
затруднено, если вообще возможно. Поэтому связь (2.4) устанавливают опосредованно через зависимость (2.2) путем измерения прогнозирующих параметров,
относительно которых предполагается, что их значения изменяются во времени
из-за воздействия факторов X, и затем через зависимость (2.3), экстраполируя
значения прогнозирующих параметров на будущие периоды времени.
Таким образом, практическая реализация теоретически строгих постановок задач прогнозирования технического состояния сложных объектов встречается с трудностями и ограничениями.
Априорные данные о технических характеристиках объекта можно получать от средств функционального и тестового диагностирования. Тем самым
при достаточно «хороших» средствах функционального и тестового диагностирования и при условии организации накопления и обработки выдаваемой ими
информации имеется возможность в любой период времени жизненного цикла
конкретного экземпляра объекта иметь не только абсолютные фактические значения интенсивностей отказов и прогнозирующих параметров, но также динамику их изменения, например в виде кривых.
При наличии таких кривых можно эмпирически выбрать критерий годности и назначить его предельное значение, по достижении которого дальнейшее
использование данного экземпляра объекта либо невозможно (опасно), либо не
оправдано по технико-экономическим соображениям. Удачный выбор критерия
15
годности позволяет использовать его значения также для управления периодичностью тестового диагностирования (т.е. профилактики и ремонта) объекта. Это
и будет реализацией индивидуального прогнозирования технического состояния объекта и тем самым обслуживания его по состоянию.
Простейшими критериями годности могут быть, например, абсолютные
значения или скорости изменения абсолютных значений интенсивностей отказов, или некоторых (прогнозирующих) параметров.
Конечно, наиболее трудными являются вопросы обоснованного назначения предельного значения критерия годности, а также выбора прогнозирующих
параметров. Теоретически обоснованные ответы на эти вопросы удается получить далеко не всегда и только для очень простых объектов. В большинстве
случаев, однако, могут оказаться приемлемыми методы экспертных оценок.
Лекция 3
3 СВЯЗЬ ТЕХНИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИ
С НАДЕЖНОСТЬЮ И КАЧЕСТВОМ ПРОДУКЦИИ
Качество продукции есть совокупность ее свойств, обусловливающих
пригодность продукции удовлетворять определенные потребности в соответствии с ее назначением. Среди показателей качества продукции важное место занимают показатели ее надежности (безотказности, долговечности, сохраняемости, ремонтопригодности). Наличие или появление дефектов, что возможно на
любой стадии жизни продукции (объектов), отрицательно сказывается на ее качестве и надежности.
3.1 Аспекты надежности
В проблеме надежности можно выделить аспекты, определяемые принципами, методами и средствами обеспечения и поддержания тех или иных показателей надежности.
Физический аспект, являющийся основным для неделимых объектов, охватывает выбор, совершенствование и создание новых материалов, поиск и реализацию новых физических принципов работы, новых видов энергии и способов ее преобразования, задание щадящих условий применения объектов, совершенствование технологии производства и конструкции и т. п.
Аппаратурный аспект охватывает принципы и методы организации и
использования аппаратурной (материальной) избыточности. Это – мажорирование (в частности, дублирование и троирование), распределенное резервирование, статическое и динамическое резервирование, ненагруженный и нагруженный резерв, и т. п.
Информационный аспект надежности включает в себя принципы и методы получения и использования избыточной информации, поступающей на объ16
ект, а также передаваемой, перерабатываемой, хранимой и выдаваемой объектом. Это, например, применение избыточных кодов, исправляющих ошибки, и
многократное (в частности, двукратное) повторение во времени операций передачи и обработки информации. К информационному аспекту следует отнести
вопросы, связанные с организацией надежного (в частности, нечувствительного
к ошибкам) математического обеспечения вычислительных машин.
Целью мероприятий, выполняемых в рамках физического аспекта надежности, является создание таких объектов, которые мало подвержены появлению
в них дефектов, как при производстве, так и при их эксплуатации. Избежать
возникновения дефектов в более или менее сложных объектах, особенно при
длительной их эксплуатации, нельзя.
Мероприятия аппаратурного и информационного аспектов надежности
направлены на то, чтобы возникающие в объектах дефекты не приводили к их
неправильной работе. Такие мероприятия «маскируют» дефекты: из-за аппаратурной и информационной избыточности дефекты не проявляются и, значит, не
обнаруживаются. Пока необнаруженных дефектов «мало», объект может функционировать правильно, по мере накопления дефектов защитные свойства, которыми обладал объект первоначально благодаря введенной в него избыточности, постепенно теряются. Может наступить такая ситуация, при которой любой «новый» дефект основной или резервной аппаратуры, в том числе любое
«новое» искажение основной или резервной информации, будет вызывать отказ
(неправильную работу) объекта. В указанной ситуации безотказность (т. е. один
из основных показателей надежности) резервированного объекта может оказаться даже ниже, чем его безотказность при безызбыточной реализации. Таким
образом, необходимо своевременно обнаруживать, осуществлять поиск и устранять дефекты в объектах, для которых существенна правильная их работа с
заданными или требуемыми показателями надежности. Для неремонтируемых
как безызбыточных, так и резервированных объектов достаточно обеспечить
обнаружение их так называемых существенных дефектов, т. е. дефектов, нарушающих правильную работу объектов. Для ремонтируемых объектов необходимо осуществлять также поиск дефектов, т. е. точное или хотя бы приближенное указание поврежденной области аппаратуры объекта и, возможно, характера дефекта. Для ремонтируемых резервированных объектов необходимы обнаружение и поиск как существенных, так и «несущественных» дефектов, с тем
чтобы исключить процесс накопления дефектов и потери защитных функций
резерва.
Для многих видов технических объектов наибольшее время тратится на
поиск их дефектов. Формализация и автоматизация процессов поиска дефектов
позволяет резко сократить эти затраты и тем самым существенно улучшить такой важный для многих объектов показатель надежности, как коэффициент готовности, а также другие показатели технического обслуживания и ремонта.
Совокупность принципов, методов и средств обнаружения и поиска дефектов или, иными словами, организации диагностического обеспечения объ17
ектов при их изготовлении и эксплуатации составляет основу диагностического
аспекта надежности. В рамках диагностического аспекта должны решаться задачи определения технического состояния объектов, т.е. организации проверки
исправности, работоспособности, правильности функционирования и поиска
дефектов объектов в процессе их производства и эксплуатации.
При обеспечении надежности сложных объектов многие из указанных
аспектов, как правило, взаимосвязаны. Так, при информационном и диагностическом аспектах почти всегда требуются дополнительные аппаратурные и энергетические затраты, а введение аппаратурной избыточности обычно сопровождается появлением новых каналов передачи информации и дополнительным потреблением энергии. Характерным примером объектов с совместным использованием всех указанных аспектов надежности являются современные вычислительные системы, нечувствительные к отказам.
3.2 Неполнота обнаружения дефектов
Идеальные полнота обнаружения и глубина поиска дефектов сложных
объектов не всегда достижимы (либо принципиально из-за невозможности получения необходимой информации, либо по технико-экономическим соображениям). Особенно нежелательна бесконтрольная неполнота обнаружения дефектов, когда неизвестно, какие возможные (или хотя бы вероятные) дефекты не
обнаруживаются. Когда отсутствуют или не применяются формализованные
методы построения алгоритмов диагностирования, необходимо максимально
стремиться к формальной проверке степени полноты обнаружения и глубины
поиска, обеспечиваемой предложенными неформальными решениями задач диагностирования. Радикальным и эффективным средством такой формальной
проверки является моделирование поведения объекта как в исправном состоянии, так и при наличии в нем рассматриваемых дефектов (такое моделирование
называют диагностическим). Предпочтение следует отдавать моделированию
на вычислительных машинах. Для машинного моделирования требуются формальные модели исправного объекта и модели его дефектов, а также соответствующее математическое обеспечение.
Неполнота обнаружения дефектов при проверке исправности (после изготовления или ремонта объекта) или при проверке работоспособности (при профилактике) эквивалентна фактическому снижению показателей безотказности
(в частности, вероятности безотказной работы), долговечности (ресурса) и сохраняемости объекта. Если указанная неполнота учитывается при расчетах показателей надежности, то полученные значения последних будут реальными (в
пределах достоверности исходных данных и точности используемых методов
расчета). Принципиальная ошибка допускается тогда, когда незнанием степени
полноты обнаружения дефектов пренебрегают (ВИКС), считая ее идеальной. В
последнем случае ошибка будет состоять в завышении показателей надежности,
18
что, конечно, нежелательно или даже недопустимо. Кроме того, следствием неполноты обнаружения дефектов (при любой проверке – исправности, работоспособности или правильности функционирования) может быть своевременно
не обнаруженная неправильная работа объекта в процессе его применения по
назначению, что, в свою очередь, может привести к серьезным последствиям.
3.3 Диагностика и жизненный цикл
Диагностическое обеспечение, как и все другие мероприятия по повышению надежности, должно закладываться на стадии проектирования объекта,
обеспечиваться на стадии производства и поддерживаться на стадии эксплуатации. Ответственность за диагностическое обеспечение несет разработчик объекта, однако это требование далеко не всегда выполняется, в результате чего
объекты оказываются плохо приспособленными к диагностированию их технического состояния, а изготовители и эксплуатационники вынуждены заниматься разработкой и созданием малоэффективных средств «приставной диагностики», не всегда обеспечивающих полноту обнаружения дефектов и должную
глубину их поиска. Классическим примером «приставной диагностики» являются железобетонные стойки опор контактной сети.
Для реализации диагностического обеспечения требуется ввести аппаратурную и информационную избыточность, а также дополнительно затратить
энергию. Поэтому разработчик, желающий иметь хорошее диагностическое
обеспечение для проектируемого объекта, должен сознавать, что для этого потребуются затраты, которые должны определяться технико-экономическими
соображениями или даже расчетами, но которые начнут окупаться немедленно
– в процессе изготовления объекта и при его наладке. Разработчику надлежит
рассмотреть все стадии и этапы жизни объекта и для каждого такого этапа рассмотреть вопрос о необходимости решения той или иной задачи диагностирования, выбрать или назначить требуемую полноту обнаружения и глубину поиска возможных (вероятных, допустимых) дефектов объекта. За этим должны
следовать разработка и создание соответствующих систем диагностирования.
Главными показателями качества систем диагностирования являются гарантируемые ими полнота обнаружения и глубина поиска дефектов. К числу
«вторичных» показателей качества систем диагностирования можно отнести
затраты на аппаратуру, время, энергию, а также показатели надежности средств
диагностирования, в том числе достоверность диагноза. Не исключены ситуации, когда указанные затраты выступают в качестве обязательных ограничений.
В таких ситуациях возможно вынужденное снижение как желаемой полноты
обнаружения, так и желаемой глубины поиска дефектов.
Общепризнанным является наличие принципиальной связи и взаимного
влияния показателей надежности объектов, с одной стороны, и характеристик
их систем диагностирования, с другой. Однако требуется разработка конкрет19
ных инженерных методов количественных расчетов, позволяющих получать
исходные данные для проектирования систем диагностирования исходя из заданных требований по надежности, допустимых затрат на диагностирование, а
также условий применения и технического обслуживания объектов. Задача создания таких методов особенно осложнена тем обстоятельством, что и вычисляемые показатели надежности и другие условия и ограничения, влияющие на
организацию процессов диагностирования, по своей природе существенно отличны от исходных данных, необходимых для проектирования систем диагностирования и весьма опосредованно связаны с характеристиками последних.
Например, состав дефектов, подлежащих тестовому обнаружению и поиску, связан с текущим значением вероятности пребывания объекта в исправном или работоспособном состоянии, с периодичностью тестового диагностирования, с допустимым временем восстановления объекта и т. п. Время реализации проверяющего теста или теста поиска дефектов, т. е. быстродействие
средств диагностирования, зависит от допустимых затрат, от конструктивных
особенностей объекта и от времени восстановления. Аналогичные зависимости
имеют место для систем и средств функционального диагностирования. На глубину поиска дефектов влияют не только конструктивное исполнение объекта,
его структура и заданное время восстановления, но и состав запасных частей
для ремонта.
Для правильной организации проектирования систем диагностирования
такие основные исходные данные, как состав обнаруживаемых дефектов и глубина их поиска, должны быть заданы не «в среднем», а в виде совершенно конкретных перечней дефектов и сменных составных частей объекта.
Внедрение в практику проектирования указанных выше методов количественных расчетов – дело будущего, в настоящее время целесообразно согласовывать показатели надежности объектов и характеристики их систем диагностирования путем итеративного рассмотрения ряда вариантов. Существенно
полезными и эффективными являются машинные системы моделирования надежности, которые обеспечивают возможность учета характеристик диагностического обеспечения моделируемых объектов.
3.4 Проектирование
Результаты рассмотрения вопросов диагностического обеспечения при
проектировании и модернизации объектов следует отражать в разделе «Техническая диагностика» эскизных и технических проектов. При этом должны быть
определены:
• этапы и характерные периоды жизненного цикла разрабатываемого объекта;
• понятия исправности, работоспособности, правильности функционирования по отношению к конкретным функциям и условиям применения объекта,
20
типы или перечни дефектов, подлежащих обнаружению и поиску при диагностировании;
• распределение задач проверки исправности, работоспособности, правильности функционирования, а также задач поиска дефектов, нарушающих
исправность, работоспособность, правильность функционирования по периодам
жизненного цикла объекта;
• целесообразные виды диагностирования (тестовое, функциональное) и
соотношение между ними, а также состав локальных систем диагностирования
для отдельных составных частей и способ объединения локальных систем в
общую систему диагностирования объекта в целом;
• алгоритмы диагностирования для каждой задачи диагностирования с
оценкой обеспечиваемой ими полноты обнаружения и (или) глубины поиска
дефектов;
• средства тестового и функционального диагностирования (аппаратурные
или программные, автоматические или ручные, специализированные или универсальные, внешние или встроенные).
В других разделах проектов должна содержаться информация о принципах действия и устройстве внешних и встроенных средств диагностирования, о
требованиях к подготовке объекта и средств диагностирования, оформлению
результатов диагностирования и другие сведения, необходимые обслуживающему персоналу для организации и проведения диагностирования.
Лекция 4
4 ТЕСТОВОЕ ДИАГНОСТИРОВАНИЕ
4.1 Виды объектов
Особенности решения задач диагностирования определяются особенностями объектов. В технической диагностике принято выделять три класса объектов: дискретные, аналоговые (непрерывные) и гибридные.
Непрерывными называются объекты, все параметры которых могут принимать значения из непрерывных пространств состояний. Например, питающий
зажим (сопротивление), изолятор (ток утечки).
Дискретными называются объекты, значения всех параметров которых
задаются на конечных множествах, число их состояний может быть заранее
подсчитано и пронумеровано. Примеры таких объектов – логические схемы
элементов «И», «ИЛИ», «НЕ», шифраторы, счетчики и т. д.
Гибридными называются объекты, части параметров которых заданы на
непрерывных пространствах состояний, а значения других – на дискретных.
Примером может служить быстродействующий выключатель, где входные параметры могут быть как непрерывными – амплитуда и скорость нарастания тока, так и дискретными – команды оперативного включения и отключения; вы21
ходные параметры – дискретные, состояния «включено» и «отключено», непрерывный – время отключения.
Другой принцип классификации – сосредоточенные или протяженные в
пространстве объекты.
В зависимости от конкретных задач диагностирования непрерывный объект может быть представлен дискретной моделью после проведения операции
квантования его параметров по некоторым уровням. Например, пространство
состояний зигзагов контактного провода может быть квантовано и разбито на
шесть уровней.
Кроме того, объекты можно подразделить по зависимости выходных параметров от времени.
Объектами без памяти (комбинационными) называются такие объекты,
выходные параметры которых зависят только от входных параметров и не зависят от времени.
Объектами с памятью (последовательными) называются такие объекты,
выходные параметры которых зависят не только от входных параметров, но и
от времени, в том числе и от состояний объекта в предыдущие моменты времени.
Дискретные, непрерывные и гибридные объекты одновременно являются
объектами с памятью или без памяти.
Пример:
− активная электрическая цепь является непрерывным объектом без памяти;
− реактивная электрическая цепь является непрерывным объектом с памятью;
− элемент «ИЛИ» – дискретный объект без памяти;
− триггер – дискретный объект с памятью;
− аналого-цифровой преобразователь – гибридный объект без памяти.
4.2 Дискретные объекты
Для дискретных объектов одной из основных задач технической диагностики была и остается задача построения тестов.
Для первого периода развития технической диагностики дискретных объектов характерным было стремление получать оптимальные или оптимизированные решения (в частности, минимальные по длине тесты) на основе представления комбинационных объектов таблицами функций неисправностей, а
последовательностных объектов – таблицами переходов-выходов. Основной
моделью дефектов был класс константных неисправностей, а основными методами построения тестов – методы перебора вариантов (методы получения покрытий, методы теории экспериментов над автоматами).
22
Для второго периода развития характерны отказ от указанных «рафинированных» постановок задач построения тестов, переход к структурным и
структурно-аналитическим моделям дискретных объектов и к новым методам
обработки этих моделей, отказ от оптимизации тестов. К этому же периоду относится развитие вероятностных методов построения тестов. Все это было вызвано главным образом увеличением размерности практических задач.
Третий период развития связывают с появлением больших и сверхбольших интегральных схем, микропроцессорных наборов и других изделий высокого уровня интеграции. Высокая размерность задач привела к необходимости
функционального представления дискретных объектов на макро уровне, рассмотрения функциональных неисправностей взамен константных, широкого
применения вероятностного подхода к построению тестов и т. п.
