ИЗУЧЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МОЛЕКУЛ ГАЗА ПО

Федеральное агентство по образованию
Ухтинский государственный технический университет
219
ИЗУЧЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МОЛЕКУЛ ГАЗА ПО
СКОРОСТЯМ НА МЕХАНИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Методические указания
к лабораторным занятиям по физике
для студентов всех специальностей
дневной и заочной формы обучения
Ухта 2008
УДК 53 (075)
С 28
ББК 22.3. Я7
Северова, Н.А. Изучение распределения молекул газа по скоростям на
механической модели. [Текст]: метод. указания / Н.А.Северова. – Ухта: УГТУ,
2008. – 15 с.: ил.
Методические указания предназначены для выполнения лабораторной работы по
физике по теме «Молекулярно-кинетическая теория» для студентов всех
специальностей.
Содержание методических указаний соответствует рабочей учебной программе.
Методические указания рассмотрены и одобрены кафедрой физики от 14.02.08г.,
пр. № 4 и предложены для издания.
Рецензент:
Редактор:
Пономарев Н.С., к.ф-м.н., доцент кафедры физики
Ухтинского государственного технического университета.
Шамбулина В.Н., доцент кафедры физики
Ухтинского государственного технического университета.
В методических указаниях учтены предложения рецензента и редактора.
План 2008 г., позиция 20.
Подписано в печать 31.03.08г.
Компьютерный набор: Омельчук И.В.
Объем 15 с. Тираж 60 экз. Заказ № 218.
© Ухтинский государственный технический университет, 2008
169300, г. Ухта, ул. Первомайская, 13.
Отдел оперативной полиграфии УГТУ.
169300, г. Ухта, ул. Октябрьская, 13.
2
ИЗУЧЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МОЛЕКУЛ ГАЗА ПО СКОРОСТЯМ
НА МЕХАНИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Цель работы. Изучение распределений Гаусса и Максвелла на примере
использования механической модели – доски Гальтона.
Краткая теория
В молекулярной физике часто приходится пользоваться понятием
математической вероятности и среднего значения физической величины.
Знакомство с этими понятиями тем более необходимо, т.к. научное понятие о
вероятности отличается от того, которым пользуются в обыденной жизни.
Главное отличие состоит в том, что в науке вероятности событий можно
выражать числами и сравнивать их количественно. Как находят такие числа?
1. Математическая вероятность. Рассмотрим пример с газом. Пусть объем
сосуда, в котором находится газ, равен V. Допустим, что одну молекулу газа мы
как-то пометили и следим за ее перемещением. Какова же вероятность того, что
эта молекула в данный момент времени находится в объеме ∆V, который является
частью объема V? Ответ на этот вопрос можно отыскать двумя способами.
1-й способ. Допустим, что у нас есть двое часов, причем одни часы
обыкновенные, а другие имеют ту особенность, что идут, когда отмеченная нами
молекула находится в объеме ∆V и останавливаются, когда она из него выходит.
Установив часы на нуль, пустим их в ход на длительное время τ. Это время τ
покажут первые часы, тогда как вторые позволят узнать суммарное время t, в
течение которого молекула находится в объеме ∆V. Отношение t/τ , когда τ
беспредельно возрастает, есть вероятность w появления данной молекулы в
объеме ∆V, т.е.
t
w = lim
τ→ ∞ τ
.
(1)
В формуле (1) предполагается, что предел существует. Существование его
несомненно, если внешние условия, в которых находится частица, со временем не
изменяются. В противном случае предела быть не может: его нет, например, если
газ непрерывно расширяется.
2-й способ. Если время наблюдения τ очень велико, то частица многократно
побывает во всех частях объема V. При равноправности всех частей объема V
общее время пребывания молекулы в объеме ∆V должно быть пропорционально
величине этого объема. Поэтому вероятность появления молекулы в объеме ∆V
можно выразить отношением этого объема к общему объему, т.е.
3
∆V
V
w=
.
(2)
Если ∆V = V, то вероятность w = 1. Это значит, что молекула обязательно
находится где-то в объеме
V. Таким образом, вероятность становится
достоверностью, если математическая вероятность равна 1.
