АЛГЕБРЫ ИНВАРИАНТОВ И 14-Я ПРОБЛЕМА ГИЛЬБЕРТА

áìçåâòù éî÷áòéáîôï÷ é 14-ñ ðòïâìåíá çéìøâåòôá
é÷áî ÷. áòöáîãå÷
ìÅÔÎÑÑ ÛËÏÌÁ "óÏ×ÒÅÍÅÎÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ", äÕÂÎÁ, 19-25 ÉÀÌÑ 2007 ÇÏÄÁ
úÁÎÑÔÉÅ 2. éÎ×ÁÒÉÁÎÔÙ ËÏÎÅÞÎÙÈ ÇÒÕÐÐ. æÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÁ É ÉÓÔÏÒÉÑ
14-Ê ÐÒÏÂÌÅÍÙ çÉÌØÂÅÒÔÁ
ðÕÓÔØ K { ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÐÏÌÅ É K[x1 ; : : : ; xn ] { ÁÌÇÅÂÒÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÎÁÄ ÐÏÌÅÍ K.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ S :
S (x1 ) = a11 x1 + · · · + an1 xn ; : : : ; S (xn ) = a1n x1 + · · · + ann xn :
âÕÄÅÍ ÓÞÉÔÁÔØ, ÞÔÏ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ S ÏÂÒÁÔÉÍÏ, Ô.Å. ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÌÉÎÅÊÎÏÅ
ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ S −1 ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ ËÏÍÐÏÚÉÃÉÉ S ◦ S −1 É S −1 ◦ S ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ. ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÂÒÁÔÉÍÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x1 ; : : : ; xn ÏÂÒÁÚÕÅÔ ÇÒÕÐÐÕ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÏÐÅÒÁÃÉÉ
ËÏÍÐÏÚÉÃÉÉ. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÓÏÐÏÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÀ S ÍÁÔÒÉÃÙ (aij ) ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÉÔØ ÇÒÕÐÐÕ ÏÂÒÁÔÉÍÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ Ó ÇÒÕÐÐÏÊ
ÏÂÒÁÔÉÍÙÈ ÍÁÔÒÉÃ GLn (K).
ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ 1. âÕÄÅÍ ÇÏ×ÏÒÉÔØ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x1 ; : : : ; xn ) ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÅÎ
ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ S , ÅÓÌÉ F (S (x1 ); : : : ; S (xn )) = F (x1 ; : : : ; xn ).
ðÒÉÍÅÒ 1. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ S (x1 ) = x2 ; S (x2 ) = x3 ; : : : ; S (xn−1 ) =
xn ; S (xn ) = x1 . ôÏÇÄÁ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ x1 + x2 + · · · + xn ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÅÎ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ
S , Á x1 + x22 + · · · + xnn { ÎÅÔ.
íÏÖÎÏ ÔÁËÖÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÏÂÒÁÔÉÍÙÈ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÅ C = {S! : ! ∈ }, ÇÄÅ { ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÉÎÄÅËÓÏ×, É ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× K[x1 ; : : : ; xn ]C , ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÉÚ C . ñÓÎÏ, ÞÔÏ K[x1 ; : : : ; xn ]C ÓÏÄÅÒÖÉÔ ËÏÎÓÔÁÎÔÙ É ÚÁÍËÎÕÔÏ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÓÌÏÖÅÎÉÑ É ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×, Ô.Å. K[x1 ; : : : ; xn ]C { ÐÏÄÁÌÇÅÂÒÁ ×
K[x1 ; : : : ; xn ]. âÏÌÅÅ ÔÏÇÏ, ÅÓÌÉ G { ÐÏÄÇÒÕÐÐÁ × GLn (K), ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÁÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÍÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Á C , ÔÏ K[x1 ; : : : ; xn ]G = K[x1 ; : : : ; xn ]C . üÔÉ ÎÁÂÌÀÄÅÎÉÑ ÓÌÕÖÁÔ
ÍÏÔÉ×ÉÒÏ×ËÏÊ ÄÌÑ ÓÌÅÄÕÀÝÅÊ ÚÁÄÁÞÉ.
ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÚÁÄÁÞÁ ÔÅÏÒÉÉ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ×. ðÕÓÔØ G { ÐÏÄÇÒÕÐÐÁ × GLn (K).
