Оптимальная дискретизация двумерных радиоизображений
реклама
Оптимальная дискретизация двумерных радиоизображений Солнца на основе модификации теоремы Котельникова Шеннона. Б.И. Лубышев , А.Г. Обухов Абстракт: Рассматривается вопрос о выборе оптимального частотного разноса между каналами приемного устройства крестообразного интерферометра с частотным сканированием. Рассмотрение проведено на основе обобщения двумерной теоремы Котельникова с учетом направления сканирования. При преобразовании двумерного сигнала (радиоизображения Солнца) в цифровую форму обычно прибегают к двухступенчатой процедуре: дискретизации и поэлементному квантованию [1]. Дискретизация осуществляется пространственных частот, используется стационарная модель сигнала с ограниченным пространственным спектром. Следовательно, дискретизацию радиоизображения Солнца можно проводить на основе теоремы отсчетов, обобщенной на двумерный случай, если учесть, что спектр радиоизображения отличен от нуля на ограниченном участке пространственной частотной плоскости. В нашем примере [2] огибающая спектра пространственных частот представляет собой квадрат. Таким образом, для цифровой обработки радиоизображения казалось представлением этого сигнала по бы можно использовать дискретизацию ортонормированному базису. Базис по прямоугольному растру. Однако, мы линейного пространства чаще всего привязаны к траектории движения выбирается исходя из модели сигнала. Солнца. Двумерная теорема отсчетов Представление состоит в проектировании шире одномерной, так как двумерный сигнала на Nмерное пространство, интервал является существенно более натянутое на данный базис, т.е. коэффициенты представления находятся как скалярные произведения сигнала на соответствующие базисные функции. При рассмотрении диаграммы направленности радиотелескопа как низкочастотного фильтра сложным математическим объектом, чем одномерный. Такая практическая задача ранее не возникала, поэтому она не была рассмотрена в обширном перечне приложений [4]. Задача оптимизации числа отсчетов радиоизображения Солнца при его дискретизации сводится к плотной упаковке составляющих спектра при его периодическом продолжении на плоскости пространственных частот в косоугольной системе координат в зависимости от направления сканирования Солнца в любое время дня. Рассмотрим Xp p d Yq q d , где p, q = 0, 1, 2, …. интерференционные порядки. Для выполнения мониторинга применение теоремы Котельникова – солнечной активности на ССРТ в течение Шеннона при организации архитектуры дня используется его последовательно- ССРТ (Сибирского солнечного непрерывное частотно-азимутальное радиотелескопа). сканирование с применением Принцип получения двумерного разрешения достигается различными средствами. В рассматриваемом примере с использованием крестообразного многоэлементного радиоинтерферометра, ориентированного по направлениям Восток-Запад и Север-Юг, его диаграмма направленности F(x,y) определяется как [3]: многочастотной цифровой регистрации распределения радиояркости [3]. использован принцип параллельного анализа методом многочастотного приема [2, 3]. Метод многочастотного приема заключается в том, что вся рабочая полоса частотного приемного устройства разбивается на ряд частотных каналов. Каждому каналу соответствует на небесной сфере своя диаграмма направленности. Положения максимумов d d x) sin( N y) F ( x, y ) , d d N sin x N sin y sin( N (1) этой диаграммы направленности определяются интерференционными порядками и центральной частотой канала. Поэтому Каждой паре NS и WE интерференционных порядков на где x, y - текущие направляющие небесной сфере соответствует веер косинусы по отношению к линиям максимумов диаграммы направленности, антенн плеч антенных решеток, N - число имеющих одинаковый азимут и разные антенн в них плече высоты (1). Расстояние между двумя радиоинтерферометра, - длина волны, d соседними максимумами веера - расстояние между антеннами в решетке. определяется частотным разносом между Диаграмма направленности F(x,y) имеет максимумы при значениях каналами приемного устройства и временем наблюдения. Таким образом, в ССРТ использовано дискретное сканирование определяется диаграммой направленности инструмента. по высоте путем организации Спектр диаграммы (1): многочастотного приема и непрерывное сканирование по траектории движения центра солнечного диска вследствие вращения Земли. 1 ~ F (u, v) 2 4 При цифровой регистрации на ССРТ, информация о радиояркости i ( ux vy) dxdy N i d ( N 1) y e F ( x, y ) e e d i 2 k x e ivy dy k 1 N N 1 4 2 N i d ( N 1) x e e d i 2 mx e iux dx m 1 d (2m N 1) u m 1k 1 d (2k N 1) V наблюдаемых точек солнечного диска (3) дискретизируется и квантуется по уровню с помощью аналого-цифрового преобразователя (АЦП). Положение наблюдаемых точек на диске Солнца где u,v - пространственные частоты, [] функция Дирака (дельта- функция). (конфигурация сетки отсчетов) определяется частотным разносом между каналами приемного устройства и моментами съема информации с выходов Координаты максимумов спектральной чувствительности радиотелескопа: каналов. Задача оптимальной um d (4) дискретизации радиоизображения ( 2m N 1), uk d ( 2k N 1), состоит в сокращениях избыточности m, k = 0,1, 2 регистрируемой информации. С точки зрения теории информации задача Для um, vk справедливы сокращения избыточности состоит в выборе