напряженное состояние пластины при ее закритическом сжатии

ПРОБЛЕМИ ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ МЕХАНІКИ
І МІЦНОСТІ КОНСТРУКЦІЙ
ISSN 2079–1836
2011, вип. 16
УДК 539.3
Л. И. Коростылев, д-р техн. наук, А. Н. Нигреев
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛАСТИНЫ
ПРИ ЕЕ ЗАКРИТИЧЕСКОМ СЖАТИИ В ОДНОМ НАПРАВЛЕНИИ
Рассматривается задача о распределении напряжений в изотропной
прямоугольной пластине при ее закритическом сжатии в срединной плоскости в
одном направлении. Поведение гибкой пластины описывается уравнениями
Кармана. Проведен анализ прогибов пластины, напряжений в ее срединной
плоскости, а также от изгиба и кручения пластины. Обоснован способ определения
ширины присоедененного пояска пластины.
Ключевые слова: закритическая деформация, пластина, уравнение устойчивости
Кармана, присоединенный поясок пластины.
Введение. Теоретическими и экспериментальными исследованиями установлено, что несущая способность прямоугольных пластин перекрытий
при сжатии в одном направлении (мосты, настилы, палубы судов), подкрепленных на контуре достаточно жесткими ребрами жесткости в момент потери устойчивости ее плоской формы вовсе не исчерпывается [1]. Такая пластина и после потери устойчивости продолжает, до некоторого предела,
воспринимать возрастающую нагрузку. Исследованием закритического поведения таких пластин с целью выяснения эффективной ширины присоединенного пояска посвящено значительное количество работ, обзор которых
достаточно полно приведен в [1]. А вот исследованиям напряженного состояния пластин в закритическом состоянии внимания практически не уделено. В настоящем исследовании предпринята попытка восполнить этот
недостаток.
Постановка задачи. Исследование проводится на базе уравнений устойчивости гибких пластин Кармана. При докритическом нагружении изотропная прямоугольная пластина сжата в одном направлении равномерно
распределенной на кромках x   a нагрузкой P1  const  PЭ (рис. 1, а) и
неравномерной нагрузкой P1 ( y )   xcp ( a, y ), где  xcp (a, y ) − напряжение в
срединной плоскости пластины на ее кромках x  a. При закритическом
нагружении пластины (рис. 1, б) принято, согласно [2], осредненное на кромках x   a усилие P1cp   k  PЭ , где 1  k   − параметр внешней нагрузки
от общего изгиба перекрытия на пластину.
Дополнительно использованы общепринятые для такой задачи ограничения на кромках пластины [2]: отсутствие касательных напряжений на
кромках; кромки пластины всегда прямолинейны; кромки пластины перекрытий подкреплены достаточно жесткими ребрами жесткости; сжимающие напряжение в жестких связях Pc больше соответствующей эйлеровой (критической) нагрузки PЭ и представляется в виде Pс  P1cp   k  PЭ .
____________________________
 Л. И. Коростылев, А. Н. Нигирев, 2011
141
а – докритическое состояние пластины;
б – закритическое состояние пластины
Рис. 1 – Устойчивость сжатой в одном направлении гибкой,
шарнирно опертой по контуру пластины (расчетные схемы)
Решение для перемещений w( x, y ) точек срединной поверхности пластины
строится разложением его в тригонометрический ряд, как в [2], по формам прогибов, удовлетворяя при этом граничным условиям шарнирного опирания на
всех кромках (рис. 1). Следуя [2], задача определения перемещений и напряжений в пластине сводится с помощью метода ортогонализации функции невязки И. Г. Бубнова к решению однородной системы из 3( m  n ) полных кубических уравнений относительно неизвестных Amnk – амплитуд прогибов по соответствующим формам ( m по оси x , n по оси y ). Абсолютное большинство
корней системы – комплексные. Количество действительных корней Amnk
возрастает с увеличением параметра внешней нагрузки k .
