модели согласования общественных и частных интересов в

5282
УДК 519.86
МОДЕЛИ СОГЛАСОВАНИЯ
ОБЩЕСТВЕННЫХ И ЧАСТНЫХ
ИНТЕРЕСОВ В СИСТЕМАХ
УПРАВЛЕНИЯ
О.И. Горбанева
Южный федеральный университет
Россия, 344090, Ростов-на-Дону, Мильчакова ул., 8а
E-mail: gorbaneva@mail.ru
Г.А. Угольницкий
Южный федеральный университет
Россия, 344090, Ростов-на-Дону, Мильчакова ул., 8а
E-mail: ougoln@mail.ru
Ключевые слова: распределение ресурсов, целевые интересы, нецелевые интересы,
равновесие по Штакельбергу, равновесие по Нэшу
Аннотация: В статье рассматривается система, состоящая из двух элементов. Каждый
из двух участников имеет общесистемные интересы, которые мы назовем целевыми, и
свои частные интересы, которые мы назовем нецелевыми. Исследуется модель распределения ресурсов между целевым и нецелевым направлениями для различных классов
функций выигрыша. Задача представлена в двух случаях: в виде иерархической игры, в
которой находилось равновесие по Штакельбергу, и в виде игры в нормальной форме с
равноправными участниками, в которой находилось равновесие по Нэшу.
1. Введение
Рассматривается система, состоящая из двух элементов. Каждый из них имеет общесистемные интересы, которые мы назовем целевыми, и свои частные интересы, которые назовем нецелевыми. Исследуется модель распределения ресурсов между целевым и нецелевым направлениями для различных классов функций выигрыша. Сравниваются два случая: когда задача представлена в виде иерархической игры, в которой
находится равновесие по Штакельбергу, и когда задача представлена в виде игры в
нормальной форме с равноправными игроками, где находится равновесие по Нэшу.
Основное внимание уделяется вопросу о том, как зависит распределение ресурсов
между целевым и нецелевым направлениями для различных классов функций выигрыша, характеризующих общий (общественный) интерес и частные интересы игроков.
Функции выигрыша имеют следующий вид:
g1 (u1 ,u 2 ) = a1 (1  u1 , u 2 ) + b1 (u1 ,u 2 )c(u1 ,u 2 )  max ,
u1
g 2 (u1 ,u 2 ) = a 2 (u1 ,1  u 2 ) + b2 (u1 ,u 2 )c (u1 ,u 2 )  max
u2
при ограничениях
0  ui  1
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
5283
и условиях на функции ai , b, c
ai  0,
ai
ai
bi
c
 0, bi  0,
 0 , i =1, 2.
 0,
 0,
u j i
u i
u i
u i
Здесь u i – доля ресурсов, выделенных i-м уровнем на целевое использование (соответственно, 1  u i остается на нецелевое использование ресурсов в личных интересах); g i – функция выигрыша i-го уровня; a i – функция частного интереса i-го уровня;
bi – доля дохода от целевой деятельности, получаемая i-м уровнем; c – функция целевого дохода системы (общества, организации).
Рассматриваются следующие виды распределений целевого дохода b:
 равномерное, при котором доли участия в доходе от целевой деятельности одинаковы для обоих игроков, в частности, при n  2
1
bi  , i  1,2.
2
 пропорциональное, при котором доли участия пропорциональны долям, выделенным соответствующим уровнем на общие цели, т.е.
u1
u2
, b2 
.
b1 
u1 + u 2
u1 + u 2
В данной работе рассматривается случай, когда весь доход без остатка распределен
между игроками системы:
b1 + b2 = 1 .
Целью исследования является изучение влияния соотношения функций a1 , a 2 , b1 ,
b2 , c на решение игры.
В качестве функций нецелевого использования ресурсов брались:
 степенная с показателем меньше единицы ( a ( x )  ax  , 0    1, a  0 ),
 линейная ( a( x)  ax , которая является частным случаем степенной с показателем,
равным 1),
 степенная с показателем больше единицы, ( a ( x )  ax k , k  1, a  0 );


