анализ спектральной плотности мощности

Лекция 11
АНАЛИЗ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ
МОЩНОСТИ
Спектральная плотность мощности G x ( f ) позволяет судить о частотных свойствах случайного процесса. Она характеризует его интенсивность при различных частотах или, иначе, среднюю мощность, приходящуюся на единицу полосы частот.
Картину распределения средней мощности по частотам называют
спектром мощности. Прибор, при помощи которого измеряется спектр
мощности, называется анализатором спектра. Найденный в результате
измерений спектр называется аппаратным спектром.
Работа анализатора спектра основана на следующих методах измерений:
 методе фильтрации;
 методе преобразования по теореме Винера-Хинчена;
 методе Фурье-преобразования;
 методе с использованием знаковых функций;
 методе аппаратного применения ортогональных функций.
Особенность измерения спектра мощности состоит в значительной
продолжительности эксперимента. Нередко она превышает длительность
существования реализации, или время, в течение которого сохраняется
стационарность исследуемого процесса. Оценки спектра мощности, получаемые по одной реализации стационарного эргодического процесса,
не всегда приемлемы. Часто приходится выполнять многочисленные измерения, так как необходимо усреднение реализаций как по времени, так
и по ансамблю. Во многих случаях реализации исследуемых случайных
процессов предварительно запоминают, что позволяет многократно повторять эксперимент с изменением продолжительности анализа, использованием различных алгоритмов обработки и аппаратуры.
В случае предварительной записи реализаций случайного процесса
аппаратурные погрешности могут быть уменьшены до значений, обусловленных конечной длительностью реализации и нестационарностью.
Запоминание анализируемых реализаций позволяет ускорить аппаратурный анализ и автоматизировать его.
116
1. МЕТОД ФИЛЬТРАЦИИ

Px  2  Gx ( f )df – средняя мощность стационарного случайного
0
процесса X (t ) .
f
Px ( f , f ) 
f
2
 G x ( f )df – средняя мощность в полосе f в окрестf
f
2
ности f .
Px ( f , f )
– спектральная плотность мощности.
f 0
f
G x ( f )  lim
В случае, когда полоса частот f конечна, но очень узка, то спектральную плотность мощности G x ( f ) можно считать постоянной в этой
полосе:
P ( f , f )
.
Gx ( f ) ~
 x
f
Функциональная схема измерителя спектральной плотности мощности методом фильтрации приведена на рис. 1
hузк ()
x(t)
ЛПФ
hфнч (t  )
y(t)
КД
Z(t)
ФНЧ
(t)
РУ
Рис. 1. Функциональная схема измерителя спектральной плотности мощности
методом фильтрации: hузк(τ) и hфнч(t – τ) – импульсная переходная характеристика
линейного полосового (узкополосного) фильтра ЛПФ и фильтра низких частот
ФНЧ-интегратора; КД – квадратичный детектор;
РУ – регистрирующее устройство
В этом методе первоначально вырезается узкая полоса спектра исследуемого процесса x(t). Затем выполняются те же операции, что и при
измерении средней мощности стационарного случайного процесса: выделенная часть сигнала возводится в квадрат, интегрируется и фиксируется регистрирующим устройством.
117
Напряжение (t , T ) , где Т – длительность реализации или продолжительность анализа, соответствует оценке спектральной плотности
мощности анализируемого случайного процесса.
Установим связь между напряжением (t , T ) и истинной в вероятностном смысле спектральной плотностью мощности G x ( f ) .
Величина (t , T ) является случайной от измерения к измерению.
Найдем математическое ожидание этой величины при следующих допущениях:
 все звенья не содержат источников шумов;
 детектор – безынерционное двухполупериодное квадратичное
устройство;
 усреднителем служит ФНЧ, устойчивый, коммутируемый в моменты t = 0 и t = T; его полоса пропускания намного уже, чем
входного полосового фильтра;
 анализируется стационарный в широком смысле процесс со средним значением, равным 0.
Выходное напряжение интегратора
T
(t , T )   hфнч (t  ) Z ()d ,
0
где hфнч (t  ) – импульсная переходная характеристика ФНЧ,
Z (t )  by 2 (t ) ,

y(t )   hузк () x(t  )d .