Указанная динамика развития методов построения тестов сопровождалась соответствующим развитием машинных средств построения тестов и диагностического моделирования дискретных объектов. Сначала преобладал детерминированный подход к построению тестов при вентильном представлении
структур объектов. Ускорению процедур построения тестов способствовало
применение вероятностного подхода с сохранением машинного моделирования
с целью оценки эффективности получаемых тестов. Современные машинные
системы сочетают, как правило, оба подхода – детерминированный и вероятностный. Интерес к детерминированному построению тестов сохраняется до настоящего времени. Применение мощных быстродействующих вычислительных
машин позволило существенно поднять «потолок» размерности решаемых задач построения тестов и диагностического моделирования. Дальнейших успехов в этом направлении позволяют достичь проблемно-ориентированные многопроцессорные вычислительные системы, специализированные на решение задач диагностического обеспечения сложных дискретных объектов.
23
4.3 Аналоговые объекты
Существенно более широкое, чем в дискретной технике, многообразие
физических принципов реализации аналоговых объектов затрудняет разработку
общих теоретических и методических подходов к диагностированию технического состояния объектов этого класса. В качестве широко применяемых диагностических моделей аналоговых объектов можно назвать их логические модели и графы причинно-следственных связей. Эти модели пригодны в тех случаях,
когда возможна организация диагностирования на принципах допускового контроля параметров объекта. Электрические цепи как объекты диагностирования
могут быть представлены моделями, разработанными в рамках общей электротехники, а для анализа этих моделей с целью построения алгоритмов диагностирования привлекаются известные методы расчета таких цепей.
Для решения задач тестового диагностирования динамических систем
привлекаются методы, основанные на результатах теории чувствительности.
Применительно к линейным аналоговым системам разработаны методы дешифрации результатов физических экспериментов над такими объектами с целью как обнаружения, так и поиска их неисправных блоков. Тестовыми воздействиями при этом являются гармонические входные сигналы. Методы, получившие общее название методов интегральной диагностики, основаны на анализе переходных процессов, вызываемых специальными входными воздействиями, и применяются для диагностирования относительно простых «неделимых» объектов (например, резисторов, конденсаторов и других изделий электротехники и электроники). Путем обработки результатов диагностирования
удается определять наличие скрытых дефектов, влияющих, например, на показатели долговечности изделий.
4.4 Построение тестов
Содержательно задача построения теста состоит в том, чтобы найти (вычислить, выбрать, назначить) такую совокупность и, возможно, последовательность входных воздействий, при подаче которой на объект диагностирования
получаемые ответы объекта в заданных контрольных точках позволяют сделать
заключение о его техническом состоянии.
Проверяющие тесты предназначены для проверки исправности или работоспособности объекта, а тесты поиска дефектов – для указания места и,
возможно, причин дефектов, нарушающих исправность или работоспособность
объекта диагностирования. Для дискретных объектов тесты (точнее, алгоритмы
тестового диагностирования) строятся либо по структурным, либо по функциональным моделям объектов диагностирования. Для простых объектов модели
могут быть явными, для сложных объектов всегда применяются неявные модели. Тесты могут быть детерминированными или вероятностными. Среди по24
следних заметное место занимают тесты, представляющие собой псевдослучайные последовательности входных воздействий.
Довольно часто тестовые воздействия выбираются по «физическим» соображениям, например воздействия типа скачка или импульса входного сигнала
в методах интегральной диагностики, а также воздействия, применяемые в методах неразрушающего контроля технического состояния.
В качестве тестовых могут быть использованы входные воздействия, являющиеся рабочими при применении объекта по назначению. Это имеет место
при организации тестового диагностирования аналоговых объектов, в частности тогда, когда последние представлены их логическими моделями или графами причинно-следственных связей. Составленные таким образом тесты называются функциональными. Функциональные тесты чаще всего пригодны только
для проверки работоспособности объектов, так как обеспечиваемая ими полнота обнаружения и глубина поиска дефектов обычно недостаточны для решения
задач проверки исправности и поиска дефектов. Виброакустические методы
тестового диагностирования объектов с вращающимися частями и шумящих
объектов (когда объекты не применяются по назначению) также можно отнести
к методам, использующим функциональные тесты.
4.5 Средства диагностирования
При создании систем диагностирования не менее важной является задача
выбора или разработки средств реализации тестов. Средства систем тестового
диагностирования содержат две основные части – генератор тестовых воздействий и анализатор ответов объекта на эти воздействия. При «классической»
реализации средств тестового диагностирования (рисунок 4.1, а) генератор Г и
анализатор А выполняются функционально и, возможно, конструктивно раздельно.
Д
Рг
Д
Г
ОД
ОД
А
в)
А
Рг
а)
ОД
СА
Д
г)
ДУ
Г
ОД
СС
Д
ОД
Э
А
Рг-СА
б)
Д
д)
Рисунок 4.1 – Однолинейные схемы систем тестового диагностирования
25
Функции генератора заключаются в том, чтобы в процессе работы системы хранить или генерировать тесты и подавать последние на объект диагностирования ОД. Анализатор предназначен для хранения ожидаемых ответов объекта на тестовые воздействия, сравнения фактических ответов с ожидаемыми и
для выдачи диагноза Д. Там, где это возможно и целесообразно, анализатор
можно выполнить в виде совокупности эталона Э, представляющего собой заведомо исправную копию объекта диагностирования, и схемы сравнения СС
(рисунок 4.1, б). При этом исключается необходимость хранения ожидаемых
ответов объекта диагностирования, но возникают заботы по созданию эталона и
поддержанию его в исправном состоянии.
При диагностировании дискретных объектов псевдослучайными тестами
последние генерируются регистром Рг сдвига с обратными связями (рисунок
4.1, б), что существенно сокращает затраты на аппаратуру для реализации генератора тестов, так как не требуется память для хранения последних.
С целью сжатия длинных выходных последовательностей (ответов дискретного объекта диагностирования) применяют так называемые сигнатурные
анализаторы СА, представляющие собой обычно регистры с обратными связями
или счетчики (рисунок 4.1, г). Для дискретных объектов можно объединить
функции генератора псевдослучайных тестов и сигнатурного анализатора в одном регистре Рг – СА с добавлением в ряде случаев дополнительного устройства ДУ, обеспечивающего улучшение качеств генерируемых тестов (рисунок 4.1,
д).
В автоматизированных системах диагностирования часть функций генератора тестов или анализатора ответов возлагается на оператора. Для объектов диагностирования, работающих по сменной программе (объектов вычислительной техники), генераторы тестов и анализаторы ответов полностью или
частично могут быть реализованы программно. При диагностировании с помощью функциональных тестов нет необходимости в специальном генераторе
тестов. Анализаторы ответов могут быть снабжены выносными зондами и адаптерами, позволяющими снимать ответы объекта на тестовые воздействия с
внутренних контрольных точек последнего, что имеет важное значение при поиске дефектов. Средства тестового диагностирования, как правило, выполняются внешними, однако не исключаются случаи применения встроенных в объект
средств.
Существует широкий спектр средств тестового диагностирования – от
простейших внешних или встроенных средств до универсальных многофункциональных внешних средств. Последние, часто предназначаемые не только
для диагностирования, но и для решения других задач отладки сложных объектов, содержат управляющую ЭВМ, имеют развитые устройства связи с объектом, снабжены соответствующим языковым и программным обеспечением.
Лекция 5
26
5 ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ДИАГНОСТИРОВАНИЕ
Организация функционального диагностирования как дискретных, так и
аналоговых объектов зависит от особенностей последних.
5.1 Дискретные объекты
Средства функционального диагностирования дискретных объектов являются чаще всего встроенными средствами контроля. Первоначально нашли
применение специализированные средства контроля типовых функциональных
узлов вычислительных машин, таких, как запоминающие и арифметические
устройства, каналы связи и др. Это известные схемы выработки и проверки
четности, другие схемы контроля по модулю, кодеры и декодеры и т.п. Позднее появились формализованные методы синтеза схем контроля для произвольных дискретных устройств. Обычные (несамопроверяемые) средства контроля
обладают тем недостатком, что для проверки их исправности или работоспособности необходимо периодическое или эпизодическое тестирование с имитацией неисправностей контролируемых объектов. От этого недостатка свободны самопроверяемые средства контроля, которые наряду с неисправностями
контролируемых объектов, обладают свойством обнаруживать свои собственные неисправности (из заданного класса). Кроме двувыходных самопроверяемых схем встроенного контроля, известны такие схемы с одним выходом, исправность (работоспособность) которых проверяется автоматически путем простейшего их тестирования при подаче на дополнительный вход периодически
меняющегося двоичного сигнала. Высокая размерность задач при диагностировании разрешается достаточно удовлетворительно в результате выделения в
сложном объекте его относительно простых функционально самостоятельных
частей. Для каждой части строится своя локальная система диагностирования.
Выходы локальных систем могут быть использованы «на месте», например для
индикации неисправных, функционально законченных частей, а также для получения обобщенного сигнала о техническом состоянии объекта в целом, вырабатываемого общей системой функционального диагностирования.
5.2 Аналоговые (непрерывные) объекты
Для решения задач функционального диагностирования аналоговых объектов, представляющих собой системы с обратными связями, находят применение методы, основанные на введении дополнительных (избыточных) переменных для получения при исправном состоянии объекта константных значений сигналов в специально организуемых контрольных точках. В качестве достаточно общих следует отметить также группу виброакустических методов
функционального диагностирования технического состояния шумящих объек27
тов и объектов с вращающимися частями в условиях их применения по назначению.
5.3 Время диагностирования
Функциональное диагностирование предназначено для проверки правильности функционирования объектов на протяжении всего процесса их применения по назначению, оно может осуществляться как непрерывно, так и периодически или эпизодически. Например, функциональное диагностирование может
быть организовано на основе дублирования объектов или их составных частей
со сравнением вырабатываемой ими информации только в те моменты времени,
когда эта информация выдается другим объектам или составным частям. Периодичность работы средств функционального диагностирования может также
определяться характеристиками надежности объектов диагностирования.
Лекция 6
6 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ПРИ ФУНКЦИОНАЛЬНОМ ДИАГНОСТИРОВАНИИ
АНАЛОГОВЫХ ОБЪЕКТОВ
Экспериментальные данные, обеспечивающие получение статистических
зависимостей, описывающих связи между нарушением в конструкции объекта
и измеряемым параметром, можно получить только для объектов массового
производства. В некоторых случаях такие зависимости получить невозможно.
Тогда один из способов получения необходимой информации – использование
уравнений, описывающих процессы в элементах объекта, в том числе и процесс
развития неисправности, т. е. математических моделей объекта. В результате
расчетов с использованием как уравнений объекта, так и уравнений неисправности устанавливается связь между степенью развития неисправности и поведением измеряемых параметров, т.е. информация, необходимая для формирования алгоритмов систем функционального диагностирования (СФД).
Математические модели (ММ) элемента системы – это совокупность дифференциальных и алгебраических уравнений, эмпирических формул, таблиц,
графиков, описывающих характеристики элемента (агрегата, узла), т. е. связи
между внутренними и внешними управляющими и возмущающими параметрами
F ( X , D,U ) = 0 ,
где Х – вектор параметров объекта;
D – вектор управляющих воздействий;
U – вектор возмущающих воздействий.
28
(6.1)
Для задач функциональной диагностики ММ применяются при моделировании (численный эксперимент) развития той или иной неисправности с целью
выявления диагностических признаков и проверки эффективности работы
технических средств диагностики. Существуют ММ нормально функционирующего элемента и ММ, в которые заложены данные развития той или иной
неисправности. Последняя ММ определяет связи между изменением конструктивных параметров, вызывающих ненормальную работу объекта, и измеряемыми параметрами. Эти два типа ММ могут существенно отличаться, так как
появление неисправности может изменять структуру объекта, а также приводит к появлению новой переменной, характеризующей степень развития неисправности.
Формальное описание объекта и его поведения в исправном и неисправном состояниях, заданное в аналитической, табличной, векторной, графической
или другой форме, называют математической моделью ОД.
Модели объектов бывают функциональные и структурные. Первые отражают только выполняемые объектом (исправным или неисправным) функции,
определенные относительно рабочих входов и рабочих выходов объекта, а вторые, кроме того, содержат информацию о внутренней организации объекта, о
его структуре. Функциональные модели позволяют решать задачи проверки работоспособности и правильности функционирования объекта. Для проверки
исправности (в общем случае) и поиска дефектов с глубиной большей, чем объект в целом, требуются структурные модели.
В некоторых случаях применяются модели, в которых используются зависимости (установленные опытным путем) между техническими состояниями
объекта и такими его параметрами, которые не входят в общепринятые функциональные или структурные описания объекта.
Модели объектов диагностирования могут быть детерминированными и
вероятностными. К вероятностному представлению прибегают чаще всего при
невозможности описать детерминировано поведение объекта.
Математическая модель может быть задана в явном или неявном виде.
Явная модель ОД содержит описание исправного объекта и всех его неисправных состояний. Неявная модель ОД содержит описание какого-либо одного состояния объекта, например, исправного, модели его физических неисправностей и правила получения описаний этих состояний.
Объект может рассматриваться как динамическая система, состояние которой зависит от момента времени t, входных, внутренних и выходных параметров.
Следует различать понятия «состояние объекта как динамической системы» и «техническое состояние объекта». Последнее учитывает наличие тех
или иных неисправностей.
29
Входные и внутренние параметры объекта называются соответственно
входными и внутренними переменными, а выходные параметры – выходными
функциями.
Математическую модель исправного объекта можно представить в виде
Z = ψ ( X , Yнач , t ) ,
(6.2)
где ψ – система передаточных функций;
X – n-мерный вектор входных воздействий (сигналов), а Z – выходных
функций (откликов);
Yнач – n-мерный вектор начальных значений внутренних переменных (параметров) исправного объекта;
t – время.
ОД, находящийся в i–м неисправном состоянии, представляется математической моделью
i
Z i = ψ i (X , Yнач
, t ),
(6.3)
i
где Y нач – начальное значение внутренних переменных i–го неисправного состояния не совпадающее с Yнач.
Конкретный объект характеризуется некоторым состоянием и его математическая модель
Z * = ψ * ( X , Yнач , t ) .
(6.4)
Системы (6.2) и (6.3) образуют явную модель ОД. Неявную модель ОД образуют: система (6.2), множество S возможных неисправностей объекта и способ вычисления зависимостей (6.3) по зависимости (6.4) для любой неисправности.
Обозначим множество всех допустимых элементарных проверок через
||πj||, где j = 1, 2 ... Проверка может отличаться по контрольной точке и по времени в одной и той же точке. Пусть πj – значение воздействия в элементарной
проверке, определяемое составом входных переменных и последовательностью
во времени их значений Xj, а также начальным значением Yjнач внутренних переменных. Ответом объекта в элементарной проверке πj будет результат Rij, получаемый в контрольных точках ||yj|| (индекс i означает i–ю неисправность).
Следовательно, результат Rij элементарной проверки представляется последовательностью ||yj|| n–мерных векторов и является функцией значения πj
воздействия
R ij = ψ i π j , y j = ψ i (π j ) .
(6.5)
(
)
30
Для i–ой неисправности объекта и для конкретного фактического состояния ОД
R*j = ψ * (π j ) .
(6.6)
Модели (6.5) и (6.6) могут быть получены из (6.2), (6.3), (6.4) путем подстановки в правые части значений Xj, Yнач, t для всех πj и последующего вычисления значений тех компонент векторов Z и Zi, которые сопоставлены контрольным точкам из множеств ||yj||.
По форме записи используемых уравнений, а точнее – по глубине описания процесса, все ММ делятся на линейные и нелинейные. Кроме того, в зависимости от характера исходных данных, методов их обработки при формировании
ММ делятся на детерминированные и стохастические. Соотношение между
характерными размерами исследуемого объекта и длиной распространяющихся в объекте волн позволяет определить или необходимость использования
ММ, описывающих объект как систему с распределенными параметрами, или
достаточность ММ в сосредоточенных параметрах.
Из соотношения между характерной постоянной времени системы и временем развития неисправности ставится вопрос о необходимости учета динамических процессов в системе, или же можно ограничиться квазистатическим
подходом, т. е. использовать статические ММ.
По способу формирования ММ можно разделить на аналитические, эмпирические и полуэмпирические.
6.1 Аналитические модели
Аналитические модели содержат дифференциальные уравнения, граничные и начальные условия к ним, алгебраические зависимости, полученные из
общих физических закономерностей. Примером аналитических зависимостей
могут служить законы сохранения в физике (массы, количества движения и
энергии), законы Кирхгофа в электротехнике и т. д.
Преимущество аналитических ММ – их общность, возможность описания процессов в достаточно широком круге объектов. Существенные недостатки этих ММ – невысокая точность описания свойств многих объектов из-за
сложности реальных процессов и отсутствия для них достаточно точных аналитических зависимостей, а также трудоемкость нахождения решений, описывающих более или менее сложные процессы, даже с использованием современных
ЭВМ.
31
6.2 Эмпирические модели
Эмпирические (экспериментальные) модели обладают достаточной точностью, однако для получения функциональных связей между параметрами
процесса в объекте и внешними возмущающими или регулирующими параметрами необходим большой объем экспериментов. Результаты экспериментов не
всегда можно распространить на подобные объекты. Для получения обобщенных экспериментальных зависимостей, пригодных для описания процессов в
ряде однотипных объектов, необходимо использовать методы теории подобия.
6.3 Полуэмпирические модели
Наибольшее распространение получили смешанные полуэмпирические
ММ, при формировании которых используются как общие физические закономерности, так и данные экспериментов, которые позволяют учесть многие детали процесса, не рассматриваемыми аналитическими ММ. В случае формирования чисто эмпирических и полуэмпирических ММ для выбора наиболее удобной формы уравнений и определения их коэффициентов используются методы
идентификации. Все перечисленные виды ММ находят применение при построении технических средств диагностирования (ТСД).
6.4 Линейность и нелинейность в моделировании
В нелинейных уравнениях, записываемых в форме (6.1), переменные Х, D,
и U их производные входят в виде произведений, степеней, трансцендентных
функций и т. д. Линейные (линеаризованные) уравнения имеют форму
A(s )X = φ (D,U ) ,
(6.7)
где A(s) – квадратная матрица, коэффициенты которой многочлены по s;
s = d/dt – оператор дифференцирования.
