Теория вероятностей - Учебно

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
«УТВЕРЖДАЮ»:
Проректор по учебной работе
_______________________ /Л.М.Волосникова/
__________ _____________ 201_г.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов 010100.62
направления «Математика»
профили подготовки «Вещественный, комплексный и функциональный
анализ», «Вычислительная математика и информатика»,
«Дифференциальные уравнения, динамические системы, оптимальное
управление», «Алгебра, теория чисел, математическая логика»
очная форма обучения
«ПОДГОТОВЛЕНО К ИЗДАНИЮ»:
Автор (ы) работы
_________________ / Мосягин В.Е. /
«______»___________2011 г.
Рассмотрено на заседании кафедры МАиТФ, 12.04.2011, протокол №8
Соответствует требованиям к содержанию, структуре и оформлению.
«РЕКОМЕНДОВАНО К ЭЛЕКТРОННОМУ ИЗДАНИЮ»:
Объем 17 стр.
И.о. зав. кафедрой
________/ Хохлов А.Г./
«______»___________ 2011 г.
Рассмотрено на заседании УМК (ИМЕНИТ,21.04.2011,протокол №1)
Соответствует ФГОС ВПО и учебному плану образовательной программы.
«СОГЛАСОВАНО»:
Председатель УМК ________________________/Глухих И.Н./
«______»_____________201__ г.
«СОГЛАСОВАНО»:
Зав. методическим отделом УМУ____________/Федорова С.А./
«______»_____________201__ г.
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук и информационных технологий.
Кафедра математического анализа и теории функций.
Мосягин В.Е.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов 010100.62
направления «Математика»
профили подготовки «Вещественный, комплексный и функциональный
анализ», «Вычислительная математика и информатика»,
«Дифференциальные уравнения, динамические системы, оптимальное
управление», «Алгебра, теория чисел, математическая логика»
очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2011
В.Е. Мосягин. Теория вероятностей. Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов 010100.62 направления «Математика»,
профили подготовки «Вещественный, комплексный и функциональный
анализ»,
«Вычислительная
математика
и
информатика»,
«Дифференциальные уравнения, динамические системы, оптимальное
управление», «Алгебра, теория чисел, математическая логика»,очная форма
обучения
Тюмень, 2011, 18 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС
ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю
подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ:
Теория вероятностей [электронный ресурс] / Режим доступа:
http://www.umk3.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории
функций. Утверждено проректором по учебной работе Тюменского
государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: А.Г.Хохлов,
зав.кафедрой математического анализа и теории функций.
© Тюменский государственный университет, 2011.
© Мосягин В.Е., 2011.
к.ф.-м.н.,
и.о.
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа включает следующие разделы:
1. Пояснительная записка, которая содержит:
1.1.Цели и задачи дисциплины (модуля)
Систематично изложить основы современной теории вероятностей на базе теории меры
и интеграла Лебега. Обеспечить усвоение студентами основных разделов и методов
теории вероятностей. Научить студентов применять эти методы при выполнении курсовой
и квалификационной работы, а также в их дальнейшей практической деятельности.
Создать у студентов достаточную теоретическую базу и сформировать практические
навыки для изучения курсов математической статистики, теории случайных процессов,
дополнительных глав теории случайных процессов, стохастических дифференциальных
уравнений и других профильных дисциплин.
1.2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Для успешного усвоения курса Теории вероятностей студент обязан свободно владеть
всеми методами математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии,
теорией функций комплексного переменного, теорией меры и интеграла Лебега, методами
функционального анализа (гильбертовыми пространствами L2 ).
Компетенции выпускника ООП бакалавриата, формируемые в результате освоения
данной ООП ВПО.