Математическая вероятность события всегда выражается отношением двух
чисел и не может быть больше единицы.
Рассмотрим в виде примера такой вопрос. Молекулы газа, двигаясь
хаотически, могут иметь всевозможные скорости. Какова вероятность того, что
численное значение скорости u данной молекулы лежит между u1 и (u1 + du)?
Пусть n – общее число молекул, а dn – число молекул, скорости которых лежат
между u1 и (u1 + du). Тогда искомая вероятность определится по формуле
dw =
dn
.
n
(3)
2. Среднее значение переменной величины. Пусть некоторая переменная
величина (например, скорость молекулы) принимает n1 раз значение x1, n2 раз
значение x2 и т.д., а общее число этих значений
n = n1 + n 2 + n 3 + .... .
(4)
Тогда среднее значение x этой величины
x=
n1x1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 + ...
,
n
x=
n
n1
n
x1 + 2 x 2 + 3 x 3 + ..... .
n
n
n
или
(5)
(6)
Но n1 / n есть вероятность w1 того, что величина x принимает значение x1;
отношение n2 / n – вероятность того, что она принимает значение x2 и т.д.,
поэтому равенство (6) можно переписать в виде:
x = w1x 1 + w 2 x 2 + w3 x 3 + ....,
(7)
i =n
т.е.
4
x = ∑ wi x i .
i =1
(8)
Итак, среднее значение переменной величины x равно сумме произведений
всех значений этой величины на вероятность того, что она принимает данное
значение.
Если какая-либо величина принимает непрерывный ряд значений между 0 и
∞, то среднее значение этой величины выражается интегралом:
∞
x = ∫ xdw ,
(9)
0
где dw есть вероятность того, что значение x лежит в бесконечно малом
интервале между x и (x + dx).
Средним квадратичным данной величины называют корень квадратный из ее
среднего квадрата, т.е.
x0 = x 2
.
(10)
Для нахождения среднего квадрата можно воспользоваться формулами (5) –
2
(9). Тогда в случае, когда величина x принимает непрерывный ряд значений в
интервале от 0 до ∞, ее средний квадрат, согласно (9), определяется по формуле:
∞
2
∫
x = x 2dw.
(11)
0
Если, возведя обе части равенства (9) в квадрат, сравнить результат с
формулой (11), то станет ясно, что квадрат средней величины не равен среднему
квадрату этой величины, т.е.
(x )2 ≠ x 2 .
Понятие о статистическом законе распределения
Нам известно, что молекулы при столкновении меняют свои скорости, но мы
не можем предвидеть, с какой скоростью станет двигаться произвольно
выбранная молекула в тот или иной момент времени. Мы говорим, что скорость
любой молекулы в данный момент времени случайна. Однако и число молекул,
скорости которых лежат в том или другом интервале скоростей, подчиняется
определенному статистическому закону распределения.
Наглядное представление о случайном явлении и о статистическом законе
дает модельный опыт с доской Гальтона (рис.1, а). В верхней части доски забиты
гвоздики в шахматном порядке. Внизу расположены желобки одинаковой
ширины. Спереди прибор закрыт стеклом. Вверху над гвоздиками укреплена
воронка. Будем бросать в воронку по одной дробинке, следя за ее движением.
5
Ударяясь о гвоздики, дробинки меняют направление движения и падают в какойнибудь желобок. Допустим, что первая дробинка упала в желоб 3. Вторая
дробинка, конечно, будет двигаться по иной траектории и, вероятно, упадет в
другой желобок. Но может случиться и так, что и она упадет в желобок 3.
Повторим опыт много раз, записывая, в какой желобок упадет дробинка. Вот
начало записи в одном из опытов: 5, 4, 2, 3, 1, 5, 9, 3, 3, 3, 2, 1,…. Есть ли какаялибо закономерность в чередование этих чисел? Не существует ли закона,
который позволил бы предсказать, в какой желоб попадет дробинка при том, или
ином бросании, например, 101-м? Такого закона нет: и траектория дробинки, и
столкновение ее с тем или другим гвоздиком, и попадание в тот или иной
желобок – все это явление случайное.
C1
A
B
D1 2 34 56 7 89 D
C2
а)
12 3 4 56 7 89
б)
Рис.1. Доска Гальтона (а) и демонстрация статистического закона
распределения дробинок по желобкам (б).