Для линейных уравнений существуют хорошо разработанные методы решения, применим принцип суперпозиции; для нелинейных уравнений таких
общих методов решения нет. Для большинства объектов, включающих ТСД,
изменения параметров процессов в достаточно широком диапазоне описываются нелинейными зависимостями.
В зависимости от класса решаемой задачи один и тот же объект можно
описать как нелинейными, так и линейными (линеаризованными) уравнениями,
и если позволяют условия использования результатов решения, всегда имеет
смысл хотя бы в первом приближении решать линейное (линеаризованное)
уравнение.
32
Нелинейные уравнения (6.1) можно линеаризовать, принимая, что каждая переменная состоит из двух частей – постоянного значения, соответствующего (применительно к ТСД) стационарному значению параметра при нормальной работе объекта, и малого отклонения от стационарного значения,
связанного с развитием неисправности.
Применительно к задачам ТСД линейные зависимости пригодны для моделирования неисправностей, если процесс развития неисправности не сопровождается значительными отклонениями параметров, характеризующих состояние объекта.
Примером такой неисправности могут служить изменения характеристик
объекта при износе его отдельных элементов (поршней двигателя, уплотнений
на валу), небольшие утечки (тока, жидкости) из линий электропередачи или
трактов с протоком жидкости (газа) и т. д.
6.5 Протяженные объекты
Неисправности, возникшие при работе объекта, могут развиваться достаточно быстро, а сам объект может иметь такую протяженность, что реакция на
неисправность поступает в точку измерения с запаздыванием из-за конечной
скорости распространения возмущения. Примерами таких объектов могут служить длинные линии электропередачи, трубопроводные системы, теплообменные аппараты и т. д.
Объекты, для которых существенно разное запаздывание реакции на возмущение в разных точках, описываются уравнениями в частных производных;
эти объекты относятся к системам с распределенными параметрами. Если для
объекта или его элементов можно принять, что параметры изменяются одинаково во всех точках, то такой объект описывается обыкновенными дифференциальными или алгебраическими уравнениями и относится к системам с сосредоточенными параметрами.
6.6 Зависимость от времени
Быстрота развития неисправности определяет также необходимость учета
динамических эффектов при моделировании неисправностей. Если характерное
время развития неисправности ТН (например, изменение характерного параметра на 90 % его максимального значения) соизмеримо или меньше характерного
времени объекта Т0, то необходимо учитывать динамические эффекты, т. е. вводить в модель производные от переменных по времени.
Если выполняется условие квазистатичности процесса развития неисправности Т0<<ТН, то достаточно ограничиться статической моделью объекта,
отбросив все члены с производными по времени.
33
6.7 Стохастичность в моделировании
Все физические объекты являются стохастическими, т.е. их характеристики носят случайный характер. Это связано с тем, что все они изготовляются
с определенными допусками. Кроме того, некоторые параметры изменяются в
процессе эксплуатации. Соответственно разные объекты, выполненные по одинаковой технической документации, имеют несколько различающиеся статические и динамические характеристики, т. е. эти характеристики имеют вид случайных функций, для которых существует определенное математическое ожидание и дисперсия. При описании объектов как детерминированных систем в
качестве характеристик элементов используется их математическое ожидание.
Однако при более строгом подходе их нужно принимать как стохастические
объекты, считая характеристики элементов случайными функциями.
6.8 Допущения и упрощения моделей
При построении ММ допустимая степень упрощения модели определяется условиями функционирования системы. Иногда полезно начать исследование с более простых ММ, не удовлетворяющих полностью условиям функционирования системы, но удобных как «нулевое» приближение. С помощью этих
моделей, благодаря их простоте и наглядности, можно достаточно полно исследовать некоторые общие закономерности процессов, в частности развитие неисправности. Простые модели удобны также для проверки более сложных вариантов ММ (с помощью предельных переходов). Например, для гидравлических и пневматических систем более простым по сравнению с течением
вязкой жидкости является течение без учета вязкости, а течение
несжимаемой жидкости – по сравнению с течением сжимаемой жидкости и
т.д. То или иное предположение (невязкая или несжимаемая жидкость и т.д.)
зависит от класса решаемой задачи. Определяющими факторами могут являться
соотношения: протяженности системы и длины волны, распространяющейся в
ней; скорости движения и скорости звука; скорость изменения параметров во
времени и т.д. Например, для электрических или гидромеханических систем,
включающих линии передачи или тракты, один из основных вопросов, который
надо решить перед началом формирования ММ, – рассматривать их в качестве
систем с сосредоточенными или с распределенными параметрами. Выбор модели определяется соотношением между длиной линии (тракта) и длиной электрической (акустической) волны в диапазоне интересной для рассматриваемой
задачи частоты колебаний.
Модели объектов, состоящих из связанных между собой элементов (агрегатов, устройств), формируются в два этапа: вначале создание ММ процессов в отдельных органах, агрегатах, узлах системы, а затем разработка ММ
34
всей системы в целом с участием частных ММ отдельных подсистем и структуры связей между ними.
6.9 Модели элементов с сосредоточенными параметрами
Сформируем для примера ММ простейшего элемента – гидравлического
тракта (рисунок 6.1, а), содержащего два участка цилиндрической формы 0–1´ и
1´–1 разного проходного сечения.
p'
p1
R1
R2
p0
б)
L1
L2
1'
0
1
a)
в)
Рисунок 6.1 – Схема (а) и эквивалентные цепи (б и в) гидравлического тракта
Предполагая жидкость вязкой, ньютоновской, течение ламинарным, одновременно примем, что сжимаемостью жидкости и потерями давления на
стыке участков можно пренебречь; трение будем считать квазистационарным,
Рассматривая столб жидкости как «твердое тело», к которому приложена
сила по концам тракта и сила трения по закону стационарного течения Пуазейля, т.е. учитывая только инерцию столба жидкости и квазистационарное
вязкое трение, запишем уравнение движения
p0 − р1
λ1L1
λ2L2 G ,
= ( FL11 + FL22 ) dG
dt + ( R F 2 + R F 2 ) 4 ρ
2
1 1
2 2
(6.8)
где p0,pi – давление на входе и выходе;
G, ρ – расход и плотность жидкости соответственно;
L1, L2, F1, F2, R1, R2 – длины, площади проходного сечения и радиусы
участков соответственно;
λ 1 λ 2 – коэффициенты гидравлического сопротивления для участков
тракта.
Использование принятых предположений приводит к существенному упрощению ММ: отказ от учета сжимаемости среды позволили ограничиться моделью тракта как элемента с сосредоточенными параметрами; ламинарный характер движения позволил остаться в рамках чис35
то аналитической модели (течение Пуазейля); предположение квазистационарности позволяет принять λ i =f(Re i ), достаточно громоздкие зависимости для нестационарного трения при ламинарном неустановившемся течении.
Но простота модели является и ее недостатком, так как указанные
ограничения в некоторых случаях не выполняются. Для нестационарного ламинарного течения с достаточно большим градиентом изменения
параметров во времени условие квазистационарности заведомо не выполняется, так как сила вязкого трения в этом случае зависит как от
градиента изменения параметров в данный момент, так и от предыстории изменения параметров течения во времени. При достаточной длине
тракта, когда время Т ВН изменения внешних параметров соизмеримо со
временем пробега длины тракта акустической волной Т ВН ≈ L Σ /a (где L Σ
– суммарная длина тракта; а – скорость звука в жидкости), не учет распределенности параметров не позволяет описать важные эффекты –
волновой характер процесса с гидроударами, провалами давления и т.д.
Однако учет распределенности параметров существенно усложняет ММ
объекта.
Уравнение (6.8) можно сделать более наглядным, если записать
его для безразмерных относительных переменных
р 0 − р1
= τи
dG
dt
+ ΔррHH
G
2
,
(6.9)
где р0 = р0 / рH ; р1 = р1 / рH ; G = G / GH ;
τ и = ( L1 / F1 + L2 / F2 ) / рH – инерционная постоянная времени столба жидкости;
ΔрH = [λ1H L1 /( R1F12 ) + λ2 H L2 /( R2 F22 )] / 4 ρ – перепад давления в тракте при
стационарном номинальном режиме с расходом GН;
рН – номинальное давление в системе;
λ1H ,λ2H –коэффициенты сопротивления участков тракта при номинальном стационарном расходе GН.
Так как для ламинарного течения ΔрH ~ λHi ~ 1/GH, то последний член
(6.9) фактически линеен по расходу; (6.9) можно представить в более общем
виде
τх + х =Σyi,
где х – выходная переменная элемента;
τ – постоянная времени;
yi – i–я входная (возмущающая) переменная.
36
(6.10)
Уравнение (6.10) является ММ большого числа устройств с процессами разной природы: двигателей разного типа, турбогенераторов, емкостей
(электрических, гидравлических, газовых, тепловых) и т. д. (рисунок 6.1, б
и в). Аналогией, т. е. общностью записи уравнений для систем разной физической природы, пользуются как одним из способов моделирования процессов с помощью электрических аналоговых моделирующих машин. При этом
используются модели, предназначенные для исследования процессов в системах с сосредоточенными параметрами, а также в системах с распределенными
параметрами.
Лекция 7
6.10 Модели элементов с распределенными параметрами
Если размеры элемента соизмеримы с длиной волны (акустической,
механической, электрической и т.д.) в исследуемом диапазоне частот, то
его необходимо описывать как систему с распределенными параметрами. В
качестве примера рассмотрим трубопровод с движением капельной жидкости, для которого соблюдаются условия R/L<<1, М=U/а<<1 (R – радиус;
L – длина трубы; а – скорость звука в жидкости; U – скорость жидкости; М
– число Маха); потерями на трение по длине тракта пренебрегаем. Одномерное
нестационарное движение невязкой жидкости (так как трением пренебрегаем)
при соблюдении указанных выше допущений описывается уравнением количества движения
∂U + 1 ∂р = 0 ,
∂t ρ ∂x
(6.11)
и уравнением неразрывности
∂р
+ ρ ∂U = 0 ,
∂t
∂x
(6.12)
где р – давление жидкости;
ρ – плотность жидкости.
Предполагая течение адиабатическим
a = dp / d ρ , преобразуем (6.12) к виду
и
используя
зависимость
∂p
+ ρa 2 ∂U = 0 .
∂t
∂x
(6.13)
Проинтегрировав (6.11) по х и подставив его в (6.13), найдем
∂ 2U − a 2 ∂ 2U = 0 .
∂t 2
∂x 2
37
(6.14)
Получим волновое уравнение, описывающее нестационарное течение газа в тракте. Для решения (6.14) необходимы начальные условия
t=0, U=F(x),
(6.15)
а также граничные условия, которые запишем в форме линейных соотношений для входа (х = 0)
m
p = Ψ' U + ∑ γ ′ y ,
0
0i 0i
i =1
(6.16)
n
p = Ψ 'U + ∑ γ ' y ,
1
1j 1j
j =1
(6.17)
и для выхода (х = L)
где Ψ0' , Ψ1' – граничные импедансы (сопротивления);
γ 0' i , γ 1' j – коэффициенты усиления для возмущений y0i и y1j на входе и
выходе тракта;
F(х) – распределение скорости по длине в момент t = 0.
В общем случае граничные условия, как правило, нелинейные. Примем,
что они линейные или линеаризованные, т. е. пригодны только для малых отклонений параметров системы.
Уравнение (6.14) кроме гидравлического тракта описывает достаточно
широкий круг объектов – газовые тракты, длинные электрические линии (без
учета потерь на сопротивление), механические системы и т. д. Уравнения граничных условий (6.16) и (6.17), к примеру, могут описывать местное гидравлическое сопротивление, связывающее скорость жидкости с перепадом давления.
Способ решения (6.14) зависит от класса решаемой задачи. Применительно к задачам диагностики представляют интерес решения в форме переходного процесса – реакции системы на возмущение с заданным законом изменения во времени или частное периодическое решение – установившаяся реакция на гармонические колебания. Для расчета переходного процесса по (6.14)
используются операционные методы или численные методы, в частности метод
характеристик. Более простую форму имеет частное периодическое решение
(6.14) при линейных граничных условиях (6.16) и (6.17). В этом случае ищут
решение исходной системы (6.11) и (6.13), задаваясь формой решения
U = u~ exp(iωt ) ;
p=~
p exp(iωt ) ,
и возмущающих переменных
38
y0i = ~
y0i exp(iωt ) ;
y =~
y exp(iωt ) ,
1j
1j
~ ~ ~ ~
где u , p , y 0i , y1 j – амплитуды соответствующих параметров (величины в общем случае комплексные).
Если вносится только одно возмущение, например со стороны выхода,
то (6.11) и (6.13) вместе с граничными условиями (6.16) и (6.17) имеет следующее частное периодическое решение
u~ ( x , ω ) =
′ y1
[( α ' + ψ 0′ ) exp × ( − i ω x ) + ( α ' − ψ 0′ ) exp( i ω x )] γ 11
[( α ' + ψ 0′ )( α ' − ψ 1′ ) × exp( − i ω
) − ( α ' − ψ 0′ )]( α ' + ψ 1′ ) exp( i ω )
,(6.18)
где α ' = ρa – волновое сопротивление среды в тракте.
Решение (6.18) описывает распределение амплитуды отклонений скорости по длине тракта в зависимости от частоты ω и соотношения между гранич'
'
ными импедансами ψ 0 ,ψ 1 и волновым сопротивлением α ' . Это решение можно
использовать при анализе колебательных нагрузок, вибраций в трубопроводных системах.
6.11 Математические модели систем
Для анализа состояния системы необходимо из ММ элементов собрать
ММ всей системы, однако, совокупность всех ММ, входящих в систему элементов, не является еще ММ системы. Для формирования замкнутой системы
уравнений к уравнениям элементов необходимо добавить уравнения связей между параметрами входящих в ММ элементов. Если нарисовать схему системы,
то все элементы окажутся связанными между собой, так как между ними
осуществляется обмен информацией, рабочей средой, электрическим током,
энергией и т. д. Для сечений или точек, связывающих между собой элементы,
соблюдаются законы сохранения. В этом случае удобно применить аппарат теории цепей.
Рассмотрим систему, агрегаты в которой описываются как элементы с сосредоточенными параметрами. На схеме системы можно выделить узлы, связывающие между собой отдельные элементы и замкнутые контуры. Для процессов разной физической природы можно записать законы сохранения, аналогичные двум правилам Кирхгофа для узлов и контуров электрической цепи.
39
б)
0
в)
РД1
РС1
Н1
9
1
2
АК1
Q3
4
6
3
Н8
0
Н2
РП1
IV
РП2
а)
L3
R3
Е2
II
R5
I
L5
III R8
II
L8
III
Е3
R2
C6
I
R1
IV
III
II
г)
7
5
I
РП3
8
C2
R7
R4
Е1
R9
IV
Рисунок 6.2 – Схема электрической цепи (а), эквивалентная
пневмогидравлическая система (б), граф (в) и дерево
графа (г) пневмогидравлической системы
В качестве примера используем электрическую цепь, изображенную на
рисунке 6.2, а. На рисунке 6.2, б представлена эквивалентная пневмогидравлическая система, в которой изображение элементов совпадает с изображением аналогичных элементов в электрических цепях: регулятор РД1 с гидравлическим
сопротивлением ZBH1,создающий напор Н1 , соответствует источнику ЭДС Е1 с
внутренним сопротивлением резистора R1; ресивер РC1 соответствует емкости конденсатора С2; насос Н1 с гидравлическим сопротивлением ZВН3, создающий расход Q3, соответствует источнику ЭДС Е2 с внутренним сопротивлением
R2; аккумулятор АК1 соответствует емкости конденсатора С6; регулятор потока РП1 соответствует сопротивлению резистора R4; насос H8, создающий
напор H8, с гидравлическим сопротивлением ZВН8 и регулятором потока РПЗ соответствует источнику ЭДС Е3 с внутренним сопротивлением резистора R8;
регулятор потока РП2 соответствует сопротивлению резистора R7, а регулятор
потока РПЗ – сопротивлению резистора R9.
40
Для последовательно включенных элементов j–й ветви, используя правило Кирхгофа
I 1 j = I 2 j = ... = I k j = I j ,
суммирования падений напряжений
k
Δu j = Δu1 j + Δu 2 j + ... + Δuk j = ∑ Δui j ,
i =1
и определение сопротивления элемента и ветви
z 'j = Δui j / I j , z 'jв = Δp j / G j ,
найдем
k '
'
z = ∑ z .
jв
i
i =1 j
(6.19)
Уравнения сопротивления элементов и ветвей в общем случае нелинейные, а в случае, если элементы описываются дифференциальными уравнениями, они содержат многочлены по оператору дифференцирования s=d/dt. Для
частного периодического решения zij′ будут функцией частоты. При определении
сопротивления элементов zij′ используются их ММ, например, (6.17) для участков цепи.
Уравнения сопротивления всех ветвей цепи удобно записать в матричной форме. При этом выделяются отдельно токи всех источников, а реальный
источник расхода U3 замещается источником ЭДС с использованием связи
z ′ВН3 I 3 = Е3 . В итоге для цепи, представленной на рисунке 6.2, б, получим
⎡ Δu1
⎢ Δu
⎢ 2
⎢ Δu3
⎢
⎢ Δu 4
⎢ Δu5
⎢
⎢ Δu 6
⎢ Δu
⎢ 7
⎢ Δu8
⎢ Δu
⎣ 9
+
Е1 ⎤ ⎡ z1'
⎢
0 ⎥⎥ ⎢
Е3 ⎥ ⎢
⎥ ⎢
0⎥ ⎢
0 ⎥=⎢
⎥ ⎢
0⎥ ⎢
0 ⎥ ⎢0
⎥ ⎢
Е8 ⎥ ⎢
0 ⎥⎦ ⎢⎣
z
'
2
z 3'
z 4'
z 5'
z 6'
z 7'
z 8'
где z' – диагональная матрица сопротивлений;
41
⎤ ⎡ I1 ⎤
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢I2 ⎥
0 ⎥ ⎢ I3 ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢I4 ⎥
⎥ × ⎢ I5 ⎥
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢I6 ⎥
⎥ ⎢I ⎥
⎥ ⎢ 7⎥
⎥ ⎢ I8 ⎥
⎥
z 9' ⎦ ⎢⎣ I 9 ⎥⎦
Δu, U, I – матрицы (векторы) падений напряжений, напряжений источников
и токов в ветвях.
