Министерство образования и науки Российской Федерации Саратовский государственный технический университет

Министерство образования и науки Российской Федерации
Саратовский государственный технический университет
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ,
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Методические указания к практическим занятиям
и самостоятельной работе студентов по курсу математики
для студентов всех специальностей
Одобрено
редакционно-издательским советом
Саратовского государственного
технического университета
Саратов 2010
1.ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Аналитические функции комплексной переменной.
Определение 1.1. Окрестностью точки z0  x0  iy0 комплексной
плоскости называется круг произвольного радиуса R  0 с центром в z 0 ,
взятый без ограничивающей этот круг окружности.
Учитывая, что расстояние между любыми точками z0 x0 iy
и
0
2
2

z
|

(
x

x
)

(
y

y
)
, а
z  x  iy на комплексной плоскости равно |z
0
0
0
также тот факт, что упомянутый круг D есть множество точек z , удаленных от
z 0 на расстояние меньшее, чем R , мы можем аналитически задать его в виде


D

z
:|
z

z

R
.
0|
Определение 1.2. Множество точек D комплексной плоскости С
называется областью, если выполнены два условия:
1) D – открытое множество, т.е. всякая точка z  D входит в него вместе с
некоторой своей окрестностью;
2) D – связное множество, т.е. любые его две точки можно соединить
непрерывной линией, целиком лежащей в D.
Примерами часто встречающихся в теории аналитических функций
областей могут служить:
1) вся комплексная плоскость С;
2) открытый круг D = {z :| z  a | R} с центром в точке a∈С радиуса R > 0; 3)
кольцо D1  {z : R1 | z  a | R2 } с центром в точке a∈С, ограниченное
окружностями радиусов R1 и R2 , где 0  R1  R2  .
Определение 1.3. Говорят, что в области D ⊆ С определена функция
w  f (z) комплексной переменной z , если каждому z  D по некоторому
правилу f поставлено в соответствие единственное число w или несколько
таких чисел. В первом случае функция называется однозначной, во втором –
многозначной.
Пусть z  x  iy, w  f ( z )  u  iv. Тогда зависимость между аргументом
z и комплексной функцией w можно задать с помощью двух действительных
функций u и v от двух действительных переменных x и y :
u

u
(
x
,y
),
v

v
(
x
,y
).
2
Например, функция w  z
может быть представлена в виде
w  u( x, y )  iv( x, y) , где
u  Re z 2  Re( x  iy )2  x 2  y 2 ; v  Im z 2  Im( x  iy )2  2 xy.
Определение 1.4. Пусть функция w  f (z) определена в области D
комплексной плоскости и пусть точки z 0 и z0  z принадлежат D. Функция
w  f (z) называется дифференцируемой (моногенной) в точке z 0 , если
3
существует конечный предел
f
(
z


z
)

f
(
z
)
0
0

f
(
z
)

lim
,

z

0

z
причем величина этого предела не зависит от формы пути, вдоль которого
приращение z стремится к нулю. Этот предел называется производной
dw
функции f в точке z0 и обозначается символом f ( z0 ) или
.
dz
Определение 1.5. Функция w  f (z) называется аналитической в точке
z 0 , если она дифференцируема в самой этой точке, а также в некоторой ее
окрестности. Функция, аналитическая в каждой точке некоторой области D
называется аналитической в области D.
Отметим, что определения производной для функций действительной и
комплексной переменной формально выглядят одинаково. Однако требование
независимости величины предела от способа стремления к нулю приращения
z в комплексном случае является очень жестким и приводит к важным
отличиям от случая действительной переменной. В частности, из
аналитичности функции следует существование у нее ее производных любого
порядка.
Определение 1.6. Производной от комплексной функции действительного
аргумента z  g (t )   (t )  i (t ), t  [ ,  ] , где действительные функции  и 
дифференцируемы на [ ,  ] (в точках  и  под дифференцируемостью
понимают
наличие
односторонних
производных),
называется
функция z  g (t )   (t )  i (t ), t  [ ,  ]
Теорема 1.1. Для дифференцируемости функции w  f (z) , z  x  iy, в
точке z0  x0  iy0 необходимым и достаточным условием является
одновременное выполнение двух требований:
1) функции u( x, y)  Re f ( z) и v( x, y)  Im f ( z) дифференцируемы как функции
двух действительных переменных;
2) функции u( x, y ) и v( x, y ) в точке ( x0 , y0 ) удовлетворяют так называемым
условиям Коши-Римана:

u

v

u
v
,


.