В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующими
компетенциями:
 исследовательские навыки (ОК 6);
 способность адаптироваться к новым ситуациям (ОК 8);
 способность понимать сущность и значение информации в развитии современного
информационного общества, сознавать опасности и угрозы, возникающие в этом
процессе; соблюдение основных требований информационной безопасности, в том
числе защиты государственной тайны (ОК 11);
 владение основными методами, способами и средствами получения, хранения,
переработки информации, имеет навыки работы с компьютером как средством
управления информацией (ОК 12);
 способность к анализу и синтезу (ОК 14);
 способность к письменной и устной коммуникации на родном языке (ОК 15);
 умение грамотно пользоваться языком предметной области (ПК 7);
 умение ориентироваться в постановках задач (ПК 8);
 знание корректных постановок классических задач (ПК 9);
 понимание корректности постановок задач (ПК 10);
 понимание того, что фундаментальное математическое знание является основой
компьютерных наук (ПК 12);
 выделение главных смысловых аспектов в доказательствах (ПК 16);
 знание проблемы современной информатики, ее категории и связи с другими
научными дисциплинами (ПК 20);
 знание содержания, основных этапов и тенденции развития программирования,
математического обеспечения и информационных технологий (ПК 21);
 знание принципов обеспечения условий безопасности жизнедеятельности при
эксплуатации аппаратуры и систем различного назначения (ПК 22);
 знание направления развития компьютеров с традиционной (нетрадиционной)
архитектурой; тенденции развития функций и архитектур проблемноориентированных программных систем и комплексов (ПК 25);
 знание методов организации работы в коллективах разработчиков ПО, направления
развития методов и программных средств коллективной разработки ПО (ПК 29);
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
 аксиоматику Колмогорова, классические вероятностные модели;
 случайные величины и случайные векторы, их распределение, классические
распределения;
 условные распределения;
 основные типы распределений;
 числовые характеристики случайных величин и векторов;
 независимость случайных событий, величин и испытаний;
 различные виды сходимости случайных величин;
 предельные теоремы для последовательностей сумм независимых
случайных величин: центральную предельную теорему, законы больших
чисел, условия их применимости;
Уметь:

строить и исследовать вероятностные модели реальных процессов и
явлений, проверять их адекватность;
давать количественную и качественную оценку случайным событиям в
вероятностных моделях;
находить распределения функций от случайных величин и векторов;
проверять независимость случайных величин;
находить основные числовые характеристики распределений;
применять предельные теоремы для решения практических задач;
давать правильную трактовку результатам исследований.






Владеть:

2.
решением типовых задач и правильной интерпретацией полученного решения
Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 5. Форма промежуточной аттестации экзамен.
дисциплины составляет 5 зачетных единиц 144 часа.
3.
Общая трудоемкость
Тематический план.
Таблица 1
3
4
5
6
7
1
0
2
6
8
2-3
4
4
8
16
Из них в
интерактивной
форме
Семинарские
(практические)
занятия*
2
Лекции*
1
недели семестра
Тема
Самостоятельная
работа*
№
Итого часов по теме
Тематический план
8
Итого
количество
баллов
9
Модуль 1
1.
2.
Элементы
комбинаторики
Вероятностное
0-6
1
0-9
3.
4.
пространство
Условные вероятности.
Независимость событий
Независимые испытания
4
4
2
4
8
5-6
4
12
4
12
6
24
16
48
1
2
0-9
0-30
7-9
6
6
12
24
1
0-15
1012
6
6
12
24
1
0-15
12
12
24
48
2
0-30
1315
6
6
12
24
1618
6
6
12
24
1
0-20
12
36
0
12
36
5
24
72
48
144
1
5
0-40
0-100
Всего
Модуль 2
1.
2.
Случайные величины и
случайные векторы
Числовые
характеристики конечномерных
распределений
Всего
Модуль 3
Всего
Итого (часов, баллов):
Из них часов в интерактивной
форме
0-20
Таблица 2
Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
устный опрос
№ темы
Модуль 1
1. Элементы
комбинаторики
2. Вероятностное
пространство
3. Условные вероятности.
Независимость событий
4. Независимые испытания
Всего
Модуль 2
1. Случайные величины и
случайные векторы
2. Числовые
характеристики
конечномерных
распределений
Всего
Модуль 3
1. Характеристические и
производящие функции
2. Предельные теоремы
Всего
Итого
письменные работы
контрольная
работа
2.
Характеристические и
производящие функции
Предельные теоремы
коллоквиумы
1.
0-6
Итого количество баллов
0-6
0-6
0-9
0-9
0-6
0-6
0-9
0-30
0-9
0-30
0-5
0-5
0-15
0-10
0-25
0-15
0-15
0-30
0-10
0-10
0-20
0-10
0-20
0-35
0-10
0-20
0-65
0-20
0-40
0-100
-
Таблица 3
Планирование самостоятельной работы студентов
№
Модули и темы
Виды СРС
обязательные
дополнительные
Неделя
семестра
Объем
часов
Кол-во
баллов
1
4
0-6
2-3
8
0-9
4
4
0-6
5-6
8
0-9
6
24
0-30
7-9
12
0-15
10-12
12
0-15
6
24
0-30
13-15
12
0-20
16-18
12
0-20
6
24
0-40
Модуль 1
1.1
Элементы
комбинаторики
1.2
Вероятностное
пространство
1.3
Условные
вероятности.
