МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОУ ВПО «ЧЕРЕПОВЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра общей физики
КОНЦЕПЦИИ СОВРЕМЕННОГО ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ.
Материалы к семинарским (практическим) занятиям
Череповец
2008
Индивидуальный план занятий студента по дисциплине
«Концепции современного естествознания»
Номер
темы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Сроки
выполнения
Тема занятия
Раздел 1. «Физические концепции»
Классическая механика. Дальнодействие. Детерминизм
Лапласа
Теория электромагнитного поля. Близкодействие.
Волновая теория света.
Начала термодинамики. Основы статистической физики
Пространство и время в специальной теории
относительности
Квантовая теория. Корпускулярно-волновой дуализм.
Итоговая оценка по разделу 1:
Раздел 2. «Химические концепции»
Основные представления квантовой теории атома
Система квантовых чисел электрона в атоме.
Периодическая система химических элементов
Строение атомного ядра
Номенклатура химических соединений. Законы
стехиометрии
Скорость химических реакций. Химическое равновесие
Итоговая оценка по разделу 2:
Раздел 3. «Космологические концепции»
Законы Кеплера. Сила всемирного тяготения
Эффект Доплера в астрономии. Закон Хаббла
Определение расстояний в астрономии
Характеристики звезд и планет
Итоговая оценка по разделу 3:
Раздел 4 «Биологические концепции»
Живые системы. Информационные макромолекулы
Закономерности наследования признаков
Наследование сцепленных с полом признаков
Генетика популяций
Итоговая оценка по разделу 4:
2
25.09.08
02.10.08
09.10.08
16.10.08
23.10.08
30.10.08
06.11.08
13.11.08
20.11.08
20.11.08
27.11.08
27.11.08
04.12.08
04.12.08
11.12.08
11.12.08
18.12.08
18.12.08
Отметка о
выполнении
Тема № 1.
Классическая механика. Дальнодействие. Детерминизм Лапласа.
Теоретические сведения
XVI-XVII века многие исследователи считают временем становления науки в
современном ее понимании. Развитие машинного производства, горного дела,
совершенствование военной техники, создание точных часов и т. п. порождали инженернотехнические проблемы, решение которых требовало знания законов природы, прежде всего
механических. Внутренняя логика развития коперниканской революции, начавшейся с
создания Н. Коперником гелиоцентрической картины мира, предопределила ее перерастание
в революцию в физике и завершилась величайшим событием в истории науки – созданием
первой фундаментальной естественнонаучной теории – классической механики. Это стало
возможным благодаря внедрению экспериментального метода в естествознании и разработке
основ дифференциального и интегрального исчисления в математике. Законы механики
были сформулированы И. Ньютоном в 1687 году в труде «Математические начала
натуральной философии». Эти законы  результат обобщения многочисленных наблюдений,
опытов и теоретических исследований Г. Галилея, Х. Гюйгенса, самого И. Ньютона и др.
Используя современную терминологию, законы Ньютона можно сформулировать
следующим образом:
1. Существуют такие системы отсчета, относительно которых материальная точка
покоится или движется прямолинейно и равномерно, если на нее не действуют тела
(или действие этих тел скомпенсировано). Такие системы отсчета называют
инерциальными.

2. Ускорение a , с которым движется материальная точка, прямо
пропорционально силе F , действующей на нее, и обратно пропорционально массе m
материальной точки, т. е.

 F
a .
m
(1)
3. Две материальные точки действуют друг на друга с силами, направленными
вдоль одной прямой, одинаковыми по модулю и противоположными по направлению,
т. е.


F12  F21 .
(2)


Здесь F12 – сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй, а F21 –
сила, действующая на вторую материальную точку со стороны первой.
В приведенных выше законах Ньютона под материальной точкой подразумевают
тело, размерами которого можно пренебречь. Масса материальной точки равна массе тела.
Первый закон Ньютона называют также законом инерции Галилея. Этот закон
постулирует существование в природе инерциальных систем отсчета. Всякое движение
относительно, т. е. рассматривается относительно какой-либо системы отсчета. Система
отсчета включает в себя:
а) тело отсчета, т. е. тело (или несколько тел) относительно которого ведется рассмотрение
движения других тел;
б) систему координат, связанную с телом отсчета (для определения положения движущихся
тел в пространстве);
в) прибор для измерения времени (часы).
Например, одной из систем отсчета, используемых для описания движения космических тел,
является гелиоцентрическая система отсчета. Ее центр практически совпадает с центром
Солнца, а оси координат направлены на три неподвижные звезды. Эти звезды и Солнце
являются телами отсчета гелиоцентрической системы.
3
В механике Ньютона рассматривается движение тел относительно инерциальных
систем отсчета (ИСО). Закон инерции Галилея допускает не только возможность покоя (как
это было у Аристотеля), но и возможность равномерного и прямолинейного движения тела
относительно ИСО, если это тело неподвержено воздействию других тел. В любом случае

скорость тела остается постоянной по модулю и направлению, если F  0 .
Второй закон Ньютона занимает центральное место в классической механике,

поскольку определяет особенности движения тел в случае, когда F  0 , т.е. когда на тело
действуют другие тела (именно с таким случаем приходится иметь
дело чаще всего).

Согласно второму закону Ньютона, действие какой-либо силы F на тело обязательно
приводит к тому, что скорость движения этого тела изменяется по модулю или направлению
(возможно и то и другое). Иначе говоря, тело начинает двигаться с некоторым ускорением


 dv
.
a
dt
(3)

 ds
.
v
dt
(5)
Здесь d v  изменение вектора скорости за бесконечно малый промежуток времени d t . Чем

больше сила F , действующая на тело, тем быстрее изменяется скорость тела, т.е. тем больше

его ускорение a . Наоборот, чем больше масса тела m, тем меньшее ускорение оно получает

под действием силы F . Таким образом, масса m во втором законе Ньютона характеризует
инертные свойства тел (инертность – это способность тела противодействовать
попыткам других тел изменить его скорость, т. е. сообщить телу ускорение).
Если на материальную точку действует сразу несколько сил (тел), то она движется
так, как двигалась бы под действием лишь одной силы, равной векторной сумме всех
действующих на материальную точку сил. В этом
 заключается принцип суперпозиции
сил. В соответствии с этим принципом под силой F в формуле (1) в общем случае следует
подразумевать равнодействующую всех сил, т.е.
   
F  F1  F2  F3  ...
(4)
Ускорение материальной точки представляет собой первую производную от ее
скорости по времени (см. формулу (3)). Скорость, которая характеризует быстроту и
направление движения материальной точки, можно определить как первую производную от

вектора перемещения s материальной точки по времени, т. е.
Следовательно, ускорение – это вторая

s материальной точки по времени, т. е.
производная

 d2 s
a 2
dt
от
вектора
перемещения
(6)
Таким образом, второй закон Ньютона (формула (1)) представляет собой дифференциальное
уравнение (т. е. уравнение, содержащее производные). Гениальность Ньютона позволила ему
записать основное уравнение механики в дифференциальной форме и тем самым объединить
потенциалы физики (механики) и математики (дифференциального и интегрального
исчислений).
Третий закон Ньютона указывает на взаимный характер действия тел: если первое тело
действует с некоторой силой на второе тело, то и второе тело действует на первое с такой же




по величине силой. Хотя F12  F21 , силы F12 и F21 не могут компенсировать друг друга, так
как они приложены к разным телам.
В основе классической механики лежит концепция дальнодействия, согласно которой
взаимодействие между телами осуществляется непосредственно через пустое пространство,
которое не принимает никакого участия в передаче взаимодействия; при этом передача
4
взаимодействия происходит мгновенно (с бесконечно высокой скоростью). Например,
перемещение Земли, согласно модели дальнодействия, должно сразу же приводить к
изменению силы тяготения, действующей на Луну или Солнце. Понятие о дальнодействии
является приближенным, поэтому законы Ньютона перестают быть справедливыми при
движениях тел или частиц с большими скоростями (близкими к скорости света). Кроме
того, законы классической механики не могут правильно описать движение объектов очень
малых размеров, сравнимых с размерами атомов. Наконец, законы Ньютона рассматривают
движение тел только относительно ИСО.
В обосновании классической механики большую роль играли введенные Ньютоном
понятия абсолютного пространства и абсолютного времени. Эти понятия лежат в основе
субстанциальной концепции пространства и времени, согласно которой материя,
абсолютное пространство и абсолютное время – три независимые друг от друга субстанции,
начала мира. Абсолютное пространство – это чистое и неподвижное вместилище тел,
абсолютное время – чистая длительность, абсолютная равномерность событий. Ньютон
считал, что вполне возможно допустить существование мира, в котором есть независимые
друг от друга пространство и время, но нет материи. По мнению Ньютона, абсолютное
пространство и абсолютное время – это реальные физические характеристики мира, но они
не даны непосредственно органам чувств, их свойства могут быть постигнуты лишь в
абстракции. В своей же повседневной действительности человек имеет дело с
относительными движениями, связывая системы отсчета с теми или иными конкретными
телами, т.е. имеет дело с относительным пространством и относительным временем.
Классическая механика Ньютона (и классическая электродинамика Дж. Максвелла)
являются динамическими теориями. Это означает, что эволюция систем, рассматриваемых
в таких теориях, однозначно определяется начальным состоянием системы. Например, в
классической механике, зная массу материальной точки, силы, положение и скорость
материальной точки в начальный момент времени, можно однозначно определить состояние
материальной точки (ее положение, скорость, импульс и т. п.) в любой последующий (или
предыдущий) момент времени. В этом суть классического детерминизма (детерминизм
Лапласа), характерного для механики Ньютона и других динамических теорий.
Проиллюстрируем сказанное на конкретных примерах.
Примеры решения задач.
Задача № 1.
Тело движется по горизонтальной плоскости без трения под действием силы F  6t (F
 в ньютонах, t  в секундах). Найдите зависимость скорости и пройденного телом пути от
времени, если масса тела равна 3 кг, а начальная скорость была равна нулю.
Решение
Поскольку тело движется по горизонтальной плоскости, то сила тяжести и сила реакции
плоскости компенсируют друг друга. Так как сила трения, по условию задачи, равна нулю,
то единственной силой, которую следует учитывать при решении задачи, является сила
F  6t . Из второго закона Ньютона, записанного в проекциях на ось движения OX, следует,
что ускорение тела
a
F 6t
  2t .
m 3
(индекс x в формуле для ускорения a мы писать не стали, так как тело перемещается только
вдоль одной прямой). Поскольку сила, действующая на тело, не является постоянной
величиной ( F  6t ), то и ускорение тела изменяется со временем ( a  2t ). Следовательно,
движение тела не является равноускоренным и известные всем по школьному курсу физики
axt2
формулы равноускоренного движения ( v x  v 0 x  a x t , s x  s 0 x  v 0 x t 
) для решения
2
задачи использовать нельзя.
5
Учтем, что ускорение – это первая производная от скорости по времени. Тогда
a
dv
 2 t  d v  2t  d t .
dt
Проинтегрируем левую и правую части последнего равенства:
2
 d v  2 t  d t  v  t  C1 .
Здесь C1 – неизвестная постоянная интегрирования. Для ее определения воспользуемся
начальными условиями. Согласно условию задачи, в начальный момент времени скорость
тела была равна нулю, т. е. при t=0, v=0. Подставляя эти значения в последнее равенство,
получим, что C1=0. Таким образом, искомая зависимость скорости тела от времени имеет
вид:
v  t2 .
Как и следовало ожидать, полученная нами формула для скорости тела отличается от
формулы v x  v 0 x  a x t для равноускоренного движения.
Найдем теперь зависимость пройденного телом пути от времени. Учтем, что скорость –
это первая производная от пути (перемещения) по времени. Тогда
v
ds 2
 t  ds  t 2  d t .
dt
Проинтегрируем левую и правую части последнего равенства:
t3
 ds   t  d t  s  3  C2 .
2
Здесь C2 – неизвестная постоянная интегрирования. Для ее определения опять воспользуемся
начальными условиями. К начальному моменту времени пройденный телом путь был равен
нулю, т. е. при t=0, s=0. Подставляя эти значения в последнее равенство, получим, что C2=0.
Таким образом, искомая зависимость пути от времени имеет вид:
t3
s
3
Как и следовало ожидать, полученная нами формула для s отличается от формулы
axt2
s x  s0x  v0x t 
для равноускоренного движения.
2
Рассмотренная нами задача наглядно иллюстрирует характерный для классической
механики детерминизм Лапласа. Зная массу тела, силы, действующие на него, а также
начальные условия, мы можем однозначно определить положение и скорость тела в любой
последующий момент времени. Для этого достаточно воспользоваться найденными в ходе
t3
решения задачи формулами для скорости и времени ( v  t , s  ).
3
2
Задача № 2.
Зависимость пройденного телом пути s от времени t выражается уравнением
s  2t  3t 2  4t 3 (s  в метрах, t  в секундах). Запишите выражения для скорости и
ускорения. Определите для момента времени 2 с пройденный телом путь, скорость, импульс,
кинетическую энергию, ускорение и равнодействующую всех сил. Масса тела равна 2кг.
Является ли движение тела равномерным? Равноускоренным?
Решение
Зная зависимость пройденного телом пути от времени (эту зависимость находят,
используя второй закон Ньютона,  см., например, предыдущую задачу), легко найти
скорость тела как первую производную от s по t
6
v
ds d
 (2t  3t 2  4t 3 )  2  6t  12 t 2 .
dt dt
Ускорение – это первая производная от скорости по времени. Тогда
a
dv d
 (2  6t  12 t 2 )  6  24 t .
dt dt
Поскольку скорость тела и его ускорение изменяются с течением времени, движение
тела не является ни равномерным (vconst) ни равноускоренным (aconst).
В момент времени t1=2 c пройденный телом путь, его скорость и ускорение будут
соответственно равны:
s1  2t 1  3t 12  4t 13  24 (м),
v1  2  6t 1  12t 12  38 (м/с),
a 1  6  24 t 1  42 (м/с2).
Импульс тела p, его кинетическую энергию Wk и равнодействующую всех сил F можно
найти по формулам:
mv 2
, F  ma .
p  mv , Wk 
2
Для момента времени t1=2 c получается:
p1  mv1  76 (кгм/с),
2
mv 1
Wk1 
 1444 (Дж)
2
F1  ma 1  84 (Н).
Таким образом, зная уравнение движения (зависимость s от t) и массу тела, можно
полностью описать его движение (определить все основные характеристики движущегося
тела).
Задачи
Задача 1.
Зависимость
пройденного телом пути от времени дается уравнением
s  t  0,14 t  0,01t 3 (s  в метрах, t  в секундах). Через какое время после начала
движения тело будет иметь ускорение 1 м/с2? Определите для этого момента времени
скорость и пройденный телом путь. Постройте графики зависимости пути, скорости и
ускорения от времени для интервала 0t3 с через 0,5 с.
2
Задача 2 (Т1.24).
2
2
Уравнения движения двух материальных точек имеют вид: s1  A1  B1 t  C1 t и
s 2  A 2  B2 t 2  C2 t 2 , где A1, A2, B1, B2, C1, C2 – постоянные, причем B1=B2, C1= - 2 м/с2,
C2=1 м/с2. Определите момент времени, для которого скорости этих точек будут равны.
Найдите ускорения материальных точек для этого момента времени.
Задача 3 (Т1.22).
Материальная точка начинает двигаться вдоль прямой так, что ее ускорение линейно
растет и за первые 10 с достигает значения 5 м/с2. Определите в конце десятой секунды
скорость и пройденный точкой путь. Постройте графики зависимости пути, скорости и
ускорения от времени для интервала 0t5 с через 0,5 с.
Задача 4 (И 1.84).
7
Катер массы m движется по озеру с постоянной скоростью v0. В момент времени t=0 его
двигатель выключили. Считая силу сопротивления воды пропорциональной скорости катера,


т. е. F  r  v (r – коэффициент пропорциональности), найдите время движения катера с
выключенным двигателем. Считать известными величины m, r и v0.
Задача 5.


Используя второй закон
Ньютона
в
форме
, установите связь между
F

m

a

равнодействующей всех сил F , действующих на материальную точку, и изменением ее
импульса.
Задача 6.
Тело движется под действием силы F, которая изменяется со временем по закону
F  2  cos5t (F  в ньютонах, t  в секундах). Найдите закон изменения импульса тела со
временем p(t), если начальная скорость была равна нулю.
Задача 7 (И 1.81).
На покоившуюся материальную точку массы 1 кг в начальный момент времени начала
действовать сила, зависящая от времени по закону F  2  t  (5  t ) (F  в ньютонах, t  в
секундах). Определите: а) импульс материальной точки в момент окончания действия силы;
б) путь, пройденный материальной точкой к этому моменту времени.
Задача 8.
Автомобиль массы 1 т движется равномерно со скоростью 36 км/час по выпуклому
мосту радиуса 1000 м. Какова сила давления автомобиля на мост в верхней точке моста?
Задача 9.
К нити подвешен груз массой 2 кг. Найдите силу натяжения нити, если груз а)
поднимать с ускорением 0,5 м/c2; б) опускать с ускорением 0,5 м/c2.
Задача 10.
Какой должна быть продолжительность суток на Земле, чтобы на экваторе тела были
невесомы? Радиус Земли R=6378 км.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Вопросы для самопроверки.
Что такое механическое движение?
Всякое движение является относительным. Как Вы это понимаете?
Что включает в себя система отсчета?
Что такое материальная точка?
Дайте определение скорости и ускорения материальной точки.
Какие системы отсчета называют инерциальными? Приведите примеры ИСО.
Каким будет движение, если оно происходит «по инерции»?
Сформулируйте и запишите второй закон Ньютона.
Что является результатом действия силы на тело согласно механике
Аристотеля? Согласно механике Ньютона и Галилея?
Что понимается под равнодействующей сил?
В чем заключается принцип суперпозиции сил?
Как вы понимаете словосочетание «инертность тела»?
Что служит мерой инертности тела в механике?
Дайте определение импульса материальной точки.
Сформулируйте второй закон Ньютона через изменение импульса
материальной точки.
8
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
Сформулируйте 3 закон Ньютона.
В чем заключается концепция дальнодействия?
Какие границы применимости имеют законы Ньютона?
В чем состоит принцип детерминизма?
Какими были взгляды Ньютона на пространство и время?
Как называется классическая (ньютоновская) концепция пространства и
времени?
В чем заключается принцип относительности Галилея?
Тема № 2.
Теория электромагнитного поля. Близкодействие. Волновая теория света.
Теоретические сведения
В XIX веке была создана принципиально другая, нежели классическая механика,
физическая теория, которая произвела настоящую революцию в физике. Речь идет о
классической электродинамике – теории электромагнитного поля (основоположники – Дж.
К. Максвелл и М. Фарадей). Становлению классической электродинамики предшествовал
ряд открытий законов взаимодействия заряженных, намагниченных и токонесущих тел (в
частности, законов Кулона, Эрстеда, Ампера). Ученые, открывшие эти законы, исходили из
концепции дальнодействия (см. тему № 1). Исключением был М. Фарадей. В 1831 году он
открыл закон электромагнитной индукции и примерно в то же время ввел понятие
электрических и магнитных полей как самостоятельных физических субстанций.
Таким образом, в основе классической электродинамики Максвелла и Фарадея лежит
концепция близкодействия. Близкодействие исходит из того, что взаимодействие между
телами осуществляется не мгновенно, а с конечной скоростью (в вакууме со скоростью света
c=300000 км/с) и не через пустое пространство, а с помощью непрерывно распределенного в
пространстве поля  посредника между взаимодействующими телами. Например, два
точечных неподвижных заряда q1 и q2 притягиваются или отталкиваются друг от друга
посредством электрических полей. Заряд q1 создает в окружающем пространстве

электрическое поле E1 , которое действует на заряд q2, находящийся в этом поле, с некоторой



силой F21  q 2  E1 . Заряд q2, в свою очередь, создает свое электрическое поле E 2 , которое




F12  F21 .


действует на заряд q1 с силой F12  q1  E 2 , причем силы F12 и F21
равны по модулю и
противоположны по направлению:
Аналогично, два прямолинейных
параллельных проводника, по которым текут постоянные электрические токи,
притягиваются или отталкиваются друг от друга посредством магнитных полей. Концепция
близкодействия, которая первоначально рассматривала только электрические и магнитные
взаимодействия тел, позднее была распространена и на любые другие взаимодействия. Так,
всемирное тяготение, согласно концепции близкодействия, осуществляется посредством
гравитационного поля.
Опираясь на фарадеевское представление о поле, в 1864 году Максвелл в работе
«Динамическая теория электромагнитного поля» сформулировал систему уравнений (четыре
уравнения Максвелла), которые связывают электрические и магнитные поля с создающими
их зарядами и токами, а также друг с другом. Уравнения Максвелла охватывают все
известные для макромира закономерности электромагнетизма и являются математической
основой классической электродинамики, играя в ней ту же роль, какую законы Ньютона
играют в классической механике. Не вдаваясь в математические подробности, рассмотрим
смысл уравнений Максвелла.

(1)
divD  
 силовые линии потенциального (невихревого) электрического поля начинаются на
положительных, а заканчиваются на отрицательных электрических зарядах.
9

divB  0
(2)
 силовые линии магнитного поля не имеют ни начала, ни конца, они всегда замкнуты (в
природе нет магнитных зарядов, аналогичных положительным и отрицательным
электрическим зарядам, на которых могли бы начинаться и заканчиваться силовые линии
магнитного поля).


B
rotE  
t
(3)

  D
rotH  j 
t
(4)
 вихревое электрическое поле порождается переменным магнитным полем.
 магнитное поле порождается электрическим током или переменным электрическим полем.
В приведенных здесь уравнениях Максвелла   это объемная плотность электрических



(основная характеристика электрического
поля),
 индукция магнитного поля (основная
B

характеристика магнитного поля); D  электрическое смещение (вспомогательная
характеристика электрического поля), H  напряженность магнитного поля
(вспомогательная характеристика магнитного поля), причем


(5)
D   0 E ,

B
,
(6)
H
 0
зарядов, j  плотность электрического тока; E  напряженность электрического поля
где 0=8,8510-12Ф/м  электрическая постоянная, 0=410-7Гн/м  магнитная постоянная;  
диэлектрическая проницаемость среды (вещества),   магнитная проницаемость среды
(вещества). В уравнениях Максвелла (1) – (4) символы «div»
 и  «rot» означают

соответственно дивергенцию и ротор какого-либо вектора ( D , B , E или H ). С
математической точки зрения дивергенция и ротор – это определенная совокупность частных
производных по координатам.
Рассмотрим основные результаты теории электромагнитного поля.
1. Классическая электродинамика смогла с единых позиций объяснить все
электрические и магнитные явления макромира, которые ранее рассматривались
обособленно друг от друга. Взаимосвязь электрических и магнитных полей (см. формулы (3)
и (4)) является причиной того, что раздельное их рассмотрение является относительным.
Следует говорить об электромагнитном поле, представляющем собой неразрывное единство
электрических и магнитных полей.
2. Физическое поле (в том числе и электромагнитное поле) является наряду с веществом
еще одной формой существования материи. В классической физике (в том числе и в
классической электродинамике) вещество и поле противопоставлялись друг другу как две
совершенно разные формы материи. Вещество имеет дискретную структуру (состоит из
отдельных частиц). Физическое поле, наоборот, имеет непрерывную структуру. Чтобы
описать физическое поле, в каждый момент времени необходимо знать одну или несколько
физических величин в каждой точке пространства. (Например, чтобы описать
электромагнитное
 поле, необходимо в каждый момент времени в каждой точке пространства
знать векторы E и H (или потенциалы электромагнитного поля)). Несмотря на столь
существенное отличие свойств поля от свойств вещества, поле является материальным
объектом, потому что оно, как и вещество, обладает энергией, импульсом, моментом
импульса и массой; однако, эти характеристики не связаны с отдельными частицами, а с той
или иной плотностью непрерывно распределены в пространстве, занимаемом полем. В
10
частности, объемная плотность энергии электромагнитного поля (энергия поля, заключенная
в единичном объеме пространства), равна:
w  wэ  wм ,
(7)
где
 0 E 2
wэ 
2
(8)
 0 H 2
2
(9)
– объемная плотность энергии электрического поля,
wм 
– объемная плотность энергии магнитного поля.
3. Поскольку переменные электрические и магнитные поля порождают друг друга (см.
формулы (3) и (4)), то электромагнитное поле может существовать самостоятельно, без
электрических зарядов и токов. Такое электромагнитное поле свободно распространятся в
пространстве с течением времени в виде электромагнитной волны.
Рассмотрим основные свойства электромагнитных волн, которые
вытекают из уравнений Максвелла.

а. Векторы напряженности
электрического
поля
и
E

магнитного
поля
перпендикулярны
направлению
H

распространения электромагнитной волны (вектору скорости v  см.
рис.), т. е. электромагнитные волны являются поперечными. 
б. Векторы напряженности электрического поля E и
магнитного поля H волны перпендикулярны друг другу (см. рис.).
в. В простейшем случае уравнение электромагнитной волны, распространяющейся в
положительном направлении оси X, имеет вид:
 2t 2x 
E  E m cos


 
 T
(10)
 2t 2x 
H  H m cos

.
 
 T
Здесь E, H – напряженности электрического и магнитного поля в момент времени t в точке с
координатой x; Em Hm – амплитуды, т.е. максимальные значения напряженностей
электрического и магнитного поля; T – период электромагнитной волны, т. е. минимальный
интервал времени, через который происходит повторение значений E и H в данной точке
пространства;  – длина волны, т. е. путь, проходимый электромагнитной волной за один
период:
  vT
(11)
 2t 2x 

 называют фазой волны.
 
 T
(v – скорость волны). Выражение 
Как это видно из уравнений (10), напряженности электрического поля и магнитного
поля волны в каждой точке пространства изменяются синфазно, т. е. E и H в каждый момент
времени имеют одинаковый знак (оба положительные или оба отрицательные), они
одновременно достигают максимальных значений и одновременно обращаются в нуль. Из
уравнений Максвелла следует также, что в любой момент времени напряженности E и H
связаны друг с другом соотношением
 0 E   0 H .
(12)
11
г. Скорость распространения электромагнитных волн
проницаемостью  и магнитной проницаемостью  равна:
в среде с диэлектрической
1
.
 0  0 
v
(13)
В вакууме ==1 и получается, что
v вак 
1
км
 300000
c,
с
 0 0
(14)
т.е. скорость распространения электромагнитных волн в вакууме равна скорости света
с=300.000 км/с. С учетом (14) формулу (13) можно представить в виде:
c
.

v
(15)
д. Распространяясь в пространстве, электромагнитные волны переносят энергию.

