2.затухающие колебани

76
2. Затухающие колебания
2.1.1. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за время 1=5 мин уменьшилась в два раза. За какое время, считая
от начального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз?
Решение
1. Запишем уравнение логарифмического декремента колебаний
At 
(1)

 e t ,
At  T 
где А(t)  амплитуда колебаний в начальный момент времени, А(t + T) 
значение амплитуды через один период колебания,   коэффициент
затухания.
2. Определим из уравнения (1) величину коэффициента затухания,
переписав его следующим образом
A
ln 0   1 ; ln 2  300 ;   2,3 10 3 c 1 .
(2)
A
3. Воспользовавшись соотношениями (2) определим искомое время,
соответствующее уменьшению амплитуды в восемь раз
ln 8
2,1
(3)
ln 8   2 ;  2 

 504 c  15,1мин .

2,3 10 3
2.1.2. Логарифмический декремент маятника  = 0,003. Определите
число полных колебаний N, которые совершит маятник при уменьшении амплитуды в два раза.
Решение
1. Запишем уравнение логарифмического декремента колебательного процесса, воспользовавшись уравнением
At 
1
At 
,
(1)
  ln
   ;  N  ln
At  
N
At  
где N  число полных колебаний, соответствующих моменту времени .
2. Из уравнения (1) определим искомую величину
77
N
1
ln 2  231 .

(2)
2.1.3. Определите период затухающих колебаний, если период собственных колебаний системы без потерь равен Т0 = 1с, а логарифмический декремент составляет  = 0,628.
Решение
1. Период затухающих колебаний
2
2
T



02   2
2
4 2  2

T02 T 2
,
(1)
откуда
T2 
4 2
4


T02 T 2
2
T 2  T02 
2
;
4 2 T 2
  2  4 2 ; 4 2 T 2  T02 4 2  T02  2 ,
T02
T02  2
2
0,39438
; T  T0 1  2  1 1 
 1,00498 c .
2
4
4
39,478
(2)
(3)
2.1.4. Известно, что при затухающих колебаниях за  = 0,25 Т смещение тела составило х = 4,5 см, период затухающих колебаний Т = 8
с, логарифмический декремент  = 0,8. Начальная фаза колебаний равна  = 0. Подучить уравнение затухающих колебаний и представить
его графически.
Решение
1. Определим величину циклической частоты затухающих колебаний
2  рад


.
(1)
T
4 с
2. Коэффициент затухания  определим из уравнения логарифмического декремента

  T;     0,1c 1 .
(2)
T
3. Значение амплитуды колебаний для момента времени  определим, воспользовавшись уравнением затухающих колебаний
78
 T   T 
x    Ae sin   A exp  
(3)
 sin
,
 4   16 

x   A exp  0,2sin ; x  A  0,819 1;
(4)
2
x 
(5)
A
 5,5 см .
0,819
4. Запишем уравнение затухающих колебаний применительно к полученным данным
 
x t   5,5 exp  0,1t sin t  .
(6)
4 
5. Для построение графика колебаний вычислим значение x(t) для
моментов времени: 1 = T/4 = 2 c; 2 = T/2 = 4 c; 3 =3T/4 = 6 c; 4 = T = 8
c; 5 = 5T/4 = 10 c; 6 = 3T/2 = 12 c. Для чего эти величины времени,
кратные Т/4, последовательно подставим в уравнение (6)
, с
х(), см
2
4,5
4
0
6
3
8
0
10
1,98
12
0
2.1.5. Задано уравнение затухающих колебаний точки
 
x t   10 exp  0,1t sin  t  ,
3 
Найти зависимость скорости движения точки в функции времени,
представить зависимость графически.
Решение
79
1. В данном случае амплитуда колебаний равна А = 10 см, циклическая частота  = (/3) рад/с, коэффициент затухания   = 0,1 с  1,
начальная фаза равна нулю.
2. Определим скорость затухающих колебаний, для чего продифференцируем по времени заданное уравнение движения
dx d 
  
(1)
x t  
 10 exp  0,1t sin t  ,
dt dt 
 3 

 

x t   10 exp  0,1t  cos t  0,1sin t  .
3
3 
3
3. Определим период колебаний
2
2 2  3  