Независимость событий
1.4
Независимые
испытания
Работа
с
лекционным
материалом,подг
отовка
к
контрольной
работе.
работа
с
лекционным
материалом,подг
отовка
к
контрольной
работе.
работа
с
литературой,
источниками,под
готовка
к
контрольной
работе.
работа
с
лекционным
материалом,
литературой,под
готовка
к
контрольной
работе.
Всего по модулю 1:
опытное
моделирование
опытное
моделирование
Модуль 2
2.1
Случайные величины
и случайные векторы
2.2
Числовые
характеристики
конечномерных
распределений
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1
Характеристические
производящие функции
3.2
Предельные теоремы
Всего по модулю 3:
и
работа
с
лекционным
материалом,
литературой,под
готовка
к
контрольной
работе.
работа
с
лекционным
материалом,
литературой,
подготовка
к
контрольной
работе
и
коллоквиуму.
работа
лекционным
материалом,
литературой,
подготовка
контрольной
работе
коллоквиуму.
работа
лекционным
материалом,
литературой,
подготовка
контрольной
работе
коллоквиуму.
с
к
и
с
к
и
ИТОГО:
72
0-100
4.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
№
п/п
1.
2.
Наименование
обеспечиваемых
Математическая
статистика
Случайные процессы
3.2
1.2
1.3
1.4
2.2
3.1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Содержание дисциплины.
Модуль 1
1.1 Элементы комбинаторики
Выборки
из
конечной
генеральной
совокупности:
упорядоченные
и
неупорядоченные, с возвращением и без возвращения. Принцип умножения. Основные
комбинаторные понятия и формулы. Биномиальные и полиномиальные коэффициенты.
Бином Ньютона. Полиномиальная схема.
5.
1.2 Вероятностные пространства
Случайный эксперимент и пространство элементарных исходов. Случайные события
и операции над ними; сигма-алгебра событий. Закон устойчивости относительных частот.
Статистическое определение вероятности. Аксиоматика Колмогорова. Вероятностное
пространство как математическая модель случайного эксперимента. Свойства
вероятностей; теорема об эквивалентности аксиом аддитивности и непрерывности
вероятности. Дискретное вероятностное пространство. Распределение вероятностей.
Классическая вероятность. Континуальное вероятностное пространство. Геометрическая
вероятность, как непрерывный аналог классической вероятности.
1.3 Условные вероятности и независимость событий
Условная вероятность. Независимость событий (попарная и в совокупности).
Формула полной вероятности. Задача о разорении игрока. Формула полной вероятности
для условных вероятностей. Формула Байеса для апостериорной вероятности.
1.4 Независимые испытания
Прямое произведение вероятностных пространств. Определение независимых
испытаний. Биномиальная и полиномиальная схемы независимых испытаний. Связь
биномиального и гипергеометрического распределений. Предельные теоремы для
биномиальной и полиномиальной схем (теоремы Муавра-Лапласа и Пуассона).
Модуль 2
2.1 Случайные величины и случайные векторы
Сигма-алгебра борелевских множеств на прямой. Измеримые отображения и
борелевские функции. Случайная величина и ее распределение. Функция распределения
случайной величины; ее свойства. Сигма-алгебра, порожденная случайной величиной.
Теорема о продолжении меры с алгебры интервалов на сигма-алгебру борелевских
множеств. Взаимно однозначное соответствие между вероятностными мерами на
числовой прямой и функциями распределениями. Дискретные, абсолютно непрерывные и
сингулярные распределения. Смеси распределений. Теорема Лебега о представлении
произвольного распределения. Плотность распределения относительно σ-конечной меры
(Теорема Радона-Никодима). Плотность дискретного распределения относительно
считающей меры. Классические дискретные и абсолютно непрерывные распределения:
биномиальное, геометрическое, гипергеометрическое, пуассоновское, нормальное,
показательное, равномерное, гамма, бета, Коши, хи–квадрат, Стьюдента, Фишера.