Процесс переноса энергии волной характеризуется вектором Пойнтинга S , который

указывает направление переноса энергии. По модулю вектор S равен количеству энергии,
переносимой электромагнитной волной за единицу времени через единичную площадку,

расположенную перпендикулярно вектору S . Из приведенного определения, а также из
формул (7) – (9), (12) и (13) следует, что модуль вектора Пойнтинга равен:
(16)
S  w  v  E  H,
где w – объемная плотность энергии электромагнитной волны, v – скорость волны.
е. Перенос энергии электромагнитной волной сопровождается и переносом импульса.
Следовательно, электромагнитная волна способна оказывать давление на окружающие тела
за счет передачи им своего импульса. При нормальном падении волны на поверхность тела,
которое полностью ее поглощает, давление, оказываемое волной на поверхность тела, равно
объемной плотности энергии электромагнитной волны:
p=w.
(17)
Для идеально отражающей поверхности давление будет в два раза больше.
ж. Согласно представлениям классической электродинамики, всякий ускоренно
движущийся электрический заряд должен излучать электромагнитные волны. Мощность
излучения P равна:
P
q 2a 2
,
6 0 c 3
(18)
где q – величина заряда, a – ускорение, с которым он движется, c – скорость света в вакууме.
4. Существование электромагнитных волн было предсказано еще Фарадеем в 1832
году. В 1865 году Максвелл, используя свои уравнения, теоретически показал, что скорость
электромагнитных волн в вакууме должна быть равна скорости света с=300.000 км/с (см.
формулу (14)). Экспериментально электромагнитные волны обнаружил и исследовал Г. Герц
в 1888 году. Опыты Герца полностью подтвердили выводы теории Максвелла:
электромагнитные волны оказались поперечными, а их скорость равна скорости света. С
помощью больших металлических зеркал и асфальтовой призмы Герц осуществил отражение
и преломление электромагнитных волн и показал, что оба эти явления подчиняются законам,
установленным в оптике для света. Таким образом, опыты Герца указывали на
принципиальную тождественность электромагнитных и оптических (световых) явлений.
Иначе говоря, свет – это электромагнитная волна.
В XVII веке на вопрос о природе света существовало две точки зрения. Согласно
Ньютону, свет – это поток частиц (корпускул). Гюйгенс считал, что свет – это упругая волна,
распространяющаяся в гипотетической всепроникающей среде – мировом эфире. Эфир, как
думали тогда,
должен заполнять все мировое пространство и промежутки между
12
мельчайшими частицами тел. Любое светящееся тело вызывает колебания близлежащих
частиц эфира, эти колебания передаются от одних частиц эфира другим, в результате в эфире
распространяется упругая волна, это волна и есть свет. В XVIII веке большинство ученых
придерживалось корпускулярной теории света. Эта теория хорошо объясняла аберрацию (см.
задачи) и дисперсию света (дисперсия – это разложение белого света в спектр при
прохождении его через стеклянную призму. Сложный состав белого света был обнаружен
Ньютоном в 1666 году). В начале XIX века ситуация изменилась. Явления интерференции и
дифракции света (см. далее) смогла объяснить лишь волновая теория. Поэтому свет стали
рассматривать как упругую волну, распространяющуюся в эфире. Однако опыты Герца в
конце XIX века позволили установить, что свет – это не упругая, а электромагнитная волна
наряду с радиоволнами, инфракрасным, ультрафиолетовым, рентгеновским и гаммаизлучением. Эти виды электромагнитных волн отличаются друг от друга лишь длиной волны
 (периодом T – см. формулу (11)), причем между соседними диапазонами шкалы
электромагнитных волн нет резких границ.
Поперечность световых волн, установленная рядом ученых еще до работ Максвелла и
опытов Герца, полностью согласуется с поперечностью электромагнитных волн.
Свет, как и любая электромагнитная волна, способна оказывать давление на
окружающие тела. Это давление очень мало (например, на расстоянии 1м от источника света
с силой 1 миллион свечей давление света составляет всего лишь 10 7 Па). Впервые давление
света удалось измерить П. Н. Лебедеву (в 1900 г. на твердые тела, а в 1910 – на газы).
Результаты его измерений оказались в полном соответствии с теорией Максвелла.
Скорость световых волн v зависит от свойств среды, в которой они распространяются:
v
c
,
n
(19)
где n – показатель преломления среды. Например, в воде (n1,33) скорость света меньше,
чем в воздухе (n1), что было подтверждено в 1850 г. в опыте Ж. Фуко и А. Физо (согласно
корпускулярной теории Ньютона скорость света в воде, наоборот, должна быть больше, чем
в воздухе). Из формул (15) и (19) следует, что
n   ,
(20)
т. е. оптические свойства среды (показатель преломления) связаны с ее электрическими и
магнитными свойствами (диэлектрической и магнитной проницаемостью).
Свет, как и любая электромагнитная волна, в процессе своего распространения
переносит энергию. Процесс переноса энергии характеризуется вектором Пойнтинга (см.
формулу (16)). Поскольку в световой волне колебания векторов электрического и
магнитного полей происходят очень быстро (период электромагнитных колебаний T~1014
c), то на практике определяют всегда не мгновенные значения вектора Пойнтинга, а его
среднее значение. Модуль усредненного вектора Пойнтинга называют интенсивностью
света.
Волновая теория света способна объяснить явления интерференции, дифракции и
поляризации. Интерференция света – это наложение двух или более волн, приводящее к
перераспределению световой энергии в пространстве, в результате чего в одних
областях пространства возникают максимумы, а в других областях минимумы
интенсивности света. При возникновении интерференции на экране наблюдаются
интерференционная картина – чередующиеся светлые и темные полосы или кольца.
Наблюдение интерференционной картины возможно только при определенных условиях. В


частности, векторы напряженности электрического поля E1 и E 2 двух интерферирующих
волн должны колебаться вдоль одной прямой. Кроме того, результат наложения двух волн
(взаимное усиление или ослабление) зависит от их оптической разности хода волн
  n 2 s 2  n 1s1 ,
(21)
13
где s1, s2 – пути, проходимые первой и второй волной до точки их наложения, n1, n2 –
показатели преломления сред, в которых распространяются волны. В тех областях
пространства, где
(22)
  m , ( m  0;1;2...)
две волны при наложении усиливают друг друга, так как векторы напряженности


электрического поля E1 и E 2 обеих волн в каждый момент времени направлены в одну и ту
же сторону (изменяются синфазно). В результате в таких местах на экране наблюдаются
светлые полосы или кольца. В тех областях пространства, где
1

   m   , ( m  0;1;2...)
2

(23)


две волны при наложении ослабляют друг друга, так как векторы напряженности E1 и E 2 в
каждый момент времени направлены в противоположные стороны (изменяются в
противофазе). Тогда в соответствующих
свет
местах на экране наблюдаются темные полосы
или кольца.
Под дифракцией света подразумевают
щель
огибание световыми волнами препятствий и
их попадание в область геометрической
тени (см. рис.). При этом на экране возникает
область
область
интерференционная картина. В частности, при
тени
тени

нормальном падении световых лучей на
диафрагму с щелью прямоугольной формы на
экране появляются чередующиеся темные и
светлые полосы, причем часть светлых полос
экран
P
оказывается в области тени. В точке экрана P
будет максимум интенсивности (центр светлой
полосы), если выполняется условие:
b sin   
(2k  1)
 , k  1;2...
2
(24)
где b – ширина щели, а угол  определяет положение точки P на экране (см. рис.). Если же
выполняется условие
(25)
b sin   k , k  1;2...,
то в точке экрана P будет минимум интенсивности (центр темной полосы).
Убедительным доказательством поперечности световых волн служит явление
поляризации света. Поперечность электромагнитной и, в частности, световой волны лишает
ее осевой симметрии относительно направления распространения света из-за наличия
 в
плоскости, перпендикулярной световому лучу, выделенных направлений (векторов E и H ).
Анизотропия (т. е. отсутствие симметрии) наиболее ярко проявляется в
плоскополяризованном свете.
Плоскополяризованным
называют свет, в котором


плоскости колебаний каждого из векторов E и H не изменяют своего положения в
пространстве. Естественный свет, излучаемый телами, не является плоскополяризованным,
несмотря на то, что каждая молекула светящегося тела в каждый момент времени излучает
плоскополяризованный свет. Тем не менее, в результирующей волне,
создаваемой
всеми


молекулами светящегося тела, плоскости колебаний векторов E и H непрерывно и
хаотично меняют свои положения в пространстве из-за теплового хаотичного движения
молекул самого тела. Это результирующая волна и представляет собой естественный
(неполяризованный) свет. Естественный свет можно превратить в плоскополяризованный,
если пропустить его сквозь специальное устройство – поляризатор. Поляризатор из
14

всевозможных направлений колебаний вектора E в естественном свете, падающем на
поляризатор, пропускает колебания лишь в одной плоскости (эту плоскость называют
плоскостью пропускания поляризатора). В результате на выходе из поляризатора получается
плоскополяризованный свет с фиксированным направлением
плоскости колебаний светового

вектора (световым вектором называют вектор E напряженности электрического поля
световой волны, так как он выполняет основную роль в процессах взаимодействия света с
веществом). Если на поляризатор падает не естественный, а плоскополяризованный свет, то
его интенсивность на выходе из поляризатора будет измениться по закону
(26)
I  I 0 cos2  .
Здесь I0 – интенсивность света, падающего на поляризатор, I – интенсивность света на
выходе из поляризатора,  – угол между плоскостью пропускания поляризатора и
плоскостью колебаний светового вектора в падающей волне. Формулу (26) называют
законом Малюса (1810 год).
5. Полученная Максвеллом система уравнений для электромагнитного поля никак не
изменила представлений об однозначной (динамической) причинности. Как и механика
Ньютона, теория Максвелла позволяет по точно фиксированным в начальный момент
времени значениям физических величин (напряженностей электрических и магнитных
полей) и заданным граничным условиям найти однозначно значения этих же величин в
любой последующий момент времени.
В заключение следует отметить, что успехи теории электромагнитного поля не привели
к отказу от гипотезы о существовании мирового эфира. После появления теории Максвелла
на смену упругому эфиру пришел эфир – носитель электромагнитных волн и полей. Под
этим эфиром подразумевалась особая среда, заполняющая, как и ее предшественник,
упругий эфир, все мировое пространство и пронизывающая все тела. Раз эфир представлял
собой некую среду, можно было рассчитывать обнаружить движение тел, например
источников и приемников света, по отношению к этой среде. В частности, следовало
ожидать существования «эфирного ветра», обдувающего Землю при ее движении вокруг
Солнца.
Примеры решения задач.
Задача 1.
Найдите среднюю мощность излучения электрона, совершающего гармонические
колебания вдоль оси x по закону x  x m sin t , с амплитудой xm=0,1 нм и циклической
частотой =6,51014 рад/с.
Решение
Так как электрон совершает гармонические колебания, то направление и модуль его
скорости изменяются с течением времени. Значит, движение электрона является ускоренным
и он должен излучать электромагнитные волны (см. формулу (18)). Ускорение электрона
равно второй производной от перемещения по времени (см. тему № 1), т. е.
d2 x


a  2  x m sin t   x m  cost    x m 2 sin t .
dt
Согласно формуле (18) мощность излучения электрона равна:
q 2 x 2m 4 sin 2 t
q 2a 2
P

,
6 0 c 3
6 0 c 3
где q=1,6  1019 Кл – заряд электрона. Из последней формулы следует, что мощность
излучения электроном электромагнитных волн меняется с течением времени. Среднюю
мощность излучения можно найти, если учесть, что (sin t ) ср 
2
15
1
. Тогда
2
Pср 
q 2 x 2m 4
 5  10 15 (Вт).
3
12  0 c
Как видно из последней формулы, мощность излучения зависит от амплитуды и частоты
колебаний заряда.
Задача № 2.
На рисунке показана схема
интерференционного
1
рефрактометра,
применяемого
для
измерения
показателя
преломления
прозрачных
веществ.
S
–
узкая
щель
S
O
(источник света), освещаемая
светом с длиной волны =589 нм;
1 и 2 – кюветы длиной l=10 см
каждая,
которые
заполнены
2
воздухом
(показатель
экран
преломления nв=1,000277). При
замене в одной из кювет воздуха
на аммиак интерференционная картина на экране сместилась на m=17 полос. Определите
показатель преломления аммиака.
Решение
Первоначально в обеих кюветах находился воздух (n1=n2=nв). От источника света S до
точки экрана O, расположенной симметрично относительно обеих кювет, обе световые
волны проходят одинаковые расстояния (s1=s2). Поэтому вначале оптическая разность хода
волн в точке O была равна нулю
 нач  n в s 2  n в s1  0 .
Значит, в точке O находился центральный (нулевой) максимум (см. формулу (22)). После
замены в одной из кювет воздуха на аммиак в точке экрана O будет располагаться не
нулевой, а семнадцатый максимум, так как оптическая разность хода изменится на величину
 кон   нач  n ам  n в l .
Поскольку  кон  m , а  нач  0 , то получается, что
n
Отсюда
n ам 
ам
 n в l  m .
m
 n в  1,000377 .
l
Показатель преломления аммиака ненамного отличается от показателя преломления воздуха.
Тем не менее, даже столь несущественное отличие можно обнаружить по смещению
интерференционной картины и определить показатель преломления с помощью
рефрактометра.
Задачи
Задача 1.
Определите объемную плотность энергии электрического поля в точке, расположенной
посередине между электроном и протоном в атоме водорода. Радиус атома водорода равен
52 пм. Заряд электрона e= ─1,610─19 Кл и по модулю равен заряду протона.
Указание: воспользуйтесь законом Кулона E 
 

E  E1  E 2 .
16
q
и принципом суперпозиции
4 0 r 2
Задача 2. (С4.63)
Радиус круговой орбиты электрона в бетатроне (циклическом ускорителе
элементарных частиц) равен 15 см. В конце цикла ускорения скорость электрона достигает
значения 0,99995c (c – скорость света в вакууме). Найдите мощность излучения электрона в
конце цикла ускорения.
Задача 3. (Т4.175)
В вакууме вдоль оси X распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда
напряженности электрического поля равна волны 50 мВ/м. Определите интенсивность
волны.
Задача 4.(Т4.172)
В вакууме вдоль оси Х распространяется плоская электромагнитная волна и падает по
нормали на поверхность тела, полностью ее поглощающего. Амплитуда напряженности
магнитного поля равна волны 0,15 А/м. Определите амплитуду напряженности
электрического поля волны и среднее давление, оказываемого волной на тело.
Задача 5. (И4.258)
Считая, что частица имеет шарообразную форму и полностью поглощает весь
падающий на нее свет, найдите радиус частицы, при котором ее гравитационное притяжение
к Солнцу будет компенсироваться силой светового давления. Мощность излучения Солнца
равна 41026 Вт, плотность частицы 1 г/см3, масса Солнца 1,991030 кг.
Задача 6. (И5.73)
S
зеркало
экран
В опыте Ллойда световая волна, исходящая
непосредственно из источника S (узкой щели),
интерферирует с волной, отраженной от зеркала (см.
рис.). В результате на экране образуется система
интерференционных полос. Расстояние от источника
до экрана 1 м. При некотором положении источника
ширина интерференционной полосы на экране равна
0,25 мм. После того как источник отодвинули от
плоскости зеркала на 0,60 мм, ширина полос
уменьшилась в 1,5 раза. Определите длину световой
волны.
Задача 7. (Т5.84)
На щель шириной 0,1 мм падает нормально монохроматический свет с длиной волны
0,6 мкм. Экран, на котором наблюдается дифракционная картина, расположен параллельно
щели на расстоянии 1 м. Определите ширину центрального дифракционного максимума и
сравните ее с шириной щели.
Задача 8. (С5.93)
На щель шириной 0,2 мм падает нормально монохроматический свет с длиной волны
0,5 мкм. Экран, на котором наблюдается дифракционная картина, расположен параллельно
щели на расстоянии 1 м. Определите расстояние между серединами 1-го и 2-го
дифракционных максимумов.
Задача 9. (И5.172)
17
Пучок естественного света падает на систему из шести поляризаторов, плоскость
пропускания которых повернута на 30° относительно плоскости пропускания предыдущего
поляризатора. Какая часть светового потока проходит через эту систему?
Задача 10. (И5.239)
В 1849 году Физо измерил скорость света. В его опыте свет проходил между зубцами
вращающегося зубчатого колеса и, отразившись от зеркала, опять попадал на колесо.
Расстояние между зубчатым колесом и зеркалом было равно 7,0 км, число зубцов 720. Два
последовательных исчезновения света наблюдали при скоростях вращения колеса 283 об/с и
313 об/с. Найдите скорость света.
Задача 11. (И5.256)
Движения Земли по орбите приводит к тому, что видимое положение звезд на
небосводе изменяется. Это явление, называемое аберрацией света, в 1727 году использовал
английский астроном Бредли для определения скорости света. Найдите скорость света, если
направление на звезду в плоскости эклиптики периодически меняется, и звезда совершает
кажущиеся колебания в пределах угла 41. Средняя скорость движения Земли по орбите
равна 30 км/с.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Вопросы для самопроверки.
Что изучает классическая электродинамика? Кто являются основоположниками
классической электродинамики?
В чем заключается концепция близкодействия?
Что в физике называют «полем»? Чем отличаются и чем схожи две формы
материи: поле и вещество?
Запишите уравнения Максвелла и поясните их физический смысл.
Какие следствия вытекают из уравнений Максвелла?
Какова максимальная скорость распространения электромагнитных волн? В
каких опытах определили ее значение?
Сформулируйте и запишите принцип суперпозиции электрических и
магнитных полей.
Какие волны называют продольными, а какие поперечными?
К какому типу волн относится электромагнитная волна и почему?
Запишите выражение вектора Пойнтинга. Каков его физический смысл?
Какие теории о природе света существовали в XVII веке? Кто был
родоначальником этих теорий? Кто впервые разложил белый свет в спектр?
Что доказал опыт Ж. Фуко и А. Физо?
Какие свойства света объясняются волновой теорией?
Дайте определение интерференции света. Что представляет собой
интерференционная картина?
При каком условии наблюдается интерференция? Какие волны называют
когерентными?
Дайте определение дифракции света.
Дайте определение плоскополяризованного света.
Чем естественный свет отличается от плоскополяризованного света? Почему
обычный свет не обнаруживает асимметрии, несмотря на существование в
световой волне выделенных направлений (направлений электрического и
магнитного полей)?
Какое явление описывает закон Малюса? Поясните смысл входящих в
выражение закона величин.
С помощью каких приборов можно наблюдать явления дифракции,
интерференции и поляризации?
18
21.
22.
С чем связано явление аберрации света, в чем оно заключается?
Согласуется ли классическая электродинамика с принципом причинности?
Тема № 3.
Начала термодинамики. Основы статистической физики.
Теоретические сведения
Зарождение термодинамики как науки связано с именем Г. Галилея, который ввел
понятие температуры и сконструировал первый прибор, реагирующий на изменения
температуры окружающей среды (1597 г.). К. Ренальдини предложил градуировать
термометр по реперным (опорным) точкам. Г. Д. Фаренгейт (1714 г.) и Р. Реомюр (1730 г.)
разработали температурные шкалы в соответствии с этим принципом. В результате работ Г.
В. Рихмана (1744 г.) возникло понятие теплоты. В 1770 г. Дж. Блэк ввел понятие
теплоемкости. И. Вильке (1772 г.) ввел определение калории как количества теплоты,
необходимого для нагревания 1 грамма воды на 1 С. В 1780 г. А. Лавуазье и П. Лаплас
сконструировали калориметр и впервые экспериментально определили удельные
теплоемкости ряда веществ.
Необходимо отметить, что в XVIII веке тепловые явления изучали вне связи с другими
физическими явлениями, не затрагивая, в частности, процессы превращения теплоты в
механическую работу. Физики имели дело главным образом с процессами
перераспределения теплоты и ее передачей, когда общее количество теплоты остается
неизменным. Природу теплоты объясняли существованием теплорода – некоей тонкой
жидкости, якобы находящейся в порах обычных материальных тел. Согласно
представлениям того времени, между частицами теплорода должны действовать силы
отталкивания, а между частицами теплорода и частицами материальных тел – силы
притяжения. В результате при контакте двух тел теплота (теплород) переходит от более
нагретого тела к менее нагретому телу подобно жидкости, переливаемой из одного сосуда в
другой без потерь. Таким образом, с помощью теории теплорода объяснялось наличие
теплового баланса при калориметрических измерениях, явление теплопроводности и т.п.
Теория теплорода, будучи весьма простой, удовлетворяла эмпирическим и
формалистическим традициям науки того времени, общей направленности ньютонианской
физики. Она сыграла положительную роль, объединив целый ряд накопленных фактов. Хотя
и в искаженной форме, эта теория отражала некоторые действительные закономерности
тепловых явлений. Поэтому она продержалась более столетия.
Первые серьезные сомнения в теории теплорода принадлежат американцу Б. Румфорду.
Он обратил внимание на выделение тепла при сверлении пушечных стволов и пришел к
выводу (1798 г.), что количество выделяемой теплоты не зависит от объема вещества, из
ограниченного количества материи может быть получено неограниченное количество
теплоты. Это опровергало теорию теплорода (теплота как вещество) и прокладывало дорогу
для понимания теплоты как формы движения.
В первой половине XIX века термодинамика развивалась уже как теоретическая основа
теплотехники. Перед конструкторами паровых машин встал важный вопрос: существует ли
предел
последовательного
улучшения
характеристик
тепловых
двигателей?
Многочисленные конструкции паровых машин необходимо было сравнить с идеальным
двигателем, коэффициент полезного действия (кпд) которого рассматривался
как максимально возможный. В 1824 году С. Карно опубликовал работу, в
которой показал, что теплота создает механическую работу только при
тепловом «перепаде», т. е. когда рабочее тело двигателя (пар, газ или какоелибо другое вещество, которое и совершает работу) взаимодействует с двумя
внешними телами – нагревателем и холодильником. Поясним сказанное на
примере. В цилиндре тепловой машины под поршнем помещается рабочее
тело (например, газ). Если дно цилиндра привести в тепловой контакт с
19
нагревателем (на рисунке не показан), т. е. телом, температура которого T1 выше
температуры газа, то газ будет нагреваться и, расширяясь, совершит работу (поднимет
поршень с грузом). После этого поршень необходимо вернуть в исходное состояние, т. е.
сжать газ. Это надо сделать так, чтобы работа, затраченная на сжатие газа, была меньше
работы, совершенной самим газом в ходе расширения (в противном случае работа двигателя
оказалась бы неэффективной). С этой целью дно цилиндра приводят в тепловой контакт с
холодильником (на рисунке не показан), т. е. телом, температура которого T2 ниже
температуры газа в цилиндре. Тогда, охлаждаясь, газ сожмется, и поршень вернется в
исходное состояние. Работа A, совершенная газом за весь цикл, определяется следующим
равенством:
A  Q1  Q 2 ,
(1)
где Q1 – количество теплоты, полученное газом от нагревателя, Q2 – количество теплоты,
отданное газом холодильнику (Q2< Q1). Коэффициент полезного действия двигателя 
определяется отношением работы, совершенной газом, к количеству теплоты, полученному
им от нагревателя, т. е.

A
.
Q1
(2)
Как показал в своей работе С. Карно, максимально возможный кпд не зависит от природы
рабочего вещества и конструкции идеального теплового двигателя. Он определяется только
температурами нагревателя и холодильника:

T1  T2
.
T1
(3)
С. Карно сравнивал работу тепловых двигателей с работой двигателей водяных.
Производство работы в водяных двигателях связано с падением воды с более высокого
уровня на более низкий уровень. Так и возможность производства работы тепловыми
двигателями обусловлена по Карно переходом тепла от тела более нагретого к телу менее
нагретому. Исходя из этой аналогии, С. Карно вывел ряд правильных положений (в
частности, формулу (3)). Ошибка С. Карно состояла лишь в том, что он вместе со своими
современниками считал, что во всех процессах теплота не может создаваться или
уничтожаться.
К середине XIX века в рамках термодинамики постепенно утвердилась идея единства
различных типов физических процессов, их взаимного превращения. В 1842 году Р. Майер
сформулировал принцип взаимопревращаемости теплового и механического движения и
теоретически вычислил термомеханический эквивалент (см. далее), экспериментально его
определил Дж. Джоуль в 1843 г. Эти открытия сыграли основную роль в установлении
закона сохранения и превращения энергии, согласно которому энергия не возникает из
ничего и не уничтожается, она лишь переходит из одной формы в другую. В 1847 году
Г. Гельмгольц отметил универсальный характер этого закона, который выходит далеко за
рамки физики, касаясь всего естествознания. Наряду с законом сохранения массы (М. В.
Ломоносов, А. Лавуазье), закон сохранения и превращения энергии выражает принцип
неучтожимости материи и движения.
В свете закона сохранения и превращения энергии в середине XIX века стало ясно, что
теория С. Карно требует серьезной перестройки и дополнительного исследования. На это
обратили внимание Р. Клаузиус и У. Томсон (лорд Кельвин). Если С. Карно считал, что
теплота неуничтожима, а работу он связывал не с потреблением теплоты, а ее переходом от
тела более нагретого к телу менее нагретому, то Р. Клаузиус объяснял производство работы
исчезновением теплоты при таком переходе (превращением теплоты в работу). Анализируя
переход теплоты от одного тела к другому и превращение теплоты в работу, Р. Клаузиус и У.
Томсон пришли к выводу о том, что реальные термодинамические процессы необратимы, т.
20
е. могут протекать только в одном направлении. Например, тепло может самопроизвольно
переходить от более нагретого тела к менее нагретому телу, но не наоборот.
Впоследствии Р. Клаузиус и У. Томсон (лорд Кельвин) систематически развили
теоретический аппарат термодинамики, в основе которой лежат начала термодинамики.
Эти начала являются экспериментально установленными законами, прошедшими
продолжительную и всестороннюю проверку.
Первое начало термодинамики: количество теплоты, сообщенное системе, идет на
приращение внутренней энергии системы и на совершение работы системой над
внешними телами, т. е.
Q  U 2  U1  A
(4)
где Q – количество теплоты, сообщенное системе, U1 и U2 – начальное и конечное значения
внутренней энергии системы, A – работа, совершенная системой. В рассмотренном выше
примере, передача системе (газу) некоторого количества теплоты Q1 от нагревателя, привело
к увеличению внутренней энергии газа (к его нагреву) и совершению газом работы над
внешними телами (поднятию поршня с грузом).
Первое начало термодинамики (равенство (4)) выражает закон сохранения энергии,
установленный Р. Майером и Дж. Джоулем, в соответствии с которым работа может
совершаться системой только за счет превращения в нее теплоты или какой-либо другой
формы энергии. Согласно формуле (4), количество теплоты можно измерять в тех же
единицах, что работу или энергию, т. е. в Джоулях: 1 Дж=0,239 кал, 1кал=4,18 Дж. Величину
I=4,18 Дж/кал называют термомеханическим эквивалентом.
Первое начало термодинамики эквивалентно утверждению о невозможности создания
вечного двигателя первого рода, т. е. устройства, способного совершать работу
неограниченное время, без потребления энергии извне.
Внутренняя энергия системы включает в себя кинетическую энергию хаотического
движения молекул, образующих систему, потенциальную энергию взаимодействия молекул
друг с другом, а также внутримолекулярную энергию. Внутренняя энергия системы U
является функцией состояния, т. е. изменение внутренней энергии U  U 2  U1 при
переходе системы из первого состояния во второе не зависит от способа (процесса) перехода,
а зависит лишь от начального и конечного состояний системы. Например, внутренняя
энергия одноатомного идеального газа, т. е. газа, взаимодействием между молекулами
которого можно пренебречь, зависит только от его температуры T:
3
U  RT ,
2
поэтому изменение внутренней энергии газа U  U 2  U1 
(5)
3
R (T2  T1 ) зависит лишь
2
от разности его конечной T2 и начальной T1 температур и не зависит от способа нагрева (или
охлаждения) газа. В формуле (5) R=8,31 Дж/мольК – универсальная газовая постоянная,
m
 число молей газа (m – масса газа, M – молярная масса газа; напомним, что для
M
идеального газа справедливо уравнение Клайперона: pV  RT , где p – давление газа, V –

его объем).
В отличие от внутренней энергии, работа A и количество теплоты Q являются
функциями процесса, т. е. их значения зависят от способа (процесса) перехода системы из
начального состояния в конечное состояние. Например, работа, совершаемая идеальным
газом при изобарном (p=const) расширении, отличается от работы идеального газа при
изотермическом (T=const) расширении:
A  p(V2  V1 ) , при p=const,
(6)
21
A  RT ln
V2
, при T=const.
V1
(7)
Второе начало термодинамики (формулировка Р. Клаузиуса, 1850 г.): процесс, при
котором не происходит никаких изменений, кроме передачи тепла от горячего тела к
холодному, необратим (протекает только в одном направлении), т. е. теплота не может
самопроизвольно переходить от более холодного тела к более горячему. Для того, чтобы
передать теплоту от менее нагретого тела к более нагретому, необходимо совершить работу
(такой процесс осуществляется в холодильных машинах).
Существуют и другие формулировки второго начала термодинамики. Одна из них –
формулировка У. Томсона (1851 г.): процесс, при котором работа переходит в тепло без
каких-либо иных изменений состояния системы, необратим, т. е. невозможно
полностью преобразовать в работу все тепло, взятое от тела, не производя никаких
других изменений состояния системы. Например, в реальных тепловых двигателях,
процесс превращения теплоты в работу неизбежно сопровождается передачей определенного
количества теплоты внешней среде.
Второе начало термодинамики эквивалентно утверждению о невозможности создания
вечного двигателя второго рода, т. е. устройства, полностью преобразующего тепловую
энергию какого-либо тела в работу, без каких-либо иных изменений в окружающей
среде.
Все формулировки второго начала термодинамики эквивалентны друг другу, поскольку
указывают на необратимость реальных термодинамических процессов.
Из невозможности вечного двигателя второго рода следует теорема С. Карно о том, что
кпд любой тепловой машины не может превосходить значения, устанавливаемого формулой
(3). На основании теоремы Карно, можно построить абсолютную шкалу температур (понятие
абсолютной температуры было введено У. Томсоном (лордом Кельвином). Абсолютный
нуль температуры расположен ниже нуля температуры по шкале Цельсия на 273 С. При
абсолютном нуле температур прекращаются хаотические движения атомов и молекул,
определяющие температуру системы. Абсолютная температура измеряется в Кельвинах).
Развитие второго начала термодинамики привело к возникновению понятия «энтропия»
(Р. Клаузиус, 1854 г.). Это понятие является одним из центральных в термодинамике и
других разделах естествознания. Наряду с внутренней энергией U энтропия S является
функцией состояния системы. Например, энтропия  молей идеального газа с точностью до
произвольной постоянной величины S0 равна:
3

