2.1. закономерности в мире хаоса

2. Распределение молекул по скоростям и координатам [13]
Проблема скоростей в молекулярной физике занимает особое место. Кинематическое
описание движения в классической механике подразумевает, что такие характеристики как
уравнения движения, траектория и перемещения исследуемых объектов известны. По крайней мере по уравнениям движения для заданного момента времени можно определить скорости и ускорения исследуемых частиц. К сожалению, в молекулярной физике методы, наработанные в механике, имеют весьма ограниченное применение ввиду огромного числа
движущихся атомов, даже если они не взаимодействуют друг с другом, что имеет место в
случае идеального газа.
Термодинамическая система, находящаяся в состоянии равновесия, характеризуется тем,
что макропараметры остаются неизменными, т.е. давление, температура и объём не меняются во времени, чего нельзя сказать о микропараметрах. Напомним, что в соответствии с основными положениями молекулярно-кинетической теории вещества, все структурные элементы находятся в состоянии постоянного хаотического теплового движения. Другими словами в случае идеального газа молекулы или атомы движутся, сталкиваясь друг с другом и с
ограничивающими поверхностями. В моменты столкновений частицы изменяют свои скорости по модулю и направлению. Хаотическое движение предполагает хаотическое изменение
кинематических характеристик движения, однако специально поставленные эксперименты
позволили установить средние значения скоростей.
Рассмотрение абсолютной хаотичности движения молекул позволило установить закономерности, которыми описывается состояние системы.
2.1. Закономерности в мире хаоса
Рассмотрим закрытый сосуд, заполненный идеальным газом, находящимся в состоянии
термодинамического равновесия, что предполагает неизменность во времени его макро характеристик: давления, температуры, количества вещества и объёма. Предположим далее,
что внешние условия таковы, что в сосуде (исследуемой термодинамической системе) не
происходит перенос энергии, вещества, импульса и т.п. Многочисленными опытными наблюдениями установлено, что условия равновесия некоторого объёма газа характеризуются
следующими характеристиками:
• молекулы газа по предоставленному ему объёма распределены с равномерной плотностью
r
(2.1)
n (r ) = Const ,
• молекулы обладают скоростями, равномерно
распределёнными по всем направлениям пространства, т.е. число молекул, движущихся одновременно
в пространстве по любому направлению одинаково
(рис 2.1). Если бы наблюдалось преимущественное
направление движения, то имел бы место поток молекул в этом направлении, что на опыте не наблюдается. Следует отметить, что упругие соударения
молекул друг с другом и со стенками сосуда не могут изменить эту ситуацию. Корме того, модель идеального газа предусматривает пренебрежение сум- Рис. 2.1. Распределение молекул по направлениям движения
марным собственным объёмом молекул по сравне-
63
нию с предоставленным данной массе газа объёмом
k=N
∑ Vk >> V0 ,
(2.2)
k =1
где Vk − собственный объём некоторой k − той молекулы, V0 − объём, занимаемый газом.
Введём далее понятие распределения. Рассмотрим следующий пример. Представьте себе,
что вы находитесь в аудитории на лекции, где присутствует 100 студентов, точно знающих
свой рост. На основании опроса была составлена табл. 2.1
№
Интервал роста
1
2
3
4
5
6
160 − 165 см
165 − 170
170 − 175
175 − 180
180 − 185
185 − 190
Таблица 2.1
Количество представителей
в интервале
10
25
35
15
10
5
В физике и ряде других наук, где
нужно разобраться в статистических
массивах данных используют графическую интерпретацию табличных данных, строят гистограмму. Данные рис.
2.2 показывают, как выглядит распределение роста анализируемой группы
студентов. Если такие же манипуляции
провести на стадионе, где присутствует
несколько тысяч орущих болельщиков,
то гистограмма получится более наглядной и информативной, кроме того в
ней будут присутствовать люди совершенно не высокие, например детки, которые тоже азартны и представители
Рис. 2.2. Гистограмма
баскетбольно − волейбольного роста
под два метра и более. Достаточно точно, с малым интервалом измеряемых величин и при
достаточно большом количестве измерений можно получить, так называемую функцию распределения, в частности функцию распределения скоростей молекул.