Для получения замкнутой системы уравнений ММ системы кроме уравнений ветвей, необходимо записать уравнения сохранения для узлов и контуров. Рассмотрим узел I на рисунке 6.2, б. В этом узле сходятся три ветви. Если
учесть все падения напряжений в ММ отдельных элементов ветвей, объемом
разветвления, то уравнение неразрывности для узла I
Δu + Е = z ' I ,
или в более компактной форме
I1 − I 2 − I 3 = 0 ,
где I1 , I2 , I3 – токи по соответствующим ветвям.
Ток принимается положительным, если он входит в узел (разветвление),
и отрицательным, если выходит из него.
Аналогичные уравнения можно составить и для узлов цепи II, III, IV и
0. Уравнения балансов токов для всех узлов цепи можно представить в матричной форме
.
(6.20)
или в более компактной форме
Π I = 0,
(6.21)
где П – матрица соединений (инциденций).
В матрице инциденций каждая строка соответствует узлу (их в цепи на
рисунке 6.2, а пять), каждый столбец – ветви. Так как сумма элементов в столбцах равна нулю, то матрица является особенной, а уравнение – зависимым. Достаточно исключить из системы (6.20) уравнение одного узла и соответственно
42
вычеркнуть одну строку из матрицы П, чтобы получить матрицу Пн, описывающую независимую систему уравнений балансов токов в узлах цепи.
Имея матрицу соединений П, можно построить структурный граф
цепи (рисунок 6.2, в), так как матрица соединений и структурный граф изоморфны.
Для построения графа необходимо нанести точки, обозначающие узлы
эквивалентной цепи, и соединить их попарно, установив в соответствии со знаками элементов в столбцах матрицы П направление ветвей графа.
Используя матрицу соединений П, можно найти уравнение, связывающее потенциалы узлов цепи с падением напряжений на пассивных элементах
ветвей (принимая, что источники ЭДС выключены). Считая направления падения напряжения на ветви и тока противоположными, запишем для цепи, представленной на рисунке 6.2, а
∏
H
I = 0;
(6.22)
⎡ ϕI
⎡1 0 0 0⎤
⎢ −ϕ
⎢− 1 0 0 0 ⎥
I
⎢
⎥
⎢
⎢ − ϕI
⎢− 1 1 0 0 ⎥
⎥ ⎡ ϕI ⎤ ⎢
⎢
⎢ 0 − 1 0 0 ⎥ ⎢ ϕ ⎥ ⎢ − ϕ II
T
∏ H ϕ = ⎢⎢ 0 − 1 1 0 ⎥⎥ × ⎢⎢ϕ II ⎥⎥ = ⎢⎢ − ϕII
III
⎢ 0 0 − 1 0 ⎥ ⎢ϕ ⎥ ⎢− ϕ III
⎢ 0 0 1 − 1⎥ ⎣ IV ⎦ ⎢ ϕ
⎢ III
⎥
⎢
⎢− ϕ III
⎢ 0 0 −1 1 ⎥
⎢− ϕ
⎢ 0 0 0 − 1⎥
⎦
⎣
⎣ IV
+
+
−
+
⎤
⎥
⎥
ϕ II ⎥
⎥
⎥
ϕ III ⎥ = Δu
⎥
⎥
ϕ IV ⎥
⎥
ϕ IV ⎥
⎥
⎦
(6.23)
где φI, φII, φIII, φIV – потенциал соответствующих узлов;
Δu=[Δu 1 Δu 2 ... Δuq] – матрица (вектор) падений напряжений на ветвях,
если принять для базисного узла (узел 0 на рисунке 6.2, б) потенциал, равный нулю (φ0 = 0);
П НТ – транспонированная матрица соединений;
ϕ = ϕ I ϕ II ...ϕ m −1 – матрица (вектор) узловых потенциалов для независимых узлов (кроме базисного, для которого отброшено уравнение
баланса токов).
Для записи уравнений контуров цепи используют два варианта описания: матрицу контуров и матрицу главных контуров; используем первый, как
более простой. Контуром графа называют замкнутый путь, состоящий из непрерывной последовательности ветвей, заканчивающихся в исходном узле. В
граф входит ряд контуров. Дерево графа (рисунок 6.2, г) – совокупность вет43
вей, содержащая все узлы исходного графа, но не имеющая ни одного замкнутого контура. Для дерева, составляющие его линии, так же как и в исходном графе, называются ветвями, а отброшенные ветви – хордами. На рисунке 6.2, г ветви показаны сплошными линиями, хорды – штриховыми линиями.
Элементы матрицы контуров равны:
+1 – при совпадении направления ветви и направления обхода контура;
–1 – при несовпадении;
0 – если ветвь не входит в контур.
Для контуров графа, представленного на рисунке 6.2, г, контурное
уравнение
⎡ ϕI
⎤
⎢ −ϕ
⎥
I
⎢
⎥
− ϕI ⎥
⎡1 1 0 0 0 0 0 0 0⎤ ⎢ ϕ II
⎢
⎥
⎢0 − 1 1 1 0 0 0 0 0 ⎥ − ϕ
II
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎢0 0 0 − 1 1 1 0 0 0⎥ × ⎢ ϕ III − ϕ II ⎥ = 0.
⎥
⎢
⎥ ⎢
−
ϕ
−
−
0
0
0
0
0
0
1
1
0
⎥
⎢
⎥ ⎢ III
⎢
⎢⎣0 0 0 0 0 − 1 0 1 1⎥⎦
− ϕ IV ⎥
ϕ
⎢ III
⎥
−
ϕ
ϕ
⎢ IV
III ⎥
⎢− ϕ
⎥
⎣ IV
⎦
или в более компактной форме
ΓΔu = 0 ,
(6.24)
где Г – матрица контуров.
Уравнения сохранения для узлов (6.22) и контуров (6.23) или (6.24) определяются только топологией цепи (т. е. и исходной системы) и не зависят от
типов элементов, входящих в ветви цепи. Все уравнения сохранения всегда линейны. Система уравнений узлов и ветвей содержит q уравнений и 2q переменных – токов и падений напряжений на ветвях. Таким образом, эта система
уравнений незамкнутая, а недостающие q уравнений – это уравнения ветвей
(6.20), записанные в матричной форме в виде зависимости падения напряжений на ветвях как функции их сопротивления и тока. В отличие от уравнений
сохранения (6.21) и (6.24) уравнения ветвей в общем случае нелинейные.
Если ограничиться линейными (линеаризованными) системами, то система 2q уравнений (6.20), (6.21), (6.23) или (6.24) может быть сведена к меньшему
числу уравнений методами теории цепей. В частности, метод узловых давлений
(напряжений в электрических цепях) позволяет свести всю систему к т–1 урав44
нений, где т – число узлов в эквивалентной цепи. Другой метод позволяет найти только токи или только падения напряжений на ветвях цепи.
Лекция 8
6.12 Модели неисправности
Под моделью неисправности понимается аналитическая или стохастическая зависимость, связывающая параметр, характеризующий степень развития
неисправности, с временем или параметрами объекта диагностики. Как правило, в качестве параметра, характеризующего неисправность, используются
первичные конструктивные параметры объекта, изменение которых является
причиной появления признаков неисправности – изменения измеряемых параметров. Таким первичным параметром может быть увеличенный зазор в уплотнении, определяющий утечку газа или жидкости, размер образовавшейся
щели при разрушении стенки тракта, сопротивление утечки в электрической
системе т.д.
Как правило, используются ММ простых неисправностей, которые
связаны с отклонением от нормального значения конструктивного параметра
только одного агрегата объекта диагностики. Случай сложной неисправности,
когда от нормального значения отклоняются одновременно (или в какой-то
последовательности) конструктивные параметры ряда агрегатов, очень неудобен как для моделирования, так и для диагностики из-за многообразия
возможных сочетаний отклонений параметров по величине, взаимной последовательности и т.д.
Рассмотрим моделирование простой неисправности применительно к
объекту, описываемому детерминированной ММ. Подход к моделированию
зависит от вида ММ, является она линейной или нелинейной. Если ММ получена путем линеаризации нелинейных уравнений, то для моделирования неисправности изменение характеризующего ее параметра вводится в ММ как
внешнее, малое возмущение.
Например, изменение электрического сопротивления элемента электрической системы, засорение гидравлических (или газовых) трактов, моделируется изменением коэффициента в уравнении, связывающего ток (расход) с падением напряжения (перепадом давления). При линеаризации этого уравнения в качестве варьируемых переменных параметров рассматриваются не только ток и напряжения (расход и перепад давления), но и коэффициент, связывающий их. Применительно к тракту – это площадь проходного сечения местного сопротивления.
Сложнее, если модель агрегата системы не содержит явного описания
элементов конструкции. Например, центробежный насос при безкавитационной работе описывается двумя полуэмпирическими соотношениями:
45
2
H
⎛Q⎞
⎛Q⎞
= A⎜ ⎟ + B⎜ ⎟ + C ;
2
n
⎝n⎠
⎝n⎠
2
⎛Q⎞
⎛Q⎞
η Η = D⎜ ⎟ + E ⎜ ⎟ + F ,
⎝n⎠
⎝n⎠
где Н, Q, n, ηН – напор, расход, частота вращения и КПД насоса соответственно.
Коэффициенты обоих уравнений отражают геометрию проточной части
насоса, но не в столь явном виде, как в случае местного сопротивления. Если
развивается неисправность, связанная с проточной частью (поломка одной из
лопаток, износ уплотнений и т.д.), то она приводит к изменению как напора,
так и КПД насоса. Поэтому при воспроизведении этой неисправности необходимо изменять как коэффициенты А, В, С, так и D, Е и F, т. е. изменять
ряд характеристик агрегата.
При моделировании неисправностей такого типа из ММ нормально работающего агрегата трудно выявить взаимосвязь между коэффициентами уравнений при появлении неисправности. Практически это можно сделать только с
использованием результатов измерений при экспериментах с ненормально работающими агрегатами. При этом целесообразно использовать аппарат математической статистики.
Если моделируются неисправности, нарушающие структуру моделируемой системы (появление течи в окружающую среду, утечки тока, разрыв
одной из механических связей и т. д.), то возможные неисправности должны быть заранее предусмотрены в ММ в виде отдельных структурных элементов. В местах возможных утечек в структуре модели должны быть предусмотрены ответвления, сообщающиеся с внешней средой, площадь проходного сечения местного сопротивления в котором изменяется от нуля до заданной величины. Для воспроизведения картины развития неисправности с
помощью ММ объекта в первую очередь необходимо определить, за какое
характерное время развивается неисправность. Если это время соизмеримо
или меньше характерной постоянной времени объекта, то необходимо использовать ММ объекта диагностики, в которой учтены динамические эффекты, т. е. члены с производными по времени. Для таких неисправностей
закон изменения первичных признаков (отклонений параметров) задается как
функция времени
Δε i =
0 при t < t H ;
⎧
⎪
⎨ f i (t ) при t H ≤ t ≤ t K ;
⎪ const при t > t ,
K
⎩
46
(6.25)
где Δεi – отклонение i–го первичного конструктивного параметра, являющегося причиной развития данной неисправности;
tн – момент начала отклонения первичного параметра за допустимые пределы;
tK – момент окончания изменения первичных параметров;
fi(t) – закон изменения во времени.
Другой возможный вариант соотношения характерных времен, когда
время развития неисправности намного больше времени объекта. В этом случае можно использовать квазистационарную ММ объекта, в которой отсутствуют члены с производными по времени.
47
Лекция 9
7 СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРИ ФОРМИРОВАНИИ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Описанные выше детерминированные ММ объектов диагностики характеризуют некоторые средние значения (математическое ожидание) параметров системы. В действительности исходные данные, заключенные как в коэффициентах уравнений, так и в начальных и граничных условиях, описывающих
внешние условия для объекта, являются случайными величинами или случайными функциями.
Для учета случайного характера всех параметров системы, кроме математического ожидания этих параметров, необходимо знать дисперсию (разброс) и закон распределения этих характеристик. Зная дисперсию и законы
распределения, можно сформировать статистическую ММ, у которой коэффициенты уравнений константы, а внешние условия будут известными случайными функциями.
Используя метод статистических испытаний (метод Монте-Карло), путем
многократного последовательного проведения расчетов при различных сочетаниях случайных величин, находят поле решений уравнений ММ, по которому
определяются его математическое ожидание и дисперсия. Метод статистических испытаний требует существенно большего объема экспериментальных
данных и расчетов с использованием ММ, чем при использовании детерминированной ММ.
Применительно к задачам статических методов случайный характер носит как модель объекта диагностики, так и ММ неисправности. Учет стохастического характера неисправности как правило, необходим и в случае использования детерминированной ММ объекта диагностирования.
Другая область применения статистических методов – это идентификация ММ систем. Задача идентификации – формирование ММ по результатам экспериментальных исследований. Существует два подхода к задачам идентификации. При решении задач идентификации в широком смысле объект
считается «черным ящиком», т. е. предполагается, что отсутствует априорная
информация, как о структуре, так и о параметрах системы. Для идентификации такой системы необходимо решить дополнительные задачи, связанные с
выбором класса моделей, оценкой стационарности, линейности и т.д. Такой
подход к идентификации не получил достаточного развития.
Возможен и другой метод решения идентификации, когда принимается,
что известна структура системы и класс ММ, к которому она относится.
Эти методы идентификации достаточно развиты и их можно разделить на методы, требующие создания специальных возмущающих воздействий, на объект
(ступенчатых, импульсных, синусоидальных и т. д.) и не требующие таких
48
воздействий. К последним относятся метод корреляционного анализа, регрессионные методы, метод квазилинеаризации.
Методы корреляционных функций применяются к системам, для которых можно ограничиться линейной ММ. При использовании этого метода
предполагается, что на вход анализируемой системы подается стохастический сигнал типа белого шума.
Идентификация ММ систем, основанная на регрессионных процедурах с
использованием метода наименьших квадратов, применяется как к линейным,
так и к нелинейным системам, и ее использование облегчает проведение идентификации системы по нескольким входам одновременно. Используя уравнения регрессии, находят параметры ММ, обеспечивающие минимум среднего
квадратического отклонения измеренных величин от полученных из ММ.
Метод квазилинеаризации, по существу, сводится к преобразованию
нелинейной краевой задачи в линейную нестационарную задачу. Метод громоздок и, хотя позволяет идентифицировать параметры нелинейной системы, едва ли может быть применен для идентификации систем более или
менее большой размерности.
8 ТАБЛИЦА ФУНКЦИЙ НЕИСПРАВНОСТЕЙ
Как уже отмечалось выше, математическая модель ОД может быть задана
в различной форме. Рассмотрим табличную форму представления моделей вида
(6.5).
Пусть E – множество технических состояний объекта, S – множество неисправностей, П – множество допустимых элементарных проверок. Пусть
e0 ∈ E обозначает исправное, ei ∈ E, при i ≥ 1 – i–неисправное состояние объекта. Каждому i–неисправному состоянию соответствует неисправность Si из
множества S и наоборот.
Таблица 8.1 – Таблица функций неисправностей
R
e0
π1
0
R
E
ei
…
1
…
e|S|
i
R1
i
Rj
|S|
…
R1
П
πj
0
Rj
0
R |П|
|S|
…
Rj
π|П|
R
|П|
i
49
|S|
|П|
R
Рассмотрим таблицу 8.1, в строках которой перечислены допустимые
проверки πj ∈ П, а в столбцах – технические состояния из множества Е.
В клетке (j, i) на пересечении строки πj и столбца ei находится результат
i
R j элементарной проверки πj объекта, находящегося в состоянии ei. Множество
всех результатов проверок обозначим R.
Принимаем допущение, что множество допустимых проверок П обладает
свойствами обнаружения любой неисправности, и различения всех неисправностей из множества S. Свойство обнаружения любой неисправности означает,
что столбец «е0» таблицы функций неисправностей (ТФН) отличается от каждого из остальных ее столбцов. Свойство различения означает, что все столбцы
таблицы, представляющие неисправные состояния, попарно различны.
ТФН применяется для построения:
− алгоритма диагностирования;
− физической модели объекта диагноза.
Прямой задачей диагностирования называется задача определения по заданной элементарной проверке πj той или иной информации о состояниях объекта, т. е. отнесение объекта к одному из классов состояний. Сложность решения задач определяется тем, что не все состояния могут быть различены при
помощи конкретной πj проверки.
Обратной задачей диагностирования называется задача определения некоторого подмножества элементарных проверок ||πj|| ∈ П, различающих заданную пару (Si, Sk) неисправностей объекта.
Одиночная неисправность объекта может быть обнаружена элементарной
проверкой πj ∈ П, при выполнении двух условий: условия проявления неисправности и условия транспортировки неисправности в контрольные точки.
Первое условие состоит в том, что возникшая неисправность должна изменить значение хотя бы одного параметра объекта. Второе условие заключается в возможности передачи этих сигналов хотя бы в одну контрольную точку
объекта.
Лекция 10
9 ЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АНАЛОГОВОГО
(НЕПРЕРЫВНОГО) ОБЪЕКТА
Модели объектов, состоящих из связанных между собой элементов (агрегатов, устройств), формируются в два этапа: вначале создание ММ процессов в
отдельных органах, агрегатах, узлах системы, а затем разработка ММ всей системы в целом с участием частных ММ отдельных подсистем и структуры связей между ними.