S  R  ln T  ln V  S0  ,
(8)
2

поэтому изменение энтропии газа S  S2  S1 при переходе из первого состояния во
второе зависит лишь от начального и конечного значений объема V и температуры T газа и
не зависит от способа (процесса) перехода.
Если системе сообщить бесконечно малое количество теплоты dQ, то это приведет к
изменению энтропии системы на бесконечно малую величину dS, причем
dS 
dQ
T
(9)
Знак «>» формуле (9) относится к необратимым процессам, а знак «=»  к обратимым
процессам. (Хотя все реальные термодинамические процессы необратимы, зачастую
обратимыми можно приближенно считать процессы, в ходе которых термодинамические
параметры системы (например, давление, объем, температура и т. д.) изменяются достаточно
медленно. Обратимые процессы могут протекать как в прямом, так и в обратном
направлениях. При смене направления такого процесса с прямого на обратное (например,
при смене сжатия газа его расширением), система проходит через тот же ряд промежуточных
состояний, что и в ходе прямого процесса, но только в обратном порядке).
22
Энтропия может рассматриваться как мера беспорядка в системе. Сообщение
системе количества теплоты dQ (dQ>0) приводит к усилению хаотического движения ее
молекул, и, следовательно, увеличивает степень беспорядка в системе. При этом
увеличивается и энтропия системы (dS>0, если dQ>0).
В случае изолированной системы, которая не обменивается с внешней средой энергией
и веществом, dQ=0, поэтому dS0. Это означает, что в ходе необратимого процесса,
протекающего в изолированной системе, энтропия системы возрастает (dS>0), а в ходе
обратимого процесса энтропия остается постоянной (dS=0). Иными словами, энтропия
изолированной системы не может убывать. Данное утверждение можно рассматривать как
еще одну формулировку второго начала термодинамики.
Энтропия может рассматриваться также как мера необратимого рассеяния
энергии. В частности, в ходе обратимого изотермического процесса, в работу может быть
превращена не вся внутренняя энергия U системы (см. второе начало термодинамики,
формулировку У. Томсона), а лишь некоторая ее часть F, равная F  U  TS . Величину F
называют свободной энергией, а произведение TS  связанной энергией системы.
Значение связанной энергии определяется энтропией системы, в отличие от свободной
энергии, связанная энергия не может быть превращена в работу, она рассеивается в системе.
К концу XIX века были достигнуты большие успехи в получении низких температур, в
результате чего были ожижены O2, N2, H2, а затем и He (температура кипения жидкого гелия
около 4 К, т. е. примерно 269 С). Экспериментальные исследования в области низких
температур позволили В. Нернсту сформулировать третье начало термодинамики (1906 г.).
Третье начало термодинамики: при стремлении температуры к абсолютному нулю
энтропия любой равновесной системы стремится к нулю независимо от давления,
плотности и других термодинамических параметров. Третье начало термодинамики
устанавливает начало отсчета энтропии (значение постоянной S0). Из третьего начала
термодинамики, в частности, следует, что при T0 обращаются в нуль коэффициент
теплового расширения, а также теплоемкость любого процесса. Последнее утверждение
позволяет дать альтернативную формулировку третьему началу термодинамики, согласно
которой абсолютный нуль температуры экспериментально недостижим.
Термодинамика занимается изучением макроскопических систем, т. е. систем,
состоящих из огромного числа частиц (атомов, молекул, электронов и т. д.). Термодинамика
исследует наиболее общие свойства таких систем, для описания которых не требуется
привлечения микроскопических характеристик системы. Термодинамический подход
оказывается тем точнее, чем больше частиц в системе.
По мере осознания того, что теплота – это не вещество (теплород), а движение атомов и
молекул, образующих тела, перед физиками все отчетливее вставала задача исследования
закономерностей этого движения. Решение этой задачи привело к возникновению
кинетической теории газов, развитие которой во второй половине XIX века шло параллельно
с термодинамикой. В рамках кинетической теории газов были получены важные результаты:
разработана кинетическая модель идеального газа (Р. Клаузиус), закон распределения
молекул газа по скоростям (Дж. К. Максвелл, см. далее), теория реальных газов (Й. Д. Вандер-Ваальс), определены реальные размеры молекул, найдено число частиц в одном моле
вещества (число Авогадро, NA=6,021023 моль1) и т.д. В то время ничего не было известно о
внутреннем строении атомов и молекул, а также о силах, с которыми они взаимодействуют
между собой. Основоположники кинетической теории газов пользовались упрощенными,
идеализированными моделями этих частиц. Молекулы и атомы они рассматривали как
идеально твердые шарики или материальные точки. Успехи кинетической теории газов были
связаны не с этими идеализированными моделями, имеющими ограниченную область
применимости, а с тем, что теория строилась на основе общих принципов (законов
сохранения импульса, энергии). Широко использовались математические методы, в
частности, методы математической теории вероятностей. Важно также, что теоретические
23
представления постоянно сравнивались с результатами опытов, и поэтому выгодно
отличалась от наивных умозрительных представлений древнегреческих атомистов.
Кинетическая теория газов в дальнейшем преобразилась в новую отрасль физики 
статистическую (молекулярную) физику, которая рассматривает свойства любых
макроскопических систем (а не только газов). Задача статистической физики – выразить
свойства макроскопических систем через свойства образующих их частиц и взаимодействие
между ними. Таким образом, в отличие от термодинамики статистическая физика
учитывает тот факт, что макроскопические системы (или тела) состоят из большого
числа частиц. В таких системах возникают качественно новые – статистические
закономерности, которые утрачивают свой смысл при переходе к системам с малым числом
частиц. Если система состоит из небольшого числа частиц, то ее поведение можно описать
уравнениями классической механики. Для этого необходимо знать силы, действующие
между частицами, а также координаты и скорости всех частиц в определенный момент
времени (см. тему №.1, детерминизм Лапласа). Но если система состоит из громадного числа
частиц, то указать в определенный момент времени координаты и скорости всех ее частиц
невозможно. Поэтому и описать поведение такой системы с помощью уравнений
классической механики также нельзя. В этом случае необходим принципиально новый
подход – статистический, основанный на методах теории вероятностей. Используя те или
иные функции распределения (например, распределение молекул газа по скоростям, см.
далее), теория вероятностей позволяет найти средние значения различных физических
величин, относящихся к отдельным частицам (например, средние значения скорости,
импульса, кинетической энергии одной молекулы). Свойства макроскопических систем,
непосредственно наблюдаемые на опыте (такие как давление и температура), статистическая
физика истолковывает как суммарный, усредненный результат действия отдельных частиц.
В качестве примера рассмотрим идеальный газ, который находится в закрытом сосуде
при постоянной температуре T. Разные молекулы газа движутся с разными скоростями.
Пусть N – общее число молекул газа, а dN – число молекул, скорости которых лежат в узком
dN
 это относительное число молекул,
N
dN
скорости которых имеют значения из указанного интервала. Можно также сказать, что
N
интервале значений от v до v+dv. Тогда отношение
 это вероятность обнаружить в сосуде молекулу, скорость которой лежит в интервале
значений от v до v+dv. Величину
dN
называют плотностью вероятности, так как она
N  dv
равна вероятности обнаружения молекулы, скорость которой лежит в заданном единичном
интервале возможных значений. Значение плотности вероятности зависит от скорости
молекул v, т. е. плотность вероятности – это функция, зависящая от скорости v:
dN
 F( v) . Конкретный вид этой функции был найден Дж. К. Максвеллом в 1859 году.
N  dv
Получилось, что
 m0 
F( v)  4

 2kT 
3/ 2
 m0 v2 
v exp 
.
 2kT 
2
(10)
Здесь m0 – масса одной молекулы газа, v – ее скорость,
T – температура газа, k 
R
 1,38  10 23 Дж/К –
NA
постоянная Больцмана. Формулу (10) называют
функцией распределения Максвелла (или законом
распределения молекул газа по скоростям). Графики,
24
соответствующие функции (10), представлены на рисунке.
Скорость vвер, соответствующая максимуму функции F(v), называют наиболее
вероятной скоростью молекулы. Используя (10), можно показать, что
2kT
.
m0
v вер 
(11)
Таким образом, чем меньше масса молекулы, тем больше значение vвер (на рисунке трем
кривым соответствует случай, когда m03<m02<m01). При повышении температуры значение
vвер увеличивается и максимум функции F(v) сдвигается вправо в сторону больших
скоростей (на рисунке трем кривым соответствует случай, когда T1<T2<T3). Из графиков
видно, что с повышением температуры растет относительная доля молекул с большими
скоростями (
dN
~ F( v) ) и уменьшается относительная доля молекул с малыми скоростями
N
(при этом общее число молекул N, конечно, не изменяется).
Функция распределения Максвелла была экспериментально проверена много раз.
Результаты опытов оказались в полном согласии с законом распределения (10),
установленным Максвеллом.
Используя функцию (10), можно определить вероятность того, что скорость молекулы
имеет значение из того или иного заданного наперед интервала возможных значений. Кроме
того, можно найти среднюю скорость молекулы газа, а также средние значения других
m0 v2
величин, связанных со скоростью (импульса p  m 0 v , кинетической энергии W 
).
2
Например, средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы равна:
m 0 v кв2
Wср 
,
2
(12)
3kT
.
m0
(13)
где vкв – среднеквадратичная скорость молекулы, значение которой можно найти, используя
функцию распределения Максвелла (10). Для vкв получается:
v кв 
Из формул (12) и (13) следует, что средняя кинетическая энергия поступательного движения
молекулы равна:
Wср 
3kT
.
2
(14)
Последняя формула поясняет физический смысл термодинамической температуры T:
температура T является мерой средней кинетической энергии молекул.
Используя формулу (14), можно найти внутреннюю энергию одноатомного идеального
газа как суммарную энергию всех его N молекул:
3NkT
(15)
2
m m0 N
N


Поскольку число молей газа  
, а R  kN A , то окончательно
M m0 NA NA
3
получается, что U  RT . Эта формула полностью совпадает с формулой (5), полученной
2
U  N  Wср 
в рамках термодинамики.
Следует особо подчеркнуть, что кинетическая теория газов (и статистическая физика в
целом) не позволяет найти точные значения скорости, энергии, импульса и т. д. любой
заданной молекулы в заданный момент времени. Она позволяет лишь точно рассчитать
25
средние значения величин, характеризующих данный коллектив молекул, а также
определить вероятность того, что молекула имеет скорость (энергию, импульс и т. д.),
близкую к заданной.
Используя принципы кинетической теории газов, Л. Больцман в 1872 г. выявил
статистический смысл второго начала термодинамики. Известно, что термодинамическая
система, выведенная из состояния равновесия, будучи предоставлена самой себе
(изолирована), с течением времени возвращается в равновесное состояние. Процесс
перехода из неравновесного состояния в равновесное состояние необратим, т. е. может
протекать только в одном направлении. Согласно Л. Больцману, необратимость процесса,
обусловлена переходом системы из менее вероятного состояния в более вероятное
состояние. Чтобы пояснить сказанное, представим себе сосуд, который разделен
перегородкой на две равные половины. В одной половине сосуда находится газ, а в другой
вакуум. Если убрать перегородку, то газ довольно быстро займет весь объем сосуда. Этот
процесс необратим (газ не может самопроизвольно собраться вновь в одной половине
сосуда), так как, согласно Л. Больцману, вероятность обратного процесса чрезвычайно мала.
Подчеркнем: понятие необратимости процессов имеет смысл только для
макроскопических систем. К совокупности небольшого числа частиц это понятие
неприменимо. Например, если число молекул газа N=10, то вероятность того, что все 10
молекул в какой-то момент времени вновь соберутся в одной половине сосуда, будет равна:
210103. Это достаточно большое значение. Если в течение длительного времени
фиксировать распределение молекул в сосуде через равные промежутки времени, то на
каждую 1000 случаев в среднем придется один случай, когда все 10 молекул будут
находиться в одной половине сосуда. Если же число молекул огромно, например, N=31019
(такое число молекул содержится в 1 см3 газа при нормальном давлении и температуре t=20
С), то вероятность того, что молекулы газа вновь одновременно соберутся в одной половине
101 9
сосуда, будет чрезвычайно мала и равна 10
. Поэтому рассмотренный выше процесс
расширения газа является необратимым (протекает только в одном направлении).
Если изолированная макроскопическая система находится в неравновесном состоянии,
то она, согласно Л. Больцману, самопроизвольно будет переходить в состояние с большей
вероятностью – равновесное состояние. Вместе с тем, согласно второму началу
термодинамики все самопроизвольные (необратимые) процессы в изолированных системах
сопровождаются возрастанием энтропии. Поэтому можно ожидать, что между энтропией S
системы в каждом состоянии и вероятностью W того же состояния должна существовать
определенная связь. Как установил Л. Больцман
S  k  ln W .
(16)
Данное равенство называют формулой Больцмана (k – постоянная Больцмана).
Дальнейшее развитие статистическая физика получила в работе Дж. Гиббса (1902 г.).
Благодаря нему, статистическая физика смогла обосновать все три начала термодинамики, с
ее помощью стало возможным вычислять термодинамические величины для конкретных
систем. Но вопрос о соотношении обратимости и необратимости Дж. Гиббсом был по сути
обойден. В 1906 г. М. Смолуховский разработал теорию флуктуаций (флуктуации – это
беспорядочные отклонения какой-либо физической величины относительно некоторого
среднего значения). Свою теорию М. Смолуховский применил к анализу явлений, в которых
может непосредственно наблюдаться антиэнтропийное поведение (уменьшение энтропии со
временем). В итоге он пришел к идее об относительности понятий «обратимость» и
«необратимость», их зависимости от времени, в течение которого наблюдается процесс.
Новый этап в развитии исследований необратимых систем наступил только в конце XX века,
с созданием теории самоорганизации (синергетики).
В заключении рассмотрим вопрос о тепловой смерти Вселенной. Принцип
возрастания энтропии привел Р. Клаузиуса (1865 г.) к мысли о том, что энтропия Вселенной
приближается к максимуму, по достижении которого во Вселенной прекратятся какие бы то
26
ни были процессы. Должно наступить абсолютно равновесное состояние, в котором никакие
процессы уже невозможны. Наступит тепловая смерть Вселенной.
В связи с этой концепцией Л. Больцманом была высказана так называемая
флуктуационная гипотеза. Л. Больцман не отрицал применимость принципа возрастания
энтропии ко всей Вселенной в целом (а такие сомнения высказывались), но он обратил
внимание на статистическую (вероятностную) природу этого закона. Поэтому отступления
от термодинамического равновесия Вселенной – флуктуации – не только возможны, но и
неизбежны. Сейчас, согласно Л. Больцману, мы имеем дело с гигантской флуктуацией. Она
должна исчезнуть. Тогда наступит тепловая смерть Вселенной. Однако через некоторое
время снова возникнет гигантская флуктуация, и Вселенная выйдет из состояния тепловой
смерти. Затем опять все повторится, и так без конца.
В настоящее время установлено, что вывод о тепловой смерти Вселенной и
первоначальные попытки его опровержения являются несостоятельными, поскольку в них не
учитывается влияние тяготения. Выяснилось, что из-за тяготения однородное
изотермическое распределение вещества во Вселенной не соответствует максимуму
энтропии, поскольку такое состояние не является наиболее вероятным. Вселенная
нестационарна – она расширяется, и первоначально однородное вещество распадается под
действием сил тяготения, образуя скопления галактик, сами галактики, звезды и т.д. Эти
процессы происходят с ростом энтропии – в соответствии со вторым началом
термодинамики. И ниоткуда не следует, что эти процессы приведут к однородному
изотермическому состоянию Вселенной, т. е. к «тепловой смерти» Вселенной.
Примеры решения задач.
Задача № 1.
Во сколько раз должен увеличиться объем (=5 моль) одноатомного идеального газа
при изотермическом расширении, чтобы его энтропия увеличилась на S=57,6 Дж/К?
Решение
Энтропия одноатомного идеального газа в начальном состоянии равна:
3

S1  R  ln T  ln V1  S0  .
2

Аналогично, в конечном состоянии:
3

S2  R  ln T  ln V2  S0  .
2

Здесь V1, V2 – начальный и конечный объемы газа, S0 – произвольная неизвестная
постоянная (учли, что при изотермическом расширении T1=T2=T). Изменение энтропии
вследствие расширения равно:
S  S2  S1  R (ln V2  ln V1 )  R ln
V2
.
V1
(учли, что разность логарифмов равна логарифму частного). Обозначим:
V2
n.
V1
Тогда
S  R ln n .
Отсюда следует, что искомое отношение объемов при изотермическом расширении газа
равно:
 S 
n  exp
  4.
 R 
Задача № 2.
27
Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа при нормальных условиях
равна 480 м/с. Сколько молекул содержит 1 г этого газа?
Решение
Масса газа m прямо пропорциональна числу его молекул N:
m  m0 N .
Здесь m0 – масса одной молекулы. Аналогично, молярная масса (масса одного моля газа)
равна:
M  m0 N A ,
где NA=6,021023 моль1 – число Авогадро, т. е. число молекул в одном моле вещества.
Число молей можно выразить как через массу газа m, так и через число его молекул N:

m
N
,

M NA
Отсюда
N
mN A
.
M
Таким образом, чтобы определить число молекул в газе массой m=1 г достаточно найти его
молярную массу M. Известно, что среднеквадратичная скорость молекул газа равна:
v кв 
3kT
3RT

m0
M
( учли, что R  kN A , а M  m 0 N A ). Тогда
M
3RT
v кв2
По условию задачи газ находится при нормальных условиях. Следовательно, его
температура 0 С, т. е. T= 273 К. Подставляя формулу для M в выражение для N, получим,
что:
mN A v кв2
N
 2,04  10 22 .
3RT
Как и следовало ожидать, число молекул даже в 1 г газа очень велико.
Задачи
Задача 1.
Начертите графики изотермического, изохорного, изобарного процессов в координатах
p и V, p и T, V и T для идеального газа.
Задача 2.
Определите число атомов в 1 кг водорода. Молярная масса атомарного водорода 1
г/моль.
Задача 3.
В закрытом сосуде вместимостью 20 л находится молекулярный водород массой 6 г и
гелий массой 12 г. Определите давление и молярную массу газовой смеси в сосуде, если
температура смеси 300 К. Молярная масса молекулярного водорода 2 г/моль, молярная масса
гелия 4 г/моль. Водород и гелий можно считать идеальными газами.
Задача 4.
Гелий массой 12 г расширяется в результате изобарного нагрева при давлении 0,1 МПа.
Начальная температура газа 300 К, конечная температура 400 К. Определите работу
28
расширения газа, изменение его внутренней энергии и количество теплоты, сообщенное газу.
Гелий можно считать идеальным газом.
Задача 5.
При нагревании одноатомного идеального газа количеством 2 моль его
термодинамическая температура увеличилась в два раза. Определите изменение энтропии,
если нагревание происходит а) изохорно; б) изобарно.
Задача 6.
Теплоизолированный сосуд разделен перегородкой на две равные половины. В одной
половине находится 12 г гелия, в другой вакуум. Перегородку убирают, и гелий заполняет
весь объем сосуда. Определите приращение энтропии газа. Гелий можно считать идеальным
газом.
Задача 7 (В.5.197).
Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно, совершает за один цикл
работу 73,5 кДж. Температура нагревателя 100 С, температура холодильника 0 С. Найдите
кпд машины, количество теплоты, получаемое машиной за один цикл от нагревателя, и
количество теплоты, отдаваемое машиной за один цикл холодильнику.
Задача 8 (В.5.217).
Найдите изменение энтропии при превращении 1 г воды в пар, если начальная
температура воды была равна 0 С. Температура пара равна 100 С. Удельная теплоемкость
воды 4190 Дж/кгК, удельная теплота парообразования воды 2,26 МДж/кг.
Задача 9 (Т2.17).
Используя закон распределения молекул идеального газа по скоростям, получите
формулу для наиболее вероятной скорости.
Задача 10 (И2.93).
Найдите относительное число молекул газа, скорости которых отличаются не более чем
на 1 % от значения а) наиболее вероятной скорости; б) средней квадратичной скорости.
Задача 11 (И2.95).
Найдите температуру газообразного азота, при которой скоростям молекул 300 м/с и
600 м/с соответствуют одинаковые значения функции распределения Максвелла по модулю
скорости.
Задача 12 (Т2.13).
Определите наиболее вероятную скорость молекул газа, плотность которого при
давлении 40 кПа составляет 0,35 кг/м3.
Задача 13 (И2.79).
Аргон массы 15 г находится в закрытом сосуде при температуре 300 К. Какое
количество теплоты необходимо сообщить аргону, чтобы средняя квадратичная скорость его
молекул возросла в два раза?
Задача 14 (В5.172).
В ходе изотермического расширения 10 г. газа его объем увеличился в 2 раза.
Определите среднеквадратичную скорость молекул газа, если известно, что работа,
совершенная газом в процессе расширения, оказалась равной 575 Дж.
29
Вопросы для самопроверки.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
Какие шкалы температур Вам известны?
В чем состоит физический смысл термодинамической температуры?
В чем заключалась теория теплорода? Что она смогла объяснить и что не
смогла?
Какие процессы называют изобарным, изохорным, изотермическим и
адиабатным?
Запишите уравнение состояния идеального газа. Поясните смысл входящих в
уравнение величин.
Что понимают под внутренней энергией тела?
От чего зависит внутренняя энергия одноатомного идеального газа?
Приведите различные формулировки первого начала термодинамики. Какими
способами можно изменить внутреннюю энергию тела?
Чем отличаются друг от друга функции состояния и функции процесса.
Приведите примеры тех и других функций.
На чем основан принцип работы теплового двигателя? Зачем нужен
холодильник?
От чего зависит и от чего не зависит коэффициент полезного действия
идеальной тепловой машины?
Поясните смысл понятия «энтропия». Что она характеризует?
От чего зависит энтропия идеального газа?
Какие процессы называются обратимыми? Необратимыми?
Приведите примеры процессов, в ходе которых энтропия возрастает.
Дайте различные формулировки второго начала термодинамики.
В чем суть третьего начала термодинамики?
Чем отличаются термодинамический и статистический подходы к описанию
макросистем?
В чем состоит смысл функции распределения Максвелла?
Можно ли, используя функцию распределения Максвелла, найти точное
значение скорости данной молекулы газа в определенный момент времени?
Что характеризует термодинамическая температура? Как изменится значение
среднеквадратичной скорости молекулы, если увеличить температуру газа?
С чем, согласно Больцману, связана необратимость процессов в
макроскопических системах? Запишите формулу Больцмана, поясните смысл
входящих в нее величин.
Что такое флуктуация?
Раскройте суть гипотезы о «тепловой смерти» Вселенной.
Тема № 4.
Пространство и время в специальной теории относительности.
Теоретические сведения
Специальная (частная) теория относительности была создана в начале XX века
благодаря работам А. Эйнштейна,
Х. Лоренца, А. Пуанкаре, Дж. Лармора, Дж.
Фицджеральда, Г. Минковского и ряда других ученых. Она возникла в результате
преодоления принципиальных трудностей, с которыми столкнулись электродинамика и
оптика движущихся тел. Для преодоления этих трудностей ученым пришлось отказаться от
гипотезы о существовании мирового эфира Основные положения специальной теории
30
относительности (СТО) были изложены А. Эйнштейном в 1905 году в работе «К
электродинамике движущихся сред». В основе СТО лежат два постулата:
1. Принцип относительности А. Эйнштейна: все физические явления
(механические, оптические, электромагнитные и любые другие) при одинаковых
начальных условиях протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета
(ИСО).
2. Принцип постоянства скорости света: скорость света в вакууме одинакова во
всех ИСО.
Второй постулат СТО связан с попытками ученых обнаружить движение Земли
относительно мирового эфира (эфирный ветер). Такую попытку, в частности, предприняли
А. Майкельсон и Э. У. Морли в 1887 году. Для этого они использовали интерферометр –
прибор, работа которого основана на явлении интерференции света (см. тему 2). Эфирный
ветер должен был приводить к смещению интерференционной картины на 0,4 полосы при
повороте интерферометра на 90. Обнаружение движения тел (в частности, Земли)
относительно мирового эфира означало бы существование в природе особенной, абсолютной
системы отсчета, связанной с эфиром. Тогда движение всех остальных систем отсчета можно
было бы рассматривать по отношению к этой абсолютной системе отсчета. Эфирный ветер
Майкельсону и Морли обнаружить не удалось (никакого смещения интерференционной
картины при повороте интерферометра не происходило). Из опыта Майкельсона и Морли
следовало также, что скорость света в вакууме не зависит от движения источников и
приемников света, т. е. одинакова во всех ИСО (отсюда и второй постулат СТО). Более того,
скорость света в вакууме c является предельной скоростью. Никакой сигнал, никакое
воздействие тел друг на друга не могут распространяться со скоростью, превышающей
значение с=300.000 км/с.
Первый постулат СТО является обобщением принципа относительности Г. Галилея,
который относился только к механическим явлениям и указывал на то, что законы
механики одинаковы для всех ИСО. По мысли Эйнштейна отрицательный результат опыта
Майкельсона и Морли по обнаружению эфирного ветра свидетельствует о том, что мирового
эфира не существует, следовательно, не существует и абсолютной системы отсчета,
связанной с ним. Значит, все инерциальные системы отсчета равноправны, и не только в
отношении законов механики, но и законов физики вообще. Поэтому принцип
относительности Эйнштейна (первый постулат СТО) утверждает, что все физические
законы одинаково формулируются для всех ИСО. Следовательно, уравнения, выражающие
эти законы, должны оставаться неизменными (инвариантными) при переходе от одной
ИСО к другой, т. е. при преобразованиях координат и времени.
Двум
постулатам
СТО
Y
Y΄
удовлетворяют
формулы
преобразования координат и времени,
которые были найдены Х. Лоренцем
K
K΄
еще до создания СТО (в 1904 г.). Если
имеются две ИСО, одна из которых
(система К) является неподвижной, а
0
0΄ V
X
другая
(система
К)
движется
X΄
относительно первой вдоль оси OX Z
Z΄
равномерно,
прямолинейно
и
поступательно со скоростью V (см. рис.), то при переходе от системы К к системе К
координаты и время какого-либо события изменяются (преобразуются) следующим образом:
x
x  V  t
1  2
;
y  y ; z  z  ;
31
t
V
 x
c2
.
1  2
t 
(1)
Здесь  
V
; x, y, z, t - координаты и время какого-либо события (таким событием может
c
быть вспышка света, распад нестабильной частицы и.т.д.) в системе К; x, y, z, t координаты и время того же события в системе К. Формулы обратного перехода (от системы
К к системе К) имеют похожий вид:
x 
x Vt
1  2
;
y  y ;
z  z ; t  
V
x
c2
.
1  2
t
(2)
Формулы (1) и (2) – это и есть преобразования Лоренца. При V>c (>1) выражения для x, x,
t, t в формулах (1) и (2) становятся мнимыми и теряют физический смысл. Этот результат
отражает то обстоятельство, что движение со скоростями, большими, чем скорость c,
невозможно.
Теорию относительности называют также релятивистской теорией, а явления,
описываемые этой теорией – релятивистскими эффектами. Теория относительности –
фундаментальная теория, охватывающая всю физику. Она привела к глубокому пересмотру
представлений о пространстве и времени. Рассмотрим основные выводы СТО.
1. Если в классической физике время и пространство рассматривались обособленно
друг от друга, то в СТО они оказываются взаимосвязанными и образуют единое
четырехмерное пространство-время. Из формул (1) и (2) следует, что как
пространственные, так и временные преобразования Лоренца не являются независимыми: в
закон преобразования координат входит время, а в закон преобразования времени ─
пространственные координаты, т.е. устанавливается взаимосвязь пространства и времени.
Любое событие характеризуется четырьмя величинами – тремя координатами x, y, z,
указывающими, где оно произошло, и временем t, указывающим, когда оно произошло.
Значения этих четырех величин зависят от выбора системы отсчета (К или К), в которой мы
наблюдаем событие (xx, tt - см. формулы (1) и (2)).
2. Если в одной системе отсчета (например, в К) в двух разных точках
пространства (x1x2) одновременно происходят два события (t1=t2), то в другой системе
отсчета (в системе К), эти же события произойдут в разные моменты времени, т.е.
неодновременно (t1t2 - см. последнюю из формул (2)). Таким образом, понятие
«одновременность» в СТО является не абсолютным (как в классической механике), а
относительным.
3. Из преобразований Лоренца следует, что длительность события также является
относительной величиной. Пусть в некоторой точке А с координатой х, покоящейся
относительно системы К, происходит событие, длительность которого (разность показаний
часов в конце и начале события)   t 2  t 1 , где индексы 1 и 2 соответствуют началу и концу
события. Длительность этого же события в системе К, относительно которой точка А будет
двигаться со скоростью V, согласно последней из формул (1), будет равна
  V    V 
 t 2  2  x    t1  2  x 
c
c
 
  t 2  t 1 , т. е.
  t 2  t1  
1 - 2
1  2

    .
(3)

2
1 
(В классической физике    ). Таким образом, длительность события, происходящего в
некоторой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, относительно которой
эта точка неподвижна. Следовательно, часы системы К, движущиеся вместе с точкой А
относительно системы отсчета К, идут медленнее покоящихся часов системы К.
32
4. Согласно СТО, длина l движущегося тела всегда меньше длины l0 этого же тела в
состоянии покоя: l  l 0 (в классической механике l  l 0 ). Действительно, пусть в системе
К вдоль оси OX покоится стержень. Его длина l0 в системе К равна разности координат
концов стержня, т. е. l 0  x 2  x 1 . Относительно системы К стержень движется со
скоростью V. Для определения длины l движущегося стержня в системе К необходимо найти
разность координат x1 и x2 его концов в один и тот же момент времени t: l  x 2  x 1 .
Согласно первой из формул (2), получается, что
l 0  x 2  x 1 
(x 2  V  t )  (x1  V  t )
1 
2

x 2  x1
1 
2

l
1 
2
, т.е.
l  l 0  1  2  l  l 0 .
(4)
В СТО размеры тел и промежутки времени теряют абсолютный характер, какой им
приписывался классической физикой, и приобретают статус относительных величин,
зависящих от выбора системы отсчета, с помощью которой проводилось измерение. Таким
образом, пространство и время неразрывно зависят от относительного движения
наблюдателя и объекта наблюдения.
5. Из преобразований Лоренца следует релятивистский закон преобразования
скорости. Если материальная точка движется относительно подвижной системы отсчета К
вдоль оси OX со скоростью vx , то относительно неподвижной системы К скорость этой же
материальной точки будет равна:
vx 
vx  V
.
vx  V
1 2
c
(5)
Формула обратного перехода (от v x к vx ) имеет похожий вид:
vx 
vx  V
.
vx  V
1 2
c
(6)
Скорости v x и vx в формулах (5) и (6) считаются положительными, если материальная точка
движется в положительном направлении осей OX и OX соответственно, и отрицательными
в противоположном случае. Релятивистский закон преобразования скорости (формулы (5) и
(6)) не противоречит второму постулату Эйнштейна. Действительно, если v x  c , то и
v x  c , т.е. скорость с – это инвариантная величина и максимально возможная скорость,
которую превысить нельзя. В классической механике возможны случаи, когда v x  c и
v x  c , что противоречит второму постулату СТО.
6. В СТО, как и в механике Ньютона, соблюдаются законы сохранения энергии и
импульса. При этом понятия «импульс», «кинетическая энергия», «полная энергия» в СТО
отличаются от соответствующих понятий в классической механике. В СТО импульс
материальной точки равен:


mv
p
,
(7)
v2
1 2
c

где m – масса материальная точки, v - ее скорость относительно какой-либо ИСО (в


классической механике импульс материальной точки равен p  m  v ).
33
7. В СТО кинетическая энергия (энергия движения) материальной точки имеет вид:




1
Wk  mc 2  
 1 .
2


v
 1 2

c


(8)
Это выражение отличается от классического определения кинетической энергии, согласно
mv 2
которому Wk 
.
2
8. В механике Ньютона под полной энергией материальной точки подразумевают
сумму ее кинетической и потенциальной энергий. В СТО полная энергия W – это сумма
кинетической энергии Wk и энергии покоя W0 тела или частицы:
W  Wk  W0 ,
(9)
причем
(10)
W0  m  c 2 .
Энергия покоя W0 – это энергия неподвижного тела или частицы. Энергия покоя тела
включает в себя, помимо энергий покоя образующих тело частиц, также кинетическую
энергию частиц (обусловленную их движением относительно центра масс тела) и энергию их
взаимодействия друг с другом. Полная энергия тела, как это следует из формул (8) – (10),
равна:
W
m  c2
1
2
.
(11)
v
c2
При v>c выражения (7), (8) и (11) становятся мнимыми и теряют физический смысл, т. е.
движение со скоростями v большими, чем скорость c, невозможно. Из формул (7) и (11)
следует, что
W  c  p2  m2  c2 .
(12)
9. В отличие от классической механики, СТО допускает существование частиц с
нулевой массой. Скорость такой частицы равна скорости света в вакууме c, а ее импульс и
энергия, как это следует из формул (7) и (11), отличны от нуля. Примером частицы с массой
m=0 является фотон (частица света). Для частиц с нулевой массой энергия и импульс прямо
пропорциональны друг другу:
(13)
W cp
(см. формулу (12)).

