) x f 

Предел и непрерывность
функции одной переменной
3.1.1. Определение. Число А называется предельным
значением (пределом) функции f (x) при x стремящимся к x0,
если для любого числа   0 найдётся число   0 (   (, x 0 ) ),
и будет выполняться условие:
если 0  x  x 0   , то f ( x)  A   .
(Символика: A  lim f (x) ).
x x0
Если точки графика Г функции y  f ( x ) неограниченно
приближаются к единственной горизонтальной прямой y  A ,
когда x неограниченно близко приближается к точке x 0 (т.е.
x  x 0 ), (см. Рис. 3.1), то это обстоятельство является
геометрическим эквивалентом того, что функция f ( x ) при
x  x 0 имеет предельное значение (предел) A (символика:
lim f ( x)  A ).
x x0
График функции y  f ( x ) , lim f ( x)  A
x x0
Рис. 3.1
Следует отметить, что в определении предельного значения
(предела) функции f (x) при x стремящемся к x0 ничего не
говорится о поведении функции f (x) в точке x0. В самой точке x0
1
функция
f (x) может быть не определена, может быть
0
0
lim f ( x)  f ( x ) , а может быть lim f ( x)  f ( x ) .
x x0
x x0
Если A  0 , то функция f (x) называется бесконечно малой
при x  x 0 .
Промежуток U 10 (, x 0 )  x, 0  x  x 0   называют
 -


окрестностью точки x0 с выколотым центром. Используя это
название, можно сказать так: A  lim f (x) , если для любого
x x0
числа   0 найдётся число   0 , и будет выполняться условие:
если x  U 10 (, x 0 ) , то f ( x)  U 1 (, A) .
3.1.2.
Определение.
A  lim f (x) ,
x x
0
сходящейся к x последовательности
 f ( x n  сходится к А.
0
xn 
если
для
любой
последовательность
3.1.3. Докажем эквивалентность определений разделов 3.1.1 и
3.1.2
Пусть сначала A  lim f (x) в смысле первого определения и
x x0
0
пусть x n  x 0 ( x n  x ), тогда все x n , кроме их конечного числа
удовлетворяют неравенству 0  xn  x 0   , где  выбрано по  в
смысле первого определения, т.е. f ( x n )  A   , т.е. из первого
определения следует второе. Пусть теперь A  lim f (x) в
x x0
смысле второго определения и допустим, что в смысле второго
определения A  lim f ( x) , т.е. для некоторого  0 при сколь
x x 0
1
) нашлась
n
последовательность x n   x 0 , но при этом f ( x n )  A   0 .
Пришли к противоречию, следовательно, из второго определения
следует первое.
угодно
малых
0
(например,
2
при

3.1.4. Эквивалентность этих определений особенно удобна,
ибо все доказанные ранее теоремы о свойствах пределов для
последовательностей переносятся почти автоматически на новый
случай. Следует лишь уточнить понятие ограниченности.
Соответствующая теорема имеет следующую формулировку:
Если A  lim f ( x) , то f (x) ограничена на некоторой  x x 0
окрестности точки x0 с выколотым центром.
3.2.1.Теорема. Пусть lim f ( x)  A , lim g ( x)  B ,
x x0
тогда, lim  f ( x   g ( x)  A  B ,
0
x x0
x x
lim0  f ( x   g ( x)  A  B ,
x x
f ( x) A
 B  0 .
lim0
g
(
x
)
B
x x
3.2.2. Пусть x n  x n  x 0 - произвольная, сходящаяся к x0
последовательность значений аргументов функций f (x) и g (x) .
Соответствующие последовательности  f ( x n ) и g ( x n ) значений
этих функций имеют пределы A и B. Но тогда, в силу теоремы
 f ( xn )  g ( xn ) ,
раздела
2.13.2,
последовательности
 f (x )
 f ( xn )  g ( xn ) и  n  имеют пределы, соответственно равные
 g ( xn ) 
A
B  0. Согласно определению предела функции
A +B, A  B и
B
в точке (см. раздел 2.5.2) это означает, что
lim  f ( x)  g ( x)   A  B , lim  f ( x)  g ( x)   A  B ,

x x0

x x0
f ( x) A
B  0 .