50
Одним из видов моделей непрерывных объектов являются логические модели. На основе знания принципиальной схемы объекта составляется его структурная схема. Допустим, что имеется некоторое входное устройство релейной
защиты (РЗ), задачей которого является формирование уровня выходного напряжения в зависимости от сигналов на входе.
Согласно структурной схеме (рисунок 9.1) объект состоит из двух связанных между собой компонент или блоков. Входные и выходные сигналы характеризуются одним или несколькими физическими параметрами (напряжение, ток, сдвиг фаз, частота и т. д.). Каждый из этих параметров можно представить отдельным входом или выходом блока (рисунок 9.2).
x
1
y
z
2
Рисунок 9.1 – Структурная схема входного устройства Р3 (1 – усилитель;
2 – формирователь)
y1
x1
x2
1a
y3
1б
2
y2
Рисунок 9.2 – Функциональная схема входного устройства Р3
Например, если вход x на рисунке 9.1 имеет два физических параметра –
ток и напряжение, то в функциональной схеме (рисунок 9.2) блок будет иметь
два входа x1 и x2. Таким образом, функциональная схема объекта получается из
структурной за счет «расщепления» входов и выходов. Дополнительно обозначенный блок 1б служит для определения фазы (угла сдвига) между током и напряжением.
Допустим, что для всех входных и выходных параметров всегда можно
выделить области их допустимых значений. Считают, что если значения всех
сигналов входа или выхода блока функциональной схемы находятся в пределах
допустимых значений, то его значение является допустимым.
Логическое высказывание «значение входа допустимо» обозначается
символом x, обратное высказывание x . Тогда состояние входов и выходов
можно описать двоичными числами 0 и 1. Перебрав все возможные значения
51
входных переменных исправного блока i , можно определить выходы zij для
j = 1, 2 … Ki.
Для получения логической модели объекта каждый блок i функциональной схемы заменяется Ki блоками, каждый из которых имеет один выход. Общее число таких блоков будет
N
n = ∑ Ki ,
i =1
где N – число блоков функциональной схемы.
z1
х1
х2
1
3
z3
4
z4
2
z2
Рисунок 9.3 – Логическая модель входного устройства Р3
Обозначим состояние блоков логической модели символом li, где
i = 1, 2 ... n. По имеющейся логической модели составляется ТФН (таблица 9.1).
Таблица 9.1 – Таблица функций неисправностей для входного устройства
релейной защиты
E
(состояние объекта)
e1
e2
e3
e0
1
0
1
1
z1
1
1
0
1
z2
П
(проверка) z3
1
0
0
0
1
0
0
0
z4
Примечание: e0 – исправное состояние.
R
(результаты)
e4
1
1
1
0
Для заполнения таблицы записываются функции условий работы блоков:
F1 = x1; F2 = x2; F3 = z1 · z2; F4 = z1 · z2 · z3.
Составляются равенства zi = li · Fi :
52
(9.1)
z1 = l1 · x1; z2 = l2 · x2; z3 = l3 · z1 · z2; z4 = l 4 · z1 · z2 · z3.
(9.2)
Заполняется первый столбец e1, принимаем l1=0, остальные li=1 для
i = 2, 3, 4
z1 = 0 · x1 = 0; z2 = 1 · 1 = 1; z3 = 1 · 0 · 1 = 0;
(9.3)
z4 = 1 · 0 · 1 · 0 = 0.
Другие столбцы заполняются аналогично. Предполагается, что проверки
состоят только из допустимых значений входов.
По полученной ТФН разрабатывается алгоритм диагностирования.
Преимуществом моделей логического типа является их простота. Но не
все непрерывные объекты могут быть описаны такими моделями. Наличие в
структурной схеме замкнутого контура обратной связи не позволяет определить, какой из блоков, охваченных обратной связью, неисправен.
Такие объекты могут быть описаны более сложными моделями в виде совокупности дифференциальных уравнений, описывающих объект в динамике.
10 МОДЕЛЬ ДИСКРЕТНОГО ОБЪЕКТА
Дискретные объекты подразделяются на комбинационные объекты и объекты с памятью. При рассмотрении комбинационных объектов принимается
допущение о том, что значения выходов полностью определяются сигналами на
входах в текущий момент времени и не зависят от предыстории. Кроме того,
считается, что изменения значений выходных координат происходят мгновенно
вслед за вызвавшими их изменениями значений входных координат. Состояние
дискретных объектов с памятью зависит не только от состояния входных сигналов в текущий момент времени, но и от состояния объекта в прошлом, до того, как указанные сигналы были поданы на входы. Рассмотрим дискретные
комбинационные объекты. Их примером могут служить логические элементы
«И», «ИЛИ», «НЕ» и их комбинации без обратных связей. Существует два подхода к рассмотрению комбинационных объектов. При первом подходе объект
рассматривается как «черный ящик», который описывается таблицей истинности.
Столбцы таблицы истинности сопоставляются входным переменным (в
левой части) и выходным функциям (в правой части). Рассмотрим, например,
таблицу истинности двоичного дешифратора (рисунок 10.1).
53
z1
z2
z3
z4
z5
z6
z7
z8
x1
x2
x3
Рисунок 10.1 – Двоичный дешифратор
Таблица 10.1 – Таблица истинности двоичного дешифратора
x1
0
0
0
0
1
1
1
1
Входы
x2
0
0
1
1
0
0
1
1
x3
0
1
0
1
0
1
0
1
z1
1
0
0
0
0
0
0
0
z2
0
1
0
0
0
0
0
0
Выходы
z4
z5
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
z3
0
0
1
0
0
0
0
0
z6
0
0
0
0
0
1
0
0
z7
0
0
0
0
0
0
1
0
z8
0
0
0
0
0
0
0
1
Таблица истинности является функциональной математической моделью
комбинационного объекта. Для многих задач диагностирования недостаточно
их описания в виде таблицы истинности и необходима более полная модель с
учетом внутренней структуры объекта.
Дискретные устройства состоят из ряда однотипных логических элементов. Логическую сеть называют правильной, если никакие два выхода элементов
не соединены вместе, и если все выходные функции можно представить как булеву функцию входных переменных. Рассмотрим в качестве примера фрагмент
логического блока некоторого устройства (рисунок 10.2).
54
(4.1)
a
b
(2.1)
4
&
(5.1)
(4.2)
2
1
(5.2)
(1.1)
&
1
(1.2)
(3.1)
(3.2)
d
Ранг0
5
z
(2.2)
c
&
Ранг1
&
3
Ранг2
Ранг3
Рисунок 10.2 – Фрагмент блока БЛ-23
Получим выходную функцию z методом прямой подстановки. Обозначим
буквами yi выходы элементов объекта. Тогда используя правила и символику
булевой алгебры, можно записать:
Ранг 1: y1 = cd ; y2 = с · b;
Ранг 2: y3 = y1 ⋅ d = cd ⋅ d ; y4 = a ⋅ y2 = а ⋅ (– ∪ b) ;
Ранг 3: z = y3 · y4 = cd ⋅ d ⋅ a ⋅ (c ∪ b) .
Под физической неисправностью Si понимается последствие некоторого
i
события, преобразующего исправное устройство А в неисправное А . Неисправi
ность Si называют правильной, если i–неисправное устройство A описывается
моделью, принятой для описания исправного устройства.
*
Устройство А считается содержащим неисправность Si, если найдется
хотя бы один входной набор xj, на котором выходное слово zj исправного уст*
*
ройства отлично от выходного слова zj устройства А .
В реальных устройствах могут быть такие неисправности, которые переводят дискретный объект из комбинационного в объект с памятью и наоборот.
Рассмотрим некоторые неисправности на фрагменте блока БЛ-23.
Наиболее часто встречаются следующие неисправности:
− обрыв соединения;
55
− замыкание соединения с шиной питания;
− перепутывание связей;
− появление лишних связей;
− замыкание нескольких связей;
− установка другого элемента (например, вместо «И» - «ИЛИ»).
Значительная часть указанных неисправностей является дефектами изготовления. Их устранение часто требует значительных затрат времени на этапе
наладки оборудования.
ТФН комбинационного устройства представляет собой совокупность таблиц истинности исправного и всех i–неисправных устройств. Примером части
ТФН может служить таблица 10.2.
Таблица 10.2 – Таблица истинности фрагмента блока при наличии
и отсутствии неисправностей
a
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
Входы
b
c
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
d
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
y1
y2
y3
y4
z
z1
z2
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
z1 – функция выхода при неисправности типа замыкание входов b и с.
z2 – функция выхода при неисправности типа обрыв входа (3, 1).
Проблема заключается в многомерности ТФН, даже для простых устройств. Число всех возможных состояний выхода определяется суммой
2m +1
n
С
∑
(2т +1) ,
n =1
56
где m – число входов.
Поэтому, если есть ограничения по возможностям хранения и обработки
ТФН, то используют неявные модели ОД.
Основное отличие объектов с памятью от комбинационных объектов заключается в их зависимости не только от входных, но и от внутренних переменных. Примерами таких объектов могут служить триггеры, счетчики, сдвиговые регистры и т. д.
Общепринятой моделью объекта с памятью является абстрактный конечный автомат (рисунок 10.3).
x
y
Комбинационная
часть
z
w
Память
Рисунок 10.3 – Конечный автомат (x – внешний входной сигнал автомата;
z – внешний выходной сигнал автомата; w – входной
сигнал памяти; y – выходной сигнал памяти)
Функционирование абстрактного конечного автомата может быть задано
в аналитической, табличной или графической форме. Аналитически функционирование задается двумя зависимостями:
Zv = fz (Xv, Yv);
(10.1)
Yv+1 = fy (Xv, Yv),
(10.2)
где Zv, Xv, Yv – символы векторов выходного, входного сигналов и состояния
конечного автомата соответственно, индексы v и v + 1 являются
номерами тактов.
Рассмотрим табличную форму представления на примере таблицы переходов-выходов RS триггера (рисунок 10.4).
57
x1
&
z1
&
z2
x2
Рисунок 10.4 – Триггер RS
Таблица 10.3 – Таблица переходов-выходов
Y
Yv+1 / Zv
X
1
Y1 / (Z1 = 1; Z2 = 0)
Y2 / (Z2 = 1; Z1 = 0)
X1
X2
2
Y1 / (Z1 = 1; Z2 = 0)
Y2 / (Z2 = 1; Z1 = 0)
Под подачей сигнала Xi будем понимать установку уровня «логический 0»
на соответствующем входе. Например, триггер, находящийся в данный момент
времени в состоянии 1 (на выходе Z1 уровень «логической 1»), под воздействием входного сигнала X2 перейдет в состояние Y2, при этом состояние выходов
будет Z2 = 1; Z1 = 0. Графическая форма представлена на рисунок 12.5.
X1/Z1
X2/Z2
X2/Z1
1
2
X1/Z2
Рисунок 10.5 – Граф переходов-выходов RS триггера
Вершины графа переходов соответствуют состояниям триггера, а дуги –
возможным переходам. Каждой дуге приписан входной символ, при подаче которого осуществляется соответствующий переход, а также через дробь – выходной символ, выдаваемый при этом устройством.
58
*
Если хотя бы одна полученная при эксперименте над устройством А вы*
ходная последовательность Zj не совпадает ни с одной из правильных последовательностей Zj, то исследуемое устройство неисправно. Обратное утверждение
не справедливо.
Явной моделью ОД будет совокупность таблиц переходов-выходов исправного и всех i неисправных устройств.
Лекция 11
11 МОДЕЛЬ ПРОТЯЖЕННОГО ОБЪЕКТА
Рассмотрим такую модель на примере опоры контактной сети. Состояние
опоры контактной сети как несущей конструкции зависит от состояния бетона и
арматуры. В работах по диагностике опора контактной сети рассматривается
как объект, имеющий сосредоточенные параметры и по бетону, и по арматуре.
Например, арматура характеризуется единственным параметром – степенью
коррозии. Это объясняется тем, что часто используемые на практике СД контролируют не прямые, а косвенные параметры.
В действительности несущая способность опоры определяется пространством состояний с большим числом фазовых координат. Основных причин
большой размерности пространства состояний три:
− опора имеет конечные (отличные от нуля) геометрические размеры и,
следовательно, непостоянную по протяженности прочность (под протяженностью в общем случае понимаются три измерения);
− нагрузки, включая климатические, по протяженности опоры также различны;
− степень и скорость коррозии арматуры под действием токов, и бетона
по протяженности различны.
Рассмотрим последовательно все три составляющих.
Несущий момент опоры по длине не одинаков. При принятой конусности
опор величина несущего момента на уровне пяты консоли составляет 50% от
момента на уровне условного обреза фундамента. Для опоры с предварительно
напряженной арматурой имеются дополнительные факторы. Во-первых, не все
стержни арматуры в зависимости от конструкции опоры доходят до торцевых
частей. Во-вторых, из-за конического сечения опоры число стержней арматуры,
приходящееся на единицу объема железобетона, в верхней части опоры выше,
чем в нижней. Это приводит к тому, что бетон в верхней части опоры более напряжен, чем в нижней.
Неравномерность нагрузки по протяженности опоры складывается из
трех составляющих:
1. Неравномерный по длине опоры момент.
59
Рассмотрим, например эпюры моментов в надземной и подземной частях
промежуточной опоры с учетом не абсолютно жесткой заделки в грунт (Рисунок 11.1).
а)
Р
б)
P1
грунт
x
P2
y
грунт
y
Mmax
y0
Mmax
h
y0
M
Рисунок 11.1 – Эпюры моментов надземной части опоры (а) и подземной
части опоры (б)
Направление эпюры моментов меняется на глубине y0. Величина y0 зависит от заглубления опоры h и свойств грунта. Например, при заглублении
h = 3,5 м, для некоторых грунтов y0 =2,5 м. При этом максимальный изгибающий момент будет находиться на глубине около 0,5 м. Практически величина
yMmax зависит от характера и состояния грунта. Например, в скальном грунте
или при промерзании грунта эта величина стремится к нулю. Картина значительно изменяется при наличии лежней.
2. Неравномерная загрузка кольцевого сечения опоры при изгибающих
моментах в сторону пути. Известно, что эпюры краевых напряжений консольной опоры имеют вид, показанный на рисунке 11.2. По окружности опоры
можно выделить две зоны: с растянутой арматурой и сжатой. Понятно, что основную часть рабочей нагрузки несут пряди арматуры, расположенные с полевой стороны опоры.
Растянутая
зона
Mmax
Сжатая
зона
Рисунок 11.2 – Распределение краевых деформаций
60
3. В поперечном сечении опоры разные по глубине залегания слои материала несут неодинаковую нагрузку.
Неравномерность коррозии опоры по длине очевидна и не вызывает никаких сомнений. Интенсивно корродирует арматура, расположенная лишь в
подземной части. Но и в подземной части по глубине степень коррозии неравномерна. Из опыта эксплуатации известно, что наиболее часто коррозионные
повреждения встречаются на глубине 0,2 ... 0,6 м. Причин здесь несколько.
Прежде всего, это неравномерная проводимость и увлажненность грунта,
имеющие закономерные изменения с ростом глубины. Из влияющих факторов
можно назвать уносы с подвижного состава. Например, на Южно-Уральской
железной дороге в результате экспериментальных исследований было обнаружено, что верхняя часть грунта 0,1 ... 0,2 м (щебень, балласт) в сухую погоду
имеет весьма малую проводимость и поэтому коррозия арматуры здесь маловероятна. Далее, на глубине 0,3 ... 0,7 м (этот слой был верхним в период работы
участка на паровой тяге) на подавляющем большинстве участков грунт имеет
характерный темный цвет, что подтверждает гипотезу о значительном содержании в нем угольной и тормозной пыли, а также топочных уносов паровозов.
На этом уровне из-за высокой проводимости грунта, как правило, и наблюдается повышенная интенсивность коррозии арматуры. Подобный эффект создают
соли и удобрения, перевозимые по железной дороге. Менее очевидным является факт неравномерности коррозии по окружности поверхности опоры.
Разность потенциалов грунта и арматуры также непостоянна по протяженности опоры. Рассмотрим сначала горизонтальную плоскость, расположенную на некоторой глубине залегания. Здесь возможны два крайних случая:
− опора изолирована от рельса, исправный искровой промежуток (рисунок 11.3, а);
− опора подключена к рельсу, пробитый искровой промежуток (рисунок
11.3, б).
В результате теоретических и экспериментальных исследований установлено, что потенциал грунта убывает по экспоненте от заземленного электрода.
При незаземленной опоре потенциал грунта со стороны пути будет выше, а со
стороны поля ниже, чем потенциал арматуры. Это вызовет втекание блуждающего тока в опору со стороны пути и стекания его со стороны поля. Следовательно, условия для возникновения коррозии наиболее благоприятны со стороны поля. Степень влияния блуждающих токов будет определяться крутизной
экспоненты и, следовательно, свойствами грунта. Поперечные размеры опоры
при средних значениях крутизны кривой недостаточно велики для интенсивной
коррозии, но пассивация арматуры может быть нарушена. Известно, что однажды активированная арматура не перестает корродировать никогда, даже после
прекращения стекания тока.
61
а)
б)
спуск
заземления
в)
спуск
заземления
спуск
заземления
рельс
потенциал
блуждающ ие
токи
–удаление
грунт
грунт
грунт
рельс
рельс
потенциал
потенциал
градиент
токи
утечки
токи
утечки
градиент
+
удаление
глубина
Рисунок 11.3 – Потенциал грунта (а – опора изолирована от рельса,
исправный искровый промежуток; б – опора подключена
к рельсу, пробитый искровый промежуток; в – потенциал
по глубине)
Если арматура опоры оказывается подключенной к рельсу, то картина
распределения потенциалов в горизонтальном сечении почвы изменяется (рисунок 11.3, б). По принципу суперпозиции в промежутке между опорой и рельсом потенциалы складываются. Это приводит к тому, что разность потенциалов
между арматурой и почвой будет неодинакова. Со стороны поля потенциал
убывает быстрей и, следовательно, там величина стекающего тока и скорость
коррозии будет значительно выше.