 F

10. Второй закон Ньютона в форме a 
в СТО несправедлив (ускорение a и
m

равнодействующая всех сил F , действующих на частицу (материальную точку), в СТО
могут не совпадать по направлению). Однако в СТО остается справедливой формулировка
второго закона Ньютона в виде:


dp 
 F.
dt
(14)
Здесь под импульсом p подразумевают величину, определяемую формулой (7). Выражение
(14) называют основным уравнением релятивистской динамики.
11. При небольших скоростях движения тел (v,V<<c) все основные формулы СТО
переходят в соответствующие формулы классической механики. Это обстоятельство
является отражением принципа соответствия, согласно которому любая новая теория,
34
претендующая на более глубокое описание физической реальности и на более широкую
область применимости, чем старая, должна включать в себя последнюю как
предельный случай. Например, при V<<c (<<1) получается, что движущиеся и
неподвижные часы идут одинаково (    - см. формулу (3)), а длина движущегося тела
равна длине этого же тела в состоянии покоя ( l  l 0 - см. формулу (4)). Аналогично, при


v<<c импульс материальной точки p  m  v (см. формулу (7)), а ее кинетическая энергия
mv 2
Wk 
(см. формулу (8)). Преобразования Лоренца (1) и (2) при небольших скоростях
2
(V<<c, т. е. <<1) переходят в преобразования Галилея, справедливые в классической
механике:
x  x   V  t  ; y  y ; z  z  ; t  t  ,
(15)
или
x   x  V  t ; y  y ; z   z ; t   t .
(16)
Наконец, формулы (5) и (6) при vx <<c и V<<c переходят в классический закон сложения
скоростей:
или
v x  vx  V ,
(17)
vx  v x  V .
(18)
12. Инвариантными называются величины, которые не изменяют своего значения при
переходе от одной системы отсчета к другой. К инвариантным величинам в классической
механике относятся длина тела ( l  l 0 ), промежуток времени между событиями (    ),
масса и ускорение материальной точки, сила, действующая на нее. В СТО инвариантными
величинами являются скорость света в вакууме (см. второй постулат СТО) и
пространственно-временной интервал s между событиями:
s  c 2 ( t 2  t 1 ) 2  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  (z 2  z1 ) 2 ,
(19)
где x1, y1, z1, t1 - координаты и время первого события, x2, y2, z2, t2 - координаты и время
второго события.
СТО была проверена на обширном материале, подтверждена многими фактами и
экспериментами (например, замедление времени наблюдается при распадах элементарных
частиц в космических лучах или в ускорителях высоких энергий). СТО лежит в основе
теоретических описаний всех процессов, протекающих с релятивистскими скоростями.
Примеры решения задач.
Задача № 1.
На космическом корабле, двигающемся по круговой орбите со скоростью 8 км/с,
находятся часы. На сколько они отстанут, за полгода от часов, находящихся на Земле?
Решение
Время, измеренное по неподвижным часам, находящимся на Земле, равно 0,5 года,
т.е.1,58 107 с. Время, которое пройдет по показаниям движущихся часов, находящихся на
борту космического корабля, будет равно
    1   2    1 
V2
,
c2
где V – скорость корабля. Так как скорость корабля V=8 км/с намного меньше скорости
света c=300.000 км/с, то можно приближенно считать, что
35
V2
 1 V2 
    1  2    1   2 
c
 2 c 
(учли, что
1
1  x  1   x , если x<<1)
2
Следовательно, за полгода движущиеся часы отстанут от неподвижных часов на время
V2
t      0,5 2  0,006 (с)
c
Столь малое различие в показаниях часов связано с медленным (по сравнению со скоростью
света) движением космического корабля.
Задача № 2.
Определите скорость частицы, при которой ее релятивистский импульс в три раза
больше ее классического импульса.
Решение
По условию задачи, p рел  3p кл . Но p рел 
1
v2
1 2
c
mv
v2
1 2
c
, а p кл  mv , следовательно
3
или
1
v2 1
 .
c2 9
Отсюда
8c 2
v
 0,94  c .
9
Таким образом, столь заметное (трехкратное) отличие релятивистского импульса частицы от
ее классического импульса связано с очень большой скоростью ее движения (94% от
скорости света). В этом случае можно использовать лишь релятивистскую формулу для
импульса частицы.
Задачи
Задача 1.
Мюоны (нестабильные частицы), рождаясь в верхних слоях атмосферы, пролетают до
своего распада путь 6 км, двигаясь со скоростью 0,995с (с=300.000 км/с – скорость света в
вакууме). Определите: а) время жизни мюона для земного наблюдателя; б) собственное
время жизни мюона (т.е. время жизни, измеренное по часам, относительно которых мюон
неподвижен); в) расстояние от точки рождения до точки распада мюона, измеренное в
системе, связанной с движущимся мюоном.
Задача 2.
В неподвижной системе отсчета в точках с координатами x1 и x2 = x1 +l0 одновременно
происходят два события 1 и 2, причем l0=1,4 км. Определите: а) время между событиями 1 и
2, фиксируемое наблюдателем, находящемся в ракете, которая движется в положительном
направлении оси OX со скоростью 0,6с; б) расстояние между первой и второй точками в
системе отсчета, которая связана с ракетой.
36
Задача 3.
Используя преобразования Лоренца, покажите, что пространственно-временной
интервал является инвариантной величиной в СТО.
Задача 4.
Воспользовавшись тем, что пространственно-временной интервал является
инвариантной величиной, определите расстояние, которое пройдет -мезон в той системе
отсчета, в которой время его жизни равно 4,4 мкс. Собственное время жизни -мезона (т.е.
время жизни, измеренное по часам, относительно которых -мезон неподвижен) равно 2,2
мкс.
Задача 5.
В штрихованной системе отсчета К покоится стержень, ориентированный под углом
30 к оси OX. Собственная длина стержня равна 1,5 м. Система К движется относительно
системы К со скоростью 0,6с вдоль оси OX. Определите длину стержня в системе К и угол,
который он образует с осью OX.
Задача 6.
Две ракеты движутся навстречу друг другу с одинаковой по величине скоростью 0,6с.
Определите скорость сближения ракет, исходя из: а) классического закона сложения
скоростей; б) релятивистского закона преобразования скорости.
Задача 7.
Ионизированный атом, вылетев из ускорителя со скоростью 0,8с, испустил фотон
(частицу света) в направлении своего движения. Определите скорость фотона относительно
ускорителя.
Задача 8.
Определите скорость частицы, при которой ее кинетическая энергия в три раза больше
ее энергии покоя.
Задача 9.
2
2
2
Докажите, что для релятивистской частицы величина W  p  c (W – полная энергия
частицы, p – импульс частицы, c – скорость света в вакууме) является инвариантной
величиной.
Задача 10.
Определите энергию, которую необходимо затратить, чтобы разделить неподвижное
ядро дейтрона (изотоп водорода) на неподвижные протон и нейтрон. Масса ядра дейтрона
равна 3,3431027 кг, масса протона 1,6721027 кг, масса нейтрона 1,6751027 кг.
Задача 11.
двигаться под действием постоянной силы
 Релятивистская частица массы m начинает


F . Найдите зависимость от времени импульса p и скорости v частицы.
Задача 12
Покажите, что при небольших скоростях движения тел (v<<c) релятивистское
выражение для кинетической энергии переходит в соответствующее классическое
выражение.
37
Указание: учтите, что
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
1
1  x  1   x , если x<<1.
2
Вопросы для самопроверки.
Чем отличаются классическая и релятивистская механика друг от друга?
Какие проблемы физики послужили причиной создания СТО?
Сформулируйте постулаты специальной теории относительности. Почему она
называется «специальной»?
В чем заключается принцип относительности Галилея?
Запишите преобразования Лоренца для координат и времени, сравните их с
классическими преобразованиями Галилея.
Какие кинематические следствия преобразований Лоренца Вы знаете?
Поясните смысл каждого из них.
Запишите классический закон сложения скоростей. Приведите примеры
движения, когда его можно использовать.
Запишите закон преобразования скорости в СТО и сравните его с классическим
законом сложения скоростей.
Как определяется импульс в релятивистской механике?
Запишите выражения для полной и кинетической энергий релятивистской
частицы и поясните смысл всех входящих в эти выражения величин.
Запишите основное уравнение релятивистской динамики.
Какая из двух форм второго закона Ньютона остается справедливой и для
классической и для релятивисткой механик?
В чем заключается принцип соответствия? Поясните его действие на примере
преобразований Лоренца.
Какая частица не имеет массы? Чему равна скорость ее движения? Как связаны
друг с другом энергия и импульс такой частицы?
Как Вы понимаете, что такое инвариант, инвариантная величина?
Какие величины являются инвариантами в преобразованиях Галилея? Лоренца?
Что в релятивистской физике понимают под интервалом? Сравните его с
классическим интервалом (т. е. расстоянием между двумя точками в
евклидовой геометрии).
Какие экспериментальные данные подтверждают специальную теорию
относительности?
Тема № 5.
Квантовая теория. Корпускулярно-волновой дуализм.
Теоретические сведения
Основу современной физической картины мира составляют две фундаментальные
теории – это теория относительности (см. тему № 4) и квантовая теория. Квантовая теория
возникла в начале XX столетия в результате изучения ряда явлений и эффектов, которые не
смогла объяснить классическая физика. Одним из таких явлений является тепловое
излучение тел. Любое тело излучает энергию в виде электромагнитных волн. Это
излучение называют тепловым, так как оно осуществляется за счет запасов внутренней
(тепловой) энергии тела. При невысоких (комнатных) температурах тела почти вся энергия
излучается им в невидимом для человека инфракрасном диапазоне спектра. При
температурах T~1000 К заметная доля энергии начинает излучаться телом и в видимом
(оптическом) диапазоне электромагнитных волн. Таким образом, в разных диапазонах волн и
при различных температурах одно и то же тело излучает различное количество энергии, т. е.
его излучательная способность –
количество энергии, излучаемой единичной
38
поверхностью тела за единицу времени в единичном интервале длин волн  зависит от
длины волны  и температуры T.
Особенности теплового излучения тел
удобно рассматривать на примере так
называемого абсолютно черного тела (АЧТ), т.
е. тела, которое полностью поглощает все
падающие на него электромагнитное излучение
любой длины волны при любой температуре. В
состоянии равновесия температура любого тела
должна оставаться постоянной, поэтому любое
тело (в том числе и АЧТ!) должно не только
поглощать, но и излучать энергию (количество
излучаемой и поглощаемой энергии в состоянии
равновесия должно быть одинаковым). В XIX
веке
экспериментальным
путем
было
установлено, что при повышении температуры АЧТ его излучательная способность (, T)
быстро увеличивается. При этом максимум излучательной способности смещается в сторону
более коротких волн (см. графики).
В 1884 году Л. Больцман, используя законы термодинамики (см. тему № 3),
теоретически показал, что энергетическая светимость АЧТ должна быть пропорциональна
четвертой степени температуры T:
(1)
R э  T 4 ,

где R э   (, T ) d  – энергетическая светимость АЧТ, т. е. количество энергии,
0
излучаемой единичной поверхностью АЧТ за единицу времени во всем диапазоне длин
волн. Формулу (1) называют законом Стефана-Больцмана, а величину =5,67 108
Вт/(м2К4)  постоянной Стефана-Больцмана (еще до Больцмана, в 1879 году И. Стефан,
анализируя экспериментальные данные, пришел к заключению, похожему на формулу (1),
поэтому закон (1) и называют законом Стефана-Больцмана). Формула (1) согласуется с
экспериментальными данными для (, T): рост температуры приводит к увеличению
излучательной способности (, T) (см. графики), а, следовательно, и к увеличению

энергетической
светимости
R э   (, T) d 
(согласно
геометрическому
смыслу
0
интеграла, энергетическая светимость Rэ равна площади под кривой (, T)).
В 1893 году В. Вин, используя законы классической электродинамики и
термодинамики, показал, что длина волны m, на которую приходится максимум
излучательной способности (, T), обратно пропорциональна температуре T:
m 
b
,
T
(2)
где b=2,9 103 Км – постоянная. Формулу (2) называют законом смещения Вина. В
соответствии с этим законом, увеличение температуры АЧТ приводит к смещению длины
волны m в область меньших значений, что согласуется с экспериментальными данными (см.
графики).
Несмотря на результаты, полученные Больцманом и Вином в рамках классической
электродинамики и термодинамики, многочисленные попытки получить теоретически вид
самой функции (, T) долгое время оставались безуспешными. Лишь в 1900 году М. Планку
удалось найти вид функции (, T), в точности соответствующий опытным данным. Для
этого ему пришлось сделать допущение, совершенное чуждое классическим представлениям,
а именно предположить, что энергия излучается телом не непрерывно, а наоборот,
39
прерывисто, в виде отдельных порций энергии – квантов энергии, величина которых
пропорциональна частоте излучения:
(3)
  h .
Здесь   энергия одного кванта,  
c
 частота излучения, h=6,631034 Джс – постоянная

Планка. Допущение Планка о квантовом характере излучения, позволила дать
исчерпывающее описание равновесного теплового излучения, в том числе получить
установленные ранее законы Стефана-Больцмана и Вина. Следует отметить, что гипотеза
Планка о квантах энергии вела к признанию наравне с атомизмом вещества атомизма
энергии, т. е. дискретного (квантового) характера электромагнитного излучения, что не
укладывалось в рамки представлений классической физики.
Квантовая гипотеза Планка получила дальнейшее развитие, прежде всего в работах А.
Эйнштейна. В 1905 году он выдвинул гипотезу о световых квантах. Эйнштейн
предположил, что дискретный (квантовый) характер присущ не только процессу
испускания света, но и самому свету. Иначе говоря, свет не только излучается, но и
распространяется, поглощается в виде квантов с энергией   h . При этом кванты могут
излучаться и поглощаться только целиком, поэтому они представляют собой не просто
порции энергии, а частицы света (корпускулы). Эти корпускулы Эйнштейн назвал
световыми квантами, теперь их называют фотонами.
Используя гипотезу о световых квантах, Эйнштейн объяснил основные закономерности
внешнего фотоэффекта, совершенно непонятные с точки зрения классической физики.
Внешний фотоэффект – это испускание электронов веществом под действием света. Это
явление было открыто Г. Герцем в 1887 году. Изучение внешнего фотоэффекта показало, что
1. электроны, вылетающие из вещества (металла) под действием света, обладают
кинетической энергией, которая зависит от частоты падающего на металл света, и не зависит
от его интенсивности;
2. для каждого металла существует так называемая красная граница фотоэффекта –
минимальная частота электромагнитной волны (света) 0, ниже которой фотоэффект
не наблюдается даже при достаточно большой интенсивности света.
С точки зрения классических (волновых) представлений сам факт вырывания
электронов из металла (фотоэффект) неудивителен. Электрон, поглощая энергию световой
волны, может накопить ее в количестве, достаточном для преодоления притягивающего
действия положительно заряженных ионов металла и может вылететь из него. Но если свет –
это волна, то кинетическая энергия вылетающих электронов должна зависеть от энергии
(интенсивности) поглощаемой ими световой волны. Так как интенсивность света не зависит
от частоты, то фотоэффект должен наблюдаться при любой частоте световых волн, т. е.
никакой красной границы фотоэффекта существовать не должно.
Все трудности в объяснении закономерностей фотоэффекта отпадают, если это явление
рассматривать на основе гипотезы о световых квантах. В соответствии с ней падающий на
металл свет представляет собой поток фотонов. Электрон металла поглощает фотон целиком
(фотоны – это частицы, их нельзя поглощать или излучать по частям) и приобретает всю
энергию этого фотона, т. е.   h . Часть этой энергии электрон затрачивает на то, чтобы
преодолеть притяжение ионов металла и выйти из него – совершить работу выхода.
Остальная часть поглощенной энергии переходит в кинетическую энергию вылетевшего
электрона. Кинетическая энергия электрона
mv 2
будет максимальной, если в процессе
2
выхода из металла он не будет сталкиваться с другими частицами и передавать им часть
своей энергии. Таким образом, из закона сохранения энергии следует, что
h  A 
40
mv 2max
,
2
(4)
где A – работа выхода электрона из металла, которая зависит от рода металла и состояния
его поверхности. Формулу (4) называют формулой Эйнштейна. Из нее следует, что
1. максимальная кинетическая энергия электрона действительно зависит от частоты
падающего на металл света и не зависит от его интенсивности. Это обусловлено тем, что
электрон поглощает лишь один фотон, энергия которого зависит только от частоты;
2. фотоэффект не наблюдается, если энергии поглощенного электроном фотона
недостаточно для выхода из металла, т. е. если h  A . Следовательно, существует красная
граница фотоэффекта, т. е. минимальная частота  0 
A
, ниже которой фотоэффект не
h
наблюдается. Минимальной частоте 0 соответствует максимальная длина волны
0 
c hc

0 A
(5)
Эту максимальную длину волны также называют красной границей фотоэффекта. Точная
экспериментальная проверка формулы Эйнштейна была осуществлена Ричардсоном и К.
Комптоном в 1912 году, а более тщательно – Р. Милликеном в 1916 году. Обе работы
подтвердили формулу (4). За работы по фотоэффекту Эйнштейну была присуждена
Нобелевская премия в 1921 году.
В 1922 году А.Комптон открыл явление, которое, как и фотоэффект, подтверждает
гипотезу о фотонах. Он обнаружил, что при прохождении через вещество электромагнитное
излучение начинает рассеиваться (отклоняться от первоначального направления
распространения), при этом длина волны   рассеянного излучения оказывается больше
длины волны  падающего на вещество излучения (    ). Явление, заключающееся в
изменении длины волны электромагнитного излучения в процессе рассеянии его
веществом, называют эффектом Комптона. Согласно классической физике, рассеяние
электромагнитных волн веществом не должно приводить к изменению их длины волны, т. е.
должно выполняться равенство    . Таким образом, классическая физика не могла
объяснить эффект Комптона.
Все встает на свои места, если электромагнитное излучение рассматривать не как
волну, а как поток частиц – фотонов. Так как фотоны всегда движутся со скоростью света
(фотоны – это частицы света), то согласно СТО (см. тему № 4, формулу (13)) они должны
обладать импульсом p 
c

, где   h – энергия фотона. Так как частота   , то
c

получается, что импульс фотона зависит от длины волны:
p
h

(6)
В процессе рассеяния электромагнитного излучения веществом,
фотоны сталкиваются с внешними (валентными) электронами
атомов вещества и передают им часть своего импульса и энергии
(можно считать, что электрон поглощает фотон с одной энергией и
импульсом и практически сразу излучает другой фотон, но уже с
меньшими энергией и импульсом). В результате импульс фотона
изменяется по модулю и по направлению  фотон отклоняется на
угол  от своего первоначального направления, т. е. рассеивается – см. рис. Так как импульс
h
h
после рассеяния меньше импульса фотона p ф 
до рассеяния (часть


  
импульса pe  p ф  pф была передана от фотона электрону – см. рис.), то получается, что
   . Используя законы сохранения энергии и импульса, можно доказать, что:
фотона pф 
41
     
h
1  cos ,
mec
(7)
т. е. разность длин волн рассеянного и падающего на вещество излучения зависит лишь от
угла рассеяния  . Формула (7) полностью согласуется с экспериментальными данными. В
ней me=9,11031 кг
– масса электрона. Величину  c 
h
 2,43 пм называют
mec
комптоновской длиной волны электрона. Эффект Комптона имеет место в любом
диапазоне электромагнитных волн, но наиболее он заметен в коротковолновом
рентгеновском диапазоне, когда длина волны падающего на вещество излучения по порядку
величины равна c:  ~  c ~  .
Из рассмотренных здесь и ранее световых явлений следует, что свету (и вообще
электромагнитному излучению) присущ корпускулярно-волновой дуализм (дуализм –
значит двойственность). В одних явлениях (интерференция, дифракция – см. тему № 2) свет
ведет себя как электромагнитная волна, т. е. проявляет свои волновые свойства. В других
случаях (тепловое излучение тел, фотоэффект, эффект Комптона) свет ведет себя как поток
частиц – фотонов, т.е. проявляет свои корпускулярные свойства. В 1924 году Л. де Бройль
предположил, что корпускулярно-волновой дуализм присущ не только электромагнитному
излучению, но и частицам материи (электронам, атомам, молекулам и т. д.). Согласно
гипотезе де Бройля, любая микрочастица должна вести себя как
какая-то волна (сам де Бройль ничего не говорил о физической
природе этих волн) и описываться некоторой функцией .
Волны, связанные с движущимися микрочастицами, и
описываемые функциями , отражающими квантовую природу
микрочастиц, называют волнами материи или волнами де
Бройля. Саму функцию  называют волновой функцией
микрочастицы. Длина волны  и частота  волн материи, согласно гипотезе де Бройля,
зависят от импульса p и энергии  микрочастицы:  

h
, 
(ср. с формулами (3) и (6)
p
h
для фотонов). В 1927 году гипотеза де Бройля была подтверждена экспериментально – Л.
Джермер и К. Дэвиссон наблюдали дифракцию электронов на монокристалле никеля
(дифракция – это явление, которое можно объяснить волновой природой дифрагирующих
объектов (в данном случае электронов), см., например, дифракцию света – тема № 2). В 1928
году Д.П. Томсон и независимо от него П.С. Тартаковский получили дифракционную
картину при прохождении электронного пучка через металлическую фольгу (см. рис.).
Экраном для наблюдения дифракции служила фотопластинка, так как электрон при ударе о
фотопластинку оказывает на нее такое же воздействие, как и свет. Электроны, ускоренные
электрическим полем, проходили сквозь фольгу и дифрагировали – отклонялись от
первоначального направления с образованием в одних местах фотопластинки максимумов, а
в других местах
минимумов интенсивности. Полученная с помощью электронов
дифракционная картина была полностью аналогична дифракционной картине, полученной с
помощью обычных электромагнитных (рентгеновских) волн. Позднее ученые наблюдали
дифракцию и других микрочастиц (атомов, молекул, нейтронов, протонов). Во всех случая
гипотеза де Бройля была полностью подтверждена – при дифракции микрочастицы вели себя
42
как волны с длиной волны  
p
mv
v2
1 2
c
h
. Согласно СТО, импульс микрочастицы равен:
p
(см. тему № 3, формулу (7)), поэтому получается, что
h
v2

1 2 .
mv
c
(8)
При небольших скоростях движения микрочастиц (v<<c) можно считать, что

h
.
mv
(9)
Здесь m – массы, а v – скорость микрочастицы. Величину , определяемую формулами (8)
или (9), называют длиной волны де Бройля микрочастицы.
После экспериментального подтверждения гипотезы де Бройля возник вопрос о
физической природе волн материи и связанных с ними волновых функций . Учеными были
высказаны различные идеи. Одна из таких идей, которой, в частности, недолгое время
придерживался Э. Шредингер, состояла в следующем. Никакого дуализма волн и частиц в
действительности не существует. Существуют только волны. Частицы же представляют
собой лишь волновой пакет, т. е. наложение множества волн друг на друга. Эти волны
способны усиливать друг друга в какой-то малой области пространства (в центре волнового
пакета), а вне этой области происходит их полное гашение. Центр волнового пакета и
представляет собой частицу. В рамках такой модели интенсивность волновой функции
рассматривалась как величина, пропорциональная плотности среды, из которой состоит
частица. Однако вскоре выяснилось, что волновой пакет не может вести себя как частица
долгое время. С течением времени он должен расплываться в пространстве. Таким образом,
частица, если бы она представляла собой центр волнового пакета, была бы неустойчива и
быстро распадалась бы. Это ни в коей мере не соответствует действительности.
Существовала и противоположная точка зрения, согласно которой первичными
являются не волны, а частицы. Волновые свойства, согласно этой точке зрения, отдельным
частицам не присущи. Они появляются лишь тогда, когда приходится иметь дело с
огромным числом частиц, подобно тому, как звуковая волна представляет собой колебания
сразу большого числа молекул воздуха. Однако прямыми опытами было доказано, что
волновые явления (дифракция, интерференция) наблюдаются и тогда, когда приходится
иметь дело не с целым пучком частиц, а с отдельными микрочастицами.
Таким образом, остается принять точку зрения, согласно которой всем микрочастицам
(фотонам, электронам, нейтронам, протонам, атомам, молекулам и т. д.) присущи
одновременно и корпускулярные и волновые характеристики. При этом в одних условиях
микрочастица проявляет свои корпускулярные свойства, а в других – волновые свойства.
В классической физике вещество и поле абсолютно противопоставлялись друг другу
как две различные формы материи (см. тему № 2). Корпускулярно-волновой дуализм в
определенной мере устраняет это разделение, поскольку каждый материальный объект
сочетает в себе как свойства частиц (вещества), так и свойства волн (поля).
Чтобы совместить друг с другом корпускулярные и волновые свойства микрочастицы,
М. Борном еще в 1926 году была предложена статистическая (вероятностная) интерпретация
волн де Бройля и связанных с ними волновых функций . Эта интерпретация принята и в
настоящее время. Согласно статистической интерпретации, сама волновая функция 
никакого физического смысла не имеет (функция , как правило, является комплексной
функцией координат и времени, а комплексные функции содержат мнимую единицу
i   1 и никакого реального смысла иметь не могут). Однако физический смысл имеет
43
квадрат модуля волновой функции
     * , где *  функция, комплексно
2
сопряженная с волновой функцией . Согласно статистической интерпретации, значение
квадрата модуля волновой функции 
в каком-то месте пространства
пропорционально вероятности обнаружить микрочастицу в этом месте пространства.
Так как в соответствии с интерпретацией Борна движение микрочастиц носит вероятностный
характер, то мы не можем указать однозначно положение микрочастицы в любой момент
времени (мы можем указать лишь вероятность того, что микрочастица находится в
интересующей нас области пространства). Такое положение вещей приводит к тому, что
понятие «траектория движения» для микрочастицы теряет свой смысл. Например, нельзя
утверждать, что электрон в атоме движется по определенной траектории, так как для
построения траектории движения необходимо однозначно указать положение электрона в
атоме в различные моменты времени. Таким образом, квантовая теория, в отличие от
классической механики и классической электродинамики не является динамической
теорией, позволяющей однозначно указать состояние системы в любой момент времени.
Квантовая теория, как и кинетическая теория газов (см. тему № 3), относится к
статистическим теориям, которые позволяют найти лишь вероятности тех или иных
событий, относящихся к отдельным частицам (например, найти вероятность обнаружения
электрона в той или иной области пространства).
Используя статистическую интерпретацию волн де Бройля и связанных с ними
волновых функций , можно объяснить наличие у микрочастиц волновых свойств и, в
частности, объяснить дифракцию электронов при прохождении через металлическую
фольгу. В какое место фотопластинки попадет отдельный электрон, с достоверностью
указать невозможно; это можно сделать только с той или иной степенью вероятности
(вероятность попадания электрона в интересующее нас место фотопластинки
2
пропорционально квадрату модуля его волновой функции  в этом месте). Отдельный
электрон оставляет на фотопластинке (после ее проявления) пятнышко. Если электронов
мало, то фотопластинка будет напоминать мишень, простреленную небольшим количеством
пуль. В расположении пятнышек на фотопластинке не обнаружится никакой
закономерности. Закономерность выявится статистически, т. е. когда на фотопластинку
попадет очень много электронов. Дифракционные максимумы на фотопластинке окажутся в
тех местах, куда чаще попадают электроны, т. е. туда, где большее значение имеет квадрат
2
модуля волновой функции  электрона. Пока электрическое отталкивание между
электронами мало, дифракционная картина получается одной и той же независимо от того,
образуется ли она электронами, поодиночке проходящими через металлическую фольгу, или
сразу интенсивным пучком одинаково ускоренных электронов, в котором содержится то же
число частиц.
Из сказанного следует, что в квантовой теории основной функцией, описывающей
состояние микрочастицы, ее корпускулярные и волновые свойства, является волновая
2
функция . Зная ее, можно найти вероятность  обнаружения микрочастицы в
интересующей нас области пространства, а также определить значения некоторых
измеримых величин (например, энергии микрочастицы). Волновую функцию микрочастицы
находят, решая основное уравнение нерелятивистской квантовой механики, которое
называют уравнением Шредингера. Это уравнение можно представить в виде:
2
Ĥ  i
Здесь  