lim0
g
(
x
)
B
x x
3.2.3. Теорема. Если lim f ( x)  A , lim h( x)  A , и в
x x0
0


x x0
некоторой окрестности U 10 (, x ) x  x 0 имеет место
f ( x)  g ( x)  h( x) ,
3
то
lim g ( x)  A .
x x 0
3.2.4. По определению предела функции f (x) в точке x0 для
любой последовательности x n  такой, что lim xn  x 0 x n  x 0
n 


последовательность значений функции  f ( x n ) имеет предел
равный А. Это означает, что для любого   0 существует номер
N 1 такой, что для любого номера n  N1 выполняется
Аналогично,
для
f ( xn )  A    A    f ( xn )  A   .
последовательности h( x n ) существует номер N 2 такой, что для
n  N2
любого
номера
выполняется
h( xn )  A    A    h( xn )  A   . Выбирая N  max  N1 , N 2 ,
nN
получаем,
что
для
всех
выполняется
A    f ( xn )  g ( xn )  h( xn )  A   . Из этой цепочки неравенств
имеем A    g ( xn )  A    g ( xn )  A   для любого n  N ,
что означает, что lim g ( x)  A .
x x0
3.2.5. Определение.
Число А называется предельным
значением (пределом) функции f (x) при x стремящимся к x0
справа (символика: A  lim f ( x) ) , если для любого числа
x x0 0
  0 найдётся число   0 (   (, x 0 ) ) и будет выполняться
условие: если 0  x  x 0   , то f ( x)  A   .


Множество U 10 (, x 0 )  x 0  x  x 0   называют правой  окрестностью точки x0. Аналогично определяется понятие
предельного значения (предела) слева ( A  lim f ( x) ).
x  x 0 0
3.2.6. Теорема. Функция f (x) при x  x 0 имеет предельное
значение (предел) равный А тогда и только тогда, когда
lim f ( x)  lim0 f ( x)  A ,
x  x 0 0
x x 0
4
3.3.1. Определение. Число А называется предельным
значением (пределом) функции f (x) при x стремящимся к
бесконечности, если для любого числа   0 найдётся число
D  0 ( D  D() ) и будет выполняться условие:
если x  D , то f ( x)  A   .
(Символика: A  lim f ( x) .)
x 
Множество
бесконечности.
x /
x  D
называется
D-окрестностью
3.3.2. Определение. Число А называется предельным
значением (пределом) функции f (x) при x стремящимся к плюс
бесконечности, если для любого числа   0 найдётся число D
( D  D() ) и будет выполняться условие:
если x  D , то f ( x)  A   .
(Символика: A  lim f ( x) ).
x  
Если точки графика Г функции y  f (x) с неограниченным
x
x   неограниченно приближаются к
ростом
единственной горизонтальной прямой y  A (см. Рис. 3.2), то это
обстоятельство является геометрическим эквивалентом того, что
функция f (x) при x   имеет предельное значение (предел),
равное числу A (символика: lim f ( x)  A ).
x  
График функции y  f (x) , lim f ( x)  A
x  
Рис.3.2
5
Множество x / x  0 называется D-окрестностью плюс
бесконечности.
Аналогично определяется понятие предела при x   .
Упражнения.
Сформулируйте все теоремы о пределах применительно к
случаям:
1) x  x 0  0 , 2) x  x 0  0 , 3) x   , 4) x   , 5) x   .
3.4.1. Определение. Функция f (x) называется бесконечно
большой функцией (или просто бесконечно большой) при
x  x 0 , если для любого числа E  0 существует число   0
такое, что для всех x  A , удовлетворяющих неравенству
0  x  x 0   , выполняется неравенство f ( x)  E .
(Символика: lim f ( x)   .)
x x0
Если выполняется f ( x)  E , то пишут lim f ( x)   .
x x0
Если выполняется f ( x)   E , то пишут lim f ( x)   .
x x0
3.4.2. Теорема. Пусть lim f ( x)  0 и f ( x)  0 при x  x 0 .
x x0
Тогда
0
1
- бесконечно большая функция при x  x .
f ( x)
3.4.3. Пусть произвольное число E  0 . Так как f (x) 1
бесконечно малая функция при x  x 0 , то для числа  
E
существует число   0 такое, что для всех x таких, что
1
0  x  x 0   выполняется неравенство f ( x)  , но тогда для
E
1
1
 E . Т.е.
тех же x выполнятся неравенство
f ( x)
f ( x)
бесконечно большая функция при x  x 0 .
6
3.4.4.Теорема. Пусть f (x) - бесконечно большая функция
при x  x 0 и f ( x)  0 при x  x 0 .
1
Тогда
- бесконечно малая функция при x  x 0 .
f ( x)
(Эта теорема доказывается аналогично теореме раздела
3.8.2).
3.4.5. Функция F (x) называется неограниченной при x  x 0 ,
если для любого числа E  0 и любой δ-окрестности точки x 0
можно указать точку x из этой окрестности такую, что F ( x)  E .
3.5.1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Функция
f (x)
непрерывной в точке x 0 , если lim0 f ( x)  f ( x 0 ) .
называется
x x
Последнее условие можно записать и так:
lim0 f ( x)  f ( lim0 x) .
x x
x x
Эта запись означает, что для непрерывных функций можно
менять местами знак предела и знак функции
0
f
(
x
)