x
y

y
x
С помощью этой теоремы можно установить, в частности, является ли данная
функция аналитической в какой-либо области или нет. Например, нетрудно
убедиться, что
рассмотренная нами ранее функция w  z 2 является
аналитической во всей плоскости. Действительно, вычисляя соответствующие
частные производные, непосредственно убеждаемся, что условия Коши-Римана
выполнены во всех точках плоскости:
u  2
u  2
 x  y 2   2 y;
 x  y 2   2 x;
y y
x x
v 
v 
 2 xy   2 x.
 2 xy   2 y;
y y
x x
4
Кроме того, эти частные производные являются многочленами от переменных
x, y и потому непрерывны всюду. Как известно из курса математического
анализа, непрерывность частных производных функции двух переменных
влечет за собой ее дифференцируемость. Таким образом, функции u и v
дифференцируемы и удовлетворяют условиям Коши-Римана. Поэтому на
основании теоремы 1.1 заключаем, что функция w  z 2 является аналитической
во всей комплексной плоскости.
Еще одно применение теоремы 1.1 связано с восстановлением
аналитической функции w f (z), если известна только ее действительная или
только мнимая часть.
Пример 1.1. Восстановить аналитическую функцию f ( z)  u  iv по
заданной мнимой части v  6 xy  y.
Решение. Сразу отметим, что в условиях задачи восстановление
возможно только с точностью до постоянного слагаемого. В силу первого
u v
 имеем
условия Коши-Римана
x y

u

v




6
xy

y

6
x

1
,

x

y

y
откуда интегрированием по x находим функцию u,
u( x, y )   (6 x  1)dx  3x 2  x   ( y ).
Здесь  ( y ) – произвольная функция аргумента y . Считая функцию 
дифференцируемой, подберем ее так, чтобы функция u удовлетворяла также и
u
v
 . Находим
второму условию Коши-Римана
y
x

u


v

2





3
x

x

(
y
)

(
y
)




6
xy

y


6
y
,

y

y

x

x
т.е.  ( y )  6 y. Отсюда


 ( y )   ( 6 y )dy  3 y 2  C,
так что
u( x, y )  3x 2  x  3 y 2  C
и
w  u  iv  3x 2  x  3 y 2  i(6 xy  y )  C .
Если теперь учесть, что
2
2
2
2
3
x

x

3
y

i
(
6
xy

y
)

(
3
x

i
6
xy

3
y
)

(
x

iy
)

2
2

3
(
x

iy
)

(
x

iy
)

3
z

z
,
то окончательно получим, что искомая аналитическая функция имеет вид
2
f(
z
)
3
z

z
C
,
где C – произвольная действительная постоянная.
5
Интеграл от функции комплексной переменной.
Определение 1.7. Говорят, что на комплексной плоскости задана
непрерывная кривая  , если задано непрерывное отображение отрезка [a, b] в
комплексную плоскость C, т.е. если на [a, b] определена непрерывная
комплексная функция z  z(t )  x(t )  iy (t ) действительного аргумента t .
Переменная t называется параметром, значения функции z (t ) – точками
кривой  , а совокупность всех значений функции – множеством точек
(траекторией) этой кривой. Кривая называется замкнутой, если
z(a)  z(b). Замкнутую кривую часто называют контуром.
Таким образом, кривая – это геометрическое место точек на комплексной
плоскости с указанным направлением обхода, соответствующим возрастанию
параметра t (точнее, множество точек z и закон, по которому каждая такая
точка сопоставляется значению параметра t ). Например, функция
z  eit  cost  i sin t, t  0,2 , задает единичную окружность, проходимую
один раз против часовой стрелки, если параметр t возрастает от 0 до 2 .
Определение 1.8. Кривая  называется гладкой, если функции x(t ) и
y (t ) непрерывно дифференцируемы на [a, b] (т.е. если x (t ) и y (t )
существуют и непрерывны в каждой точке интервала ( a, b) и, кроме того,
существуют конечные односторонние пределы
lim x(t ), lim y (t ) и
lim x(t ), lim y (t ) ), причем производные
t b0
t b0
t a 0
t a 0
x (t ) и y (t ) одновременно не
обращаются в ноль в точках t этого отрезка. Кривая называется кусочногладкой, если ее можно представить в виде объединения конечного числа
гладких кривых, попарно пересекающихся не более, чем в одной точке.
Примерами гладких кривых служат окружность, эллипс, прямая, а также
графики всех простейших элементарных функций. Примеры кусочно-гладких
кривых – ломаная, любой многоугольник, граница сегмента, сектора.
Определение 1.9. Интегралом от комплексной функции действительного
аргумента z  g (t )   (t )  i (t ), t  [ ,  ], где вещественные функции  и 
непрерывны, называется число






 
g
(
t
)
dt

t
)
dt

i
t
)
dt
.

(
(
Определение 1.10.
Пусть в точках гладкой кривой  определена
функция w  f ( z)  u( x, y)  iv( x, y) , где u и v непрерывны. Интегралом от
функции комплексной переменной f (z ) вдоль кривой  ,
заданной
параметрическим уравнением z  z(t )  x(t )  iy (t ), t [a, b], называется число
b

f
(
z
)
dz

f
(
z
(
t
))
z
(
t
)
dt
.



a
Если  – кусочно-гладкая кривая, состоящая из гладких кривых 1 ,..., n , то
интеграл определяется как сумма
6
n

f
(
z
)
dz

f
(
z
(
t
))
z
(
t
)
dt
.



k

1
Γ
k
Γ
Комплексный
 f ( z )dz
интеграл
может
быть
сведен
к
двум

вещественным криволинейным интегралам второго рода по формуле
 f ( z )dz   u( x, y )dx  v( x, y )dy  i  v( x, y )dx  u( x, y )dy.