Известно, что для узкополосного высокодобротного фильтра с симметричной относительно резонансной частоты f 0 амплитудно-частотной
характеристикой
hузк (t )  2h0 узк (t )  cos 2f 0t ,
где h0 узк (t ) – функция времени, медленно изменяющаяся по сравнению с
cos 2f 0 t . С учетом сказанного, выходное напряжение ЛПФ

y(t )  2  h0 узк () x(t  ) cos2f 0 d .

118
Учтем, что y 2 (t ) можно представить произведением двух интегралов:
4 
y (t )    h0 узк (1 )h0 узк ( 2 ) x(t  1 ) x(t   2 ) cos2f 0 (1   2 )d1d 2 .
2  
2
Отсюда
T
 

(t , T )  2b  hфнч (t  )    h0 узк (1 )h0 узк ( 2 ) x(t  1 ) x(t   2 ) cos 2f 0 (1   2 )d1d 2 d.
0
  

Введем обозначения  2  1  u , тогда
T
 

(t , T )  2b  hфнч (t  )    h0 узк (1 )h0 узк (1  u ) x(t  1 ) x(t  1  u ) cos 2f 0 ud1dud.
0
  

Усредним обе части уравнения, учтя при этом, что
M x(t  1 ) x(t  1  u )  K x (u ) ,

