admin/spaw2/uploads_fmf/files/examenx

реклама
Программа дисциплины «Математика»
обсуждена на заседании кафедры
«Высшая математика»
утверждена «22» декабря 2011 г.
Протокол № 5
Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
1.1. Векторы, равенство векторов. Линейные операции над векторами;
сложение, вычитание, умножение на число (определения, свойства, геометрическая интерпретация).
1.2. Линейно-независимые системы векторов. Базис, разложение по базису.
1.3. Ортонормированный базис. Координаты вектора. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве. Линейные операции
в координатной форме (доказательство одной из формул).
1.4. Скалярное произведение: определение, свойства, механический
смысл. Проекция вектора и ее свойства (формулировки).
1.5. Скалярное произведение в координатной плоскости (вывод в ортонормированном базисе). Длина вектора. Угол между векторами. Условие
перпендикулярности двух векторов.
1.6. Векторное произведение: определение, свойств, геометрический
смысл.
1.7. Векторное проведение в координатной форме (вывод). Необходимое и
достаточное условие коллинеарности векторов.
1.8. Смешанное произведение 3-х векторов: определение, геометрический смысл, свойства, вычисление в ортонормированном базисе. Компланарность 3-х векторов.
1.9. Матрицы: основные понятия и определения. Действия над матрицами и их свойства.
1.10. Обратная матрица: определение. Правило вычисления обратной
матрицы.
1.11. Собственные векторы и собственные значения матриц.
1.12. Понятие об уравнении линии в
уравнений окружности и сферы.
2
и поверхности в
3
. Вывод
1.13. Векторно-параметрическое уравнение прямой. Параметрические
уравнения прямой (в 2 и в 3 ).
1.14. Различные формы записи уравнения прямой в
2
ив
3
.
1.15. Плоскость, нормальный вектор, частные случаи общего уравнения
плоскости (геометрическая иллюстрация). Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
1.16. Прямая и плоскость в пространстве: взаимное расположение,
угол, точка пересечения.
1.17. Общее уравнение кривых второго порядка. Каноническое уравнение эллипса.
1.18. Каноническое уравнение кривых: гиперболы и параболы.
Введение в анализ
1. Числовая последовательность: определение, действие над последовательностями. Предел последовательности и его св-ва (док-во одного из св-в).
2. Предел функции в точке и в бесконечности (определение). Теорема о
единственности предела (док-во).
3. Бесконечно малые ф-ции: определение, св-ва (док-во одного из св-в).
4. Теорема о разложении ф-ции, имеющий предел, на постоянную и
бесконечно малую ф-цию (док-во).
5. Теоремы о пределе суммы, произведения и частного двух ф-ций
(док-во одной из теорем).
6. Ограниченность ф-ции в точке и на множестве (определения). Теорема об ограниченности ф-ции, имеющий предел.
7. Переход к пределу в неравенствах:  (x )  0 , f (x )  g(x )  h(x )
(доказать одно из св-в).
8. Определение композиций ф-ций. Теорема о пределе композиции
функции (док-во).
9. Бесконечно большие функции. Неограниченность бесконечно большой функции (привести пример). Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями (док-во).
10. Сравнение бесконечно малых
функций. Символы "о" и "О". Эквивалентные бесконечно малые функции.
Теорема о замене бесконечно малых эквивалентными при вычислении пределов (док-во).
11. Первый замечательный предел (док-во).
12. Приращения аргумента и функции. Непрерывность функций в точке и на отрезке (определения). Эквивалентность определений непрерывности
функции в точке (док-во).
13. Свойства непрерывных в точке функций: непрерывность суммы,
произведения и частного (док-во одного из св-в).
14. Непрерывность основных элементарных функций (док-во провести
для функций y=kx+b, y=sinx).
15. Непрерывность сложной функции (док-во).
16. Устойчивость знака функции, непрерывной в точке (док-во и геом.
иллюстрация).
17. Односторонние пределы функции в точке. Необходимые и достаточные условия непрерывности функции в точке (вывод). Точки разрыва и их
классификация.
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
1. Задачи, приводящие к понятию производной. Производная функции
в точке, ее геометрический и механический смысл.
2. Задачи, приводящие к понятию производной. Производная функ-ции
в точке. Вычисление производных функций y=C (С - константа), y  x, .
y  sin x .
3. Вычисление производных функций y  a x ,  a  0, a  1 , y  ln x .
