Метод генетического программирования для решения обратной

Дивеев А.И., Северцев Н.А.
МЕТОД ГЕНЕТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ НАДЕЖНОСТИ
В статье рассматривается применения метода генетического программирования для поиска аналитической зависимости функции плотности распределения в задачи обеспечения надежности систем. Приведен
пример полученной с помощью метода формулы
Одна из формулировок обратной задачи надежности заключается в том, чтобы по заданным функциям
распределения нагрузок и надежности определить функцию распределения физических характеристик объекта [1].
Формально задача имеет описание в виде уравнения Фредгольма первого рода

 G  s, t  f  s  ds  F t  ,
(1)

где G  s, t  - функция распределения нагрузок на объект,
f  s  - искомая функция распределения физи-
ческих характеристик объекта, F  t  - функция распределения надежности.
В качестве функции распределения нагрузок используем функцию распределения экстремальных величин
[1]
G  s, t   e  e

ln s 
   t  

 

,
(2)
где  и  - параметры распределения, s - число испытаний.
Функция распределения надежности описывает вероятность безотказной работы объекта. Используем
экспоненциальный закон распределения
F  t   e  t ,
(3)
где  - интенсивность отказов, t - время работы до отказа.
С учетом соотношений (2), (3) рассматриваемая задача имеет следующую формулировку


ee

ln s 
   t  

 

f  s  ds  e t .
(4)
0
По заданным величинам  ,  ,  необходимо найти функцию
f  s  , описывающую плотность распреде-
ления вероятности одной из физических характеристик объекта.
Для поиска решения используем метод генетического программирования [2], который позволяет находить формальные зависимости с помощью генетического алгоритма. Для повышения эффективности метода
формальные зависимости описываем сетевым оператором [3].
Сетевой оператор – это ориентированный граф, который указывает на вычисления, производимые с
входными данными. При построении сетевого оператора используем следующие конструктивные множества:
- множество переменных
V  s ;
- множество параметров
C   q1, q2 , q3  ;
- множество унарных операций

O1  1  z  ,
1  z   z ,
где
8  z  

, 8  z  ,
2  z   z 2 ,
3  z    z ,
4  z   sign  z  z ,
5  z  
1
,
z
6  z   e z ,
7  z   ln  z  ,
1  e z
;
1  e z
- множество бинарных операций


O2  0  z, z   z  z, 1  z, z   zz .
На основе конструктивных множеств можно построить огромное количество сетевых операторов, каждый
из которых соответствует определенной формальной зависимости. Генетический алгоритм обеспечивает
эффективный поиск сетевого оператора.
Для выбора требуемого решения используем следующие критерии
J1 
  F ti   F ti 
N
i 1
2
 min ,

(5)

J 2  max F  ti   F  ti  , i  1, N  min , (6)
где N - число точек дискретизации интервала наработки на отказ,
F  ti  

e
e

ln s 
   ti   

 

f  s  ds ,
0
f  s  - искомая формула, полученная с помощью сетевого оператора.
Вычислительные эксперименты показали возможность решения задачи (1)-(6) с по мощью генетического
программирования. В качестве тестового примера был задан нормальный закон распределения физического
параметра
 s  s 2
f s 

1
e
2
2 2
.
Для различных величин ti , i  1, N , вычислены значения интеграла в левой части соотношения (4), и
получено множество
 F t  , i  1, N  .
i
С помощью генетического программирования была подобрана формула
f  s  a 2  b2 , которая минимизировала функционалы (5), (6). Для описания формулы использовалась матрица сетевого оператора [3]. В результате эксперимента была получена следующая матрица сетевого оператора:
0
0

0

0
0

0
Ψ
0

0

0
0

0
0

0 0 0 1 0 0
0 0 0 3 0 0
0 0 0 0 0 5
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 2 0
0 0 0 0 0 3
0 0 0 0 0 1
0 00 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0
0
1
1
0
3
0
1
0
0
0
0
0
0
0
8
0
6
0
4
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6
4
5
1
0
0
0
5
0
0
0
0
0
6
0
1
0
0
0
0 
0

0
0

0
.
0

0

0
0

8
0 
Матрица сетевого оператора соответствует следующей формуле:

  s  q 2

1
2
2
1
1  exp  exp  
  s  q1    exp  q2 q3  s  q1   



q2
q1 



,
f s 

  s  q 2

1
2
2
1
1  exp  exp  
  s  q1    exp  q2 q3  s  q1   



q2
q1 




где q1  59,5 , q2  34,245 , q3  18,8 .




В эксперименте использовались следующие значения постоянных:   3 , s  60 ,   40 ,   0,33 . Величины функционалов не превосходили 0,005.
ЛИТЕРАТУРА
1. Дедков В.К. Обратная задача теории надежности. М. ВЦ РАН, 2004. 244 с.
2. Koza J.R. Genetic Programming: On the Programming of Computers by Means of Natural Selection.
– Cambridge, Massachusetts, London, MA: MIT Press, 1992. – 819 p.
3. Дивеев А.И., Софронова Е.А. Метод генетического программирования для автоматического подбора
формул в задаче структурного синтеза системы управления// Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем/ Под редакцией члена корреспондента РАН Ю.С. Попкова. М.: ИСА РАН, КомКнига, 2006. Вып. 10(1).
С. 14-26.