Для получения такой функции распределения потребуются некоторые сведения из статистической физики и теории вероятностей. Теория вероятностей, как известно, изучает достаточно часто встречающиеся в теории и практике случайные явления. Предположим, что некий процесс может воспроизводиться неограниченное число раз, при этом есть возможность
измерять величины, характеризующие этот процесс. Типичным вероятностным процессом
является подавляющее большинство азартных игр, например − игра в кости. Если мы 100
раз бросим кость, то выпадения числа 6 будет носить вероятностный характер, то же можно
сказать о непременном атрибуте казино − рулетке. Там появление «красного» и «чёрного»
тоже определяется вероятностными законами.
Вероятностные подходы применимы не только к повторяющимся неограниченное число
раз событиям, теория вероятностей может быть использована и для невоспроизводимых
процессов, например для массовых явлений, таких как параметры выпущенной массово
продукции и присутствия на многотысячном стадионе болельщиков заданного возраста,
массы и роста.
С времён древних цивилизаций у людей появилась необходимость делать прогнозы. Во
все времена людей интересовала демография, продуктивность основных пищевых культур,
64
поголовье домашних и диких животных, да мало ли еще, что было животрепещущим для
наших далёких пращуров. С появлением таких понятий как налоги и подати, страхование
сразу появилась острая необходимость прогнозирования доходов по этим статьям. Всё это
носило вероятностный характер. Но вероятностные исследования серьёзными математиками
начались с распространением в цивилизованном мире азартных игр. Природная любознательность исследователей и неистребимая жажда получения «дармовых» доходов подвигла
азартных людей установить на научной основе свои шансы.
Всякому случайному событию можно сопоставить число, определяющее вероятность
появления этого самого события. Вероятность некоторого случайного события определяется
по логике вещей относительной частотой его появления в череде других точно таких же
случайных событий. Чем чаще наблюдается заданное событие, тем его вероятность выше,
естественно.
Предположим далее, что в процессе проведения некоего испытания появляется совокупность характеристик случайных событий
{A, B, C, ……N}, например, во время любимой пиратской забавы − игре в кости (рис.
2.3). Кость, как известно, представляет собой
кубик с равноценными рёбрами и гранями.
При метании костей возможны всего шесть
событий, выпадение чисел {1, 2, 3, …. 6}. Если произведено n метаний и событие А выпало k n (A ) раз, то относительную частоту соРис. 2.3. Игра в кости
бытия А в данной серии испытаний можно
математически записать так
k (A )
Pn (A ) = n
.
(2.3)
n
Естественно предположить, что если число испытаний неограниченно увеличивать, то
относительная частота примет некоторое фиксированное, характерное именно для этого испытания, значение. В этом случае
PA = lim Pn (A ) ,
(2.4)
n →∞
Предел (2.4) называется вероятностью события А. Если игральную кость бросать многократно, то вероятность выпадения шести очков составит
1
P(6 ) = ≅ 0,167 .
6
Вероятность любого случайного события всегда заключена в интервале между нулём и
единицей
0 ≤ P(A ) ≤ 1 .
(2.5)
Если событие невозможно, то его вероятность будет нулевой, а вот обратное утверждение, о
достоверности события, строго говоря, не совсем корректно. При бросании монеты вероятность того, что она при падении станет на ребро в принципе не противоречит законам физики, другое дело что вероятность этого события весьма низка. Метание костей и монет являют собой пример случайных дискретных событий, но существуют и непрерывные потоки
случайных событий. Возвращаясь к бушующему скопищу болельщиков на стадионе, выберем случайного фаната и определим вероятность того, что его рост составит 181, 457 см.
