Основы логики

Основы логики
Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока
(Китай, Индия), но в основе современной логики лежит учение Аристотеля. Он впервые
отделил логические формы речи от ее содержания и сформулировал основные законы
мышления.
Создателем алгебры логики является живший в ХIХ веке английский
математик Джордж Буль, в честь которого эта алгебра названа булевой алгеброй
высказываний.
Логика (от греч. ―логос‖, означающего ―слово‖ и ―смысл‖) – наука о законах,
формах и операциях правильного мышления.
Ее основная задача заключается в нахождении и систематизации правильных
способов рассуждения.
Понятие
Понятие – форма мышления, в которой отражаются существенные (достаточные для
отличия) признаки отдельного предмета, явления или класса однородных предметов.
Например, стол, студент, автомобиль, компьютер.
Можно сказать, что понятие — это мысленное содержание слова, а слово — своего рода метка,
которой мы обозначаем ту или иную мысль. Понятие может обозначаться не только словом, но и
словосочетанием, например, самый глупый человек на свете.
Некоторые слова (омонимы) могут обозначать несколько понятий, например, поле, лист,
коса. И наоборот, разные слова могут обозначать одно понятие, например, око — глаз, хворь —
болезнь. Такие слова называются синонимами. Одно и тоже понятие, например, стол, на
разных языках также звучит по-разному.
Свойства понятий
Каждое понятие имеет два основных свойства: содержание и объем.
 Содержание понятия. Содержанием понятия являются все те признаки, с помощью
которых данное понятие определяется. Например, содержанием понятия автомобиль будут
признаки — «наземное механическое средство передвижения, у которого есть мотор, кузов и
колеса», содержанием понятия дуб —«лиственное дерево с крепкой древесиной и желудями».
Можно определить понятие маргарин как «искусственное масло из говяжьего или растительных
жиров».
Важно выделить совокупность существенных признаков, отраженных в понятии (например,
содержание понятия человек составляет совокупность признаков: способность к производству
орудий труда, абстрактному мышлению и др., а не свойство «иметь мягкую мочку уха»).
 Объем понятия. Множество. Объем понятия составляют все предметы, которые охвачены
данным понятием. В наших примерах объемом понятия автомобиль будут все существующие в
мире автомобили, объемом понятия дуб — все дубы и объемом понятия маргарин — все
существующие виды маргарина.
В семидесятых годах прошлого века немецкий математик Георг Кантор выдвинул понятие
множества, суть которого вполне передается словами «совокупность», «собрание», «набор» и т. д.
Универсальность этого понятия в том, что под него можно подвести любую совокупность
предметов, родственных по какому-либо признаку (автомобили, марки, числа, люди, звезды,
птицы и т. д.). Даже сами множества могут объединяться во множества: например математики
говорят про множество фигур на плоскости, но каждую фигуру они мыслят как множество точек.
В современной математике существует особый раздел, посвященный исследованию множеств –
теория множеств.
Таким образом, термин формальной логики объем понятия можно представить как множество,
состоящее из
некоторого количества однородных элементов (предметов или явлений),
соответствующих содержанию этого понятия.
Множество может состоять только из одного элемента, тогда его называют единичным
множеством (множество естественных спутников Земли, в котором единственный элемент —
Луна).
Множество может быть пустым, не содержащим ни одного элемента (множество действующих
вечных двигателей, множество квадратных колес и пр.).
И, наконец, существуют бесконечные множества, количество элементов которых перечислить
невозможно (множество натуральных чисел или множество небесных тел во Вселенной).
Виды понятий
По объему понятия делятся на виды:
Общие, в объем которых входит два и более элемента (город, река, дом);
Единичные (планета Марс, Россия, Эйфелева башня, Царь-пушка);
 Пустые или нулевые, в которые не входит ни одного реально существующего предмета
(русалка, Чебурашка, фотография Аристотеля).