Конечномерные случайные векторы и их распределения. Дискретные и абсолютно
непрерывные многомерные распределения. Классические примеры многомерных
распределений: полиномиальное, равномерное, гауссовское (нормальное). Независимость
конечной совокупности случайных величин. Критерии независимости. Распределение
функции от случайных величин и векторов. Свертка распределений. Моделирование
случайных величин с помощью квантильных преобразований. Существование
последовательностей независимых случайных величин. Условные распределения
(дискретные и абсолютно непрерывные). Независимость случайных величин в терминах
условных распределений.
2.2Числовые характеристики конечномерных распределений
Математическое ожидание случайной величины как абстрактный интеграл Лебега.
Замена переменной в интеграле Лебега, приводящая к интегралу Лебега-Стилтьеса.
Формулы для вычисления математических ожиданий дискретных и абсолютно
непрерывных случайных величин. Свойства математического ожидания. Дисперсия
случайной величины и ее свойства. Математические ожидания и дисперсии классических
распределений. Моменты случайных величин. Основные неравенства для моментов:
неравенства Ляпунова, Маркова, Чебышева, Гельдера. Числовые характеристики
двумерных распределений: ковариация и корреляция. Корреляция как мера линейной
зависимости случайных величин. Задача об оптимальном среднеквадратичном линейном
прогнозе. Матрица ковариаций случайного вектора. Вероятностный смысл параметров
многомерного нормального распределения. Условное математическое ожидание
относительно событий ненулевой вероятности, его свойства. Обобщение понятия
условного математического ожидания. Формула повторного математического ожидания.
Модуль 3
3.1 Характеристические и производящие функции
Распределение суммы большого числа независимых случайных величин.
Характеристическая функция случайной величины, ее аналитические свойства.
Характеристические функции классических распределений. Формула обращения. Теорема
о взаимно однозначном соответствии. Слабая сходимость распределений. Теорема
непрерывности для характеристических функций. Производящая функция и ее свойства.
Характеристическая функция случайного вектора и ее свойства. Независимость
некоррелированных компонент гауссовского случайного вектора.
3.2 Предельные теоремы
Основные виды сходимости последовательностей случайных величин (с
вероятностью 1, по вероятности, в среднем, по распределению) и связь между ними. Закон
больших чисел в форме Чебышева для независимых и слабо зависимых случайных
величин с конечными дисперсиями. Закон больших чисел в форме Хинчина. Следствие
для схемы Бернулли. Усиленный закон больших чисел Колмогорова. Центральная
предельная теорема для независимых и одинаково распределенных случайных величин.
Оценка скорости сходимости. Центральная предельная теорема для разнораспределенных
независимых величин (теорема Линдеберга). Достаточное условие выполнимости условия
Линдеберга (теорема Ляпунова). Обобщение теоремы Пуассона. Оценка скорости
сходимости в теореме Пуассона.
Планы семинарских занятий.
Модуль 1
1.1 Элементы комбинаторики
Расчет числа выборок из конечной генеральной совокупности: упорядоченных и
неупорядоченных, с возвращением и без возвращения. Принцип умножения. Основные
комбинаторные понятия и формулы. Биномиальные и полиномиальные коэффициенты.
Бином Ньютона. Полиномиальная схема.
1.2 Вероятностные пространства
Случайные события и операции над ними. Вычисление вероятностей в классической
и геометрической модели вероятностного пространства. Свойства вероятностей.
1.3 Условные вероятности и независимость событий
Условная вероятность. Независимость событий (попарная и в совокупности).
Формула умножения вероятностей. Полная вероятность. Формула Байеса.
1.4 Независимые испытания
Биномиальная и полиномиальная схемы независимых испытаний. Связь
биномиального и гипергеометрического распределений. Теоремы Муавра-Лапласа и
Пуассона. Решение задач с использованием таблиц вероятностных распределений.
6.
Модуль 2
2.1 Случайные величины и случайные векторы
Случайная величина и ее распределение. Функция распределения случайной
величины; ее свойства. Дискретные и абсолютно непрерывные распределения. Случайные
векторы и их распределения. Дискретные и абсолютно непрерывные многомерные
распределения. Нахождение маргинальных распределений. Проверка независимости
конечной совокупности случайных величин. Нахождение распределение функции от
случайных величин и векторов. Свертка распределений. Условные распределения.
Независимость случайных величин в терминах условных распределений.