Поместим теперь в воронку сразу много дробинок и не станем обращать
внимание на то, как при падении дробинки движутся между гвоздиками, а
поинтересуемся только результатом – распределением дробинок по желобкам
(рис.1, б). Оказывается, что больше всего дробинки падают в средний желобок, а
в боковых ячейках, их окажется тем меньше, чем дальше желобок отстоит от
середины. При повторении опыта всякий раз получится одно и то же
распределение, независимо от общего числа дробинок, но при непременном
условии, что это их общее количество достаточно велико.
Проведем еще один опыт. Прежде чем насыпать дробинки в воронку,
пронумеруем их тем или иным способом. Когда они распределятся по желобкам,
сосчитаем, сколько дробинок попало в желобок 1, записав их номера. Так же
поступим с дробинками, попавшими в остальные желобки. Затем перепишем все
дробинки и повторим опыт. Номер дробинок в каждом из желобков будет теперь
иным, но в каждом желобке окажется почти столько же дробинок, как и раньше.
Таким образом, в опыте попадание дробинки в тот или иной желобок –
явление случайное, а распределение дробинок по желобкам подчиняется
6
определенному статистическому закону. Отобразим этот закон графически.
Обозначим через N общее число дробинок, через N1 число дробинок, попавших в
желобок 1, через N2 число дробинок, оказавшихся в желобке 2 и т.д. Найдем
отношения N1 / N, N2 / N, N3 / N…., а далее отметим, что закономерность
состоит в следующем: эти отношения при повторении опытов остаются
приблизительно постоянными, если число дробинок велико.
Желобки имеют одинаковую ширину. Поэтому число дробинок в каждом
желобке пропорционально высоте столбика дробинок в этом желобке.
Следовательно,
N 1 : N 2 : N 3 ... =
N1 N 2 N 3
:
:
... = h1 : h 2 : h 3 ... .
N N N
(12)
Таким образом, графически статистический закон распределения дробинок
по желобкам изобразится ломаной линией (рис.1, б), которую проведем по
верхним границам заполненного частицами объема. Но этому графику можно
приписать и иной смысл. Будем бросать в воронку одну и ту же дробинку и
найдем, сколько раз из общего числа бросаний дробинка попадет в тот или иной
желобок. Пусть n1, n2, n3 и т.д. суть числа попаданий соответственно в желобки
1, 2, 3 и т.д., и пусть общее число бросаний составило n. Тогда вероятность
попадания дробинки в данный желобок будет измеряться отношениями n1/n,
n2/n, n3/n и т.д.
Построив столбики, высоты которых пропорциональны числам n1/n, n2/n,
n3/n и т.д., получим график распределения вероятностей попадания одной
дробинки в любой данный желобок. Если этот график сопоставить с тем, который
мы до этого получили для распределения множества дробинок по желобкам, то
окажется, что эти графики друг от друга не
отличаются.
Таким образом, один и тот же график
(рис. 1, б) можно истолковать двояко: как
изображение
статистического
закона
распределения дробинок по желобкам или как
изображение вероятности попадания дробинки
в определенный желобок.
n
Чем уже желобки, тем более гладкой
Рис.2. Кривая нормального
будет кривая распределения дробинок.
распределения.
Предельно мы получим так называемую
кривую
Гаусса
(рис.
2),
поскольку
распределение дробинок по желобкам в рассмотренных опытах описывается
функцией Гаусса, которую приближенно можно записать так:
wn ≈
1
ехр(−(n − n )2 / 2n ),
2πn
(13)
7
n – среднее значение величины n (в рассмотренном примере n есть число
дробинок в желобке), ехр – основание натуральных логарифмов, а wn –
вероятность данного значения n .
где
Кривая изображающая гауссово распределение (ее называют гауссовой или
нормальной), имеет колоколообразную форму, симметричную относительно
максимума, который лежит при n = n . Такой кривой описывается, например,
распределение ошибок измерения, распределение компонент скорости молекул
газа, находящегося в тепловом равновесии, но сами скорости молекул
распределяются по иному закону, который называется максвелловским.