По содержанию понятия делятся на виды:
Абстрактные и конкретные
Конкретные понятия отображают целостные явления или предметы (дождь, гроза, человек,
дорога), а абстрактные понятия отображают признаки, взятые отдельно от предметов, или же
отношения между предметами (доброта, скорость, цвет, равенство, отличие).

Положительные и отрицательные
Деление понятий на положительные и отрицательные не имеет никакого отношения к
моральным или другим оценкам понятий.

Понятие является положительным, если у предмета присутствует тот или иной признак,
например, счастливый человек, отличник, алчность, отстающий ученик. Если признак
отсутствует, например, бескорыстный человек, некрасивый поступок, ненормальный
режим, понятие является отрицательным.
Понятия, выраженные словами, которые без частицы «не» или «без» не употребляются,
являются положительными (ненастье, беспечность, безупречность, ненависть, неряха).
Собирательные и несобирательные
В собирательных понятиях группа однородных предметов мыслится как единое целое — полк,
стадо, созвездие, сборная России по плаванию.
В несобирательных каждое понятие является самостоятельным, например, озеро, баран,
магнитофон.
Собирательное понятие не может быть отнесено к каждому предмету данной группы.
Например, об одном дереве мы не можем сказать, что это лес, один корабль не является флотом,
то, что мы можем сказать о стаде, нельзя сказать о каждом из составляющих его баранов.
Несобирательное понятие относится не только к группе предметов в целом, но и к каждому
отдельному предмету данной группы. Например, деревом мы называем ель, березу, клен, сосну и
т. д.
Собирательные понятия бывают общими (например, роща, детский хор) и единичными
(созвездие Большой Медведицы, футбольная команда «Томь»).


Относительные и безотносительные
В относительных понятиях один предмет мысли предполагает существование другого (дети —
родители, ученик — учитель, начальник — подчиненный), а в безотносительных понятиях
мыслится предмет, существующий сам по себе (карандаш, город, дорога).
Операции с понятиями
Правила определения понятия:
1. Определение должно быть соразмерным: объем определяемого понятия должен быть равен
объему определяющего понятия.
2. Определение не должно заключать в себе круга. Разновидностью круга в определении
является тавтология. Например, «Идеалист — человек идеалистических убеждений».
3. Определение должно быть ясным и понятным. Несоблюдение этого правила ведет к
логической ошибке — определение неизвестного через неизвестное.
4. Определение положительных понятий не должно быть отрицательным.
Пример неправильного
определения
Тип ошибки
Автомобиль — это то, на чем
можно катать девушек.
Ошибка 1. Определение не является
соразмерным.
Объем определяющего понятия (то, на чем
можно катать девушек) имеет больший объем,
чем понятие автомобиль. Это может быть
велосипед, мотоцикл и т. д.
Автомобиль — это механическое
устройство для перевозки людей.
С одной стороны — определение слишком узкое,
на автомобиле можно перевозить и грузы, с другой — слишком широкое, поскольку людей можно
перевозить и поездами, и самолетами и т. д.
Вращение — это движение вокруг
своей оси.
(Ось — это прямая, вокруг которой
происходит вращение).
Ошибка 2. Определение содержит в себе круг.
Понятия, с помощью которых определяют
исходное понятие, сами определяются через него.
Классический пример: масло масляное.
Смысл — это содержание суждения.
(Суждение — это предложение,
имеющее смысл).
Лицемерие — это дань, которую
добродетель платит пороку.
Свинья — это не корова.
Умный человек — это не дурак.
Ошибка 3. Определение не является ясным и
четким.
Ошибка 4. Определение является отрицательным.
Между объемом и содержанием понятия существует закон обратного отношения — чем больше
признаков содержит понятие, тем меньше его объем. Например, объем понятия автомобиль
больше, чем объем понятия белый Мерседес 2001 года выпуска.
Добавляя новые признаки в содержание понятия, мы переходим к более узким понятиям. Эта
операция называется ограничением.