142
При заданном значении k и наличии нескольких действительных корней
системы для Amnk (происходит ветвление решений уравнения Кармана)
отсев «лишних» корней осуществляется исходя из принципа минимума полной энергии пластины после потери устойчивости по всем вариантам действительных корней Amnk . Перебором всех вероятных форм потери устойчивости пластиной выбирается вариант Amnk , полная энергия при котором
минимальна. Для анализа решения использовались такие варианты соотношений числа удерживаемых членов ряда для прогибов: m : n  1:1,
1: 2, 2 :1, 2 : 2 .
Результаты расчетов представлены графиками соответствующих функций откликов в срединной плоскости пластины (  a  x  a,  b  y  b) . Расчеты выполнены на примере квадратной пластины из стали ( E  2 1011 Па;
  0,3; a  b  0,5 м) для тонкой пластины a t  200 и более жесткой
a t  50 . Оси x и y на всех последующих рисунках направлены в соответствии с тем как показано на рис. 1. Значение функций откликов откладываются по вертикальной оси (аппликатом).
На рис. 2 для тонкой пластины ( a t  200 ) приведены, для примера, функции
прогибов срединной поверхности w( x, y ) при k  2 и удержании по одному
члену ряда m  1, n  1 (рис. 2, а) и двух членов ряда m  2, n  1 (рис. 2, б).
Формы прогибов на обоих рисунках практически одинаковы, максимальный
прогиб в первом случае составил 0,0150 м, а во втором случае 0,0157 м. Что
свидетельствует о хорошей сходимости ряда для функции прогибов.
а)
143
б)
Рис. 2 – Прогиб пластины
at
 200 после потери устойчивости при k  2 :
а − m  1, n  1 ; б − m  2, n  1
Типичные графики распределения напряжений в срединной поверхности
пластины a t  200 при k  5 и m  2, n  1 для нормальных напряжений
 xcp ( x, y ),  ycp ( x, y ) приведены на рис. 3, а касательных напряжений и
cp
 xy
( x, y ) − на рис. 4.
а)
144
б)
Рис. 3 – Нормальные напряжения (Па) в срединной поверхности пластины
после потери устойчивости при k  5 : а)
Рис. 4 – Касательные напряжения
at
cp
 xy
( x, y )
 xcp ( x, y);
б)
at
 200
 cp
y ( x, y )
(Па) в срединной поверхности пластины
 200 после потери устойчивости при k  5
Из рис. 3 следует, что в распределениях обоих компонентов нормальных напряжений в срединной поверхности пластины возникают зоны сжатия
у ребер жесткости в виде почти продольных полос (вдоль оси Ох) для
 xcp ( x, y) и аналогичных поперечных полос (вдоль оси Оу) для  cp
y ( x, y ) .
145
Анализ зависимостей напряжений  xcp ( x, y ) для пластин различной толщины ( a t  200 и a t  50 ) при различных k и удержании всех вышеупомянутых соотношений для m : n показал, что указанная функция описывается,
поверхностью близкой к цилиндрической. Это доказывает тот факт, что после потери пластиной устойчивости ее центральная зона срединной находится в условиях двухосного растяжения, а зоны, примыкающие к ребрам
жесткости, воспринимают сжимающие напряжения. Причем зона растяжения от напряжения  xcp ( x, y ) для тонких пластин ( a t  200 ) может возникать уже при k  1, 01 , то есть сразу после прощелкивания пластины, на что
исследователи ранее не обращали внимание. Еще один любопытный факт,
точка Rk (рис. 5) на линии перехода от зоны сжатия к зоне растяжения от
напряжений  xcp ( x, y ) для всех исследованных в работе квадратных пластин перемещалась по оси Оу незначительно.
В дальнейшем во всех сечениях пластины x  const для квадратной пластины принимается эпюра  xcp ( x, y )   xcp ( a, y ),
что позволяет вычислить
эффективную ширину bп присоединенного к опорному ребру жесткости
пояска пластины (рис. 5).