экспоненциальная ( a ( x )  a 1  e  x ,   0, a  0 );
логарифмическая ( a ( x)  a log a~ (1  x) , a  0 ).
Функция целевого дохода идентифицирована аналогично. Как правило, функции
 2a
a
 0,
 0 . Первому условию подходят все функции,
выбирались с условиями
x
x 2
второму условию не подходит только функция a ( x )  ax k , k  1. Первые две функции
являются производственными. Последние две функции не являются таковыми, так как
для них не выполняется свойство отдачи от расширения масштабов производства.
Из возможных комбинаций функций a и c (двадцати пяти вариантов) аналитически
исследованы тринадцать, а именно:
 случаи сочетания однотипных функций, когда в качестве a и c брались либо только
степенные, либо только экспоненциальные, либо только логарифмические;
 случаи сочетания любой функции нецелевого использования с линейной функцией
целевого использования;
 случаи сочетания линейной функции нецелевого использования с любой функцией
целевого использования. Остальные случаи исследовались численно.


XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
5284
2. Модели целевого и нецелевого использования ресурсов
в виде иерархической игры
Будем рассматривать двухуровневую систему управления, состоящую из одного
элемента верхнего уровня A1 (распорядителя ресурсов) и одного элемента нижнего
уровня A2 (получателя ресурсов). Верхний уровень имеет некоторое количество ресурсов, которое без ограничения общности примем за единицу. Часть средств распорядитель передает получателю для целевого использования, оставшуюся часть оставляет
себе на нецелевые расходы. В свою очередь, нижний уровень забирает часть средств на
свои нужды (нецелевое использование), а остальная часть расходуется на общие цели
(целевое использование). Оба уровня участвуют в доходе от целевой деятельности и
имеют свои частные функции выигрыша (рис.1).
1–u1
A1
b(u1,u2)
a1(1–u1)
u1
1–u2
A2
1–b(u1,u2)
a2(u1,1–u2)
u2
c(u1, u2)
Рис. 1. Структура моделируемой иерархической системы.
Модель строится в виде иерархической игры двух лиц, в которой ищется равновесие по Штакельбергу [7]. Функции выигрыша имеют следующий вид:
g1 (u1 ,u 2 ) = a1 (1  u1 ) + b1 (u1 ,u 2 )c (u1 ,u 2 )  max ,
u1
g 2 (u1 ,u 2 ) = a 2 (u1 ,1  u 2 ) + b2 (u1 ,u 2 )c (u1 ,u 2 )  max
u2
при ограничениях
0  ui  1 .
В качестве функций a и c рассматриваются степенные, линейные, показательные и
логарифмические функции относительно переменных u1 и u 2 , кумулятивные по их
совокупности, т.е. a1  a1 1  u1  , a 2  a 2 u1 1  u 2  , c  c u1u 2  . В этом случае на общие цели расходуется доля ресурсов в размере u1u2 .
Соотношения a1  a1 1  u1  , a 2  a 2 u1 1  u 2  отражают иерархическую структуру системы. Доход от нецелевой деятельности верхнего уровня не зависит от того, какую часть средств нижний уровень направит на общие цели, а вот доход от нецелевой
деятельности нижнего уровня зависит от того, какую часть средств передаст ему верхний уровень на общие цели.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
5285
Найдем равновесие по Штакельбергу в случае, когда функции дохода от целевой и
нецелевой деятельности степенные с показателем, меньшим единицы, т.е.