Пример ограничения понятия:
собака → овчарка → черная овчарка → черная дрессированная овчарка.
Здесь признаки добавляются последовательно, и объем понятия шаг от шага делается меньше.
Предел ограничения понятия — единичное понятие.
Цепочка понятий черная собака, овчарка, дрессированная собака не образует ни линии
ограничения, ни линии обобщения. Если изобразить эти цепочки понятий с помощью кругов
Эйлера получим:
При отбрасывании из содержания понятия некоторых признаков, мы получаем более широкое
собака
овчарка
овчарка
дрессированная собака
черная
овчарка
черная дрессированная
овчарка
понятие. Такая операция называется обобщением.
черная собака
Например, обобщая понятие звезда, мы включаем его в понятие небесное тело. При этом
вынуждены отбросить признаки исходного понятия. Еще один пример обобщения понятия (объем
понятия с каждым шагом делается больше):
плакучая ива → ива → лиственное дерево → дерево → растение.
Суть операции заключается в том, что для понятия находится более широкое по объему понятие,
в объем которого входит исследуемое. Пределом обобщения выступают предельно широкие
философские понятия, например, материя, природа, сознание и т. д.
Для раскрытия объема понятия используется деление понятия.
Деление понятия — это логическая операция, посредством которой объем исходного
понятия (рода) распределяется на ряд подмножеств (видов) с помощью избранного
основания деления.
Основание деления — признак, по которому осуществляется деление.
Если взять за основание деления величину угла, понятие углы можно разделить на острые,
тупые и прямые. Понятие лес можно разделить на хвойный лес, лиственный лес,
смешанный лес. Понятие органы чувств делится на органы зрения, осязания, обоняния,
слуха и вкуса.
В результате деления внутри одного множества образуется несколько подмножеств, каждое из
которых, в свою очередь, можно разделить на части, выбрав основание для деления.
Нужно отличать деление понятия и расчленение предмета на части. При делении родового
понятия мы должны получить понятия видовые, о которых можно сказать то же самое, что и о
родовом.
Например, понятие птица можно разделить на понятия перелетная птица и неперелетная
птица (но не на голова, крылья, клюв и т. д.).
Правила деления понятий
1. Деление должно быть полным (сумма объемов понятий, получившихся в результате
деления, должна быть равна объему делимого понятия).
2. Деление должно производиться только по одному признаку (основанию).
3. Понятия, получившиеся в результате деления, должны исключать друг друга.
4. Деление должно быть непрерывным. Сначала делится исходное понятие, лишь потом можно
начинать деление тех понятий, которые получились.
Примеры неправильного деления понятий (нарушение правил 1— 4):
5. Деление деревьев на березы и сосны неполное, так как есть и другие деревья.
6. Деление букв на прописные и гласные ошибочно, так как использованы два основания для
деления.
7. Деление всех студентов института на заочников, первокурсников и спортсменов
ошибочно, так как понятия, получившиеся в результате деления, не исключают друг друга.
8. «Население России делится на мужчин, женщин и детей» — в этом утверждении
нарушена непрерывность деления (деление содержит скачок).
Классификация понятий
Операция деления понятия кладется в основу классификации. Классификация — это
непрерывное многоступенчатое деление. К ней приходится прибегать во всех областях научного
знания и практической деятельности.
На классификацию распространяются все правила деления, и она так же, как и деление,
распадается на дихотомическую и по видоизменению признака.
Классификация — разделение некоторого множества понятий на подмножества таким
образом, чтобы объекты, входящие в одно подмножество имели бы не менее одного
общего признака.
Подмножество объектов, имеющих общие признаки, называется классом.
Признаки, по которым один класс отличается от другого, называется основанием
классификации.
Классификация, в которой объекты внутри класса также разделены на классы, называется
иерархической. Классы, находящиеся «внутри» некоторого класса, называются по отношению к
нему подклассами. Подклассы наследуют все свойства класса.