Рис. 5 – Эпюра
 xcp ( x, y )
В действительности поясок пластины, примыкающий к жесткой связи и
имеющий эквивалентную ширину bп , загружен сжимающим напряжением
pc   nk  pэ от общего изгиба перекрытия. Общая сжимающая сила G , передаваемая эквивалентным (присоединенным) пояском пластины, равна:
b
G  bn  t  pc  t 
cp
  xk (a, y) dy .
k
146
(1)
Ширина присоединенного пояска:
b
cp
  xk (a, y) dy
bn 
k
nk  pэ
(2)

.
Если отнести bп к общей длине кромки пластины 2b  2 a  1  м  , то будет получена относительная (безразмерная) ширина присоединенного пояска bn . Принято относить bn к длине продольной кромки [3]:
bn

(3)
2a
Расчеты относительной ширины присоединенного пояска bп по (3) для
рассмотренных примеров квадратных пластин представлены в табл. 1.
bn 
Таблица 1 − Расчет относительной ширины присоединенного пояска
квадратной пластины bn
a t  20 0
m:n
k
1
2
3
5
10
a t  50
1:1
2:1
1:2
2:2
1:1
2:1
1:2
2:2
0,210
—
1
0,209
—
0,228
0,227
—
0,267
0,205
—
0,304
0,204
—
0,316
0,206
—
1
0,209
—
0,229
0,226
—
0,261
0,232
—
0,280
0,228
—
0,312
0,210
—
1
0,211
—
0,228
0,216
—
0,256
0,208
—
0,273
0,222
—
0,301
0,207
—
1
0,210
—
0,234
0,218
—
0,243
0,212
—
0,252
0,222
—
0,306
0,294
—
1
0,209
—
0,222
0,203
—
0,267
0,205
—
0,296
0,204
—
0,310
0,216
—
1
0,224
—
0,225
0,231
—
0,242
0,232
—
0,280
0,236
—
0,446
0,202
—
1
0,204
—
0,224
0,203
—
0,269
0,201
—
0,301
0,201
—
0,312
0,213
—
1
0,222
—
0,234
0,209
—
0,253
0,226
—
0,290
0,206
—
0,318
Примечание: в числителе приведены результаты расчетов по предлагаемой методике, в знаменателе – вычисления выполнены по действующей ныне в судостроении методике, сформулированной в свое время в работе [2].
Из анализа табл. 1 следует:
 предложенная методика определения ширины присоединенного пояска дает во всех случаях ее меньшую ширину, чем методика, изложенная в
[2], во всех примерах как для тонкой ( a t  200 ), так и для более жесткой
( a t  50 ) пластины;
147

 минимальное значение bnmin  0, 201 по предлагаемой методике в
рассмотренных примерах меньше, чем bnmin  0, 222 по методике [2];
 имеет смысл применить предложенную методику для анализа прямоугольных пластин при поперечной системе набора перекрытия при b a  2;3; 4,
и, в случае, подтверждения результатов настоящего исследования можно
будет уточнить предложенную в [2] методику (bn  0, 22) и устранить ее
погрешность в опасную сторону.
Вклад моментного напряженного состояния для тонкой пластины
( a t  200 ) даже при больших прогибах при потере устойчивости оказался
для всех вариантов на уровне 5% – 7 % от напряжений в срединной поверхности пластины. Для более жестких пластин ( a t  50 ) эти напряжения при
значительных прогибах пластины оказались на уровне напряжений в срединной поверхности, то есть ими нельзя пренебрегать при оценке перехода
пластины в состояние текучести, что важно для оценки достоверности решений уравнений Кармана. На рис. 6 приведены эквивалентные по энергетической теории прочности напряжения в наиболее нагруженных точках
тонкой пластины при k  5 , а на рис. 7 − то же для более жесткой пластины
при k  3 .