lim
f
(
x
)

f
(
x
) . Или снова, как в
Или так: lim
0
0
x x 0
начале.
x  x 0


lim0 f ( x)  f ( x 0 ) 
x x
lim
0
x x 0
 f ( x)  f ( x )   0 .
0
Обозначим
Тогда
x 0  x  x 0 .
x  x 0  x 0
f (x) = f ( x 0  x 0 ) и последняя форма записи примет вид
lim
f ( x 0  x 0 )  f ( x 0  0 .
0
x 0

и

Выражение под знаком предела представляет собой
приращение функции f (x) точке x 0 , вызванное приращением
x 0 аргумента x в точке x 0 , обозначаемое обычно как y 0 . В
итоге
получаем
следующую
форму
записи
условия
непрерывности функции в точке
0
lim

y
 0,
0
x  0
7
которую называют «рабочим определением» непрерывности
функции в точке.
Функция f (x) называется непрерывной в точке x 0 слева,
f ( x)  f ( x 0 ) .
если lim
0
x  x 0
Функция f (x) называется непрерывной в точке x 0 справа,
0
f
(
x
)

f
(
x
).
если lim
0
x x 0
3.5.2. Пример. g ( x)  x . Эта функция непрерывна для любого
x . С помощью теорем о свойствах пределов, мы сразу получаем:
любая рациональная функция непрерывна в каждой точке, в
которой
она
определена,
т.е.
функция
вида
n
n 1
a x  a x    a n1 x  a n
.
R( x)  0 m 1 m1
b0 x  b1 x
 bm1 x  bm
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Сформулируйте, что означает, что в некоторой точке
функция f (x) не является непрерывной (на языке    ; с
помощью понятия сходящейся последовательности).
2. Приведите пример функции, не являющейся
непрерывной (можно говорить: является разрывной) для
любого значения аргумента.
3.6.1. В школьном учебнике доказывается (на высоком
sin x
 1 (первый замечательный
уровне строгости), что lim
x 0 x
предел). Из наглядных геометрических соображений сразу
получается, что sin x  x  tg x . Заметим, что из левого
неравенства следует также, что lim sin x  0 , т.е. что функция
x0
sin x непрерывна в нуле. Отсюда уж совсем нетрудно доказать
непрерывность всех тригонометрических функций во всех
точках,
где
они
определены.
В
самом
деле,
x  x0
x  x0
0
sin x  sin x  2 cos
sin
0
x  x0
при
как
2
2
8
произведение
бесконечно
малой
функции
x  x0
sin
2
на
x  x0
ограниченную функцию 2 cos
.
2
3.6.2. (2-й замечательный предел). Как нам уже известно
n
 1
1    e ,
 n
где n пробегает натуральные числа. Можно показать, что
x
x
 1
 1
lim 1    e . Более того lim 1    e .
x  
x 
x
x
УПРАЖНЕНИЯ.
1.
Докажите непрерывность функций cos x , tg x .
2.
 1
Докажите, что 1  
 n
n
 e при n   .
3.7.1. ТЕОРЕМА (о непрерывности сложной функции).
Если функция g (x) непрерывна в точке x 0 и g ( x 0 )  y 0 , а
функция f ( y ) непрерывна в точке y 0 , то сложная функция
F ( x)  f ( g ( x)) непрерывна в точке x 0 .
3.7.2. Справедливость этого утверждения немедленно следует
из определения непрерывности, записанного в виде:
lim0 f ( g ( x))  f ( lim0 g ( x))  f ( g (lim x)  f ( g ( x 0 )) .
0
x x
x x
x x
3.8.1. ТЕОРЕМА. Функция a x непрерывна в каждой точке x 0
( a  0 ).
3.8.2. Если считать обоснованным, что функция y  a x
определена для любого x и является строго монотонной (строго
убывающей при a  1, строго возрастающей при a  1 ), то
доказательство не составляет труда.
9
При x 0  0 имеем:
a x  1      a x  1    1    a x  1   
 log a 1     x  log a 1    , если a  1 ,
a x  1      a x  1    1    a x  1   
 log a 1     x  log a 1    , если a  1,
т.е. при x  minlog a 1    , log a 1    имеем a x  a 0   , что
означает, что функция a x непрерывна при x 0  0 .
При x 0  0 всё сводится к предыдущему:
0
0

0



a x  a x  a x a xx  1  0 при x  x 0  0 .
При a  1 функция y  a x
следовательно, непрерывна.
постоянна
при
всех
x,
3.9.1. ТЕОРЕМА (о сосуществовании и непрерывности
обратной функции).
Пусть непрерывная функция f (x) строго убывает (строго
возрастает) в некоторой δ - окрестности точки x 0 , f ( x 0 )  y 0 .
Тогда в некоторой ε - окрестности точки y 0 существует обратная
функция x  f
1
( y ) , которая строго убывает (строго возрастает)
и непрерывна в ε - окрестности точки y 0 .
3.9.2. Докажем здесь только непрерывность обратной
функции x  f 1 ( y ) в точке y 0 .
Возьмём   0 , точка y расположена между точками
y1  f ( x 0 )   и y 2  f ( x 0 )   , следовательно, если y  y 0   ,