 h0 узк ()h0 узк (  u )d  0 узк (u ) ,

0 узк (u ) ~
 0 узк (0)  const :
T
 
M (t , T )  2b   hфнч (t  )d   0 узк (u ) K x (u ) cos 2f 0udu 
0
 
T
 
 2b0 узк (0)   hфнч (t  )d   K x (u ) cos 2f 0udu.
0
 
Введем обозначения
T

C (t , T )  2b 0 узк (0)   hфнч (t  )d ,
0

а также с учетом того, что

G x ( f )   K x (u ) cos 2f 0 udu ,

окончательно получаем
M (t , T )  C (t , T )G x ( f 0 ) .
119
Таким образом, среднее по ансамблю напряжение (t , T ) пропорционально истинной спектральной плотности мощности G x ( f 0 ) , причем
коэффициент пропорциональности С(t,T) зависит от продолжительности
T усреднений и момента t фиксирования отсчетов регистрирующим
устройством.
При анализе одной реализации эргодического стационарного процесса значения (t , T ) , отсчитываемые в моменты t=T, флуктуируют
около математического ожидания M (t , T ); причем отклонения уменьшаются с увеличением постоянной времени сглаживающего фильтра.
О рациональном выборе ширины полосы узкополосного
фильтра и продолжительности интегрирования
На первый взгляд кажется, чем уже полоса узкополосного фильтра,
тем выше точность. Принцип неопределенностей f  T  const , однако,
говорит, что это не всегда так. Чем уже f , тем больше длительность
измерения T, причем совместное уменьшение f и увеличение Т в одинаковое количество раз лишь сохраняет точность неизмененной.
Интервал интегрирования Т должен быть существенно большим ин1
1
тервала корреляции τk узкополосного процесса ( k  ) : T   k 
.
f
f
При постоянном Т уменьшение f может нарушить это условие, что вызовет значительные флуктуации величины G x* ( f ) , и статистическая
надежность результатов будет низкой. Дисперсия с увеличением f (при
фиксированном Т) уменьшается, а смещение оценки растет.
2. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ АНАЛИЗАТОРОВ
СПЕКТРА С ПОЛОСОВЫМИ ФИЛЬТРАМИ
Используются три способа аппаратного анализа спектров:
 одновременный;
 последовательный;
 комбинированный;
При одновременном способе имеется набор узкополосных фильтров,
настроенных на определенную частоту. Таким образом, каждый из фильтров выделяет соответствующий его настройке участок спектра.
В случае последовательного способа используется один узкополосный фильтр, резонансная частота которого перестраивается в широком
диапазоне. Главная причина ограничения скорости перестройки состоит
не столько в необходимости перестройки фильтра, требующей времени,
120
сколько в продолжительности переходных процессов в фильтре и усреднителе.
Когда используется комбинированный способ, спектр разбивается
на ряд участков, внутри которых ведется последовательный анализ.
Гетеродинный анализатор спектра мощности
В этом анализаторе (рис. 2) вместо того, чтобы механическим путем передвигать среднюю частоту полосового фильтра относительно неподвижного спектра, перемещают спектр исследуемого процесса относительно фиксированной средней частоты фильтра. При этом получается
последовательное совпадение отдельных участков спектра с полосой
пропускания фильтра, вследствие их относительного перемещения по
шкале частот. Этим существенно упрощается задача получения весьма
узкой полосы пропускания избирательного устройства. Гетеродинные
анализаторы используются для анализа как высокочастотных, так и низкочастотных процессов.
f0 
x(t)
ВУ
С
ЛПФ
f
2
И
КД
u (t )  U m sin 2 f Г t
К
ГКЧ
Осц
x
y
ГР
ПГ
Рис. 2. Гетеродинный анализатор спектра мощности.
ВУ – входное устройство; К – калибратор; С – смеситель;
ГКЧ – генератор качающейся частоты; ГР – генератор развертки;
ПГ – перестраиваемый гетеродин; ЛПФ – линейный полосовой
f
фильтр с полосой пропускания f 0 
; КД – квадратичный детектор;
2
И – интегратор; УС – усилитель; Осц – осциллограф
121
УС
Выделяется тот участок спектра шириной f , для составляющих
которого выполняется условие
f  f Г  f0 
f
,
2
в случае использования фильтра с частотой среза FC
f  f Г  FC .
3. МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ
МОЩНОСТИ ПО КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ
Спектральная плотность мощности стационарного случайного процесса
и его корреляционная функция связаны согласно теореме Винера – Хинчена
парой преобразования Фурье:

Gx  f    K x e  j 2f d


K x    Gx  f e j 2f df .

Для действительных стационарных случайных функций

G x  f    K x  cos 2fd .

Измерения носят косвенный характер, так как непосредственно измеряют Kх  , а спектр плотность G x  f  вычисляют согласно приведенному
выражению. Имеет место оценка
G x
T
 f   2  K x cos 2fd ,
0
1T  
K x    xt  xt   dt .
T0

При экспериментальном определении K x   ее значения вычисляются
для ограниченного диапазона величин аргумента  от 0 до  м.к.. Однако, для
того, чтобы найти спектральную плотность мощности необходимо просмотреть весь участок изменения аргумента  от   до  . Отсечение участка
122
кривой K х   для   T может привести к значительным искажениям спектра в низкочастотной области.
Эти искажения можно уменьшить, если использовать следующую
оценку G x  f 
T
Gx  f    wK x e  j 2f d ,
T
где w – весовая функция, которую часто называют «окном» (корреляционным окном). Выбор «окна» зависит от характера определяемого спектра
мощности.
4. АНАЛИЗ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ
МОЩНОСТИ НА ОСНОВЕ ФУРЬЕ–ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
РЕАЛИЗАЦИИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
Спектр случайного процесса х(t) определяется

S  jf    xt e  j2ft dt .

Текущий спектр
t
S  jf , t    xt e  j 2ft dt .
0
При аппаратном спектральном анализе в качестве оценки спектральной
плотности мощности выбирается величина
I  f ,T  
1 2
S  f ,T ,
T
S  f , T   S  jf , T  .
Различным реализациям эргодического случайного процесса соответствуют различные спектральные плотности мощности. Истинная в вероятностном смысле спектральная плотность G x  f  является средним по
ансамблю значений, полученных при многократных измерениях, каждое
из которых проведено за одинаковый интервал (0,Т).