ïÐÉÛÉÔÅ ÁÌÇÅÂÒÕ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× K[x1 ; : : : ; xn ]G .
ðÒÉÍÅÒ 2. ðÕÓÔØ G = Sn { ÇÒÕÐÐÁ ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ÏË, ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÁÑ ÌÉÎÅÊÎÙÍÉ
ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑÍÉ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x1 ; : : : ; xn ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ (xi ) = x (i) ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ
ÐÅÒÅÓÔÁÎÏ×ËÉ ∈ Sn . îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x1 ; : : : ; xn ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ, ÅÓÌÉ F (x (1) ; : : : ; x (n) ) = F (x1 ; : : : ; xn ) ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ∈ Sn , ÉÌÉ,
ÄÒÕÇÉÍÉ ÓÌÏ×ÁÍÉ, F (x1 ; : : : ; xn ) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ Sn -ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏÍ. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÎÁÂÏÒ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ×
1 = x1 + x2 + · · · + xn ; 2 = x1 x2 + x1 x3 + · · · + xn−1 xn ; : : : ; n = x1 x2 : : : xn :
ñÓÎÏ, ÞÔÏ ÜÔÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ. éÈ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍÉ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ.
1
2
é.÷. áòöáîãå÷
ïÓÎÏ×ÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ Ï ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÈ. äÌÑ ËÁÖÄÏÇÏ ÓÉÍ-
ÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ F (x1 ; : : : ; xn ) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ
H (y1 ; : : : ; yn ) ÔÁËÏÊ, ÞÔÏ F (x1 ; : : : ; xn ) = H (1 ; : : : ; n ).
ôÅÍ ÓÁÍÙÍ, ÁÌÇÅÂÒÁ K[x1 ; : : : ; xn ]Sn ÐÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍÉ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÍÉ.
ðÒÉÍÅÒ 3. ðÕÓÔØ G { ÇÒÕÐÐÁ ÐÏÒÑÄËÁ 2, ÓÏÓÔÏÑÝÁÑ ÉÚ ÔÏÖÄÅÓÔ×ÅÎÎÏÇÏ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ É ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ x1 → −x1 ; : : : ; xn → −xn . ðÏÄ ÄÅÊÓÔ×ÉÅÍ ÔÁËÏÇÏ
ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÑ ÏÄÎÏÞÌÅÎ xi11 xi22 : : : xinn ÕÍÎÏÖÁÅÔÓÑ ÎÁ (−1)i1 +i2 +···+in . ðÏÜÔÏÍÕ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ F (x1 ; : : : ; xn ) ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÅÎ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ ÓÕÍÍÁ ÐÏËÁÚÁÔÅÌÅÊ ÓÔÅÐÅÎÅÊ ËÁÖÄÏÇÏ ×ÈÏÄÑÝÅÇÏ × ÎÅÇÏ ÞÌÅÎÁ ÞÅÔÎÁ. üÔÏ ÄÏËÁÚÙ×ÁÅÔ,
ÞÔÏ ÁÌÇÅÂÒÁ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÐÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ x21 ; x22 ; : : : ; x2n ; x1 x2 ; x1 x3 ; : : : ; xn−1 xn .
úÁÍÅÞÁÎÉÅ 1. ÷ ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÐÒÉÍÅÒÅ ÍÙ ÎÅÑ×ÎÏ ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÌÉ, ÞÔÏ −1 6= 1 ×
ÐÏÌÅ K. üÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ. úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ
ÐÏÌÅ K ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÜÌÅÍÅÎÔ 1, Á ÚÎÁÞÉÔ É ÜÌÅÍÅÎÔÙ 1 + · · · + 1. çÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ
ÐÏÌÅ K ÉÍÅÅÔ ÎÕÌÅ×ÕÀ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÕ, ÅÓÌÉ 1 + · · · + 1 (n ÒÁÚ) ÎÅ ÒÁ×ÎÏ ÎÕÌÀ
ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ n. üÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÅ ÒÁ×ÎÏÓÉÌØÎÏ ÔÏÍÕ, ÞÔÏ ÐÏÄÐÏÌÅ × K,
ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÏÅ 1, ÍÏÖÎÏ ÏÔÏÖÄÅÓÔ×ÉÔØ Ó ÐÏÌÅÍ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÞÉÓÅÌ. îÁÐÒÉÍÅÒ,
ÐÏÌÑ Q, R É C ÉÍÅÀÔ ÎÕÌÅ×ÕÀ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÕ. ÷ÓÀÄÕ ÄÁÌÅÅ ÍÙ ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÅÍ,
ÞÔÏ K { ÐÏÌÅ ÎÕÌÅ×ÏÊ ÈÁÒÁËÔÅÒÉÓÔÉËÉ.