; T

 6c .
T


4. Вычислим значение скорости в следующие моменты времени:
t1 =0,

 
м

x t 1   10 exp 0 cos  0  0,1sin  0  10 ,47 ;
3
3
3
с


t2 = T/4 = 1,5 с


м


x t 2   10 exp  0,1 1,5 cos 1,5  0,1sin 1,5  0,32 ;
3
3
с
3

t3 = T/2 = 3 c

 
м

x t 3   10 exp  0,3 cos  3  0,1sin  3  7,4 ;
3
3 
с
3
t4 = T = 6 с

 
м

x t 4   10 exp  0,6  cos  6  0,1sin  6  5,5 ;
3
3
3
с


t5 = 5T/4 = 7,5 с


м


x t 5   10 exp  0,75  cos  7,5  0,1sin  7,5  4,7 ;
3
3
с
3

t6 = 3T/2 = 9 c

 
м

x t 6   10 exp  0,9 cos  9  0,1sin  9  4 ;
3
3
3
с


t7 = 2T = 12 c


м


x t 7   10 exp  1,2  cos 12  0,1sin 12   3
3
3
с
3

(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
80
2.1.6. Математический маятник колеблется в среде, обеспечивающей величину логарифмического декремента  = 0,5. Во сколько раз
уменьшится амплитуда колебаний по истечении одного полного периода колебаний?
Решение
1. Запишем уравнение затухающих колебаний в общем виде
(1)
xt   A 0 exp  t sint  0  .
2. Для определения амплитудных значений отклонений маятника
уравнение (1) необходимо переписать при условии sin(t + 0) = 1
t
tT



A1  A 0 exp    ; A 2  A 0 exp   
(2)
  A 0e ,
T
T 


A1
 exp 0,5  1,65 .
(3)
A2
1.2.7. Математический маятник в течение 120 секунд уменьшил
амплитуду колебаний в 4 раза. Определить величину логарифмического
декремента, если длина нити подвеса составляет l = 2,28 м.
Решение
1. Запишем уравнение затухающих колебаний
t

A 1  A 0 exp     .
T

2. Определим период незатухающих колебаний маятника
(1)
81
T  2

 3c .
g
(2)
3. Перепишем уравнение (1) с учётом заданных значений величин и
найденного периода
A0
ln 4
 120 
 exp  
 0,035 .
(3)
; 40   ln 4;  
A1
40
 3 
2.1.8. Математический маятник длиной колеблется в среде с коэффициентом затухания  = 0,045.Определить время , в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в 10 раз.
Решение
1. Уравнение колебаний математического маятника можно записать,
представив отклонение грузика в угловых величинах
(1)
t   0 exp  t sin t ,
где   частота затухающих колебаний.
2. Запишем уравнение (1) применительно к амплитудным значениям
отклонения
(2)
1  0 exp  t ; 2  0 exp  t   .
3. Определим, используя уравнения (2) отношение амплитуд
1
ln 10
 exp  ; ln 10   ;  
 51 c .
(3)
2

2.1.9. Математический маятник длиной l = 1,09 м колеблется в вязкой среде с коэффициентом затухания  = 0,3 с  1. Во сколько раз должен возрасти коэффициент затухания, чтобы гармонические колебания оказались невозможными?
Решение
1. Запишем уравнение периода затухающих колебаний
2
T
,
02   2
(1)
из которого следует, что предельное значение коэффициента затухания
соответствует max = 0, или
g
 max 
 3 c 1 .
(2)

2. Коэффициент затухания должен увеличиться в  - раз
82

 max
 10 .

(3)
2.1.10. Амплитуда затухающих колебаний за время 1 = 100 с
уменьшилась в n1 = 20 раз. Во сколько раз амплитуда уменьшится за
время 2 = 200 с?
Решение
1. Запишем уравнение для амплитуд затухающих колебаний
At   A 0 exp  t  .
2. В данном случае
A0
 n 1 ; ln n 1  1 .
A1 
(1)
(2)
3. Запишем уравнение, аналогичное (2) для момента времени t = 2
(3)
ln n 2  2 ,
4. Решая совместно уравнения (1) и (2) относительно величины n2,
получим

 2
 

A0
(4)
n2 
; A 2   A 0 exp   2 ln n 1   A 0 n 1 1 ,
A 2 
 1

откуда
2
200
n 2  n11  20 100  20 2  400 .
(5)
2.1.11. Колебания некой точки происходят в соответствие с уравнением x(t) = 100exp(0,01t)cos8t, мм. Определить амплитуду после
того, как будут выполнены N = 100 полных колебаний.
Решение
1. Из заданного уравнения движения следует что: циклическая частота колебаний составляет  = 3 рад/с; коэффициент затухания   =
0,01 с  1; начальная амплитуда колебаний  100 см.
2. Определим период колебаний и логарифмический декремент
2
T
 0,67 c ,   T  6,7 10 3 .
(1)