,
t
(10)
h
 1,05  10 34 Джс – постоянная Планка, i   1  мнимая единица Ĥ 
2
оператор полной энергии, который, как и сама волновая функция , не имеет физического
44
смысла и не является наблюдаемой величиной, непосредственно измеряемой в эксперименте.
Уравнение (10) было предложено Э. Шредингером в 1926 году и играет в квантовой
механике такую же фундаментальную роль, как второй закон Ньютона в классической
механике и уравнения Максвелла в классической электродинамике. Если известна волновая
функция микрочастицы в некоторый начальный момент времени, то с помощью уравнения
(10) можно найти волновую функцию в любой последующий момент времени t , а затем уже
определить вероятность  обнаружения микрочастицы в интересующей нас области
пространства (а не точное ее положение). В этом заключается особенность принципа
причинности в квантовой механике.
Сердцевиной квантовой механики является принцип неопределенности. Он был
сформулирован в 1927 году В.Гейзенбергом. Принцип неопределенности связан с
процедурой измерения характеристик микрочастиц, которая, как выяснилось, радикально
отличается от процедуры измерения в классической механике. Вследствие того, что сведения
о микрочастице, ее измеримых в опыте характеристиках получают в результате
взаимодействия микрочастицы с классическим прибором (макрообъектом), микрочастицу
можно интерпретировать только в классических понятиях, т. е. использовать классические
представления о волне и о частице. Мы как бы вынуждены говорить на классическом языке,
хотя с его помощью нельзя выразить все особенности микрочастицы, которая не является
классическим объектом. На самом деле микрочастица (например, электрон) имеет
корпускулярно-волновую природу, ее состояние определяется неизмеряемой в опыте
волновой функцией . Микрочастица с той или иной вероятностью может быть обнаружена
в любой точке пространства, в которой ее волновая функция отлична от нуля. Микрочастица
как бы «размазана» в пространстве. Попытка уточнить положение (координаты)
микрочастицы в процессе измерения неизбежно ведет к потере точности в измерении ее
импульса, и наоборот. Например, можно измерить положение электрона в процессе его
взаимодействия с потоком фотонов. Но при определении положения электрона фотон дает
погрешность, равную длине его волны . Поэтому для более точного измерения координат
(положения) электрона необходимо использовать фотоны с малой длиной волны , а, значит,
2
с большим импульсом p 
h
. Такие фотоны в процессе взаимодействия с электроном

способны сильно изменить его импульс, т. е. внести большую погрешность в импульс
электрона. Если же использовать фотоны с малой длиной волны, то это приведет к
уменьшению точности в измерении координат электрона. Невозможность одновременного
точного измерения координат и импульса микрочастицы и нашла свое отражение в
соотношении неопределенностей, которое имеет вид:
x  p x 

,
2
(11)
где x – неопределенность координаты x (т. е. погрешность, с которой можно измерить
координату x микрочастицы); px – неопределенность проекции импульса px (т. е.
погрешность, с которой можно измерить проекцию импульса px этой же микрочастицы). В
формуле (11) значения x и px относятся к одному и тому же моменту времени. Увеличение
точности в измерении координаты x (т. е. уменьшение x), согласно (11), ведет к
уменьшению точности в измерении проекции импульса px (к увеличению px), и наоборот.
Вообще, как показывает анализ поведения микрочастицы, попытка уточнить одни ее
характеристики неизбежно ведет к потере точности в измерении других ее характеристик.
Поэтому существует целое множество соотношений неопределенностей, аналогичных
формуле (11), для различных пар физических величин. Например, для энергии  и времени t
справедливо неравенство:
45

  t  .
2
(12)
Подводя итог, можно констатировать, что квантовая механика существенно отличается
и от классической механики и от релятивистской физики по многим параметрам. Среди них:
исключительная абстрактность квантово-механических формализмов (оператор полной
энергии Ĥ и волновая функция  не являются наблюдаемыми величинами и не имеют
физического смысла), необходимость интерпретации этих формализмов, вероятностностатистический характер описания, замена динамических закономерностей статистическими,
отсутствие понятия траектория, активная роль измерительного прибора, выделяющего
микрообъект как волну или как частицу и др. Между тем, за относительно короткое время
квантовая механика нашла применение при решении большого круга не только
теоретических, но и практических задач. Прежде всего это касается объяснения строения
атомов и молекул, Периодической системы элементов, химической связи. Квантовая теория
способствовала созданию теорий твердого тела, сверхтекучести, сверхпроводимости и т. д.
В дальнейшем квантовая теория стала базой для ядерной физики и физики элементарных
частиц, квантовой электроники и др.
Примеры решения задач.
Задача № 1.
Определите, во сколько раз изменится мощность излучения АЧТ, если длина волны,
соответствующая максимуму излучательной способности, сместится с 720 нм до 400 нм.
Решение
Мощность P теплового излучения АЧТ (энергия, излучаемая всей поверхностью АЧТ
за единицу времени) пропорциональна его энергетической светимости RT:
P  R TS ,
где S – площадь поверхности АЧТ (согласно определению, энергетическая светимость – это
энергия, излучаемая единичной поверхностью АЧТ за единицу времени). Используя закон
Стефана-Больцмана, выражение для мощности можно представить в виде:
P  R TS  T 4S .
Изменение длины волны m со значения m1= 720 нм до значения m2= 400 нм обусловлено
увеличением температуры АЧТ. Согласно закону смещения Вина, начальная температура
АЧТ равна:
T1 
b
.
 m1
T2 
b
 m2
Аналогично, конечная температура АЧТ
Следовательно,
4
4
P2  T2    m1 
  10,5
  
P1  T1    m 2 
 мощность излучения АЧТ увеличится в 10,5 раз.
Задача № 2.
При какой скорости дебройлевская длина волны микрочастицы равна ее комптоновской
длине волны?
Решение
Комптоновская длина волны микрочастицы массы m равна:
46
c 
h
.
mc
Длина волны де Бройля этой же микрочастицы равна:

h
v2
1 2 .
mv
c
Приравнивая оба равенства, получим, что
1 1
v2

1 2
c v
c
или
v  c 1
v2
.
c2
Отсюда следует, что
v2  c2  v2 ,
т. е. v 
c
 0,707 c , где с=300.000 км/с – скорость света в вакууме.
2
Задачи
Задача 1 (С 6.10).
Принимая Солнце за АЧТ, определите: а) температуру его поверхности; б) энергию,
излучаемую Солнцем за 1 секунду в виде электромагнитных волн; в) массу, теряемую
Солнцем за это же время вследствие излучения энергии; г) примерное время, в течение
которого масса Солнца уменьшилась бы на 1 %, если бы температура Солнца оставалась бы
постоянной. Максимум излучательной способности Солнца приходится на длину волны 500
нм. Радиус Солнца равен 6,96108 м, масса Солнца 1,981030 кг.
Задача 2 (Т5.203).
Красная граница фотоэффекта для некоторого металла равна 500 нм. Определите: а)
работу выхода электрона из этого металла; б) максимальную скорость электрона,
вырываемого из этого металла светом с длиной волны 400 нм. Масса электрона равна
9,11031 кг.
Задача 3 (Т5.209).
Фотоны с энергией 5 эВ вырывают электроны из металла с работой выхода 4,7 эВ.
Определите максимальный импульс, передаваемый поверхности этого металла при вылете
электрона.
Задача 4.
Определите, с какой скоростью должен двигаться электрон, чтобы его импульс был
равен импульсу фотона с длиной волны а) 500 нм; б) 2 пм. Масса электрона равна 9,11031
кг.
Задача 5.
Определите длину волны рентгеновского излучения, если при комптоновском
рассеянии этого излучения под углом 60 длина волны рассеянного излучения оказалась
равной 57 пм. Масса электрона равна 9,11031 кг.
Задача 6 (С6.30).
47
Фотон длины волны 700 нм (видимая область спектра) рассеивается под углом 90 на
свободном покоящемся электроне. Определите: а) какую долю первоначальной энергии
теряет при этом фотон; б) какую скорость приобретает электрон?
Задача 7.
Определите длину волны де Бройля для протона с кинетической энергией 100 эВ.
Масса протона 1,6721027 кг.
Задача 8 (С6.96).
Поток летящих параллельно друг другу электронов, имеющих скорость 1,00106 м/с,
проходит через щель ширины 0,0100 мм. Определите ширину центрального дифракционного
максимума, наблюдаемого на экране, отстоящем от щели на расстояние 1,00 м, и сравните ее
с шириной щели.
Задача 9.
Определите, можно ли одновременно измерить положение электрона с точностью
порядка диаметра атома водорода (примерно 100 пм) и его скорость с точностью до 1%, если
кинетическая энергия электрона равна 200 эВ. Масса электрона равна 9,11031 кг.
Задача 10 (Т6.67).
Применяя соотношение неопределенностей, покажите, что для движущейся частицы,
неопределенность координаты которой равна длине волны де Бройля, неопределенность
скорости равна по порядку величины самой скорости частицы.
Задача 11 (Т6.71).
Длина волны, излучаемого атомом фотона составляет 0,6 мкм. Считая, что время жизни
атома в возбужденном состоянии равна 108 с, определите отношение естественной ширины
энергетического уровня E, на который был возбужден электрон, к энергии, излученной
атомом.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Вопросы для самопроверки.
Что такое тепловое излучение тел? Излучательная способность тела?
Какое тело называют абсолютно черным (АЧТ)? Существуют ли в природе
АЧТ? Может ли АЧТ излучать свет?
Что такое энергетическая светимость тела? Запишите закон СтефанаБольцмана.
Дайте формулировку закона смещения Вина.
Как вышеупомянутые законы были установлены?
В чем заключалась гипотеза Планка относительно теплового излучения?
Выразите энергию кванта через частоту, круговую частоту и длину волны.
Какие явления подтверждают гипотезу Планка о квантах энергии?
Что такое внешний фотоэффект?
В чем заключалась гипотеза Эйнштейна о световых квантах (фотона)?
Запишите уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта, поясните смысл
входящих в него величин.
Сформулируйте основные закономерности фотоэффекта, объясните их,
используя уравнение Эйнштейна.
В чем заключается эффект Комптона? Как объясняет этот эффект квантовая
теория?
Выразите импульс фотона через частоту, круговую частоту и длину волны.
Как Вы понимаете, что такое корпускулярно-волновой дуализм?
В чем заключается гипотеза де Бройля? Какие эксперименты ее подтверждают?
48
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
Что такое волны материи (волны де Бройля)? Какие физические трактовки волн
материи были предложены в начале XX века?
В чем состоит смысл волновой функции согласно интерпретации Борна?
Как можно объяснить опыты по дифракции микрочастиц, используя
статистическую интерпретацию волновой функции?
Чем динамические теории отличаются от статистических, приведите примеры
тех и других теорий.
Что изучает квантовая механика? Какую роль играет уравнение Шредингера в
квантовой механике? Поясните смысл входящих в него величин. Все ли из них
могут быть измерены в опыте?
В чем заключается особенность принципа причинности в квантовой механике?
В чем заключается смысл соотношений неопределенностей? Приведите
примеры.
Тема № 6.
Основные представления квантовой теории атома.
Знать:
- модели атома Томсона, Резерфорда, Бора;
-постулаты Бора
Теоретические сведения.
Идея об атомном строении вещества возникла в глубокой древности. Она в различной
форме высказывалась разными философами, физиками и химиками. В частности, еще
древнегреческий философ Демокрит (около 460 – 370 гг. до н. э.), основоположник
античного материализма, полагал, что окружающий мир состоит из мельчайших,
неделимых, совершенно плотных и непроницаемых частиц – атомов, которые беспорядочно
движутся в пустоте. Атомы, по представлениям Демокрита, никогда не возникают и никогда
не исчезают, они вечны и неизменны. Атомы бывают самой разнообразной формы –
шарообразные, угловатые, крючкообразные, вогнутые, выпуклые и т. д. Атомы различны по
размерам. Они невидимы, невоспринимаемы чувствами (вследствие своей, как правило,
малой величины), их можно только мыслить. В процессе движения в пустоте атомы
сталкиваются друг с другом и сцепливаются. Сцепление большого количества атомов
приводит к образованию тел. Уничтожение тел объясняется разделением их на атомы, а
изменение тел – изменением порядка и положения (поворотом) атомов в телах. Таким
образом, если атомы вечны и неизменны, то тела преходящи и изменчивы.
До XIX века конкретные представления об атомах и молекулах, а также физические
теории, создававшиеся на их основе, были довольно наивными и относились скорее к
области фантазии, чем к науке. Атомы представляли себе, например, как шестеренки с
зубцами, с помощью которых передается вращение от одного атома к другому. Законы
механики Ньютона для описания движения атомов, по существу, не использовались. Все
рассуждения носили качественный характер и основывались на сомнительных
предположениях.
В начале XIX века гипотеза об атомно-молекулярном строении вещества получила
убедительное подтверждение в химии в результате открытия закона постоянства состава,
закона кратных отношений и других законов стехиометрии (см. тему № 9).
В физике строго научное развитие атомно-молекулярной теории началось примерно со
второй половины XIX века, главным образом благодаря трудам Р. Клаузиуса, Дж. Максвелла
и Л. Больцмана, в которых были заложены основы кинетической теории газов (см. тему №
3). Выводы этой теории сопоставлялись с экспериментальными данными и поэтому выгодно
отличались от наивных умозрительных представлений предшествовавших атомистов. Тем не
менее, до начала XX века гипотеза о существовании атомов оставалась лишь гениальной
догадкой, не имевшей прямых экспериментальных доказательств. Ведь непосредственно
49
рассмотреть атомы в световой микроскоп невозможно, так как их размеры (r~1010 м)
значительно меньше длины световых волн (~107 м).
В 1895 году В. Рентген открыл невидимые лучи, получившие впоследствии название
рентгеновских. Оказалось, что рентгеновские лучи, как и свет, представляют собой
электромагнитные волны (фотоны), но с гораздо меньшей длиной волны (~10111010 м). В
начале XX века научились получать рентгенограммы – зарегистрированные на
фотопластинке или фотопленке изображения микрообъектов, возникающие в результате
взаимодействия этих микрообъектов с рентгеновским излучением. Исследуя
рентгенограммы, удается установить координаты атомов в кристаллах, определить
характеристики тепловых колебаний этих атомов (в том числе анизотропию и отклонения от
гармонического закона), определить пространственное распределение плотности валентных
электронов на химических связях в кристаллах и молекулах. Рентгеновскими методами
исследуются металлы и сплавы, минералы, неорганические и органические соединения,
белки, нуклеиновые кислоты, вирусы. Специальные рентгеновские методы используются для
изучения полимеров, аморфных материалов, жидкостей, газов.
Первоначально на атомы смотрели как на мельчайшие неделимые частицы вещества (в
переводе с греческого слово «атом» означает «неделимый»). Однако к концу XIX столетия
накопилось немало доказательств того, что это не так. Наличие химического сродства,
результаты исследования электролиза (электролиз – это химическое разложение некоторых
веществ (электролитов) на составные части под действием электрического тока) и, особенно,
открытие Дж. Дж. Томсоном электрона в 1897 году свидетельствовали в пользу того, что
атомы имеют сложное строение. Из открытия Дж. Дж. Томсона следовало, что атомы всех
веществ должны содержать электроны. Но как отрицательно заряженные электроны
располагаются в электрически нейтральных атомах? Одной из первых моделей строения
атома стала модель, предложенная Дж. Дж. Томсоном в 1903 году. Согласно этой модели,
атом представляет собой равномерно заполненный положительным электричеством шар,
внутрь которого вкраплены электроны, так что атом напоминает пудинг с изюмом.
Суммарный заряд отрицательно заряженных электронов равен по модулю положительному
заряду шара, поэтому в целом атом нейтрален. Радиус атома, как показывали расчеты,
выполненные в рамках модели Дж. Дж. Томсона, равен примерно 1010 м. Это значение
совпадало по порядку величины с газокинетическими размерами атомов, что можно было бы
рассматривать как подтверждение модели Дж. Дж. Томсона. Однако в дальнейшем
выяснилась несостоятельность этой модели. Она, в частности, не смогла объяснить
особенности атомных спектров.
Атомы способны поглощать и излучать свет. Но в отличие от белого света, в котором
содержатся волны со всевозможными значениями  из оптического диапазона, у
невзаимодействующих атомов спектр является не сплошным, а линейчатым, т. е. состоит из
отдельных линий, каждой из которых
соответствует определенная длина волны .
При этом линии в спектре располагаются не
беспорядочно, а объединяются в группы
(серии). Наиболее отчетливо это проявляется
в спектре простейшего атома  водорода (см. рис.). Как было установлено в начале XX века,
длины волн всех линий спектра атомарного водорода описываются обобщенной формулой
Бальмера, которая имеет вид:
1
1 
 1
 R 2  2  ,
(1)

m 
n
Здесь R=1,097107 м1 – постоянная Ридберга, а n и m – целые числа (n<m). Каждой линии в
спектре водорода соответствует определенное значение , а, следовательно, определенные
значения n и m. Линии, которым соответствует значение n=1 и m=2, 3, 4…, относятся к
серии Лаймана, эти линии располагаются в ультрафиолетовой области спектра; линии,
50
которым соответствует значение n=2 и m=3, 4, 5…, относятся к серии Бальмера, эти линии
располагаются в основном в видимой (оптической) области спектра; линии, которым
соответствует значение n=3 и m=4, 5, 6…, относятся к серии Пашена, они располагаются в
инфракрасной области спектра и т. д. Попытки объяснить особенности расположения линий
в спектре водорода и обобщенную формулу Бальмера на основе модели атома Дж. Дж.
Томсона, успехом не увенчались.
В 1909 году Э. Резерфорд с ассистентами проводили опыты по рассеянию альфа-частиц
(-частиц) на тонкой металлической фольге (толщина фольги была менее 1 мкм). Альфачастицами называют частицы, испускаемые некоторыми веществами при радиоактивном
распаде (см. тему № 8). Скорости -частиц, вылетающих при распаде радиоактивных
веществ, достигают высоких значений (примерно107 м/с). В то время, когда Э. Резерфорд
приступал к своим опытам, было известно, что -частицы имеют положительный заряд,
равный удвоенному элементарному заряду. В ходе опытов большинство -частиц проходило
сквозь тонкую металлическую фольгу, почти не отклоняясь. Однако некоторые из них
рассеивались (отклонялись) на очень большие углы (почти на 180). Проанализировав
результаты опыта, Э. Резерфорд пришел к выводу, что столь сильное отклонение -частиц
нельзя объяснить в рамках модели атома Дж. Дж. Томсона. Оно должно быть обусловлено
существованием внутри атома чрезвычайно сильного электрического поля, которое
создается положительным зарядом, связанным с большой массой и сконцентрированным в
очень малом объеме атома. Поэтому в 1911 году Э. Резерфорд предложил планетарную
модель атома (строго говоря, похожую модель строения атома предлагали еще до Э.
Резерфорда некоторые ученые (Нагаока, Дж. Стони и другие), однако их гипотезы были
сугубо умозрительными, тогда как идея Э. Резерфорда основывалась на эксперименте).
Согласно этой модели, атом состоит из положительно заряженного ядра, размеры которого
значительно меньше размеров самого атома (радиус атома примерно равен 10 10 м, в то
время как радиус ядра составляет 1015  1014 м). Вокруг ядра вращаются отрицательно
заряженные электроны под действием сил кулоновского притяжения. Э. Резерфорд полагал,
что число электронов в атоме должно быть равно порядковому номеру Z атома в таблице
Менделеева. Общий заряд атома равен нулю, так как суммарный заряд всех электронов – Ze
компенсируется положительным зарядом ядра + Ze. Хотя ядро имеет очень малые размеры,
его масса значительно больше суммарной массы электронов, поэтому оно остается
неподвижным, несмотря на взаимное притяжение ядра и электронов. Таким образом,
согласно модели, предложенной Э. Резерфордом, атом напоминает миниатюрную
Солнечную систему, в которой роль неподвижного Солнца выполняет ядро, а роль
вращающихся планет играют электроны.
Используя планетарную модель атома, Э. Резерфорд смог объяснить результаты опытов
по рассеянию -частиц. Так как размеры ядра очень малы, то большинство -частиц,
пролетая сквозь фольгу, проходят на значительном расстоянии от атомных ядер и почти не
отталкиваются ими. Лишь некоторые -частицы испытывают «центральное соударение» с
ядром. Именно эти -частицы испытывают сильное рассеяние на металлической фольге,
отклоняясь практически в противоположную сторону (почти на 180) из-за сильного
отталкивания от ядра (-частица и ядро имеют положительный заряд, поэтому они должны
отталкиваться друг от друга). Расчеты, выполненные в рамках планетарной модели атома,
хорошо согласовывались с результатами опытов Э. Резерфорда. Однако планетарная модель
атома, также как и модель Дж. Дж. Томсона, не могла объяснить вид атомных спектров, в
том числе и обобщенную формулу Бальмера. Кроме того, планетарная модель атома
противоречила законам классической физики, согласно которым, атом, если он
действительно напоминает миниатюрную Солнечную систему, должен излучать энергию в
виде электромагнитных волн (поскольку электроны в атоме движутся по круговым орбитам,
т. е. с ускорением, то они должны излучать электромагнитные волны  см. тему № 2). При
этом спектр излучения атомов должен был быть сплошным (в действительности спектр был
51
линейчатым). Израсходовав всю энергию на излучение, электроны атома должны
остановиться, а затем упасть на ядро под действием сил кулоновского притяжения. На самом
деле этого не происходит, и атомы являются устойчивыми образованиями.
Для объяснения устойчивости атомов и линейчатого характера атомных спектров Н.
Бором в 1913 году была предложена более совершенная квантовая модель атома. Н. Бор взял
за основу планетарную модель атома Э. Резерфорда, дополнив ее двумя постулатами,
которые, однако, противоречат классическим представлениям.
Первый постулат: из бесконечного множества электронных орбит в атоме,
возможных с точки зрения классической физики, в действительности реализуются
только некоторые орбиты, удовлетворяющие условию квантования (см. далее).
Электрон, находящийся в атоме на одной из таких орбит, не излучает
электромагнитные волны (свет), несмотря на то, что он движется с ускорением.
Второй постулат: атом может излучать или поглощать энергию в виде светового
кванта только при переходе электрона с одной орбиты на другую. Энергия светового
кванта h (h – постоянная Планка,   частота световой волны – см. тему № 5) равна
разности энергий начального Em и конечного En состояний электрона в атоме:
h  E m  E n .
(2)
Используя гипотезу М. Планка о квантах энергии (см. тему № 5), Н. Бор получил
условие квантования, которое позволяет определить, какие именно круговые орбиты
реализуются в атоме. Это условие называют правилом квантования круговых орбит, оно
имеет вид:
Ln ,
(3)
где L  me vn rn  орбитальный момент импульса электрона (me – масса электрона, vn – его
скорость на n-ой орбите, rn  радиус n-ой орбиты электрона), n=1, 2, 3,…  номер
h
 1, 05 1034 Джс – постоянная Планка (не путать с
электронной орбиты в атоме, 
2
величиной h  6, 63 1034 Джс, которую также называют постоянной Планка). Итак,
согласно условию (3) из всех электронных орбит, возможных с точки зрения классической
физики, в действительности осуществляются только те, для которых орбитальный момент
импульса равен целому кратному постоянной Планка .
Постулаты и правило квантования (3) Н. Бор использовал для расчета простейшего
атома – водорода, в состав которого входит только один электрон. Н. Бору удалось
объяснить спектра атома водорода и обосновать формулу Бальмера (1), что подтверждало
справедливость выдвинутых им постулатов. Из основных положений теории Н. Бора
следовало, что радиус rn орбиты электрона в атоме водорода может принимать не любые, а
только некоторые (дискретные) значения:
rn  52,9  n 2 (пм),
(4)
(номер орбиты n может иметь только целые значения: n=1, 2, 3,…). Кроме того, согласно
теории Н. Бора полная энергия En электрона в атоме водорода квантуется, т. е. тоже
принимает лишь дискретные значения:
13, 6
E n   2 (эВ).
(5)
n
Число n=1, 2, 3,… определяет не только номер электронной орбиты, но и значения полной
энергии электрона в атоме, по этой причине число n называют главным квантовым
числом. Состояние атома с наименьшей энергией (n=1) называют основным, а все
остальные состояния (n=2, 3, 4,…)  возбужденными. Существование у атомов дискретных
значений энергии было подтверждено экспериментально в 1914 году в опытах Дж. Франка и
Г. Герца, что явилось еще одним подтверждением справедливости постулатов Н. Бора.
Однако после первых успехов все отчетливее стали выявляться и недостатки теории Н.
Бора. Она не смогла объяснить спектр многоэлектронных атомов, в том числе и спектр
52
гелия, – одного из простейших атомов, непосредственно следующего за атомом водорода.
Самой слабой стороной теории Н. Бора была ее внутренняя логическая противоречивость:
она не была ни последовательно классической, ни последовательно квантовой теорией. С
одной стороны, теория Н. Бора использовала классические представления о движении
электронов в атомах (движение электрона по определенным траекториям и т. п.), с другой
стороны, она опиралась на новые (квантовые) постулаты, которые противоречили
классической физике. Постулаты Н. Бора имели характер непонятных, ни откуда не
следуемых утверждений (эти постулаты получили свое обоснование только после создания
квантовой механики).
После открытия волновых свойств вещества (см. тему
№ 5) стало совершенно ясно, что атом является квантовомеханической системой и подчиняется принципу
корпускулярно-волнового дуализма. Состояние электрона в
атоме описывается волновой функцией, которая, как
известно, имеет вероятностную интерпретацию. Прежде
всего, это значит, что движение электрона нельзя
рассматривать как движение материальной точки по
определенной круговой траектории (как это было в теории
Н. Бора). Электрон с той или иной вероятностью может
быть обнаружен на разных расстояниях от ядра, он как бы
«размазан» в пространстве, поэтому в квантово-механических моделях электрон в атоме
представляют не как материальную точку, а как электронное облако. Наибольшую плотность
электронное облако имеет в тех областях пространства, где наиболее высока вероятность
обнаружения электрона. Форма электронного облака может быть различной (см. рис.) в
зависимости от состояния электрона (s-, p-, d-состояния электрона отличаются друг от друга
значениями энергии, момента импульса и других характеристик – см. тему № 7).
Подводя итог, можно констатировать, что представления об атомах как о мельчайших
неделимых частицах вещества оказались неверными. Атом является сложной системой,
состоящей из ядра и движущихся вокруг него электронов. Атомизм проявляется не в том,
что атомы неделимы, а в том, что все атомы (а также элементарные частицы) одного и того
же вида абсолютно тождественны и характеризуются вполне определенными признаками.
У атомов такими признаками являются масса, заряд ядра, число электронов, спектр
излучения и пр. В макромире подобной тождественности не существует – нельзя обнаружить
двух абсолютно одинаковых тел. Атомизм проявляется также в том, что внутренние
состояния атомов не непрерывны, а дискретны. Энергия электронов атома, их орбитальный
момент импульса и т. п. могут принимать не непрерывный, а лишь дискретный ряд значений
(см., например формулы (3) и (5) для атома водорода). Обычно атом находится в основном
состоянии с минимальной энергией. Для того, чтобы перевести атом в ближайшее
возбужденное состояние требуется внешнее воздействие и затрата энергии. Если этой
энергии недостаточно, то после прекращения воздействия внутреннее состояние атома
окажется в точности таким же, каким оно было до воздействия. Дискретность возможных
состояний атомов и является той физической, хотя ранее и не осознававшейся причиной,
которая позволила химикам прийти к представлению о неделимости атомов и дала
возможность физикам в кинетической теории газов (см. тему № 3) рассматривать атомы как
неизменяемые материальные точки или идеально твердые шарики. Однако при увеличении
энергии внешних воздействий, например, при повышении температуры газа, становятся
возможными переходы атомов (и молекул) в возбужденные состояния и подобные
классические представления становятся недействительными. Так, при температурах 1000 –
3000 К молекулы начинают диссоциировать, т. е. распадаться на атомы. При температурах
порядка 104 К и выше начинается ионизация, т. е. распад атомов на электроны и ионы. При
температурах порядка 107-108 К начинаются термоядерные реакции, т. е. процессы слияния и
53
распада атомных ядер. Все эти процессы свидетельствуют о сложном строении атомов и
молекул.
Примеры решения задач.
Задача № 1.
Используя выражения (2) и (5), получите обобщенную формулу Бальмера (1).
Решение.
Согласно второму постулату Бора, атом водорода излучает или поглощает световой
квант только при переходе электрона из состояния (с орбиты) с энергией Em в состояние (на
орбиту) с энергией En. Согласно формуле (5),
13, 6
E n   2 (эВ).
n
Аналогично,
13, 6
E m   2 (эВ).
m
c
Здесь n и m – целые числа. Так как частота излучаемого или поглощаемого кванта   , то