ôÅÏÒÅÍÁ 1. ðÕÓÔØ G ⊂ GLn (K) { ËÏÎÅÞÎÁÑ ÐÏÄÇÒÕÐÐÁ. ôÏÇÄÁ ÁÌÇÅÂÒÁ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× K[x1 ; : : : ; xn ]G ËÏÎÅÞÎÏ ÐÏÒÏÖÄÅÎÁ.
íÙ ÐÒÉ×ÅÄÅÍ Ä×Á ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÔÅÏÒÅÍÙ 1. ðÅÒ×ÏÅ ×ÏÓÈÏÄÉÔ Ë
äÁ×ÉÄÕ çÉÌØÂÅÒÔÕ É ×Ù×ÏÄÉÔ ËÏÎÅÞÎÕÀ ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÏÓÔØ ÁÌÇÅÂÒÙ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ×
ÉÚ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÏÓÔÉ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÉÄÅÁÌÁ. ÷ÔÏÒÏÅ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ üÍÍÅ îÅÔÅÒ. ïÎÏ ÏÓÎÏ×ÁÎÏ ÎÁ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÔÅÏÒÅÍÅ Ï ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁÈ É ÄÏÓÔÁ×ÌÑÅÔ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÕÀ ÏÃÅÎËÕ Ó×ÅÒÈÕ ÎÁ ÓÔÅÐÅÎÉ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÉÈ.
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï 1. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ P : K[x1 ; : : : ; xn ] → K[x1 ; : : : ; xn ]:
1 X
F (S (x1 ); : : : ; S (xn )):
P (F (x1 ; : : : ; xn )) =
|G|
S ∈G
îÅÓÌÏÖÎÏ ÐÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ F; H ∈ K[x1 ; : : : ; xn ] É f ∈ K[x1 ; : : : ; xn ]G
×ÙÐÏÌÎÅÎÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á:
P (F + H ) = P (F ) + P (H ); P (F ) ∈ K[x1 ; : : : ; xn ]G ; P (f ) = f; P (fF ) = fP (F ):
÷ ÞÁÓÔÎÏÓÔÉ, P ÐÒÏÅËÔÉÒÕÅÔ K[x1 ; : : : ; xn ] ÎÁ K[x1 ; : : : ; xn ]G . ÷ ÓÉÌÕ ÌÉÎÅÊÎÏÓÔÉ ÐÒÅÏÂÒÁÚÏ×ÁÎÉÊ ÉÚ ÇÒÕÐÐÙ G ÅÓÌÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f (x1 ; : : : ; xn ) ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÅÎ, ÔÏ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÁ É ËÁÖÄÁÑ ÅÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÁÑ ËÏÍÐÏÎÅÎÔÁ. ðÕÓÔØ I { ÉÄÅÁÌ
× K[x1 ; : : : ; xn ], ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÙÊ ×ÓÅÍÉ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍÉ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁÍÉ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÊ ÓÔÅÐÅÎÉ. ëÁË É ËÁÖÄÙÊ ÉÄÅÁÌ × K[x1 ; : : : ; xn ], ÉÄÅÁÌ I ÐÏÒÏÖÄÅÎ ËÏÎÅÞÎÙÍ
ÞÉÓÌÏÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× f1 ; : : : ; fs . üÔÉ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÍÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍÉ
ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁÍÉ.
õÔ×ÅÒÖÄÁÅÔÓÑ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ f1 ; : : : ; fs ÐÏÒÏÖÄÁÀÔ ÁÌÇÅÂÒÕ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ×.
äÌÑ ÜÔÏÇÏ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ËÁÖÄÙÊ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÊ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔ f ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ f1 ; : : : ; fs . ðÒÏ×ÅÄÅÍ ÉÎÄÕËÃÉÀ ÐÏ ÓÔÅÐÅÎÉ m ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁ f . ÷
ÓÌÕÞÁÅ m = 0 ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎÓÔÁÎÔÏÊ É ÎÁÛÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÅ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï. ðÒÉ m > 0 ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ f ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ I É ÚÎÁÞÉÔ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ f = h1 f1 + · · · + hs fs , h1 : : : ; hs ∈ K[x1 ; : : : ; xn ]. ðÒÉÍÅÎÉ× ÐÒÏÅËÔÏÒ P
Ë ÏÂÅÉÍ ÞÁÓÔÑÍ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ, ÐÏÌÕÞÉÍ f = P (f ) = P (h1 )f1 + · · · + P (hs )fs .