Потенциал убывает и по глубине расположения грунта (рисунок 11.3, в).
Как показывают результаты исследований, убывание происходит по экспоненте. Это подтверждается и на демонтированных опорах – 5 ... 10 см концевой арматуры полностью прокорродировало. Хотя коррозия на глубине 3 ... 4 м не
представляет особой опасности, подобный эффект может влиять и на верхние
части опоры.
Случайные факторы вносят свой вклад в неравномерность прочности и
коррозии по протяженности опоры. По данным конкретного исследования толщина защитного слоя бетона у опор одного и того же типа при норме 20 мм
может быть описана распределением Гаусса с параметрами центра 21,7 мм и
рассеяния 5,49 мм. Свойства грунта, как в горизонтальной плоскости, так и по
глубине залегания, могут иметь значительный разброс.
Результаты исследований прокорродировавших опор показывают, что
крайне редко наблюдается равномерная по протяженности подземной части
62
опоры коррозия. Значительно чаще степень коррозии существенно неравномерна. Следовательно, и прочность прокорродировавшей опоры пространственно
неравномерна. Как было показано выше, нагрузка по протяженности опоры заметно неравномерна.
Все вышеуказанное требует учета в модели опоры пространственной протяженности. В общем виде модель опоры как ОД может быть представлена записью
Z = ψ(M, X, Y, Z, А, В, t),
(11.1)
где М – момент от внешних сил;
X,Y,Z – пространственные координаты;
А, В – параметры арматуры и бетона.
Требуемая зависимость может быть представлена в аналитической или
табличной форме.
Другим следствием является требование к СД определять не только степень коррозии арматуры в опоре, но, прежде всего, место и размеры коррозионных повреждений. Например, наиболее информативной для промежуточных
опор будет определение степени коррозии арматуры в подземной части с внешней стороны опоры на глубине 0,3 … 0,6 м.
12 ИНФОРМАЦИОННАЯ ЭНТРОПИЯ
И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ СОСТОЯНИЯ ОБЪЕКТА
12.1 Определение энтропии
Диагностирование – процесс получения информации о состоянии объекта. Теория информации возникла в 40-х годах двадцатого столетия. Одним из
основных понятий теории информации является энтропия.
Пусть некоторый объект может находиться в одном из случайных состояний e1, e2, ... en с вероятностями P(e1), P(e2), ... P(en). Если одно из состояний
обязательно реализуется, а два состояния одновременно невозможны, то имеется полная группа событий
n
∑ P(e i ) = 1 .
(12.1)
i =1
Степень неопределенности состояния объекта тем больше, чем больше
число возможных состояний n и чем меньше разброс их вероятностей. Напри63
мер, число возможных исходов при бросании игральной кости – шесть, а монеты – только два. Следовательно, неопределенность результата при бросании
кости выше, чем при бросании монеты. С другой стороны, рассмотрим два объекта, каждый из которых может находиться в одном из двух состояний. Но у
первого объекта вероятности состояний P(e1) = 0,95 и P(e2) = 0,05, а у второго
P(e1) = 0,5 и P(e2) = 0,5. До проведения опыта (априорно) с большой степенью
уверенности можно утверждать, что первый объект находится в состоянии e1. О
втором объекте этого сказать нельзя и здесь степень неопределенности выше.
Если же P(e1) = 1, а вероятности остальных состояний равны нулю, то объект
вовсе не обладает неопределенностью.
Энтропия объекта, имеющего «n» возможных состояний, находится по
формуле
n
H(E) = − ∑ P(e i ) log 2 P(e i ) .
(12.2)
i =1
При отсутствии в калькуляторе возможности вычисления логарифмов по
основанию 2, можно использовать формулу
log b a =
log x a
,
log x b
(12.3)
где x – произвольное основание, например 10.
Рассмотрим объект, имеющий два равновероятных состояния:
P(e1) = P(e2) = 0,5,
H(E) = – 0,5 ⋅ log20,5 – 0,5 ⋅ log20,5 = 1 бит.
В качестве единицы энтропии принимается степень неопределенности
объекта, имеющего два возможных, равновероятностных состояния. Эта единица измерения называется бит.
Примечания:
1. Энтропия не полностью характеризует неопределенность состояний объекта, т. к. не учитывает относительную ценность состояний, их близость.
2. Все рассуждения данного раздела основаны на допущении о том, что значения вероятностей состояний объекта точно известны. На практике могут быть
получены статистическими методами лишь оценки этих вероятностей.
64
Свойства энтропии
1. H(E) ≥ 0.
2. Если P(e1) = 1, то энтропия такого объекта H(E) = 0, т. е. энтропия обращается в нуль, когда одно из состояний объекта достоверно, а другие невозможны.
3. Энтропия объекта, имеющего n равновероятных состояний
n
1
H(E) = − ∑ P(e i ) ⋅ log 2 P(e i ) = n ⋅ log 2 n = log 2 n .
(12.4)
n
i =1
4. Энтропия состояния объекта максимальна, когда состояния равновероятны.
5. Энтропия объекта, имеющего n состояний, представляет собой среднее
значение энтропий отдельных состояний
n
H(E) = ∑ P(e i ) ⋅ H(e i ) ,
(12.5)
i =1
где H(ei) – энтропия i–го состояния.
Пример
Рассчитать энтропию системы из двух элементов (рисунок 12.1, а). Известно, что система отказала, причем одновременный отказ двух элементов невозможен.
б)
а)
Н
0,5
0
0,5
Р
Рисунок 12.1 – Расчет энтропии (а – схема системы; б – зависимость
энтропии от вероятности одного состояния)
Вероятность первого состояния равна Р, второго 1 – Р. Энтропия системы
Н(Р) = – Р ⋅ log2P – (1 – P) ⋅ log2(1 – P).
Максимум функции Н(Р) = 1 будет при Р = 0,5 (рисунок 12.1, б).
65
Лекция 12
12.2 Энтропия объекта с непрерывным пространством
состояний
Пусть состояние объекта характеризуется некоторым параметром х с известной плотностью распределения f(x) (рисунок 12.2) в интервале [a, b]. Это
усеченное распределение, площадь под кривой f(x) равна единице.
f(x)
f(xi)
a
μx
xi
dx
x
b
Рисунок 12.2 – Объект с непрерывным пространством состояний
Рассмотрим область dx, окружающую некоторое значение параметра xi.
Вероятность нахождения параметра х в промежутке dx равна
P(xi) = f(xi) ⋅ dx.
(12.6)
Промежуток [a, b] можно разбить на n интервалов (квантов) шириной dx и
для каждого из них найти вероятность состояния. Тогда будем иметь объект с n
состояниями, вероятности которых известны. Энтропия состояний такого объекта будет
66
n
n
i =1
i =1
H = −∑ P(x i ) ⋅ log 2 P(x i ) = −∑ f(x i ) ⋅ dx ⋅ log 2 [f(x i ) ⋅ dx ] =
n
n
i =1
i =1
= −∑ f(x i ) ⋅ log 2 [f(x i )] ⋅ dx − log 2 (dx) ⋅ ∑ f(x i ) ⋅ dx
.
(12.7)
Перейдем к пределу при стремлении n к бесконечности, учитывая, что
b
n
lim ∑ f(x i ) ⋅ dx = ∫ f(x)dx = 1 ,
(12.8)
n →∞ i =1
a
получим
b
H = − ∫ f(x)log2 [f(x)]dx − log2 (dx) .
(12.9)
a
В общем случае пределы интегрирования могут быть равны плюс и минус
бесконечности.
Вывод: энтропия объекта с непрерывным пространством состояний зависит от шага квантования dx.
Если параметр объекта имеет распределение Гаусса, то энтропия может
быть найдена по формуле из
H = log 2
σ 2π ⋅ e ,
dx
(12.10)
где σ – среднее квадратическое отклонение параметра;
e – постоянная, e = 2,718.
Вывод: энтропия при распределении Гаусса не зависит от математического ожидания параметра.
Наибольшей энтропией обладает равномерное распределение.
12.3 Энтропия системы
Если число состояний каждого элемента, входящего в систему, больше
двух, и состояния отдельных элементов не зависят друг от друга, то правило
нахождения энтропии системы не изменяется
67
Hc =
n
∑ Hi ,
(12.11)
i =1
где n – число элементов в системе;
Нi – энтропии состояний каждого элемента.
m
H i = −∑ Pij ⋅ log 2 Pij ,
(12.12)
j=1
где m – число состояний i–го элемента;
Pij – априорная вероятность нахождения i–го элемента в j–м состоянии.
Если состояния элементов, входящих в систему, имеют взаимную зависимость, то выражение для энтропии получается сложнее. Для системы из двух
элементов энтропия будет
H(AB) = H(A) + H(B/A) = H(B) + H(A/B),
(12.13)
где H(A/B) – условная энтропия элемента А относительно элемента В.
n
m n
i =1
i =1 j=1
H(A/B) = ∑ P(Bi ) ⋅ H(A/Bi ) = − ∑ ∑ P( Bi ) P( A j / Bi ) ⋅ log 2 P( A j / Bi ) ;
P( A / B ) =
P( AB )
.
P (B )
(12.14)
Структура выражений для энтропии совпадает со структурой формул для
вероятности совместного появления событий.
В общем случае для системы из двух элементов
n m
H(AB) = − ∑ ∑ P(A i B j ) ⋅ log 2 P(A i B j ) ,
i =1 j=1
где
n – число состояний элемента А;
m – число состояний элемента В.
68
(12.15)
Лекция 13
12.4 Мера информации
Допустим, что объект имеет n состояний. Начальная (априорная, доопытная) энтропия объекта равна Hдо(A). После проведения опыта уточняем, что какие-либо состояния объекта невозможны. Новое значение (послеопытное)
Hпо(А) будет меньше, чем Hдо(A). Например, неработающее электронное устройство может отказать по n независимым причинам, одна из которых – пережигание плавкой вставки. После проверки плавкой вставки убеждаемся в ее исправности, следовательно, число возможных причин отказа уменьшилось.
Уменьшилась и энтропия.
Мерой внесенной информации при проведении опыта будет
J = Hдо(A) – Hпо(A).
(12.16)
В этом смысле можно уточнить определение энтропии. Энтропия – это то
количество информации, которое может быть получено при снятии неопределенности. Процесс получения информации одновременно является процессом
уменьшения энтропии.
Часто информация о состоянии объекта А получается с помощью наблюдений за другим связанным с ним объектом В. Например, состояние твердой
изоляции обмоток трансформаторов определяют по наличию примесей в масле
бака.
Среднюю величину этой информации можно определить как
JA(B) = H(A) – H(A/B),
(12.17)
где Н(А) – априорная энтропия объекта А;
Н(А/В) – энтропия объекта А после того, как стало известно состояние объекта В.
Обратное соотношение также справедливо
JВ(А) = H(В) – H(В/А),
(12.18)
JA(B) = JВ(A).
(12.19)
и более того
Это соотношение выражает свойство взаимности информации. Так как
69
Н(А/В) = Н(АВ) – Н(В),
(12.20)
JА(В) = Н(А) + Н(В) – Н(АВ).
(12.21)
то
Принимая во внимание зависимость (12.15), получим
n
m
i =1
j=1
J A (B) = −∑ P(A i ) ⋅ log 2 P(A i ) − ∑ P(B j ) ⋅ log 2 P(B j ) +
n
(12.22)
m
+ ∑∑ P(Ai B j ) ⋅ log 2 P(A i B j ) .
i =1 j=1
Учтем, что
P(A i ) =
m
∑ P(A i B j ) и P(B j ) =
j=1
n
∑ P(A i B j ) ,
i =1
тогда
n
m
n
m
J A (B) = − ∑ ∑ P(A i B j ) ⋅ log 2 P(A i ) - ∑ ∑ P(A i B j ) ⋅ log 2 P(B j ) +
i =1j=1
i =1j=1
n
(12.23)
m
+ ∑ ∑ P(A i B j ) ⋅ log 2 P(A i B j ) .
i =1j=1
Или окончательно
J A (B) =
n m
P(A i B j )
∑ ∑ P(A i B j ) ⋅ log 2 P(A
i =1 j=1
i ) ⋅ P(B j )
.
(12.24)
Если объекты А и В независимы, то P(AiBj) = P(Ai) ⋅ P(Bj), тогда
B
JA(B) = JВ(A) = 0,
т. е. наблюдение за одним объектом не даст никакой информации о состоянии
другого, связи между их состояниями нет.
Формулу можно переписать в виде
70
J A (B) =
n m
P(B j / A i )
i =1 j=1
P(B j )
∑ ∑ P(A i ) ⋅ P(B j / A i ) ⋅ log 2
.
(12.25)
Полученные уравнения служат для нахождения JА(В) – среднего ожидаемого значения информации, содержащейся в объекте В относительно всех состояний объекта А. Рассмотрим теперь информацию, содержащуюся в объекте
В об единственном i–м состоянии объекта А.
Можно записать
J A (B) =
n
∑ P(A i ) ⋅ J Ai (B) .
(12.26)
i =1
Тогда, сопоставляя (12.25) и (12.26), получим
J A i (B) =
m
P(A i B j )
∑ P(B j / A i ) ⋅ log 2 P(B
j=1
j ) ⋅ P(A i )
,
(12.27)
или
J Ai (B) =
m
P(B j / A i )
j=1
P(B j )
∑ P(B j / A i ) ⋅ log 2
.
(12.28)
А теперь рассмотрим, какую информацию дает состояние Вj о состоянии Аi:
J Ai (B j ) = log 2
P(B j / A i )
P(B j )
= log 2
P(A i B j )
P(A i ) ⋅ P(B j )
.
(12.29)
В общем случае
JA(Bj) ≠ JAi(B).
(12.30)
Пример
Проводится диагностика твердой изоляции обмоток трансформатора по
определению примесей в масле бака. Исследование проведено на 100 трансформаторах, среди которых 64 имели исправное состояние изоляции (А1) и 36 –
неисправное (А2). Количество примесей в масле было квантовано на три уровня
В1, В2, В3.
71
Найти
− среднюю информацию о состоянии твердой изоляции по результатам
исследования масла;
− величины информации об исправном и неисправном состоянии твердой
изоляции по результатам исследования масла;
− величины информации о состоянии твердой изоляции для каждого
уровня квантования состояния масла.
Таблица 12.1 – Исходные данные. Распределение числа трансформаторов
в зависимости от уровня примесей в масле бака
Состояние А1, шт.
40
Состояние А2, шт.
0
Состояние масла
20
6
В2
4
30
В3
В1
Решение
1. Средняя информация о состоянии изоляции по исследованиям масла
2
3
J A (B) = ∑∑ P(A i ⋅ B j ) ⋅ log 2
i =1 j=1
P(A i B j )
P(A i ) ⋅ P(B j )
=
1
0,40
0,20
0,04
(0,40 ⋅ lg
+ 0,20 ⋅ lg
+ 0,04 ⋅ lg
+
lg 2
0,64 ⋅ 0,40
0,64 ⋅ 0,26
0,64 ⋅ 0,34
0
0,06
0,30
+ 0 ⋅ lg
+ 0,06 ⋅ lg
+ 0,30 ⋅ lg
) = 0,56.
0,36 ⋅ 0,34
0,36 ⋅ 0,40
0,36 ⋅ 0,26
=
2. Величина информации об исправном состоянии изоляции
3
P(A1B j )
j=1
P(B j ) ⋅ P(A1 )
J A1 (B) = ∑ P(Bi /A1 ) ⋅ log 2
=
=
1 0,40
0,40
0,20
0,20
0,04
0,04
⋅ lg
+
⋅ lg
+
⋅ lg
(
) = 0,33.
lg 2 0,64
0,64 ⋅ 0,40 0,64
0,64 ⋅ 0,26 0,64
0,64 ⋅ 0,34
3. Величина информации о неисправном состоянии изоляции
72
3
P(A 2 B j )
j=1
P(B j ) ⋅ P(A 2 )
J A 2 (B) = ∑ P(Bi /A 2 ) ⋅ log 2
=
=
1
0
0
0,06
0,06
0,30
0,30
(
⋅ lg
+
⋅ lg
+
⋅ lg
) = 0,97.
lg 2 0,36
0,36 ⋅ 0,40 0,36
0,36 ⋅ 0,26 0,36
0,36 ⋅ 0,34
4. Величина информации о состоянии твердой изоляции для первого
уровня квантования
2
J A (B1 ) = ∑ P(A i /B1 ) ⋅ log2
i =1
=
P(A i B1 )
=
P(B1 ) ⋅ P(A i )
1 0,40
0,40
0
0
(
⋅ lg
+
⋅ lg
) = 0,64.
lg 2 0,40
0,64 ⋅ 0,40 0,40
0,36 ⋅ 0,40
5. Находим JA(B2) = 0,05.
6. Находим JA(B3) = 0,85.
Остальные результаты сводим в таблицу 12.2
Таблица 12.2 – Результаты расчетов информации JAi(Bj)
Ai
Bj
B
A1
B1
0,64
B2
0,26
B3
– 2,45
A2
–∞
– 0,64
1,29
B
B
B
Анализируя результаты расчетов, можно оценить информационную ценность каждого состояния. Разбиение пространства состояний на кванты должно
проводится с учетом их информационной ценности. В рассмотренном примере
состояние B2 является малоценным. Использование неинформативных признаков не только бесполезно, но и создает помехи при распознавании. Наибольший
диагностический вес имеет признак B1 (отсутствие примесей в масле), равный
минус бесконечности, что отрицает возможность неисправного состояния твердой изоляции.