Из этой формулы следует, что свойства интеграла от функции
комплексной переменной аналогичны свойствам криволинейного интеграла
второго рода.
В частности, при изменении направления обхода пути
интегрирования интеграл меняет свой знак на противоположный. Отметим
также, что для интеграла  f ( z )dz можно дать эквивалентное приведенному

выше определение, использующее понятие предела соответствующих
интегральных сумм, подобно тому, как это делается для криволинейного
интеграла от вещественной функции двух переменных.
Центральным фактом теории аналитических функций является так
называемая интегральная теорема Коши: пусть функция f (z ) аналитична
в области D и  – замкнутая кусочно-гладкая кривая без самопересечений,
которая вместе со своей внутренностью (т.е. областью, ограниченной этой
кривой) полностью лежит в D. Тогда интеграл от f (z ) вдоль кривой  равен
нулю:
f(z)dz0.

Ряды Тейлора и Лорана. Изолированные особые точки
однозначных аналитических функций.
Определение 1.11. Степенным рядом называется функциональный ряд
вида

cn ( z  z0 ) n,
n0
(1.1)
где c0 , c1 , c2 ... – постоянные числа, называемые коэффициентами ряда, z0  
– также некоторое постоянное число, z – комплексная переменная.
Известно, что любой степенной ряд сходится в круге («круге
сходимости»), центр которого находится в точке z 0 , а радиус R («радиус
сходимости», 0≤R ≤+) однозначно определяется коэффициентами ряда (1.1).
В предельных случаях при R  0 и R    сходимость будет иметь место,
соответственно, в одной точке z  z0 и во всей плоскости. Сумма ряда является
аналитической, по крайней мере в его круге сходимости, функцией. Вне
замыкания круга сходимости, т.е. на множестве z  z 0  R ряд расходится.
Теорема 1.2. Пусть
f (z ) однозначна и аналитична в области D, точка
7
  z0  D и R > 0 – кратчайшее расстояние от z 0 до границы области D.
Тогда в круге z  z 0  R функция f (z ) представима в виде суммы степенного
ряда

n
f(
z
)

c
(
z

z
)
,

n
0

n0
коэффициенты которого вычисляются по формулам
)
f(n
(
z
)
0
c

,n

0
,
1
,
...
,
n
n
!
или
1
f
(
z
)
c
 
dz
,
r

R
,
n

0
,
1
,
...
n
n

1
2
i
(
z

z
)
0
z

z

r

(1.2)
(1.3)
0
Определение 1.12. Степенной ряд (1), коэффициенты которого
определяются формулами (1.2) (или, что равносильно, формулами (1.3)),
называется рядом Тейлора функции f(z) в окрестности точки z 0 .
Как правило, прямое вычисление коэффициентов ряда Тейлора по
формулам (1.2) или (1.3) затруднительно и приходится прибегать к различным
искусственным приемам. При этом важную роль играет теорема
единственности разложения функций в степенной ряд: если функция f
представима в круге z  z 0  R в виде суммы степенного ряда, то
коэффициенты этого ряда определяются однозначно.
Эта теорема гарантирует одинаковый результат при нахождении
коэффициентов различными способами и позволяет выбирать наиболее
простой. Часто при разложении функций в степенные ряды используют
известные разложения простейших элементарных функций в ряд Тейлора.
Приведем некоторые из них, записанные для точки z0  0 :
n

z
e

n
!
n

0
z
(z


),
n

1
2
n

1

(

1
)
z
sin
z

(
z



),

(
2
n

1
)
!
n

1
n
2
n

(

1
)
z
cos
z


(
2
n
)
!
n

0
(
z



),
2
n

1

z
sh
z

(
z



),

(
2
n

1
)
!
n

1
2
n

z
ch
z

(
z



),

(
2
n
)
!
n

0
n

1
n

(

1
)
z
ln
(
1

z
)

(
z

1
),

n

1n
8
(1  z )  


n0
n
C zn
( z  1 ), , С,
(1.4)
  (   1 ) ... (  n  1 )
, n  1, 2, ...

n
n
!
C    1, n  0.