4. Дифференцируемость функции в точке. Теорема о непрерывности
дифференцируемой функции (доказательство). Привести пример функции, не
дифференцируемой в точке.
5. Правило дифференцирования суммы, произведения и частного
функций (доказательство одного из правил).
6. Производная композиции (вывод и иллюстрация на примере функции).
7. Гиперболические функции, их свойства. Вычисление производных
функций.
8. Обратная функция (определение, формулировка условия существования). Производная обратной функции (вывод формулы).
9. Обратные тригонометрические функции (определения). Производные обратных тригонометрических функций (вывод одной из формул).
10. Параметрическое задание функций, их дифференцирование.
11. Дифференциал функции: определение, связь с производной, свойства(доказательство одного из свойств).
12. Теоремы Ролля и Лагранжа (док-во одной из них). Геометр. интерпретация теорем Ролля и Лагранжа и алгебраическая формулировка теоремы
Ролля.
13. Теорема Коши (формулировка). Правило Лопиталя (док-во для не0
определенности   ).
0
14. Многочлен Тейлора (вывод). Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Пеано (без док-ва).
15. Представление функций e x , cos x, sin x, ln (1 + x), 1  x  по формуa
ле Тейлора. Вывод формулы и оценка остаточного члена для функции y  e x .
16. Монотонные функции (определение, геометрическая иллюстрация).
Необходимое условие возрастания (убывания) функции на отрезке.
17. Монотонные функции (определение, геометр. иллюстрация). Достаточное условие возрастания (убывания) функция на отрезке.
18. Точки локального экстремума (определения). Необходимые условия существования экстремума (док-во для диф. функции и геометр. иллюстрация для недиф-мой функции).
19. Достаточное условие существования экстремума в терминах первой
производной.
20. Исследование на экстремум с помощью производных высшего порядка.
21. Выпуклость и вогнутость графика функции (определения). Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции на промежутке.
22. Точки перегиба (определения, геометрическая иллюстрация). Необходимые условия существования точки перегиба (формулировка). Достаточное условие существования точки перегиба (док-во).
23. Асимптота кривой. Типы асимптот. Необходимые и достаточные
условия существования асимптоты.
24. Векторные функции скалярного аргумента: производная, ее механический и геометрический смысл.
25. Кривизна. Понятие об эволюте и эвольвенте.
Функции нескольких переменных
1. Функции нескольких переменных: область определения, геометрическая интерпретация, линии и поверхности уровня. Предел функции, непрерывность функции в точке.
2. Частное и полное приращение функции. Частные производные(определения, геометрический смысл).
3. Дифференцируемость функции нескольких переменных: определение, необходимое условие. Достаточное условие дифференцируемости (формулировка).
4. Производные от сложных функций (доказательство одной из формул).
5. Дифференциал функции нескольких переменных: определение, связь
с частными производными (приложение к оценке погрешностей и приближенных исчислениях).
6. Понятие о формуле Тейлора для функции двух переменных.
7. Локальный экстремум (определения). Необходимые условия экстремума (вывод). Формулировка достаточных условий экстремума.
8. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
9. Градиент: определение, свойства, геометрический смысл.
10. Производная по направлению: определение, свойства, связь с градиентом.
Интегральное исчисление функции одной переменной
1. Первообразная: определение, свойства. Неопределенный интеграл и
его свойства.
2. Простейшие приемы интегрирования: замена переменной в неопределенном интеграле и интегрирование по частям.
3. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл как предел интегральных сумм.
4. Основные свойства определенного интеграла (доказательство одного из свойств).
5. Теорема о среднем (доказательство).
6. Теорема о производной интеграла по верхнему пределу (доказательство).
7. Формула Ньютона-Лейбница (доказательство).
8. Замена переменной в определенном интеграле.
9. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
10. Приложения определенного интеграла к вычислению площадей
плоских фигур в декартовых координатах.
11. Приложения определенного интеграла к вычислению площадей в
полярных координатах.
12. Приложения определенного интеграла к вычислению объемов тел.
13. Определение и вычисление длины дуги кривой. Дифференциал
длины дуги кривой и его геометрический смысл.
14. Несобственные интегралы с бесконечными пределами (определение и
свойства). Теорема сравнения (формулировка). Абсолютная и условная сходимости.
14. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Теорема
сравнения (формулировка). Абсолютная и условная сходимости.