1
M S 2  f ,T  .
T  T
Gx  f   lim
123
Теоретически рассматриваемому методу присуща бесконечно большая
разрешающая способность.
Используя формулу Эйлера, имеем
T
T
0
0
S  jf , T    xt  cos 2ftdt  j  xt  sin 2ftdt ,
2
2
T

T

S 2  f ,T     xt cos2ftdt     xt sin 2ftdt  ,
0

0


T

1
T
I  f , T     xt cos 2ftdt     xt sin 2ftdt 
T  0

0


2
2

.


5. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ СХЕМА ПРИБОРА ДЛЯ АНАЛИЗА
СПЕКТРА МОЩНОСТИ ПО ФУРЬЕ–ПРЕОБРАЗОВАНИЮ
РЕАЛИЗАЦИИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
Рассмотренная выше оценка I(f,T) – это непараметрическая оценка, так
как в данном случае оценивается не числовой параметр, характеризующий
спектральную плотность мощности Gx(f), а производится оценка всего хода
этой функции. Так как число оцениваемых параметров бесконечно, то дисперсия оценки каждой ординаты не убывает с увеличением интервала Т. Это
следует также из того, что с увеличением продолжительности интервала Т
уменьшается корреляция между значениями спектральной плотности мощности, относящимися к соседним частотам.
Из сказанного следует, что рассмотренная оценка является несостоятельной и не позволяет получить надежное значение спектральной плотности мощности при частоте f, т. е. надежно определить тонкую структуру
спектра мощности исследуемого случайного процесса.
В случае, когда исследуемый стационарный случайный процесс представлен записью одной реализации х(t) за весьма большой отрезок времени Т
и обладает устойчивостью на этом отрезке, эффективной является следующая методика спектрального анализа.
Запись реализации х(t) разбивают на достаточно большое число N отрезков равной длительности Т0 (также достаточно большой). На каждом отрезке определяется оценка спектральной плотности мощности
124
2
2
 jT 0
jT 0



1

I j  f , T0     xt cos 2ftdt     xt sin 2ftdt   .
T0 ( j 1)T0

( j 1)T0
 


Затем находят среднее арифметическое всех измерений:
1 N
G x  f , T    I j  f , T0  .
N j 1
Эта оценка является состоятельной, так как


lim Gx  f , T   lim M I j  f , T0   Gx  f  .
T 
T 
Блок-схема аналого-цифрового анализатора спектральной плотности
мощности приведена на рис. 3. Она включает n генераторов гармонических
сигналов ГГС1  ГГСn , у каждого из которых имеется два выхода для колебаний cos i t и sin i t , соответственно. Эти колебания перемножаются на
коды выборочных значений исследуемого процесса х(t) в умножителях
У1а,У1б  Уna, Уnб, полученные произведения сглаживаются интеграторами
И1a , И1б  Иna, Иnб. В результате на выходах последних получаем
t j  T0
uia  к  xt  cos i tdt ,
tj
t j  T0
uiб  к  xt  sin i tdt .
tj
Напряжения uia и uiб через схему электронного переключателя ЭПi подаются в устройство преобразования напряжение–код, состоящее из
устройств сравнения УС ia и УС iб и временного селектора на триггерах Тгia
и Тгiб и клапанах Кia и Кiб.
125
х(t)
ВУ
АЦП
ГТИ
cos
sin
...
ГГС
i
ДЧ
Уia
Уiб
Иia
Иiб
...
ЭПi
ГПН
НПН
Uн ~  t
УСia
УСiб
Тгiб
Тгia
Кia
Кiб
Т
СИi
Рис. 3. Аналого-цифровой спектроанализатор на основе Фурьепреобразования:
ВУ – входное устройство; АЦП – аналого-цифровой преобразователь;
ГТИ – генератор тактовых импульсов; ДУ – делитель частоты;
У ia , У iб – умножители; ГГС1 – ГГСn – генераторы гармонических сигналов;
Иia , Иiб  интеграторы; ЭП1 – ЭПn – электронные переключатели;
ГПН – генератор пилообразного напряжения; НПН – нелинейный
преобразователь напряжения; УСia , УСiб – устройства сравнения;
Тгia , Тгiб – триггеры управления временными селекторами;
Кia , Кiб – клапаны временных селекторов; СИi – счетчик импульсов
временных селекторов; Т – таймер продолжительности измерений
126
Напряжения измеряются путем их сравнения с нелинейно изменяющимся напряжением Uн =  t , формируемым нелинейным преобразователем напряжения НПН из пилообразного напряжения генератора ГПН. Временной интервал t от начала процесса сравнения до его завершения, т. е. когда uн станет равным uia (либо uiб), измеряется счетно-импульсным методом:
на время t переключается в рабочее состояние триггер Тгia (либо триггер
Тгiб), в результате чего открывается клапан Кia (Кiб) и сигналы опорной частоты таймера Т поступают на соответствующий счетчик СИi . В течение
эксперимента в счетчике СЧi накапливаются данные согласно выражениям:
N
N
j 1
j 1
Аi   h j   l j ,
2
t j T0