3. Амплитуда после истечения заданного числа колебаний определится на основании заданного уравнения так
A N  A 0 exp N  100 exp  1  36,78 мм .
(2)
83
2.1.12. Математический маятник длиной l = 2 м, колеблющийся в
среде с потерями, за время  = 10 мин потерял 50 % своей энергии.
Определить логарифмический декремент маятника.
Решение
1. В первом приближении можно считать, что энергия затухающих
колебаний пропорциональна квадрату амплитуды

E1  A 02 exp  2t 1 ;
(1)

2
E 2  A 0 exp  2t 1  .
2. По условию задачи
E2
 0,5 .
(2)
E1
3. Совместим условие (2) в системой уравнений (1)
E2
 exp  2   0,5;   2  ln 0,5;
(3)
E1
ln 0,5
0,693

 5,8 10 4 c 1 .
(4)
2
1200
4. Период колебаний маятника, ввиду малости коэффициента затухания можно приближённо определить уравнением

T  2

2
 6,28
 2,83 c .
g
9,81
5. Логарифмический декремент колебаний определится как
  T  1,6 10 3 .
(5)
(6)
2.1.13. Математический маятник длиной l = 2 м колеблется в среде
с логарифмическим декрементом = 0,01, так что энергия колебаний
уменьшилась в  = 10 раз. Какое время  прошло при этом с момента
начала колебаний?
Решение
1. Запишем уравнение амплитуд затухающего колебания и определим относительную амплитуду
A0
t

 t 
A 1  A 0 exp    ; 
 exp   ;
(1)
T
A1

T
2. Подставим в уравнение (2) соотношение для периода колебаний
84
 t g 
;
(2)
  exp 
 2  


3. Для того чтобы связать величины  и  необходимо проанализировать уравнение энергии колебательного движения
mv 2 m(A) 2 m2 2 A 2
;
(3)
E


2
2
T2
2
 t g 
E0  A0 
;
 ;    exp 
(4)
 
 
E1  A1 


ln  
t g
 
3,14
2
; t
ln  
 2,3  326 c  5,4мин .
2 
 g
0,01 9,81
(5)
2.1.14.. Определите число полных колебаний N, в течение которых
энергия системы уменьшится в два раза. Логарифмический декремент
колебаний  = 0,01.
Решение
1. Для решения задачи воспользуемся уравнением (2) задачи 2.1.2
E0 1
1 A
1
1
(1)
N1  ln 0  ln
 ln 2 
ln 1,41  35 .
 A1 
E1 
0,01
2.1.15. Найти период затухающих колебаний математического маятника если период его собственных колебаний составляет Т0 = 1 с, а
логарифмический декремент равен  = 0,628
Решение
1. Определим циклическую частоту собственных колебаний математического маятника
2
рад
0 
 6,28
.
(1)
T
с
2. Определим коэффициент затухания
  T;    T  0,628 c 1 .
(2)
3. Найдём период затухающих колебаний
2
6,28
T

 1,0054 с.
(3)
2
2
39,4  0,39
0  
85
2.1.16. Тело массой m = 5кг совершает гармонические затухающие
колебания. За первые 50с колебаний тело теряет 60% своей первоначальной энергии. Определите коэффициент сопротивления среды.
Решение
1. Определим коэффициент затухания  из следующих соображений
2
E0  A0 
  exp  2 ; ln 0,4  2 ,

(1)
E1  A1 
ln 0,6

 9,16  10 3 c 1 .
(2)
2
2. Найдём коэффициент сопротивления среды, в которой колеблется
тело
(3)
  r 2m; r  2m  0,0916 кг с .
A0
 exp  ;
A1
2.1.17. Некое тело массой m = 1 кг
находится в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r = 0,05 кг/с. Тело
соединено с двумя одинаковыми недеформированными пружинами жёсткости k = 50 Н/м. Определить логарифмический декремент при возникновении малых колебаний, период колебаний и коэффициент затухания.
Решение
1. Определим коэффициент затухания, воспользовавшись уравнением (3) предыдущей задачи
  r 2m  0,05 2  0,025 c 1 .
(1)
2. Найдём циклическую частоту и период свободных и затухающих
колебаний системы с учётом того, то пружины соединены параллельно
2k
рад

 10
; 0 
 1,59 Гц .
m
с
2
2
6,28
T

 0,628 c .
2
2
0  
100  6,25  10 4
0 
3. Логарифмический декремент колебаний
  T  0,0157 .
(2)
(3)
(4)