Метод классификации (систематизации) часто используют в процессе исследований. Собранный
материал удобнее изучать, разделив его на группы по некоторому правилу. Систематизация
знаний — основа всех наук.
Алгоритм классификации:
1. Выбор основания классификации.
2. Деление на классы по выбранному основанию.
3. Описание каждого класса.
4. Проверка классификации.
Пример. Даны слова: город, ландыш, собака, стул, порт, пират, пихта, соль. Требуется
разбить их на три группы. Используем алгоритм классификации:
1. Выберем основание классификации — например, число букв в слове.
2. Распределим слова на группы:
6 букв
5 букв
4 буквы
ландыш
город
порт
собака
пират
соль
пихта
стул
3. Опишем классы: в первом — слова, состоящие из шести букв, во втором — из пяти букв, в
третьем — из четырех букв.
4. Проверим классификацию. Нарушений правил деления нет, так как использованы все слова
— деление полное. Деление выполнено по одному основанию.
Отношения между понятиями
Понятия, имеющие в своих содержаниях общие признаки, например, студент и школьник,
называются сравнимыми.
Понятия, далекие друг от друга по своему содержанию, например, романс и кирпич,
называются несравнимыми.
Если сравнимые понятия имеют и общие элементы, то они называются совместимыми (герой и
красавец). Несовместимыми называются понятия, в содержание которых входят исключающие
друг друга признаки, поэтому их объемы не совпадают (холод и жара, лимон и слива).
Отношения между объемами понятий удобно изображать с помощью диаграмм Эйлера-Венна,
как это делается в теории множеств для наглядной геометрической иллюстрации множеств и
отношений между ними.
Каждое множество изображается в виде круга, а далее рассматривается
А
В
расположение кругов относительно друг друга. Например, множество
автомобилей (объем понятия автомобиль) изображено кругом и
обозначено буквой А, а множество рек (объем понятия Река) — кругом с буквой В.
Типы отношений между совместимыми понятиями:
1. Равнозначность. Содержание понятий соответствует друг другу, а объемы совпадают.
Например, понятия квадрат (А) и равносторонний прямоугольник (В), или Москва (А) и
столица России (В).
2. Пересечение. Понятия, признаки которых не исключают друг друга, а объемы могут
частично совпадать, пересекаются. Например, понятия студент (А) и бездельник (В)
частично совпадают.
В
А
А
3. Подчинение. Понятия, в которых содержание первого составляет часть содержания
второго, а объем второго полностью входит в объем первого, называются подчиненными.
Например, объем понятия ребенок (В) полностью входит в объем понятия человек (А).
В
А В
Типы отношений между несовместимыми понятиями:
1. Соподчинение — это отношение между объемами двух или нескольких
понятий, исключающих друг друга, но подчиненных более общему родовому понятию. Например, два понятия, не имеющие общих элементов кошка и собака (В, С)
входят в объем понятия животное (А).
В
А
С
2. Противоположность (контрарность). Это отношение характерно для
объемов таких двух понятий, которые являются видами одного и того же рода,
причем одно констатирует наличие каких-то признаков, а другое — их отсутствие и
А средне В
даже замену исключающими, противоположными признаками. Чаще всего в роли
этих понятий выступают антонимы: белый (А) и черный (В) или храбрый (А) и
е
трусливый (В).
Объемы противоположных понятий не исчерпывают всего объема родового понятия, между ними
всегда можно найти какое-либо промежуточное понятие. Например, для первой пары — серый, а
для второй — не очень храбрый.
3. Противоречие (контрадикторность). Если такого промежуточного понятия не существует,
то есть признак, существующий в одном понятии, просто отрицается в другом, речь
идет о противоречии. В этом случае объем родового понятия полностью состоит из
объемов А и В. Например, богатый (А) и небогатый (В). Если бы понятием В
В
А
было бедный, то имела бы место противоположность.
Суждение
Суждение — это форма мышления, в которой утверждается или отрицается связь
между предметом и его признаком,
отношения между предметами или факт
существования предмета. Суждение может быть либо истинно, либо ложно.