áìçåâòù éî÷áòéáîôï÷
3
ðÏÓËÏÌØËÕ ÓÔÅÐÅÎÉ fi ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙ, ÓÔÅÐÅÎÉ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× P (hi )
ÍÅÎØÛÅ m É, ÐÏ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕËÃÉÉ, P (hi ) ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ ÞÅÒÅÚ f1 ; : : : ; fs .
úÎÁÞÉÔ, É f ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÞÅÒÅÚ f1 ; : : : ; fs .
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï 2. úÄÅÓØ ÄÌÑ ÕÐÒÏÝÅÎÉÑ ÉÚÌÏÖÅÎÉÑ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÔØ,
ÞÔÏ K = C. îÁÍ ÐÏÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ×ÓÐÏÍÁÇÁÔÅÌØÎÏÅ
ðÒÅÄÌÏÖÅÎÉÅ 1. ðÕÓÔØ f (x1 ; : : : ; xn ) { ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ ÓÔÅÐÅÎÉ m Ó
ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÍÉ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÁÍÉ. ôÏÇÄÁ ÄÌÑ
P ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÏÇÏ k ÎÁÊÄÕÔÓÑ ÔÁËÉÅ ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ Lj = ni=1 aij xi , j = 1; : : : ; k, aij ∈ C, ÞÔÏ
m
f (x1 ; : : : ; xn ) = Lm
1 + · · · + Lk :
äÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Ï. òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÓÌÕÞÁÊ n = 2. ÷ÙÞÉÓÌÑÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ ÐÒÉ
ÐÏÍÏÝÉ ÂÉÎÏÍÁ îØÀÔÏÎÁ É ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔÅÌØ ÷ÁÎÄÅÒÍÏÎÄÁ, ÌÅÇËÏ ÐÏËÁm
m
ÚÁÔØ, ÞÔÏ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ xm
1 ; (x1 + x2 ) ; : : : ; (x1 + mx2 ) ÌÉÎÅÊÎÏ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÙ É,
ÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÂÁÚÉÓ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÓÔÅÐÅÎÉ m ÏÔ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ x1 É x2 . üÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÁ f (x1 ; x2 ) ÓÔÅÐÅÎÉ m ÎÁÊÄÕÔÓÑ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ 0 ; : : : ; m ÔÁËÉÅ,
ÞÔÏ
m
m
m
f (x1 ; x2 ) = 0 xm
1 + · · · + m (x1 + mx2 ) = (0 x1 ) + · · · + (k (x1 + mx2 )) ;
ÇÄÅ im = i .
äÌÑ n > 2 ÂÕÄÅÍ ×ÅÓÔÉ ÉÎÄÕËÃÉÀ ÐÏ n. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÄÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÌÀÂÏÊ ÏÄÎÏÞÌÅÎ xi11 xi22 : : : xinn ÓÔÅÐÅÎÉ m ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ × ÎÕÖÎÏÍ ÎÁÍ ×ÉÄÅ. íÏÖÎÏ ÓÞÉÔÁÔØ,
ÞÔÏ i1 ≥ 1. ðÏ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕËÃÉÉ ÏÄÎÏÞÌÅÎ xi22 : : : xinn ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ × ×ÉÄÅ
M1m−i1 + · · · + Mkm−i1 , ÇÄÅ Mj | ÌÉÎÅÊÎÙÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÏÔ x2 ; : : : ; xn . ïÓÔÁÅÔÓÑ
ÚÁÍÅÔÉÔØ, ÞÔÏ, ×ÎÏ×Ø ÐÏ ÐÒÅÄÐÏÌÏÖÅÎÉÀ ÉÎÄÕËÃÉÉ, ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ xi11 Mjm−i1 ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ × ×ÉÄÅ ÓÕÍÍÙ m-È ÓÔÅÐÅÎÅÊ ÌÉÎÅÊÎÙÈ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÏÔ x1 É Mj .