2.2 Числовые характеристики конечномерных распределений
Нахождение математических ожиданий и дисперсий дискретных и абсолютно
непрерывных распределений. Свойства математического ожидания и дисперсии.
Моменты случайных величин. Неравенства для моментов. Числовые характеристики
двумерных распределений: ковариация и корреляция. Матрица ковариаций случайного
вектора. Независимость некоррелированных компонент гауссовского случайного вектора.
Условное математическое ожидание.
Модуль 3
3.1 Характеристические и производящие функции
Характеристическая функция случайной величины, ее аналитические свойства.
Нахождение распределений по их характеристическим функциям (формула обращения).
Применение теоремы непрерывности для нахождения предельных распределений.
Производящая функция и ее свойства. Характеристическая функция случайного вектора и
ее свойства.
3.2 Предельные теоремы
Основные виды сходимости последовательностей случайных величин (с
вероятностью 1, по вероятности, в среднем, по распределению). Различные варианты
законов больших чисел и их усиленные модификации. Проверка применимости закона
больших чисел к последовательности независимых и слабо зависимых случайных
величин. Центральная предельная теорема. Теоремы Пуассона. Численные задачи на
применение центральной предельной теоремы и теоремы Пуассона с оценкой скорости
сходимости.
7.
Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).
Самостоятельная работа студента играет очень большую роль в получении им
высшего образования, отражаясь напрямую на качестве подготовки будущего
специалиста. Именно эта часть работы развивает навыки самообразования, навыки
самостоятельной работы в разных жизненных аспектах, стремление к саморазвитию и
познанию.
Закрепляя пройденный материал, в дополнение к конспектам лекционных и
практических занятий рекомендуется использовать литературу и другие источники,
примерный перечень которых имеется в разделе 11. Время, систематичность, прилежность
при подготовке к учебным занятиям и контрольным мероприятиям различного характера
напрямую влияют на достижения и успехи студента, которые в дальнейшем при контроле
знаний количественно выражаются в баллах и отметках.
Самостоятельная работа студентов организуется в двух формах:
- аудиторной – на лекционных и практических занятиях при решении
поставленных индивидуальных задач;
- внеаудиторной – проработка лекций, изучение рекомендованной литературы;
контрольным работам, коллоквиуму.
Вопросы к коллоквиуму
Коллоквиум 2.2
1. Определение случайной величины и функции распределения. Свойства,
определяющие функцию распределения
2. Дискретные, абсолютно непрерывные и сингулярные распределения. Теорема Лебега о
представлении произвольного распределения
3. Плотность распределения относительно -конечной меры (теорема Радона-Никодима).
Плотность дискретного распределения относительно считающей меры
4. Классические вероятностные распределения.
5. Векторная случайная величина. Дискретные и абсолютно непрерывные многомерные
распределения. Условия согласованности
6. Нахождение маргинальных дискретных и абсолютно непрерывных распределений
7. Классические примеры многомерных распределений: полиномиальное, равномерное,
гауссовское (нормальное)
8. Независимость конечной совокупности случайных величин. Критерии независимости
9. Распределение функции от случайных величин и векторов. Свертка распределений
10. Условные распределения (дискретные и абсолютно непрерывные). Независимость
случайных величин в терминах условных распределений
11. Математическое ожидание случайной величины как абстрактный интеграл Лебега.
Замена переменной в интеграле Лебега, приводящая к интегралу Лебега-Стилтьеса
12. Формулы для вычисления математических ожиданий дискретных и абсолютно
непрерывных случайных величин. Свойства математического ожидания
13. Дисперсия случайной величины и ее свойства
14. Математические ожидания и дисперсии классических распределений
15. Моменты случайных величин. Основные неравенства для моментов: неравенства
Ляпунова, Маркова, Чебышева, Гельдера
16. Числовые характеристики двумерных распределений: ковариация и корреляция.
Коллоквиум 3.1
1.
Векторная случайная величина. Дискретные и абсолютно непрерывные
многомерные распределения. Условия согласованности
2. Нахождение маргинальных дискретных и абсолютно непрерывных распределений
3. Классические примеры многомерных распределений: полиномиальное, равномерное,
гауссовское (нормальное)
4. Независимость конечной совокупности случайных величин. Критерии независимости
5. Распределение функции от случайных величин и векторов. Свертка распределений
6. Условные распределения (дискретные и абсолютно непрерывные). Независимость
случайных величин в терминах условных распределений.