формулу (2) можно представить в виде:
hc
1 
 1
 13, 6  2  2  (эВ).

m 
n
Отсюда
1 13, 6  1
1 

 2  2  (эВ).

hc  n
m 
Подставляя в последнюю формулу численные значения h и c ( h  6, 626 1034 Джс,
c  2,998 108 м/с), и учитывая, что 1эВ=1,6021019 Дж, получим:
1
1 
 1
 1, 097 107  2  2  (м1).

m 
n
Это и есть обобщенная формула Бальмера (1).
Задача № 2.
Максимальная длина волны спектральной водородной линии серии Лаймана max1=0,12
мкм. Предполагая, что постоянная Ридберга неизвестна, определите максимальную длину
волны серии Бальмера max2.
Решение.
Так как возникновение спектральных линий, относящихся к серии Лаймана,
обусловлено переходами электрона из возбужденных состояний (m=2, 3, 4, …) в основное
(n=1), то обобщенную формулу Бальмера для этой серии можно представить в виде:
1
1 

 R 1  2  , m=2, 3, 4, …

 m 
Наибольшей длине волны в серии Лаймана соответствует случай m=2, поэтому
1
1 3

 R 1  2   R .
max1
 2  4
Тогда неизвестную (по условию задачи) постоянную Ридберга можно найти по формуле:
4
R
.
3max1
Появление линий, относящихся к серии Бальмера, обусловлено переходами электрона из
состояний с m=3, 4, 5, 6, … в состояние с n=2, поэтому для этой серии обобщенная формула
Бальмера принимает вид:
54
1 1 
 R   2  , m=3, 4, 5, 6, …

4 m 
Наибольшей длине волны в серии Бальмера соответствует случай m=3, поэтому
1
1 1  5
 R  2   R .
max 2
 4 3  36
4
Так как R 
, то получается, что
3max1
27max1
max 2 
 0, 648 (мкм).
5
1
Задачи.
Задача 1 (Т475).
Определите максимальную и минимальную длины волн, а также максимальную и
минимальную энергии фотонов в видимой области спектра водорода (серии Бальмера).
Задача 2 (Т479).
Определите число спектральных линий,
возбужденным на n-й энергетический уровень.
испускаемых
атомарным
водородом,
Задача 3 (Т482).
Определите изменение орбитального момента импульса электрона в атоме водорода
при переходе его из возбужденного состояния в основное с испусканием фотона с длиной
волны 1,02107 м.
Задача 4 (Т484).
Определите скорость и частоту f вращения электрона по третьей боровской орбите
атома водорода. Масса электрона равна 9,11031 кг.
Задача 5 (Т485).
Определите частоту света , излучаемого атомом водорода, при переходе электрона на
уровень с главным квантовым числом n=2, если радиус орбиты электрона изменился в k=9
раз.
Задача 6 (Т487).
Определите работу, которую необходимо совершить, чтобы удалить электрон со второй
боровской орбиты атома водорода за пределы притяжения его ядром.
Задача 7 (Сивухин, задачник, т. 5, с. 14).
Будет ли атом водорода поглощать излучение частоты   2Rc ? (R – постоянная
Ридберга, c – скорость света в вакууме)
Задача 8 (Сивухин, задачник, т. 5, с. 14).
Первоначально неподвижный атом водорода испустил фотон с частотой,
соответствующей линии с наибольшей длиной волны в серии Лаймана. Найдите скорость
атома водорода после излучения фотона. Масса атома водорода равна 1,671027 кг.
Указание: воспользуйтесь законом сохранения импульса.
Задача 9 (Сивухин, задачник, т. 5, с. 12).
Оцените силу F, с которой отталкивались бы два одинаковых медных шара,
находящихся на расстоянии r=1 м друг от друга, если бы каждый атом меди был однократно
55
ионизован. Масса каждого шара m=1 кг, атомная масса меди A=63,54 а. е. м. (1 а. е.
м.=1,661027 кг).
Указание: учтите, что сила кулоновского взаимодействия двух зарядов q1 и q2 равна
q q
F  k 1 2 2 , где k=9109 Нм2/Кл2 – постоянная.
r
Задача 10 (С197).
На какое минимальное расстояние может приблизиться к неподвижному ядру атома
золота -частица при «центральном соударении», если скорость частицы на большом
расстоянии от ядра равна 3107 м/с? Порядковый номер атома золота в таблице Менделеева
Z=79. Масса -частицы 6,651027 кг.
Указание: воспользуйтесь законом сохранения энергии и учтите, что потенциальная
q q
энергия взаимодействия двух зарядов q1 и q2 равна E ï î ò  k 1 2 , где k=9109 Нм2/Кл2 –
r
постоянная, а r – расстояние между зарядами.
Тема № 7.
Система квантовых чисел электрона в атоме. Периодическая система химических элементов.
Знать:
- что такое квантовые числа;
- выражение для полной энергии электрона в атоме водорода;
- выражения для орбитального и собственного (спинового) моментов импульса электрона;
- выражения для проекций орбитального и собственного (спинового) моментов импульса
электрона;
- правила заполнения электронных состояний в атомах (принцип Паули, принцип
минимальности энергии, правило Клечковского, правило Хунда);
- обозначение электронных оболочек и подоболочек;
- правила записи электронных конфигураций атомов.
Теоретические сведения.
Д. И. Менделеев открыл периодический закон в 1869 году, когда атом считался
неделимым и о его внутреннем строении ничего не было известно. Периодический закон в
формулировке Д. И. Менделеева звучит так: свойства простых тел, а также формы и
свойства соединений элементов находятся в периодической зависимости от величины
атомных весов элементов. Наглядным табличным выражением этого закона является
периодическая система химических элементов. За всю историю периодической системы
было опубликовано более 500 различных вариантов ее изображения. Среди них – короткая
форма (Д. И. Менделеев), длинная форма (Д. И. Менделеев, А. Вернер), лестничная форма
(Н. Бор). Однако едва ли можно предложить какой-либо универсальный вариант
изображения периодической системы, который адекватно отразил бы все многообразие
свойств химических элементов и специфику изменения их химического поведения по мере
возрастания атомного номера Z.
Фундаментальный принцип построения периодической системы заключается в
выделении в ней периодов (горизонтальные ряды) и групп (вертикальные столбцы)
элементов. Современная периодическая система состоит из 7 периодов (седьмой, пока не
завершенный) и 8 групп. Периодом называют совокупность элементов, начинающаяся
щелочным металлом (или водородом – первый период) и заканчивающаяся
благородным газом. Числа элементов в периодах закономерно возрастают и, начиная со
второго, попарно повторяются: 8, 8, 18, 18, 32, 32, … (особый случай – первый период,
содержащий всего два элемента). Группа элементов четкого определения не имеет;
формально ее номер соответствует максимальному значению степени окисления
составляющих ее элементов, но это условие в ряде случаев не выполняется. Каждая группа
56
подразделяется на главную (а) и побочную (б) подгруппы. В каждой из них содержатся
элементы, сходные по химическим свойствам (например, в главной подгруппе восьмой
группы содержатся инертные газы). В большинстве групп элементы подгрупп а и б
обнаруживают определенное химическое сходство, преимущественно в высших степенях
окисления.
Опираясь на составленную им таблицу элементов, Д.И. Менделеев предсказал
существование и свойства около 10 неизвестных элементов; эти прогнозы впоследствии
подтвердились (в 1875 г. был открыт предсказанный Д.И. Менделеевым галлий, в 1879 г. –
скандий, 1886 г. – германий). Однако на протяжении последующих более 40 лет
периодическая система в значительной степени представляла собой лишь эмпирическое (т. е.
основанное на опыте) обобщение фактов, поскольку отсутствовало физическое объяснение
причин периодического изменения свойств элементов в зависимости от возрастания их
атомного веса. Такое объяснение было невозможно без обоснованных представлений о
строении атома – наименьшей частицы химического элемента, являющейся носителем его
свойств. Поэтому важнейшей вехой в развитии теории периодической системы стала
планетарная (ядерная) модель атома, предложенная Э. Резерфордом в 1911 году (см. тему №
6). Периодическая повторяемость свойств химических элементов была объяснена Н. Бором в
1922 году на основе созданной им теории строения атомов. Оказалось, что не атомная масса
(атомный вес в старой терминологии), а заряд ядра лежит в основе систематики химических
элементов. Именно, число протонов Z в атомном ядре (см. тему № 8) определяет заряд ядра и
атомный номер элемента в периодической системе. В связи с этим претерпела изменение и
трактовка периодического закона, современная формулировка которого такова: свойства
химических элементов, а также формы и свойства соединений находятся в
периодической зависимости от зарядов ядер их атомов.
Теория периодической системы химических элементов была усовершенствована в 1925
году после разработки основ квантовой механики (см. тему № 5) и открытия принципа
Паули (см. далее). В квантовой механике состояние электронов, как известно,
характеризуется волновой функцией. В существующей ныне теории периодической системы
рассматриваются состояния отдельных электронов, а не состояние электронной оболочки
атома в целом. Это, конечно, недостаток теории. Состояние электронной оболочки следовало
бы характеризовать волновой функцией координат всех ее электронов, причем из-за
взаимодействия между электронами эти координаты не разделяются, т.е. волновую функцию
электронной оболочки нельзя представить в виде произведения волновых функций
отдельных электронов. Это и значит, что точный смысл имеет лишь состояние всей
электронной оболочки атома, а не отдельных электронов, из которых она состоит. Но точное
нахождение волновой функции системы многих взаимодействующих частиц пока
недоступно методам современной математики. Поэтому приходится использовать
приближенное представление о состояниях отдельных электронов.
Как известно (см. тему № 6), число электронов в атоме совпадает с порядковым
номером Z элемента в таблице Менделеева (с числом протонов в ядре). В частности, в атоме
водорода (Z=1) имеется только один электрон. Состояние электрона в атоме водорода, как
показывает квантовомеханический расчет, удобно характеризовать четверкой квантовых
чисел n, l, m ms.
1. Главное квантовое число n определяет значение энергии En электрона в атоме
водорода:
13, 6
E n   2 (эВ).
(1)
n
Число n (см. тему № 6) может принимать только целые значения, начиная с единицы: n=0, 1,
2, 3,…
2. Орбитальное (азимутальное) квантовое число l определяет орбитальный момент
импульса электрона L, обусловленный его движением в пространстве вблизи ядра:
(2)
L  l(l  1) ,
57
h
 1, 05 1034 Джс – постоянная Планка. Число l может принимать только целые
2
значения от нуля до значения (n – 1): l=0, 1, 2, 3,…(n – 1). Помимо орбитального момента
импульса, значение числа l определяет форму электронного облака.
3. Магнитное квантовое число m определяет проекцию орбитального момента
импульса Lz электрона на выделенное направление z в пространстве:
(3)
Lz  m .
Число m может принимать значения от – l до + l через единицу, т. е всего (2l+1) значение:
m=  l, ( l+1), ( l+2), …, 2, 1, 0, 1, 2, …, (l2), (l1), l. Значение числа m определяет также
ориентацию электронного облака в пространстве (см. последний рисунок в теме № 6)..
4. В 1925 году Дж. Уленбек и С. Гаудсмит выдвинули гипотезу о том, что электроны
помимо орбитального момента L обладают также собственным моментом импульса Ls. Этот
собственный момент импульса был назван спином. В отличие от орбитального момента L
спин Ls не обусловлен движением электрона в пространстве. Предположение о
существовании спина у электронов было подтверждено большим количеством опытных
фактов (опытами О. Штерна и В. Герлаха, С. Барнетта, А. Эйнштейна и В. де Хааса и др.) и
должно считаться совершенно доказанным. Позднее было установлено, что спином
обладают и другие элементарные частицы (протоны, нейтроны, фотоны и др.), а также ядра,
атомы и молекулы. Спин – еще одна характеристика элементарных частиц наряду с массой,
зарядом и временем жизни. Как и Lz, проекция спина Lsz на выделенное направление z может
принимать только некоторые (дискретные) значения. Спиновое квантовое число ms
определяет возможные значения Lsz:
(4)
Lsz  ms .
1
У электронов число ms может принимать только два значения: ms   .
2
В многоэлектронных атомах состояния отдельных электронов приближенно
характеризуются той же четверкой квантовых чисел n, l, m ms, что и в атоме
водорода. Совокупность электронов атома с заданным значением главного квантового числа
n образует электронный слой. В соответствии с принципом Паули максимальное число
электронов в слое равно 2n2. Слои обозначаются прописными буквами латинского алфавита,
а именно:
где

Значение главного квантового числа n
Обозначение электронного слоя
Максимальное число электронов в слое
1
K
2
2
L
8
3
M
18
4
N
32
5
O
50
6
P
72
7
Q
98
Совокупность электронов атома с заданными значениями квантовых чисел n и l образует
электронную оболочку, которая входит в тот или иной слой. В соответствии с принципом
Паули максимальное число электронов в оболочке равно 2(2l+1). Оболочки обозначаются
строчными буквами латинского алфавита, а именно:
Значение орбитального квантового числа l
Обозначение электронной оболочки
Максимальное число электронов в оболочке
0
s
2
1
p
6
2
d
10
3
f
14
4
g
18
Так как число l не может превышать значение (n – 1), то число оболочек в каждом слое
ограничено. Например, K-слой (n=1) содержит только s-оболочку, L-слой (n=2) содержит s- и
p-оболочки, M-слой (n=3) содержит s-, p- и d-оболочки и т. д. Запись, в которой указаны
слои, оболочки и числа электронов в каждой оболочке, называется электронной
конфигурацией атома. Например, неон (атомный номер Z=10) имеет электронную
58
конфигурацию 1s22s22p6. Это означает, что в состоянии n=1, l=0 находятся два электрона, в
состоянии n=2, l=0 – также два электрона, а в состоянии n=2, l=1 – шесть электронов.
Заполнение оболочек электронами в атомах подчиняется определенным принципам и
правилам.
1. Принцип Паули: в атоме не может быть двух и более электронов, имеющих
одинаковые значения всех четырех квантовых чисел n, l, m ms.
2. Принцип минимальной энергии: в атоме, прежде всего, заполняются оболочки с
наименьшей энергией (в основном состоянии энергия атома имеет минимальное значение –
см. тему № 6).
3. Правило Клечковского: энергия электрона в атоме тем меньше, чем меньше сумма
чисел (n+l); при равенстве этой суммы для двух и более электронов энергия меньше у тех
электронов, у которых меньше главное квантовое число n. (Таким образом, в
многоэлектронных атомах энергия зависит от двух квантовых чисел n и l, в то время как в
атоме водорода энергия единственного электрона определяется значением только одного
числа n – см. формулу (1)).
4. Правило Хунда: заполнение оболочек электронами начинается с состояний с
однонаправленными спинами (с одинаковыми значениями числа ms).
Таким образом, каждой электронной оболочке атома с заданными значениями
квантовых чисел n и l соответствует, согласно правилу Клечковского, определенная энергия.
В соответствии с принципом минимальной энергии, в первую очередь электронами
заполняются оболочки, которым отвечает наименьшая энергия. При этом число электронов в
оболочке ограничено, так как у каждого электрона, согласно принципу Паули, должен быть
свой набор квантовых чисел n, l, m ms. Электроны, относящиеся к одной и той же оболочке,
имеют одинаковые значения чисел n и l, но отличаются значениями чисел ms или m, поэтому
максимальное количество электронов в оболочке равно 2(2l+1).
Заполнение оболочек электронами в атомах соответствует заполнению периодов
химическими элементами в таблице Менделеева. С учетом рассмотренных выше
принципов и правил, порядок заполнения оболочек отражен в следующей таблице:
Электронная
Оболочки (в
Номер
Первый и
конфигурация
Число
порядке
периода в
заключительный
n
l
n+l
периода в
элементов
заполнения
таблице
элементы
заполненном в периоде
электронами) Менделеева
периода
виде
1
0
1
1s
1
1s2
2
H, He
2
0
2
2s
2
2s22p6
8
Li…Ne
2
1
3
2p
3
0
3
3s
3
3s23p6
8
Na…Ar
3
1
4
3p
4
0
4
4s
3
2
5
3d
4
4s23d104p6
18
K…Kr
4
1
5
4p
5
0
5
5s
4
2
6
4d
5
5s24d105p6
18
Rb…Xe
5
1
6
5p
6
0
6
6s
4
3
7
4f
6
6s24f145d106p6
32
Cs…Rn
5
2
7
5d
6
1
7
6p
7
0
7
7s
5
3
8
5f
7
7s25f146d107p6
32
Fr…
6
2
8
6d
7
1
8
7p
59
(Следует помнить, что последний – седьмой период до сих пор остается незавершенным).
Как видно из таблицы, заполнение каждого периода начинается с ns-оболочки и
заканчивается np-оболочкой (значение главного квантового числа n совпадает с номером
периода). Исключением является только первый период, содержащий лишь 1s-оболочку.
Начиная с четвертого периода, между s- и p-оболочками заполняются d- и f-оболочки.
Данное обстоятельство является отражением правила Клечковского в соответствии с
которым, например, энергия электронов 3d-оболочки (сумма чисел n+l=5) больше энергии
электронов 4s-оболочки (сумма чисел n+l=4). Поэтому сначала электронами в атомах
заполняется 4s-оболочка, а затем уже 3d-оболочка. В соответствии с тем же правилом
энергия 3d-оболочки меньше, чем 4p-оболочки (хотя в обоих случаях сумма чисел n+l
одинакова и равна пяти, энергия 3d-оболочка меньше, так как ей соответствует меньшее
значение квантового числа n). Следовательно, 3d-оболочка заполняется электронами раньше,
чем 4p-оболочка. Правило Клечковского имеет ряд исключений. Например, электронная
конфигурация атома меди (Z=29), согласно правилу Клечковского, должна иметь вид:
1s22s22p63s23p64s23d9. В действительности электронная конфигурация у меди другая, а
именно: 1s22s22p63s23p63d104s1. Дело в том, что в случае полностью заполненной 3dоболочки энергия конфигурации 1s22s22p63s23p63d104s1 оказывается меньше, чем
конфигурации 1s22s22p63s23p64s23d9, что не учитывается правилом Клечковского. В конечном
счете, энергия атома определяется характером взаимодействия электронов не только с ядром
атома, но и друг с другом.
Химические свойства атомов определяются числом электронов на внешней оболочке,
поэтому элементы, имеющие одинаковое строение внешней оболочки относятся к одной
подгруппе той или иной группы периодической системы. В зависимости от того, какая
оболочка заполняется электронами в последнюю очередь, химические элементы можно
разделить на несколько семейств.
1. s-элементы – это элементы, у которых электронами заполняется внешняя s-оболочка.
К ним относятся элементы главных подгрупп I и II групп таблицы Менделеева, а также
гелий. Все s-элементы – металлы (кроме водорода и гелия).
2. p-элементы – это элементы, у которых электронами заполняется внешняя pоболочка. К ним относятся элементы главных подгрупп III – VIII групп таблицы Менделеева
(кроме гелия). Среди p-элементов есть как металлы, так и неметаллы.
3. d-элементы – это элементы, у которых электронами заполняется вторая снаружи dоболочка; на внешней s-оболочке остается, как правило, два электрона. К ним относятся
элементы побочных подгрупп таблицы Менделеева. Все d-элементы – металлы.
4. f-элементы – это элементы, у которых электронами заполняется третья снаружи fоболочка; на внешней s-оболочке остается два электрона. К ним относятся лантаноиды и
актиноиды, вынесенные за пределы короткой формы таблицы Менделеева. Все f-элементы –
металлы. f-элементы и d-элементы называют также переходными, так как в периодах
(начиная с четвертого) они располагаются между s- и p-элементами.
Таким образом, периодическое изменение химических свойств элементов обусловлено
периодическим повторением сходных электронных конфигураций одной – двух внешних
оболочек в атомах.
Одной из нерешенных проблем современной науки является неопределенность верхней
границы периодической системы. Теоретические оценки предельного значения Z
неоднозначны и противоречивы. Попытки обнаружить в природе элементы с Z>100 успеха
не имели. Расчеты электронных конфигураций атомов, проведенные на ЭВМ, позволяют
предполагать, что в интервале 104<Z<172 изменение свойств элементов носило бы весьма
сложный характер, не имеющий прецедентов в предшествующих областях периодической
системы, т. е. происходило бы резко выраженное «размывание периодичности».
Периодическая система сыграла и продолжает играть огромную роль в развитии
естествознания. Она стала важным звеном в эволюции атомно-молекулярного учения,
60
способствовала формулировке современного понятия «химический элемент» и уточнению
представлений о простых веществах и соединениях, оказала значительное влияние на
разработку теории строения атомов и возникновение понятия изотопии. С периодической
системой связана строго научная постановка проблемы прогнозирования в химии, что
проявилось как в предсказании существования неизвестных элементов и их свойств, так и
новых особенностей химического поведения уже открытых элементов. Периодическая
система – важнейшая основа неорганической химии; она служит, например, задачам синтеза
веществ с заранее заданными свойствами, созданию новых материалов (в частности
полупроводниковых), подбору специфических катализаторов для различных химических
процессов.
Объяснение периодического закона и природы химических взаимодействий на основе
достижений физики является не только примером взаимообогащения различных наук, но
лишний раз демонстрирует единство материального мира.
Тема № 8.
Строение атомного ядра.
Знать:
- строение атомного ядра;
- выражения для энергии связи и удельной энергии связи;
- что такое изотопы и изобары, «дефект масс», активность радиоактивного вещества;
- закон радиоактивного распада;
- основные виды радиоактивного распада.
Теоретические сведения.
Первое явление из области ядерной физики было открыто А. Беккерелем в 1896 году.
Это было явление естественной радиоактивности. Оно заключается в самопроизвольном
испускании некоторыми (радиоактивными) веществами невидимых лучей. Радиоактивным
веществом А. Беккерелю служила соль урана. Через два года П. Кюри и М. СклодовскаяКюри открыли радиоактивность тория и выделили из солей урана полоний и радий,
радиоактивность которых оказалась в миллионы раз сильнее радиоактивности урана и тория.
Детальное экспериментальное исследование радиоактивности было проведено Э.
Резерфордом. Он показал, что радиоактивные излучения состоят из трех типов невидимых
глазом лучей, названных альфа-, бета- и гамма-лучами. Бета-лучи (-лучи) состоят из
отрицательно заряженных электронов; альфа-лучи (-лучи) – из положительно заряженных
частиц, масса которых примерно равна массе атомов гелия; гамма-лучи (-лучи) не обладают
зарядом, они представляют собой электромагнитное излучение (фотоны) с очень малой
длиной волны (<1012м). Наименьшей проникающей способностью и наибольшим
ионизирующим действием обладают -лучи. Наоборот, -лучи обладают наибольшей
проникающей способностью и наименьшим ионизирующим действием. Ядерная природа
радиоактивности была понята Э. Резерфордом после того, как в 1911 году он предложил
планетарную модель атома (см. тему № 6) и установил, что радиоактивные излучения
возникают в результате процессов, происходящих внутри атомного ядра. С этого момента
и ведет свое начало ядерная физика.
В 1919 году Э. Резерфорд наблюдал в экспериментах ядра водорода, выбитые частицами из ядер других атомов. Заряд ядра любого атома в целое число раз больше
заряда ядра водорода, то же самое можно сказать и о массе. Поэтому Э. Резерфорд пришел к
заключению, что ядра водорода представляют собой частицы вещества, которые входят в
состав любого атомного ядра. В начале 1920-х гг. Э. Резерфорд назвал эти частицы
протонами (обозначается символом p). Масса протона mp=1,671027 кг, т. е. в 1836 раз
больше массы электрона me. Протон имеет положительный заряд + e (e =1,61019 Кл –
элементарный заряд) и является стабильной частицей. Долгое время предполагалось, что
атомные ядра различных химических элементов помимо положительно заряженных
61
протонов должны содержать отрицательно заряженные электроны (наличием электронов в
ядре пытались объяснить, в частности, существование -лучей, излучаемых радиоактивными
веществами). Согласно электронно-протонной модели, ядро состоит из A протонов и C
электронов, так что зарядовое число, определяющее заряд ядра, равно Z=A – C. В пользу
электронно-протонной модели свидетельствовали малые размеры атомного ядра (1015 
1014 м – см. тему № 6). Однако эта модель не смогла объяснить экспериментальные факты,
относящиеся к спинам и магнитным моментам ядер. Кроме того, присутствие электронов
внутри ядра оказалось невозможным совместить с принципом неопределенности
Гейзенберга (см. тему № 5). Таким образом, испускаемые радиоактивными веществами лучи, нельзя объяснить существованием электронов внутри атомных ядер. Электроны не
содержатся в исходных ядрах, а образуются в них в ходе радиоактивных процессов.
В 1932 году Дж. Чедвик открыл еще одну частицу вещества – нейтрон (обозначается
символом n). Нейтроны вылетали из ядер бериллия при бомбардировке их -частицами.
Масса нейтрона mn примерно равна массе протона mp ( m n  m p  2,5m e <<mp), однако в
отличие от протона нейтрон не имеет электрического заряда. В свободном состоянии
нейтрон нестабилен, он самопроизвольно распадается, превращаясь в протон и испуская
электрон (а также электронное антинейтрино – см. далее).
В 1932 году Д.Д. Иваненко и В. Гейзенберг независимо друг от друга предложили
протонно-нейтронную модель ядра, которая остается общепризнанной и в настоящее время.
Согласно этой модели атомное ядро состоит из Z протонов и N нейтронов. Число протонов
Z называют зарядовым числом, так как оно определяет заряд ядра, равный +Ze. Число Z
называют также атомным номером, поскольку оно совпадает с порядковым номером
химического элемента в таблице Менделеева. Таким образом, именно число протонов в ядре
(т. е. заряд ядра, а не масса атома, как это было у Д. И. Менделеева) определяет положение
химического элемента в периодической таблице. Общее число протонов и нейтронов
A=Z+N называют массовым числом, так как оно определяет массу ядра и всего атома в
целом (масса атома примерно равна массе ядра m ÿ , потому что суммарной массой
электронов по сравнению с mя можно пренебречь – см. тему № 6).
Для обозначения атомных ядер применяется символ AZ X , где под X подразумевается
химический символ данного элемента. Ядра с одинаковым числом протонов Z, но с
разным числом нейтронов N называют изотопами. Большинство химических элементов
имеют по нескольку стабильных изотопов. Например, водород имеет три изотопа:
1
1 H  обычный водород или протий (Z=1, N=0),
2
1
H  тяжелый водород или дейтерий (Z=1, N=1),
H  тритий (Z=1, N=2).
Дейтерий обозначают также символом D, а тритий – символом T. Протий и дейтерий
стабильны, а тритий радиоактивен. Ядра с одинаковым числом нейтронов N, но с разным
числом протонов Z называют изотонами. Например, изотоны углерод 136 C и азот 147 N
имеют по 7 нейтронов. В отличие от изотопов изотоны принадлежат разным химическим
элементам. Ядра с разным числом нейтронов N и протонов Z, но с одинаковым
массовым числом A называют изобарами. Например, изобарами являются аргон
40
40
18 Ar (Z=18, N=22, A=40) и кальций 20 Ca (Z=20, N=20, A=40).
В природе встречаются элементы с атомным номером Z от1 (водород) до 92 (уран),
исключая технеций (Z=43) и прометий (Z=61). Плутоний (Z=94) после получения его
искусственным путем был обнаружен в ничтожных количествах в природном минерале –
смоляной обманке. Остальные трансурановые элементы (т. е. элементы с Z>92) были
получены искусственным путем посредством различных ядерных реакций. Один из таких
искусственно синтезированных элементов имеет максимальный (на сегодняшний день)
2
1
62
атомный номер Z=118. Всего (с учетом существования у химических элементов различных
изотопов) известно около 1500 ядер.
Ядро атома – это квантовая система, состоящая, как правило, из большого числа
нуклонов (нуклон – общее наименование для протона и нейтрона). Нуклоны в ядре связаны
между собой ядерным (сильным – см. далее), электромагнитным, а в некоторых случаях и
слабым взаимодействием. Теоретическое моделирование такой системы является весьма
сложной задачей. Для такого моделирования необходима релятивистская квантовая теория
элементарных частиц, которая в завершенном виде пока не сформулирована. Более или
менее точными являются только модели простейших ядер – водорода, гелия и их изотопов. В
других случаях приходится использовать лишь приближенные модели, ни одна из которых
не может дать исчерпывающего описания ядра. В начале 1930-х годов учеными была
разработана одна из таких приближенных моделей – оболочечная модель атомного ядра (М.
Гепперт-Майер, Й. Х. Йенсен и другие). Эта модель исходит из того, что в ядре нуклоны
могут образовывать заполненные оболочки, так же как электроны заполняют оболочки атома
(см. тему № 7). Таким образом, ядро представляет собой иерархию оболочек, заполняемых
протонами и нейтронами. Когда очередная оболочка полностью заполняется нуклонами,
происходит скачкообразное изменение характеризующих ядро величин. Это создает подобие
периодичности в свойствах ядер в зависимости от их массового A и зарядового Z чисел,
аналогичное периодическому закону для атомов. Полностью заполненная оболочка
представляет особо устойчивое образование. В соответствии с опытом особо устойчивыми
оказываются ядра, у которых число протонов Z, либо число нейтронов N равно
2, 8, 20, 28, 50, 82, 126.
Эти числа получили название магических. Ядра, у которых число протонов Z, либо число
нейтронов N является магическим числом, называются магическими, т. е. особо
устойчивыми ядрами. Ядра, у которых магическими являются числа и Z, и N,
называются дважды магическими. Дважды магических ядер известно всего пять:
4
16
40
48
208
2 He (Z=2, N=2), 8 O (Z=8, N=8), 20 Ca (Z=20, N=20), 20 Ca (Z=20, N=28), 82 Pb (Z=82, N=126).
Особенная устойчивость дважды магического ядра гелия 42 He проявляется, в частности, в
том, что это единственная составная, а не элементарная частица, испускаемая тяжелыми
ядрами при радиоактивном распаде (см. далее).
В первом приближении ядро можно считать шаром, радиус которого довольно точно
определяется формулой
r  1, 23 1015  3 A (м).
(1)
4
Из (1) следует, что объем ядра V   r 3 пропорционален числу нуклонов в ядре A.
3
Поскольку масса ядра mÿ  A  mP  A  mn также пропорциональна A, то плотность вещества
во всех ядрах примерно одинакова.
Все нуклоны удерживаются в очень малом объеме внутри ядра, несмотря на мощное
кулоновское отталкивание между протонами (все протоны имеют положительный заряд и
поэтому должны отталкиваться друг от друга). Это указывает на то, что внутри ядра между
нуклонами имеется очень интенсивное притяжение, значительно превышающее кулоновское
отталкивание между протонами. Взаимодействие между нуклонами, удерживающее их
внутри ядра, называют сильным или ядерным взаимодействием. Отличительными
особенностями этого взаимодействия являются:
1. высокая интенсивность;
2. короткодействующий характер – радиус действия ядерных сил не превышает
размеров ядра (1015  1014 м);
3. зарядовая независимость – ядерное взаимодействие между нуклонами не зависит от
заряда нуклонов (силы взаимодействия между двумя протонами, между двумя нейтронами,
между нейтроном и протоном имеют одинаковую величину);
63
4. насыщаемость – каждый нуклон в ядре взаимодействует с ограниченным числом
других нуклонов;
5. зависимость ядерных сил от взаимной ориентации спинов нуклонов;
6. обменный характер – ядерные силы между нуклонами возникают благодаря обмену
между ними так называемыми виртуальными частицами. В случае ядерного взаимодействия
между нуклонами такими частицами являются виртуальные -мезоны. Взаимодействие
возникает благодаря тому, что один из нуклонов испускает виртуальный -мезон, который
практически тут же поглощается другим нуклоном.
Из-за сильного (ядерного) взаимодействия нуклоны прочно удерживаются внутри ядра.
Мерой прочности ядра является энергия связи Eсв – т. е. работа, которую необходимо
произвести, чтобы полностью расщепить ядро на составляющие его протоны и
нейтроны. Энергия связи определяется энергиями покоя (см. тему № 4) ядра и образующих
его частиц:
E ñâ   Zm p  Nm n  m ÿ  c 2 ,
(2)
где c – скорость света в вакууме. Из формулы (2) следует, что суммарная масса протонов и
нейтронов, составляющих ядро, т. е. величина  Zm p  Nm n  , не должна быть в точности
равна массе mя самого ядра (иначе энергия связи была бы равна нулю и нуклоны не смогли
удерживаться внутри одного ядра). Разность
m  Zm p  Nm n  m ÿ
(3)
называют дефектом масс. Дефект масс – следствие утраты части энергии нуклонами
(например, за счет излучения фотонов) в процессе формирования ядра. Разорвать ядро на
отдельные нуклоны можно лишь, сообщив ему извне энергию не менее той, что выделилась
в процессе образования ядра. Это и есть энергия связи. В соответствии с формулой
E ñâ  m  c 2 , уменьшение энергии системы при образовании ядра неизбежно приводит к
уменьшению общей массы. Такое изменение массы происходит при любых процессах,
связанных с передачей энергии, но в повседневной действительности оно малозаметно.
Однако в ядерных явлениях оно весьма значительно и достигает 1% массы ядра. Поэтому в
ядерных реакциях закон сохранения массы не выполняется (в отличие от химических
реакций, в которых энергия связи значительно меньше и дефектом масс можно пренебречь).
E
Отношение ñâ , т. е. среднюю энергию связи, приходящуюся на один нуклон,
A
называют удельной энергией связи. С ростом A удельная энергия связи сначала резко
увеличивается,
а
затем
постепенно
уменьшается
(см.
график).
Такая
зависимость
делает
энергетически
выгодными два процесса:
1. деление тяжелых ядер на несколько
более легких ядер;
2. слияние (синтез) легких ядер в одно
ядро.
Оба
процесса
сопровождаются
выделением большого количества энергии.
Так, например, деление одного ядра с
массовым числом A=240 (удельная энергия
связи равна 7,5 МэВ – см. график) на два
ядра с массовыми числами A=120 (удельная
энергия связи равна 8,5 МэВ) привело бы к высвобождению (8,5-7,5)240=240 МэВ энергии.
Слияние двух ядер дейтерия 21 H в ядро гелия 42 He привело бы к выделению энергии 24 МэВ
(для сравнения укажем, что при соединении одного атома углерода с двумя атомами
кислорода при сгорании угля до CO2 выделяется энергия порядка 5 эВ).
64
Деление ядер было обнаружено в 1939 году, когда немецкие ученые О. Ган и Ф.
Штрассман однозначно доказали, что в результате взаимодействия нейтронов с ядрами урана
появляются радиоактивные ядра с массами и зарядами примерно вдвое меньшими, чем масса
и заряд ядра урана. Примером может служить реакция деления ядра урана-235 под действием
нейтрона:
235
1
140
94
1
92 U  0 n  55 Cs  37 Rb  2 0 n .
Для нейтрона A=1, Z=0 (нейтрон не имеет заряда). Обратите внимание, что суммарные
значения числа Z (и числа A) для частиц, входящих в левую и правую части уравнения
реакции, одинаковы (Zсум=92, Aсум=236). Этот факт является отражением законов
сохранения.
233
239
Испускание при делении ядер 235
92 U , 92 U , 94 Pu нескольких нейтронов (см. уравнение
реакции) делает возможным осуществление цепной ядерной реакции. Испущенные при
делении одного ядра b нейтронов могут вызвать деление b ядер, в результате будет
испущено b2 новых нейтронов, которые вызовут деление следующих b2 ядер, и т. д. Таким
образом, количество нейтронов, рождающихся в каждом поколении, и число делящихся ядер
нарастает в геометрической прогрессии. Если накапливающийся поток нейтронов не
регулировать (не тормозить нейтроны), то реакция деления будет носить взрывной
неуправляемый характер – произойдет ядерный взрыв. На этом основано действие атомной
бомбы. Но поток нейтронов можно регулировать с помощью особых замедлителей, не
допуская его бесконтрольного нарастания. В таком случае экзотермическая (т. е.
протекающая с выделением энергии) реакция деления становится управляемой. Именно
такие управляемые реакции деления ядер лежат в основе работы ядерных реакторов на
атомных электростанциях. Основой современной ядерной энергетики служит деление ядер
235
239
92 U , 94 Pu под действием нейтронов.
Реакции деления ядер могут протекать не только вследствие их бомбардировки
нейтронами, но также под действием других частиц (протонов, -частиц, -квантов и др.).
Деление ядер, происходящее под действием различных частиц, называют
вынужденным. В 1940 году К. А. Петржак и Г. Н. Флеров открыли самопроизвольное
(спонтанное) деление ядер, которое является одним из видов радиоактивности (см. далее).
Для синтеза (слияния) легких ядер в одно ядро они должны подойти друг к другу на
расстояние порядка 1015 м (в этом случае между нуклонами ядер начинает действовать
интенсивное ядерное притяжение (см. выше) и они способны слиться одно ядро). Такому
сближению ядер препятствует кулоновское отталкивание между ними. Для того чтобы
преодолеть это отталкивание, ядра должны двигаться с огромными скоростями, которым
соответствуют очень высокие температуры. По этой причине процесс синтеза легких ядер
протекает только при высоких температурах (107 – 108 К) и называется термоядерной
реакцией. Примером может служить реакция синтеза ядер дейтерия и трития:
2
3
4
1
1 H  1 H  2 He  0 n .
Термоядерные реакции протекают в недрах Солнца и других звезд, где температуры
достигают очень высоких значений. В земных условиях управляемый термоядерный синтез
пока не реализован. В водородной бомбе (не путать с атомной бомбой) термоядерная
реакция носит неуправляемый характер. Первый термоядерный взрыв был осуществлен в
СССР в 1953 году.
Деление и синтез ядер – являются примерами ядерных реакций. Ядерной реакцией
называется процесс взаимодействия атомного ядра с элементарной частицей или с
другим ядром, приводящий к преобразованию ядра (или ядер). Таким образом, для
протекания ядерной реакции требуется внешнее воздействие на атомное ядро других частиц
(например, нейтронов) или ядер. В отличие от ядерных реакций, самопроизвольное
превращение (преобразование) одних атомных ядер в другие, сопровождаемое
испусканием элементарных частиц или ядер, называется радиоактивностью.
Радиоактивность ядер, существующих в природных условиях, называется естественной.
65
Радиоактивность ядер, полученных в ядерных реакциях, называется искусственной. Между
естественной и искусственной радиоактивностью нет принципиального различия. Оба
процесса подчиняются закону радиоактивного превращения:
N  N 0  e t .
(4)
Здесь N0 – начальное число ядер, N – число ядер, которые не успели распасться (т. е.
превратиться в другие ядра) к моменту времени t,   постоянная радиоактивного распада.
Согласно формуле (4) число нераспавшихся ядер убывает со временем по экспоненте. Время
T, за которое распадается половина первоначального количества ядер, называется
периодом полураспада. Из (4) следует, что
ln 2 0, 693