Закон Максвелла о распределении по скоростям для молекул идеального газа,
находящегося в состоянии равновесия выражается следующей формулой:
dn
4 u2
u 2
dw =
=
ехр
(
−
) du = F (u ) du,
3
n
uвер
π uвер
(14)
где dw – вероятность того, что молекула имеет скорость в интервале между u и
(u+du) , n – число молекул в единице объема, dn – среднее число молекул в
единичном объеме со скоростями между u и (u+du) , ехр – основание
натуральных логарифмов, uвер – наиболее вероятная скорость молекулы, F(u) –
максвелловская функция распределения молекул газа по модулям их скоростей.
Как следует из (14), функция распределения, равная
uz
du
F (u ) =
dn
,
n du
(15)
представляет собой долю молекул, модули
скоростей которых находятся в шаровом слое
uy
единичной толщины, если скорости молекул
ux
изображать в виде полярных векторов в
трехмерном пространстве скоростей, в
Рис. 3. Трехмерное пространство котором по взаимно перпендикулярным осям
скоростей.
координат отложены компоненты ux, uy, uz
скоростей молекул (рис 3). Чтобы получить
закон распределения Максвелла по абсолютным значениям скоростей,
необходимо проинтегрировать по всем значениям скоростей, лежащими внутри
тонкого шарового слоя радиусом u и толщиной du. Объем этого слоя равен
u
4πu2du.
Из физического смысла функции распределения следует условие нормировки
для максвелловского распределения:
8
∞
∫ F (u )du = 1.
(16)
0
На рис. 4 изображено распределение молекул по скоростям для двух
температур, причем Т1< Т2. По оси абсцисс отложены скорости, а по оси ординат
функция распределения F(u). Площадь выделенной фигуры (вертикальной
полоски) численно равна доле dn/n от общего числа молекул, которую образуют
молекулы со скоростями между u и (u+du). При меньшей температуре доля
молекул, приходящихся на определенный интервал скоростей, больше, чем при
более высокой температуре, на величину выступающей части узкой выделенной
полоски на рис. 4. Площадь, ограниченная всей кривой распределения и осью
абсцисс, равна единице, как при температуре Т1 так и при Т2.
Кривые
максвелловского
распределения
по
скоростям
F(u)
имеют следующие особенности:
они проходят через начало
Т1
координат,
асимптотически
приближаются к оси абсцисс при
бесконечно больших скоростях,
имеют максимум, асимметричны
(слева от максимума кривые идут
Т2
круче, чем справа).
То, что кривая максвелловского
распределения проходит через
uвер
du
u
начало координат, означает, что
неподвижных молекул в газе нет.
Рис. 4. Кривая распределения
А
из
того,
что
кривая
Максвелла.
асимптотически приближается к
оси абсцисс при бесконечно
больших скоростях, следует, что очень большие скорости молекул маловероятны.
Скорость, которая соответствует максимуму кривой распределения, является
наиболее вероятной скоростью uвер и определяется по формуле:
uвер =
2kT
2RT
=
,
m
M
(17)
где k – постоянная Больцмана, R – универсальная газовая постоянная, T –
температура газа, m – масса одной молекулы, M – молярная масса вещества.
Если при графическом представлении закона Максвелла по оси абсцисс
откладывать отношение скорости к наиболее вероятной (некое х = u/uвер), то для
всех температур и любых масс молекул получится одна и та же кривая. Поэтому
9
при решении задач на закон распределения молекул по скоростям удобно
пользоваться этой кривой, а в ее отсутствии таблицей 1 (См. приложения), в
которой даны значения ∆N /(N∆u ) для различных значений х.
Зная закон статистического распределения молекул по скоростям и, пользуясь
предоставленной в начале работы, математической справкой, можно определить
основные величины, характеризующие газ – среднюю квадратичную скорость
(18) и среднюю скорость молекул (19):
3RT
uкв = u =
,
M
2
ucp =
8RT
.
πM
(18)
(19)
Из соотношений (17), (18) и (19) следует, что наиболее вероятная, средняя и
средняя квадратичная скорости образуют следующую пропорцию:
uвер : ucp : uкв = 1 : 1,1 : 1,2.
(20)
Экспериментальным подтверждением закона распределения молекул по
скоростям могут служить опыт Штерна и опыт Ламмерта [2].