a1 (u1 , u 2 )  a1 (1  u1 )  , a 2 (u1 , u 2 )  a 2 u1 (1 - u 2 )  ,
c (u1 , u 2 )  c (u1u 2 )  , b 1  b , b2  1  b .
В этом случае функции выигрыша имеют вид
g1 (u1 ,u 2 ) = a1 (1  u1 ) + bc(u1u 2 )  max ,
u1
g 2 (u1 ,u 2 ) = a 2 u1 (1 - u 2 )  + (1  b)c(u1u 2 )  max ,
u2
где a1 , a 2 , c – постоянные коэффициенты. Равновесие по Штакельбергу имеет вид:
1
u1 
1
u2 


a1 1 (1  b)c  1 a 2
1
1
b(1  b) 1 c 1



1

b(1  b) 1
1
c 1
,
(1  b)c
.
(1  b)c  1 a 2
Все тринадцать рассмотренных случаев удалось сгруппировать по совокупности
равновесных исходов игры.
С одним исходом, когда функции частных и общих интересов степенные с показателем, меньшим единицы. В этом случае участникам выгодно часть средств потратить
на личные цели, а другую часть на общие.
С двумя исходами (0;0) и (1;1) , когда:
 Функция частных интересов степенная с показателем, меньшим единицы, а функция общих интересов линейна;
 Функции частных и общих интересов линейны или степенные с показателем,
большим единицы, в любой комбинации.
С тремя исходами, когда функция частных интересов линейна, а функция общих
интересов степенная с показателем, меньшим единицы. В этом случае хотя бы одному
игроку выгодно потратить все средства на общие цели.
С четырьмя исходами в случаях, когда одна из двух функций (либо функция частных интересов, либо функция общих интересов) линейна, а другая логарифмическая.
С пятью исходами, когда
 Функции частных и общих интересов линейны или экспоненциальные в любой
комбинации, кроме случая, когда они одновременно линейны.
 Функции частных и общих интересов логарифмические.
1
3. Модели целевого и нецелевого использования ресурсов
в виде игры с равноправными участниками
Будем рассматривать одноуровневую систему управления, состоящую из двух равноправных элементов A1 и A2 . Каждый из этих уровней имеет некоторое количество
ресурсов r1 и r2 соответственно. Часть средств каждый из этих распорядителей передает для целевого использования, оставшуюся часть оставляет себе на нецелевые расходы. Оба распорядителя участвуют в доходе от целевой деятельности и имеют свои
функции выигрыша (рис. 2).
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
5286
r1-u1
A1
A2
1-b(u1,u2)
b(u1,u2)
a1(r1-u1)
r2-u2
a2(r2-u2)
u1
u2
c(u1, u2)
Рис. 2. Структура моделируемой системы с равноправными участниками.
Модель строится в виде игры двух лиц в нормальной форме, в которой ищется равновесие по Нэшу [1]. Функции выигрыша имеют следующий вид:
g1 (u1 ,u 2 ) = a1 (r1  u1 ) + b1 (u1 ,u 2 )c(u1  u 2 )  max ,
u1
g 2 (u1 ,u 2 ) = a 2 (r2  u 2 ) + b2 (u1 ,u 2 )c(u1  u 2 )  max
u2
при ограничениях
0  u i  ri .
Рассмотрим случай, когда функции доходов от целевой и нецелевой деятельности
участников степенные с показателем, меньшим единицы.
a1 (u1 , u 2 )  a1 (r1  u1 ) , a 2 (u1 , u 2 )  a2 (r2 - u 2 ) ,
c(u1 , u 2 )  c(u1  u 2 ) , b1  b , b2  1  b.
В этом случае функции выигрыша имеют вид
(1)

g1 (u1 ,u 2 ) = a1 ( r1  u1 )  + bc (u1  u 2 ) ,

g 2 (u1 ,u 2 ) = a 2 ( r2  u 2 )  + (1  b)c (u1  u 2 ) ,
где a1 , a 2 , c – постоянные коэффициенты, при ограничениях
0  ui  ri , i  1,2.
(2)
g i (u1 , u 2 )
, приравняем к нулю и
u i
решим полученную систему уравнений для нахождения внутренних точек области
0  u i  ri , i  1,2 , являющихся равновесиями по Нэшу.
Найдем равновесие по Нэшу. Для этого найдем
g1 (u1 , u 2 )
a1
bc


 0,
1
u1
(r1  u1 )
(u1  u 2 )1
a 2
g 2 (u1 , u 2 )
 (1  b)c


0.
u 2
(r2  u 2 )1 (u1  u 2 )1
Отсюда получим
1
1 (1  b)c r  1 a u
bcr1  1 a1 u 2
2
1 1
, u2 
u1  1
.
1