Коллоквиум 3.2
1. Характеристическая функция случайной величины, ее аналитические свойства
2. Характеристические функции классических распределений
3. Формула обращения. Теорема о взаимно однозначном соответствии
4. Слабая сходимость распределений. Теорема непрерывности для характеристических
функций
5. Производящая функция и ее свойства
6. Характеристическая функция случайного вектора и ее свойства. Независимость
некоррелированных компонент гауссовского случайного вектора
7. Основные виды сходимости последовательностей случайных величин (с вероятностью
1, по вероятности, в среднем, по распределению) и связь между ними
8. Закон больших чисел в форме Чебышева для независимых и слабо зависимых
случайных величин с конечными дисперсиями
Контрольная работа № 1
1. В каждой упаковке товара есть наклейка одного из трех цветов (красного,
синего и зеленого) равновероятно. Найти вероятность собрать наклейки всех цветов,
купив 5 упаковок.
2. Найти вероятность, что среди 7 случайно выбранных цифр встретится хотя
бы одна из двух цифр: 1 или 2. Рассмотреть случаи выбора с возвращением и без
возвращения.
3. Имеется 10 одинаковых урн, из которых в девяти находятся по 2 белых и 2
черных шара, а в одной – 5 белых и 1 черный шар. Из урны, взятой наудачу, извлечен
белый шар. Какова вероятность того, что шар извлечен из урны, содержавшей 5 белых
шаров?
4. Проведено 20 независимых испытаний, каждое из которых заключается в
одновременном подбрасывании 3 монет. Найти вероятность, что хотя бы в одном
подбрасывании появятся три герба.
5. При 14400 бросаниях монеты герб выпал 7428 раз. Насколько вероятно столь
большое или еще большее уклонение числа выпадений герба от половины случаев?
Контрольная работа № 2
1. Двумерное распределение пары целочисленных случайных величин  и  задается с
помощью таблицы


-1
0
1
1
1
8
1
12
7
24
1
5
24
1
6
1
8
Найти частные распределения случайных величин  и , их математические ожидания и
дисперсии. Проверить  и  на зависимость. Найти распределение + и cov(,).
2. Пусть  и  независимы и имеют показательные распределения с параметром 1. Найти
распределения + и /. Верно ли, что + и / независимы?
3. Распределение случайной величины  имеет плотность p(x)=2/x3 при x1, p(x)=0 при
x<1. Найти математическое ожидание  и распределение =1/.
4. Случайная точка (,) равномерно распределена в треугольнике с вершинами (0,0),
(2,1), (2,0). Найти частные распределения случайных величин  и , их математические
ожидания и дисперсии. Проверить  и  на зависимость. Найти распределение – и
cov(,).
Контрольная работа № 3
1. Найти распределения соответствующее характеристическим функциям:
1  3 cos 2t
sin t
4
а)
, б) t
2. Пусть 1,  2 ,...,  n --независимые случайные величины с одним и тем же
распределением Пуассона с параметром λ. Найти точное значение вероятности P(Sn  x) ,
используя свойство пуассоновского распределения и таблицы, а затем сравнить это
значение с приближенным результатом, полученным после применения ЦПТ. Вычисления
провести при n= 10, λ=0,2, x= 3.
3. Пусть 1,  2 ,...,  n --независимые случайные величины с одним и тем же нормальным
распределением N (a, σ2). Известно, что P(Sn  0)  p. Найти среднее значение
нормального распределения, если σ= 2, p= 0, 029
.
Зачетные и дополнительные задачи
1. Имеется n палок. Каждую разломили на две части. После этого получившиеся части
объединили в пары произвольным образом. Какова вероятность того, что в результате
получились исходные палки?
2. Найти коэффициент корреляции между числами выпадения "1" и "6" при бросании
игрального кубика n раз.
3. Найти математическое ожидание числа смен успеха и неуспеха в n испытаниях
Бернулли.
4. Пусть n – число успехов в n испытаниях Бернулли. Найти Mn3 c помощью
производящей функции.
5. Из чисел от 1 до 30 берут 10 чисел без возвращения. Найти математическое ожидание и
дисперсию суммы выбранных чисел.
6. Для следующих распределений: биномиального, пуассоновского, геометрического,
гипергеометрического указать значения, которые принимаются: а) с наибольшей
вероятностью, б) с наименьшей вероятностью.