¤
m
ðÕÓÔØ ÔÅÐÅÒØ f (x1 ; : : : ; xn ) = Lm
1 + · · · + Lk { ÕËÁÚÁÎÎÏÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÅ ÏÄÎÏÒÏÄÎÏÇÏ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁ f . ðÒÉÍÅÎÑÑ Ë ÜÔÏÍÕ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÀ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÅ P , ÍÙ
ÐÏÌÕÞÁÅÍ, ÞÔÏ f ÅÓÔØ ÓÕÍÍÁ ×ÙÒÁÖÅÎÉÊ ×ÉÄÁ
1 X
L(m) (x1 ; : : : ; xn ) :=
L(S (x1 ); : : : ; S (xn ))m ;
|G|
S ∈G
ÇÄÅ L { ÌÉÎÅÊÎÙÊ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ.
ðÏÓËÏÌØËÕ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎ Y1m + · · · + Ysm (s = |G|) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏÍ ÏÔ Y1 ; : : : ; Ys , ÅÇÏ ÍÏÖÎÏ ×ÙÒÁÚÉÔØ ÞÅÒÅÚ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÏÔ Y1 ; : : : ; Ys . üÔÏ ÐÏËÁÚÙ×ÁÅÔ, ÞÔÏ L(m) (x1 ; : : : ; xn ) ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ
ÞÅÒÅÚ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÅ ÓÉÍÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÙ ÏÔ L(S (x1 ); : : : ; S (xn )), ËÏÔÏÒÙÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÏÄÎÏÒÏÄÎÙÍÉ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁÍÉ ÓÔÅÐÅÎÉ ÎÅ ×ÙÛÅ |G|. ðÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Ï
ÍÎÏÇÏÞÌÅÎÏ× ÏÔ x1 ; : : : ; xn ÓÔÅÐÅÎÉ ≤ |G| ËÏÎÅÞÎÏÍÅÒÎÏ, É ÌÀÂÏÊ ÂÁÚÉÓ ÐÏÄÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× × ÜÔÏÍ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÏÊ
ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÉÈ ÄÌÑ C[x1 ; : : : ; xn ]G .
óÌÅÄÓÔ×ÉÅ 1. ðÕÓÔØ G ⊂ GLn (C) { ËÏÎÅÞÎÁÑ ÐÏÄÇÒÕÐÐÁ. ôÏÇÄÁ C[x1 ; : : : ; xn ]G
ÐÏÒÏÖÄÁÅÔÓÑ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÁÍÉ ÓÔÅÐÅÎÉ ÎÅ ×ÙÛÅ |G|.
ïÔÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÁÎÎÏÅ ÓÌÅÄÓÔ×ÉÅ ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÐÏÌÕÞÉÔØ ÐÒÏÓÔÏÊ (ÎÏ ÞÁÓÔÏ ÏÞÅÎØ
ÔÒÕÄÏÅÍËÉÊ) ÁÌÇÏÒÉÔÍ ÄÌÑ ÐÏÓÔÒÏÅÎÉÑ ËÏÎÅÞÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÙ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÉÈ ÁÌÇÅÂÒÙ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ËÏÎÅÞÎÏÊ ÇÒÕÐÐÙ G: ÎÕÖÎÏ ×ÚÑÔØ ×ÓÅ ÏÄÎÏÞÌÅÎÙ ÏÔ x1 ; : : : ; xn
ÓÔÅÐÅÎÉ ≤ |G| É ÐÒÉÍÅÎÉÔØ Ë ÎÉÍ ÐÒÏÅËÔÏÒ P .
4
é.÷. áòöáîãå÷
ôÅÐÅÒØ ÍÙ ÐÅÒÅÈÏÄÉÍ Ë ÏÂÓÕÖÄÅÎÉÀ ÏÓÎÏ×ÎÏÊ ÐÒÏÂÌÅÍÙ, ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ×
ÄÁÎÎÏÍ ËÕÒÓÅ.
14-Ñ ÐÒÏÂÌÅÍÁ çÉÌØÂÅÒÔÁ. ðÕcÔØ G { ÐÏÄÇÒÕÐÐÁ ÇÒÕÐÐÙ GLn (K). ÷ÅÒÎÏ ÌÉ,
ÞÔÏ ÁÌÇÅÂÒÁ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× K[x1 ; : : : ; xn ]G ËÏÎÅÞÎÏ ÐÏÒÏÖÄÅÎÁ ?