Рис. 6 – Эквивалентные напряжения (Па) в опасных точках тонкой пластины
a t  200, m  2, n  1
148
и
k 5
Рис. 7 – Эквивалентные напряжения (Па) в опасных точках жесткой пластины
a t  50, m  2, n  1,
и
k 3
Из рис. 6 видно, что даже при k  5 максимальные эквивалентные напряжения вблизи углов тонкой стальной пластины не превышают 300 МПа, что
для качественной стали еще далеко не предел текучести. Поэтому для тонких
пластин k  10 [2] оправданно. А вот для более жесткой пластины рис. 7, максимум эквивалентных напряжений тоже в близи углов пластины достигают
3000 МПа уже при k  3 . Поэтому оценки ширины присоединенного пояска [2]
при 3  k  10 вызывают сомнения в их реальности. Рекомендуется при разработке систем автоматизированного проектирования сжатых пластин перекрытий ширину присоединенного пояска выбирать с учетом как коэффициента формы пластины, так и ее реальной относительной толщины. В этом случае рекомендации по выбору ширины присоединенного пояска нельзя считать одинаковыми для всех пластин, как это, например, рекомендуется в судостроении [3]. На это не обратили внимание исследователи [1, 2]. При
больших значениях параметра внешней нагрузки k в пластине возможно появление пластических деформаций. Система уравнений Кармана и ее решение несут в себе, в этом случае, неопределенную погрешность, которая не
была учтена в работе [2] по осреднению и минимизации ширины присоединенного пояска, рекомендованного автором принять для всех без исключения
пластин равным bn  0, 22 .
Выводы: показано, что нормальные сжимающие напряжения в срединной поверхности шарнирно опертой пластины перекрытия при одноосном
его сжатии действуют в узкой полосе, параллельной опорным кромкам пластины. Эпюра продольных сжимающих напряжений  xcp ( x, y ) в пластине
близка по геометрической форме к цилиндрической поверхности.
Предложена методика определения эффективной ширины присоединенного
149
пояска пластины построенная с использованием особенностей этой цилиндрической поверхности. В случае квадратной пластины, ширина присоединенного пояска составляет 20% от длины продольной кромки пластины. При
расчете ширины присоединенного пояска пластины для систем автоматизированного проектирования нужно учитывать ее относительную толщину и
коэффициент формы, а так же возможность перехода пластины в пластическое состояние в отдельных ее точках, но это задача дальнейших исследований.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ
1. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем / А. С. Вольмир. − М.: Наука,
1967. − 984 с.
2. Папкович П. Ф. Строительная механика корабля: в 2 ч. Ч. 2 / П. Ф. Папкович. − Л.:
Государственное союзное издательство судостроительной промышленности, 1941 – 960 с.
3. Суслов В. П. Строительная механика корабля и основы теории упругости / В. П. Суслов, Ю. П. Кочанов, В. Н. Спихтаренко. – Л.: Судостроение, 1972. – 719 с.
Национальный университет кораблестроения
им. Адмирала С. О. Макарова,
Николаев, Украина
Поступила в редколлегию 20.03.2011
Л. І. Коростильов, д-р техн. наук, А. М. Нігреев
НАПРУЖЕНИЙ СТАН ПЛАСТИНИ ПРИ ЇЇ ЗАКРИТИЧНОМУ
СТИСКАННІ В ОДНОМУ НАПРЯМКУ
Розглядається задача про розподіл напружень в ізотропній прямокутній пластині
при її закритичному стисканні в серединній площині в одному напрямку. Поведінка
гнучкої пластини описується рівняннями Кармана. Проведено аналіз прогинів
пластини, напружень в її серединній площині, а також від вигину та кручення
пластини. Обґрунтовано спосіб визначення ширини приєднаного паска пластини.
Ключові слова: закритична деформація, пластина, рівняння стійкості Кармана,
приєднаний пасок пластини.
L. I. Korostylev, Professor, A. N. Nigreev
STRESS STATE OF A PLATE FOR ITS SUPERCRITICAL
COMPRESSION IN ONE DIRECTION
Input a word problem on the stress distribution in an isotropic rectangular plate with
its supercritical compression in the middle of the plane in one direction. The behavior of
the flexible plate is described by Karman. The analysis of deflection plates, the stresses
in her mid-plane of bending and torsion of the plate. The methods of determining width of
the attached belt of plate.
Keywords: supercritical deformation plate, the equation of stability Karman, attached belt plate.
150