hi  q   xt  cos i tdt  ,
 t j

2
t j T0

li  q   xt sin i tdt  .
 t j

6. СПЕКТРОАНАЛИЗАТОР НА ОСНОВЕ
ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Дискретное преобразование Фурье реализуется по формуле:
2mk
2mk 

X m    xk  cos
 j sin
,
N
N 

k 0
N 1
где m, k  0, 1, 2, ..., N  1; m – дискретный аналог частоты, k – дискретный
аналог времени.
Спектр мощности, называемый мгновенным спектром входного сигнала, равный квадрату модуля по Фурье-образу, вычисляется по формуле
S m   Re X m 2  Im X m 2 .
Блок-схема устройства, реализующая дискретное преобразование
Фурье, приведена на рис. 4.
127
х(t)
НЧФ
СЛП
АЦП
ЗУ
У
ЦАП
Осц
АУ
ДПФ
Рис. 4. Спектроанализатор на дискретном преобразовании Фурье:
НЧФ – низкочастотный фильтр; СЛП – схема линейного пропускания;
АЦП – аналого-цифровой преобразователь; АУ – арифметическое
устройство ДПФ; У – усреднитель; ЦАП – цифро-аналоговый
преобразователь; Осц – осциллограф
Схема линейного пропускания устанавливает продолжительность
эксперимента (временное окно), т. е. длительность исследуемой реализации. Дискретизация сигнала осуществляется в схеме АЦП, частота дискретизации fдискр  2fмакс, где fмакс – максимальная частота в спектре сигнала х(t). Низкочастотный фильтр имеет частоту среза, равную частоте
Найквиста (2fмакс). При этом частотная характеристика фильтра должна
иметь в области частоты Найквиста крутой излом, однако требования к
крутизне уменьшаются по мере увеличения частоты fдискр по сравнению с
частотой Найквиста.
Следует также отметить, что в ряде случаев при обработке сигнала х(t),
имеющего периодические компоненты, конечная длительность временного
окна приводит к тому, что в спектре сигнала каждая линия сопровождается
боковыми лепестками.
Существуют многочисленные приложения, в которых применяются
разнообразные методы уменьшения времени вычисления ДПФ. Это время уменьшается в 100 и более раз по сравнению с методом прямого вычисления ДПФ.
Основой БПФ являются математическая операция перехода из одномерного пространства в двумерное, которая реализуется алгоритмами с основанием 2 и прореживанием по времени или частоте. БПФ можно представить в виде единого алгоритма, имеющего много различных вариантов. При
этом исходная N-точечная последовательность разбивается на две более короткие последовательности, ДПФ которых комбинируются таким образом,
что получается ДПФ исходной N-точечной последовательности.
Более подробно алгоритмы БПФ, организация параллельно-поточных
вычислений при спектральном анализе данного типа мы будем рассматривать на семинарских занятиях.
128