то f 1 ( y )  x 0   , где   min f
1

( y1 ), f 1 ( y 2 ) .
3.10.1. Итак, любые позволительные арифметические
действия над непрерывными функциями вновь приводят к
непрерывным функциям. Образование из них сложных и
обратных функций не портит непрерывности. Поэтому, с
некоторой долей ответственности, мы можем утверждать, что все
10
элементарные функции
аргумента непрерывны.
при
всех
допустимых
значениях
УПРАЖНЕНИЕ.
ln1  x 
 1 при x  0 (другая форма второго
Докажите, что
x
замечательного предела).
3.11.1. Вычисление пределов сильно упрощается, если
использовать понятие эквивалентных бесконечно малых.
Понятие эквивалентности удобно обобщить на случай
произвольных функций.
Определение. Функции
f (x) и
g (x) называются
f ( x)
 1 (вместо x 0 можно
эквивалентными при x  x 0 , если lim
x  x 0 g ( x)
писать x 0  0 , x 0  0 ,  ,   ,   ).
Используемое обозначение f ~ g.
Эквивалентность обладает следующими свойствами
1) f ~ f,
2) f ~ g при x  x 0  g ~ f при x  x 0 ,
3) f ~ g при x  x 0 , g~ h при x  x 0  f ~ h при x  x 0 .
Необходимо помнить следующий список эквивалентных
бесконечно малых:
при   0 ;
(1)
sin  ~ 
при   0 ;
(2)
tg ~ 
2
1  cos  ~
при   0 ;
(3)
2
при   0 ;
(4)
arcsin  ~ 
при   0 ;
(5)
arctg  ~ 
ln1    ~ 
при   0 ;
(6)
e  1 ~ 
1    p  1 ~ p 
ln z ~ z
z p  1 ~ p z  1
при   0 ;
при   0 ;
при z  1 ;
при z  1 .
11
(7)
(8)
(9)
(10)
Здесь  и z могут быть не независимыми переменными, а
функциями (x) и z(x) стремящимися соответственно к нулю и
единице при некотором поведении x. Так, например,
ln cos x ~ cos x  1 при x  0 ,
2
e x 1  1~ x 2  1 при x  1.
Эквивалентность (1) является иной формой записи первого
замечательного предела. Эквивалентности (2), (3), (6) и (7) можно
доказать непосредственно. Эквивалентность (4) получается из (1)
с учётом свойства 2) эквивалентностей:
arcsin  ~ sin arcsin     .
Аналогично (5) и (7) получаются из (2) и (6). В самом деле
arctg  ~ tg arctg    ,
e  1 ~ ln 1  e  1   .
Эквивалентность (8) доказывается последовательным
применением (7) и (6):
1    p  1 ~ e p ln 1    1  p ln1     p ,
а (9) и (10) получаются из (6) и (8) заменой z  1   .
 