Cтрого говоря, в приведенных формулах под ln z и z ( – произвольное
комплексное число) следует понимать главные ветви многозначных функций
w  Ln z и w  z , однако обсуждение этих вопросов выходит за рамки
данного пособия.
В частности, из формулы (1.4) при   1 имеем
1 n

z (z

1
)

.
(1.5)
1

z n
0
Теорема 1.3. Если функция f (z ) однозначна и аналитична в кольце
0  r  z  z0  R   , то она разлагается в нем в ряд Лорана
  
n
n

n
f
(
z
)

c
(
z

z
)

c
(
z

z
)

c
(
z

z
)

f
(
z
)

f
(
z
)
,
(1.6)



n
0
n
0

n
0
1
2



n

0
n

n
1
где
1
f
(
z
)
c
 
dz
,
0

ρ

R
, nZ.
(1.7)
n
n

1
2
π
i
(
z

z
)
|
z

z
|

ρ
0
При r = 0 и R < + кольцо вырождается в круг с удаленным из него
центром, т.е. проколотую окрестность, а при r = 0 и R = + получаем плоскость
с выколотой точкой z 0 . Выражения f1 ( z ) и f 2 ( z ) называются, соответственно,
правильной и главной частями ряда Лорана. Для рядов Лорана, как и для рядов
Тейлора, верна теорема единственности.
Определение 1.13. Разложением однозначной аналитической функции
f ( z ) в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки называется
1
разложение в ряд Лорана функции   z   f   в окрестности точки z  0 .
z
Таким образом, разложение аналитической функции в ряд Лорана в
окрестности точки z   имеет вид

 

n
n
f
(
z
)

c

c
z

c
z

g
(
z
)

g
(
z
)



.
0

n
n
1
2
n

1
n

1


Выражения g1 ( z ) и g 2 ( z ) называются, соответственно, правильной и
главной частями лорановского разложения функции f (z ) в окрестности
бесконечно удаленной точки.
Определение 1.14. Точка z0   называется изолированной особой точкой
однозначного характера аналитической функции f ( z ) , если в некоторой
проколотой окрестности этой точки 0  z  z0  R функция f ( z ) аналитична и
0
9
однозначна, а в самой точке z 0 не определена или не аналитична. Бесконечно
удаленная точка называется изолированной особой точкой однозначного
характера функции f ( z ) , если в некотором кольце R  z   функция f ( z )
является аналитической и однозначной.
Классификация изолированных особых точек может быть проведена
двумя эквивалентными способами:
a) по виду лорановского разложения функции в окрестности особой
точки z 0 ;
b) по характеру предельного поведения функции в окрестности этой
точки.
Определение 1.15. Точка z 0 называется устранимой особой точкой
функции f ( z ) если:a) в разложении в ряд Лорана функции f ( z ) в окрестности
z 0 отсутствует главная часть ряда, т.е.

n
f
(
z
)

c
(
z

z
)
,
если
z


,

n
0
0
n

0

f ( z )   c  n z  n , если z0   ;
n 0
b) lim f ( z )  const   .
zz 0
Определение 1.16. Точка z 0 называется полюсом функции f ( z ) , если:
а) в разложении в ряд Лорана в функции f ( z ) окрестности z 0 главная
часть содержит конечное число слагаемых, т.е.
c n
c  n 1
c1
f ( z) 


.
.
.


( z  z0 ) n ( z  z 0 ) n 1
z  z0
(1.8)

k
  c k ( z  z0 ) , c  n  0 , если z0  ;
k 0
f ( z )  c n z  c n 1 z
n
n 1

 . . .  c1 z   c  k z  k , cn  0, если z0  ;
(1.9)
k 0
b) lim f ( z )   .
zz 0
Определение 1.17. Пусть z 0 – нуль аналитической функции f (z ) т.е.
f ( z0 )  0 .
z0 ,
Число
называется
кратностью
нуля
если
k
f ( z0 )  f ( z0 )  ...  f ( k 1) ( z0 )  0 , а f ( k ) ( z0 )  0 . Порядок полюса z 0 функции
f ( z ) равен, по определению, кратности нуля z 0 функции
 1
, z  z0 ;

 (z)   f (z)
 0, z  z0 .
Полюс первого порядка называют простым полюсом.
Доказывается, что если в окрестности точки z0   верно (1.8) (или (1.9)
при z0   ), то порядок полюса равен числу n. Кроме того, если при некоторых
10
c  0, c  ; n  N, для аналитической функции f (z ) верно равенство
lim ( z  z0 )n f ( z )  c, при z0  ;
z  z0
f ( z)
 c, при z0  ,
z  z0 z n
то точка z 0 является полюсом порядка n функции f (z ) .
Определение 1.18. Точка z 0 называется существенно особой точкой
функции f ( z ) , если:
а) главная часть разложения в ряд Лорана f ( z ) в окрестности z 0
содержит бесконечно много слагаемых, т.е.
lim
f ( z) 
1

k 
c  k ( z  z0 )  k 
f ( z) 
1

k 


k 0
c k ( z  z0 ) k , z0  ;

c  k z  k   c k z k , z0  ;
k 0
b) предел lim f ( z ) не существует.
zz 0
Пример 1.2. Найти все особые точки функции f ( z ) и определить их
характер. Разложить f ( z ) в ряд Лорана в указанном кольце.
1
f
(
z
)