Языковой формой выражения суждения является предложение. Однако единство суждения и
предложения не означает их полного совпадения. Суждение выражается только
повествовательным предложением, в нем содержится сообщение о чем-либо. Вопросительные и
побудительные предложения суждений не выражают.
Различие между суждением и предложением состоит также в том, что грамматический строй
предложения в разных языках различен. Логическая же структура суждения одинакова независимо
от его выражения в том или ином языке.
Суждения делятся на простые и сложные. Простым называется суждение, не включающее
другие суждения. Суждение, состоящее из нескольких простых суждений, называется сложным.
Примеры простых суждений: «Весна наступила», «На лугу паслась корова», «Снег
белый», «Прозвенел звонок».
Примеры сложных суждений: «Весна наступила, и грачи прилетели», «На улице холодно
и пасмурно и пойдет дождь или снег», «Если я зайду в библиотеку, то опоздаю на
тренировку».
Вопросительные, восклицательные или побудительные предложения, например, «Куда ты
идешь?», «Не играйте с огнем!», «Не проходи мимо!», не являются суждениями, поскольку
не содержат утверждения или отрицания. Их нельзя оценить с точки зрения истины или лжи.
Если же в предложении выражен риторический вопрос, подразумевающий утверждение, уверенность в чем-либо, то оно выступает в качестве суждения. «Какой человек не дорожит
свободой?» — подразумевается, что каждый человек дорожит свободой.
«Кому не по душе изобилие товаров по доступным ценам?» — подразумевается, что
каждому по нраву изобилие дешевых товаров.
Истинность или ложность одних суждений установлена («Солнце — звезда», «Лето следует
за весной», «2+2= 4»), для других суждений требуется обоснование или доказательство их
истинности или ложности.
Логическая форма суждения
Во всех языках мира суждения имеют одинаковую логическую форму, которая записывается
так:
S есть (или не есть) Р,
где S — это субъект (предмет, о котором говорится в суждении);
есть (или не есть) — связка;
Р — предикат (то, что утверждается о предмете).
Субъект и предикат называются терминами суждения.
В большинстве европейских языков связка есть выступает в чистом виде, а в русском языке
часто опускается, в качестве связки могут выступать другие слова, например, слово является. Но
любое предложение русского языка можно переформулировать так, чтобы оно содержало связку в
явном виде. Например, «Листья на деревьях пожелтели» — «Листья на деревьях есть
пожелтевшие» и т. п.
Субъект и предикат суждения могут не совпадать с подлежащим и сказуемым. В суждении
«Солнце — это звезда», солнце — субъект, звезда — предикат.
В суждении «Снег белый», снег – субъект, белый – предикат, связка опущена.
В суждении «Кресло стоит у окна» субъектом является кресло, предикатом — стоит у
окна. Это суждение можно перефразировать так, чтобы связка содержалась в нем явном виде:
«Кресло является стоящим у окна».
В шутливом предложении «Маленький мальчик бежал, весело перебирая двумя ногами»
субъект — маленький мальчик, а предикат — бежал, весело перебирая двумя ногами.
Можно перефразировать суждение так: «Маленький мальчик является бегущим и весело
перебирающим двумя ногами».
Простые суждения
Виды простых суждений
1. Атрибутивные (категорические) суждения утверждают или отрицают наличие у предмета
каких-либо свойств, состояний или видов деятельности («Роза хорошо пахнет», «Некоторые
змеи — ядовиты», «Машина мчится на огромной скорости»).
2. Суждения с отношением — это суждения об отношении между предметами. Это могут
быть отношения равенства, неравенства, родства, пространственные, временные, причинноследственные и другие отношения («Слон сильнее бегемота», «3 больше 1», «Отец
старше сына»).
3. Суждения существования (экзистенциальные) выражают сам факт существования или
несуществования предмета суждения («Нет счастья в жизни», «Есть много тайн в
природе»). В этих суждениях слово есть или нет выражает не связку, а предикат и обозначает
«существует».