.
(5)
T
T
Активностью радиоактивного вещества называется число распадов в единицу
времени. Активность вещества равна:
(6)
a  N .
Таким образом, активность тем выше, чем больше N радиоактивных ядер содержится в
веществе и чем больше его постоянная распада .
К числу радиоактивных процессов относятся уже упоминавшиеся -распад, -распад, излучение ядер, спонтанное деление тяжелых ядер, а также протонная радиоактивность.
Альфа-распад – это испускание атомным ядром -частиц, т. е. ядер гелия 42 He . Альфараспад протекает по схеме:
A
A4
4
Z X  Z  2Y  2 He ,
где X и Y – химические символы материнского (распадающегося) и дочернего
(образующегося) ядра соответственно. Этот вид распада наблюдается только у самых
тяжелых ядер и некоторых редкоземельных элементов.
Бета-распад наблюдается у всех нестабильных изотопов и существуют в трех
разновидностях.
1. Электронный распад или -распад заключается в превращении одного из нейтронов
ядра в протон с испусканием электрона и электронного антинейтрино  e . Электрон имеет
отрицательный заряд, по модулю равный заряду протона, поэтому для электрона зарядовое
число Z= 1; заряд антинейтрино равен нулю, а значит для антинейтрино Z=0. Так как
электрон и антинейтрино не являются нуклонами, то для них A=0 (уменьшением массы ядра
в процессе -распада можно пренебречь, так как массой электрона (и тем более
электронного антинейтрино) по сравнению массой нуклонов можно пренебречь). С учетом
сказанного схема -распада имеет вид:
A
A
0
0
Z X  Z 1Y  1 e  0 e .
2. Позитронный распад или +-распад заключается в превращении одного из протонов
ядра в нейтрон с испусканием позитрона (позитрон – это античастица электрона с массой
равной массе электрона и противоположным по знаку зарядом) и электронного нейтрино  e .
Этот вид распада протекает по схеме:
A
A
0
0
Z X  Z 1Y  1 e  0 e
(учли, что для позитрона Z=1). Следует отметить, что протон может превратиться в нейтрон,
только находясь внутри атомного ядра. Для свободного протона такой процесс невозможен
по энергетическим соображениям, поскольку масса протона (а значит и энергия покоя
протона) несколько меньше массы нейтрона. Свободный протон, как уже отмечалось,
является стабильной частицей. Позитронный распад был открыт И. и Ф. Жолио-Кюри в 1934
году.
3. Электронный захват заключается в том, что атомное ядро поглощает электрон с
одного из внутренних слоев своего атома. В результате один из протонов ядра превращается
в нейтрон, испуская электронное нейтрино e . Схема электронного распада имеет вид:
66
X  01 e  ZA1Y  00 e
Если ядро захватывает электрон с K-слоя атома (см. тему № 7), то электронный захват
называют K-захватом. K-захват был открыт Альварецом в 1937 году. Реже захват электрона
происходит с L-слоя атома (L-захват) или с M-слоя (M-захват).
Гамма-излучение ядер представляет собой электромагнитное излучение (фотоны с
очень малой длиной волны), возникающее при переходе атомных ядер из возбужденных
состояний в более низкие энергетические состояния. При этом число протонов и нейтронов в
ядре не изменяется, т. е. числа Z и A остаются неизменными.
Спонтанное деление ядер заключается в делении ядер на осколки сравнимой массы с
одновременным испусканием нейтронов и -квантов.
Протонная радиоактивность заключается в том, что ядро излучает один или два
протона (для протона Z=A=1), превращаясь при этом в другое ядро. Этот вид
радиоактивности впервые наблюдался в 1963 году группой советских физиков под
руководством Г. Н. Флерова.
A
Z
Примеры решения задач.
Задача № 1.
128
Вычислите относительное количество атомов изотопа 53 I (период полураспада 25
минут), оставшихся нераспавшимися после хранения в течение 2,5 часов.
Решение.
Промежутку времени t=2,5 часа=150 мин соответствует шесть периодов полураспада
128
изотопа 53 I . За время, равное одному периоду, распадается половина из первоначального
количества атомов. Следовательно, за первый период полураспада останется нераспавшейся
1
часть от первоначального числа атомов; за второй период распадется половина из
2
1
оставшихся атомов, т. е. нераспавшейся останется
часть от первоначального числа атомов
4
6
1
1
и т. д. За время t=6T нераспавшейся останется   
часть от первоначального числа
 2  64
атомов, т. е. примерно 1,56 %.
Задача № 2.
Ядро атома изотопа
238
92 U в
результате радиоактивного распада превратилось в ядро
226
88 Ra
. Сколько  - и  -частиц испустило при этом исходное ядро?
Решение.
В процессе радиоактивных превращений материнского ядра
226
88 Ra
238
92 U
в дочернее ядро
массовое число A должно уменьшиться на 12, а зарядовое число Z на 4. В процессе
-распада массовое число у ядра не изменяется (см схему -распада). Каждый -распад
уменьшает массовое число ядра на 4. Следовательно, в процессе радиоактивных
превращений исходное ядро должно претерпеть три -распада. При этом число A
уменьшится на 12, а число Z уменьшится не на 4, а на 6 (каждый -распад уменьшает число
Z на 2). Чтобы в ходе радиоактивных превращений общее уменьшение числа Z составило 4,
помимо трех -распадов исходное ядро должно претерпеть два -распада (в процессе
каждого -распада зарядовое число ядра увеличивается на 1). Таким образом, схема
радиоактивных превращений исходного ядра должна иметь вид:
238
226
4
0
0
92 U  88 Ra  3 2 He  2 1 e  2 0 e
67
Из схемы видно, что в ходе превращений исходное ядро испускает три -частицы (три ядра
гелия 42 He ) и две -частицы (два электрона).
Задачи.
Задача 1.
238
Символ изотопа элемента 92 X . Используя таблицу Менделеева, укажите: а) название
элемента; б) число протонов и нейтронов, содержащихся в ядре; в) количество электронов,
содержащихся в электронной оболочке атома.
Задача 2.
Определите, какую часть массы нейтрального атома 126 C (m=19,92721027 кг) составляет
масса его электронной оболочки. Масса электрона равна 9,11031 кг.
Задача 3.
233
1
Во сколько раз радиус ядра тория 90 Th больше радиуса ядра водорода 1 H ? Дефектом
масс пренебречь. Плотность ядерного вещества можно считать одинаковой для всех
элементов.
Задача 4.
Определите плотность ядерного вещества. Расчет произведите, полагая, что все
нуклоны (протоны и нейтроны) плотно упакованы в сферическом слое. Дефектом масс
пренебречь.
Задача 5.
9
Определите энергию связи, приходящуюся на один нуклон в ядре атома бериллия 4 Be ,
если масса его изотопа равна 9,01505 а. е. м. (1 а. е. м. = 1,661027 кг – атомная единица
массы). Масса протона равна 1,00814 а. е. м., масса нейтрона 1,00899 а. е. м.
Задача 6.
7
1
7
1
Определите, является ли реакция
экзотермической или
3 Li  1 H  4 Be  0 n
эндотермической. Найдите энергию реакции. Масса атома лития 11,650791027 кг, атома
водорода 1,67361027 кг, атома бериллия 11,652311027 кг, масса нейтрона 1,6751027 кг.
Задача 7.
Основная термоядерная реакция на Солнце – превращение четырех протонов в ядро
4
гелия 2 He  сопровождается выделением энергии. Фактически мощность Солнца
составляет 41026 Вт. Определите, сколько протонов «сгорает», то есть превращается в ядра
4
гелия ежесекундно. Масса изотопа гелия 2 He равна 4,00388 а. е. м.
Задача 8.
4
На Солнце при превращении четырех протонов в ядро 2 He образуется две
незаряженные элементарные частицы практически с нулевой массой (нейтрино). С учетом
числа ежесекундно «сгорающих» протонов (см. предыдущую задачу), определите, сколько
нейтрино генерируется в недрах Солнца каждую секунду.
Задача 9.
68
Первоначальная масса радиоактивного изотопа иода 131
53 I (период полураспада 8 суток)
равна 1 г. Определите начальную активность изотопа и его активность через 3 суток.
Задача 10.
Найдите постоянную радиоактивного распада радона, если известно, что число его
атомов уменьшилось за 1 сутки на 18,2 %.
Задача 11.
Чтобы определить возраст древней ткани, найденной в одной из египетских пирамид,
была определена активность в ней атомов изотопа углерода 146 C . Она оказалась равной 9,2
распадам в минуту на один грамм углерода. Активность
14
6
C в живых растениях
соответствует 14,0 распадам в минуту на один грамм углерода. Период полураспада 146 C равен
5730 лет. Оцените возраст ткани.
Задача 12.
Определите суточный расход чистого урана 235
92 U атомной электростанцией тепловой
мощностью 300 МВт, если энергия, выделяющаяся при одном акте деления, составляет 200
МэВ.
Задача 13.
Дополните недостающие обозначения x в следующих ядерных реакциях:
1
145
1
1) 235
2) 235x U  01n 99x Zr  135xTe  x 01n ;
92 U  0 n 57 La  x  4 0 n ;
3)
232
x
Th  01n  x  140x Xe 301 n 4) xx Pu  01n157x Nd 80x Se301 n .
Тема № 9.
Номенклатура химических соединений. Законы стехиометрии.
знать:
- законы стехиометрии (законы сохранения массы, эквивалентов, кратных отношений
постоянства состава, Авогадро, Гей-Люссака);
- основные классы неорганических соединений.
Задача 1 (1.1)
При сжигании 100 г углеводорода получено 274,32 г CO2 и 224,6 г H2O. Найдите
эмпирическую формулу углеводорода.
Задача 2 (1.2) (для разбора в УМП)
При сжигании 100 г органического вещества получено 191,3 г CO2 и 117,4 г H2O.
Установите эмпирическую формулу этого соединения.
Задача 3 (1.5)
Какое количество CO2 выделится из 1 кг мела (CaCO3), загрязненного 5 % песка?
Задача 4 (г8с103) (для разбора в УМП)
Какой объем воздуха при нормальных условиях потребуется для взаимодействия с 270 г
алюминия, содержащего 20% примесей? Какое количество вещества оксида алюминия при
этом получится?
Задача 5 (1.13)
Определите, какой металл образует оксид M3O4, если содержание металла в нем
составляет 90,66 %.
69
Задача 6 (теор1.4)
Расставьте коэффициенты в уравнениях реакций
1) Na + H2O  NaOH + H2;
2) Ba(NO3)2 + K3PO4  Ba3(PO4)2 + KNO3;
3) Cd(NO3)2 + Na2S  CdS + NaNO3;
4) C2H6 + O2  CO2 + H2O;
5) Fe2O3 + CO  Fe + CO2;
6) BF3 + NaBH4  NaBF4 + B2H6.
Задача 7 (г8с44)
Определите тип химической связи, запишите схемы их образования для веществ с
формулами: S2, K2O, H2S, N2, Li3N, Cl3N.
Задача 8 (1.8)
К каким классам неорганических соединений относятся следующие вещества: Na,
NaOH, NaCl, Na2O, S, H2SO4, Cu(OH)2, H2S, NaHCO3, SO3, AlOHCl2. Укажите
систематические названия всех этих веществ.
Задача 9 (г8с61, 170)
Определите степени окисления элементов в следующих веществах: Na2S, Cl2, Fe2O3,
NaH, CaH2, H2S, HCl, H3N, K2O, OF2, O2, Na2SO4, K2SO3, Fe(NO3)3, Fe(NO2)2, NaHSO4,
CuOHNO3, Mg(HCO3)2, Ca3(PO4)2. Укажите систематические названия всех этих веществ.
Задача 10 (г8с100, 157)
Запишите уравнения типичных для кислот химических реакций по следующим схемам:
1) фосфорная кислота + гидроксид натрия  фосфат натрия + вода;
2) азотная кислота + гидроксид железа (II)  нитрат железа (II) + вода;
3) серная кислота + оксид меди(II)  сульфат меди + вода;
4) соляная кислота + цинк  хлорид цинка + водород;
5) серная кислота + хлорид бария  сульфат бария + соляная кислота;
6) соляная кислота + карбонат кальция  хлорид кальция + вода + углекислый газ.
Укажите тип каждой из этих реакций (разложения, соединения, замещения, обмена)
Задача 11 (г8с161)
Запишите уравнения типичных для оснований химических реакций по следующим
схемам:
1) гидроксид натрия + соляная кислота  хлорид натрия + вода
2) гидроксид натрия + оксид азота (III)  нитрит натрия + вода;
3) гидроксид калия + оксид серы (IV)  сульфит калия + вода;
4) гидроксид калия + сульфат меди (II)  гидроксид меди (II) + сульфат калия.
Укажите тип каждой из этих реакций (разложения, соединения, замещения, обмена)
Задача 12 (г8с161)
Запишите уравнения типичных для основных и кислотных оксидов химических
реакций по следующим схемам:
1) оксид калия + вода  гидроксид калия;
2) оксид азота (V) + вода  азотная кислота;
3) оксид меди (II) + азотная кислота  нитрат меди (II) + вода;
4) оксид серы (IV) + гидроксид натрия  сульфит натрия + вода;
5) оксид кальция + оксид азота (V)  нитрат кальция.
70
Укажите тип каждой из этих реакций (разложения, соединения, замещения, обмена)
Задача 13 (г8с70)
Составьте формулы оксидов, соответствующих гидроксидам Fe(OH)2, Fe(OH)3, Cu(OH)2
и дайте названия всех веществ.
Задача 14 (г8с70)
Составьте химические формулы кислот, соответствующих следующим оксидам: N2O3,
CO2, P2O5, SiO2, SO2 и дайте названия всех веществ.
Задача 15 (1.11)
Напишите уравнения реакций, посредством которых
соединения: Ba  Ba(OH)2  BaCO3  BaCl2  BaSO4.
получаются
следующие
Задача 16.
При взаимодействии с избытком соляной кислоты 5,29 г сплава магния и алюминия
выделилось 5,6 л водорода при нормальных условиях. Определите состав сплава.
Тема № 10.
Скорость химических реакций. Химическое равновесие.
Знать:
- смысл понятий экзотермические и эндотермические реакции;
- что такое энтальпия (тепловой эффект химической реакции), энергия Гиббса;
- закон Гесса;
- что такое скорость химической реакции;
- закон действующих масс;
- правило Вант-Гоффа;
- уравнение Аррениуса.
Задача 1.
Какое энерговыделение характерно для образования моля фторводорода, если энергия
разрыва связей в молекулах H2, F2, HF составляет соответственно 432 кДж/моль, 155
кДж/моль и 566 кДж/моль? Напишите уравнение реакции.
Задача 2.
Определите энергию двойной связи С=С, если известна энтальпия реакции
C2H4(г) + Н2(г) C2H6(г), Н= - 137 кДж/моль
и средние энергии связей ECH=412 кДж/моль, ECC=348 кДж/моль, EHH=430 кДж/моль.
Задача 3.
Сожжены с образованием H2O(г) равные объемы водорода и ацетилена (C2H2), взятые
при одинаковых условиях. Напишите уравнения реакций, определите, в каком случае
выделится большее количество теплоты и во сколько раз. Энтальпия образования H2O(г),
CO2(г), C2H2(г) равна соответственно 241,8 кДж/моль; 393,5 кДж/моль; 226,8 кДж/моль.
Задача 4.
Энтальпия образования C2H5OH(г), CO2(г) и H2O(г) в стандартных условиях равны
соответственно 235 кДж/моль; 393,8 кДж/моль; 241,8 кДж/моль. Рассчитайте энтальпию
сгорания C2H5OH(г). Вычислите энтальпию сгорания C2H5OH(г), используя энергию связей
ECH=412 кДж/моль, ECC=348 кДж/моль, ECO=360 кДж/моль, EOH=460 кДж/моль,
EOO=490 кДж/моль, EC=O=790 кДж/моль. Сравните полученные результаты.
71
Задача 5.
Найдите массу метана, при полном сгорании которого выделяется количество теплоты,
достаточное для нагревания 100 г воды от 20 до 30 С. Мольную теплоемкость воды примите
равной 75,3 Дж/(мольК). Энтальпия образования H2O(г), CO2(г), CH4(г) равна соответственно
241,8 кДж/моль; 393,8 кДж/моль; 74,9 кДж/моль. Напишите уравнение реакции.
Задача 6.
Вычислите изменение стандартной энергии Гиббса и определите возможность
протекания при стандартных условиях следующей реакции:
Fe2O3(т) + 3H2(г)  2Fe(т) + H2О(г);
Определите условия, при которых указанную реакцию можно осуществить, если известна
энтропия и энтальпия образования веществ, участвующих в реакции:
Нобр, кДж/моль
Sобр, Дж/(мольК)
Fe2O3(т)
- 822,7
87,5
H2(г)
0
130,7
Fe(т)
0
27,2
H2О(г)
- 241,8
189
Задача 7.
Можно ли получить силикат натрия Na2SiO3 при стандартных условиях в ходе
следующей реакции:
SiO2(т) + 2NaOH(р)  Na2SiO3(р) + H2О(ж)?
Стандартные энергии Гиббса SiO2(т), NaOH(р), Na2SiO3(р), H2О(ж) равны
соответственно – 804 кДж/моль, – 420 кДж/моль, – 1428 кДж/моль, – 238 кДж/моль.
Задача 8.
Вычислите скорость реакции A+2BС в момент, когда прореагировала половина
вещества В. Начальные концентрации веществ А и В равны соответственно 3 моль/л и 4
моль/л. Константа скорости равна 0,5.
Задача 9.
На сколько нужно повысить температуру, чтобы скорость реакции возросла в 50 раз?
Температурный коэффициент скорости реакции равен 2.
Задача 10.
Две реакции протекают при 25 С с одинаковой скоростью. Температурный
коэффициент скорости первой реакции равен 2,0; второй – 2,5. Найдите отношение
скоростей этих реакций при 95 С.
Задача 11.
Некоторая реакция протекает при 50 С за 22,2 секунды, а при 10 С – за 30 минут.
Определите температурный коэффициент скорости реакции. За какое время эта реакция
закончится при 30 С?
Задача 12.
Во сколько раз увеличится скорость реакции, протекающей при 25 С, если энергию ее
активации уменьшить на 4 кДж/моль?
Задача 13.
Скорость реакции при 40 С вдвое выше, чем при 30 С. Вычислите энергию активации.
72
Задача 14.
При состоянии равновесия в системе N2(г)+3H2(г)2NH3(г) концентрации участвующих
веществ равны: [N2]=3 моль/л; [H2]=9 моль/л; [NH3]=4 моль/л. Определите исходные
концентрации N2 и H2. Найдите константу равновесия реакции.
Тема № 11.
Законы Кеплера. Сила всемирного тяготения.
Знать:
- законы Кеплера;
- закон всемирного тяготения.
Задача 1.
Найдите период обращения Юпитера вокруг Солнца, если известно, что большая
полуось его орбиты в 5,2 раза больше, чем у Земли.
Задача 2.
Считая, что Луна движется по круговой орбите, определите линейную скорость
обращения Луны вокруг Земли. Масса Земли равна 5,981024 кг, расстояние от Земли до
Луны 3,84108 м.
Задача 3. (для разбора в УМП)
Две нейтронные звезды обращаются вокруг общего центра масс по круговой орбите с
периодом 7 часов. Найдите расстояние между звездами, если их массы одинаковы и в 1,4
30
раза больше массы Солнца ( m  1,99  10 кг).
Задача 4.
Используя закон всемирного тяготения, и, полагая, что планеты движутся по круговым
орбитам вокруг Солнца, получите третий закон Кеплера.
Задача 5.
Спутник Юпитера Каллисто имеет период орбитального движения примерно 16 суток,
такой же, как и спутник Сатурна Титан. У какой из планет спутник находится на большем
расстоянии и почему? Масса Юпитера в 318 раз больше массы Земли, а масса Сатурна в 95
раз превышает массу Земли.
Задача 6.
В конце 20 века человечество узнало о второй планетной системе (помимо Солнечной),
находящейся в созвездии Девы (1000 св. лет). В роли центрального тела выступает
нейтронная звезда (пульсар), вокруг которой обращаются три спутника (планеты). Среднее
расстояние от внешнего спутника до пульсара равно 0,47 а. е., период обращения – 95 суток.
Определите по этим данным массу пульсара, выразив ее в солнечных массах. Для простоты
можно считать, что планеты движутся по круговым орбитам вокруг пульсара.
Задача 7.
Определите ускорение свободного падения на поверхности Земли по следующим
данным: средний радиус Земли 6378 км, средняя плотность Земли 5,4 г/см3, гравитационная
постоянная 6,71011 Нм2/кг2.
Задача 8.
Искусственный спутник Земли вращается по эллиптической орбите с эксцентриситетом
0,5. Определите, во сколько раз скорость спутника в перигее больше, чем в апогее.
73
Задача 9.
Орбита кометы Галлея – сильно вытянутый эллипс. Период обращения кометы 76 лет, а
наибольшую скорость она имеет на расстоянии 0,6 а. е. от Солнца. На каком расстоянии от
Солнца скорость кометы минимальна?
Задача 10. (для разбора в УМП)
В 1993 году межпланетный аппарат «Галилео», пролетая мимо астероида Ида,
обнаружил у него малый спутник, получивший название Дактиль. Спутник обращается
вокруг Иды на расстоянии около 100 км. Найдите ускорение свободного падения на
поверхности Дактиля, считая, что его плотность равна 2 г/см3.
Задача 11.
Какую скорость надо сообщить космическому кораблю, стартующему с поверхности
Земли, чтобы он смог преодолеть земное тяготение? Радиус Земли 6378 км ускорение
свободного падения 9,8 м/с2.
Задача 12.
22
Найдите значения второй космической скорости для а) Луны ( m  7,35  10 кг,
R=1738 км); б) Солнца ( m  1,99  10
30
кг, R=6,96108 м).
Тема № 12.
Эффект Доплера в астрономии. Закон Хаббла.
Знать:
- закон Хаббла;
- суть эффекта Доплера;
- названия различных диапазонов электромагнитных волн;
- границы видимого спектра электромагнитных волн;
- что такое «красное» и «фиолетовое» смещение, первая и вторая космические скорости,
гравитационный радиус тела, критическая плотность.
Задача 1.
При годичном движении Земли линии в спектрах звезд, к которым в данный момент
направлено движение планеты, смещены в фиолетовую сторону. Определите скорость
движения Земли, если для зеленой линии з=500 нм смещение составляет 0,05 нм.
Задача 2. (для разбора в УМП)
Период пульсара в Крабовидной туманности составляет 0,0334 с. В каких пределах и с
какой периодичностью будет изменяться значение этого периода, измеренное на Земле?
Когда оно будет достигать максимума и минимума? Скорость орбитального движения Земли
составляет 30 км/с.
Задача 3.
Для определения периода вращения Солнца вокруг оси измерили относительный сдвиг
/0 спектральных линий восточного и западного краев Солнца. Он оказался равным
1,3610  5. Определите период вращения Солнца, если его радиус равен 6,96108 м.
Задача 4.
Эффект Доплера позволил открыть столь удаленные двойные звезды, что разрешение
их с помощью телескопа оказалось невозможным. Спектральные линии таких звезд
74
становятся периодически двойными, из чего можно предположить, что источником света
являются две звезды, обращающиеся вокруг их центра масс. Считая массы обеих звезд
одинаковыми, найдите расстояние между ними и их массы, если максимальное расщепление
спектральных линий равно /0 =1,210  4, причем оно возникает через каждые 30 дней.
Задача 5.
Относительное красное смещение для одной из галактик составляет 0,001. Определите
смещение  для голубой линии в спектре водорода (0=486,1 нм). Какова скорость
движения галактики по лучу зрения? Каково расстояние до излучающего источника?
Постоянную Хаббла примите равной 75 км/сМпк.
Задача 6.
В спектральных линиях, излучаемых астрономическими объектами – квазарами,
наблюдалось красное смещение, отвечающее трехкратному уменьшению частоты.
Определите, с какой скоростью должен удаляться квазар.
Задача 7.
Предельное расстояние, до которого могут «дотянуться» наблюдения, называется
хаббловским радиусом; в настоящее время оно составляет около 4000 Мпк. Никакое
совершенствование техники не позволит заглянуть еще дальше. Какой скорости удаления
соответствует это расстояние? Постоянную Хаббла примите равной 75 км/сМпк.
Задача 8.
Сколько времени потребуется лучу света, чтобы пересечь по диаметру галактику,
которая удаляется от нас со скоростью 1000 км/с и видна под углом 1? Постоянную Хаббла
примите равной 75 км/сМпк.
Задача 9. (для разбора в УМП)
Найдите линейный размер галактики, если известно, что длины волн всех спектральных