;4

|
z

1
|


.
2
z

2
z

3
1
1
f
(
z
)


Решение.
Функция
является
2
z

2
z

3
(
z

1
)
(
z

3
)
аналитической во всех конечных точках плоскости, за исключением z1  1 и
z2  3 . В силу равенств
1
1
1
lim ( z  1) f ( z )  lim ( z  1)
 lim

z 1
z 1
( z  1)( z  3) z1 ( z  3) 4
и
1
1
1
lim
(
z

3
)
f
(
z
)

lim
(
z

3
)

lim


,
z


3
z


3
z


3
(
z

1
)(
z

3
)
(
z

1
)
4
точки z1  1 и z2  3 являются простыми полюсами функции f ( z ) .
Далее, поскольку
1
lim
f
(
z
)

lim

0
,
2
z


z


z

2
z

3
точка z   является устранимой особой точкой функции f (z ) .
Найдем теперь требуемое разложение в указанном кольце. Часто при
разложении в ряд Лорана бывает нецелесообразно использовать
непосредственно формулу (1.7), поэтому, как и в случае ряда Тейлора,
прибегают к некоторым искусственным приемам. Представим рациональную
дробь f (z ) в виде суммы простых дробей
11
f (z) 
1
1
1 ( z  3)  ( z  1) 1 1
1 1




,
z  2 z  3 ( z  1) ( z  3 ) 4 ( z  1) ( z  3 ) 4 z  1 4 z  3
2
так что
1
1

 f 1 ( z )  f 2 ( z ).
4( z  1) 4( z  3)
Функция f 2 ( z ) аналитична в кольце z  1  4 , следовательно, ее можно
f (z) 
разложить в ряд Лорана по степеням z  1. Для этого представим f 2 ( z ) в виде
1
1
1
1
 


4 ( z  3 ) 4 ( ( z  1)  4 ) 4( z  1)
1
4 

1 

 z 1 
.
Учитывая что
z 1  4 
4
 1,
| z 1|
имеем, в силу (1.5),
n


1
4 n1
n  4 
n
f2 (z) 
(

1
)

(

1
)
.




n 1
4( z  1) n  0
z

1
(
z

1
)
n

0


Функция f 1 ( z ) также аналитична в кольце 4  z  1   и уже
представлена рядом Лорана по степеням z – 1 (все его коэффициенты, кроме
одного, равны нулю). Окончательно получаем

1
4n1
n
f ( z )  f1 ( z )  f 2 ( z ) 
  ( 1)
; 4 | z  1 | .
4 ( z  1) n  0
( z  1) n1
Вычеты. Использование вычетов для вычисления
несобственных интегралов.
Пусть функция f ( z ) однозначна и аналитична в некоторой проколотой
окрестности точки z0   , причем z 0 – особая
точка функции f ( z ); L –
замкнутый
жорданов (т.е. без самопересечений) кусочно-гладкий контур,
содержащий внутри себя z 0 и лежащий целиком в упомянутой окрестности.
Тогда, используя интегральную теорему Коши, нетрудно убедиться, что
величина интеграла от функции f ( z ) , взятого вдоль контура L, не зависит от
формы этого контура. Данный факт позволяет ввести следующее понятие.
Определение 1.19. Пусть выполнены перечисленные выше условия для
функции f ( z ) и контура L. Вычетом функции f ( z ) в точке z0   называется
интеграл
1
Res
f(
z
)
 
f(
z
)
dz
.
z

z
2
i
L
Можно доказать, что вычет функции f ( z ) в точке z 0 равен
коэффициенту c  1 при первой отрицательной степени ( z  z 0 ) 1 в разложении
0
12

функции f ( z ) в ряд Лорана в окрестности z 0 , т.е.
Res f ( z )  c 1.
z z0
Если z0   , то вычетом называют интеграл
1
1
Res f ( z ) 
f ( z ) dz  
f ( z ) dz,

z 
2  i L
2  i L
где L  – замкнутый жорданов кусочно-гладкий контур, содержащий внутри
себя начало координат и полностью лежащий в той окрестности бесконечно
удаленной точки, где f ( z ) аналитична и однозначна. Запись L  означает, что
обход осуществляется в отрицательном направлении. Кроме того, можно
доказать, что
Res f ( z )   c 1.
z 
В зависимости от типа изолированных особых точек имеют место
следующие формулы для вычисления вычетов f ( z ) .
1) если z 0 – устранимая особая точка f ( z ) , то
a) при z0   :
Res f ( z )  0;
z z0
b) при z0   :
Res f ( z )  lim z ( f (  )  f ( z ) );
z 
z 
2) если z 0 – полюс n-го порядка, z0   , то
1
d n 1