73
13 СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСПОЗНАВАНИЯ
13.1 Общие замечания
При наличии неопределенности принятия решения применяются специальные методы, учитывающие вероятностную природу событий. Такие методы
позволяют назначать границу поля допуска параметра, или необходимое число
опытов для принятия решения о диагностировании. Большая часть методов основана на том, что имеется некоторая доопытная (априорная) вероятность в постановках диагностирования. Так большинство методов предполагают априорно известными вероятности диагностирования для однотипных объектов, находящихся в одинаковых условиях. Часто выбор того или иного решающего правила проводится на основе оптимизации по некоторым критериям. Статистические методы позволяют одновременно учитывать диагностические сигналы
различной физической природы, так как они работают лишь с их вероятностными характеристиками.
Следует учитывать, что рассматриваемые методы принятия решений являются лишь инструментом, а окончательное решение, как и ответственность за
его последствия, лежит на конкретном человеке.
13.2 Метод, основанный на теореме Байеса
Пусть состояние объекта характеризуется некоторым признаком Kj. Причем известно, что указанный признак может проявляться как при наличии диагноза Di, так и при его отсутствии. Важно лишь то, что появление признака Kj
является случайным, но статистически зависимым от наличия диагноза Di. Вероятность совместного появления событий (наличие у объекта состояния Di и
признака Kj)
P(DiKj) = P(Di) ⋅ P(Kj/Di) = P(Kj) ⋅ P(Di/Kj).
(13.1)
Из этого равенства вытекает теорема Байеса
P(D i / K j ) = P(D i )
P(K j / D i )
P(K j )
,
(13.2)
где P(Di) – априорная вероятность диагноза, определенная по статистическим
данным;
P(Kj/Di) – вероятность появления признака Kj у объектов с состоянием Di;
74
P(Kj) – вероятность появления признака Kj во всех объектах независимо от
состояния.
Пример
На контактной сети с целью определения возможности бесконтактного
контроля состояния питающих зажимов было проведено 1000 испытаний.
При испытаниях сравнивались результаты контроля бесконтактным термометром и измерителем переходного сопротивления. Принималось допущение
об абсолютной достоверности контроля измерителем сопротивления. Результаты опытов приведены в таблице 13.1.
Таблица 13.1 – Результаты опытов по определению состояния питающих
зажимов
Состояние зажима
Исправное
Неисправное
Показания измерителя
факт
990
10
Показания термометра
норма
970
2
не норма
20
8
Требуется найти оценки
− априорной вероятности состояния «неисправен»;
− вероятности появления признака «не норма» у неисправного зажима;
− вероятности появления признака «не норма» независимо от состояния
зажима;
− вероятности диагноза «неисправное состояние зажима» при получении
результата «не норма».
Решение
1. Оценка априорной вероятности диагноза «неисправен»
10
$
= 0,0101 .
P(D
H) =
990
2. Оценка вероятности появления признака «не норма» у неисправного
зажима
8
P€( K HH / D H ) =
= 0,8 .
10
3. Оценка вероятности появления признака «не норма» независимо от состояния зажима
75
28
P€( K HH ) =
= 0,028 .
1000
4. Оценка вероятности диагноза «неисправное состояние» при получении
результата «не норма»
0,8
P€( D H / K HH ) = 0,0101 ⋅
= 0,29 .
0,028
Обобщенная формуа Байеса для объекта, каждое из n состояний которого
характеризуется комплексом признаков К1, К2 ... Кm, имеет вид
*
P( D i / K ) =
P( D i ) ⋅ P( K * / D i )
n
∑ P( DS ) ⋅ P( K / DS )
*
.
(13.3)
S =1
Здесь
P(K * / D i ) = P(K 1* / D i ) ⋅ P(K *2 / K 1*D i )... P(K *m / K 1*... K *m-1D i ) ,
(13.4)
*
где K – конкретная реализация комплекса признаков для некоторого фактического состояния объекта, причем
n
∑ P( D i / K* ) = 1 ,
i =1
что означает обязательную реализацию одного из диагнозов, при прочих невозможных.
Решающее правило при постановке диагноза выглядит так
K* ∈ Di , если P( D i / K* ) > P( D j / K* ) для j = 1, 2, ...; i ≠ j .
(13.5)
Одним из недостатков метода Байеса является увеличение погрешности
при распознавании редких диагнозов.
76
13.3 Метод последовательного анализа
Предметом исследования такого метода может быть объект, состояние
которого характеризуется несколькими (в общем случае n) признаками. В процессе диагностирования признаки последовательно проверяются. На каждом
шаге процедуры диагностирования проверяется условие о возможности постановки диагноза. Если информации достаточно, то ставится диагноз и диагностирование прекращается. В противном случае проверяется следующий признак и т. д. (условный алгоритм).
При использовании метода Байеса для распознавания состояний Di и Dj
следует составить соотношение вида
P( D j / K * )
P ( D j ) P ( K1* / D j )...P ( K m* / D j )
.
=
⋅
*
*
*
P( Di / K ) P ( Di ) P ( K1 / Di )...P ( K m / Di )
(13.6)
Если
P( D j / K* )
*
P( D i / K )
> 1, при j = 1, 2 …; i ≠ j,
(13.7)
*
то K ∈ D j .
Следовательно, при K ∈ D j ,
*
P( K1* / D j )
P( K1* / D i )
...
P( K*m / D j )
P( K*m / D i )
>
P( D i ) .
P( D j )
(13.8)
В методе последовательного анализа отношения вероятностей (отношения правдоподобия) составляются последовательно.
*
Допустим, что у объекта K имеется признак K1, причем признак K1 при
диагнозе D2 встречается чаще, чем при диагнозе D1. При этом, если
P( K1 / D 2 )
> A , то K* ∈ D 2 ,
P( K1 / D1 )
где А – верхняя граница принятия решения.
77
(13.9)
В противном случае, когда признак K1 значительно чаще встречается при
диагнозе D1, принимается решение
при
P( K1 / D 2 )
< B , K* ∈ D1,
P( K1 / D1 )
(13.10)
где В – нижняя граница принятия решения.
Отношение вероятностей
B<
P( K1 / D 2 )
<A.
P( K1 / D1 )
(13.11)
называют отношением правдоподобия.
Если в результате первой проверки условие (13.11) выполняется, то необходима следующая проверка, тогда отношение правдоподобия
B<
P(K 1 / D 2 ) P(K 2 / D 2 )
<A.
⋅
P( K 1 / D 1 ) P(K 2 / D 1 )
(13.12)
Расчеты повторяются до тех пор, пока значение отношения не выйдет за
одну из указанных границ (А или В).
Границы А и В рассчитываются исходя из вероятностей ошибок первого
α и второго β рода, которые считаются заданными
1− β
≥ А,
α
(13.13)
β .
1− α
(13.14)
В≥
В практических расчетах можно принимать α = β = 0,05 … 0,10. Значения
α и β можно выбрать из экономических соотношений.
Пример
Проверяется состояние жидкой изоляции по пробам масла. У незагрязненной изоляции математическое ожидание примесей μ1 = 1; и загрязненной
μ2 = 10. Средние квадратические отклонения соответственно σ1 = 3 и σ2 = 5.
Концентрации примесей распределены по закону Гаусса. Необходимо определить состояние жидкой изоляции по последовательным пробам. Принять
α = β = 0,05.
78
Решение
В результате взятия первой пробы вычисляется
⎡ ( x1 − μ 2 )2 ⎤
exp ⎢−
⎥
⎧⎪ 1 ⎡ ( x − μ )2 ( x − μ )2 ⎤ ⎫⎪
2σ 22
f ( x1 / D 2 )
⎢⎣
⎥⎦
1 − 1
2
=
= exp ⎨ ⎢ 1
⎥⎬ .
2
2
2
f ( x1 / D1 )
⎡ ( x 2 − μ1 )2 ⎤
σ1
σ2
⎪⎩ ⎢⎣
⎥⎦ ⎪⎭
exp ⎢−
⎥
2σ12
⎢⎣
⎥⎦
После взятия n–й пробы логарифм отношения
2
2
f ( x1 / D2 )... f ( xn / D2 ) 1 n ⎡ ( xi − μ1 ) ( xi − μ 2 ) ⎤
L = ln
= ∑⎢
−
⎥.
f ( x1 / D1 )... f ( xn / D1 ) 2 i =1 ⎣ σ 12
σ 22 ⎦
(13.15)
Если логарифм отношения L лежит в пределах
ln е < L < ln A,
(13.16)
то для постановки диагноза информации не хватает.
Пусть в результате взятия проб получены следующие значения: x1 = 5;
x2 = 4; x3 = 6; x4 = 5; x5 = 6; x6 = 6; x7 = 5. Определим границы принятия решений:
0,05
β
1 − β 1 − 0,05
А≤
=
= 19 ,
В≥
=
= 0,0526 .
1 − α 1 − 0,05
α
0,05
Результаты расчета представлены на рисунке 13.1, откуда следует, что
для постановки диагноза «изоляция загрязнена» достаточно шести проб.
L
Загрязненная изоляция
4
3
lnA = 2,94
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
n
–1
–2
lnB = –2,94
–3
Незагрязненная изоляция
Рисунок 13.1 – Определение диагноза методом последовательного
анализа
79
Лекция 15
13.4 Метод минимального риска
Пусть производится диагностика состояния железобетонной стойки контактной сети по декременту колебаний. Задача состоит в выборе значения x0
параметра x таким образом, что при x > x0 следует принимать решение о замене
опоры, а при x < x0 не проводить управляющего воздействия.
Цель метода минимального риска состоит в том, чтобы назначить граничное значение параметра для принятия решения при стремлении средних затрат к минимуму.
Условимся считать D1 – исправное состояние опоры, D2 – наличие коррозии.
Тогда правило состоит в следующем
x ∈ D 1 п ри x < x0 ⎫
⎬.
x ∈ D 2 п ри x > x0 ⎭
(13.17)
Декремент колебаний опоры зависит не только от степени коррозии, но и
от множества других факторов. Поэтому можно говорить о некоторой области,
в которой может находиться величина декремента. Распределения декремента
колебаний для исправной и прокорродировавшей опоры показаны на рисунке
13.2.
f(x/D)
D1
f(x/D1)
μ1
D2
μ2
f(x/D2)
x
Рисунок 13.2 – Плотность вероятности декремента колебаний опоры
Существенно, что области исправного D1 и коррозионного D2 состояний
пересекаются, и потому невозможно выбрать x0 так, чтобы правило (13.2) не
давало бы ошибочных решений.
80
Ошибка первого рода – принятие решения о наличии коррозии (дефекта),
когда в действительности опора (система) находится в исправном состоянии.
Ошибка второго рода – принятие решения об исправном состоянии, тогда как опора (система) прокорродировала (содержит дефект).
Вероятность ошибки первого рода равна произведению вероятностей
двух событий: вероятности наличия исправного состояния и вероятности того,
что x > x0 при исправном состоянии
∞
α( x 0 ) = P( D1 ) ⋅ P( x > x 0 / D1 ) = P1 ∫ f ( x / D1 )dx ,
(13.18)
x0
где P(D1) = P1 – априорная вероятность нахождения опоры в исправном состоянии (считается известной на основании предварительных
статистических данных).
Вероятность ошибки второго рода
x0
β (x 0 ) = P(D 2 ) ⋅ P(x < x 0 /D 2 ) = P2 ∫ f(x/D 2 )dx ,
(13.19)
-∞
где P(D2) = P2 – априорная вероятность коррозии (дефекта), P2 = 1 – P1.
Если известны цены ошибок первого и второго рода c и y соответственно, то можно записать уравнение для среднего риска
R (x 0 ) = c ⋅ α (x 0 ) + y ⋅ β (x 0 ) .
(13.20)
Найдем граничное значение x0 для правила (13.17) из условия минимума
среднего риска. Подставляя (13.18) и (13.19) в (13.20) и дифференцируя R(x) по
x0, приравняем производную нулю
dR(x 0 )
= −c ⋅ P f (x 0 /D ) + y ⋅ P f (x 0 /D ) = 0,
1
1
2
2
dx
0
(13.21)
f (x 0 /D1) y ⋅ P
2.
=
f (x 0 /D 2 ) c ⋅ P1
(13.22)
или
81
Это условие для нахождения двух экстремумов – максимума и минимума.
Для существования минимума в точке x = x0 вторая производная должна быть
положительной
d 2 R(x 0 )
dx 02
> 0.
(13.23)
Это приводит к следующему условию
f ′( x 0 / D1 ) y ⋅ P2 .
<
f ′( x 0 / D 2 ) c ⋅ P1
(13.24)
Если распределения f(x/D1) и f(x/D2) одномодальные, то при
μ1 < x 0 < μ 2 ,
(13.25)
условие (13.14) выполняется.
Если плотности распределений параметров исправной и неисправной
(системы) подчинены закону Гаусса, то они имеют вид
⎡ 1⎛ x − μ ⎞2⎤
1 ⎥;
⋅ exp ⎢− ⎜
f ( x / D1 ) =
⎟
⎢ 2 ⎝ σ1 ⎠ ⎥
σ1 2π
⎦
⎣
1
⎡ 1 ⎛ x − μ ⎞2⎤
2 ⎥.
⋅ exp ⎢− ⎜
f ( x / D1 ) =
⎟
⎢ 2 ⎝ σ2 ⎠ ⎥
σ 2 2π
⎦
⎣
(13.26)
1
(13.27)
Условия (13.22) в этом случае принимает
⎡ 1 ⎛ x − μ ⎞2⎤
1 ⎥
σ 2 exp ⎢− ⎜ 0
⎟
⎢ 2 ⎝ σ1 ⎠ ⎥ y ⋅ p
⎣
⎦=
2.
2
⎡ 1 ⎛ x − μ ⎞ ⎤ c ⋅ p1
2 ⎥
σ1 exp ⎢− ⎜ 0
⎟
⎢ 2 ⎝ σ2 ⎠ ⎥
⎣
⎦
(13.28)
После преобразования и логарифмирования получаем квадратное уравнение
a ⋅ x02 + b ⋅ x0 + d = 0,
82
(13.29)
где a = σ12 − σ 22 ;
b = 2μ1σ 22 − 2μ 2σ12 ;
⎛ y ⋅ p 2 ⋅ σ1 ⎞
d = μ 22σ12 − μ12σ 22 − σ12σ 22 ⋅ ln⎜
⎟.
⎝ c ⋅ p1 ⋅ σ 2 ⎠
Решая уравнение (13.29), можно найти такую величину x0, при которой
достигается минимум риска.
Лекция 16
14 АЛГОРИТМЫ ДИАГНОСТИРОВАНИЯ
14.1 Критерии оптимизации
Оптимизация алгоритмов диагностирования возможна тогда, когда число элементарных проверок, достаточных для решения конкретной задачи диагностирования, меньше числа всех допустимых (т. е. физически возможных и
реализуемых) элементарных проверок данного объекта. Для разных элементарных проверок могут требоваться разные затраты на их реализацию; эти
проверки могут давать разную информацию о техническом состоянии объекта. Кроме того, одни и те же элементарные проверки могут быть реализованы в различной последовательности.
Поэтому для решения одной и той же задачи диагностирования (например, проверки исправности) можно построить несколько алгоритмов, различающихся либо составом элементарных проверок, либо последовательностью
их реализации, либо тем и другим вместе и поэтому, возможно, требующих
разных затрат на их реализацию.
Необходимость увеличения производительности труда на операциях диагностирования, сокращения времени обнаружения, поиска и устранения неисправностей, уменьшения объемов и сложности средств диагностирования
вызывает интерес к разработке методов построения оптимальных алгоритмов,
требующих минимальных затрат на их реализацию. Построение оптимальных
алгоритмов во многих случаях сопряжено с трудностями вычислений и поэтому зачастую удовлетворяются оптимизированными алгоритмами диагностирования, затраты на реализацию которых как то уменьшены, но не обязательно минимальны.
Задачи построения оптимальных алгоритмов диагностирования при невысокой размерности могут успешно решаться методами обработки таблиц покрытий (для безусловных алгоритмов) и методами теории вопросников (для
условных алгоритмов).
83
Алгоритм диагностирования может называться оптимальным, если он
удовлетворяет экстремальному значению некоторой заданной функции. Если
известны затраты на реализацию элементарных проверок и они различны, то
целевой функцией оптимизации могут быть средние затраты. В качестве целевой функции оптимизации может использоваться число элементарных проверок. Алгоритмы, оптимизированные по такому критерию, называются минимальными.
Для оптимизации процесса поиска отказавшего элемента в системе используют еще один критерий – продолжительность диагностического процесса.
Скоростью получения информации при той или иной элементарной проверке
называют отношение
Wi =
Ji ,
ti
(14.1)
где Ji – количество информации, полученной при i–й элементарной проверке;
ti – продолжительность i–й элементарной проверки.
На первом этапе испытаний выбирают такую элементарную проверку, у
которой скорость получения информации будет наибольшей. Учитывая результаты первой проверки, планируют следующую элементарную проверку. Из всех
возможных вариантов проверок выбирается та, которая вновь обеспечивает
максимальное значение скорости получения информации. Затем выбирают последовательно очередные элементарные проверки, руководствуясь тем же
принципом. Тогда скорость получения информации будет максимальной.
14.2 Построение и оптимизация таблицы покрытий
На основе известной ТФН можно построить таблицу покрытий, предназначенную для оптимизации алгоритма диагноза. Вид таблицы покрытий показан ниже.
Таблица 14.1 – Обобщенный вид таблицы покрытий
U
А
u1
a11
uℓ
a1ℓ
…
uu
a1u
…
π1
…
πj
aj1
aju
…
П
ππ
aπ1
aπℓ
84
aπu
Все технические состояния объекта разбиваются на пары uℓ = (ei, ek),
ℓ = 1, 2, … U. Строки таблицы 14.1 соответствуют множеству П допустимых
элементарных проверок πj. Столбцы таблицы соответствуют множеству всех
пар U. В каждой клетке (πj, uℓ) проставляются значения двоичной переменной
ajℓ, определяемые по правилу
⎧1, если π j различает ei и e l
a jl = ⎨
⎩0, в противном случае.
(14.2)
Множество элементов ajℓ обозначается символом А. Если ajℓ = 1, то говорят, что строка πj покрывает столбец uℓ.