3.11.2. Теорема. При вычислении пределов в произведении и
отношении можно менять функции на эквивалентные. А именно,
если (x) ~ (x) , то lim ( x)  f ( x)  lim ( x)  f ( x) , либо оба
x x0
x x0
f ( x)
f ( x)
 lim
,
0 ( x)
0 ( x )
x x
x x
либо оба эти предела не существуют одновременно.
предела не существуют одновременно, и lim
Докажем первое равенство. Пусть один из пределов, скажем,
lim ( x)  f ( x) существует. Тогда
x x0
( x)
( x)
( x)  f ( x)  lim
 lim ( x)  f ( x) 
x  x 0 ( x )
x  x 0 ( x ) x  x 0
lim ( x)  f ( x)  lim
x x0
 lim ( x)  f ( x) .
x x0
12
3.11.3. Пусть x  x 0 ( x 0 - число или символ  ,   или
  ). Будем рассматривать поведение различных б.м. функций
(так будем сокращать термин бесконечно малая).
ОПРЕДЕЛЕНИЯ. (x) и (x) называются эквивалентными
( x )
б.м. функциями при x  x 0 , если
 1 (при x  x 0 ).
( x)
(x) будем называть б.м. более высокого порядка чем б.м.
( x)
функция (x) , если
 0 (при x  x 0 ).
 ( x)
3.11.4. Если (x) и (x) эквивалентные б.м. функции, то
( x)  ( x) есть б.м. функция более высокого порядка чем (x)
и чем (x) .
Если (x) есть б.м. функция более высокого порядка чем б.м.
функция (x) , то ( x)  ( x)  ( x) , где (x) - б.м. функция.
Следовательно если (x) и (x)
эквивалентны, то
( x)  ( x) = ( x)  ( x) = ( x)  ( x) , где (x) и (x) - б.м.
функции.
3.11.5. ПРИМЕР. x  sin x  ( x)  x  sin x  ( x)  sin x , где
(x) и (x) - б.м. функции при x  0 .
3.11.6.
Приведём
список
широко
используемых
эквивалентных б.м. функций (при x  0 ):
sin x  x  ( x)  x , ln 1  x   x  ( x)  x , e x  1  x   ( x)  x ,
x2
p
1  x   1  px  ( x)  x ,
1  cos x 
 ( x)  x 2 ,
2
tg x  x  ( x)  x , arcsin x  x  ( x)  x , arctg x  x  ( x)  x .
3.12.1. ТЕОРЕМА (об устойчивости знака непрерывной
функции).
13
Если функция f (x) непрерывна в точке x 0 и f ( x 0 )  0  0 ,
то найдётся δ - окрестность U 1 (, x 0 ) , в которой для всех x
f ( x)  0  0 .
3.12.2. Допустим противное, т.е., что в сколь угодно малой δ 1
окрестности (например, при   , n - любое натуральное число)
n
есть точка x  такая, что f ( x )  0 . Но тогда найдётся
последовательность
x n   x 0 ,
при
этом
f ( xn )  0 ,
т.е.
f ( x 0 )  0 , что противоречит условию f ( x 0 )  0 .