Описание установки
Доска Гальтона, используемая в работе, представлена на рисунке 1. В
верхней части доски находятся гвоздики А зафиксированные в шахматном
порядке. Внизу расположены желобки (ячейки) В одинаковой ширины (в
количестве 47). Спереди прибор закрыт стеклом. Вверху над гвоздиками
укреплена воронка С1. Для повторного проведения опыта желобки приемника
освобождаются от шариков путем выдвигания вправо и влево горизонтальных
пластин D, являющихся подвижным дном для желобков. Шарики ссыпаются в
емкость для хранения по воронке С2.
Во втором опыте используются шарики большей массы примерно в таком же
количестве.
10
Порядок выполнения работы
1. Медленно высыпать через воронку шарики и, если они мелкие и в большом
количестве, то измерить линейкой их уровни
yi последовательно во всех
ячейках приемника ( i – номер ячейки), начиная от начальной. Если
используются крупные шарики, то принять за
конкретной ячейке. Данные занести в таблицу.
yi – их количество в
2. Сложить значения уровней шариков во всех ячейках (или их количество в
∑
yi – пропорциональна
отдельных ячейках). В первом случае величина
общему числу шариков, во втором – определяет их общее количество.
Записать суммарную величину в таблицу.
3. Рассчитать и занести в таблицу для каждой ячейки отношение
пропорциональное вероятности
ширине ячеек, равной единице.
4. Построить график зависимости
опыта.
yi /
∑y
i
,
Pi попадания шариков в данную ячейку при
yi /
∑y
i
от номера ячейки для первого
5. Освободить ячейки, предварительно подставив под нижнюю воронку
емкость для шариков.
6. Аналогичные измерения проделать для шариков с большей массой,
произвести расчеты по п. 1, 2, 3 и данные расчета занести на тот же график
в виде второй кривой.
7. По максимумам двух кривых определить наиболее вероятные скорости
′ (в наших условных единицах, т.е. по номеру ячейки, в
uвер и uвер
которую попало наибольшее количество шариков) и затем отношение масс
шариков:
2
′2 .
m ′ / m = uвер
/ uвер
(21)
11
Таблица измерений и вычислений
1 опыт
yi
№
ячейки
2 опыт
yi /
∑y
yi
i
yi /
∑y
i
1
2
3
4
5
….
45
46
47
∑y
i
u
∑y
=
2
вер
i
=
=
′2 =
uвер
m′ / m =
Контрольные вопросы
1. Поясните, что называют математической вероятностью события.
2. Что называют средним значением переменной величины и как определить
среднее значение с использованием понятия вероятность?
3. Что называют средним квадратичным величины?
4. Поясните, как, используя доску Гальтона, можно продемонстрировать
статистический закон распределения случайных величин?
5. Нарисуйте кривую распределения Гаусса и поясните ее.
12
6. Нарисуйте кривую распределения Максвелла и поясните ее особенности.
Какая скорость называется наиболее вероятной?
7. Поясните, пользуясь кривой распределения Максвелла, почему средняя
скорость больше наиболее вероятной скорости?
8. Чему равна общая площадь, ограниченная осью абсцисс и кривой
распределения?
9. Как определяются и как соотносятся между собой скорости,
характеризующие движение молекул: наиболее вероятная, средняя и
средняя квадратичная?
10. Какие опыты являются экспериментальным подтверждением закона
распределения молекул по скоростям? Опишите их.
Индивидуальные задания
1. Нарисуйте три кривые распределения молекул по скоростям,
соответствующие некоторому количеству кислорода, находящемуся при
трех различных значениях температур (Т1 < Т2 < Т3) .
2. Как следует изменить абсциссы и ординаты графика, представляющего
кривую распределения по скоростям, соответствующего температуре Т1,
чтобы данная кривая представляла распределение молекул по скоростям
при температуре Т2 = 4 Т1?
3. Нарисуйте три кривые распределения молекул по скоростям,
соответствующие одинаковому количеству кислорода, гелия и водорода
находящихся при одинаковых температурах.
4. Определите среднюю квадратичную скорость молекулы газа, заключенного
в сосуд вместимостью 2 л под давлением 200 кПа. Масса всего газа 0,3 г.