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
1. Двойной интеграл. Определение. Формулировка теоремы существования. Формулировка основных свойств. Геометрический смысл.
2. Правильная в направлении координатной оси область, правильная
область. Определение двукратного (повторного) интеграла, расстановка в
нем пределов интегрирования и правило вычисления.
3. Вычисление двойного интеграла в прямоугольных координатах
(можно провести доказательство только из геометрических соображений для
F(x, y) = 0).
4. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах, расстановка в нем пределов интегрирования и правило
вычисления.
5. Тройной интеграл. Определение. Формулировка теоремы существования. Формулировка основных свойств.
6. Правильная пространственная область (определение). Определение
трехкратного (повторного) интеграла, расстановка в нем пределов интегрирования и правило вычисления. Вычисление тройного интеграла в прямоугольных координатах.
7. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические координаты, вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.
8. Замена переменных в тройном интеграле (без вывода). Применение
общего правила для вычисления тройного интеграла в сферических координатах.
9. Задача о работе, приводящая к понятию криволинейного интеграла
по координатам.
10. Криволинейный интеграл по координатам. Определение. Формулировка теоремы существования и основных свойств. Вывод правила вычисления.
11. Формула Грина на плоскости (вывод).
12. Условия независимости криволинейного интеграла по координатам
от пути интегрирования (привести доказательство одной из теорем, вторую сформулировать).
13. Восстановление функции по ее полному дифференциалу с помощью криволинейного интеграла.
14. Криволинейный интеграл по дуге. Определение. Формулировка
правил вычисления в различных случаях задания кривой интегрирования.
15. Поверхностные интегралы по координатам. Определение. Основные свойства. Правила вычисления.
16. Поверхностные интегралы по площади поверхности. Определение.
Основные свойства. Правило вычисления. Вычисление площади поверхности.
17. Формула Остроградского-Гаусса (вывод).
18. Формула Остроградского-Стокса (вывод)
Дифференциальные уравнения
1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
2. Дифференциальные уравнения: определение, основные понятия. Задача Коши. Теорема существования и единственности для дифференциального уравнения первого порядка (формулировка, иллюстрация на примерах).
Частное и общее решения.
3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными, однородные и приводящиеся к ним.
4. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка (определение,
методы решения). Уравнения Бернулли.
5. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, задача Коши, теорема
существования в единственности решения (определения, геометрическая интерпретация).
6. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка.
7. Линейные однородные уравнения: определение, свойства решения.
8. Линейные однородные дифференциальные уравнения: определение,
свойства решения.
9. Фундаментальная система решений, структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения (вывод).
10. Линейные, неоднородные диф. ур-ния: определение, структура общего решения (вывод).
11. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных для линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка.
12. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, характеристическое ур-ние, структура общего решения
(случай действительных корней, вывод).
13. Линейные однородные диф. уравнения с постоянными коэффициентами: характеристическое уравнение, структура общего решения (случай
комплексных корней, вывод).
14. Линейные неоднородные диф. уравнения с постоянными коэффициентами со специальной правой частью:
1. f ( x)  M  cos  x  N  sin  x
2. f ( x)  e x  Pn  x 
3. f ( x)  e x   Pn  x  cos  x  Qm  x   sin  x 
15. Системы обыкновенных диф. уравнений, основные понятия, метод
исключения.
Ряды
1. Числовые ряды: основные определения, необходимое условие сходимости ряда (вывод), простейшие действия над рядами (умножение на число, сложение и вычитание).
2. Ряды с положительными числами. Теорема сравнения (док-во одной
из теорем).
3. Признак Даламбера сходимости числового положит. ряда в предельной форме.
4. Интегральный признак сходимости ряда. Обобщённо-гармонический
ряд.
5. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося числового ряда.
6. Знакопеременные ряды, признак сходимости знакопеременного ряда.
Абсолютно и условно сходящиеся ряды: основные понятия.
7. Степенные ряды. Основные определения. Теорема Абеля (док-во).
Радиус и интервал сходимости. Формулировки теорем о непрерывности суммы, интегрировании и дифференцировании степенных рядов.
8. Ряд Тейлора. Теорема о единственности разложения функции в ряд
Тейлора.
9. Необходимое и достаточное условие разложимости функции в ряд
Тейлора. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора.