éÓÔÏÒÉÑ ÜÔÏÊ ÐÒÏÂÌÅÍÙ ×ÅÓØÍÁ ÄÒÁÍÁÔÉÞÎÁ1 . îÁ ÷ÔÏÒÏÍ íÅÖÄÕÎÁÒÏÄÎÏÍ
ËÏÎÇÒÅÓÓÅ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÏ×, ÐÒÏÈÏÄÉ×ÛÅÍ × Á×ÇÕÓÔÅ 1900 ÇÏÄÁ × ðÁÒÉÖÅ, ä. çÉÌØÂÅÒÔ ÐÏÓÔÁ×ÉÌ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÐÒÏÂÌÅÍ, ÒÅÛÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÙÈ, ÐÏ ÅÇÏ ÍÎÅÎÉÀ, ÄÏÌÖÎÏ
ÂÙÌÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÒÁÚ×ÉÔÉÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÉ × XX ×ÅËÅ. ÷ ÓÁÍÏÍ ÄÏËÌÁÄÅ çÉÌØÂÅÒÔ ÐÒÅÄÌÏÖÉÌ 10 ÐÒÏÂÌÅÍ, É ÉÎÔÅÒÅÓÕÀÝÁÑ ÎÁÓ ÐÒÏÂÌÅÍÁ
ÔÁÍ ÎÅ ÆÉÇÕÒÉÒÏ×ÁÌÁ. ïÄÎÁËÏ × ÏÐÕÂÌÉËÏ×ÁÎÎÏÍ ÔÅËÓÔÅ ÄÏËÌÁÄÁ ÐÒÏÂÌÅÍ ÂÙÌÏ
ÕÖÅ 23, É ÐÒÏÂÌÅÍÁ Ï ËÏÎÅÞÎÏÊ ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÏÓÔÉ ÁÌÇÅÂÒÙ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÉÍÅÌÁ
ÎÏÍÅÒ 14. îÁ ÓÁÍÏÍ ÄÅÌÅ, ÐÒÉ ÐÏÓÔÁÎÏ×ËÅ ÜÔÏÊ ÐÒÏÂÌÅÍÙ çÉÌØÂÅÒÔ ÓÓÙÌÁÅÔÓÑ
ÎÁ ÒÁÂÏÔÕ íÁÕÒÅÒÁ (L. Maurer) 1899 ÇÏÄÁ, × ËÏÔÏÒÏÊ ËÏÎÅÞÎÁÑ ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÏÓÔØ
ÁÌÇÅÂÒÙ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÂÙÌÁ ÄÏËÁÚÁÎÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÐÏÄÇÒÕÐÐÙ G ⊂ GLn (K), É
ÓÔÁ×ÉÔ ÂÏÌÅÅ ÏÂÝÉÊ ×ÏÐÒÏÓ.
• ðÕÓÔØ K ⊂ K(x1 ; : : : ; xn ) { ÎÅËÏÔÏÒÏÅ ÐÏÄÐÏÌÅ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÅ ÐÏÌÅ K. ÷ÅÒÎÏ
ÌÉ, ÞÔÏ ÁÌÇÅÂÒÁ K[x1 ; : : : ; xn ] ∩ K Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÎÅÞÎÏ ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÏÊ ? 2
ïÄÎÁËÏ, ËÁË ×ÓËÏÒÅ ×ÙÑÓÎÉÌÏÓØ, ÒÁÂÏÔÁ íÁÕÒÅÒÁ ÓÏÄÅÒÖÁÌÁ ÏÛÉÂËÕ, É Ó ÔÅÈ
ÐÏÒ ÞÅÔÙÒÎÁÄÃÁÔÁÑ ÐÒÏÂÌÅÍÁ çÉÌØÂÅÒÔÁ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ÉÍÅÎÎÏ ËÁË ÐÒÏÂÌÅÍÁ Ï ËÏÎÅÞÎÏÊ ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÏÓÔÉ ÁÌÇÅÂÒÙ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ×. ÷ ÐÅÒ×ÏÊ ÐÏÌÏ×ÉÎÅ XX
×ÅËÁ ÂÙÌÏ ÐÏÌÕÞÅÎÏ ÎÅÓËÏÌØËÏ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÅÚÕÌØÔÁÔÏ× × ÜÔÏÍ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ. (îÅËÏÔÏÒÙÅ ÉÚ ÎÉÈ ÍÙ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍ × ÜÔÏÍ ËÕÒÓÅ.) ïÄÎÁËÏ × 1958 Ç.