Ответ: 2 км/с.
5. Чему равна вероятность того, что какая-нибудь молекула имеет скорость,
точно равную наиболее вероятной скорости?
6. Найти среднюю арифметическую, среднюю квадратичную и наиболее
вероятную скорости молекул газа, который при давлении 40 кПа имеет
плотность 0,3 кг/м3.
Ответ: 579 м/с, 628 м/с, 513 м/с.
7. Какой процент молекул обладает скоростями, отличающимися от наиболее
вероятной не более чем на 1%?
13
8. Какой процент молекул обладает скоростями, отличающимися от средней
квадратичной не более чем на 1%? Почему в задаче 6 получается более
высокий процент, чем в задаче 5?
9. Показать, что число молекул, скорости которых заключаются в пределах
между наиболее вероятной скоростью и скоростью, отличающейся от нее
на определенную величину, обратно пропорционально T ?
10. Показать, что отношение между числом молекул, имеющих скорость
меньше наиболее вероятной, и числом всех молекул, не зависит от
температуры.
11. При какой температуре число молекул азота, обладающих скоростями в
интервале 299–301 м/с, равно числу молекул, обладающих скоростями в
интервале 599–601 м/с?
Ответ: 55оС.
10. Какая часть молекул воздуха при температуре 17оС обладает скоростями,
отличающимися не более чем на 0,50 м/с от скорости, равной наиболее
вероятной? Молярная масса воздуха 29 г/моль.
Ответ: 0,20%.
11. Найти число молекул гелия в 1 см3, скорости которых лежат в интервале от
2390 м/с до 2410 м/с. Температура гелия 690оС, его плотность 2,16·10-4
кг/м3.
Ответ: 25·1013.
12. В баллоне, объем которого равен 10,5·10-3 м3 находится водород. При
температуре 3000К и давлении 750 мм.рт.ст. Найти число молекул
водорода, скорости которых лежат в интервале от 1190 м/с до 1210 м/с.
Ответ: 1,4·1020.
13. Какая часть молекул кислорода при 0оС обладает скоростями от 100 до 110
м/с?
Ответ: 0,4%.
14. Какая часть общего числа молекул имеет скорости больше наиболее
вероятной?
Ответ: 47%.
15. Какая часть общего числа молекул имеет скорости меньше наиболее
вероятной?
Ответ: 53%.
16. При каких значении скорости пересекаются кривые распределения
Максвелла для температур Т1 и Т2 = 2Т1?
Ответ: υ = (1,5 ln2)
14
½
υвер 2=1,02 υвер 2.
Таблица 1
Распределение молекул по относительным скоростям
u / uвер
∆N /(N ∆u)
u / uвер
∆N /(N ∆u)
u / uвер
∆N /(N ∆u)
0
0
0,9
0,81
1,8
0,29
0,1
0,02
1,0
0,83
1,9
0,22
0,2
0,09
1,1
0,82
2,0
0,16
0,3
0,18
1,2
0,78
2,1
0,12
0,4
0,31
1,3
0,71
2,2
0,09
0,5
0,44
1,4
0,63
2,3
0,06
0,6
0,57
1,5
0,54
2,4
0,04
0,7
0,68
1,6
0,46
2,5
0,03
0,8
0,76
1,7
0,36
Библиографический список
1. Радченко И.В. Идеальный газ / И. В. Радченко // Молекулярная физика:
Учеб.-М., 1965.- Гл. 1; § 1.4-1.5.- С.28-33.
2. Трофимова Т.И. Основы молекулярной физики и термодинамики. /Т.И.
Трофимова // Курс физики: Учеб.-М.,2001.- Гл. 9; § 44-47.- С.88-95.
3. Лабораторный практикум по физике: Учеб. Пособие для студентов втузов
/ Ахматов А.С., Андреевский В.М., Кулаков А.И. и др.; Под ред. А.С. Ахматова. –
М.: Высш. Школа, 1980. 360 с.
4. Детлаф А.А. Основы молекулярной физики и термодинамики. /А.А.
Детлаф, Б.М. Яворский // Курс физики: Учеб.-М., 1999.- Гл. 10; § 10.1.-10.4.С.126-133.
15