lim
( z  z 0 )n f ( z ) ,
a) Res f ( z ) 
n

1
z z0
( n  1)! z  z 0 d z
в частности, при n = 1
Res f ( z )  lim ( z  z 0 ) f ( z ) ;
zz 0
z z0
 (z)
, где  ( z ) и  (z ) –
 (z )
z 0 , причем  ( z0 )  0 ,  ( z0 )  0 ,
b) если z0   – простой полюс и f ( z ) 
аналитические функции в точке
  ( z0 )  0 , то
Res f ( z ) 
z z0
с) если f ( z ) 
 (z )
( z  z0 )m
 ( z0 )
;
  ( z0 )
, где  (z ) аналитична в точке z0   , то
1
 ( m 1) ( z0 );
z z0
( m  1)!
3) если z 0 – существенно особая точка функции f ( z ) , то, раскладывая
f ( z ) в ряд Лорана по степеням ( z  z0 ) , находим c  1 , тогда
Res f ( z ) 
Res f ( z )  c 1 , z0  ;
z  z0
Res f ( z )   c 1.
z 
Заметим еще, что
1) если f ( z ) – четная функция, то
13
Res f ( z )   Res f ( z )
z z0
Res f ( z )  Res f ( z )  0 ;
и
z  z 0
z 0
z 
2) если f ( z ) – нечетная функция, то
Res f ( z )  Res f ( z ).
z z0
z  z 0
Теорема Коши о вычетах. Если область D ограничена замкнутой
жордановой кусочно-гладкой кривой
Г и однозначная функция f ( z )
аналитична в замкнутой области DD, за исключением конечного числа
изолированных особых точек zk  D , k  1, 2 , . . . , n , то

n
f
(
z
)
dz

2
i
Res
f
(
z
)
,


z

z
k

1 k

где контур Г обходится так, что область D остается слева.
Данная теорема позволяет сводить вычисление контурных интегралов от
аналитических функций к вычислению вычетов этой функции относительно
особых точек, лежащих внутри контура. Следующее утверждение можно
рассматривать как одно из обобщений теоремы Коши о вычетах на случай
неограниченной области D.
Теорема 1.4. Пусть функция f (z ) аналитична в замкнутой плоскости
Imz  0 за исключением конечного числа изолированных особых точек z1 ,.., zn ,
не лежащих на действительной оси. Допустим, что
lim f ( z )  0.
z  ,
Im z 0
Тогда


iax
n
iaz
f
(
x
)
e
dx

2
i
Res
f
(
z
)
e
,(
a

0
)

.



Если функция
f (z )
действительной оси, то

z

z
k

1k
принимает
действительные



значения
n
f
(
x
)
cos
axdx


2
Im
Res
f
(
z
)
e
,
(
a

0
)

,

iaz



на
z

z
k
k

1
(1.10)
n
iaz
f
(
x
)
sin
axdx

2
Re
Res
f
(
z
)
e
,
(
a

0
)
.



z

z
k

1k
Пример 1.3. Используя теорию вычетов, вычислить интеграл

cos
2
x
dx
,(
a

0
)
.

2
2
x
a


Решение. Воспользуемся формулой (1.10), учитывая, что в верхней
полуплоскости функция
cos
2
z
cos
2
z
f
(
z
)


2 2
z

a(
z

ai
)(
z

ai
)
имеет единственную особую точку – полюс первого порядка z1  ai . Получаем
14
 e 2iz 
cos2 x
( z  ai)e 2iz


  2 Im lim
 2 2 dx  2 Im Res
z ai
z  ai  z 2  a 2 
z2  a2
 x  a



e 2iz
e 2 a
 2 Im lim

.
z ai z  ai
a
Итак,
cos 2 x
e 2 a
 2 2 dx  a .
 x  a

2. ОСНОВЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.
Определение
2.1.
Функцией-оригиналом
называется
любая
комплекснозначная
функция
действительного
аргумента
t,
f (t )
удовлетворяющая условиям:
1) f (t ) интегрируема на любом конечном отрезке оси t ;
2) для всех t  0 имеет место равенство f (t )  0 ;
3) f (t ) возрастает не быстрее показательной функции, т.е. существуют такие
постоянные M  0 и s0  0 , что для всех t верно неравенство
(2.1)
| f (t ) | Mes0t .
Определение
2.2.
Изображением
функции f (t )
по
Лапласу
(преобразованием Лапласа функции f (t ) ) называется функция F ( p)
комплексной переменной p  s  i , определяемая равенством
F ( p) 

 f (t )e
 pt
dt.
(2.2)
0
Тот факт, что F ( p) есть изображение f (t ) символически записывают так:
f (t ) ≑ F ( p ) или F
f(t);
.
(p
)
L
p
Доказывается, что функция F ( p) определена в полуплоскости
Re p  s  s0 , является в этой полуплоскости аналитической и однозначно
определяется своим оригиналом f (t ) .
При решении задач приходится разыскивать оригинал по известному
изображению и наоборот. Для этой цели используются таблицы оригиналов и
изображений, а также ряд фактов, с которыми можно познакомиться по
литературе (см., например, [1], [2]).
Здесь мы приведем два утверждения.
Теорема 2.1. (Свойство линейности) Если f
и g – функцииоригиналы, то имеет место равенство
L
[
Af
(
t
)