3.13.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция
f (x) называется
непрерывной на отрезке a, b , если она непрерывна во всех
точках интервала a, b  и lim f ( x)  f (a) , lim f ( x)  f (b) .
xa 0
xb 0
3.13.2. ТЕОРЕМА. Если функция f (x) непрерывна в каждой
точке отрезка a, b ,
1) тогда на отрезке a, b существуют числа x1 и x 2 такие, что
f ( x1 )  f ( x) и f ( x2 )  f ( x) для всех x из отрезка a, b (теорема
Вейерштрасса),
2) тогда для любого числа C   f (a), f (b)  существует
xc  a, b  такое, что f ( xc )  C (теорема Больцано - Коши).
Теоремы Вейерштрасса и Больцано - Коши относятся к числу
основных теорем математического анализа. Доказательства их
здесь не приводятся, ибо не являются обязательными.
3.14.1. Определение. Точка x 0 называется точкой разрыва
функции f (x) , если функция f (x) в точке x 0 не является
непрерывной.
3.14.2. Определение. Точка x 0 называется точкой разрыва
первого рода функции f (x) , если в этой точке функция f (x)
14
имеет конечные односторонние пределы, но в этой точке
функция f (x) не является непрерывной.
а) Односторонние пределы равны между собой, т.е.
существует предел функции f (x) в точке x 0 . Этот предел либо
не равен значению функции в точке x 0 либо функция f (x) не
определена точке x 0 . В обоих случаях, если принять полученное
предельное значение за значение функции в точке x 0 , то она
станет непрерывной в этой точке. Таким образом, разрыв в точке
x 0 устранён, а точка x 0 называется точкой устранимого разрыва.
б) Односторонние пределы не равны друг другу:
0
lim f ( x)  lim
f
(
x
)
.
Точка
называется в этом случае
x
0
x  x 0 0
x x 0
точкой неустранимого разрыва. Если обозначить lim
0
f ( x)  b , то величина
и lim
0
x x 0
b  b
x  x 0
f ( x )  b
называется скачком
функции f (x) в точке x 0 .
3.14.3. Если не существует или равен бесконечности хотя бы
один из пределов lim f ( x) , lim f ( x) , то говорят, что график
x  x 0 0
x x0 0
функции f (x) (функция f (x) ) в точке x 0 имеет разрыв второго
рода. Сама точка x 0 называется точкой разрыва второго рода
функции f (x) .
Упражнения.
Найти точки разрыва функций и определить их характер:
1.
sin x
y
.
x
y  sgn x .
2.
5. y  sgn( x  2) . 6. y 
x
.
x
15
3. y 
1
2x
.
4. y 
1
1
1 5x
.