1


1


bc  a1
(1  b)c  a2
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
5287
Заметим, что u i  ri , что говорит о том, что в данном случае ни при каких исходах
игрокам не выгодно тратить все ресурсы на общие цели, то есть исход ( r1 ; r2 ) не реализуется. Также заметим, что если одному игроку выгодно все ресурсы направить на свои
частные цели, то другому игроку выгодно хоть часть ресурсов потратить на общие цели, то есть исход (0;0) также не реализуется.
Равновесие по Нэшу содержит три исхода (рис. 3).
a2
iii
ii
i
bcr11
r2
a1
1
Рис. 3. Исходы игры (1)-(2).




 r 1 b(1  b)c  1 a 2 b  1 a1 (1  b) r2 r2 1 b(1  b)c  1 a1 (1  b)  1 a 2 b r1 

i)  1
;
 1 b(1  b)c  1 a (1  b)  1 a b

1 b(1  b)c  1 a (1  b)  1 a b
1
2
1
2


– внутренняя точка области при условиях:

1 1
r1
b(1  b)c  1 a 2 b

1
r2

1 1
b(1  b)c  1 a1 (1  b)

1
, a2 
.
br11
(1  b)r21
В этом случае лишь часть средств каждому участнику выгодно направить на общие
цели, оставшуюся часть – на частные.
1 b (1  b)c r


2
 0;
 – точка на границе области при условии
ii)
 1 (1  b)c  1 a 
2 

a1 
a1 

1 1
r1
b(1  b)c  1 a 2 b

1
.
(1  b)r21
В этом случае второму игроку выгодно лишь часть средств направить на общие цели, оставшуюся часть – на частные, в то время как первый игрок не выделяет средства
на общие цели совсем.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
5288
 1 b(1  b)c r1


;0  – точка на границе области при условии
 1 (1  b)c  1 a 
1


iii)
a2 
r2

1 1
b(1  b)c  1 a1 (1  b)

1
br11
Этот случай симметричен предыдущему.
Отметим,
r2

1 1
что
у
кривых
b(1  b)c  1 a1 (1  b)

1
a1 
.