Классификация атрибутивных суждений
Далее будем рассматривать только атрибутивные суждения. Их можно разделить по качеству и
по количеству.
1. Деление суждений по качеству. По качеству суждения делятся на утвердительные и
отрицательные. Утвердительным называется суждение, выражающее принадлежность предмету
некоторого признака. Суждение, выражающее отсутствие у предмета некоторого признака,
называется отрицательным.
2. Деление суждений по количеству. Утверждать или отрицать что-либо можно об одном
предмете, о части предметов некоторого класса и обо всех предметах класса. В соответствии с
этим суждения по количеству делятся на единичные, частные и общие.
3. Объединенная классификация суждений. Объединяя количественную и качественную
характеристики, все суждения можно разделить на четыре вида:
А — общеутвердительные,
I — частноутвердительные,
Е — общеотрицательные,
О — частноотрицательные.
В качестве условных обозначений для утвердительных суждений взяты две первые гласные
буквы A и I латинского слова affirmo (утверждаю). Для обозначения отрицательных суждений —
гласные буквы Е и О слова nego (отрицаю).
Распределенность терминов в суждениях
В логических операциях с суждениями возникает необходимость установить, распределены или
не распределены его термины — субъект и предикат.
Если субъект или предикат в суждении мыслится во всем объеме, он считается
распределенным, если же термин мыслится только частично — нераспределенным.
Тип суждения
И
М
Я
О
А
Субъект
S
Предикат
P
Б Щ Е У Т В Е Р Д И Т Е Л Ь Н О Е
Все S есть P
Все студенты любят
Не
распределен
Схема
отношений
между субъектом
и
предикатом
пятерки;
Распределе
н
Распределен,
если объемы
SиP
совпадают
Все квадраты —
равносторонние
прямоугольники.
О
E
Р
S
Р=S
Б Щ Е О Т Р И Ц А Т Е Л Ь Н О Е
Ни одно S не есть Р
Никакие студенты не
любят двойки;
Распределе
н
Распределен
Р
S
Никакие птицы не
являются насекомыми.
Ч
А С Т Н О У Т В Е Р Д И Т Е Л Ь Н О Е
Некоторые S есть Р
Некоторые мужчины —
испанцы.
I
Некоторые
прямоугольники квадраты;
Ч
O
Не
распределе
н
Не
распределен
S
Р
S
Р
Распределен,
если объем
Р полностью
входит в объем
S
А С Т Н О О Т Р И Ц А Т Е Л Ь Н О Е
Некоторые S не есть Р
Некоторые грибы
несъедобны;
Не
распределе
н
Распределен
S
Р
Некоторые студенты не
отличники.
С помощью кругов Эйлера для каждого типа суждения показаны отношения между субъектом и
предикатом. В суждениях А и I могут быть два варианта отношений. Полезно запомнить правило:
Субъект распределен в общих суждениях и не распределен в частных; предикат всегда
распределен в отрицательных суждениях; в утвердительных же он распределен только
тогда, когда по объему предикат меньше или равен субъекту.
Умозаключение
Умозаключение — форма мышления, в которой из одного или нескольких суждений на
основании определенных правил получают новое суждение.
Главной задачей логики является анализ умозаключений. Умозаключение является средством
получения нового знания или средством доказательства старого знания. Всякое умозаключение
состоит из посылок — исходных суждений, и вывода — нового суждения. Например:
Посылка 1: Все орехи полезны.
Посылка 2: Арахис — орех.
Вывод:
Арахис полезен.
Достоинства умозаключений в том, что они позволяют получать новые знания, не прибегая
всякий раз к опыту. Однако при условии, что исходные суждения истинны и способы построения
умозаключений соответствуют правилам логики.
Виды умозаключений
1. Дедуктивное умозаключение позволяет перейти от общего знания к частному, т. е. от
посылок, выражающих знания большей степени общности, к заключению со знанием меньшей
степени общности.