Таблица покрытий в большинстве случаев избыточна, т. е. содержит информации больше, чем может быть использовано для целей диагностирования.
Существуют специальные методы упрощения таблицы покрытий. Если таблица
содержит пустой столбец ℓ, то это означает, что пара ul технических состояний
не различается ни одной элементарной проверкой из множества П. Такой столбец удаляется из таблицы, а неразличимая пара uℓ должна исследоваться другими дополнительными проверками. Если таблица содержит пустую строку j,
то это означает, что элементарная проверка πj не различает ни одной пары технических состояний из множества U и должна быть исключена из таблицы.
Сплошной столбец также может быть удален из таблицы. Наличие сплошной
строки j говорит о том, что элементарная проверка πj различает все пары состояний из множества U.
Для оптимизации таблицы покрытий может использоваться прием, называемый произведением логических сумм (ПС). Суть его заключается в перемножении сумм столбцов таблицы покрытий по правилам булевой алгебры. После
раскрытия скобок и выполнения поглощений получают сумму произведений.
Для каждого слагаемого находится сумма цен, входящих в него элементарных
проверок. Каждое такое слагаемое является неизбыточным, т. е. необходимым и
достаточным для постановки диагноза. Из всех полученных вариантов выбирается тот (то слагаемое), который имеет минимальную цену.
14.3 Метод поэлементных проверок
Рассмотрим устройство релейной защиты, состоящее из N функциональных блоков (рисунок 14.1).
85
вход
Q1
Q2
Q3
QN
1
2
3
N
tcp1
tcp2
tcp3
tcpN
выход
Рисунок 14.1 – Устройство релейной защиты
Пусть известно, что устройство отказало, но неизвестно, какой элемент
отказал. Пусть также известны средние времена проверок элементов tcpi и априорные (доопытные) вероятности отказов элементов Qi.
Необходимо разработать алгоритм диагностики, оптимизировав его по
критерию максимальной скорости получения информации.
Рассмотрим ситуацию, когда средние времена проверок одинаковы.
tcp1 = tcp2 = tcp3 = … = tcpN.
(14.3)
Сумма априорных вероятностей отказа равна единице
N
∑ Q i = 1.
(14.4)
i =1
Как следует из названия метода, в результате каждой элементарной проверки имеется возможность определить состояния только одного элемента. Таким образом, всё устройство разбивается как бы на две части: проверяемый
элемент и все остальные элементы. Выше уже рассматривалось зависимость энтропии системы от вероятностей отказов входящих в нее элементов. На рисунке
14.2 показана такая зависимость для метода поэлементных проверок.
H
1
Hi
0
Qi
0,5
1
Q
Рисунок 14.2 – Метод поэлементных проверок. Зависимость H(Q)
86
Для максимальной скорости получения информации при условии (14.3)
необходимо для первой проверки выбрать такой элемент, у которого априорная
вероятность отказа ближе всего к 0,5. Вторая элементарная проверка должна
проверять следующий элемент из оставшихся, вероятность отказа которого
также ближе всех к 0,5. Практически же указанное условие будет соблюдаться,
если алгоритм проверок имеет вид
Q1 ≥ Q2 ≥ Q3 ≥ ... > Q N .
(14.5)
Если средние времена проверок различны, то необходимо рассчитывать
скорость получения информации при каждой элементарной проверке. Но, анализируя рисунок 24.1, можно алгоритм представить в виде
Q1
Q
Q
Q
≥ 2 ≥ 3 ≥... ≥ N .
t cp1 t cp2 t cp3
t cpN
(14.6)
Если априорные вероятности отказов элементов одинаковы
Q1 = Q2 = Q3 = … = QN ,
(14.7)
что может иметь место и при отсутствии достоверной информации о надежности функциональных блоков, а средние времена проверок различны, то получаем еще один алгоритм проверок
tcp1 ≤ tcp2 ≤ tcp3 ≤ … ≤ tcpN .
(14.8)
Лекция 17
14.4 Метод групповых проверок
Рассмотрим устройство релейной защиты, показанное на рисунке 24.1.
Отдельные элементы системы связаны между собой функционально, и всегда
можно контролировать сигнал, позволяющий судить о состоянии всей системы
или любой ее части. Оптимальный алгоритм проверок вырабатывается заранее,
до наступления отказа.
Такой метод предусматривает одновременную проверку группы элементов из основной системы. Если в результате проверки выясняется, что неисправный элемент находится в проверяемой группе, то она вновь разбивается на
две подгруппы. Такая процедура деления системы продолжается до тех пор,
пока не будет найден отказавший элемент.
87
Рассмотрим ситуацию, когда априорные вероятности отказов элементов
равны друг другу, а время проверки не зависит от способа разбиения на подгруппы. В этом случае применяют метод половинного деления, хорошо известный тем, кому приходилось искать перегоревшую лампу в новогодней гирлянде
с последовательным электрическим соединением. При разбиении такой системы по средней точке, получаем равные вероятности отказов двух подгрупп. Так
как весь объект отказал, то вероятности отказов каждой из полученных подгрупп получаются равными 0,5. Тогда при первой проверке будет получено
наибольшее количество информации равное одному биту (рисунок 14.2). Если
вероятности отказов элементов, входящих в систему, не равны, то необходимо
придерживаться деления системы таким образом, чтобы вероятности отказов
полученных подгрупп были как можно ближе к 0,5.
При второй проверке полученную на первом этапе подсистему необходимо также поделить на подгруппы. При этом следует исходить из положения о
том, что отказавший элемент находится внутри рассматриваемой подсистемы.
Следовательно, вероятности отказов элементов этой подсистемы в сумме должны составлять единицу. Для этого их необходимо пронормировать, домножив
на величину, обратную сумме вероятностей отказов элементов, входящих в
подсистему. Для j–го элемента из подсистемы c n элементами пронормированная (условная) вероятность отказа будет
Qj
,
Q 'j =
n
∑ Qi
i =1
где n – число элементов в подсистеме.
Процедуру нормирования и деления на подсистемы необходимо повторять до тех пор, пока в каждой подгруппе не останется по одному элементу.
Если же различны не только вероятности отказов, но и времена проверок,
то на каждом этапе разбиения помимо нормирования необходимо еще и вычислять количество информации, которое можно получить при такой проверке (таком разбиении). Затем для каждого возможного варианта «k» разбиения необходимо рассчитать скорость получения информации
Wk =
Jk
t cpk
.
(14.9)
На каждом этапе разбиения системы на подгруппы выбирается тот вариант, при котором скорость получения информации будет наибольшей. Результаты расчетов оптимального алгоритма удобно представить в виде дерева (рисунок 14.3).
88
При возникновении отказа в устройстве по полученному дереву алгоритма легко двигаться. При этом скорость получения информации будет наибольшей, что и оправдает трудоемкость вычислений при разработке алгоритма.
исходное устройство Р3
1 ... 10
1-4
1
2-4
2-3
2
5 - 10
4
5-6
5
7 - 10
6
3
первый этап
второй этап
7-8
7
8
9 - 10
9
10
третий этап
четвертый этап
Рисунок 14.3 – Пример дерева алгоритма проверок
14.5 Метод логического анализа симптомов отказа
Допустим, что известна функциональная схема исследуемого устройства
(рисунок 14.4). При отказе такого устройства может наблюдаться некоторое количество симптомов: повышение уровня шума, снижение давления, изменение
температуры, ненормальные показания приборов и т. д. Отказу каждого конкретного элемента соответствует вполне определенный набор симптомов.
y3
y1
x
вход
1
y2
3
z1
y4
2
4
выходы
z2
Рисунок 14.4 – Функциональная схема устройства
В идеальном случае отказу каждого элемента соответствует только один,
отличный от всех прочих симптом. Для устройства на рисунке 14.4 представлены в таблице 14.2 симптомы отказов элементов.
89
Таблица 14.2 – Симптомы отказов элементов
e1
y1
1
Симптомы
y2
y3
1
1
y4
1
e2
0
1
1
e3
0
0
e4
0
0
Отказавшие
элементы
Кодовые числа
полные
упрощенные
1234
134
1
234
34
1
0
3
3
0
1
4
4
В таблице 14.2 нет одинаковых кодовых чисел и кодовых чисел, равных
нулю, следовательно, отказы всех элементов различимы. Условие различимости
не нарушается, если исключить наблюдение за симптомом y2. Упрощенные кодовые числа записаны в последнем столбце таблицы. С помощью кодовых чисел можно однозначно определить отказавший в системе элемент. В Ростовском университете путей сообщения предложено применение метода анализа
симптомов отказа для определения места повреждения в контактной сети крупной железнодорожной станции.
14.6 Рациональная диагностика
В практике диагностирования нередко возникает ситуация, когда нет никакой информации о надежности и времени проверок элементов, входящих в
систему. В этом случае можно говорить не об оптимальном, а лишь о рациональном алгоритме диагностирования.
В такой ситуации предлагается три возможных варианта решения задачи:
контроль схемы, замена элементов на заведомо исправные, использование таблиц неисправностей или дерева отказов.
Контроль схемы включает в себя:
– проверку соответствия исходного положения всех органов управления и
исполнительных механизмов заданному;
– проверку источника питания и плавких предохранителей;
– проверку качества монтажа, герметичности соединений;
– проверку правильности сборки;
– проверку параметров контрольных точек.
Замена элементов на исправные позволяет увеличить скорость получения
информации путем уменьшения продолжительности элементарной проверки в
соответствии с (14.1).
Это возможно, если отдельные блоки устройства обладают легкосъемностью и доступностью. Причем, при таком подходе необходим запас сменных
заведомо исправных блоков. Так можно поступать если имеются два одинако90
вых устройства, когда одно из них отказало, а другое заведомо исправно. При
таком подходе блоки неисправного устройства последовательно заменяются на
исправные. После замены очередного блока система проверяется на функционирование. Если признаки нормального функционирования полностью восстановились, то это свидетельствует о неисправности последнего из замененных
элементов. Применение замены элементов на заведомо исправные сопряжено с
риском повреждения исправных элементов.
Для несложных систем могут использоваться таблицы неисправностей.
Такой подход широко применяется в бытовой технике.
91
Список использованных источников
1. Ефимов А.В., Галкин А.Г. Надежность и диагностика систем электроснабжения железных дорог. – М.: УМК МПС России 2000.–512 с.
2. Ефимов А.В., Галкин А.Г. Надежность и диагностика и техническое обслуживание устройств электроснабжения электрических железных дорог. Конспект лекций. Часть 3. УрГАПС – Екатеринбург 1997.–142 с.
92
Приложение А. План лекций «основы диагностики»
Лекция 1
1 ДИАГНОСТИКА, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Лекция 2
2 ТЕХНИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
Лекция 3
3 СВЯЗЬ ТЕХНИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИ С НАДЕЖНОСТЬЮ
И КАЧЕСТВОМ ПРОДУКЦИИ
3.1 Аспекты надежности
3.2 Неполнота обнаружения дефектов
3.3 Диагностика и жизненный цикл
3.4 Проектирование
Лекция 4
4 ТЕСТОВОЕ ДИАГНОСТИРОВАНИЕ
4.1 Виды объектов
4.2 Дискретные объекты
4.3 Аналоговые объекты
4.4 Построение тестов
4.5 Средства диагностирования
Лекция 5
5 ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ДИАГНОСТИРОВАНИЕ
5.1 Дискретные объекты
5.2 Аналоговые (непрерывные) объекты
5.3 Время диагностирования
Лекция 6
6 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИ
ФУНКЦИОНАЛЬНОМ ДИАГНОСТИРОВАНИИ АНАЛОГОВЫХ ОБЪЕКТОВ
6.1 Аналитические модели
6.2 Эмпирические модели
6.3 Полуэмпирические модели
6.4 Линейность и нелинейность в моделировании
6.5 Протяженные объекты
6.6 Зависимость от времени
6.7 Стохастичность в моделировании
6.8 Допущения и упрощения моделей
6.9 Модели элементов с сосредоточенными параметрами
Лекция 7
93
6.10 Модели элементов с распределенными параметрами
6.11 Математические модели систем
Лекция 8
6.12 Модели неисправности
Лекция 9
7 СТАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРИ ФОРМИРОВАНИИ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
8 ТАБЛИЦА ФУНКЦИЙ НЕИСПРАВНОСТЕЙ
Лекция 10
9 ЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АНАЛОГОВОГО (НЕПРЕРЫВНОГО)
ОБЪЕКТА
10 МОДЕЛЬ ДИСКРЕТНОГО ОБЪЕКТА
Лекция 11
11 МОДЕЛЬ ПРОТЯЖЕННОГО ОБЪЕКТА
12 ИНФОРМАЦИОННАЯ ЭНТРОПИЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ
СОСТОЯНИЯ ОБЪЕКТА
12.1 Определение энтропии
Лекция12
12.2 Энтропия объекта с непрерывным пространством состояний
12.3 Энтропия системы
Лекция 13
12.4 Мера информации
13 СТАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСПОЗНОВАНИЯ
13.1 Общие замечания
13.2 Метод, основанный на теореме Байеса
13.3 Метод последовательного анализа
Лекция 15
13.4 Метод минимального риска
Лекция 16
14 АЛГОРИТМЫ ДИАГНОСТИРОВАНИЯ
14.1 Критерии оптимизации
14.2 Построение и оптимизация таблицы покрытий
14.3 Метод поэлементных проверок
Лекция 17
14.4 Метод групповых проверок
14.5 Метод логического анализа симптомов отказа
94
14.6 Рациональная диагностика
95
Приложение Б. Вопросы для итогового контроля по курсу
«основы теории надежности»
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Подходы к расчетам надежности.
Этапы формирования надежности объекта.
Непараметрические модели отказов невосстанавливаемых объектов.
Модель отказов нагрузка-прочность – случайные величины.
Модель отказов нагрузка-прочность – случайные процессы.
Модель отказов параметр-поле допуска.
Модель отказов с марковской аппроксимацией параметра.
Оценки показателей надежности невосстанавливаемых объектов.
Показатели надежности восстанавливаемых объектов с нулевым временем
восстановления.
10. Показатели надежности восстанавливаемых объектов с конечным временем
восстановления.
11. Оценки показателей надежности восстанавливаемых объектов.
12. Последовательное (по надежности) соединение.
13. Параллельное (по надежности) соединение.
14. Общее резервирование. Раздельное резервирование.
15. Активное резервирование с учетом надежности переключателей.
16. Пассивное резервирование с перераспределением нагрузки.
17. Нагруженный резерв при абсолютно надежных переключателях.
18. Скользящее резервирование. Резервирование по нагрузке.
19. Резервированные восстанавливаемые объекты.
96
Приложение В. Вопросы для итогового контроля по курсу
«основы технической диагностики»
1.
2.
3.
4.
5.
Диагностика, основные понятия и определения.
Техническая диагностика и прогнозирование.
Связь технической диагностики с качеством продукции.
Тестовое диагностирование. Функциональное диагностирование.
Математическое моделирование при функциональном диагностировании
аналоговых объектов.
6. Математические модели объектов с распределенными параметрами.
7. Математические модели систем с сосредоточенными параметрами.
8. Моделирование неисправностей.
9. Статистические методы при формировании математических моделей.
10. Таблица функций неисправностей.
11. Модели непрерывного и дискретного объектов.
12. Модель протяженного объекта.
13. Определение информационной энтропии.
14. Энтропия объекта с непрерывным пространством состояний. Энтропия системы.
15. Мера информации.
16. Метод, основанный на теореме Байеса. Метод последовательного анализа.
17. Метод минимального риска.
18. Алгоритмы диагностирования и критерии их оптимизации. Построение и
оптимизация таблицы покрытий.
19. Методы поэлементных проверок и групповых проверок.
20. Метод логического анализа симптомов отказа. Рациональная диагностика.
97
Приложение Г. Вопросы для итогового контроля по курсу
«надежность и диагностика устройств
электроснабжения железной дороги»
1. Влияние надежности устройств электроснабжения на работу транспорта
2. Отказы оборудования контактной сети.
3. Отказы оборудования тяговых подстанций, линий электропередачи, применение результатов расчета риска отказов.
4. Процессы старения, разрегулировок, износов. Силовые трансформаторы и
конденсаторы.
5. Железобетонные опоры Металлические конструкции, провода.
6. Контактные провода. Износ и разрегулировка контактных проводов. Воздушные стрелки.
7. Электрическая изоляция.
8. Силовые полупроводниковые приборы, коммутационная аппаратура.
9. Кабельные ЛЭП, аккумуляторы, микросхемы, компьютеры, программное
обеспечение.
10. Средства диагностирования контактной сети и линии электропередач.
11. Вагон-лаборатория для испытаний контактной сети.
12. Автоматизация измерения износа контакных проводов.
13. Средства диагностирования силового оборудования тяговых подстанций.
14. Средства диагностирования автоматики, телемеханики и релейной защиты.
15. Стратегии технического обслуживания. Строго периодическое восстановление.
16. Восстановление блоками.
17. Стратегия с оптимизацией по критерию максимума коэффициента оперативной готовности. Обслуживание по состоянию с контролем уровня надежности.
18. Стратегия обслуживания по состоянию с контролем монотонно изменяющегося параметра.
19. Стратегия технического обслуживания с контролем параметра марковского
типа.
20. Стратегия технического обслуживания с марковской аппроксимацией процесса изменения параметра. Группировка управляющих воздействий в комплексы.
98
Александр Васильевич Ефимов
Александр Геннадьевич Галкин
ОСНОВЫ ТЕХНИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИ
Курс лекций для студентов специальности 190401
«Электроснабжение железных дорог»
Редактор С.В. Пилюгина
Набор текста и рисунков К.Г. Шумаков
620034, Екатеринбург, ул. Колмогорова, 66, УрГУПС
Редакционно-издательский отдел
Бумага писчая №1
Тираж 200 экз.
Подписано в печать
Формат 60×90 1/16
Усл.п.л 6,6
Цена договорная
99
Уч-изд.л. 5,2
Заказ