линий в спектре галактики смещены из-за эффекта Доплера на /0=0,1. Угловой размер
галактики составляет 1. Постоянную Хаббла примите равной 75 км/сМпк.
Задача 10.
24
Найдите значения гравитационного радиуса для а) Земли ( m  5,98  10 кг); б)
Солнца ( m  1,99  10
30
кг).
Задача 11.
Определите среднюю критическую плотность вещества во Вселенной. Постоянную
Хаббла примите равной 75 км/сМпк.
Задача 12.
Определите среднюю концентрацию протонов во Вселенной, если средняя плотность
вещества во Вселенной равна 10─30 г/см3. Масса протона 1,6721027 кг.
Тема № 13.
Определение расстояний в астрономии.
Знать:
- правило Тициуса-Боде;
- что такое видимая звездная величина и абсолютная звездная величина.
75
- связь видимой звездной величины с абсолютной звездной величиной и расстоянием до
объекта;
- что такое параллакс, суточный параллакс, годичный параллакс; разрешающая способность
оптического прибора;
- основные единицы измерения расстояний в астрономии (парсек, астрономическая единица
и световой год).
Задача 1.
В XVIII веке была подмечена закономерность в расположении планет – правило
Тициуса-Боде. Вычислите по этому правилу среднее расстояние от Солнца до Юпитера.
Задача 2.
Найдите в угловых секундах суточный параллакс Солнца, если радиус Земли R=6378
км, а среднее расстояние от Земли до Солнца составляет 149, 6 млн. км.
Задача 3.
Используя результаты предыдущей задачи, определите, на каком расстоянии от Земли
находится Юпитер, когда его суточный параллакс равен 1,5. Ответ выразите в
астрономических единицах.
Задача 4.
Определите линейный радиус Марса, если известно, что во время великого
противостояния его угловой радиус составляет 12,5, а суточный параллакс равен 23,4.
Радиус Земли R=6378 км.
Задача 5.
Разрешающая способность человеческого глаза составляет 2. Объекты какого размера
различает космонавт на поверхности Земли с космического корабля, летящего на высоте 240
км?
Задача 6.
Чему равно расстояние в 1 пк, если его выразить а) в километрах? б) в световых годах?
в) в астрономических единицах?
Задача 7.
Расстояние до ближайшей (если не считать Солнце) к Земле звезды – Проксимы
Центавра составляет 4,2 светового года. Определите годичный параллакс этой звезды.
Задача 8.
В 1054 году в нашей Галактике вспыхнула сверхновая. В настоящее время на этом
месте наблюдается Крабовидная туманность. Измерение лучевых скоростей газа в
туманности показало, что она расширяется со скоростью около 1200 км/с от центра. Угловой
диаметр туманности около 5. Определите расстояние до Крабовидной туманности.
Задача 9.
Во сколько раз планета, имеющая видимую звездную величину m =  3, ярче звезды, у
которой звездная величина m= +2?
Задача 10.
Для наблюдателя на Земле звезда имеет блеск 4m. Каков ее блеск с расстояния вдвое
меньшего?
76
Задача 11.
Параллакс Веги равен 0,12, а звездная величина – 0m. На каком расстоянии от Солнца
на прямой Солнце – Вега по направлению к Веге должен находиться наблюдатель, чтобы эти
две звезды были одинаково яркими? Видимая звездная величина Солнца равна –26,8m.
Задача 12.
Фотографические абсолютные звездные величины цефеид с периодом свыше 40 дней
достигают –7 звездной величины. Определить расстояние до цефеиды, если она наблюдается
как звезда с видимой звездной величиной +18. Принадлежит ли она нашей галактике?
Тема № 14.
Характеристики звезд и планет.
Знать:
- основные этапы эволюции звезд;
- что такое число Вольфа, светимость звезды, альбедо планеты.
Задача 1.
Определите число Вольфа на этой фотографии Солнца.
Задача 2а.
Определите число Вольфа на этой фотографии Солнца.
Задача 3 (2б).
Оцените высоту фотосферы Солнца, считая вещество фотосферы (в основном это
нейтральный атомарный водород) идеальным газом. Ускорение свободного падения на
Солнце равно 274 м/с2, температура фотосферы 5800 К.
Задача 4.
В конце своей эволюции Солнце начнет расширяться и превратится в красный гигант. В
результате температура поверхности понизится вдвое, а светимость повысится в 400 раз. При
таких условиях поглотит ли Солнце какие-либо из планет? Средние расстояния от Солнца до
планет определите, используя правило Тициуса-Боде.
Задача 5. (для разбора в УМП)
Во сколько раз Арктур больше Солнца, если его светимость в сто раз больше
солнечной, а температура поверхности равна 4500 К? Температура солнечной поверхности
равна 5800 К.
Задача 6.
77
Белый карлик имеет массу 0,6MC (MC – масса Солнца), светимость 0,001LC (LC –
светимость Солнца) и температуру 2TC (TC – температура солнечной поверхности). Во
сколько раз его средняя плотность больше солнечной?
Задача 7.
Какова должна быть скорость вещества, чтобы оно смогло покинуть белый карлик,
30
масса которого равна массе Солнца ( m  1,99  10 кг), а радиус составляет 20 тысяч км.
Задача 8.
Во сколько раз красный гигант больше красного карлика, если их светимости
отличаются в 100 млн. раз?
Задача 9.
Пульсар NP 0531 – знаменитый пульсар в Крабовидной туманности – имеет период
0,033 с. Оцените его плотность.
Задача 10.
В центре активной галактики М87, находящейся на расстоянии 14,7 Мпк, обнаружен
компактный газовый диск с угловым радиусом 0,2, вращающийся с огромной скоростью
600 км/с. Оцените массу черной дыры, по-видимому, находящейся в центре этого диска и
своим притяжением удерживающей его от разрушения. Сравните массу черной дыры с
30
массой Солнца ( m  1,99  10 кг).
Задача 11.
Блеск Юпитера в противостоянии составляет –2,7m, а блеск Урана +5,5m. Найдите
отношение альбедо Юпитера и Урана. Радиусы Юпитера и Урана равны соответственно 71,4
и 25,4 тыс. км. Расстояние планет от Солнца определите с помощью правила Тициуса-Боде.
Задача 12. (для разбора в УМП)
Видимые угловые диаметры Солнца и Луны примерно одинаковы. Блеск Солнца равен
–26,8m. Найдите блеск Луны. Расстояние от Земли до Солнца составляет 149,6 млн. км,
радиус Солнца равен 6,95108 м.
Задача 13.
Комета Понса-Брукса имеет период обращения 71 год и проходит в перигелии на
расстоянии 0,78 а. е. от Солнца. Во сколько раз сильнее Солнце освещает ее поверхность в
перигелии, чем в афелии?
Тема № 15
Живые системы. Информационные макромолекулы.
Знать:
- что такое мономеры и макромолекулы, аминокислоты и нуклеотиды;
- отличия в строении белков и нуклеиновых кислот;
- названия азотистых оснований нуклеотидов ДНК и РНК;
- назначение и-РНК, т-РНК, р-РНК;
- отличия в строении и-РНК и ДНК;
- правила Э. Чаргафа;
- смысл понятий комплементарность, транскрипция, трансляция, репликация, ген,
генетический код, экзоны, интроны, сплайсинг.
78
- основные свойства генетического кода (триплетность, вырожденность (избыточность),
квазиуниверсальность, неперекрываемость);
Генетический код
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Аминокислота
Кодоны (триплеты) нуклеотидов м-РНК
Метионин (Мет)
Триптофан (Три)
Цистеин (Цис)
Аспарагиновая кислота (Асп)
Глутаминовая кислота (Глу)
Фенилаланин (Фен)
Гистидин (Гис)
Лизин (Лиз)
Аспарагин (Асн)
Глутамин (Глн)
Тирозин (Тир)
Изолейцин (Иле)
Глицин (Гли)
Пролин (Про)
Треонин (Тре)
Валин (Вал)
Аланин (Ала)
Лейцин (Лей)
Аргинин (Арг)
Серин (Сер)
АУГ
УГГ
УГЦ, УГУ
ГАЦ, ГАУ
ГАА, ГАГ
УУЦ, УУУ
ЦАЦ, ЦАУ
ААА, ААГ
ААЦ, ААУ
ЦАА, ЦАГ
УАЦ, УАУ
АУА, АУЦ, АУУ
ГГА, ГГГ, ГГЦ, ГГУ
ЦЦА, ЦЦЦ, ЦЦГ, ЦЦУ
АЦА, АЦЦ, АЦГ, АЦУ
ГУА, ГУЦ, ГУГ, ГУУ
ГЦА, ГЦЦ, ГЦГ, ГЦУ
УУА, УУГ, ЦУА, ЦУЦ, ЦУГ, ЦУУ
АГА, АГГ, ЦГА, ЦГЦ, ЦГГ, ЦГУ
АГЦ, АГУ, УЦА, УЦЦ, УЦГ, УЦУ
стоп-кодоны: УАА, УАГ, УГА
Задача 1.
Изучите таблицу «генетический код». Сколько всего аминокислот используется
живыми организмами в процессе синтеза белков? Сколько всего триплетных кодонов можно
составить из четырех нуклеотидов? Сколько триплетов используется для кодирования
аминокислот? Покажите на примерах, что генетический код является триплетным и
вырожденным.
Задача 2.
Единичная молекула ДНК в хромосоме бактерии кишечной палочки (молекулярная
масса 2,8109 дальтон (1 дальтон=1,661027 кг)) содержит около 4,5 млн. мононуклеотидных
единиц. Определите массу (в кг) и общую длину этой молекулы ДНК in vitro и сравните ее с
длиной бактерии (длина примерно 106 м).
Задача 3.
В соматических (диплоидных) клетках млекопитающих и человека содержание ДНК
составляет 6 пг (пико, п – 1012), число нуклеотидных пар – 5500 млн.; длина каждой
мононуклеотидной единицы 3,4 Å. Определите: а) суммарную длину (в м) молекул ДНК в
отдельной клетке; б) общую длину (в км) и массу ( в г) всей ДНК новорожденного ребенка
(21012 клеток). Данные по длине молекул сравните с расстоянием от Земли до Солнца
(1,51011 м). в) Сколько генов содержится в ДНК отдельной клетки человека, если размер
79
«среднего» гена составляет 500 нуклеотидных пар? Расчет произведите, исходя из
допущения, что ДНК содержит только экзоны.
Задача 4.
Сравните длину гена с длиной кодируемой им полипептидной цепи, находящейся в спиральной конфигурации (т. е. при расстоянии между мономерами в 5,4 Å). Расчет
произведите, исходя из допущения, что ген содержит только экзоны.
Задача 5.
По приблизительным оценкам, в человеческом организме содержатся десятки тысяч
белков, что, однако, составляет лишь минимальную долю от их возможного количества.
Оцените приблизительно возможное число белков из 100 аминокислот. Сравните свои
данные с числом атомных ядер в наблюдаемой части Вселенной, оцениваемом как 1080.
Задача 6.
В молекуле ДНК тимин составляет 16% от общего числа нуклеотидов. Какое
количество гуанина (в %) содержится в этой молекуле?
Задача 7.
На цепи ДНК с последовательностью нуклеотидов АГТ ЦТГ ТАЦ синтезируется иРНК. Какая последовательность азотистых оснований будет содержать эта и-РНК?
Задача 8.
Участок молекулы ДНК (ген) характеризуется следующей последовательностью
нуклеотидов: ТАЦ ААЦ ТТА ГАЦ ЦГГ ААТ ТАГ АГЦ АЦТ.… Определите
последовательность аминокислот в белке, кодируемым данным геном.
Задача 9.
Механизм генных (точковых) мутаций заключается в выпадениях, вставках или заменах
нуклеотидов в цепях ДНК, что может приводить к изменениям первичного (и-РНК) и
конечного (белок) продуктов данного гена. Участок цепи ДНК (ген) характеризуется
следующей последовательностью нуклеотидов: ТАЦ ААА ТГА ЦАГ ГЦЦТ.… Определите
порядок расположения аминокислот в белке, кодируемом данным геном. Как изменится
структура белка, если четвертый нуклеотид будет удален из гена?
Задача 10.
Согласно правилам Э. Чаргаффа, установленным еще в 1947-1950 г.г., т. е. еще до
открытия в 1953 г. Дж. Уотсоном и Ф. Криком двойной спирали ДНК, суммарное число
пуриновых оснований (аденин, гуанин) в ДНК равно сумме пиримидиновых оснований
(тимин, цитозин), причем количество аденина равно количеству тимина, а количество
гуанина – количеству цитозина. Изобразите схематически произвольный фрагмент
двухцепочечной молекулы ДНК, включающей разные нуклеотиды. Убедитесь в
справедливости правил Э. Чаргаффа, для чего а) определите сумму пуринов (А+Г) и
À
Ã
À Ã
пиримидинов (Т+Ц) и найдите соотношение
; б) определите соотношения
и
.
Ò
Ö
Ò Ö
Тема № 16.
Закономерности наследования признаков.
Знать:
- законы Г. Менделя;
80
- смысл понятий аллель, гамета, генотип, фенотип, доминантность, рецессивность,
гомозиготность, гетерозиготность.
Задача 1.
Сколько и какие типы гамет образуют следующие генотипы: AABB, AaBBCc, AabbCC,
AaBbCc, aaBbCc? Какую численную закономерность можно вывести при анализе количества
типов гамет у гетерозигот?
Задача 2.
В одном из опытов скрещивались мыши с серой и коричневой шерстью, при этом в
первом поколении получались коричневые мыши. Повторное скрещивание между
потомками приводило во втором поколении к отношению 3:1 между коричневыми и серыми
мышами. Каким будет результат скрещивания мыши из первого поколения с чистокровной
серой мышью (каков будет процент мышей с коричневой шерстью)?
Задача 3.
Проводились опыты по скрещиванию растений гороха двух чистых линий: растения
одной линии имели простые стручки, а другой – членистые. В первом поколении все
растения имели простой стручок. Когда потомков первого поколения скрестили между
собой, то из 122 растений 92 имели простой стручок, а 30 – членистый. Затем провели
анализирующее скрещивание растений с простым стручком из второго поколения с
растениями чистой линии, имеющими членистый стручок. Какое получится соотношение
фенотипов растений в потомстве этого скрещивания?
Задача 4.
У человека каштановый цвет волос доминантен по отношению к светло-русому, карий
цвет глаз – по отношению к голубому. Родители отличаются по двум этим признакам, у них
четверо детей разных фенотипов. Определите генотипы родителей.
Задача 5.
Семена гороха могут быть желтыми и зелеными, гладкими и сморщенными. Гены,
определяющие данные признаки, являются независимыми. При скрещивании растений, у
одного из которых семена желтые и гладкие, а у другого – зеленые и сморщенные, появились
растения с желтыми и гладкими семенами. Каким будет результат скрещивания растения,
гетерозиготного по обоим признакам, с растением, имеющим зеленые и сморщенные семена
(какую часть потомства составят растения с зелеными и сморщенными семенами)?
Задача 6.
Скрестили растения двух чистых линий гороха: у растений одной линии были белые
цветки и зеленые стручки, у растений другой – красные цветки и желтые стручки. В первом
поколении этого скрещивания все потомки имели красные цветки и зеленые стручки. Затем
потомков первого поколения скрестили между собой. Какой будет доля растений с белыми
цветками и желтыми стручками в общем числе потомков второго поколения, если известно,
что гены окраски цветков и окраски стручков не взаимодействуют и расположены на разных
хромосомах.
Задача 7.
Существует несколько разных пород кур с белой окраской оперения (будем считать,
что порода – это чистая линия). При скрещивании пород белый леггорн и белый плимутрок
все потомство первого поколения белого цвета. Но при скрещивании этих гибридов друг с
другом во втором поколении появляются цветные птицы. Какое соотношение белых и
окрашенных птиц будет наблюдаться, если известно, что окраска этих кур определяется
81
двумя взаимодействующими генами, расположенными на разных хромосомах? Определите
тип взаимодействия генов, определяющих окраску кур.
Задача 8.
У душистого горошка есть разные чистые линии растений с белыми цветками. Были
найдены линии, которые при скрещивании дают все потомство первого поколения с
пурпурными цветками. Известно, что окраска цветков душистого горошка определяется
двумя взаимодействующими генами, расположенными на разных хромосомах. Определите
тип взаимодействия генов, определяющих окраску цветков. Какие растения и в каком
соотношении возникнут в потомстве от скрещивания пурпурных растений первого
поколения друг с другом?
Задача 9.
Проводились опыты по скрещиванию растений ночной красавицы двух чистых линий:
имеющей красные цветки и имеющей белые цветки. Все потомки первого поколения имели
розовые цветки. Когда потомство первого поколения скрестили между собой, то из 80
растений 21 имело красные цветки, 39 – розовые и 20 – белые. Каково будет соотношение
потомства различной окраски при скрещивании растений второго поколения, имеющих
розовые цветки, и растений с белыми цветками?
Задача 10.
Распространенной формой взаимодействия аллельных генов является множественный
аллелизм – следствие неоднократных мутаций исходного (предкового) гена. Сокращенная
(неполная) серия аллелей цвета радужной оболочки глаз у человека может быть
представлена в следующем виде: А – темно-карие, а1 – карие, а2 – светло-карие, а3 – зеленые,
а4 – серые, а5 – голубые. Каждый предыдущий аллель полностью доминирует над всеми
последующими. Выпишите все генотипы, возможные для указанных фенотипов (в порядке
убывания). Какими должны быть генотипы родителей, чтобы в их семьях были дети со
следующим цветом глаз:
а) зеленые, серые, темно-карие;
б) карие, голубые, серые;
в) зеленые, светло-карие, голубые?
Задача 11.
Во многих случаях гены из разных пар хромосом (неаллельные) обуславливают
развитие одного признака. Широко известным примером является полимерия – однозначное
действие неаллельных генов. У человека подобным образом наследуется цвет кожи,
обусловленный двумя парами генов, находящимися в негомологичных хромосомах. Если все
гены доминантные, то кожа черная (негры), при всех рецессивных – белая (европейцы). При
наличии в генотипе трех, двух и одного доминантных генов кожа соответственно темная
(темные мулаты), смуглая (мулаты) и светлая (квартероны). Определите число и
соотношение фенотипов у детей-потомков дигетерозиготных родителей-мулатов.
Задача 12.
Проводили скрещивание двух чистых линий кукурузы: у растений одной линии были
гладкие окрашенные семена, а у растений другой – морщинистые неокрашенные. Все
потомство первого поколения имело гладкие окрашенные семена. После скрещивания
гибридов первого поколения с растениями чистой линии, имеющими морщинистые
неокрашенные семена, оказалось, что из 1000 потомков 482 имели гладкие окрашенные
семена, 482 – морщинистые неокрашенные, 18 – гладкие неокрашенные, и 18 –
морщинистые окрашенные. Рассчитайте, какие потомки и в каком соотношении получатся,
если скрестить тех же гибридов первого поколения друг с другом.
82
Задача 13.
Деление человечества по группам крови основывается на наличии или отсутствии
белков на оболочках эритроцитов. Общеизвестна трехаллельная система АВО (I – IV группы
крови). Люди с нулевой (I) группой – рецессивные гомозиготы, генотипа ОО, т. е. их
эритроциты не имеют белков. Лица с группой А (II) имеют белок типа А, фенотип А… при
генотипах АА либо АО, люди с группой В (III) имеют белок типа В, фенотип В… при
генотипах ВВ либо ВО. Люди с группой АВ (IV) имеют оба белка и всегда гетерозиготны.
Представьте все возможные ситуации, чтобы дети не походили по группам крови на обоих
родителей. Какими могут быть группы крови у детей, если фенотипы их матери и отца А… и
В… соответственно.
Задача 14.
Мужчина, имеющий вторую группу крови, женился на женщине с третьей группой
крови. Отец мужчины имел вторую группу крови, мать мужчины – первую. У женщины отец
и мать имели третью группу крови, причем оба раньше состояли в браках с лицами первой
группы крови, а все дети от предыдущих браков имели третью группу крови. Какое
соотношение групп крови можно ожидать у детей от этого брака?
Тема № 17.
Наследование сцепленных с полом признаков.
Задача 1.
Дальтонизм (цветовая слепота) наследуется как рецессивный, сцепленный с полом
признак. Гетерозиготная женщина с нормальным цветовосприятием вышла замуж за
мужчину такого же фенотипа. От этого брака родилось восемь детей, в том числе четыре
мальчика. Определите, сколько детей имело нормальное зрение.
Задача 2.
Так называемая классическая гемофилия (несвертываемость крови) обусловлена
резким снижением содержания антигемофильного глобулина и наследуется как
рецессивный, сцепленный с полом признак. Мужчина, больной гемофилией, женился на
женщине, в родословной которой эта аномалия не встречалась. У них родились дочери и
сыновья с нормальной свертываемостью крови, которые вступили в брак с нестрадающими
гемофилией лицами. Обнаружится ли у внуков гемофилия и какова вероятность появления
больных в семьях дочерей и сыновей?
Задача 3.
Гемофилия и дальтонизм наследуются как рецессивные признаки, сцепленные с полом.
Женщина с аномальным цветовосприятием, не имевшая предков с несвертываемостью
крови, вышла замуж за мужчину-гемофилика, в родословной которого не было больных
дальтонизмом. Определите возможные фенотипы детей в этой семье.
Задача 4.
Ангидрозная эктодермальная дисплазия (отсутствие потоотделения и части зубов,
скудное оволосение, нарушение терморегуляции) наследуется как рецессивный, сцепленный
с полом признак. Фенотипически нормальная женщина вышла замуж за мужчину с этой
аномалией, у них родились больная дочь и здоровый сын. Определите генотипы родителей и
все генотипы и фенотипы детей, возможные в этой семье.
Задача 5.
Гипертрихоз (вырастание волос на краю ушной раковины) – один из
немногочисленных признаков, наследующихся через y-хромосому, который проявляется
83
лишь к 17 годам жизни (X-хромосома лишена подобного гена). Какими могут быть генотипы
и фенотипы детей в семье, где отец имел гипертрихоз?
Задача 6.
Гипоплазия эмали зубов (резкое истончение эмали, сопровождающееся потемнением
зубов) наследуется как сцепленный с полом признак. В семье, где этот дефект проявлялся
лишь у отца, родилось шесть детей, причем все три дочери унаследовали гипоплазию, все
три сына были нормальными. Определите доминирование и генотипы всех членов этой
семьи.
Задача 7.
Пигментный ретинит (прогрессирующее сужение поля зрения, приводящее к полной
слепоте) может наследоваться тремя путями: как аутосомный доминантный признак, как
аутосомный рецессивный признак и как рецессив, сцепленный с X-хромосомой. Определите
возможные генотипы и фенотипы детей в семье, где мать больна и гетерозиготна по всем
трем парам генов, отец здоров, причем в его генотипе нет аномальных аллелей.
Тема № 18.
Генетика популяций.
Знать:
- закон Харди-Вайнберга;
Задача 1.
Альбинизм общий (молочно-белая окраска кожи, отсутствие пигмента в волосяных
луковицах и эпителия сетчатки) наследуется как рецессивный аутосомный признак и
встречается с частотой 1:20000. Определите число гетерозигот (в %). У скольких процентов
людей ген альбинизма отсутствует?
Задача 2.
Глухонемота связана с врожденной глухотой, препятствующей нормальному усвоению
речи. Наследование аутосомно-рецессивное. Средняя частота аномалии для европейских
стран равна 2:10000. Определите возможное число гетерозиготных лиц в районе, где
проживает 8 млн. людей.
Задача 3.
Среди населения земного системы крови ABO распространены неравномерно. Так,
например, у североамериканских индейцев не выявлен антиген B, т.е. не встречаются III и
IV группы крови. Число лиц с первой группой (ОО) в разных племенах составляет (в %): юта
– 97,4; навахо – 77,7; черноногие – 23,5. Определите генетическую структуру указанных
популяций.
84