10. Понятие ортонормированной системы (определение, примеры). Ряд
Фурье, коэффициенты Фурье.
11. Тригонометрический ряд Фурье: определение, теорема Дирихле.
Разложение четных и нечетных функций, заданных на интервале ( ,  ) .
12. Разложение в тригонометр. ряд Фурье функций, заданных в интервале (-l, l).
13. Разложение в тригоном. ряд Фурье функций, заданных на интервале
(0, 2  ) .
14. Интеграл Фурье. Синус - косинус - преобразования Фурье. Свойства преобразования Фурье
Теория вероятностей и математическая статистика
1.Случайные испытания. События. Статистическое определение вероятности.
2. Классическое и геометрическое определения вероятностей.
3. Действия над случайными событиями (пространство элементарных
событий, достоверное и невозможное события, сумма и произведение событий, разность событий и противоположное событие, несовместные события,
полная система (группа) событий).
4. Аксиоматическое определение вероятности (  - алгебра событий, аксиомы вероятности).
5. Формулы сложения вероятностей (вывод).
6. Независимые события. Условная вероятность. Теорема умножения
вероятностей.
7. Формула полной вероятности (доказательство).
8. Формула Байеса (доказательство).
9. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли).
Формула Бернулли.
10. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа (формулировка, стандарт. примеры).
11. Формула Пуассона.
12. Случайная величина. Функция распределения случайной величины
и ее свойства. Выражение P (a  x  b) через F(x).
13. Дискретные случайные величины. Закон распределения дискретной
случайной величины. Важнейшие законы распределения (биномиальный,
Пуассоновский и т.п.).
14. Непрерывные случайные величины (Н.С.В.). Функция распределения НСВ. Важнейшие распределения (равномерное, нормальное, показательное).
15. Мат. ожидание дискретной случайной величины и его свойства.
Примеры.
16. Определение и свойства мат. ожидания непрерывной случайной величины. Основные примеры.
17. Дисперсия случайной величины. Определение и свойства (док-ва
для дискретной с.в.). Начальные и центральные моменты.
18. Функция распределения и плотность для двумерной случайной величины. Независимость случайных величин. Условная вероятность.
19. Ковариация и ее свойства. Коэффициент корреляции.
20. Линейная регрессия.
21. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел.
22. Центральная предельная теорема (формулировка).
23. Определение несмещенных, эффективных и состоятельных оценок.
24. Точечная оценка мат. ожидания. Док-во ее несмещенности и состоятельности.
25. Точечная оценка дисперсии. Исправленная оценка дисперсии.
26. Интервальные оценки. Доверительный интервал и доверительная
вероятность. Доверительный интервал для мат. ожидания при известной
дисперсии.
27. Доверительный интервал для мат. ожидания при неизвестной дисперсии. Распределение Стьюдента.
28. Метод максимального правдоподобия для нахождения оценок.
29. Критерий согласия. Критерий Пирсона Х 52 0. Статистический
критерий.
30. Критическое множество, ошибки первого и второго рода, мощность
и уровень значимости критерия, критерий Неймана-Пирсона.
Теория функций комплексного переменного
1. Множество комплексных чисел. Последовательности и ряды комплексных чисел. Интегрирование функций комплексного переменного.
2. Регулярные функции. Дифференцируемость. Условия Коши-Римана.
Геометрический смысл производной. Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши. Степенные ряды. Свойства регулярных функций.
Обратная функция. Теорема единственности. Аналитическое продолжение.
3. Ряд Лорана. Изолированные особые точки. Лиувилля.
4. Теорема вычетов. Вычисление определенных интегралов с помощью
вычетов. Принцип аргумента и теорема Руше.
5. Конформные отображения. Локальные свойства отображений регулярными функциями. Общие свойства конформных отображений .Дробнолинейная функция. Конформные отображения элементарными функциями.
Принцип симметрии.
6. Многозначные аналитические функции. Понятие аналитической
функции. Функция Ln z. Точки ветвления аналитической функции. Регулярные ветви аналитических функций. Понятие о римановой поверхности.
7. Операционное исчисление. Основные свойства преобразования
Лапласа. Восстановление оригинала по изображению. Применение преобразования Лапласа к решению. линейных дифференциальных уравнений.
Элементы теории графов
1. Графы. Основные определения.
2. Матрицы графов.
3. Остовное дерево. Цикломатическое число графа.
Скачать