Очевидно что вероятность этого события равна нулю, однако, если ходить с подобными намерениями на стадионы много раз, то ситуация может измениться, мы случайно выберем
болельщика с заданным ростом.
Для устранения подобной двойственности вводится понятие плотности распределения
или просто распределения. Зная распределение случайных величин, например роста или
возраста людей на стадионе, можно определить какова вероятность присутствия болельщиков в заданном интервале роста. В ранее рассмотренном примере со студенческой аудиторией (рис. 2.2) вероятность роста между 175 и 180 см составляет 15/100 = 0,15. Пунктирная
65
кривая, изображённая на этом рисунке представляет собой плотность вероятности. Следует
оговориться, что построение кривой плотности необходимо выполнять при уменьшении интервала измерений.
Два события называются несовместимыми в том случае, если они по принципиальным
соображениям не могут произойти одновременно. Если могут происходить два события одновременно, то уместен закон сложения вероятностей
P(A ∪) = P(A ) + P(B) .
(2.6)
В качестве иллюстрации уравнения (2.6) снова помечем кости. Определим, какова вероятность того, что при однократном бросании кости выпадет чётное число 2, 4, или 6. Естественно, что вероятности, если не мухлевать, выпадения любого из этих чисел будут одинаковы
1
P(2) = P(4 ) = P(6 ) = .
6
Вероятность выпадения чётного числа на основании уравнения (2.6) определится в виде
следующей суммы
1 1 1 1
P(2 ∪ 4 ∪ 6) = + + = .
6 6 6 2
И прав был в этой связи французский математик Пьер Симон Лаплас (1749 − 1827), утверждавший, что теория вероятностей есть здравый смысл, сведенный к математическому исчислению.
Непрерывные события описываются кривой функции распределения. Так, если в примере с ростом большого количества людей функция распределения задана как w(h), то бесконечно малая величина w(h)dh будет представлять собой вероятность того, что рост заключён
в интервале от h до h + dh. Если требуется вычислить вероятность того, что рост индивидуума находится в интервале h1 ≤ h≤ h2, то надо просуммировать эти бесконечно малые величины, другими словами, вычислить площадь под отрезком кривой распределения, лежащим от h1 до h2
h2
P(h1 , h 2 ) = ∫ w (h )dh .
(2.7)
h1
Площадь под кривой всей функции распределения равна единице, поскольку появление всех
возможных событий является величиной достоверной.
Произведением или пересечением вероятности появления двух независимых событий
определяется как
P(A ∩ B) = P(A )P(B) .
(2.8)
Пересечение вероятностей имеет место, например, в случае, когда нужно вычислить вероятность того, что сумма выпавших при однократном метании двух костей 12 очков (рис. 2.3).
Это может произойти только в том случае, если оба игральных приспособления возлягут
шестёрками кверху. Отметим, что обе кости кувыркаются независимо друг от друга и положение одной кости не влияет на положение второй. В этом случае справедлив закон умножения вероятностей
1 1 1
P(12) = P(6 ) ⋅ P(6 ) = ⋅ =
.
6 6 36
При анализе случайных процессов часто приходится оперировать их усреднёнными по
разным правилам средними значениями. Арифметическое среднее выборки случайных величин {x1, x2, x2 … xn} равно
k =n
x ар =
∑ xk Nk
k =1
,
(2.9)
N
Статистическое среднее значение случайной величины х определиться в виде предела
x N
< x >= lim k k = ∑ x k Pk ,
(2.10)
N→∞
N
66
где Pk − вероятность того, что случайная величина х принимает значение xk. Возвращаясь к
примеру с распределением роста 100 студентов в аудитории, отметим, что
10
25
35
15
10
5
< h >= 160
+ 165
+ 170
+ 175
+ 180
+ 185
= 170,25 см .
100
100
100
100
100
100
Приведенные выше элементарные сведения из теории вероятностей применимы для распределения величин скоростей молекул в их непрерывном хаотическом тепловом движении.
67