ЗАДАНИЕ по АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

ЗАДАНИЕ по АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ - 2012
Задание №1 (сдать до 15 марта)
1. Некий астроном обнаружил крупный астероид, летящий к Земле, и сумел
измерить следующие данные: расстояние от центра Земли r0  5R ,
прицельный параметр 0  3R , скорость V0 . Найти, при каких значениях
скорости V0 этот астероид упадет на Землю. Землю считать однородным
шаром радиуса R  6400 км , ускорение свободного падения на ее
поверхности g  10 м с 2 .
2. Космический корабль движется по круговой орбите вокруг Земли. От него с
относительной скоростью V  10 м с , направленной к центру Земли,
отделяется тело, масса которого пренебрежимо мала. Найти орбиту тела и ее
параметры, считая круговой радиус корабля равный удвоенному радиусу
Земли. Указание: для нахождения тректории тела удобно использовать
вектор Лапласа. (Это задача сформулирована по мотивам реального
проишествия: во время выхода в открытый космос космонавт А.Леонов
бросил в сторону Земли заглушку от киноаппарата)
3. Частица движется в поле U (r )   r 7 по траектории, близкой к окружности
(т.е. испытывая малые колебания по радиусу). Найти отношение частоты
малых радиальных колебаний r к средней угловой скорости 
орбитального движения и изобразить траекторию.
4. Определить дифференциальное сечение рассеяния быстрых частиц в поле
 
U (r )   
при и U (r )  0 при r  R , считая E>>  R . Чему равно
r R
полное сечение рассеяния?
Задание №2 (сдать до 30 апреля)
5. Бусинка скользит по гладкой
2
проволоке, имеющей форму эллипса
2
x
y
 2  1 , малая полуось a которого горизонтальна, а большая полуось b
2
a
b
направлена по вертикали. Ускорение
силы тяжести g  (0,  g ) . Найти частоту
малых колебаний бусинки.
6. Определить
нормальные
колебания
системы четырех
частиц, соединенных одинаковыми пружинками и
могущих двигаться вдоль оси АВ.
7. Одна частица массы m движется по горизонтальной
прямой между двумя пружинками жесткости k.
Вторая частица массы m связана с первой стержнем
длины l и может колебаться в вертикальной
плоскости, в которой расположены пружинки и
вектор ускорения силы тяжести g. Найти:
a. функцию
Лагранжа
L ( x,  , x,  )
системы
(в
качестве
обобщенных
координат выбрать смещение первой частицы из положения равновесия x и
угол отклонения стержня от вертикали  );
b. частоты малых нормальных колебаний системы.
8.




a. Найти скобки Пуассона px2 , M z , p y2 , M z , pz2 , M z , p, M z 
b. Задан тензор вида
T ik (r,p)  f1xi pk  f 2 pi xk  f3 xi xk  f 4 pi pk ,
где все f i - функции от
r и p, инвариантные относительно поворота
системы координат. Выразить скобки Пуассона, через компоненты этого же
тензора.
9. Показать, что преобразование
Q
p
,
4q 3
P  q 4
является каноническим, и найти его производящую функцию в переменных q,Q.
10. Поток одинаковых частиц массы m, имеющий не бесконечности одинаковые
скорости v o , движется в потенциальном поле
U (r )  
αr 
 .
r3 r4
Найти сечение падения частиц в начало координат при произвольном угле между
векторами α и v o .
Задание №3 (сдать до 30 мая)
11. Малые колебания связанных осцилляторов описываются гамильтонианом
H
1
 px2  (m 1 x) 2  p y2  (m 2 x) 2   m xy 2 .
2m
Выбрать параметры
функцией
a, b и c в каноническом преобразовании с производящей
( x, y, Px , Py )  xPx  yPy   xyPy  bPx Py2  cy 2 Px
так, чтобы в новых переменных система сводилась к двум независимым
осцилляторам, если в новом гамильтониане пренебречь слагаемыми четвертой
степени по амплитудам колебаний. Найти x(t) и y(t) с учетом ангармонических
поправок.
12. Найти траекторию релятивистской частицы в кулоновском
поле U ( r )  

r
с помощью уравнения Гамильтона-
Якоби. Нарисовать приближенный вид траектории
Меркурия в поле Солнца с учетом релятивистских
поправок.
13. Глобус представляет собой однородную сферу радиуса R и
массы m, на полюсах которой прикреплены маленькие
указатели, каждый из них имеет массу m 3 . В начальный
момент глобус привели во вращение так, что его угловая
скорость  расположена в плоскости новосибирского
меридиана и направлена под углом   45
к линии Север - Юг. Описать
свободное движение глобуса, в частности, найти, в каком положении окажется
Новосибирск в момент, когда северный полюс вновь вернется в прежнее
положение.
14. Шарик массы m движется между тяжелым поршнем массы M>>m и дном
цилиндра. Равновесное расстояние от поршня до дна цилиндра равно h. Считая, что
скорость шарика гораздо больше скорости поршня, определить закон движения
поршня, усредненный по периоду движения шарика. Найти частоту малых
колебаний поршня. Соударения считать упругими, ускорение свободного падения
g. (Модель «газа», состоящего из одной молекулы).