7. Пусть 1 и 2 независимы и имеют одинаковое геометрическое распределение. Найти
P(1=k|1+2=n).
8. У страховой компании 10000 клиентов, вероятность смерти каждого в течение года
0,006, страховой взнос 12, выплата в случае смерти 1000. Найти вероятность того, что
годовой доход фирмы превысит 4000 и вероятность разорения компании.
9. Проверить, выполняется ли закон больших чисел для последовательности случайных
  2 n )  2  ( 2 n 1) , Р( n  0)  1  2 2 n ,
P( n  2 n )  2  ( 2 n 1)
величин n , если Р( n
.
10. Пусть n – последовательность независимых одинаково распределенных случайных
(  ...   n ) /(12  ...   n2 )
величин с M=a, D=2. Сходится ли последовательность 1
ик
чему?
11. Дисперсии независимых случайных величин U и V равны 1. Для случайных величин
X=U+V, Y=7U+V, Z=7U–V найти матрицу корреляций и ее определитель.
12. Пусть X, Y, Z независимы и одинаково распределены, причем MX=DX=2. Найти
коэффициент корреляции случайных величин U=XY и V=YZ.
13. Двумерное распределение пары целочисленных случайных величин  и  задается с
помощью таблицы

-1
0
2
1
1
6
1
6
1
3
1
1
12
1
6
1
12

Найти распределение X=max(,). Выяснить, при каком C случайные величины  и X–C
будут некоррелированы.
14. Пусть M=0. Доказать, что M||(D+1)/2.
15. На отрезок [0, 1] последовательно и наудачу бросают три точки. Найти вероятность
того, что третья окажется между первыми двумя.
16. На отрезок [0, 1] бросают наудачу две точки. Найти математическое ожидание и
дисперсию расстояния между ними.
17. Найти распределение суммы двух независимых нормально распределенных случайных
величин.
18. Известно, что  и  независимы и имеют стандартное нормальное распределение.
Найти плотность распределения 2+2.
19. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины с плотностью
 4x2  x 2

e
p ( x )   3 

0,
2
, x  0;
x  0.
20. Найти плотность распределения двух независимых случайных величин, которые
равномерно распределены на отрезках [A, B] и [C, D].
Вопросы к экзамену
9. Аксиомы теории вероятностей. Вероятностное пространство
10. Дискретное вероятностное пространство. Распределение вероятностей. Классическая
вероятность
11. Геометрическое вероятностное пространство. Геометрическая вероятность
12. Свойства вероятностей. Свойства непрерывности вероятностей
13. Теорема об эквивалентности аксиом аддитивности и непрерывности вероятности
14. Условная вероятность. Независимость конечного числа событий: попарная и в
совокупности. Независимости последовательности событий
15. Формулы полной вероятности. Формула Байеса
16. Независимые испытания. Схема Бернулли. Биномиальное распределение.
17. Гипергеометрическое распределение. Связь биномиального и гипергеометрического
распределений
18. Полиномиальная схема независимых испытаний. Полиномиальное распределение
19. Предельные теоремы для биномиального распределения. Теорема Муавра Лапласа.
Оценка скорости сходимости
20. Предельные теоремы для биномиального распределения. Теорема Пуассона. Оценка
скорости сходимости
21. Определение случайной величины и функции распределения. Свойства,
определяющие функцию распределения
22. Дискретные, абсолютно непрерывные и сингулярные распределения. Теорема Лебега о
представлении произвольного распределения
23. Плотность распределения относительно -конечной меры (теорема Радона-Никодима).
Плотность дискретного распределения относительно считающей меры
24. Классические вероятностные распределения.
25. Векторная случайная величина. Дискретные и абсолютно непрерывные многомерные
распределения. Условия согласованности
26. Нахождение маргинальных дискретных и абсолютно непрерывных распределений
27. Классические примеры многомерных распределений: полиномиальное, равномерное,
гауссовское (нормальное)
28. Независимость конечной совокупности случайных величин. Критерии независимости
29. Распределение функции от случайных величин и векторов. Свертка распределений
30. Условные распределения (дискретные и абсолютно непрерывные). Независимость
случайных величин в терминах условных распределений
31. Математическое ожидание случайной величины как абстрактный интеграл Лебега.