Bg
(
t
);
p
]

AL
[
f
(
t
);
p
]

BL
[
g
(
t
);
p
]
,
где A, B – постоянные числа.
Теорема 2.2. (Дифференцирование оригинала) Справедлива формула
(Re p  s0 ) :
15
(
n
)
n
n

1
(
n

2
)
(
n

1
)
L
[
f
(
t
);
p
]

p
L
[
f
(
t
);
p
]

p
f
(
0
)

...

pf
(
0
)

f
(
0
)
в предположении, что f (t ),..., f ( n1) (t ) непрерывны, f ( n ) (t ) кусочно-непрерывна
на [0,) и все функции f ( k ) (t ), k  0, 1,..., n, удовлетворяют условию (2.1).
Пример 2.1. Найти изображение так называемой единичной функции
1
, t
0
,


(
t
)


0
0
, t
0
.

Решение. Имеем


1
1
1
L[  (t ); p ]   e dt   e  pt    lim e  pT  e  p  0   .
 p
p
p  T 
0
0
Таким образом,
1
 0 (t ) ≑ .
(2.3)
p
Пример 2.2. Найти изображение функции f (t )  cosat , a – постоянная.
Решение. Интегрируя по частям, получаем






p

pt1

pt



ptp

pt
L
[cos
at
;
p
]

e
cos
atdt

e
sin
at
|

e
sin
atd

e
si
at

0



0
0
0
aa a
2


p
p
p

pt


pt


e
cos
at
|

p
e
cos
atdt


L
[cos
at
;
p
]
.
0

2
22
0
a
a
a
p
Отсюда L[cos at ; p]  2
(Re p  0) , т.е.
a  p2
p
cos at ≑ 2
.
(2.4)
a  p2
Пример 2.3. Решить дифференциальное уравнение при заданных
начальных условиях:



x

4
x

2
,x
(
0
)

0
,x
(
0
)

0
.
Решение. Пусть X ( p) – изображение искомой функции x(t ) . Применяя к
обеим частям уравнения преобразование Лапласа, учитывая свойство
линейности, теорему о дифференцировании оригинала, а также тот факт, что 2
2
≑ , t  0 , найдем
p
2
.
X ( p) ≑
p ( p 2  4)
Чтобы найти оригинал x(t ) , разложим рациональную дробь X ( p) на
простейшие:
1 1
p 
X ( p)    2
.
2 p p  4
Отсюда, учитывая (2.3) и (2.4), получаем искомое решение

16
 pt

x (t ) 
1
  (t )  cos2t  или x(t )  1 1  cos2t , t  0 .
2
2
3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
СТЕРЖНЯ МЕТОДОМ ФУРЬЕ.
Однородным стержнем называется тело цилиндрической или какой-либо
иной формы, для растяжения или изгибания которого требуется приложить
некоторое усилие (в отличие от струны, которая гнется свободно). Известно, что
l
малые
продольные
колебания
стержня
длины
описываются
дифференциальным уравнением с частными производными второго порядка
гиперболического типа
2u 2 2u
a 2 ,
(3.1)
t2
x
при начальных условиях вида
u( x,0)
(3.2)
u( x,0)   ( x ),
  ( x ).
t
Здесь u( x, t ) – смещение в момент времени t поперечного сечения стержня,
имевшего абсциссу x в состоянии покоя,  и  – известные функции,
a  E /  , E – модуль упругости материала стержня,  – объемная плотность
стержня. Кроме того, должны быть заданы граничные (краевые) условия на
концах стержня. Так, например, если стержень закреплен на обоих концах,
получим следующие граничные условия:
u(0, t )  0; u(l , t )  0.
Если один конец закреплен, а другой свободен, то граничные условия
имеют вид
u(l ,0)
(3.3)
u( x,0)  0,
 0,
x
а если оба конца свободны, то граничные условия выглядят так

u
(
0
,
0
) 
u
(
l
,
0
)

0
,

0
.

x

x
Таким образом, задача о продольных колебаниях однородного
ограниченного стержня сводится к нахождению решения уравнения (3.1),
удовлетворяющего начальным условиям (3.2) и некоторым граничным
условиям.
Рассмотрим решение данной задачи методом разделения переменных
(методом Фурье). Для определенности выберем граничные условия (3.3).
Будем искать решение (не равное тождественно нулю) в виде произведения
u( x, t )  X ( x)T (t ),
где функция X (x) зависит только от x , а функция T (t ) – только от t.
Подставляя это выражение в (3.1), получим
X ( x)T (t )  a 2 X ( x)T (t ),
17
откуда
(t) X
(x
T
)

.
2
aT
(t) X
(x
)
Так как левая часть равенства зависит только от t , а правая только от x ,
равенство возможно лишь в случае, когда оба выражения равны одному и тому
же постоянному числу, которое мы обозначим через  2 (можно показать, что
в нашем случае это число следует брать отрицательным):