ÎÁ ËÏÎÇÒÅÓÓÅ × üÄÉÎÂÕÒÇÅ í. îÁÇÁÔÁ { ×ÅÓØÍÁ ÎÅÏÖÉÄÁÎÎÏ { ÐÒÉ×ÅÌ ÐÒÉÍÅÒ
ÇÒÕÐÐÙ, ÄÌÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÁÌÇÅÂÒÁ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× ÎÅ ÄÏÐÕÓËÁÅÔ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÐÏÒÏÖÄÁÀÝÉÈ, ÓÍ. ÎÁÐÒÉÍÅÒ [2]. äÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÎÅÄÁ×ÎÏ ò. óÔÅÊÎÂÅÒÇÕ ÕÄÁÌÏÓØ ÕÐÒÏÓÔÉÔØ ÁÒÇÕÍÅÎÔÙ îÁÇÁÔÙ É ÚÁÍÅÎÉÔØ × ÅÇÏ ËÏÎÔÒÐÒÉÍÅÒÅ ÔÏÎËÉÅ ÓÏÏÂÒÁÖÅÎÉÑ
ÉÚ ÁÌÇÅÂÒÁÉÞÅÓËÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÉ ÐÌÏÓËÉÈ ËÒÉ×ÙÈ ×ÐÏÌÎÅ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÍÉ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑÍÉ [3]. üÔÉ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ ÍÙ ÐÒÉ×ÅÄÅÍ ÎÁ ÐÏÓÌÅÄÎÅÍ ÚÁÎÑÔÉÉ.
÷ ÎÁÓÔÏÑÝÅÅ ×ÒÅÍÑ 14-À ÐÒÏÂÌÅÍÕ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ÁÔØ ÔÁË: ÏÈÁÒÁËÔÅÒÉÚÏ×ÁÔØ ÔÅ ÐÏÄÇÒÕÐÐÙ G ⊂ GLn (K), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ ÁÌÇÅÂÒÁ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ×
K[x1 ; : : : ; xn ]G ËÏÎÅÞÎÏ ÐÏÒÏÖÄÅÎÁ. ÷ ÔÁËÏÊ ÆÏÒÍÕÌÉÒÏ×ËÅ ÐÒÏÂÌÅÍÁ ÅÝÅ ÏÞÅÎØ
ÄÁÌÅËÁ ÏÔ ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ.
ìÉÔÅÒÁÔÕÒÁ
[1] ä. çÉÌØÂÅÒÔ, éÚÂÒÁÎÎÙÅ ÔÒÕÄÙ, ÔÏÍÁ 1-2. í.: æÁËÔÏÒÉÁÌ, 1998.
[2] M. Nagata, Lectures on the Fourteenth problem of Hilbert. Tata Institute, 1965.
[3] R. Steinberg, Nagata's example. In: "Algebraic Groups Lie Groups", Austral. Math. Soc.
Lect. Series 9, Cambr. University Press (1997), 375{384.
1ðÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÅ ÚÄÅÓØ Ó×ÅÄÅÎÉÑ ÚÁÉÍÓÔ×Ï×ÁÎÙ ÉÚ ËÏÍÍÅÎÔÁÒÉÅ× Ë ËÎÉÇÅ [1]
2÷ÏÐÒÏÓ Ï ËÏÎÅÞÎÏÊ ÐÏÒÏÖÄÅÎÎÏÓÔÉ ÁÌÇÅÂÒÙ ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÏ× Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÞÁÓÔÎÙÍ ÓÌÕÞÁÅÍ ÜÔÏÇÏ ×ÏÐÒÏÓÁ: ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÒÁÓÓÍÏÔÒÅÔØ × ËÁÞÅÓÔ×Å ÐÏÄÐÏÌÑ K ÐÏÄÐÏÌÅ, ÓÏÓÔÏÑÝÅÅ ÉÚ ÒÁÃÉÏÎÁÌØÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ, ÉÎ×ÁÒÉÁÎÔÎÙÈ ÏÔÎÏÓÉÔÅÌØÎÏ ÄÅÊÓÔ×ÉÑ ÇÒÕÐÐÙ G.