2. Индуктивное умозаключение позволяет делать переход от частного, единичного знания к
общему.
3. Умозаключение по аналогии — это логическая операция, в процессе которой достигается
знание о признаках одного предмета на основании того, что этот предмет имеет сходство с
другими предметами.
Каждый из названных видов умозаключений в свою очередь делится на подвиды.
Умозаключения, в которых из истинных посылок нельзя сделать ложное заключение (вывод)
называются необходимыми или достоверными.
Умозаключения, в которых при истинности посылок и соблюдении соответствующих правил
логики заключение может быть как истинным, так и ложным, называются вероятностными.
Основное внимание логика уделяет дедуктивным умозаключениям, поскольку только в них
истинный вывод с необходимостью следует из истинных посылок.
По количеству посылок дедуктивные умозаключения делятся на непосредственные (одна
посылка) и силлогизмы (две посылки).
Непосредственные умозаключения
Логика допускает возможность сделать определенный вывод даже из одной посылки, из одного
простого атрибутивного суждения, в котором зафиксирована связь двух понятий, именуемых
субъектом и предикатом.
В простом суждении есть информация явная, лежащая, как говорится, на поверхности, и
неявная, которую можно извлечь из суждения, подвергнув его некоторым преобразованиям.
Дедуктивный вывод, делаемый из
умозаключением.
одной посылки, называется непосредственным
Непосредственные
умозаключения
имеют
виды:
превращение,
обращение
и
противопоставление предикату. Для каждого вида суждения (общеутвердительного,
общеотрицательного, частноутвердительного и частноотрицательного) существует логическая
схема построения умозаключения.
Благодаря трем видам непосредственных умозаключений мы можем переформулировать
суждение другими словами, придавая ему новые оттенки смысла, и извлекать из суждения
максимум содержащейся в нем информации.
Превращение
Чтобы превратить суждение, нужно изменить связку на противоположную, а предикат — на
противоречащее понятие.
Поскольку существует четыре вида суждений, постольку имеется и четыре вида превращений.
Общие суждения А и Е превращаются друг в друга, то же самое происходит и с частными
суждениями I и О.
Основы алгебры логики
В алгебре логики суждения называют высказываниями. Содержание высказывания не
рассматривается. Важно только, истинно оно или ложно.
Логическое высказывание — это любое повествовательное пpедлoжение, в
oтнoшении кoтopoгo можно oднoзначнo сказать, истинно oнo или лoжнo.
Выражения: «Уходя, гасите свет и закрывайте дверь.», «Да здравствует мыло
душистое и полотенце пушистое!» не являются высказываниями, т. к. нельзя сказать,
являются они истинными или ложными.
Выражения: «Берлин — столица Франции», «Число 8 делится на 4» являются
высказываниями. Первое из них имеет значение ЛОЖЬ, второе — ИСТИНА.
Предложения типа «В городе A более миллиона жителей», «У В голубые глаза» не
являются высказываниями, так как для выяснения их истинности или ложности нужны
дополнительные сведения: о каком конкретно городе или человеке идет речь. Такие предложения
называются высказывательными формами.
Высказывательная форма — это повествовательное предложение, которое прямо
или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все
переменные замещаются своими значениями.
Высказывание, в котором содержится одно суждение, называется простым (или
элементарным) высказыванием.
В алгебре логики простым высказываниям ставятся в соответствие логические переменные,
обозначаемые прописными буквами латинского алфавита. Например,
А — У кошки 4 ноги.
А=1 (ИСТИНА)
В — Томск — столица России.
В=0
(ЛОЖЬ)
С — Всякий квадрат есть параллелограмм.
С=1 (ИСТИНА)
D — Всякий параллелограмм есть квадрат.
D=0
(ЛОЖЬ)
Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания не; и; или; либо; если..., то; тогда и
только тогда…, когда и другие позволяют из простых высказываний строить составные (или
сложные) высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.