T
(
t
) X
(
x
) 2




.
2
a
T
(
t
) X
(
x
)
Отсюда получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения
2


X
(
x
)

X
(
x
)
0
,
(3.4)
22


T
(
t
)

a
T
(
t
)
0
.
(3.5)
Общие решения уравнений (3.4) и (3.5) имеют, соответственно, вид
X
(
x
)

A
cos
x

B
sin
x
,
T
(
t
)

C
cos
a
λ
t

D
sin
a
λ
t
,
где A, B, C и D
– произвольные постоянные, так что функция u( x, t )
записывается следующим образом:
u( x, t )  ( Acosx  B sin x)(C cosat  D sin at ).
Найдем постоянные A и B, используя граничные условия. Поскольку
T (t ) не равна тождественно нулю, имеем
X (0)  0, X (l )  0.
(3.6)
Следовательно,

X
(
0
)

A

0
,X
(
l
)

B
cos
l

0
,
и, в силу того, что B  0 (иначе было бы X ( x)  0 ), имеем cosl  0 , откуда

(2k  1)
  k  (2k  1) , k  0,1,... Итак, X ( x )  X k ( x )  B sin
x.
2l
2l
Найденные значения k называются собственными значениями данной
(2k  1)
краевой задачи, а соответствующие им функции X k ( x )  B sin
x –
2l
собственными функциями. При найденных значениях  общее решение
уравнения (3.5) имеет вид
a(2k  1)
a(2k  1)
T (t )  C cos
t  D sin
t,
2l
2l
так что
(
2
k

1
)
a
(
2
k

1
) a
(
2
k

1
)


u
(
x
,
t
)

sin
x
a
cos
t

b
sin
t
,
k

0
,
1
,..


k
k
k
2
l
2
l
2
l


Каждому значению k отвечают свои постоянные C и D , поэтому мы
пишем a k и bk , а постоянную B включаем в a k и bk . Так как уравнение (3.1)
линейное и однородное, сумма любого числа его решений также будет
решением. Составим ряд



  
18
 


a
(
2
k

1
) a
(
2
k

1
)
(
2
k

1
)


u
(
x
,
t
)

u
(
x
,
t
)

a
cos
t

b
sin
t
sin
x
.




k
k
k
2
l
2
l
2
l
k

1
k

1


Сумма этого ряда будет решением, если коэффициенты a k и bk таковы,
что сходится сам ряд, а также ряды, получающиеся после его двукратного
дифференцирования по x и t . Заметим, не вдаваясь в детали, что во всех
случаях, имеющих практическое значение, указанные требования сходимости
выполняются.
Наряду с краевыми условиями решение u( x, t ) должно удовлетворять
также и начальным условиям (3.2). Из первого условия находим (полагая t  0 )

( 2k  1)
u( x,0)   ak sin
x    x .
2l
k 1
Если функция   x) разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье по
синусам в интервале (0, l ) , то
2l
(2k  1)
ak    ( x ) sin
xdx.
(3.7)
l0
2l

u
(x
,0
)


(x
)имеем, дифференцируя ряд по t , полагая t  0 ,
Из условия

t
и приравнивая полученное выражение к  (x) :

a
(
2
k

1
)
(
2
k

1
)
b
sin
x


x

.

k
l
2
l
k

1 2
Находим коэффициенты Фурье функции  x 
l
a
(
2
k

1
) 2
(
2
k

1
)
b


x

sin
xdx
,
k

0
2
l
l
2
l
откуда
4l
(
2
k

1
)
b


x

sin
xdx
.
(3.8)
k

a
(
2
k

1
)0
2
l
Таким образом, решение нашей задачи может быть представлено в виде
суммы бесконечного ряда где коэффициенты a k , bk определяются по формулам
(3.7) и (3.8):

(
2
k

1
)
a
(
2
k

1
)
a
(
2
k

1
)


u
(
x
,
t
)

sin
x
a
cos
t

b
sin
t
. (3.9)



k
k
l 2
l
2
l
k

1 2
Аналогично решается данная задача и при других граничных условиях.
Если конкретная задача имеет граничные условия того же типа, что и
рассмотренная, то для ее решения можно сразу воспользоваться формулами
(3.7)-(3.9).







  
19
ЛИТЕРАТУРА
1. Владимирский Б.М. Математика. Общий курс / Б.М. Владимирский, А.Б.
Горстко, Я.М. Ерусалимский. – СПб.: Лань, 2006. – 960 с.
2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. Учеб.
пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова, С.П.Данко. –
М.: Оникс; Мир и Образование, 2008. – ч. 2. – 448 с.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ: ТЕОРИЯ
ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, ОПЕРАЦИОННОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ, УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Методические указания
к практическим занятиям и самостоятельной работе студентов
Составил: НОВИКОВ Владимир Васильевич
Рецензент: А.В.Серебряков
Корректор Ю.С.Ольховцева
20