алгоритмов формирования соотношения: дискретных радиоизображений, обеспечивающих минимальную избыточность при заданной точности регистрации. Область спектральной d ( N 1) u m d ( N 1), d ( N 1) v k (5) Из (5) следует, что область чувствительности радиотелескопа в спектральной чувствительности плоскости пространственных частот радиотелескопа ограничена квадратом: d ( N 1) d ( N 1) u, v d ( N 1) d со стороной: 2 = 2 (N-1). При дискретизации радиоизображения f(x,y) на строки сетки (6) f * (u, v) 1 1 ~ * i ( ux vy) dxdy 2 f (u x ), (v y ) f ( x, y )e 4 2 4 1 i ( x x y y ) dxdyd x d y , 2 mh x cos y sin e 4 m (8) где х, y- переменные интегрирования на плоскости (u,v). отсчетов, дискретизованное радиоизображение можно представить в После замены переменных виде: x cos + y sin = x/, -x sin + y sin = y/ f * ( x , y ) f ( x, y ) x cos y sin mh, m (7) вычисляется внутренний двойной интеграл (8). где h - расстояние между строками, (cos Так как , sin ) - вектор единичной длины, перпендикулярный строкам (рис 1). e imh m 2h 2m h , m то Рис. 1. Образование строк сетки отсчетов при движении Солнца. h ~ ~* f (u, v) 2 f (u x , v y ) y cos x sin 4 2m ( x cos y sin ) h d x d y m Строки сетки отсчетов совпадают (9) с направлением траектории движения С олнца по небосводу. Спектр дискретизованного радиоизображения с использованием теоремы о свертке: После замены переменных где G( ) max( cos , sin ). x cos y sin x x sin y cos y Предельная дискретизация соответствует плотнейшей упаковке вычисляется двойной интеграл, и получаем окончательное выражение: периодически размноженных спектров (рис 2). h ~ 2k 2k ~* f (u, v) 2 f (u cos , v sin ) h h 4 k , (10) то есть, спектр дискретизованного радиоизображения является периодическим продолжением спектра не дискретизованного изображения в направлении единичного вектора (cos , sin ) с периодом 2 (рис 2). h Размноженные спектры не Рис. 2. Спектр дискретизованного радиоизображения. Расстояние h между строками определяется частотным разносом f между каналами. Согласно (2) перемещение максимумов диаграммы направленности при перестройке частоты: x должны перекрываться, иначе при восстановлении непрерывного изображения из совокупности отсчетов возникнут искажения. Из рис 2. следует, f f x p , y yq f f Из рис. 1 следует, что h x cos y sin что спектры не будут перекрываться, если В силу (12): 2 2 , h max( cos , sin ) то есть, h G( ) , h f x cos y sin . f (11) После подстановки (13) в (11) получаем условие на величину частот отсчетов вдоль строк определяются аналогичным образом. ного разноса: G ( ) , f f x cos y sin где , x, y - функция часового угла t и (14) Рис. 3. Графики оптимального частотного разноса. склонения вдоль траектории Солнца Выводы. для данной широты места наблюдения: На основе оптимальной дискретизации (выбор частотного x = cos sin t разноса и времени съема информации) y = cos sin cos t - sin cos , ctg = tg t sin В координатах высоты H- азимут А условие (14) принимает вид произведено решение задачи восстановления радиоизображения Солнца по распределению его радиояркости методом эволюционной фильтрации Винера-Тихонова [6]. На рис.4 показан результат восстановления радиоизображения Солнца на длине f f CT ( ) sin( A ) cos H волны 5,2 см (данные ССРТ) по наблюдениям 21 апреля 1998 г.[6]. (15) Впервые модифицирована теорема Графики оптимального Котельникова-Шеннона и применена для (максимально возможного) частотного двумерного случая, когда направление разноса приведены на рис 3 (для часового сканирования непрерывно изменяется. угла =23о (лето), =0о (равноденствие) и =-23 (зима)). Управление частотным о разносом в соответствии с этими графиками обеспечивает оптимальный (максимально возможный) шаг между строками сетки отсчетов. Интервалы На основе оптимальной дискретизации получена аналитическая зависимость частотного разноса между каналами от азимута и высоты. На этом основании выбрано число каналов ССРТ. 3. Смольков Г.Я., Тресков Т.А., Криссинель Б.Б., Потапов Н.Н. В кн.: Исследования по геомагнетизму аэрономии и физике Солнца. - М.: Наука, 1983. Вып. 64. с. 130-148. 4. Джерри А. Дж. Теорема отсчетов Рис. 4. Карты распределения радиояркости Солнца, полученной на ССРТ 21 апреля 1998 года: не восстановленная слева, восстановленная справа Шеннона, ее различные обобщения и приложения. Обзор. - ТИИЭР, т. 65, № 11, 1977, с.53-89. 5. Кузнецова С.М., Обухов А.Г., Смольков Г.Я. Оптимизация числа каналов крестообразных На рис.4 продемонстрирован радиоинтерферометров с алгоритм оптимальной дискретизации и параллельным синтезом на основе восстановления на основе метода обобщения теоремы Котельникова на эволюционного фильтра Винера- двумерный случай с учётом Тихонова. [6] при построении карты направления сканирования // радиоизображения Солнца. Радиотехнические тетради, М: МЭИ, Результаты работы частично были доложены на международной научной №31, 2005, с. 41-45. 6. Кузнецова С.М., Лубышев Б.И., конференции, посвящённой к 95-летию Обухов А.Г.Комбинированный метод академика В.А. Котельникова восстановления радиоизображения "Современная радиоэлектроника в Солнца на ССРТ. ретроспективе идей В.А. Котельникова" [5]. ЛИТЕРАТУРА 1. Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку сигналов. М.: Сов. радио, 1979, 312 с. 2. Обухов А.Г., Рисовер Л.М. Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1976. Т 19, № 11, с. 17111715.