1 1
r1
b(1  b)c  1 a 2 b

1
(1  b)r21
и
r21 a1 (1  b)
есть общая асимптота a 2 
, к коbr11
br11
торой они стремятся с разных сторон. Рассмотренные случаи можно сгруппировать по
совокупности равновесных исходов.
С четырьмя исходами (0;0) , (0; r2 ) , ( r1 ;0) и (r1 , r2 ) , когда:
 функция частных интересов степенная с показателем, меньшим единицы, а функция общих интересов линейна;
 функции частных и общих интересов линейны или степенные с показателем, большим единицы, в любой комбинации.
С восемью исходами в случаях, когда функция частных интересов линейна, а
функция общих интересов степенная с показателем, меньшим единицы.
С девятью исходами, когда:
 функции частных и общих интересов линейны или экспоненциальные в любой
комбинации, кроме случая, когда они одновременно линейны.
 функции частных и общих интересов линейны или логарифмические в любой комбинации, кроме случая, когда они одновременно линейны.
a2 
4. Сравнение иерархической и равноправной систем
Сравнивая результаты решения иерархической игры и игры с равноправными участниками, получаем следующее [2-6, 8]:
a) Максимальное количество исходов в случае иерархии – пять, в случае равноправия
– девять. Это объясняется тем, что в случае иерархии, если один из уровней все ресурсы направляет на частные цели, то второму невыгодно ассигновать какуюнибудь часть ресурсов на общие цели. В случае равноправия уровней могут быть
ситуации, когда одному уровню выгодно все ресурсы оставить себе, в то время как
другому выгодно какую-то часть ресурсов или даже все потратить на общие цели.
b) В случае степенной функции с показателем меньше единицы в случае иерархии
каждому уровню выгодно часть средств направить на общие цели, часть на частные. В случае равноправия не исключен случай, когда одному (но не обоим сразу)
из уровней выгодно все средства потратить на свои частные цели. Но все ресурсы
на общие цели никому из них не выгодно тратить.
c) В случае невогнутых производственных функций (линейных или степенной, с показателем, меньшим одного) в случае иерархии всего два исхода: либо все ресурсы
тратятся на общие цели обоими игроками, либо все ресурсы тратятся на частные
цели. В случае равноправия добавляются ситуации, когда одному игроку выгодно
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
5289
все ресурсы потратить на общие цели, в то время как другому выгодно все ресурсы
потратить на частные цели.
5. Заключение
Проблема нецелевого использования ресурсов трактуется с точки зрения анализа
свойств механизмов управления, обеспечивающих согласование интересов в иерархических (двухуровневых) системах и системах с равноправными игроками (одноуровневых). Интересы субъектов описываются их функциями выигрыша, включающими две
составляющие – выгоду от целевого и нецелевого использования ресурсов соответственно [8]. Рассмотрены различные классы таких функций. В иерархической системе
субъект верхнего уровня (распорядитель ресурсов) трактуется как ведущий игрок, а
субъект нижнего уровня (получатель ресурсов) – как ведомый, что приводит к концепции равновесия по Штакельбергу. В равноправной системе оба субъекта трактуются
как независимые равноправные игроки, что приводит к концепции равновесия по Нэшу. Проведенное аналитическое и численное исследование позволяет сделать следующие выводы.
В случае, когда функции дохода от целевого и нецелевого использования ресурсов
являются степенными с показателем, меньшим единицы, игрокам выгодно вкладывать
некоторую долю средств в достижение общих целей, а оставшуюся часть в реализацию
частных интересов.
В случае, когда одна хотя бы одна из функций дохода от целевого или нецелевого
использования ресурсов является степенной с показателем, большим единицы, а другая
либо также степенная с показателем, большим единицы, либо линейная, игрокам выгодно ассигновать ресурсы либо только на частные цели (стратегия «эгоизма»), либо
только на общие цели («стратегия альтруизма»).
В остальных случаях могут возникать следующие ситуации:
a) когда эффект от частной деятельности какого-либо игрока значительно больше эффекта от общей деятельности, то выгодна стратегия чистого «эгоизма»;
b) когда эффект от частной деятельности обоих игроков намного меньше эффекта от
общей деятельности, то выгодно применить стратегию чистого «альтруизма»;
c) когда эффекты от частной и общей деятельности игроков сравнимы, то выгодно
часть средств направить на общие цели, а другую часть на частные.
Список литературы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Бурков В.Н. Основы математической теории активных систем. М.: Наука, 1977. 255 с.
Горбанева О.И., Угольницкий Г.А. Модели распределения ресурсов в иерархических системах управления
качеством речной воды // Управление большими системами. 2009. Вып. 26. С. 64-80.
Горбанева О.И. Игровые модели распределения ресурсов в иерархических системах управления качеством
речной воды. // Математическая теория игр и ее приложения. 2010. Т. 2, Вып.1. С. 27-46.
Горбанева О.И. Модели оптимального распределения ресурсов в иерархических системах управления.
Saarbrücken: LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, 2011. 163 c.
Горбанева О.И. Статические модели учета фактора коррупции при распределении ресурсов в иерархических системах управления // Известия ЮФУ. Технические науки. 2012. № 6 (131). С. 207-211.
Горбанева О.И., Угольницкий Г.А. Статические модели учета фактора коррупции при распределении ресурсов в трехуровневых системах управления // Управление большими системами. 2013. Вып. 42. С. 195216.
Basar T., Olsder G.Y. Dynamic Noncooperative Game Theory. SIAM, 1999. 536 p.
Gorbaneva O.I., Ougolnitsky G.A. Purpose and Non-Purpose Resource Use Models in Two-Level Control Systems // Advance in Systems Science and Application. 2013. Vol. 13, No. 4. P. 378-390.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.