Замена переменной в интеграле Лебега, приводящая к интегралу Лебега-Стилтьеса
32. Формулы для вычисления математических ожиданий дискретных и абсолютно
непрерывных случайных величин. Свойства математического ожидания
33. Дисперсия случайной величины и ее свойства
34. Математические ожидания и дисперсии классических распределений
35. Моменты случайных величин. Основные неравенства для моментов: неравенства
Ляпунова, Маркова, Чебышева, Гельдера
36. Числовые характеристики двумерных распределений: ковариация и корреляция.
Корреляция как мера линейной зависимости случайных величин
37. Задача об оптимальном среднеквадратичном линейном прогнозе
38. Матрица ковариаций случайного вектора. Вероятностный смысл параметров
многомерного нормального распределения
39. Условное математическое ожидание относительно событий ненулевой вероятности,
его свойства
40. Обобщение понятия условного математического ожидания. Формула повторного
математического ожидания
41. Характеристическая функция случайной величины, ее аналитические свойства
42. Характеристические функции классических распределений
43. Формула обращения. Теорема о взаимно однозначном соответствии
44. Слабая сходимость распределений. Теорема непрерывности для характеристических
функций
45. Производящая функция и ее свойства
46. Характеристическая функция случайного вектора и ее свойства. Независимость
некоррелированных компонент гауссовского случайного вектора
47. Основные виды сходимости последовательностей случайных величин (с вероятностью
1, по вероятности, в среднем, по распределению) и связь между ними
48. Закон больших чисел в форме Чебышева для независимых и слабо зависимых
случайных величин с конечными дисперсиями
49. Закон больших чисел в форме Хинчина. Следствие для схемы Бернулли
50. Усиленный закон больших чисел Колмогорова
51. Центральная предельная теорема для независимых и одинаково распределенных
случайных величин. Оценка скорости сходимости
52. Центральная предельная теорема для разнораспределенных независимых величин
(теорема Линдеберга)
53. Достаточное условие выполнимости условия Линдеберга (теорема Ляпунова)
54. Обобщение теоремы Пуассона. Оценка скорости сходимости в теореме Пуассона
Образовательные технологии.
При изучении дисциплины используются сочетания видов учебной работы с
методами и формами активизации познавательной деятельности бакалавров для
8.
достижения запланированных результатов обучения и формирования заявленных
компетенций.
Лекционные занятия проводятся с использованием наглядных пособий и
раздаточных материалов. Целью лекций является изложение теоретического материала и
иллюстрация его примерами и задачами. Основным теоретическим положениям
сопутствуют пояснения об их приложениях к другим разделам математики, а также
экономике, физике, программированию.
При проведении практических занятий используются индивидуальные и
групповые формы работы; работа в малых группах; выполнение заданий в паре;
взаимопроверка выполненных задач. Во время лекционных занятий ведется активный
диалог со слушателями, используется проблемное изложение материала.
Принципами организации учебного процесса являются: активное участие
слушателей в учебном процессе; проведение практических занятий, определяющих
приобретение навыков решения практических задач; приведение примеров применения
изучаемого теоретического материала к реальным практическим ситуациям.
9.
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
9.1. Основная литература:
1.Боровков А.А. Теория вероятностей. – М., “Эдиториал УРСС”, 2004.
2.Ширяев А.Н. Вероятность. – М., Наука, 2003.
3.Коршунов Д.А., Фосс С.Г., Эйсымонт И.М. Сборник задач и упражнений по теории
вероятностей. – СПб.: «Лань», 2004.
4.Прохоров А.В., Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. Задачи по теории вероятностей. – М.:
Наука, 1986.
9.2. Дополнительная литература:
5.Феллер В. Теория вероятностей и ее приложения. Т. 1, 2. – "Мир", М., 1984.
6.Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М., "Наука", 1988.
7.Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая
статистика. – М., “Наука”, 1989.
8.Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. – М.,
"Наука", 1982.
10.
Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
В организации
учебного процесса необходимыми
являются средства,
обеспечивающие аудиовизуальное восприятие учебного материала (специализированное
демонстрационное оборудование):
 доска и мел (или более современные аналоги),

компьютеры (для передачи, поиска, изучения материала, для контроля знаний и
др.)
Мосягин Вячеслав Евгеньевич
Теория вероятностей
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 010101.62 «Математика» очной формы обучения
Подписано в печать _____________________ г. Тираж ___________экз.
Объем _____________ п.л. Формат 60х84/16 Заказ № ________
Издательство Тюменского государственного университета
625003, г. Тюмень, Семакова, 10